Klausur Elektrotechnik I
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Klausur Elektrotechnik I 1.Oktober 2004 Angaben & Lösungen Christian Schmid http://www.chschmid.net.tf Klausur Elektrotechnik I 10.01.2004 Klausur Elektrotechnik I — 2. Teil: Beispiele (Prof. Springer) Name: Matr. Nr.: Zeit: 90 min Kennzahl: Punktemaximum: 70 für positive Note notwendig (nicht hinreichend): 28 Punkte 1 2 3 4 5 P !! ACHTUNG !! Beachten Sie, dass nur jene Ergebnisse gewertet werden, die in den dafür vorgesehenen Feldern (soferne vorhanden) eingetragen sind! 1. Netzwerkanalyse, Ersatzstromquelle, Überlagerungssatz (10 Punkte) Für die gegeben Schaltung soll die Ersatzstromquelle bezüglich der Klemmen A-B bestimmt werden. Verwenden Sie dazu den Überlagerungssatz. Gegeben ist: I0 , U0 , R1 = 3R, R2 = R3 = R/2 und R4 = R. (a) Bestimmen Sie den Innenwiderstand RAB des Netzwerks bezüglich der Klemmen A-B. (3 Punkte) Ergebnis: RAB = (b) Bestimmen Sie jenen Anteil IK,I des Gesamtkurzschlussstroms IK , der von der Stromquelle hervorgerufen wird. (3 Punkte) Ergebnis: IK,I = (c) Bestimmen Sie jenen Anteil IK,U des Gesamtkurzschlussstroms IK , der von der Spannungsquelle hervorgerufen wird. (3 Punkte) Ergebnis: IK,U = 2 Klausur Elektrotechnik I 10.01.2004 (d) Geben Sie den resultierenden Gesamtkurzschlussstrom IK an. Ergebnis: (1 Punkt) IK = 2. Netzwerkanalyse (20 Punkte) Gegeben sei das dargestellte lineare Netzwerk (a) Wie viele linear unabhängige Knotengleichungen k und wie viele unabhängige Maschengleichungen gibt es? (2 Punkte) Ergebnis: Maschengleichungen m = Knotengleichungen = (b) Geben Sie das Gleichungssystem für die Knotenspannungsanalyse in der Form Gu = i so an, dass in G nur Koeffizienten, in u nur unbekannte Knotenspannungen und in i nur die unabhängigen Quellen im Netzwerk vorkommen. (6 Punkte) Ergebnis: (c) Geben Sie das Gleichungssystem für die Maschenstromanalyse in der Form Ri = u so an, dass in R nur Koeffizienten, in i nur unbekannte Maschenströme und in u nur die unabhängigen Quellen im Netzwerk vorkommen. (6 Punkte) 3 Klausur Elektrotechnik I 10.01.2004 Ergebnis: (d) Berechnen Sie die Knotenspannungen U10 , U20 und U30 . Ergebnis: U10 = (6 Punkte) U20 = U30 = 3. Elektrisches Feld und Potential (16 Punkte) Eine metallische Scheibe mit dem Radius R befinde sich so im kartesischen Koordinatensystem, dass die Rotationsachse der Scheibe die x-Achse sei und der Scheibenmittelpunkt im Koordinatenursprung liege. Die unendlich dünne Scheibe trage die Ladung Q, die gleichmäßig auf der Scheibe verteilt sei. y R a r α x 0 P X Q ~ (a) Bestimme Sie das elektrische Feld E(x) auf der x-Achse. Ergebnis: (8 Punkte) ~ E(x) = (b) Bestimme Sie das elektrische Potential ϕ(x) auf der x-Achse. Ergebnis: (8 Punkte) ϕ(x) = 4. Kapazität (14 Punkte) Drei Kondensatoren C1 = 2 µF, C2 = 4 µF und C3 = 6 µF werden parallel geschaltet und auf 200 V aufgeladen. Anschließend werden Sie von der Spannungsquelle getrennt und so in 4 Klausur Elektrotechnik I 10.01.2004 Reihe geschaltet, dass jeweils die positiv geladene Platte eines Kondensators mit der negativ geladenen Platte eines anderen Kondensators verbunden ist (siehe Abbildung). S3 C1 C2 S1 + C3 S2 + + (a) Welche Spannungen haben die einzelnen Kondensatoren, wenn S1 und S2 geschlossen sind und S3 offen bleibt? (4 Punkte) Ergebnis: U1 = U2 = U3 = (b) Welche Ladungen befinden sich auf den Kondensatoren, nachdem S3 geschlossen wurde? (8 Punkte) Ergebnis: Q1 = Q2 = Q3 = (c) Welche Spannungen haben dann die einzelnen Kondensatoren?(2 Punkte) Ergebnis: U1neu = U2neu = U3neu = 5. Kondensator und elektrisches Feld (10 Punkte) Der Radius r eines Drahtes steige linear mit seiner Länge l gemäß r =a+ b−a x, l wobei x der Abstand vom dünneren Ende mit dem Radius a ist. Drücken Sie den Widerstand R des Drahtes als Funktion des spezifischen Widerstandes ρ, der Länge l und der Radien a und b aus. Ergebnis: R= 5 1.Teil: Theorie 1. Wie groß ist die Kraft auf eine Ladung Q im elektrischen Potentialfeld ϕ(x, y, z)? ~ F~ = Q · E, ~ = −grad (ϕ (x, y, z)) E F~ = −Q · grad (ϕ (x, y, z)) 2. Wie lautet der Überlagerungssatz? Allgemein gilt für lineare Problemstellungen: f (λ · v + µ · u) = λ · f (v) + µ · f (u) Daher ist das Prinzip der Superposition zulässig: X Gesamtwirkung = ~ ges = E k X Einzelwirkungen ~k E I= n=1 k X Ik . n=1 Anwendung auf lineare, elektr. Netzwerke: Ein Netzwerk kann bezüglich jeder Teilursache (Strom-, Spannungsquelle) getrennt untersucht werden und am Ende erfolgt die Überlagerung der Teilwirkungen (Ströme, Spannungen). Zum Betrachten einer Teilwirkung werden alle bis auf eine Teilursache entfernt (Spannungsquellen = Kurzschluss, Stromquelle = Leitungsunterbrechung). 3. Geben Sie die Strom- und Spannungsteilerregel an. R1 U R2 U2 = U · U2 R2 R1 + R2 I I2 R1 R2 I2 = I · R1 R1 + R2 4. Geben Sie die Maxwellschen Gleichungen in Differentialform an, Benennen Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an. ~ = rot H ~ =S ~ ∇×H ~ ~ = rot E ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ~ ∇ · D = div D = ρ ~ = div B ~ =0 ∇·B h i ~ = 1V E m h i ~ . . . elektrische Flussdichte ~ = 1 As D D m2 h i ~ . . . magnetische Feldstärke ~ = 1A H H m h i V ~ . . . magnetische Flussdichte ~ =1 s B D m2 ~ . . . elektrische Feldstärke E 5. Wie groß ist die Gesamtkapazität und die Gesamtladung einer Serienschaltung von Kapazitäten? +Q -Q C1 +Q -Q +Q -Q C2 C3 u 6 +Q -Q Cn X 1 1 = Cges Ck n Qges = n · Q = Cges · u k=1 6. Was sind die Kennzeichen eines stationären elektromagnetischen Feldes? ~ ∂B = ~0 ∂t ~ ∂E = ~0 ∂t 7. Erklären Sie den Begriff Influenz. Ladungstrennung beweglicher Ladungen, Entstehung von Raumladungsdichten aufgrund eines elektrischen Feldes. Beispiel: Zwei ungeladene metallische Plättchen werden gemeinsam in das elektrische Feld eine Kondensators gebracht: - + - + -+ -+ -+ -+ E - E + + + + E E 8. Wie groß ist die in einer Induktivität L gespeicherte magnetische Energie? W = 1 2 Li 2 9. Bestimmen Sie für die gegebene Schaltung das Stromquellenersatzschaltbild. Iq Iq Ri • Ri Zur Ermittlung von Ri werden alle Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle Stromquellen als Leitungsunterbrechungen gedacht. Nun wird der Widerstand zwischen den Klemmen errechnet. Ri = R3 ||R2 = R 2 · R3 R2 + R3 • Iq Iq ist jener Strom, den die Quelle im Falle des Kurzschluss als Kurzschlussstrom treiben würde. R2 I U R1 Iq U R3 Iq = I Iq R1 R2 U R2 10. Was beschreibt die dielektrische Relaxationszeit? τd = ǫ κ Beschreibt die Zeit, in der ein Ladungsunterschied abgebaut wird; z.B. in einem Kondensator. 7 11. Wie lauten die beiden Kirchhoffschen Sätze? I n X ~ d~s = 0 Maschenregel: Uk = 0 bzw. E Knotenregel: k=1 n X Ik = 0 bzw. I ~ dA ~=0 S k=1 12. Wie groß ist der Gesamtwiderstand einer Serienschaltung und einer Parallelschaltung von n > 2 Widerständen? Serienschaltung: Rges = n X X 1 1 = Rges Rk n Rk Parallelschaltung: k=1 k=1 13. Geben Sie i = f (u) für lineare Induktivitäten und Kapazitäten an. Kapazität: du(t) i(t) = Cd dt Induktivität: 8 1 i(t) = Ld Z t t0 u(t) dt + i(t0 ) 2.Teil: Beispiele 1. Netzwerkanalyse, Ersatzstromquelle, Überlagerungssatz (a) Innenwiderstand RAB bezüglich der Klemmen A-B Spannungsquellen werden kurz geschlossen, Stromquellen werden als Leitungsunterbrechungen dargestellt: R3 A A R3 R1 R2 R4 R AB R4 R2 B B R4 (R3 + R2 ) RR = R4 + R3 + R2 2R RAB = R4 ||(R3 + R2 ) = R 2 RAB = (b) Anteil IK,I des Kurzschlussstroms IK der von der Stromquelle hervorgerufen wird. Zur Behandlung einer Teilursache werden alle anderen Teilursachen entfernt (Spannungsquellen kurz geschlossen, Stromquellen zu Leitungsunterbrechungen) R3 A I K,I I0 I K,I R1 R2 R4 B Stromteiler: IK,I = I0 R2 R/2 I0 = I0 = R3 + R2 R 2 IK,I = I0 2 (c) Anteil IK,U des Kurzschlussstroms IK der von der Spannungsquelle hervorgerufen wird. Zur Behandlung einer Teilursache werden alle anderen Teilursachen entfernt (Spannungsquellen kurz geschlossen, Stromquellen zu Leitungsunterbrechungen) R3 A U0 R1 R2 I K,I R4 B IK,U = U0 U0 = R3 + R2 R/2 + R/2 IK,U = 9 U0 R (d) Superposition der Teilergebnisse IK = IK,I + IK,U U0 I0 + 2 R IK = 2. Netzwerkanalyse (a) Wie viele linear unabhängige Knotengleichungen k und wie viele unabhängige Maschengleichungen m gibt es? (Siehe Skriptum S. 70 ff.) k=3 m=3 (b) Knotenspannungsanalyse, Darstellung in der Form G ~u = ~i Im ersten Schritt werden alle (notwendigen) Spannungsqellen durch Stromquellen ersetzt. (Spannungsquellen die einen Knoten direkt mit 0 verbinden können belassen werden, da sich dann die Knotenspannung einfach aus der Spannung der Quelle ergibt.) Die Umwandlung Strom zu Spannungsquelle und umgekehrt funktioniert wie folgt: Uq Iq Ri Ri Iq = Uq Ri Uq = Iq Ri (Ri = Ri ) Die Schaltung lässt sich umzeichnen zu: I q1 I q1 3R 3R I q2 Uq2 4R 1 I4 4R I5 2R 2 2R 4R 1 3 2 3 2R I2 6R I3 4R I6 6R I6 2R I q3 Uq3 0 0 Uq2 Uq3 Iq2 = 2R 2R Nun lässt sich ganz einfach das Gleichungssystem aufstellen. Iq3 = • In G stehen diagonal jeweils die Summe der Leitwerte jener Widerstände die an den Knoten angeschlossen sind und keinen nichtresistiven Zweipol in Serie haben. (An Knoten 1 ist von oben 3R angeschlossen, da dieser Zweig aber auch ein nichtresistives Element, nämlich Iq1 enthält, wird er nicht dazugezählt). Alle anderen Matrixplätze enthalten die rein resistiven Verbindungszweige zwischen den Knoten, allerdings mit negativen Vorzeichen. • In ~u stehen die unbekannten Knotenspannungen • In ~i stehen die in den jeweiligen Knoten zu- und abfließenden Ströme (zufließende positiv und abfließende negativ). 1 4R + 1 4R − 41R 0 1 4R − 41R + 1 2R + 0 1 2R − 21R − 21R 1 2R 10 + 1 6R u10 u20 u30 = Iq1 Uq2 +Uq3 2R U −Iq1 − 2 q2 R (c) Maschenstromanalyse, Darstellung in der Form R~i = ~u Im ersten Schritt werden alle (notwendigen) Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzt. (Stromquellen die in einem Zweig liegen, der im vollständigen Baum eine Masche schließest, müssen nicht ersetzt werden, da diese Stromquelle dann automatisch den Maschenstrom ergibt.) Durch geschickte Wahl des vollständigen Baumes muss in diesem Beispiel die Stromquellen nicht umgerechnet werden. Solche sinnvolle Bäume durch die der Rechenaufwand verringert wird wären zum Beispiel: Hier wird der erste vollständige Baum gewählt. Durch Schließen des vollständigen Baumes über die nicht im Baum enthaltenen Zweige erhält man 3 voneinander linear unabhängige Maschen(gleichungen). I q1 3R i1 4R 4R Uq2 2R 2R i2 6R i3 Uq3 Nun lässt sich ganz einfach das Gleichungssystem aufstellen. • In R stehen diagonal jeweils die Summe aller an der Masche beteiligten Widerstände. In den anderen Elementen stehen die Verbindungswiderstände zwischen den Maschen. Werden sie von den beiden Maschenströmen gleichsinnig durchlaufen postiv, sonst negativ. • In ~i stehen die unbekannten Maschenströme. • In ~u stehen die in der Masche vorkommenden Spannunsquellen (Spannung gegen Maschenstromrichtung → positiv; Spannung in Maschenstromrichtung → negativ (Erzeugerzählpfeilsystem)). 1 −4R −2R 0 0 4R + 2R + 4R −2R i1 Iq1 i2 = Uq3 2R + 2R + 6R i3 Uq2 − Uq3 −2R Hinweis: In der ersten Zeile wurde die Eigenschaft des gewählten Baumes ausgenutzt, dass Iq1 gleich dem Maschenstrom i1 ist. (d) Berechnung der Knotenspannungen u10 , u20 und u30 . Vereinfachung der Admittanzmatrix G und Multiplikation mit R: 1 1 − 0 u I R 10 q1 4 2 1 Uq2 +Uq3 5 1 = −4 − u 20 4 2 2 U q2 1 0 − 12 −I R − u 30 q1 3 2 Addition des zweifachen der 2te Zeile auf die erste Zeile: 9 − u20 − u30 = Iq1 R + Uq2 + Uq3 4 Addition dieser Gleichung mit einem Vielfachen der letzen Zeile ergibt: 1 1 2 u20 = − Iq1 R + Uq2 + Uq3 3 6 3 11 Durch Rückrechnen: 7 5 1 u30 = − Iq1 R − Uq2 + Uq3 4 8 2 u10 = 11 1 1 Iq1 R + Uq2 + Uq3 6 12 3 3. Elektrisches Feld und Potential (a) Elektrisches Feld Die Scheibe kann in infinitesimal kleine Flächenstücke zerlegt werden. Jedes Flächenelement besitzt eine ~ dA im Punkt P = [x, 0, 0]T erzeugt. Die gesamte im Punkt P Flächenladungsdichte λ welche ein Feld E wirkende Feldstärke lässt sich aus der Überlagerung (Summation) aller Einzelwirkungen errechnen. Y dφ r dr a Z α x P R EdA X Aufgrund der Symmetrie wird das Feld nur in X-Richtung wirken, da sich die Felder in Y und Z-Richtung ~ dA eines Flächenelements der Höhe dr und der Breite aufheben. Für die Normalkomponente dE des Feldes E dϕ gilt: λ r dϕ dr x dQ λ r dϕ dr x cos(α) = ·√ dE = = 3 2 2 4 π ǫ0 a2 4 π ǫ0 (r2 + x2 ) x +r 4 π ǫ0 (r2 + x2 ) 2 x x dQ = λ dA = λ r dϕ dr cos(α) = = √ 2 a x + r2 Die Normalkomponente des Feldes an der Stelle P ergibt sich durch Integration über die gesamte Scheibenfläche: Z R Z 2π Z R λrx λrx 2π E= dr 3 dϕ dr = 3 [ϕ]0 2 2 2 2 2 2 4 π ǫ0 (r + x ) 0 0 0 4 π ǫ0 (r + x ) Z R Z 2π λ r x λx R r E= dr = dr 3 2 2 2 2 ǫ0 0 (r + x2 ) 32 0 4 π ǫ0 (r + x ) 2 Substitution: u = r2 + x2 E= λx 2 ǫ0 Z u(R) u(0) du du = 2r dr = dr 2r ¸u(R) · · ¸R Z u(R) λx r du λx 1 λ x −2 −1 √ √ = du = = 3 4 ǫ0 u(0) u 23 4 ǫ0 2 ǫ0 u u(0) r2 + x2 0 u 2 2r · ¸R · ¸ 1 λx −1 λx −1 √ √ + = E= 2 ǫ0 2 ǫ0 x R2 + x2 r2 + x2 0 Mit λ= Q R2 π · ¸ 1 Q x ~ √ E(x) = 0 · 1 − 2 π ǫ0 R2 R2 + x2 0 12 (b) Potential Z x ϕ(x) = − E(x) dx + ϕ0 = 0 R Auswerten des Integrals √R2x+x2 dx: Z 0 x · ¸ x Q √ 1− dx + ϕ0 2 π ǫ0 R2 R2 + x2 du du = 2x dx = u = R2 + x2 dx 2x Z p x du √ √ · = u + c = R2 + x2 + c u 2x . . . führt zu . . . i0 h p Q 2 + x2 R + ϕ0 x − 2 π ǫ0 R2 x hp i Q ϕ(x) = R2 + x2 − (R + x) + ϕ0 2 2 π ǫ0 R ϕ(x) = 4. Kapazitäten (a) S1 und S2 geschlossen Werden die beiden Schalter geschlossen ergibt sich kein geschlossener Stromkreis. Es fließt also kein Strom. Die Ladungen der Kondensatoren bleiben gleich. Somit verändern sich auch die Spannungen nicht. U1 = 200V U2 = 200V U3 = 200V (b) Wird zusätzlich der Schalter S3 geschlossen, so besteht ein geschlossener Stromkreis und ein Strom kann fließen. Durch alle drei Kondensatoren fließt somit der selbe Konvektionsstrom der für die Ladevorgänge R verantwortlich ist. Da Q = i(t)dt folgt, dass in jedem Kondensator die selbe Ladung ∆Q entnommen wird. Weiters muss die Maschenregel gelten, die Spannungen an allen Kondensatoren ergeben in Summe 0. UC1 + UC2 + UC3 = 0 QC1 − ∆Q QC2 − ∆Q QC2 − ∆Q + + =0 C1 C2 C2 ⇒ Kennt man die Ausgangsladungen QC1 = C1 U1 = 0.4 mC QC2 = C2 U2 = 0.8 mC QC3 = C3 U3 = 1.2 mC kann man den Ladungsunterschied ∆Q = QC1 C2 C3 + QC2 C1 C3 + QC3 C1 C2 = 654.545 µC C1 C2 + C2 C3 + C1 C3 und daraus folgend die Ladung nach Schließen des Schalters im eingeschwungenem Zustand berechnen: Q1neu = QC1 − ∆Q = −254.545 µC Q2neu = QC2 − ∆Q = 145.455 µC Q3neu = QC3 − ∆Q = 545.455 µC (c) Spannungen: U1neu = Q1neu = −127.273 V C1 U2neu = Q2neu = 36.363 V C2 U3neu = Q3neu = 90.909 V C3 5. Widerstand Sehr einfach lässt sich der Widerstand berechnen indem man die Leitung in unendlich viele infinitesimal kleine Teilabschnitte dx zerlegt und davon den Widerstand berechnet. Diese infinitesimalen Widerstände in Serie ergeben den Gesamtwiderstand der Leitung. dx r(x) Länge l 13 ρ dx ρ dx = A r(x)2 π Z dx dx ρ l = ¡ ¢2 2 b−a π 0 (a + k x) a+ l x dR = R= Z 0 l dR = ρ π Z 0 l Substitution mit u = a + k x führt auf k= b−a l du du =k dx = dx k · ¸k(l) · ¸l Z k(l) ρ du ρ −1 −1 ρ R= = = π k(0) u2 k π u k k(0) π (a + k x) k 0 " # " # ρ −1 1 ρ −1 1 R= + = + b−a b−a b−a π (a + b−a π b b−a (a + b−a a l l l) l l 0) l l R= 14 ρ l · π ab
