§2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Montag 12.5
$Id: diff.tex,v 1.6 2014/05/12 09:25:07 hk Exp hk $
§2
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
2.1
Topologische Räume
In der letzten Sitzung haben wir begonnen den Kompaktheitsbegriff in allgemeinen
topologischen Räumen einzuführen. Beachte das damit insbesondere definiert ist was
ein kompakter Teilraum A eines topologischen Raums X ist, man versieht A mit der von
X induzierten Topologie und fordert das A in dieser Topologie kompakter Raum ist. Ist
X dabei nicht unbedingt hausdorffsch so muss man bei diesem Begriff etwas aufpassen,
oft ist mit kompakter Teilraum“ dann überdeckungskompakter Teilraum“ gemeint
”
”
selbst wenn wie bei uns kompakte Räume immer hausdorffsch sein sollen. In unserem
Rahmen wird eine solche Situation glücklicherweise gar nicht auftreten. Wir stellen
jetzt die wichtigsten Eigenschaften kompakter Räume und kompakter Teilmengen in
einem Satz zusammen.
Satz 2.12 (Grundeigenschaften kompakter Räume)
Seien X, Y zwei topologische Räume.
(a) Sind A ⊆ X ein überdeckungskompakter
Teilraum und (Ui )i∈I eine Familie offener
S
Mengen
S in X mit A ⊆ i∈I Ui , so gibt es eine endliche Teilmenge J ⊆ I mit
A ⊆ i∈J Ui .
(b) Ist X überdeckungskompakt, so ist jede stetige Funktion f : X → R beschränkt,
und nimmt ihr Infinum und Supremum an, falls X 6= ∅ ist.
(c) Sind X überdeckungskompakt und A ⊆ X abgeschlossen, so ist auch der Teilraum
A überdeckungskompakt.
(d) Sind X ein Hausdorffraum und A ⊆ X ein kompakter Teilraum, so ist A ⊆ X
abgeschlossen in X.
(e) Sind X ein Hausdorffraum und A, B ⊆ X zwei kompakte Teilräume mit A∩B = ∅,
so gibt es in X offene Mengen U, V ⊆ X mit A ⊆ U , B ⊆ V und U ∩ V = ∅.
(f ) Sind X überdeckungskompakt und f : X → Y eine stetige, surjektive Abbildung, so
ist auch Y überdeckungskompakt.
(g) Sind X überdeckungskompakt und Y hausdorffsch, so ist jede stetige Abbildung
f : X → Y abgeschlossen.
(h) Sind X überdeckungskompakt und Y hausdorffsch, so ist jede stetige, bijektive Abbildung f : X → Y ein Homöomorphismus.
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(i) Ist X überdeckungskompakt
und ist A eine Menge abgeschlossener Teilmengen
von
T
T
X so, dass A0 6= ∅ für jede endliche Teilmenge A0 ⊆ A gilt, so ist auch A 6= ∅.
abgeschlossener
(j) Ist X überdeckungskompakt und ist (An )n∈N eine Folge nichtleerer,
T
Teilmengen von X mit An+1 ⊆ An für jedes n ∈ N, so ist n∈N An 6= ∅.
(k) Sind X und Y überdeckungskompakt (hausdorffsch, kompakt) so ist auch X × Y
überdeckungskompakt (hausdorffsch, kompakt).
(l) Sind Y überdeckungskompakt, A ⊆ X eine Teilmenge von X und U ⊆ X × Y offen
in X × Y mit A × Y ⊆ U , so existiert eine offene Menge V ⊆ X in X mit A ⊆ V
und V × Y ⊆ U .
(m) Ist Y überdeckungskompakt, so ist die Projektion pr1 : X × Y → X eine abgeschlossene Abbildung.
S
(n) Gibt es überdeckungskompakte Teilmengen A1 , . . . , An ⊆ X mit X = nk=1 Ak so
ist auch X überdeckungskompakt.
Beweis: (a) Klar da {Ui ∩ A : i ∈ I} eine offene Überdeckung von A ist.
(b) Wir können X 6= ∅ annehmen. DaSf stetig ist, ist für jedes a ∈ R die Menge
f −1 (−∞, a) ⊆ X offen, und
X = a∈R f −1 (−∞, a). Also existiert eine endliche
S es gilt
Menge E ⊆ R mit X = a∈E f −1 (−∞, a), d.h. f (x) ≤ max E für jedes x ∈ X. Setze
nun m := sup f (X). Ist a ∈ R S
mit a < m, so existiert ein x ∈ X mit f (x) > a,
−1
(−∞, a) $ X für jede endliche Teilmenge
also f −1 (−∞, a) $ X. Es folgt S
a∈E f
−1
E ⊆ (−∞, m), und somit ist auch a<m f (−∞, a) $ X, d.h. es existiert ein x ∈ X
mit f (x) = m. Die Aussagen über das Infimum folgen analog.
(c) Sei U eine offene Überdeckung von A. Wähle eine Menge U0 offener Mengen in X
0
mit U = {U ∩ A : U ∈ U0 }. Dann
S ist U ∪ {X\A} eine offene Überdeckung von X,
0
also existiert E ⊆ U endlich mit E ∪ (X\A) = X. Somit ist {U ∩ A : U ∈ E} eine
endliche Teilüberdeckung von U in A.
(d,e) Sei X hausdorffsch. Zunächst seien eine kompakte Teilmenge A ⊆ X und ein
Punkt x ∈ X mit x ∈
/ A gegeben. Wir behaupten das es dann in X offene Mengen
U, V ⊆ X mit x ∈ U , A ⊆ V und U ∩ V = ∅ gibt. Für jedes a ∈ A gibt es wegen
a 6= x nämlich in X offene Mengen Ua , Va ⊆ X mit x ∈ Ua , a ∈
S Va und Ua ∩ Va = ∅.
WeiterTexistiert nach (a) eine endliche Menge E
S ⊆ A mit A ⊆ a∈E Va , und somit ist
U := a∈E Ua offen in X mit x ∈ U und V := a∈A Va ist offen in X mit A ⊆ V und
[
[
U ∩V =
(U ∩ Va ) ⊆
(Ua ∩ Va ) = ∅.
a∈A
a∈A
Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Ist insbesondere A ⊆ X eine kompakte
Teilmenge, so gibt es für jedes x ∈ X\A eine in X offene Menge U mit x ∈ U ⊆ X\A,
d.h. jeder Punkt von X\A ist ein innerer Punkt von X\A und X\A ist damit offen in
X. Dies bedeutet aber das A abgeschlossen in X ist und (d) ist bewiesen.
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Wir kommen zu (e), seien also kompakte Teilmengen A, B ⊆ X mit A ∩ B = ∅
gegeben. Für jedes x ∈ A ist dann x ∈
/ B, also gibt es nach der bereits bewiesenen
HilfsaussageS
zwei in X offene Mengen Ux , Vx ⊆ X mit x ∈ Ux , B ⊆ Vx und Ux ∩
SVx = ∅.
Wegen A ⊆ x∈A Ux gibt es nach (a) eine endliche
A mit A ⊆ x∈E Ux .
S Teilmenge E ⊆T
Wir erhalten die in X offenen Mengen U := x∈E Ux und V := x∈E Vx mit A ⊆ U ,
B ⊆ V und
[
[
U ∩V =
(Ux ∩ V ) ⊆
(Ux ∩ Vx ) = ∅.
x∈A
x∈A
(f ) Sei U eine offene Überdeckung von Y . Dann ist {f −1 (U S
) : U ∈ U} eine offene
0
Überdeckung
von X, also existiert U ⊆ U endlich mit X = {f −1 (U ) : U ∈ U0 } =
S 0
−1
f ( U ). Da f surjektiv ist folgt
[ [
−1
Y = f (X) = f f
U0
=
U0 .
Damit ist auch Y überdeckungskompakt.
(g) Sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Sei A ⊆ X eine in X abgeschlossene
Teilmenge. Nach (c) ist A überdeckungskompakt und nach (f) angewandt auf die Einschränkung f |A ist auch f (A) ein überdeckungskompakter Teilraum von Y . Nach (d)
ist f (A) abgeschlossen in Y . Damit ist f eine abgeschlossene Abbildung.
(h) Nach (g) ist f auch abgeschlossen und nach Lemma 8.(a) ist f ein Homöomorphismus.
(i) Sei U := {X\A|A ∈ A} die Menge der Komplemente der Elemente von A. Dann
ist U
Menge offener Teilmengen
von X und für jede
endliche Teilmenge A0 von A
T eine
S
T
ist A0 6= ∅ und damit auch {X\A|A ∈ A0 } = X\ A0 6= X, d.h. keine endliche
Teilmenge von U ist eine Überdeckung von X. Damit ist auch U keine Überdeckung
von X und es folgt
\
[
\
X\ A =
U $ X, d.h.
A 6= ∅.
(j) Wende (i) auf A = {An : n ∈ N} an.
(k) Wir zeigen zunächst das X × Y hausdorffsch ist wenn X und Y dies sind. Seien
also x1 , x2 ∈ X und y1 , y2 ∈ Y mit (x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 ) gegeben. Ist x1 6= x2 , so gibt es
in X offene Mengen U, V ⊆ X mit x1 ∈ U , x2 ∈ V und U ∩ V = ∅. Wir erhalten die in
X × Y offenen Mengen U × Y und V × Y mit (x1 , y1 ) ∈ U × Y , (x2 , y2 ) ∈ V × Y und
(U × Y ) ∩ (V × Y ) = ∅. Ist dagegen x1 = x2 , so haben wir y1 6= y2 und erhalten analog
zwei trennende offene Umgebungen von (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ). Dies zeigt das X × Y
hausdorffsch ist.
Nun nehme an das X und Y beide überdeckungskompakt sind. Sei U eine offene
Überdeckung von X × Y . Sei x ∈ X. Für jedes y ∈ Y gibt es dann ein W (x, y) ∈ U mit
(x, y) ∈ W (x, y) und da W (x, y) in X ×Y offen ist gibt es weiter eine in X offene Menge
U (x, y) ⊆ X und eine in Y offene Menge V (x, y) ⊆ Y mit (x, y) ∈ U (x, y) × V (x, y) ⊆
W (x, y). Insbesondere sind x ∈ U (x, y) und y ∈ V (x, y). Damit ist {V (x, y)|y ∈ Y }
eine offene
Überdeckung von Y , es gibt also eine endliche Teilmenge
S
T Yx ⊆ Y mit
Y = y∈Yx V (x, y). Wir erhalten die in X offene Menge U (x) := y∈Yx U (x, y) mit
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x ∈ U (x). Damit ist {U (x)|x ∈ X} eine
S offene Überdeckung von X und es gibt eine
endliche Teilmenge E ⊆ X mit X = x∈E U (x). Wir behaupten jetzt das die endliche
Teilmenge
U0 := {W (x, y)|x ∈ E, y ∈ Yx } ⊆ U
von U eine ÜberdeckungSvon X ×Y ist. Seien also x ∈ X und y ∈ Y gegeben.
S Dann gibt
es zunächst wegen X = z∈E U (z) ein z ∈ E mit x ∈ U (z) und wegen Y = t∈Yz V (z, t)
gibt es weiter ein t ∈ Yz mit y ∈ V (z, t). Damit haben wir
(x, y) ∈ U (z) × V (z, t) ⊆ U (z, t) × V (z, t) ⊆ W (z, t) ∈ U0
S
und X × Y = U0 ist bewiesen. Damit ist X × Y tatsächlich überdeckungskompakt.
Sind schließlich X und Y beide kompakt, so ist X × Y nach den bereits bewiesenen
Aussagen hausdorffsch und überdeckungskompakt, also kompakt.
(l) Sei x ∈ A. Wir zeigen das es dann eine in X offene Menge Ux ⊆ X mit x ∈ Ux und
Ux × Y ⊆ U gibt. Für jedes y ∈ Y ist (x, y) ∈ A × Y ⊆ U und da U in X × Y offen
ist gibt es eine in X offene Menge Vy ⊆ X und eine in Y offene Menge Wy ⊆ Y mit
(x, y) ∈ Vy × Wy ⊆ U , also insbesondere x ∈ Vy , y ∈ Wy . Damit ist {Wy |y ∈ Y } eine
offeneSÜberdeckung von Y und folglich existiert eine endliche
T Teilmenge E ⊆ Y mit
Y = y∈E Wy . Wir erhalten die in X offene Menge Ux := y∈E Vy ⊆ X mit x ∈ Ux
und
[
[
Vy × Wy ⊆ U.
Ux × Wy ⊆
Ux × Y =
y∈E
y∈E
DamitSist diese Zwischenbehauptung bewiesen und wir erhalten die in X offene Menge
V := x∈A Ux mit A ⊆ V und
[
V ×Y =
Ux × Y ⊆ U.
x∈A
(m) Sei A ⊆ X × Y in X × Y abgeschlossen. Dann ist
pr1 (A) = {x ∈ X|∃(y ∈ Y ) : (x, y) ∈ A} = {x ∈ X|A ∩ ({x} × Y ) 6= ∅}
und somit auch
U := X\ pr1 (A) = {x ∈ X|A ∩ ({x} × Y ) = ∅} = {x ∈ X|{x} × Y ⊆ (X × Y )\A}.
Insbesondere ist U × Y ⊆ (X × Y )\A und da (X × Y )\A in X × Y offen ist gibt es
nach (l) eine in X offene Menge V ⊆ X mit U ⊆ V und V × Y ⊆ (X × Y )\A. Damit
ist auch V ⊆ U und U = V ist offen in X, d.h. pr1 (A) ist abgeschlossen in X. Damit
ist pr1 : X × Y → X eine abgeschlossene Abbildung.
(n) Sei U eine offene Überdeckung von
gibt es nach (a) eine
S X. Für jedes 1 ≤ k 0≤ n S
endliche Teilmenge Uk ⊆ U mit Ak ⊆ Uk . Damit ist auch U := nk=1 Uk eine endliche
Teilmenge von U mit
n
n [
[
[
[
X=
Ak ⊆
Uk =
U0 ,
k=1
k=1
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d.h. es ist X =
S
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U0 . Damit ist X überdeckungskompakt.
Mit diesem Satz sind wir jetzt in der Lage unsere Beispiele von Quotientenräumen zu
vervollständigen. Sei wieder X := [0, 1]2 das Einheitsquadrat und % die Äquivalenzrelation die gegenüberliegende Punkte auf den beiden vertikalen Seiten miteinander identifiziert. Wir hatten bereits eine bijektive und stetige Abbildung f : X/% → S 1 × [0, 1]
konstruiert. Nun ist X kompakt und die Projektion p : X → X/% ist stetig und surjektiv, also ist X/% nach Teil (f) des obigen Satzes überdeckungskompakt. Nach Teil
(h) des Satzes ist f damit ein Homöomorphismus und wir haben X/% ' S 1 × [0, 1].
Insbesondere ist X/% auch kompakt. Natürlich kann man auch direkter einsehen das
X/% hausdorffsch ist, zum Beispiel weil f eine injektive stetige Abbildung in einem
Hausdorffraum ist, aber wie gesehen kann man diesen Zwischenschritt einsparen. Weiter hatten wir die Äquivalenzrelation %e die zusätzlich gegenüberliegende Punkte auf
den beiden waagerechten Seiten miteinander identifiziert und wir hatten bereits eine
bijektive stetige Abbildung f : X/e
% → T auf den Torus T konstruiert. Analog zur Überlegung für % ist auch diese Abbildung ein Homöomorphismus und somit wird X/e
% ' T.
Wir schauen uns jetzt auch noch das Beispiel der Graßman-Mannigfaltigkeiten an.
Satz 2.13 (Die Graßman-Mannigfaltigkeiten sind kompakt)
Sind K ∈ {R, C}, E ein endlichdimensionaler Vektorraum über K mit dim E > 1 und
1 ≤ k < dim E, so ist Gk (E) kompakt.
Beweis: Setze n := dim E. Wir zeigen zunächst das Gk (E) hausdorffsch ist. Seien also
F1 , F2 ∈ Gk (E) mit F1 6= F2 gegeben. Nach Lemma 11.(f) existiert ein Teilraum C ≤ E
mit dim C = n − k und F1 , F2 ∈ Gk (E; C) und nach Lemma 11.(c,d) ist Gk (E; C) offen
in Gk (E) und homöomorph zu L(F1 , C). Insbesondere ist Gk (E; C) hausdorffsch, es
gibt also in Gk (E; C) offene Mengen U, V ⊆ Gk (E; C) ⊆ Gk (E) mit F1 ∈ U , F2 ∈ V
und U ∩ V = ∅. Da Gk (E; C) aber offen in Gk (E) ist, sind U und V auch offen in
Gk (E). Damit ist Gk (E) hausdorffsch.
Wähle jetzt ein Skalarprodukt auf E und betrachte die Menge
S := {(u1 , . . . , uk ) ∈ E k |u1 , . . . , uk ist ein Orthonormalsystem}
= {(u1 , . . . , uk ) ∈ E k |∀(1 ≤ i, j ≤ k) : hui |uj i = δij } ⊆ Uk (E).
Dann ist S abgeschlossen und beschränkt in E k , und somit ist S kompakt. Weiter ist die
Projektion pk : Uk (E) → Gk (E) stetig und da jedes F ∈ Gk (E) eine Orthonormalbasis
besitzt, ist pk (S) = Gk (E). Nach Satz 12.(f) ist Gk (E) überdeckungskompakt und
damit insgesamt kompakt.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind im Allgemeinen nicht kompakt aber zumindest lokalkompakt im Sinne der folgenden Definition.
Definition 2.10 (Lokalkompakte Räume)
Ein topologischer Raum X heißt lokalkompakt wenn er hausdorffsch ist und jeder
Punkt x ∈ X eine kompakte Umgebung besitzt.
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Es stellt sich heraus das in einem lokalkompakten Raum nicht nur jeder Punkt eine
kompakte Umgebung besitzt, sondern das es sogar beliebig kleine kompakte Umgebungen jedes Punktes gibt. Dies ist allerdings nicht ganz offensichtlich und wird daher
zusammen mit einigen anderen wichtigen Eigenschaften lokalkompakter Räume im folgenden Satz zusammengefasst.
Satz 2.14 (Grundeigenschaften lokalkompakter Räume)
Sei X ein lokalkompakter topologischer Raum. Dann gelten:
(a) Sind x ∈ X und U eine Umgebung von x in X so existiert eine kompakte Umgebung
V von x in X mit V ⊆ U .
(b) Sind A ⊆ X kompakt und U ⊆ X offen in X mit A ⊆ U so existiert eine in X
offene Menge V ⊆ X mit A ⊆ V ⊆ V ⊆ U so, dass der Abschluß V kompakt ist.
(c) Sind A ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge von X und B ⊆ X kompakt mit
A ∩ B = ∅, so gibt es offene Mengen U, V ⊆ X in X mit A ⊆ U , B ⊆ V und
U ∩ V = ∅.
(d) Die Menge
B := {U ⊆ X|U ist offen in X und U ist kompakt}
ist eine Basis der Topologie von X.
(e) Erfüllt X das zweite Abzähbarkeitsaxiom,
so existiert eine Folge (Cn )n∈N kompakter
S∞
◦
Teilmengen von X mit X = n=0 Cn und Cn ⊆ Cn+1
für jedes n ∈ N.
Beweis: (a) Da X lokalkompakt ist existiert eine kompakte Umgebung C von x in X.
Weiter ist C\U ◦ = C ∩(X\U ◦ ) ⊆ C abgeschlossen in X, also ist C\U ◦ nach Satz 12.(c)
kompakt und wegen x ∈ U ◦ ist x ∈
/ C\U ◦ . Nach Satz 12.(e) gibt es in X offene Mengen
V, W ⊆ X mit x ∈ V , C\U ◦ ⊆ W und V ∩ W = ∅. Wir erhalten die in X offene Menge
Q := V ∩ C ◦ mit x ∈ Q und folglich ist Q eine Umgebung von x in X. Wegen Q ⊆ C
und da C nach Satz 12.(d) abgeschlossen in X ist, ist auch Q ⊆ C nach Satz 12.(c)
kompakt, d.h. Q ist eine kompakte Umgebung von x. Weiter ist wegen Q ⊆ V ⊆ X\W
auch Q ⊆ C ∩ (X\W ) ⊆ C ∩ (X\(C\U ◦ )) ⊆ U ◦ ⊆ U .
(b) Ist x ∈ A so ist U eine Umgebung von x in X also existiert nach (a) eine kompakte
Umgebung Cx ⊆ U von x inSX. Da A kompakt ist gibt es nach Satz 12.(a) eine S
endliche
◦
Teilmenge E ⊆SA mit A ⊆ x∈E Cx◦ . Wir erhalten
die
in
X
offene
Menge
V
:=
x∈E Cx
S
mit A ⊆ V ⊆ x∈E Cx . Nach Satz 12.(n) ist x∈E Cx kompakt, also nach Satz 12.(d)
S
auch abgeschlossen in X und folglich ist V ⊆ x∈E Cx ⊆ U . Schließlich ergibt Satz
12.(c) auch das V kompakt ist.
(c) Da X\A offen in X ist und B ⊆ X\A erfüllt, gibt es nach (b) eine in X offene
Menge V ⊆ X mit B ⊆ V ⊆ V ⊆ X\A. Damit ist auch U := X\V offen in X mit
A = X\(X\A) ⊆ X\V = U und U ∩ V = ∅.
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(d) Sind U ⊆ X offen und x ∈ U , so gibt es nach (a) eine kompakte Umgebung C von
x in X mit C ⊆ U und mit Satz 12.(c,d) folgt C ◦ ∈ B und wir haben x ∈ C ◦ ⊆ C ⊆ U .
Damit ist B eine Basis von X.
(e) Nach (d) und Lemma 3 gibt es eine Folge (Un )n∈N offener Teilmengen von X
so, dass Un für jedesSn ∈ N kompakt ist und {Un |n ∈ N} eine Basis von X ist.
Insbesondere ist X = ∞
n=0 Un . Setze C0 := ∅. Sei nun n ∈ N und die kompakte Menge
Cn ⊆ X sei bereits konstruiert. Nach (b) existiert eine in X offene Menge Vn ⊆ X
mit Cn ⊆ Vn so, dass Vn kompakt ist. Nach Satz 12.(n) erhalten wir die kompakte
◦
Menge Cn+1 := Vn ∪ Un . Wegen Vn ⊆ Cn+1 ist auch Cn ⊆ Vn ⊆ Cn+1
. Damit haben
◦
wir induktiv eine Folge (Cn )n∈N kompakter Teilmengen
von
X
mit
C
S∞
S∞ n ⊆ Cn+1 für
jedes S
n ∈ N konstruiert und für diese ist schließlich n=1 Cn ⊇ n=0 Un = X, also
X= ∞
n=0 Cn .
Der letzte allgemeine Begriff den wir einführen wollen ist der eines zusammenhängenden Raumes.
Definition 2.11 (Zusammenhängende topologische Räume)
Sei X ein topologischer Raum.
(a) Der Raum X heißt zusammenhängend, wenn für jede Zerlegung X = U ∪ V mit
disjunkten, offenen Mengen U, V ⊆ X stets U = ∅ oder V = ∅ ist.
(b) Der Raum X heißt wegzusammenhängend, wenn es für alle x, y ∈ X stets eine
stetige Abbildung f : [0, 1] → X mit f (0) = x und f (1) = y gibt.
Dabei trägt das Intervall [0, 1] die gewöhnliche von R induzierte Topologie. Die aus
dem metrischen Fall vertrauten Eigenschaften zusammenhängender Räume gelten auch
im Fall allgemeiner topologischer Räume.
Satz 2.15 (Grundeigenschaften zusammenhängender Räume)
Seien X, Y zwei topologische Räume.
(a) Der Raum X ist genau dann zusammenhängend, wenn jede stetige Abbildung f :
X → 2 in den zweielementigen diskreten Raum 2 = {0, 1} konstant ist.
(b) Ist A ⊆ X zusammenhängend und B ⊆ X eine Teilmenge mit A ⊆ B ⊆ A so ist
auch B zusammenhängend.
T
(c) Ist (Ci )i∈I S
eine Familie zusammenhängender Teilmengen von X mit i∈I Ci 6= ∅
und X = i∈I Ci , so ist auch X zusammenhängend.
(d) Ist X zusammenhängend und ist f : X → Y eine stetige, surjektive Abbildung, so
ist auch Y zusammenhängend.
(e) Ist der Raum X wegzusammenhängend so ist X auch zusammenhängend.
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(f ) Genau dann ist X × Y zusammenhängend wenn X = ∅ oder Y = ∅ ist oder X und
Y beide zusammenhängend sind.
(g) Sind C ⊆ X ein zusammenhängender Teilraum und A ⊆ X eine Teilmenge mit
C ∩ A 6= ∅ und C ∩ (X\A) 6= ∅, so ist auch C ∩ (∂A) 6= ∅.
Beweis: (a) ”=⇒” Sei f : X → 2 stetig. Dann sind die Mengen f −1 (0), f −1 (1) offen
in X mit f −1 (0) ∩ f −1 (1) = ∅ und f −1 (0) ∪ f −1 (1) = X, d.h. es ist f −1 (0) = ∅ oder
f −1 (1) = ∅, und f ist konstant.
”⇐=” Seien U, V ⊆ X offen mit U ∩ V = ∅ und U ∪ V = X. Dann ist die Abbildung
(
0, x ∈ U,
f : X → 2; x 7→
1, x ∈ V
nach Lemma 7.(b,g) stetig. Also ist f konstant, und dies bedeutet U = X oder V = X.
(b) Sei f : B → 2 stetig. Nach (a) ist f |A : A → 2 konstant, d.h. es existiert y ∈ {0, 1}
B
mit f (A) ⊆ {y}. Nach Lemma 5.(c) ist der Abschluß von A in B gleich A = A∩B = B
B
und somit ist nach Satz 6 auch f (B) = f (A ) ⊆ f (A) ⊆ {y} = {y}, d.h. f ist konstant.
Nach (a) ist B zusammenhängend.
T
(c) Sei f : X → 2 stetig. Wähle ein u ∈ i∈I Ci . IstSi ∈ I, so ist f |Ci nach (a) konstant,
also f (x) = f (u) für jedes x ∈ Ci . Wegen X = i∈I Ci folgt f (x) = f (u) für jedes
x ∈ X, d.h. f ist konstant. Nach (a) ist X zusammenhängend.
(d) Sei g : Y → 2 stetig. Dann ist auch g ◦ f : X → 2 stetig, also konstant nach (a).
Da f surjektiv ist, ist auch g konstant. Nach (a) ist Y zusammenhängend.
(e) Ist X = ∅ so ist die Aussage klar, wir können also X 6= ∅ annehmen und ein
x ∈ X wählen. Für jedes y ∈ X gibt es dann eine stetige Abbildung fy : [0, 1] → X
mit fy (0) = x und fy (1)
T = y. Nach (d) istSCy := fy ([0, 1]) ⊆ X zusammenhängend mit
x, y ∈ Cy . Wegen x ∈ y∈X Cy und X = y∈X Cy ist X nach (c) zusammenhängend.
(f ) ”=⇒” Ist X = ∅ oder Y = ∅ so sind wir bereits fertig, nehme also X, Y 6= ∅ an.
Dann sind pr1 : X × Y → X und pr2 : X × Y → Y stetige surjektive Abbildungen,
also sind X und Y nach (d) beide zusammenhängend.
”⇐=” Ist X = ∅ oder Y = ∅, so ist X × Y = ∅ und die Aussage ist klar. Nun nehme an
das X, Y 6= ∅ beide zusammenhängend sind. Sei f : X × Y → 2 eine stetige Abbildung.
Sei x ∈ X. Dann ist die Funktion %x : Y → X × Y ; y 7→ (x, y) stetig, also ist auch
fx = f ◦ %x : Y → 2 stetig und da Y zusammenhängend ist existiert ein g(x) ∈ {0, 1}
mit fx (y) = g(x) für alle y ∈ Y , d.h. f (x, y) = g(x) für alle y ∈ Y . Wegen Y 6= ∅ gibt
es ein y0 ∈ Y und somit sind % : X → X × Y ; x 7→ (x, y0 ) und g = f ◦ % : X → 2
stetig. Da auch X zusammenhängend ist, ist g konstant, d.h. es gibt ein k ∈ {0, 1} mit
g(x) = k für alle x ∈ X und somit auch f (x, y) = g(x) = k für alle x ∈ X, y ∈ Y .
Folglich ist f konstant. Nach (a) ist X × Y zusammenhängend.
(g) Wir zeigen die Kontraposition, nehme also C ∩ (∂A) = ∅ an, und wir behaupten
das C dann nicht zusammenhängend ist. Nach Satz 1.(f) sind die Mengen U := A◦ ∩ C
und V := (X\A) ∩ C offen in C mit C = U ∪ V und U ∩ V = ∅. Wegen C ∩ A 6= ∅
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gibt es ein x ∈ C ∩ A ⊆ C ∩ A und wegen x ∈
/ ∂A ist x ∈ A◦ also x ∈ A◦ ∩ C = U und
wir haben U 6= ∅ eingesehen. Weiter gibt es wegen C ∩ (X\A) 6= ∅ auch ein x ∈ C mit
x∈
/ A, also auch x ∈
/ A◦ und wegen x ∈
/ ∂A muss x ∈
/ A, d.h. x ∈ (X\A) ∩ C = V ,
sein, wir haben also auch V 6= ∅. Damit ist C nicht zusammenhängend.
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