Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen

Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
André Schlichting
S1G1 Sommersemester 2016
A. Schlichting
Ungleichungen
S1G1 Sommersemester 2016
1/4
Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
A. Schlichting
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
Ungleichungen
n
X
!1
2
bi2
i=1
S1G1 Sommersemester 2016
2/4
Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wie funktioniert die Abschätzung?
A. Schlichting
Ungleichungen
S1G1 Sommersemester 2016
2/4
Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wie funktioniert die Abschätzung?
Beweis:
Fall n = 2 : Es gilt
0 ≤ (a1 b2 − a2 b1 )2 = (a1 b2 )2 − 2(a1 b2 )(a2 b1 ) + (a2 b1 )2
A. Schlichting
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wie funktioniert die Abschätzung?
Beweis:
Fall n = 2 : Es gilt
0 ≤ (a1 b2 − a2 b1 )2 = (a1 b2 )2 − 2(a1 b2 )(a2 b1 ) + (a2 b1 )2
Damit folgt
A. Schlichting
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wie funktioniert die Abschätzung?
Beweis:
Fall n = 2 : Es gilt
0 ≤ (a1 b2 − a2 b1 )2 = (a1 b2 )2 − 2(a1 b2 )(a2 b1 ) + (a2 b1 )2
Damit folgt
(a1 b1 )2 + 2(a1 b2 )(a2 b1 ) + (a2 b2 )2 ≤ (a1 b1 )2 + (a1 b2 )2 + (a2 b1 )2 + (a2 b2 )2
A. Schlichting
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wie funktioniert die Abschätzung?
Beweis:
Fall n = 2 : Es gilt
0 ≤ (a1 b2 − a2 b1 )2 = (a1 b2 )2 − 2(a1 b2 )(a2 b1 ) + (a2 b1 )2
Damit folgt
(a1 b1 + a2 b2 )2 ≤ (a12 + a22 )(b12 + b22 ).
A. Schlichting
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
ai b i ≤
i=1
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wie funktioniert die Abschätzung?
Beweis:
Fall n = 2 : Es gilt
0 ≤ (a1 b2 − a2 b1 )2 = (a1 b2 )2 − 2(a1 b2 )(a2 b1 ) + (a2 b1 )2
Damit folgt
(a1 b1 + a2 b2 )2 ≤ (a12 + a22 )(b12 + b22 ).
Für n ≥ 3 per Induktion. . .
A. Schlichting
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
ai b i ≤
i=1
n
X
!1
2
ai2
n
X
!1
2
bi2
i=1
i=1
Was lernen wir aus der Abschätzung?
2
Falls die Reihen ∞
i=1 ai und
P∞
Reihe i=1 ai bi endlich.
P
A. Schlichting
P∞
2
i=1 bi
endlich sind, dann ist auch die
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Wann gilt Gleichheit?
Gleichheit gilt genau dann wenn es ein λ ∈ R gibt, so dass ai = λbi für all
i = 1, . . . , n gilt.
A. Schlichting
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
ai b i ≤
i=1
n
X
!1
2
ai2
n
X
!1
2
bi2
i=1
i=1
Was sind weitere Abschätzungen die sich unmittelbar ergeben?
1-Trick: bi = 1 für i = 1, . . . , n
n
X
i=1
A. Schlichting
ai ≤
√
n
n
X
!1
2
ai2
i=1
Ungleichungen
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
ai b i ≤
i=1
!1
n
X
2
ai2
n
X
!1
2
bi2
i=1
i=1
Was sind weitere Abschätzungen die sich unmittelbar ergeben?
1
2
Aufteilungstrick: ai = ai3 ai3
n
X
i=1
A. Schlichting
ai ≤
n
X
2
3
!1
2
ai
i=1
Ungleichungen
n
X
4
3
ai
!1
2
.
i=1
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Cauchy-Schwarz
Für reelle Zahlen {ai }ni=1 und {bi }ni=1 gilt
n
X
i=1
ai b i ≤
n
X
!1
2
ai2
i=1
n
X
!1
2
bi2
i=1
Kann diesselbe Technik auf andere Ungleichungen angewandt
werden?
Für reelle Zahlen a, b und x , y > 0 gilt
(a + b)2
a2 b 2
≤
+ .
x +y
x
y
A. Schlichting
Ungleichungen
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2/4
Ziele
Kennenlernen von einigen Ungleichungen über Cauchy-Schwarz hinaus
A. Schlichting
Ungleichungen
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3/4
Ziele
Kennenlernen von einigen Ungleichungen über Cauchy-Schwarz hinaus
Erlernen von systematischen Techniken zum Beweis
A. Schlichting
Ungleichungen
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3/4
Ziele
Kennenlernen von einigen Ungleichungen über Cauchy-Schwarz hinaus
Erlernen von systematischen Techniken zum Beweis
Ausblick auf Anwendungen in Analysis, Geometrie und Algebra
A. Schlichting
Ungleichungen
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3/4
Ziele
Kennenlernen von einigen Ungleichungen über Cauchy-Schwarz hinaus
Erlernen von systematischen Techniken zum Beweis
Ausblick auf Anwendungen in Analysis, Geometrie und Algebra
Selbstständiges Erfassen und Aufbereiten eines Themas
A. Schlichting
Ungleichungen
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3/4
Organisatorisches
Voraussetzungen
Analysis 1 & Lineare Algebra 1
Literatur
J. Michael Steele: The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to
the Art of Mathematical Inequalities, 2004.
Vorbesprechung mit Themenvergabe
am Dienstag, 3. Februar, 16-18 c.t. im Raum 2.040.
http://www.iam.uni-bonn.de/abteilung-mathphys/teaching/
A. Schlichting
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