Automatentheorie und formale Sprachen

Automatentheorie
und formale Sprachen
Zusammenfassung
Kathrin Hoffmann
27. Juni 2012
Hoffmann (HAW Hamburg)
Automatentheorie und formale Sprachen
27.6. 2012
329
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Kontextsensitive Grammatiken und Sprachen
• Eine Grammatik G = (N, T , S, R) heißt kontextsensitiv wenn alle
Regeln die Form
u → v mit |u| ≤ |v |
haben, d.h. wenn die linke Seite einer Regel ist nie länger als die
rechte Seite.
• Als einzige Ausnahme ist die Regel S → zugelassen,
um das leere Wort zu erzeugen.
Dann aber darf das Startsymbol S nicht rekursiv sein,
d.h. nicht auf der rechten Seite einer Regel auftreten.
• Eine Regel, deren linke Seite nicht länger ist als die rechte Seite,
heißt monoton bezeichnet.
Daher heißt eine kontextsensitive Grammatik auch monotone
Grammatik.
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27.6. 2012
330
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
BSP
G = (N, T , S, R)
mit T = {a, b, c}
N = {S, A, B}
R:
S → aSBc | aXc
cB → Bc
XB → bX
X →b
S =⇒ aSBc =⇒ aaSBcBc =⇒ aaaXcBcBc =⇒ aaaXcBBcc =⇒
aaaXBcBcc =⇒ aaaXBBccc =⇒ aaabXBccc =⇒ aaabbXccc =⇒
aaabbbccc
L(G) = {an bn c n | n > 0}
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331
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 57:
Geben Sie bitte eine ksG für L = {ww | w ∈ {a, b, c}∗ } an und leiten
dann bitte abcabc ab.
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27.6. 2012
332
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 57:
Geben Sie bitte eine ksG für L = {ww | w ∈ {a, b, c}∗ } an und leiten
dann bitte abcabc ab.
Tipp:
Benutzen Sie pro Terminal als erstes Regeln der Form S → xXS.
X ist der Indikator dafür, dass noch in der anderen Worthälfte an
gleicher Stelle ein x zu setzen ist.
Entwerfen Sie nun Regeln, die es erlauben X in die zweite Hälfte des
Wortes zu schieben.
Wandeln Sie dann die X in die entsprechenden Terminale um.
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332
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 57
S → aMa | bMb | cMc | Ma → aAMa | bBMa | cCMa | Ea
Mb → aAMb | bBMb | cCMb | Eb
Mc → aAMc | bBMc | cCMc | Ec
Nt → tN für N ∈ {A, B, C} und t ∈ {a, b, c}
AMa → Ma a
AMb → Mb a
AMc → Mc a
BMa → Ma b
BMb → Mb b
BMc → Mc b
CMa → Ma c
CMb → Mb c
CMc → Mc c
Ea → a
Eb → b
Ec → c
S =⇒ aMa =⇒ abBMa =⇒ abBcCMa =⇒ abcBCMa
=⇒ abcBMa c =⇒ abcMa bc =⇒ abcabc
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333
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Turingmaschine
• 1936 Alan Turing
• Lösung des Entscheidungsproblems
• Maschine besteht aus
• endliche Steuerung/Programm,
• Lese/Schreibkopf und
• unendlich langes Band.
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334
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Formale Definition einer Turingmaschine
Definition
Ein Turingmaschine (TM) ist ein Tupel
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , B, F )
bestehend aus
• der endlichen Menge Q von Zuständen,
• dem Eingabealphabeth Σ,
• dem Bandalphabet Γ,
• der Übergangsfunktion δ : Q × Σ × Γ → Q × Γ × D
mit Bewegungsrichtung der Steuerung D = {L, R},
• dem Anfangszustand q0 ∈ Q,
• dem leeren Feld (Blank) B ∈ Γ \ Σ und
• der Menge F ⊆ Q von Endzuständen.
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335
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Beispiel: L(M) = {0n 1n |n ≥ 1}
Turingmaschine (TM)
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , B, F )
mit
• der endlichen Menge Q = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 },
• dem Eingabealphabeth Σ = {0, 1},
• dem Bandalphabet Γ = {0, 1, X , Y , B},
• der Übergangsfunktion δ : Q × Σ × Γ → Q × Γ × D,
• dem Anfangszustand q0 ∈ Q,
• dem leeren Feld (Blank) B ∈ Γ \ Σ und
• der Menge F = {q4 }
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336
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Beispiel: L(M) = {0n 1n |n ≥ 1}
Übergangsfunktion δ : Q × Σ × Γ → Q × Γ × D mit
0
1
X
Y
q0 (q1 , X , R)
(q3 , Y , R)
q1 (q1 , 0, R) (q2 , Y , L)
(q1 , Y , R)
q2 (q2 , 0, L)
(q0 , X , R) (q2 , Y , L)
q3
(q3 , Y , R)
q4
-
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B
(q4 , B, R)
-
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337
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Chomsky-Hierarchie
• Reguläre Sprachen
• Beispiel:
L = {an bm |n, m ∈ N}
• Wie werden sie erkannt?
• Kontextfreie Sprachen:
• Beispiel: L = {an b n |n ∈ N}
• Wie werden sie erkannt?
• Kontextsensitive Sprachen:
• Beispiel: L = {an b n c n |n ∈ N}
• Wie werden sie erkannt?
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338
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Chomsky-Hierarchie
• Reguläre Sprachen
• Beispiel:
L = {an bm |n, m ∈ N}
• Wie werden sie erkannt?
Endliche Automaten
• Kontextfreie Sprachen:
• Beispiel: L = {an b n |n ∈ N}
• Wie werden sie erkannt?
Kellerautomaten
• Kontextsensitive Sprachen:
• Beispiel: L = {an b n c n |n ∈ N}
• Wie werden sie erkannt?
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338
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 58:
Gegeben ist die Grammatik GN = (N, D, S, RN ) mit
RN :S → d0 |dX
wobei d0 ∈ {0, 1, .., 9} = D und d ∈ {1, .., 9}.
X → d0 X |
Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für
• die ganzen Zahlen Z
• die rationalen Zahlen Q
• und die reellen Zahlen R
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339
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 58:
Gegeben ist die Grammatik GN = (N, D, S, RN ) mit
RN :S → d0 |dX
wobei d0 ∈ {0, 1, .., 9} = D und d ∈ {1, .., 9}.
X → d0 X |
Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für
• die ganzen Zahlen Z
GZ = (N ] {V }, D ∪ {−, +}, V , RN ∪ {V → −S | +S | S})
• die rationalen Zahlen Q
• und die reellen Zahlen R
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339
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 58:
Gegeben ist die Grammatik GN = (N, D, S, RN ) mit
RN :S → d0 |dX
wobei d0 ∈ {0, 1, .., 9} = D und d ∈ {1, .., 9}.
X → d0 X |
Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für
• die ganzen Zahlen Z
GZ = (N ] {V }, D ∪ {−, +}, V , RN ∪ {V → −S | +S | S})
• die rationalen Zahlen Q
GQ = {N ] {V , Q}, D ∪ {−, +, /}, Q, RN ∪ {V → −S | +S | S}
∪{Q → V /S | V })
• und die reellen Zahlen R
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339
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 58:
Gegeben ist die Grammatik GN = (N, D, S, RN ) mit
RN :S → d0 |dX
wobei d0 ∈ {0, 1, .., 9} = D und d ∈ {1, .., 9}.
X → d0 X |
Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für
• die ganzen Zahlen Z
GZ = (N ] {V }, D ∪ {−, +}, V , RN ∪ {V → −S | +S | S})
• die rationalen Zahlen Q
GQ = {N ] {V , Q}, D ∪ {−, +, /}, Q, RN ∪ {V → −S | +S | S}
∪{Q → V /S | V })
• und die reellen Zahlen R
geht nicht!!!
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339
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Abzählbar
Definition
Eine Menge M ist abzählbar,
• falls es eine Funktion f : N → M gibt, die surjektiv ist
(d. h. alle Elemente aus M kommen als Bildelement vor), oder
• falls M = ∅.
Ist eine Menge nicht abzählbar, so ist sie überabzählbar.
BSP: Abzählbare Mengen
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VL1
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Mächtigkeit der Menge aller Wörter über Σ
Satz:
Sei Σ ein Alphabet. Es gibt abzählbar unendlich viele Wörter über Σ,
d.h. die Menge Σ∗ aller Wörter über Σ hat die Mächtigkeit abzählbar
unendlich.
Beweis:
• Σ∗ enthält unendlich viele Elemente:
Angenommen, Σ∗ sei endlich.
Dann enthält Σ∗ ein Wort w maximaler Länge. Sei a ∈ Σ. Dann
wa ∈ Σ∗ , aber andererseits wa < Σ∗ , da Σ∗ nur Wörter der Länge
kleiner gleich|w| enthält und |wa| > |w| gilt.
Dies ist ein Widerspruch; also ist die Annahme falsch.
• Σ∗ ist abzählbar unendlich: Standard-Ordnung auf Σ∗
(zunächst ihrer Länge nach und dann
bei gleicher Länge lexikographisch)
und liefert eine surjektive Abbildung von N → Σ∗
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Alle Sprachen sind abzählbar
Satz:
Jede Teilmenge M 0 einer abzählbaren Menge M ist auch abzählbar.
Beweis: Sei surjektives f : N → M gegeben. Definiere f 0 : N → M 0 mit


falls f (n) ∈ M 0
f (n)
f 0 (n) = 

w ∈ M 0 sonst
Da f surjektiv, werden alle Elemente von M 0 abgedeckt. Dieselben
Bildelemente in N decken durch f 0 die Menge M 0 ab. Damit ist f 0 auch
surjektiv.
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342
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 59:
Zeigen Sie, dass Q abzählbar unendlich ist.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 59:
Zeigen Sie, dass Q abzählbar unendlich ist.
Lösung
Wir haben Grammatik GQ für Q.
Also ist Q = L(G) ⊆ Σ∗ , also ist Q abzählbar unendlich.
oder 1. Cantorsche Diagonalisierungsverfahren
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Cantorsche Diagonalisierungsverfahren
Zweidimensionale Darstellung aller Brüche
0 1 −1 2 −2 3 ...
1
1
1
−1
1
2
1
−2
1
3
1
...
2
1
2
−1
2
2
2
−2
2
3
2
...
3
1
3
−1
3
2
3
−2
3
3
3
...
1
4
..
.
−1
4
..
.
2
4
..
.
−2
4
..
.
3
4
..
.
...
4
..
.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Cantorsche Diagonalisierungsverfahren
Zweidimensionale Aufzählung aller Brüche
Hausaufgabe 60: Geben Sie bitte die Abbildung f : N → Q an, die
diese Aufzählung beschreibt.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Mächtigkeit der Menge aller Sprachen über Σ∗
Satz:
Sei Σ ein Alphabet.
Es gibt überabzählbar viele Sprachen über Σ,
d.h. die Mächtigkeit der Menge aller Sprachen über Σ ist
überabzählbar unendlich.
Der Satz lässt sich mit dem 2. Cantorschen Diagonalverfahren
beweisen.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen
Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar.
• Sprachen L1 , L2 , L3 , ... ⊆ Σ∗ und Wörtern wj ∈ Σ∗ in
Standardordnung in folgender Tabelle:
w1 w2 w3 w4 w5 w6 ...
mit Tabelleneintr
ägen
L1 1
1
1
0
1
1 ...



L2 1
0
1
0
1
0 ...
1
falls
w

j ∈ Li
t
=

ij

L3 0
1
1
0
0
1 ...
0 falls wj < Li
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
• Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von Ld ,
der Diagonalsprache. Ld enthält hier die Wörter w1 , w3 , ...
• Ld ist nicht in der Tabelle, denn Ld kann keine der Li sein, weil sie
in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn Li dort eine 1 hat,
und umgekehrt.
• WIDERSPRUCH zur Annahme,
dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen
Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar.
• Sprachen L1 , L2 , L3 , ... ⊆ Σ∗ und Wörtern wj ∈ Σ∗ in
Standardordnung in folgender Tabelle:
w1 w2 w3 w4 w5 w6 ...
mit Tabelleneintr
ägen
L1 1
1
1
0
1
1 ...



L2 1
0
1
0
1
0 ...
1
falls
w

j ∈ Li
t
=

ij

L3 0
1
1
0
0
1 ...
0 falls wj < Li
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
• Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von Ld ,
der Diagonalsprache. Ld enthält hier die Wörter w1 , w3 , ...
• Ld ist nicht in der Tabelle, denn Ld kann keine der Li sein, weil sie
in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn Li dort eine 1 hat,
und umgekehrt.
• WIDERSPRUCH zur Annahme,
dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen
Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar.
• Sprachen L1 , L2 , L3 , ... ⊆ Σ∗ und Wörtern wj ∈ Σ∗ in
Standardordnung in folgender Tabelle:
w1 w2 w3 w4 w5 w6 ...
mit Tabelleneintr
ägen
L1 1
1
1
0
1
1 ...



L2 1
0
1
0
1
0 ...
1
falls
w

j ∈ Li
t
=

ij

L3 0
1
1
0
0
1 ...
0 falls wj < Li
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
• Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von Ld ,
der Diagonalsprache. Ld enthält hier die Wörter w1 , w3 , ...
• Ld ist nicht in der Tabelle, denn Ld kann keine der Li sein, weil sie
in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn Li dort eine 1 hat,
und umgekehrt.
• WIDERSPRUCH zur Annahme,
dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist.
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen
Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar.
• Sprachen L1 , L2 , L3 , ... ⊆ Σ∗ und Wörtern wj ∈ Σ∗ in
Standardordnung in folgender Tabelle:
w1 w2 w3 w4 w5 w6 ...
mit Tabelleneintr
ägen
L1 1
1
1
0
1
1 ...



L2 1
0
1
0
1
0 ...
1
falls
w

j ∈ Li
t
=

ij

L3 0
1
1
0
0
1 ...
0 falls wj < Li
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
• Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von Ld ,
der Diagonalsprache. Ld enthält hier die Wörter w1 , w3 , ...
• Ld ist nicht in der Tabelle, denn Ld kann keine der Li sein, weil sie
in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn Li dort eine 1 hat,
und umgekehrt.
• WIDERSPRUCH zur Annahme,
dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist.
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346
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen
Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar.
• Sprachen L1 , L2 , L3 , ... ⊆ Σ∗ und Wörtern wj ∈ Σ∗ in
Standardordnung in folgender Tabelle:
w1 w2 w3 w4 w5 w6 ...
mit Tabelleneintr
ägen
L1 1
1
1
0
1
1 ...



L2 1
0
1
0
1
0 ...
1
falls
w

j ∈ Li
t
=

ij

L3 0
1
1
0
0
1 ...
0 falls wj < Li
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
• Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von Ld ,
der Diagonalsprache. Ld enthält hier die Wörter w1 , w3 , ...
• Ld ist nicht in der Tabelle, denn Ld kann keine der Li sein, weil sie
in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn Li dort eine 1 hat,
und umgekehrt.
• WIDERSPRUCH zur Annahme,
dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist.
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346
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Sprachen mit endlicher Beschreibung
• überabzählbar viele Sprachen:
• sehr, sehr viele
• die meisten dieser Sprachen nicht explizit angebbar,
• denn keine endliche Beschreibung
• endliche Beschreibung einer Sprache
• z.B. ein regulärer Ausdruck, eine Grammatik oder auch eine
informelle Beschreibung
• alle diese endlichen Beschreibungen sind endliche Zeichenfolgen
• nur abzählbar viele endliche Beschreibungen, denn
• nur abzählbar viele Wörter über einem Alphabet, also
• nur abzählbar viele Sprachen mit einer endlichen Beschreibung
• ganz, ganz wenige
gegenüber der überwältigend großen Menge aller Sprachen
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347
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufzählbar
Definition
Eine Menge M ist aufzählbar
(auch rekursiv aufzählbar oder semi-entscheidbar)
• falls es eine surjektive Funktion f : N → M gibt, und
• einen Algorithmus, der es gestattet, für jedes n ∈ N den
Funktionswert f (n) zu berechnen,
• oder falls M = ∅.
Satz:
Die Menge aller Wörter Σ∗ über einem Alphabet Σ ist aufzählbar.
Beweis: Wörter können in Standardordnung erzeugt werden
Aufgabe 61: : Weshalb heißen aufzählbare Mengen auch
semi-entscheidbar?
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348
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Entscheidbar
Definition
Gegeben sei ein Alphabet Σ. Eine Sprache L ⊆ Σ∗ heißt entscheidbar,
• falls es einen abbrechenden Algorithmus,
Entscheidungsverfahren genannt,
w ∈ L oder
gibt, der für jedes w ∈ Σ∗ feststellt, ob
w <L
BSP: Aufzählbare Sprache, die nicht entscheidbar ist
L ⊆ ASCII ∗
L = {xy|x ist ein Programm, y ist eine Eingabe,
und x stoppt bei der Eingabe von y nach endlich vielen
Schritten}
Halteproblem !!
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349
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 62: Wahr oder falsch und warum????
1
Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist aufzählbar.
wahr oder
falsch
2
Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist abzählbar.
wahr oder
falsch
3
Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist aufzählbar.
wahr oder
falsch
4
Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist abzählbar.
wahr oder
falsch
5
Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist aufzählbar.
wahr oder
falsch
6
Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist abzählbar.
wahr oder
falsch
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350
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 62: Wahr oder falsch und warum????
1
Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist aufzählbar.
X wahr oder X falsch
2
Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist abzählbar.
X wahr oder X falsch
3
Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist aufzählbar.
X wahr oder X falsch
4
Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist abzählbar.
X wahr oder X falsch
5
Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist aufzählbar.
X wahr oder X falsch
6
Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist abzählbar.
X wahr oder X falsch
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350
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Vergleich von Grammatiken
Falsche Annahme:
Je mächtiger, desto mehr Wörter
Umfangreichste Sprache Σ∗ für gegebenes Alphabet Σ kann durch
reguläre Grammatik beschrieben werden: S → aS| für alle a ∈ Σ
Statt dessen:
Grenze zwischen Wörter in und außerhalb der Sprache hat einen
komplexeren Verlauf
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351
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Mengendiagramm für Sprachen
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352
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Chomsky-Hierarchie mit Ergänzungen
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353
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Zusammenfassung
• Kontextfreie Grammatiken sind geeignet, Blockstrukturen und
richtig geklammerte Ausdrücke zu erzeugen.
• Reguläre Sprachen sind kontextfrei. Es gibt kontextfreie
Sprachen, die nicht regulär sind.
• Kontextfreie Grammatiken werden zur Syntaxdefinition von
Programmiersprachen benutzt.
Sie werden üblicherweise in der Backus-Naur-Form notiert.
• Nicht-deterministische PDAs akzeptieren kontextfreie Sprachen.
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354
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Wörter & Sprachen
• Verkettung, Vereinigung, Komplement, Schnitt,
Kleene-Hülle, Spiegelung, Potenz
•
Σ+ , Σ∗ , Σn
• Typ der Sprache:
• regulär,
• kontextfrei,
• kontextsensitiv,
• aufzählbar
• Abgeschlossenheit von Sprachklassen
Aufgabe 63: Sei Σ = {a, b, c} das Alphabet.
Verketten Sie bitte die beiden Sprachen L1 = {a, bb, ccc} und L2 = Σ+ .
Geben Sie L1 ◦ L2 formal und als RA an.
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355
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Wörter & Sprachen
• Verkettung, Vereinigung, Komplement, Schnitt,
Kleene-Hülle, Spiegelung, Potenz
•
Σ+ , Σ∗ , Σn
• Typ der Sprache:
• regulär,
• kontextfrei,
• kontextsensitiv,
• aufzählbar
• Abgeschlossenheit von Sprachklassen
Aufgabe 63: Sei Σ = {a, b, c} das Alphabet.
Verketten Sie bitte die beiden Sprachen L1 = {a, bb, ccc} und L2 = Σ+ .
Geben Sie L1 ◦ L2 formal und als RA an. {av , bbv , cccv | v ∈ L2 } und
(a + bb + ccc) · (a + b + c)+
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27.6. 2012
355
VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Automaten
• DEA,NEA, -NEA, NKA, DKA
• Semantik
• Akzeptierte Sprachen
• Konfigurationen, erweiterte Zustandsüberführung
• Äquivalenzen zu
• anderen Automaten NEA −→ DEA, -NEA −→ DEA, Minimierung
• reguläre Ausdrücken
• Grammatiken
• Abgeschlossenheit
• Input,Output
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 64:
Gegeben der NEA N.
1
Berechnen Sie bitte
b
δN (q0 , ab).
2
Geben Sie bitte L(N) an.
3
Geben Sie bitte den
äquivalenten DEA D an.
4
Berechnen Sie bitte
b
δD (q0 , ab).
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Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 64
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 64
1
b
δN (q0 , ) = {q0[
}
b
δN (q0 , a) =
δN (q, a) = {q1 , q2 }
q∈b
δN (q0 ,)
[
b
δN (q0 , ab) =
δN (q, b) = δN (q1 , b) ∪ δN (q2 , b) = {q0 , q2 }
q∈b
δN (q0 ,a)
2
(ab+ )∗ (a + )
3
→ ∗{q0}
∗{q1, q2}
∅
∗{q0, q2}
a
b
{q1, q2}
∅
∅
{q0, q2}
∅
∅
{q1, q2} {q0, q2}
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Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 64(ff)
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 64(ff)
4
b
δD ({q0 }, ab) = δD (b
δD ({q0 }, a), b)
= δD (δD (b
δD ({q0 }, )a), b)
= δD (δD ({q0 }, a), b)
= δD ({q1, q2}, b)
= {q0, q2}
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Aufgabe 65:
Minimieren Sie bitte
diesen DEA A:
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 65:
Minimieren Sie bitte
diesen DEA A:
Table-Filling
q1
q2
q3
q4
q5
q6
X
X
X
X
X
X
q0
X
X
X
X
X
q1
X
X
q2
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X
X
X
q3
Äquivalent sind q4, q5 und q2
X
q4
X
q5
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Reguläre Sprachen und Ausdrücke
• reguläre Ausdrücke
Syntax, Sematik, Äquivalenzen
• RA zu -NEA
rekursiver Aufbau
• DEA zu RA
k -Pfade, Eliminierung
• Abschlusseigenschaften
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VL1
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Aufgabe 66:
Für eine Alphabet Σ, seien zwei reguläre Sprachen gegeben mit
Li = L(Ai ) für zwei DEAs Ai = (Qi , Σ, δi , qi , Fi für i ∈ {1, 2}.
1
Konstruieren Sie eine Automaten A, der L1 ∩ L2 erkennt.
2
Geben Sie dafür ein BSP mit
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Aufgabe 66:
Für eine Alphabet Σ, seien zwei reguläre Sprachen gegeben mit
Li = L(Ai ) für zwei DEAs Ai = (Qi , Σ, δi , qi , Fi für i ∈ {1, 2}.
1
Konstruieren Sie eine Automaten A, der L1 ∩ L2 erkennt.
2
Geben Sie dafür ein BSP mit
1
• Variante 1:
Wir kennen den Automaten für das Komplement und für die
Vereinigung.
• Variante 2:
Produktautomat A = A1 × A2 = (Q1 × Q2 , Σ, δ, (q1 , q2 ), F1 × F2 ) mit
δ((p1 , p2 ), a) := δ1 × δ2 ((p1 , p2 ), a) = (δ1 (p1 , a), δ2 (p2 , a))
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 66
2
• Variante 1: Es gilt L1 ∩ L2 = (L1 ∪ L2 ).
Achtung : Komplementbildung für nur DEAS!!
DEA für (L1 ∪ L2 ):
-NEA für (L1 ∪ L2 ):
a
→ ∗{q, q0, p0} {q1, p1}
∗{q1, p1} {q2, p3}
∗{q1, p3} {q2, p3}
∗{q2, p3} {q0, p3}
{q2, p0} {q0, p1}
∗{q0, p3} {q1, p3}
∗{q0, p1} {q1, p3}
∗{q1, p0} {q2, p1}
∗{q2, p1} {q0, p3}
∗{q0, p0} {q1, p1}
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b
{q1, p3}
{q2, p0}
{q2, p3}
{q0, p3}
{q0, p3}
{q1, p3}
{q1, p0}
{q2, p3}
{q0, p0}
{q1, p3}
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 66
2
• Variante 1: Es gilt L1 ∩ L2 = (L1 ∪ L2 ).
Achtung : Komplementbildung für nur DEAS!!
DEA zu (L1 ∪ L2 ):
→ {q, q0, p0}
{q1, p1}
{q1, p3}
{q2, p3}
∗{q2, p0}
{q0, p3}
{q0, p1}
{q1, p0}
{q2, p1}
{q0, p0}
a
{q1, p1}
{q2, p3}
{q2, p3}
{q0, p3}
{q0, p1}
{q1, p3}
{q1, p3}
{q2, p1}
{q0, p3}
{q1, p1}
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b
{q1, p3}
{q2, p0}
{q2, p3}
{q0, p3}
{q0, p3}
{q1, p3}
{q1, p0}
{q2, p3}
{q0, p0}
{q1, p3}
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Lösung von Aufgabe 66
2
• Variante 2: A = A1 × A2 = (Q1 × Q2 , Σ, δ, (q1 , q2 ), F1 × F2 ) mit
δ((p1 , p2 ), a) := δ1 × δ2 ((p1 , p2 ), a) = (δ1 (p1 , a), δ2 (p2 , a))
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VL1
Chomsky-Hierarchie Zusammenfassung
Pumping-Lemma
(für reguläre Sprachen)
Pumping Lemma
Sei L eine reguläre Sprache.
Dann gibt es eine natürliche Zahl p ∈ N,
(die so genannte PL-Konstante)
so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in
w = xyz
mit
• |xy | ≤ p
• y ,
• xy i z ∈ L für alle i ∈ N
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Chomsky-Grammatiken
• Terminale und Nonterminale (Symbole), Regeln
• Regeln Aufgabe 67: Wie sind Regeln u → v definiert für
regulär:
kontextfrei:
kontext-sensitiv:
• Ableitungen
• Abschlusseigenschaften
• Chomsky-Hierarchie
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Chomsky-Grammatiken
• Terminale und Nonterminale (Symbole), Regeln
• Regeln Aufgabe 67: Wie sind Regeln u → v definiert für
regulär: links ein Nonterminal,
rechts höchstens ein Nonterminal, und dann ganz rechts
kontextfrei: links ein Nonterminal, rechts ist alles erlaubt
kontext-sensitiv: links kürzer als rechts,
ausser S → für nicht-rekursive S
• Ableitungen
• Abschlusseigenschaften
• Chomsky-Hierarchie
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Aufgabe 68:
1
Geben Sie eine Grammatik an, die weder regulär noch kontextfrei
ist, und die L = {an |n teilbar durch 3} erzeugt.
2
Seien C eine kontextfreie und R eine reguläre Sprache.
Ist C ∩ R kontextfrei oder regulär?
Warum? Geben Sie bitte eine Beweisidee an.
3
Zeigen Sie, dass
L = {w|w ∈ {a, b, c}∗ enthält gleich viele a0 s, b0 s und c 0 s}
nicht kontextfrei ist.
PL für kfG’s oder unter Verwendung von 2.
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Lösung von Aufgabe 68
1
2
S → aaaS | | XCX , CX → CX
Produktautomat zwischen NKA und DEA:
Sei K = (Q, Σ, Γ, δK , q0 , Z , FK ) mit L(K ) = Cund
D = (P, Σ, δD , p0 , FD ) mit L(D) = R, dann erkennt der NKA
P = (Q × P, Σ, Γ, δ, (q0 , p0 ), FK × FD )
mit
δ((q, p), a, X ) = {((q 0 , δD (p, a)), α) | (q 0 , α) ∈ δK (q, a, X )}
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Lösung von Aufgabe 68
3
L = {w|w ∈ {a, b, c}∗ enthält gleich viele a0 s, b0 s und c 0 s}
• PL für kfG:
L sei kontextfrei, also gilt das Pumping-Lemma.
Sei z = ap bp c p , dann z ∈ L und |z| ≥ p.
vwx enthält höchstens zwei unterschiedliche Zeichen, denn
|vwx| ≤ p.
Weil vx , , wird durch das Löschen von v und x für ein oder zwei
Zeichen der Exponent erniedrigt, aber für den dritten auf jeden Fall
nicht, also uv 0 wx 0 y = uwy < L.
Widerspruch zur Aussage des Pumping-Lemmas.
• Es gilt L ∩ {ai b j c k | i, j, k ≥ 0} = {an b n c n | n ≥ 0},
wobei {ai bj c k | i, j, k ≥ 0} offensichtlich regulär
und {an bn c n | n ≥ 0} bekanntermaßen nicht kontextfrei ist.
Wegen Ë kann dann L nicht kontextfrei sein.
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Viel Erfolg bei der Klausur!!
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