6. Die Gruppe der Euklidischen Kongruenztransformationen

6. Die Gruppe der Euklidischen Kongruenztransformationen
Eine Fahne in der euklidischen Ebene besteht aus
→
−
→
−
einem Tripel (P, g , H), wobei P ein Punkt, g eine
Halbgerade mit Anfangspunkt P , und H eine Halbebene mit Rand g ist.
→
−
Die Lage eines Punktes Q zu einer Fahne (P, g , H)
kann man durch folgende Informationen eindeutig
festlegen: (i) den Abstand von Q zur Geraden g, welcher von Q zu seinem Fußpunkt F gemessen wird;
(ii) Den Abstand des Fußpunktes F vom Punkt P ,
→
−
(iii) die Information, ob F in g liegt, und ob Q in H
liegt.
Die euklidischen Kongruenztansformationen sind
diejenigen Abbildungen der euklidischen Ebene auf
sich, die Abstände von Punkten unverändert lassen. Weil die Winkel eines Dreiecks durch die Seitenlängen bestimmt sind, lassen euklidische Kongruenztransformationen Winkel ebenfalls unverändert.
Eine solche Abbildung heißt gleichsinnig (oder Bewegung) bzw. gegensinnig, wenn der Umlaufsinn von
Kreisen gleichbleibt bzw. sich ändert.
Offenbar ist durch die Angabe einer Fahne und ihres Bildes eine euklidische Kongruenztransformation
eindeutig bestimmt, weil man das Bild eines Punktes
aus der Bild-Fahne rekonstruieren kann.
→
−
→
−
Lemma 1. Für zwei Halbgerade g , h mit gemeinsamem Anfangspunkt gibt es genau eine Gerade w,
→
−
→
−
sodaß die Spiegelung an w g in h überführt.
Das folgt sofort aus Abschnitt 5. Diese Spiegelachse
−
→
− →
heißt die Winkelsymmetrale von g , h.
Satz 1. Jede euklidische Kongruenztransformation
ist das Produkt von höchstens drei Spiegelungen.
Geometrie für den Mathematikunterricht PS
→
−
Beweis. Wir zeigen, daß wir zwei Fahnen (P, g , H)
→
−
und (P 0 , g 0 , H 0 ) durch höchstens drei Spiegelungen
ineinander überführen können. Falls nicht P = P 0 ,
spiegeln wir an der Streckensymmetralen sP,P 0 Da→
−
→
−
bei geht g 0 in g 00 über. Falls notwendig, spiegeln
→
−
→
−
wir nun an der Winkelsymmetralen von g 0 und g 00 .
Punkt und Halbgerade sind nun schon dort, wo sie
sein sollen. Falls notwendig, spiegeln wir noch einmal an g 0 , um auch H in die richtige Position zu
bringen.
Offenbar ist eine Spiegelung eine gegensinnige Kongruenztransformation, und es gilt
Satz 2. Ein Produkt von Spiegelungen ist gleichsinnig genau dann, wenn die Anzahl der Spiegelungen
gerade ist.
Satz 3. Jede Bewegung ist das Produkt von zwei
Spiegelungen. Sie ist entweder die identische Abbildung, eine Drehung um ein Zentrum, oder eine Parallelverschiebung.
Beweis. Jede euklidische Kongruenztransformation
ist ein Produkt von 0, 1, 2, oder 3 Spiegelungen. Für
Bewegungen bleiben nur die Fälle 0 und 2 übrig. Den
Fall 0 (die identische Abbildung) kann man auch
durch zweimaliges Hintereinanderausführen derselben Spiegelung erzeugen.
Daß die Produkte von zwei Spiegelungen entweder
Drehungen oder Parallelverschiebungen sind, folgt
aus Abschnitt 5.
Man findet das Drehzentrum einer Bewegung durch
Ausnützen der Eigenschaft, daß es von Ur- und Bildpunkten gleich weit entfernt liegt.
J. Wallner - W. Rath
Unterlagen — WS 2004/2005
7. Winkel im Kreis — einige Anwendungen
Der Peripheriewinkelsatz und seine Verwandten haben viele ‘Anwendungen’ in dem Sinne, daß sie sehr
nützlich sind beim Beweis von elementargeometrischen Tatsachen. Hier sind zwei einfache Beispiele.
7.1 Das Erzeugnis von rotierenden Geraden
Rollt ein Kreis k im Inneren eines doppelt so großen
Kreises k0 ab, so sind die Bahnkurven der Punkte von k Durchmesserstrecken von k0 . Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Figur folgt das aus
−−−−→
folgendem Argument: Die Halbgerade M0 P trifft k0
0
im Punkt P . Nach dem Peripheriewinkelsatz ist
→
−
→
−
→
−
^(P0 M P 0 ) = 2^(P0 M0 P 0 ) = 2^(P0 M0 P ). Die Bo-
_
genlänge P0 P auf k ist daher gleich der Bogenlänge
Gegeben seien zwei Punkte P , Q, eine Gerade g
durch P und eine Gerade h durch Q. Drehen wir
beide Gerade um den gleichen orientierten Winkel α
um P bzw. um Q, entstehen die Geraden gα bzw.
hα . Die Menge aller Schnittpunkte gα ∩ hα bilden
einen Kreis.
Das folgt aus der Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes.
7.2 Die Ellipsenbewegung
Geometrie für den Mathematikunterricht PS
_0
P0 P auf k0 .
Dies zeigt einerseits, daß P beim Abrollen schließlich
nach P 0 gelangen wird, und andereseits, daß derjenige Punkt von k, der schließlich nach P 0 gelangen
wird, genau an der Stelle P ist. Nachdem die genaue Position von k und P0 in dieser Formulierung
nicht eingeht, heißt das, daß alle Zwischenpositionen
von P während des Rollvorganges auf der Geraden
M0 P = M0 P 0 liegen.
Von der Ellipsenbewegung gibt es ein bewegliches,
für den Overhead-Projektor geeignetes Modell.
J. Wallner - W. Rath
Unterlagen — WS 2004/2005
8. Inkommensurable Strecken — der goldene Schnitt und das reguläre Fünfeck
Eine positive reelle Zahl s besitzt eine Darstellung
als Kettenbruch, die rekursiv folgendermaßen definiert ist: Ist die Zahl ganz, sind wir fertig. Ansonsten ist s = n + r mit n ∈ Z und einem Rest r mit
0 < r < 1. Wir setzen s0 = 1/r:
s = n + 1/s0 .
(1)
Ist s0 ganzzahlig, so sind wir fertig, ansonsten wenden wir denselben Schritt auf s0 an, und so weiter.
Zum Beispiel lautet die Kettenbruchentwicklung von
2.7 wie folgt:
2.7 = 2 + 0.7 = 2 +
(2)
=2+
1
3
1+
7
1
10/7
=2+
1
1
1+
7/3
1
=2+
1+
1
1
2+
3
Für rationale Zahlen p/q lautet der Algorithmus wie
folgt: q ist in p n mal enthalten, mit p0 Rest, es ist
also p/q = n + p0 /q mit p0 < q. Wir schreiben
(3)
und wenden auf den Bruch q/p0 dasselbe Verfahren
an. Für rationale Zahlen endet der Algorithmus irgendwann, denn von den beiden beteiligten Zahlen
wird in jedem Schritt der Zähler kleiner und wandert
in den Nenner. Umgekehrt ist ein endlicher Kettenbruch natürlich eine rationale Zahl.
von Pythagoras im 6. Jahrhundert v. Chr. gegründete philosophische
Schule strebte unter anderem nach einer Erklärung der Geometrie, Musik
und Arithmetik im besondern, und einer Antwort auf die große Frage betreffnd das Leben, das Universum, und
den ganzen Rest im allgemeinen, in
ganzen Zahlen.
Geometrie für den Mathematikunterricht PS
d0
AC
E0C
AD0
1
=
=1+
=1+
=1+
0
0
0
a0
AE
AE
AE
AE 0
AD0
1
1
1
(4) = 1 +
=1+
a1 = 1 +
1
D0 E 0
1
+
1+
1+
d1
d
/a
0
1
1
AD
Wir sind also wieder bei demselben Verhältnis angelangt, von dem aus wir gestartet sind. Die Kettenbruchentwicklung bricht nie ab. Setzen wir fort, so
erhalten wir
1
p/q = n +
q/p0
1 Diese
Die Entdeckung der irrationalen Zahlen wird den
Pythagoreern zugeschrieben1 und basiert auf einem elementar-geometrischen Streckenverhältnis ohne endlichen Kettenbruch. Ein solches ist das Verhältnis Diagonale—Seitenlänge in einem regulären
Fünfeck ABCD (siehe Figur). Wir zeichnen die Diagonalen — jede Diagonale ist aus Symmetriegründen
parallel zu einer Seite — und erhalten ein kleineres
Fünfeck A0 B 0 C 0 D0 E 0 , wobei immer gegenüberliegende Punkte denselben Buchstaben erhalten. Wegen
des Parallelogramms AEDE 0 ist AE 0 gleich der Seitenlänge a0 = ED, und wegen des Parallelogramms
AC 0 A0 D0 ist AD0 gleich der Diagonale d1 = A0 C 0 im
kleinen Fünfeck. Da das Verhältnis Seite zu Diagonale sowohl für das kleine (a1 /d1 ) als auch das große
Fünfeck (a0 /d0 ) dasselbe ist, haben wir
(5)
1
d0 /a0 = 1 +
1
1+
1+
1
1+
1
...
Dieses Verhältnis heißt der goldene Schnitt.
Im 5. Jahrhundert v. Chr. wurde entdeckt, daß in einigen einfachen geometrischen Figuren Verhältnisse von
Streckenlängen auftreten, die nicht
Vehältnisse von ganzen Zahlen sind.
Diese Entdeckung hatte fatale Folgen
für den naiven Standpunkt, daß das
gesamte Universum durch ganze Zahlen beschrieben wird. Zumindest für
J. Wallner - W. Rath
die Pythagoreer, die das Quadrat und
das reguläre Fünfeck für Teile der realen Welt hielten. Nach einigen Quellen
wurde der Entdecker dieser furchtbaren Tatsache, Hippasus, nicht nur aus
der Bruderschaft der Pythagoreer ausgeschlossen, sondern auch ertränkt.
Unterlagen — WS 2004/2005
9. Konstruieren auf der Zahlengeraden
Der Strahlensatz
Multiplikation
Satz 1. Sind g, h zwei Gerade, und l1 , l2 , . . . eine
Schar von Parallelen, die g und h schneiden, so gibt
es eine reelle Zahl α, sodaß für die orientierten Entfernungen der Schnittpunkte die Relationen
Wir multiplizieren die Punkte (a, 0) und (b, 0) wie
folgt (siehe Figur):
(1)
−−−−−−−−−−−→
−
−−−−−−−−−−−
→
g ∩ l i g ∩ lj = α · h ∩ l i h ∩ lj
gelten.
Wir nehmen die Gültigkeit dieses Satzes an und versuchen keinen Beweis, was in diesem Rahmen auch
nicht sinnvoll wäre1
Wir beschreiben die Punkte der Ebenen durch ein
kartesisches oder schiefwinkeliges (affines) Koordinatensystem. Die Punkte der x-Achse haben Koordinaten (a, 0), und die Punkte der y-Achse Koordinaten
(0, b). Wir verwenden die x-Achse als Zahlengerade und identifizieren ihre Punkte mit der Menge der
reellen Zahlen. Wir wollen ausgehend von den Punkten (a, 0) und (b, 0) die Punkte (a + b, 0) und (ab, 0)
konstruieren.
Addition
Wir verwenden horizontale Gerade (Parallele zur xAchse), vertikale Gerade (Parallele zur y-Achse), und
eine dritte Parallelschar von Geraden, die hier transversale Gerade heißen sollen. Für unsere Figuren
wählen wir die transversalen Geraden mit einer Steigung von −1.
Wir addieren die Punkte (a, 0) und (b, 0), indem
wir eine Transversale durch (a, 0) mit der Vertikalen durch (0, 0) schneiden — dies ergibt (0, a). Die
Vertikale durch (b, 0) schneidet die Horizontale durch
(0, a) in (b, a). Die Transversale durch (b, a) schneidet die x-Achse in (a + b, 0) (siehe Figur).
1 Ein
Beweis im Rahmen der linearen
Algebra ist ein Übungsbeispiel.
Geometrie für den Mathematikunterricht PS
(2)
(3)
(1, 0)(0, 1) k (b, 0)(0, b)
(a, 0)(0, 1) k (ab, 0)(0, b)
Das folgt aus dem Strahlensatz. Es ist dabei nicht
notwendig, daß die Punkte (0, 1) und (1, 0) denselben Abstand vom Ursprung haben. Die Konstruktion funktioniert genauso, wenn die Skalen auf der
x- und der y-Achse verschieden sind. Außerdem ist
es nicht notwendig, daß x- und y-Achse aufeinander
orthogonal stehen.
Der Höhensatz
Um die Quadratwurzel aus einer Zahl zu ziehen, erinnern wir uns an den Höhensatz im rechtwinkeligen
Dreieck (siehe Figur):
(4)
h2 = pq
Der Höhensatz folgt daraus, daß Dreiecke mit denselben Winkeln dieselben Seitenverhältnisse besitzen
(siehe Figur). Offenbar ist p : h = h : q, woraus die
Aussage folgt.
Das Ziehen der Quadratwurzel
√
Wählt man p = 1, ist h = q und man kann die
Quadratwurzel aus einer Strecke ziehen (siehe Figur). Man beachte, daß man für die Konstruktion von Summe und Produkt nur die Operationen
Verbindungsgerade, Schnittpunkt, Parallelverschieben benötigt. Zum Quadratwurzelziehen benötigt
man die Orthogonalität und einen Zirkel.
Für einen Beweis im Rahmen eines Axiomensystems der euklidischen
J. Wallner - W. Rath
Geometrie siehe etwa D. Hilbert:
Grundlagen der Geometrie, 1899.
Unterlagen — WS 2004/2005
10. Rechengesetze und geometrische Konfigurationen
Die Rechengesetze, die für die Addition und die
Multiplikation von reellen Zahlen gelten, können
durch das konstruktive Addieren und Multiplizieren
von Punkten auf der Zahlengeraden in geometrische
Schließungssätze umgewandelt werden.
Satz 1. (Satz von Pappos, affine Variante) Liegen
drei Punkte P1 , P3 , P5 auf einer Geraden, und drei
Punkte P2 , P4 , P6 ebenfalls auf einer Geraden (der
y-Achse), sodaß
Die untenstehenden Figuren zeigen der Reihe nach
die Relationen
dann ist auch
(1)
a+b=b+a
a·b=b·a
(a · b) · c = a · (b · c)
Je nachdem, welche Konstruktion man wählt, um
die Summe bzw. das Produkt zu ermitteln, ergeben
sich verschiedene Schließungssätze. Meist läßt man
auch Gerade, die nur ‘Anhängsel’ sind, weg. Ein besonders prominenter und einfacher Satz ergibt sich
aus der Relation ab = ba und lautet wie folgt:
Geometrie für den Mathematikunterricht PS
(2)
P1 P2 k P4 P5 , P2 P3 k P5 P6 ,
(3)
P3 P4 k P6 P1 .
Beweis. Wir verwenden die beiden Geraden als xund y-Achse eines affinen (schiefwinkeligen) Koordinatensystems, und bezeichnen die Punkte mit P1 =
(a, 0), P3 = (b, 0), P2 = (0, 1), P4 = (0, b). Wegen der Parallelitäten ist dann P6 = (0, a) und
P5 = (ab, 0). Die letzte Parallelität folgt aus dem
Strahlensatz bzw. aus der Kommutativität der Multiplikation.
J. Wallner - W. Rath
Unterlagen — WS 2004/2005