Allgemeine Topologie - TU Darmstadt/Mathematik

Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Klaus Keimel
Alexander Rohr
Sommersemester 2002
5. Juli 2002
12. Übung zur Veranstaltung
Allgemeine Topologie
Gruppenübungen
Skript Abschnitt 12
Es sei V ein reeller normierter Vektorraum. Wir setzen
V ∗ := {ϕ : V → R | ϕ linear} .
Die Menge V ∗ der linearen Funktionale auf V ist ein Untervektorraum des Vektorraums RV aller
Funktionen V → R. Man nennt V ∗ das algebraische Dual von V .
Betrachten wir auf RV die Produkttopologie der natürlichen Topologie auf R, so heißt die Spurtopologie davon auf V ∗ die schwache ∗-Topologie (lies schwache Stern-Topologie“). In dieser
”
Übung soll folgender Satz gezeigt werden:
Satz (Banach, Alaoglu und Bourbaki) Es sei V ein reeller normierter Vektorraum und U
eine Umgebung des Nullpunkts in V .
Dann ist die Menge f ∈ V ∗ |f (U )| ≤ 1 der auf U betragsmäßig durch 1 beschränkten Funktionale kompakt in der schwachen ∗-Topologie.
Aufgabe 124 (Umgebungsbasis in der schwachen ∗-Topologie)
Was ist der Nullpunkt in V ∗ und wie sind Addition und Skalarmultiplikation definiert?
Gib eine Darstellung einer Basis der Umgebungen des Nullpunkts in V ∗ für die schwache
∗-Topologie an.
Aufgabe 125 (Abgeschlossenheit obiger Menge)
Zeige: Unter den Voraussetzungen des obigen Satzes ist die Menge A := f ∈ V ∗ |f (U )| ≤ 1
abgeschlossen in RV .
Hinweis: A ist der Schnitt von Mengen der folgenden Formen, welche für x, y ∈ V und r ∈ R
allesamt abgeschlossen sind:
f ∈ RV f (x) + f (y) = f (x + y)
A+
x,y :=
A·r,x := f ∈ RV f (r · x) = r · f (x)
Ax := f ∈ RV |f (x)| ≤ 1
Aufgabe 126 (Kompaktheit der obigen Menge)
Zeige: Unter den Voraussetzungen des obigen Satzes ist die Menge A := f ∈ V ∗ |f (U )| ≤ 1
kompakt in RV .
Hinweis: Zeige, daß für K := [−1; 1] der Raum K U kompakt ist. Setze
(
Y
K falls x ∈ U
Px :=
und
P :=
Px .
R sonst
x∈V
Zeige: die Abbildung f 7→ f |U : P → K U bildet A ⊆ P bijektiv auf eine abgeschlossene Teilmenge
von K U ab und besitzt eine stetige Umkehrabbildung.
Hausübungen
Skript Abschnitt 12
Ist (V, k·k) ein reeller normierter Vektorraum, so ist das algebraische Dual V ∗ ein normierter
Vektorraum bezüglich der Operatornorm
kf k := sup |f (x)| kxk < 1 .
Korollar Die Einheitskugel des algebraischen Duals V ∗ eines reellen normierten Vektorraums V
ist schwach-∗-kompakt.
Aufgabe 127 (Einheitskugel im Dual ist schwach-∗-kompakt)
Beweise das obige Korollar aus dem Satz von Banach, Alaoglu und Bourbaki.
Aufgabe 128 (Aufräumungsarbeiten und Fazit)
Löse die übriggebliebenen Präsenzaufgaben und schreibe den Beweis des Satzes übersichtlich und
gut nachvollziehbar auf.
Was hat der Beweis mit dem des Satzes von Arzela und Ascoli gemeinsam und was unterscheidet
sie?
Aufgabe 129 (Stetige Funktionale)
Zeige: Unter den Voraussetzungen des obigen Satzes ist jedes Funktional f ∈ A stetig. Insbesondere sind die in der Einheitskugel von V ∗ enthaltenen Funktionale sämtlich stetig.
Hinweis: Zeige zunächst, daß ein Funktional f ∈ V ∗ genau dann stetig ist, wenn es stetig im
Nullpunkt ist.
Aufgabe 130 (Kriterium für unendliche Dimension)
Zeige, daß ein reeller Vektorraum V genau dann unendlichdimensional ist, wenn zu jeder endlichen
Teilmenge F ⊆ V ein Funktional ϕ ∈ V ∗ \ {0} existiert mit ϕ(F ) = {0}.
Aufgabe 131 (Nullpunktsumgebungen normierter Vektorräume)
Zeige unter Verwendung von Aufgabe 130, daß folgende Aussagen gleichwertig sind:
a) Jede Umgebung des Nullpunkts in V ∗ enthält nichttriviale Untervektorräume.
b) V ist unendlichdimensional.
Bitte wenden!
Aufgabe 132 (Beschränkte abgeschlossene Mengen im Dual)
Ist V ein reeller normierter Vektorraum, so kennen wir auf dem algebraischen Dual V ∗ zwei
Topologien: die schwache ∗-Topologie und die durch die Operatornorm erzeugte Topologie. Zeige:
a) Jede abgeschlossene Kugel in V ∗ ist schwach-∗-kompakt.
b) In V ∗ ist jede schwach-∗-abgeschlossene, beschränkte Teilmenge schwach-∗-kompakt.
c) Jede in V ∗ bezüglich der Norm abgeschlossene Teilmenge ist schwach-∗-abgeschlossen. Inbesondere ist jede norm-abgeschlossene, beschränkte Teilmenge schwach-∗-kompakt.
d) Genau dann ist jede in V ∗ schwach-∗-abgeschlossene Teilmenge bezüglich der Norm abgeschlossen, wenn V endlichdimensional ist. Hinweis: Aufgabe 131.
Vermischte Aufgaben zu früheren Abschnitten
Aufgabe 133 (Wohlordnungen)
a) Beweise oder widerlege: Jede Wohlordnung ist eine totale Ordnung.
b) Welche der folgenden Teilmengen von R sind wohlgeordnet bezüglich der üblichen Ordnung?
i) Z
ii) m −
iii) m +
1
n
1
n
m, n ∈ N und n 6= 0
m, n ∈ N und n 6= 0
Aufgabe 134 (Eigenschaften der kanonischen Projektionen)
Q
Ist die kanonische Projektion prk : i∈I Xi → Xk eine
a) offene Abbildung?
b) abgeschlossene Abbildung?
Aufgabe 135 (Produkte stetiger Funktionen)
Es seien (Xi )i∈I und (Yi )i∈I Familien topologischer Räume über Q
der gleichen Indexmenge I. Für
jedes i ∈ I sei fi : Xi → Yi eine Funktion.
Wir
definieren
f
:=
i∈I fi : (Xi )i∈I → (Yi )i∈I kom
penentenweise, also durch f (xi )i∈I := fi (xi ) i∈I . Zeige, daß f genau dann stetig ist, wenn fi
stetig ist für jedes i ∈ I.
Aufgabe 136 (Produkttopologie und untere Topologie)
Es sei J eine Mengen und X eine totalgeordnete Menge mit kleinstem Element 0 und größtem
Element 1. Auf der Menge X J aller Funktionen J → X betrachten wir die punktweise Ordnung:
f ≤ g : ⇐⇒ ∀ j ∈ J. f (j) ≤ g(j)
Zeige: Die untere Topologie auf der geordneten Menge (X J , ≤) ist die Produkttopologie, die man
aus der unteren Topologie auf X erhält.