3 Zahlen

3
Zahlen
Definition 3.1
A, B seien Mengen. Dann heißen A und B gleichmächtig – kurz: A glm B, wenn es eine
bijektive Abbildung von A auf B gibt:
A glm B :⇔ ∃f (f : A → B bijektiv).
3.2
glm ist eine Äquivalenzrelation.
Definition 3.3
Sei A eine Menge. Dann heißt
card(A) := {B | BglmA}
Kardinalzahl von A.
Definition 3.4
card(A) ≤ card(B) :⇔ ∃f (f : A → B injektiv)
Definition 3.5
card(A) + card(B) := card(A ∪ B 0 )
mit B 0 ∩ A = ∅ und B 0 glm B
Definition 3.6
Ist A eine endliche Menge, x ∈
/ A, dann heißt
ν(card(A)) := card(A ∪ {x}) Nachfolger von card(A)
3.7
Sei M ein System endlicher Mengen. Dann ist ≤ eine lineare Ordnungsrelation auf M.
Definition 3.8 (Dedekind)
Eine Menge A heißt unendlich, wenn es eine injektive Abbildung auf eine echte Teilmenge von
A gibt.
A heißt endlich, wenn A nicht unendlich ist.
3.9
Es gilt
N glm Z, N glm Q, card(N) < card(R).
Definition 3.10
(M, µ), eine Menge M zusammen mit einer partiellen Abbildung µ : M → M , heißt Nachfolgerstruktur (oder partielle unäre Algebra). Sind x, y ∈ M und ist µ(x) = y, dann heißt x
Vorgänger von y und y Nachfolger von x. Die partielle Abbildung µ heißt Nachfolgerabbildung.
Definition 3.11
Sei (M, µ) eine Nachfolgerstruktur, x ∈ M . Dann heißt
hxiµ := {x, µ(x), µ(µ(x)), µ(µ(µ(x))), . . . }
Erzeugnis von x (in M durch µ).
Definition 3.12
Sei (Z, ν) eine Nachfolgerstruktur. (Z, ν) heißt Zählreihe, Reihenfolge oder Reihe, wenn die
beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Es gibt eine Element a ∈ Z, das z erzeugt:
(i) ∃a ∈ Z (haiν = Z)
Es gibt ein Element z ∈ Z, das nicht im Definitionsbereich von ν liegt:
(ii) ∃z ∈ Z (z ∈
/ def (ν))
z heißt letztes, a erstes Element. Spricht man von „Zählreihe“ und „Zählen“, wird a gewöhnlich
mit 1 bezeichnet und Eins genannt. Die Elemente von Z heißen dann Zählzahlen oder einfach
Zahlen.
Definition 3.13
Eine Nachfolgerstruktur (M, µ) heißt einfach, wenn es ein Element x ∈ M gibt, das M erzeugt:
hxiµ := M .
Definition 3.14
Sei (N, ν) eine Nachfolgerstruktur, a ∈ N . (N, ν) heißt unendliche Zählreihe, Modell der
natürlichen Zahlen oder unendliche Folge, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind:
P1 ∀n ∈ N (ν(n) 6= a),
P2 ∀n, m ∈ N (n 6= m ⇒ ν(n) 6= ν(m)),
D3 haiν = N .
Spricht man von „unendlicher Zählreihe“ oder von „natürlichen Zahlen“, wird a gewöhnlich mit
1 bezeichnet und Eins genannt.
Bemerkungen über die natürlichen Zahlen N.
3.15 (Induktionssatz)
P3 Sei E ⊆ N. Wenn gilt
(j) 1 ∈ E,
(jj) ∀x ∈ N (x ∈ E ⇒ ν(x) ∈ E),
dann ist E = N.
Schema der vollständigen Induktion
∀n ∈ N (A(n))
A(1)
Beispiel: ∀n ∈ N (3|n3 + 2n)
Induktionsanfang:
3|13 + 2 · 1
Induktionssatz
1∈E
Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
A(k)
3|k 3 + 2k
k∈E
Induktionsbehauptung
A(k + 1)
3|(k + 1)3 + 2(k + 1)
k+1∈E
Induktionsschluss
A(k) ⇒ A(k + 1)
Beweis der Induktionsbehauptung unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung :
(k+1)3 +2(k+1) = k 3 +2k+3(k 2 +k+1)
Es gilt
3|k 3 + 2k (Induktionsannahme) und
3|3(k 2 + k + 1), also
3|(k 3 + 2k) + 3(k 2 + k + 1), d.h.
3|(k + 1)3 + 2(k + 1).
k ∈E ⇒k+1∈E
Definition 3.16 (Näherung)
Sei (Z, ν) eine Zählreihe. Auszählen einer Menge M ist eine (totale) Abbildung β : M → Z.
Ist q ∈ M beim Auszählen das „letzte Element“, dann heißt β(q) Anzahl der Elemente von M .
Bezeichnung: |A| := β(q).
Bemerkungen über das „letzte Element“ in M und über die Reihenstruktur (M, %), die einer
Menge M beim Auszählen ihrer Elemente aufgeprägt wird.
Definition 3.16
Sei (Z, ν) eine Zählreihe. Auszählen einer Menge M ist der Homomorphismus
β : (M, %) → (Z, ν) mit β(e) = 1,
wenn e das erste Element in (M, %) ist. Ist q ∈ M beim Auszählen das „letzte Element“, d.h.
ist q ∈
/ def (%), dann heißt β(q) Anzahl der Elemente von M .
Bezeichnung: |A| := β(q).
Bemerkungen über Zählprinzipien, speziell über das Nachfolgerprinzip und das Anfangsprinzip
(Rekursionsbedingung und Anfangsbedingung)
Definition 3.17
Seien (M, %), (K, λ) Nachfolgerstrukturen, β : M → K sei eine Abbildung. β heißt Homomorphismus der Nachfolgerstrukturen (M, %) und (K, λ), wenn gilt
(∗) β(%(x)) = λ(β(x) für alle x aus M .
Definition 3.18
Eine Menge M heißt endlich, wenn man ihre Elemente aufzählen kann, d.h. wenn es eine
partielle Abbildung % : M → M gibt derart, dass (M, %) eine Reihe ist.
Definition 3.19
Mengen A und B heißen anzahlgleich, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben:
A agl B :⇔ |A| = |B|.
3.20
agl ist eine Äquivalenzrelation.
3.21
A, B seien endliche Mengen. Dann gilt:
A aglB ⇔ A glm B
3.22
card(A) = {B | B agl A}.
4
Aus der elementaren Zahlentheorie
Definition 4.1
Seien a, b ∈ Z. a heißt Teiler von b und b Vielfaches von a, wenn gilt:
∃k ∈ Z (a · k = b).
Man schreibt „a|b“ und sagt „a teilt b“.
4.2
Für alle a, b ∈ Z gilt:
a) a|0,
b) a|a und a|−a,
c) 1|a und −1|a,
d) a|1 ⇒ a = 1 ∨ a = −1,
e) 0|a ⇒ a = 0,
f) a|b ∧ b|a ⇒ b = a ∨ b = −a.
4.3
a) | ist eine Ordnungsrelation auf N.
b) | ist eine Quasiordnung auf Z.
4.4
Für alle r, s, t, a, b ∈ Z gilt:
a) t|a ⇒ t|r · a,
b) t|a ∧ t|b ⇒ t|a + b ∧ t|a − b,
c) t|a ∧ t|b ⇒ t|r · a + s · b,
d) t|a ∧ s|b ⇒ t · s|a · b,
e) a|b ⇒ a · s|b · s,
f) t|a + b ∧ t|a ⇒ t|b.
Definition 4.5
a) Ist a ∈ Z, dann heißt Ta := {t ∈ N | t|a} Teilermenge von a.
b) p ∈ N heißt Primzahl, wenn p 6= 1 und Tp = {1, p} ist.
c) a ∈ N heißt zusammengesetzt, wenn Ta mehr als zwei Elemente besitzt.
4.6
Der kleinste Teiler (6= 1) jeder Zahl (6= 1) ist eine Primzahl.
4.7 (Hauptsatz)
Jede natürliche Zahl lässt sich in genau einer Weise als Produkt von Primzahlen darstellen.
4.8
Elemente des Euklid, Buch IX Punkt 20:
Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.
Moderne Formulierung:
Die Menge der Primzahlen ist unendlich.
Definition 4.9
Seien a, b ∈ Z. Die Elemente von Ta ∩ Tb heißen gemeinsame Teiler von a und b, das größte
darunter größter gemeinsamer Teiler:
ggT (a, b) = t mit t ≥ x für alle x ∈ Ta ∩ Tb .
Definition 4.10
Ist a ∈ N, dann heißt
Va = {x ∈ N | a|x}(= {a, 2a, 3a, . . .})
Vielfachenmenge von a
Definition 4.11
Seien a, b ∈ N. Die Elemente von Va ∩Vb heißen gemeinsame Vielfache von a und b, das kleinste
darunter kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches:
kgV (a, b) = v mit v ≤ x für alle x ∈ Va ∩ Vb .
4.12
Seien a, b ∈ N und b ≥ a. Dann gibt es q1 , q2 , . . . qn+1 ∈ N und r1 , r2 , . . . rn ∈ N mit
b
a
r1
r2
=
=
=
=
q1
q2
q3
q4
·
·
·
·
a
r1
r2
r3
+
+
+
+
r1
r2
r3
r4
=
=
qn
qn+1
·
·
rn−1
rn
+ rn
...
rn−2
rn−1
Es ist rn = ggT (a, b). Die Folge der Divisionen mit Rest heißt euklidischer Algorithmus.
4.13 (Divisionsalgorithmus)
Sind a, m ∈ N, so gibt es q, r ∈ N0 mit r < m, sodass
a=q·m+r .
4.14
ggT (a, b) · kgV (a, b) = a · b.
Definition 4.15
Seien a, b ∈ Z, m ∈ N. a und b heißen kongruent modulo m, wenn m die Differenz a − b teilt:
a ≡ b mod m :⇔ m|a − b .
4.16
Die Kongruenz modulo m ist für alle m ∈ N eine Äquivalenzrelation auf Z.
4.17
Es ist a ≡ b mod m genau dann, wenn a und b bei Division durch m denselben Rest lassen.
4.18
Die Kongruenz modulo m ist verträglich mit den arithmetischen Verknüpfungen auf Z:
Aus
und
a
c
≡ b mod m
≡ d mod m
folgt
a)
b)
c)
a+c ≡
a−c ≡
a·c ≡
b + d mod m,
b − d mod m,
b · d mod m.
Zahldarstellung, Stellenwertsysteme
Basis:
Im üblichen Dezimalsystem ist die Ziffernbasis {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Die Zeichen unseres
Dezimalsystems sind historisch entstanden.
Ein konstruiertes Beispiel: Ein Vierersystem z.B. mit der Zeichenmenge B = {l, m, n, o}.
Basen, genauer Ziffernbasen sind Mengen B beliebiger Zeichen. Die Zeichen werden zu Ziffern
durch eine Anordnung der Ziffern (die B zu einer Reihenstruktur (B, β) macht) und durch
eine Zuordnung der Ziffern zu Zahlenwerten (geanuer: durch einen Homomorphismus (s. Def.
3.17), der den Zeichen in B Zahlenwerte aus N0 - bei 0 beginnend - der Reihe nach zuordnet).
Im Beispiel: Die Anordnung der Ziffern sei z.B. durch die Reihenfolge o, l, m, n, ihre Zuordnung
zu Zahlenwerten sei z.B. durch das folgende Pfeildiagramm gegeben:
o
l
m
n
→
→
→
→
0
1
2
3
Auch die Anzahl der Ziffern in einer Basis heißt Basis.
Stellen, Stellenwert
Aus der Zuordnung von Zeichen zu Zahlen resultiert eine Zählreihe von Zahlzeichen im Vierersystem:
l, m, n, lo, ll, lm, ln, mo, ml, mm, mn, no, nl, nm, nn, loo, ....
Dabei ist lo der Zahlenwert 4, ll der Zahlenwert 5 usw. zugeordnet.
(Aus dieser Zählreihe entsteht das Rechnen im System dieser Zahlzeichen.)
Der Aufbau der Zahlzeichen im Beispiel des so festgelegten Vierersystems ist so:
Er beginnt rechts. Jedes Zahlzeichen erstreckt sich über eine feste Anzahl von Stellen, z.B.
Die Reihe der Stellen ist beliebig nach links fortsetzbar. Jede Stelle hat einen eigenen Wert,
den
Stellenwert:
Die erste Stelle, d.h. die Stelle ganz rechts, hat den Wert l = 40 , die zweite Stelle (von rechts)
den Wert lo = 41 , die dritte Stelle den Wert loo = 42 , usw.
Der Stellenwert einer Stelle in einem konkreten Zahlzeichen wird multipliziert mit dem Wert
der Ziffer, die an dieser Stelle steht.
Beispiel:
m
n
o
l
n
Der Wert dieses Zahlzeichens ist:
m · loooo + n · looo + o · loo + l · lo + n · l,
in unserem Dezimalsystem ausgedrückt:
2 · 44 + 3 · 43 + 0 · 42 + 1 · 41 + 3 · 40 = 455.
4.19 (Satz)
Jede natürliche Zahl a ∈ N lässt sich zu jeder Basis b ∈ N r {1} in genau einer Weise in der
folgenden Form darstellen:
a = an bn + an−1 bn−1 + an−2 bn−2 + . . . + a2 b2 + a1 b + a0
Dabei ist n ∈ N0 und ai ∈ N0 mit ai < b.
(Beweis durch sukzessives Aufteilen von a in Bündel zu b, der Anzahl der Bündel wieder in
Bündel zu b usw.)
Definition 4.20
Sei a ∈ N,
a = an bn + an−1 bn−1 + an−2 bn−2 + . . . + a2 b2 + a1 b + a0
die b-adische Darstellung von a. Dann heißt
Qb (a) = an + an−1 + an−2 + . . . + a2 + a1 + a0
b-adische Quersumme von a .
4.21
Sei a ∈ N. Dann ist
a ≡ Qb (a) mod b − 1.
Ist t ein Teiler von b − 1, so ist
a ≡ Qb (a) mod t.
4.22
Sei a ∈ N. Dann gilt
b − 1|a ⇔ b − 1|Qb (a).
Ist t ein Teiler von b − 1, so gilt
t|a ⇔ t|Qb (a).
4.23 (Prüfziffer nach ISBN)
Eine Buchnummer nach ISBN hat die Form abcdefghip mit Ziffern a, b, ..., p ∈ {0, 1, 2, ..., 9, X},
wobei X den Wert 10 hat. p heißt Prüfziffer und ist bestimmt durch die Kongruenz
p ≡ a + 2b + 3c + 4d + 5e + 6f + 7g + 8h + 9i mod 11.
4.24
Die Prüfziffer nach ISBN deckt jede fehlerhafte Eingabe einer Buchnummer auf, in der
a) genau eine Ziffer falsch eingegeben ist,
b) genau zwei Ziffern vertauscht wurden.
Sie deckt „die überwiegende Zahl“ fehlerhafter Eingaben auf, in der 2 Ziffern falsch eingegeben
wurden.
5
Algebraische Strukturen
Definition 5.1
Sei A eine Menge. Eine (partielle) Verknüpfung auf A ist eine (partielle) Abbildung
∗ : A × A → A.
(A, ∗) heißt (partielle) algebraische Struktur. Statt ∗(a, b) schreibt man meist a ∗ b.
Definition 5.2
Sei (A, ∗) eine (partielle) algebraische Struktur. (A, ∗) und ∗ heißen
(Ass) assoziativ, wenn gilt: ∀a, b, c ∈ A ((a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)),
(Kom) kommutativ, wenn gilt: ∀a, b, ∈ A (a ∗ b = b ∗ a).
(A, ∗) heißt Halbgruppe, wenn (A, ∗) assoziativ ist.
(A, ∗) heißt kommutative Halbgruppe, wenn (A, ∗) zusätzlich kommutativ ist.
Definition 5.3
Ist (A, ∗) eine (partielle) algebraische Struktur und gilt
(Neu) ∃e ∈ A ∀a ∈ A (a ∗ e = a = e ∗ a) ,
dann heißt e neutrales Element und (A, ∗) algebraische Struktur mit neutralem Element.
Definition 5.4
Sei (A, ∗) eine algebraische Struktur mit neutralem Element e, a ∈ A. a0 heißt invers zu a
(Inverses von a), wenn
a ∗ a0 = e = a0 ∗ a.
In (A, ∗) gilt das Gesetz der Inversenbildung, wenn gilt:
(Inv) ∀a ∈ A ∃a0 ∈ A (a ∗ a0 = e = a0 ∗ a).
Definition 5.5
Eine algebraische Struktur (G, ∗) heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften gelten:
(Abg) ∀a, b (a, b ∈ G ⇒ a ∗ b ∈ G),
(Ass) ∀a, b, c ∈ G((a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)),
(N eu) ∃e ∈ G ∀a ∈ G(e ∗ a = a = a ∗ e),
(Inv) ∀a ∈ G ∃a0 ∈ G (a ∗ a0 = e = a0 ∗ a).
(G, ∗) heißt kommutativ, wenn gilt:
(Kom) ∀a, b ∈ G (a ∗ b = b ∗ a).
Definition 5.6
Sei (G, ∗) eine Gruppe, e das neutrale Element in (G, ∗). Ist U ⊆ G, dann heißt U bzw. (U, ∗)
Untergruppe der Gruppe (G, ∗), wenn (U, ∗) selbst eine Gruppe ist, d.h. wenn gilt:
– U ist gegenüber ∗ abgeschlossen.
– e, das neutrale Element in G, liegt in U .
– Ist u ∈ U , dann ist auch u0 ∈ U .
5.7 (Verknüpfungstafelkriterien)
Sei (A, ∗) eine (endliche) algebraische Struktur. (A, ∗) ist kommutativ genau dann, wenn die
Verknüpfungstafel symmetrisch (bezüglich der „Hauptdiagonalen“) ist.
(A, ∗) ist regulär genau dann, wenn in der Verknüpfungstafel zu (A, ∗) in jeder Zeile und jeder
Spalte jedes Element höchstens einmal vorkommt.
(A, ∗) besitzt ein neutrales Element e genau dann, wenn in der Spalte unter e die Eingangsspalte und in der Zeile neben e die Eingangszeile steht.
(A, ∗) erfült (Inv) genau dann, wenn in jeder Zeile und jeder Spalte das neutrale Element
einmal vorkommt.
Definition 5.8
Sei (A, ∗) eine (partielle) algebraische Struktur. In (A, ∗) gilt das Lösbarkeitsgesetz , wenn
(Lös) ∀a, b ∈ A ∃x ∈ A (a ∗ x = b) und
∀a, b ∈ A ∃y ∈ A (y ∗ a = b).
5.9 (Verknüpfungstafelkriterium für das Lösbarkeitsgesetz)
Sei (A, ∗) eine (endliche) algebraische Struktur. Dann gilt in (A, ∗) das Lösbarkeitsgesetz
(Lös) genau dann, wenn in der Verknüpfungstafel zu (A, ∗) in jeder Zeile und jeder Spalte
jedes Element einmal vorkommt.
5.10
Sei (G, ∗) eine Halbgruppe. Dann gilt:
(Lös) ⇔ (Neu) ∧ (Inv).
5.11
Eine algebraische Struktur (G, ∗) ist eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften gelten:
(Abg) ∀a, b (a, b ∈ G ⇒ a ∗ b ∈ G),
(Ass) ∀a, b, c ∈ G((a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)),
(Lös) ∀a, b ∈ G ∃x ∈ G (a ∗ x = b) ∧
∀a, b ∈ G ∃y ∈ G (y ∗ a = b).
Definition 5.12
Eine algebraische Struktur (A, ∗) heißt regulär, wenn gilt:
∀a, b, c ∈ A (a ∗ c = b ∗ c ⇒ a = b) (Rechtsstreichungsregel)
(Reg)
und
∀a, b, c ∈ A (c ∗ a = c ∗ b ⇒ a = b) (Linksstreichungsregel).
5.13
Jede Gruppe ist regulär.
5.14
Sei (A, ∗) eine reguläre algebraische Struktur. Hat in (A, ∗) die Gleichung
a ∗ x = b bzw.
y∗a=b
eine Lösung, dann ist diese eindeutig bestimmt.
5.15
a) Sei (A, ∗) eine algebraische Struktur. Ist e neutrales Element in (A, ∗), so ist e eindeutig
bestimmt.
b) Sei (A, ∗) eine Halbgruppe, e das neutrale Element in (A, ∗) und a ∈ A. Gibt es ein Inverses
a0 in (A, ∗) zu a, so ist a0 eindeutig bestimmt.
Definition 5.16
(R, +, ·) heißt Ring, wenn gilt:
(R, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0,
(R, ·) ist eine Halbgruppe,
es gelten die Distributivgesetze:
(Dis)
(a + b) · c = a · c + b · c,
c · (a + b) = c · a + c · b.
(R, +, ·) heißt Halbring, wenn (R, +) (nur) eine kommutative Halbgruppe ist (und die weiteren
Eigenschaften eines Ringes erfüllt sind).
Definition 5.17
– Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn (R, ·) kommutativ ist.
– (R, +, ·) heißt Ring mit 1, wenn (R, ·) ein neutrales Element besitzt (das dann mit 1
bezeichnet wird).
– (R, +, ·) heißt nullteilerfrei, wenn gilt:
∀a, b ∈ R (a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0).
– Ein Ring (R, +, ·) mit 1 heißt Integritätsbereich, wenn er kommutativ und nullteilerfrei
ist.
Definition 5.18
– Ein Ring (K, +, ·) heißt Schiefkörper, wenn (K r {0}, ·) eine Gruppe ist.
– Ein Schiefkörper (K, +, ·) heißt Körper, wenn (K r {0}, ·) kommutativ ist.
Definition 5.19
(A, ∗), (B, ¦) seien algebraische Strukturen, ϕ : A → B eine Abbildung. Dann heißt ϕ Homomorphismus von (A, ∗) in (B, ¦), wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt:
(∗∗) ϕ(a1 ∗ a2 ) = ϕ(a1 ) ¦ ϕ(a2 ).
Der Homomorphismus ϕ : A → B heißt
Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist,
Epimorphismus, wenn ϕ surjektiv ist,
Endomorphismus, wenn A = B ist.
Ein bijektiver Endomorphismus heißt Automorphismus.
Ist ϕ : (A, ∗) → (B, ¦) ein Isomorphismus, so sagt man, (A, ∗) und (B, ¦) seien isomorph, und
schreibt (A, ∗) ∼
= (B, ¦)
Definition 5.20
Sei (G, ∗) eine Gruppe, g ∈ G. Dann heißt
hgi∗ = {g z | z ∈ Z}
Erzeugnis von g in G durch ∗.
(G, ∗) heißt zyklisch, wenn es ein g ∈ G gibt mit G = hgi∗ .
5.21
(A, ∗), (B, ¦) seien Halbgruppen, e ∈ A und ē ∈ B neutrale Elemente. Ist ϕ : A → B ein
Epimorphismus, dann gilt:
ϕ(e) = ē.
Definition 5.22
a)Ist (A, ∗) eine Halbgruppe, e das neutrale Element in (A, ∗), a ∈ A, dann sei
a0 := e
an+1 = an ∗ a.
an heißt n-te Potenz von a in (A, ∗).
b) Ist (M, +) eine Halbgruppe, 0 das neutrale Element in (M, +), a ∈ A, dann sei
a · 0 := e
a · (n + 1) = a · n ∗ a.
a · n heißt Vielfaches oder n-faches von a in (M, +).
5.23
Sei (A, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Dann gilt für alle a, b ∈ A, n, m ∈ N:
a) an ∗ am = an+m .
Besitzt a ∈ A ein Inverses, so ist
b) a−n = (an )0 .
Ist (A, ∗) kommutativ, so gilt
c) (a ∗ b)n = an ∗ bn .
5.24
Die Abbildung ϕk : Z → Zk mit ϕ(x) = x mod k ist ein additiver und multiplikativer Epimorphismus.
5.25
(G, ∗), (H, ¦) seien algebraische Strukturen, ϕ : G → H sei ein Epimorphismus. Dann gilt:
a) Ist (G, ∗) assoziativ, dann ist (H, ¦) assoziativ.
b) Ist (G, ∗) kommutativ, dann ist (H, ¦) kommutativ.
c) Gilt in (G, ∗) (Neu), dann gilt (Neu) in (H, ¦).
d) Gilt in (G, ∗) (Inv), dann gilt (Inv) in (H, ¦).
e) Ist (G, ∗) eine Gruppe, dann ist (H, ¦) eine Gruppe.
Definition 5.26
Sei (A, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element e, a ∈ A. Dann heißt n ∈ N Ordnung von
a, wenn gilt:
Es ist an = e und n ist die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.
Bezeichnung: o(a) = n. a heißt Element mit unendlicher Ordnung, wenn an 6= e für alle n ∈ N.
Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente. (Ist (G, ∗) eine Gruppe und a ∈ G,
dann ist o(a) = o(hai∗ ).)
5.27
Zyklische Gruppen gleicher Ordnung sind isomorph.
5.28
(G, ∗), (H, ¦) seien Gruppen, ϕ : G → H ein Isomorphismus, g ∈ G, ϕ(g) = h ∈ H. Dann
gilt:
o(h) = o(g).