Hausaufgaben - Mathe mit Karsten

Vorlesung: Allgemeine Topologie, Universität Rostock, Sommersemester 2012
Karsten Evers
Hausaufgaben
10. und 11. Serie
Stone-Čech-Kompaktifizierung, extrem dichte Teilmengen,
Satz von Hales und Jewett, Satz von van der Waerden
1. Folgere aus Satz 4.9.2. der Vorlesung, dass β (X) = β X gilt.
Bemerkung: Im Beweis zu Satz 4.9.2 wird β X zwar so definiert, es ergibt sich aber auch direkt aus der
universellen Eigenschaft.
Satz 4.9.2: Für jeden topologischen Raum (X, τ) existiert ein kompakter Hausdorff-Raum (β X, σ ) und
eine stetige Abbildung β : X → β X, so dass für jeden kompakten Hausdorff-Raum (K, ρ) und jede stetige
Abbildung f : X → K eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung f : β X → X existiert, mit f ◦ β = f .
2.
a) Auf einer unendlichen Menge X gibt es genau |P(P(X))|-viele, untereinander nicht homöomorphe, Topologien. (Hinweis: Ist φ ein Filter, so ist φ ∪ {0}
/ eine Topologie.)
Bemerkung: Für endliche Mengen X ist die Frage nach der Anzahl aller (untereinander nicht homöomorphen) Topologien auf X bis heute ungeklärt.
b) Für jede unendliche Menge X existiert eine Familie C ⊆ P(X), mit |C | = |P(X)| und der Eigenschaft, dass |C1 ∩ ... ∩Cm ∩ (X \Cm+1 ) ∩ ... ∩ (X \Cn )| = |X| für paarweise verschiedene Elemente
C1 , ...,Cm , Cm+1 , ...,Cn aus C mit 0 ≤ m ≤ n gilt.
3. Wir betrachten das dynamische System (β N, S). Zeige ϕ ∈ N ist genau dann uniform rekurrent, wenn zu
jedem φ ∈ β N ein ψ ∈ β N existiert, mit ϕ = ϕ + φ + ψ, was genau dann der Fall ist, wenn ϕ in einem
minimalen (abgeschlossenen) Rechtsideal ist.
4. Sei (X, +) eine kompakte links topologische Semigruppe und I ein Ideal (also ein sowohl links, als auch
rechtsseitiges Ideal). Dann gilt MX := {R ⊆ X | R ist minimales Rechtsideal von X} ⊆ I.
5. Sei A eine nicht leere Menge. Wir fassen A als AlphabetSauf. Sei W die Menge aller endlichen Wörter
aus A (also endliche Zeichenketten
aus A, formal W := n∈N An ). Sei v 6∈ A. Wir fassen v als Variable
S
auf und nennen V := n∈N (A ∪ {v})n die Menge aller variablen Wörter über A. Für jedes u ∈ W bilden
wir nun den Einsetzungshomomorphismus Su : V → W , wobei wir in jedem Wort aus V jedes erscheinen
der Variable v durch das Wort u ersetzen. Haben wir zwei Wörter x, y aus V gegeben, so bezeichne
x + y die Zusammensetzung der Wörter. Offenbar ist (V, +) eine Semigruppe und (W, +), (V \W, +) sind
Untersemigruppen. Wir statten V , V \ W und W mit der diskreten Topologie aus und betrachten wieder
βV , βV \W und βW . Nun ist W eine Teilmenge von V , aber βW formal gesehen (zumindest in der Form
aus Satz 5.2.1) keine Teilmenge von βV . Wir identifizieren aber einfach die Ultrafilter auf W (also die
Elemente aus βW ) mit den Ultrafiltern auf V (also Elementen aus βV ), die W als Element enthalten. Also
βW 3 ϕ 7→ ϕW := {P ⊆ V | ∃ Q ∈ ϕ mit Q ⊆ P} ∈ βV . Genauso verfahren wir mit anderen Teilmengen
von V , insbesondere mit V \W . Damit können wir dann so tun, als sei βW eine Teilmenge von βV . Genau
wie bei β N erweitern wir + auf βV .
φ + ψ := {P ⊆ V | {y ∈ V | P − y ∈ φ } ∈ ψ} wobei P − y := {x ∈ V | x + y ∈ P}
(∗)
Lemma 5.4.3 bleibt damit bis auf die Aussage unter 1. auch für βV gültig. 1. ist falsch, da die Semigruppe
V (im Gegensatz zu N) nicht kommutativ ist. Für φ , ψ ∈ βW gilt außerdem (φ + ψ)W = φW + ψW (analog
für V \ W ) und wir können βW als kompakte links topologische Untersemigruppe von βV auffassen
(analog mit βV \W ).
1. Beweise direkt an der Definition (∗), dass βV \W ein links- und rechtsseitiges Ideal in βV ist.
2. Ist f : V → W ein Homomorphismus, so ist auch β f : βV → βW (siehe Lemma 4.9.3) ein Homomorphismus. Insbesondere gilt dies somit für β Su . Außerdem gilt β Su |βW = idβW .
Hinweis: Beweise die Aussage direkt durch Nachrechnen der Homomorphismuseigenschaft an der
Definition (∗) und verwende Bemerkung 5.3.2.
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Vorlesung: Allgemeine Topologie, Universität Rostock, Sommersemester 2012
Karsten Evers
3. Wähle minimales rechtsseitiges Ideal I in βW (warum geht das?). Zeige es gibt ein ϕ ∈ I mit
ϕ = ϕ + ϕ. Außerdem gilt dann I = ϕ + βW .
4. Wähle minimales Rechtsideal J unterhalb von ϕ + βV (warum geht das?). Zeige es gibt ein ψ ∈ J
mit ψ = ψ + ψ. Zeige außerdem, dass J = ψ + βV und ϕ + ψ = ψ gilt.
5. Setze ν := ψ + ϕ ∈ ψ + βV = J. Zeige ϕ + ν = ν + ϕ = ν und ν = ν + ν. Außerdem ist ν Element
jedes beidseitigen Ideals in βV (insbesondere in βV \W ).
6. Sei u ∈ W . Setze ξ := β Su (ν) ∈ βW . Zeige ϕ + ξ = ξ + ϕ = ξ , ξ = ξ + ξ und ξ + I = I.
7. Zeige ξ = ϕ.
Der Satz von Hales und Jewett
8. Sei W = W1 ∪ ... ∪Wn und sei 0/ 6= U eine endliche Teilmenge von W dann gibt es ein variables
Wort x (also x ∈ V ) und es gibt ein k ∈ {1, ..., n} mit Su (x) ∈ Wk für alle u ∈ U.
9. ∀ k, n ∈ N ∃ r = HJ(k, n) ∈ N derart, dass zu jeder Färbung des Hyperwürfels [k]r mit n Farben eine monochromatische kombinatorische Linie existiert. Insbesondere: Tic Tac Toe mit
beliebig vielen Spielern (=
ˆ n), auf beliebig vielen Spielebenen (=
ˆ k) in entsprechend großer
Dimension (=
ˆ HJ(k, n)) gespielt, endet immer mit dem Sieg von einem Spieler! (Hinweis:
Kompaktheitsschluss aus 8.)
Unter dem Hyperwürfel [k]r verstehen wir [k]r := {0, ..., k − 1}r und speziell für k = 0 haben
wir [0]r := 0.
/ Eine kombinatorische Linie im Hyperwürfel [k]r ist die Menge von Wörtern die
wir erhalten, wenn wir in einem Element x(v) ∈ {0, ..., k − 1, v}r , wobei die Variable v auch
tatsächlich mindestens einmal auftritt, für v nacheinander 0, ..., k − 1 einsetzen.
Die Zahlen HJ(k, n) heißen Hales-Jewett Zahlen.
6. Der Satz von van der Waerden
1. Sei N = N1 ∪ ... ∪ Nk . Dann gibt es ein l ∈ {1, ...k} derart, dass Nl beliebig lange arithmetische
Progressionen enthält. Eine arithmetische Progression der Länge m ist hier eine Folge der Art
{a, a + d, ..., a + (m − 1)d} mit d, m > 0. Hinweis: Fasse N als Menge von Wörtern über einem
geeignetem Alphabet auf und verwende dann den Satz von Hales-Jewett (Aufgabe 5.8).
2. ∀ k, n ∈ N ∃ r = W (k, n) ∈ N derart, dass zu jeder Färbung von {0, 1, ..., r − 1} mit n Farben eine
monochromatische arithmetische Progressionen aus {0, 1, ..., r − 1} der Länge k existiert.
Die Zahlen W (k, n) heißen van der Waerden Zahlen. (Hinweis: Kompaktheitsschluss aus 1.)
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