Wiederholung: Teiler

Wiederholung: Teiler
Z : ax = b
I
Teilerrelation: a|b gdw. ∃x ∈
I
Primzahlen: n ∈
I
n = {ni | i ∈ } Menge aller Vielfachen von n
größter gemeinsamer Teiler ggT(a, b) = d mit
I
Z
Z
N mit genau zwei Teilern
1. d|a und d|b und
2. für jeden Teiler t mit t|a und t|b gilt t|d
I
Euklidischer Algorithmus:
1. ggT(a, a) = a
2. für a > b gilt ggT(a, b) = ggT(a − b, b)
Wiederholung: Rechnen mit Restklassen
I
Kongruenz modulo n: a ≡n b gdw. n|(a − b)
alternative Formulierung:
a ≡n b gdw. ein x ∈ mit a = nx + b existiert
Z
I
Restklassen:
[a]n = {b | a ≡n b} = {a + ni | i ∈ } = a + n
kanonischer Repräsentant: a mod n = min([a]n ∩
Z
Z
I
Menge aller Restklassen modulo n:
n = {[0]n , . . . , [n − 1]n } (meist als Menge aller
kanonischen Repräsentanten {0, . . . , n − 1})
I
Operationen modulo n:
N)
Z
[i]n + [j]n = [i + j]n
[i]n · [j]n = [i · j]n
[i]kn = [i k ]n
Notation: []n weglassen, falls klar ist, dass mit Restklassen
mod n gerechnet wird
Algebraische Strukturen
Eine algebraische Struktur (A, Ω) besteht aus
I
einer Menge A 6= ∅ (Trägermenge)
I
Operationen f ∈ Ω mit f : An → A
N
N
Z
Beispiele: ( , +, ·, 0, 1), ( , +, ·, 12, 27), (n , ·, 0),
( n , −, ·, −7), (2X , ∪, ∩, ∅, X )
Z
Halbgruppen
Definition 3.6
Eine algebraische Struktur (A, ◦) heißt genau dann
Halbgruppe, falls ◦ : A × A → A eine totale zweistellige
assoziative Funktion ist, d.h. für alle x, y , z ∈ A gilt
(x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
N
Z
N
Z
Z
Z
Q
Beispiele: ( , +), ( , ·),( , +), ( , ·), ( , ·),
(2X , ∪), (2X , ∩), ({0, 1}, min), ({0, 1}, max)
(n , +), (n , ·), ( n , +), ( n , ·)
Z
Z
Eine Halbgruppe (A, ◦) heißt genau dann kommutative
Halbgruppe, wenn ◦ kommutativ ist, d.h. für alle x, y ∈ A gilt
x ◦y =y ◦x
Monoide und Gruppen
Definition 3.7
Eine algebraische Struktur (A, ◦, e) heißt genau dann Monoid,
falls (A, ◦) eine Halbgruppe ist und für jedes x ∈ A gilt
x ◦ e = e ◦ x = x.
e heißt neutrales Element in (A, ◦).
N
Z
N
Z
Z
Z
Q
Beispiele: ( , +, 0), ( , ·, 1),(n , +, 0), ( , ·, 1), ( , ·, 1),
(2X , ∪, ∅), (2X , ∩, X ), ({0, 1}, min, 1), ({0, 1}, max, 0)
(n , +, 0), ( n , +, 0), ( n , ·, 1)
Z
Definition 3.8
Eine algebraische Struktur (A, ◦, e) heißt genau dann Gruppe,
falls (A, ◦, e) ein Monoid ist und für jedes x ∈ A ein y ∈ A
existiert, so dass gilt x ◦ y = y ◦ x = e.
x −1 = y heißt invers zu x.
Z
Z
Z
Q
Beispiele: ( , +, 0), (n , +, 0), ( n , +, 0), ( , ·, 1)
( n , ·, 1) für Primzahlen n (später)
Monoide und Gruppen (A, ◦, e) heißen genau dann kommutativ,
wenn ◦ kommutativ ist.
Z
Multiplikative Inverse
Multiplikation von Restklassen a, b ∈
Zn :
ab ≡n c
Multiplikative Inverse einer Restklasse a ∈
(analog Reziproke einer Zahl)
a−1 = b
Zn \ {0}:
mod n gdw. ab ≡n 1
Beispiele: 2−1 ≡7 4, weil 2 · 4 ≡7 1
In 4 existiert kein multiplikatives Inverses 2−1 .
Also ist ( 4 , ·, 1) keine Gruppe.
Z
Z
Fakt 3
Z
Für jede Primzahl n existiert in ( n , ·, 1) zu jeder Zahl
(Restklasse) a ∈ {1, . . . , n − 1} ein multiplikatives inverses
Element a−1 ∈ {1, . . . , n − 1}.
Zn , ·, 1) für jede Primzahl n eine Gruppe.
Also ist (
Umkehroperation zur Multiplikation
Für alle a, b, c ∈
Zn gilt:
ab−1 ≡n c gdw. a ≡n cb
Beispiel: 5 · 2−1 ≡7 6, weil 5 ≡7 6 · 2
Fakt 4
Z
Für jede Primzahl n ist in n für alle Zahlen a, b ∈
Division ab−1 ohne Rest möglich.
Zn \ {0} die
Kleiner Satz von Fermat
Satz 3.9
Für jede Primzahl n ∈
a ∈ n \ {0} gilt
Z
N und jede Zahl (Restklasse)
an−1 ≡n 1
(Damit gilt auch an ≡n a)
Folgerung 1
Für jede Primzahl n ∈
a ∈ n \ {0}1 gilt
Z
N und jede Zahl (Restklasse)
a−1 ≡n an−2
Beispiel: 6−1 ≡23 621 ≡23 4
Erweiterung (Euler): Für Produkte n = pq von Primzahlen p, q
und jede Zahl (Restklasse) a ∈ n \ {0} gilt
Z
a(p−1)(q−1) ≡n 1
und damit
a(p−1)(q−1)−1 ≡n a−1
Beispiel: Für p = 5, q = 3, a = 2 gilt 2−1 ≡15 = 27 = 8
Umkehroperation zur Multiplikation
Für alle a, b, c ∈
Z gilt:
ab−1 ≡n c gdw. a ≡n cb
Beispiele: 5 · 2−1 ≡7 6, weil 5 ≡7 6 · 2
Fakt 5
Z
Für jede Primzahl n ist in n für alle Zahlen die Division durch
jede Zahl i ∈ {1, . . . , n − 1} ohne Rest möglich.
Diskreter Logarithmus
Umkehroperation zu
ax ≡n b
gegeben : n ∈
gesucht : x ∈
N, a, b ∈ Zn
Zn mit ax ≡n c
Beispiele:
I
6x ≡11 4, x = 8
I
7x ≡25 4 hat keine Lösung