1 Grundlagen - Informatik

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Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatik und Wirtschaftsinformatik
1 Grundlagen
1.
Man überprüfe die Gleichung
12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
n (n + 1)(2n + 1)
für alle n ∈ Õ
6
für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann deren Gültigkeit für alle
natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.
2.
Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge x1 = 1
und xk+1 = xk + 8k für k ≥ 1 allgemein gilt:
xn = (2n − 1)2 für alle n ≥ 1.
3.
Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche n ∈ Õ die angegebene
Ungleichung gilt:
3n + 2 n ≤ 3 n .
4.
Nach der so genannten „abessinischen Bauernmethode“ werden zwei Zahlen, z.B. 21 und
17, wie folgt multipliziert:
21
17
10
34
5
68
2
136
1
272
357
Dabei wird der erste Faktor laufend durch 2 dividiert (und der Rest dabei vernachlässigt),
während der zweite Faktor stets verdoppelt wird. Nach dem Motto der abessinischen
Bauern „Gerade Zahlen bringen Unglück“ streicht man nun alle Zeilen, in denen die Zahl
in der ersten Spalte gerade ist. Die Summe der verbleibenden Zahlen in der zweiten
Spalte liefert dann das Ergebnis 21 ⋅ 17 = 357.
Man begründe, warum diese Methode zum richtigen Resultat führt. (Hinweis: Man gehe
von einer Darstellung des ersten Faktors im Binärsystem aus.)
5.
Man zeige, dass in — die Beziehung
5041 − 5040 = 71 − 12 35 =
1
71 + 12 35
gilt. Was ergibt sich bei Rechnung in normalisierter Gleitkomma-Darstellung zur Basis
10 mit vierstelliger Mantisse?
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6.
Man bestimme rechnerisch und graphisch Summe und Produkt der komplexen Zahlen
z1 = 3 − 4i und z2 = [2; π/2].
7.
Man finde alle sechsten Wurzeln von z = 8i in ¬ und stelle sie in der Gaußschen
Zahlenebene dar.
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8.
Man bestimme den ggT(2008, 6316) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus.
9.
Man finde zwei ganze Zahlen x und y, welche die Gleichung 451x + 165y = 11 erfüllen.
10. Man beweise die folgenden Regeln für das Rechnen mit Kongruenzen:
(a) a ≡ b mod m, c ≡ d mod m ⇒ a + c ≡ b + d mod m
(b) a ≡ b mod m, c ≡ d mod m ⇒ a ⋅ c ≡ b ⋅ d mod m
(c) ac ≡ bc mod mc, c ≠ 0 ⇒ a ≡ b mod m
11. Im europäischen Artikelnummernsystem EAN werden Zahlen mit 13 Dezimalziffern der
Form a1 a2 ... a12 p verwendet. Dabei wird die letzte der 13 Ziffern, das ist die Prüfziffer p, im EAN-Code so bestimmt, dass
a1 + 3a2 + a3 + 3a4 + ... + a11 + 3a12 + p ≡ 0 mod 10
gilt. Man zeige, dass beim EAN-Code ein Fehler in einer einzelnen Ziffer stets erkannt
wird, während eine Vertauschung von zwei benachbarten Ziffern genau dann nicht
erkannt wird, wenn die beiden Ziffern gleich sind oder sich um 5 unterscheiden.
12. Man bestimme alle m, n ∈ , für welche die Prädikate P(n) bzw. P(m,n) in eine wahre
Aussage übergehen.
(a) P(n): n! ≤ n
(b) P(n): (n2 − 5n − 6 ≥ 0) → (n ≤ 10)
(c) P(m, n): (m = n!) → (m ist durch 10 teilbar)
13. Man zeige, dass es sich bei dem logischen Ausdruck
[(b ∨ c) ∧ (b → ¬a) ∧ a] → c
um eine Tautologie bzw. bei dem Ausdruck
(a → c) ∧ (c → b) ∧ a ∧ ¬b
um eine Kontradiktion handelt.
14. Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Behauptungen:
(a) Für alle n ∈ Õ ist n3 − n stets durch 3 teilbar − mittels eines direkten Beweises.
(b) Ist die Summe m + n zweier Zahlen m, n ∈ Ÿ ungerade, dann ist genau einer der
beiden Summanden ungerade − mittels eines indirekten Beweises.
(c) Ist das Quadrat n2 einer ganzen Zahl n ∈ Ÿ gerade, dann ist auch n gerade − mittels
eines Beweises durch Kontraposition.
(d) Die Aussage von (a) − mittels eines Beweises durch vollständige Induktion.
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15. Man beweise, dass die folgenden drei Aussagen für beliebige Mengen A, B äquivalent
sind:
(i) A ∩ B = A (ii) A ∪ B = B (iii) A ⊆ B
16. Sei A = {1, 2, ..., 8} und R eine binäre Relation auf A definiert durch
a R b ⇔ a = b oder ggT(a,b) = 2, ∀ a, b ∈ A.
Man gebe explizit die Relation R sowie ihren Graphen G(R) an.
17. Man untersuche nachstehend angeführte Relationen R ⊆ M2 in Hinblick auf die Eigenschaften Reflexivität (R), Symmetrie (S), Antisymmetrie (A) und Transitivität (T):
(a) M = Menge aller Einwohner von Wien (Volkszählung 2001), a R b ⇔ a ist verheiratet mit b
(b) M wie oben, a R b ⇔ a ist nicht älter als b
(c) M wie oben, a R b ⇔ a ist so groß wie b
(d) M = —, a R b ⇔ a − b ∈ Ÿ
(e) M = —n, (x1,...,xn) R (y1,...,yn) ⇔ xi ≤ yi ∀ i = 1,...,n
18. Man zeige, dass durch
a R b ⇔ 3 | a2 − b2 für alle a,b ∈ Ÿ
eine Äquivalenzrelation R in der Menge Ÿ erklärt wird, und bestimme die zugehörende
Partition.
19. Man vergleiche die Hassediagramme der beiden Halbordnungen (P({a,b,c}), ⊆) und
(T70, |).
20. Zu den nachstehenden Funktionen f bzw. g auf der Menge {0, 1, ..., 9} bestimme man
jeweils den Funktionsgraphen und untersuche die angegebenen Zuordnungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
(a) f(x) = x2 mod 10
(b) g(x) = x3 mod 10
21. Man zeige, dass die Funktion f: — \{7} → — \{3}, y =
ihre Umkehrfunktion.
3x + 1
, bijektiv ist, und bestimme
x−7
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2 Diskrete Mathematik
22. Man beweise nachstehende Identitäten für Binomialkoeffizienten:
n  n 

(a)   = 
k n − k
 n   n   n + 1
 = 

(b)   + 
 k   k + 1  k + 1
n
  = 2 n
∑
k =0  k 
n
(c)
n
(d)
∑ (−1)
k =0
k
n
 =0
k
23. Wie viele verschiedene Variablennamen kann man in einer fiktiven Programmiersprache
verwenden, wenn diese Namen aus mindestens einem, höchstens aber vier (nicht notwendig verschiedenen) Buchstaben {A,...,Z} bestehen müssen, und die Befehle AND,
OR, IF, THEN und GOTO nicht als Teilwörter enthalten sei dürfen.
24. Eine Datei enthalte 6 Datensätze vom Typ A, 5 vom Typ B, 5 vom Typ C, 3 vom Typ D
und 4 vom Typ E. Sie soll so in eine Liste sortiert werden, dass die Randelemente (erster
und letzter Satz) nur Sätze der Typen A oder E sein dürfen. Weiters sollen zwischen zwei
Datensätzen desselben Typs keine Sätze anderen Typs stehen. Wie viele mögliche
Anordnungen gibt es?
25. Wie viele verschiedene Tipps müssen beim Lotto „6 aus 45“ abgegeben werden, um
sicher einen Sechser zu erzielen? Wie viele verschiedene Tipps sind nötig, um mit
Sicherheit mindestens einmal in den Gewinnrängen (d.h. Dreier oder besser) zu sein. Bei
wie vielen möglichen Tipps stimmt mindestens eine Zahl, bei wie vielen sind alle Zahlen
falsch?
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26. Wie viele natürliche Zahlen n mit 1 ≤ n ≤ 1000 gibt es, die durch 3, 5 oder durch 11
teilbar sind? Wie viele sind weder durch 3, noch durch 5, noch durch 11 teilbar sind?
27. Wie viele natürliche Zahlen n mit 1 ≤ n ≤ 106 gibt es, die weder gerade sind, noch
Quadratzahlen, noch dritte, noch vierte Potenzen natürlicher Zahlen sind?
28. Gegeben sei der ungerichtete schlichte Graph G = (V,E) mit V = {a,b,c,d,e} und E =
{ab,ac,ae,bc,bd,ce}. Man veranschauliche G graphisch, bestimme seine Adjazenzmatrix
sowie alle Knotengrade und zeige, dass die Anzahl der Knoten, die einen ungeraden
Knotengrad besitzen, gerade ist. Gilt diese Aussage in jedem ungerichteten Graphen?
29. (a) In nachstehendem Graphen gebe man (verschiedene) Beispiele für eine gerichtete
Kantenfolge, einen Kantenzug und einen Weg vom Knoten 6 zum Knoten 1 an.
(b) Desgleichen finde man eine geschlossene Kantenfolge, einen geschlossenen Kantenzug sowie einen Kreis jeweils durch den Knoten 5.
(c) Man zeige, dass G schwach, aber nicht stark zusammenhängend ist, und bestimme
die starken Zusammenhangskomponenten.
1
2
8
3
7
4
6
5
30. Welche der nachstehenden Adjazenzmatrizen stellen einen Baum dar?
0

0
0
A=
0
0

1

0 0 0 0 1
0


0 0 1 0 1
0

0
0 0 0 1 1
, B = 
1 0 0 1 0
0

0
0 1 1 0 0


1
1 1 0 0 0

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0
1 0 1 0 1

0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 
0 1 0 0 0 
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31. Ein vollständiger Binärbaum ist ein Wurzelbaum, bei dem jeder interne Knoten genau
zwei Teilbäume besitzt. Man zeige, dass ein Binärbaum mit m internen Knoten genau
m + 1 Endknoten hat.
Wie viele Endknoten hat ein t-ärer Baum (t = 2,3,...) mit m internen Knoten, d.h. ein
Wurzelbaum, bei dem jeder interne Knoten genau t Nachfolger besitzt? (Für t = 2 ergibt
sich also ein vollständiger Binärbaum.)
32. Man untersuche, welche der nachstehenden Graphen Eulersche oder Hamiltonsche
Graphen sind. Gegebenenfalls gebe man Eulersche bzw. Hamiltonsche Linien an.
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33. Gegeben sei ein ungerichteter, zusammenhängender, bewerteter Graph G = (V,E,w) mit
V = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l} durch seine Kanten / Bewertungen:
ab/3, ac/2, ad/7, ae/2, bd/4, bf/8, bk/6, bl/1, cf/2, ck/5, de/1,
df/6, dg/9, dh/6, dj/1, ef/2, ei/1, fg/2, gh/4, fk/6, gi/6, hk/7.
(a) Man gebe drei verschiedene spannende Bäume von G an.
(b) Man bestimme ein Minimalgerüst T von G und dessen Gesamtlänge w(T).
34. In der folgenden schematisch skizzierten Landkarte sind für eine bestimmte Fracht die
Transportkosten zwischen einzelnen Orten angegeben. Welches ist der billigste Weg
vom Ort P1 zum Ort P10?
P2
8
2
6
P3
3
3
P6
3
6
8
5
4
P1
10
5
P7
P10
1
2
4
P4
1
10
P8
1
P5
9
2
P9
10
35. In nachstehendem bewerteten Graphen bestimme man den Entfernungsbaum bezüglich
des Knotens v0.
v1
v2
8
1
3
1
v0
7
4
5
v3
3
3
5
v5
2
v4
%
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9
36. Gegeben seien die folgenden binären Operationen • auf der Menge A. Man untersuche
die Operationen in Hinblick auf Assoziativität, Kommutativität sowie auf Existenz von
neutralen oder inversen Elementen.
(a) A = {−1,0,1}, • gewöhnliche Multiplikation
(b) A = Õ, a • b = 2ab
(c) A = –, a • b = ab + 1
(d) A = —, a • b = |a + b|
(e) A ≠ ∅, a • b = a
37. Man zeige, dass (Ÿ,•) mit der Operation
a • b = a + b − ab, ∀ a,b ∈ Ÿ
eine Halbgruppe ist. Gibt es ein neutrales Element? Wenn ja, welche Elemente haben
Inverse?
38. Für A = {a} und B = {b,c} bestimme man die Mengen von Wörtern
A*, B*, A*B, AB*, (A∪B)* und ABA*B.
Dabei gelte: Sind X und Y Mengen von Wörtern über einem Alphabet, dann bezeichnet
XY = {w1w2 | w1 ∈ X, w2 ∈ Y}.
39. (a) Gegeben sind die Permutationen π = (1346), ρ = (134562) und σ = (126)(35) der S6.
Man berechne πρ−1σ2 und πρσ−2.
(b) Man schreibe die folgenden Permutationen in Zyklendarstellung bzw. als Produkt
von Transpositionen, und gebe deren Vorzeichen an:
 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
π=
, ρ = 
, σ = 

2 4 5 3 1
3 4 5 6 1 2
 7 4 2 9 5 8 1 10 3 6 
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40. Man ergänze die folgende Operationstafel so, dass (G = {a,b,c,d},·) eine Gruppe ist.
·
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
a
Hinweis: Überlegen Sie zunächst, dass a neutrales Element sein muss.
41. Man beweise die Gültigkeit der folgenden Rechenregeln in einer Gruppe (G,·) für
beliebige a,b,c ∈ G:
(i) a·b = a·c ⇒ b = c (Kürzungsregel)
(ii) (a−1)−1 = a
(iii) (ab)−1 = b−1a−1
(iv) Die Gleichung a·x = b ist in G stets eindeutig lösbar.
42. Man zeige: Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G (mit neutralem Element e) ist
genau dann Untergruppe von G, wenn die Bedingungen
(i) a,b ∈ U ⇒ ab ∈ U
(ii) e ∈ U
(iii) a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U
für alle a,b ∈ G erfüllt sind. Das ist weiters genau dann der Fall, wenn
(iv) a,b ∈ U ⇒ ab−1 ∈ U
für alle a,b ∈ G gilt (Untergruppenkriterium).
43. Sei G die Menge der Permutationen
{(1), (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)}.
Man veranschauliche G, indem man die Permutationen auf die vier Eckpunkte eines
Quadrates wirken lasse und als geometrische Operationen interpretiere. Man zeige mit
Hilfe dieser Interpretation, dass G eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S4 ist
(Symmetriegruppe des Quadrates) und bestimme alle Untergruppen.
44. Man zeige, dass die Menge Ÿ5 \ {0} der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 5 mit
der Multiplikation eine zyklische Gruppe ist und bestimme alle Untergruppen.
45. Man zeige, dass für eine beliebige Menge M die Algebra (P(M),∆,∩) ein kommutativer
Ring mit Einselement ist. Für welche M ist dieser Ring sogar ein Körper?
46. Man zeichne die Hassediagramme der beiden Teilerverbände T70 und T88. Ist einer dieser
Verbände eine Boole’sche Algebra?
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3 Lineare Algebra
47. Man untersuche, ob die Menge W ein Teilraum des Vektorraums V = —3 ist, und
beschreibe W geometrisch:
(a) W = {(x,y,z) ∈ V | x + 2y + 3z = 0}
(b) W = {(x,y,z) ∈ V | x + 2y + 3z ≥ 0}
(c) W = {(x,y,z) ∈ V | x2 + y2 = 1}
48. Man zeige, dass die Menge P3(—) aller Polynome a0 + a1x + a2x2 + a3x3 vom Grad kleiner
gleich 3 mit Koeffizienten ai ∈ — einen Vektorraum über — bildet. Ferner gebe man zwei
verschiedene Basen von P3(—) an.
49. Zu den Matrizen
 3 4 2


 1 − 4 3
, A 3 = (2 − 3 0 )
A 1 =  2 1 1 , A 2 = 
 2 1 0
 1 0 5


bilde man alle Produkte AiAj, (i,j = 1,2,3), welche definiert sind.
50. Man zeige allgemein, dass jede quadratische Matrix A als Summe einer symmetrischen
Matrix B (mit B = BT) und einer schiefsymmetrischen Matrix C (mit C = −CT)
geschrieben werden kann. (Hinweis: Man wähle B = (1/2)(A + AT).) Wie sieht diese
Zerlegung konkret für die Matrix
1
0
4


A =  5 − 1 − 5 .
1 3
2 

aus?
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 cos x − sin x 
 cos 2 x − sin 2 x 
 . Man zeige, dass dann A 2 = 
 gilt, und dass
51. Sei A = 
 sin x cos x 
 sin 2 x cos 2 x 
 cos x sin x 
 gegeben ist.
die zu A inverse Matrix durch A −1 = 
 − sin x cos x 
52. Man bestimme den Rang der folgenden Matrix:
3
 1 2 −1


2 − 2 − 4
− 2
A= 1
1
0
3


1
0
 0 −1


1
 1 0 −1
53. Man untersuche die Lösbarkeit folgender Gleichungssysteme und berechne gegebenenfalls alle ihre Lösungen:
( a ) 3x 1 − 5 x 2 = 4
( b) x 1 + 5x 2 = 0
2 x 1 − x 2 = 12
( c ) − 3x 1 + x 2 = 1
2x 1 − x 2 = 0
(d ) 12 x 1 + 9 x 2 = 18
9 x 1 − 3x 2 = − 2
8x 1 + 6 x 2 = 12
54. Man finde alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems:
x1
3x1
− x1
2x1
+2x 2
+x2
+4x 2
+4x 2
−x3
−2x 3
+3x 3
+x4
+4x 4
−3x 4
+x4
= 2
= 2
= 2
= 1
55. Sei
 − 2 4 0


A =  5 −1 7 .
 2 0 3


Man zeige, dass A nichtsingulär ist und berechne A−1. Schließlich ermittle man AA−1
sowie A−1A.
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56. Man berechne die folgende Determinante:
0
10
3
7
4
1 −6 −8
3
3 −2
1 −4
7
5
.
12
57. Man bestimme sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
 2 1 − 1


A =  1 1 0 .
−1 0
1

13
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4 Folgen, Reihen und Funktionen
58. Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und
mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:
(a) (an) = 0, 1,
1
1
1
1
, 3, , 5, , ..., n ,
, ...
2
4
6
n +1
(b) (bn) mit bn =
n+4
n −1
(c) (cn) mit cn = (−1) n
für n ≥ 2
n +1
für n ≥ 1
n
59. Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (an) mit a0 = 3 und
1
6 
a n +1 =  a n +  für n = 0,1,2,... .
2
an 
Man berechne die Folgenglieder an für n = 0,...,10, untersuche die Folge in Bezug auf
Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne – wenn möglich – den
Grenzwert.
60. Man beweise, dass lim n →∞ n n = 1 gilt.
(Anleitung: Zeigen Sie, dass a n = n n − 1 eine Nullfolge ist. Dazu entwickle man die
Darstellung (1 + an)n = n mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und leite daraus die
Ungleichung a n ≤ 2 / n her.)
61. Zu folgenden konvergenten Zahlenfolgen bestimme man den Grenzwert:
(a) xn =
n 3 + 2 n 2 − 2n + 1
2n 3 − 1
(b) xn =
n2 + 2 − n2 +1
62. Seien P1 und P2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die
Strecke P1 P2 in P3, die Strecke P2 P3 in P4, P3 P4 in P5, usw. und bestimme die Lage von
Pn für n → ∞.
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63. Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe
∞
1
∑ n(n + 1)
n =1
und berechne damit – wenn möglich – die Summe.
1
1
1
= −
gilt.)
(Anleitung: Man beachte, dass
n (n + 1) n n + 1
64. Mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums untersuche man die folgenden Reihen
auf Konvergenz:
(a)
1
1
1
1
+
+
+
+ ...
1
3
5
1⋅ 2 3 ⋅ 2
5⋅ 2
7 ⋅ 27
(b)
1
1
1
1
+
+
+
+ ...
11 101 1001 10001
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65. Man bestimme die Größenordnungen von
(a) 2,7n2 − 0,5n + 1,
(b) 0,35⋅2n + 5n5,
(c)
1 + 1,1 n 2 .
Ferner zeige man, dass
(d) an = O(1) ⇔ (an) beschränkt, und
(e) an = o(1) ⇔ (an) Nullfolge.
66. Mit Hilfe der Stirling’schen Approximationsformel zeige man, dass
 3n   27 
 ∼ 
n  4 
n
3
.
4πn
67. Man leite die Funktionalgleichung ex ey = ex + y für die Exponentialfunktion aus deren
Potenzreihendarstellung durch Bildung des Cauchyprodukts der entsprechenden Potenzreihen her.
68. Man skizziere die Graphen der Funktionen
f1(x) = cos x, f2(x) = 1/cos x, f3(x) = cos2x, f4(x) = |cos x|, f5(x) =
| cos x |
im Intervall [0,π] und untersuche alle Funktionen auf Stetigkeit.
69. Man skizziere den Verlauf der Funktion f: —\{0} → —, f(x) = sin(1/x) und beweise, dass
f(x) an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen xn =
1/(nπ) und xn = 1/(2nπ + π/2) betrachtet.
70. Man berechne die Grenzwerte
2
3
(a) lim(
−
)
2
x →1 1 − x
1− x3
17 x 2 + 4 x − 1
x →∞ x 3 − 12 x 2 + 1
(b) lim
1 − cos x
x →0
x
(c) lim
71. Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion y = ex/2 − 4x +1 im Intervall
[0,1] sowie im Intervall [6,7] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen
näherungsweise berechnet werden?
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Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatik und Wirtschaftsinformatik
5 Differentialrechnung in einer Variablen
72. Man untersuche, wo die Funktion
 x +1 
f (x) = arctan 

 x −1 
differenzierbar ist, und bestimme dort ihre Ableitung f′(x).
73. Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x) = (x + 1)/(x − 1). Können Sie
allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?
74. Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:
(a) lim
x →1
ln(x)
x2 −1
3x 4
x →∞ e 4 x
(b) lim
(c) lim (1 − 2 x ) tan πx
x →1 / 2
75. Man zeige, dass der Logarithmus ln x für x → ∞ schwächer wächst als jede positive
Potenz xα von x (α > 0).
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Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Diese Aufgaben decken den Lehrstoff der letzten Vorlesungswoche ab und dienen nur zur
Vorbereitung auf die Vorlesungsprüfung.
76. Man zeige mittels Differenzieren, dass
 x 
arcsin x = arctan 
 für |x| < 1.
2
1
−
x


77. Man leite die unendlichen Reihen für sin(x) und cos(x) durch Entwicklung der beiden
Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 = 0 her.
78. Man approximiere die Funktion f(x) = 8(x + 1)3/2 durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x0 = 0. Wie groß ist jeweils der Fehler an der Stelle
x = 1/2?
79. Wie ist t (t ≠ 1) zu wählen, damit die Funktion f(x) = (x2 + t)/(x − t) in einer Umgebung
der Stelle x0 = 1 streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.
80. Man diskutiere die Funktion f(x) = sin x − 3 cos x im Intervall I = [−π,π].