Der Satz des Pythagoras 10 ( Irrationale Zahlen 1 2 3

75 – 76
Der Satz des Pythagoras
10
_
Kurs 1 76 – 77
_
a) √
​ _
Å · 3 + Å ​ = ​
 
√4 ​ =
_  2
√
​ _
2 · 4 + Å ​ = ​
 
  3
√9 ​ =
_
√
​ _
3 · 5 + Å ​ = ​
 
√16 ​ =
_  4
√
​ _
4 · 6 + Å ​ = ​
 
√25 ​ =
_  5
√
​ 5 · å + Å ​ = ​
 
  6
√36 ​ =
…_
_
√
​ Å0 · Å2 + Å ​ = ​
 
  11
√Å2Å ​ =
__
Irrationale Zahlen
1
a)
_
b)​√ (n – Å) (n + Å) + Å ​ = ​
   √n2 ​ =
  n
__
__
_
c) √
​ (n – Å) (n + Å) + Å ​ = ​
   √ n2 + n – n – Å + Å ​ = ​
   √n2 ​ =
 
n
_
_
Kunst und Mathematik
_
√4
√3
√5
_
√2
_
_
√6
1) Es muss gelten: b2 = 2 a2, also b = ​√2 ​  a ≈ 1,41 a
_
1
√7
2
3
_
_
√16
√8
b
_
_
√9
_
_
√10
a
4
_
√11
_
√12
_
√15
√14
√13
2) Trennlinie:
ø
1,41
—
b
_
_
_
( ​​ ​√2 ​  )2​​ ​ + Å2 ​ = ​
 
√3 ​ ; b
b
a
ø
Wenn Trapez- und Dreiecksfläche gleich groß sein sollen, ist
das große Quadrat doppelt so groß wie das kleine.
b = 1,41 a bzw. a = b : 1,41
Also müssen (wegen dem Strahlensatz) die Schenkel des
großen Dreiecks (aus Trapez und kleinem Dreieck) im Verhältnis 1 : 1,41 geteilt werden.
3) (Die Quadrate können auch anders ineinander verschachtelt sein, z. B.:
a
b
c
ab c
_
b = ​√2 ​  · a
_
c2 = 3 a2, also c = ​√3 ​  · a
Bei 4 ineinander geschachtelten
Quadraten mit gleich gro_
ßen Farbflächen: d= ​√4 ​  · a = 2 a.
4) Hier wurde die Länge der „Außenseite“ der schwarzen
Fläche immer halbiert.
Å
» Obere schwarze Fläche: ​ _2 ​ g · h = A
(  ) ( Å )
Å Å
Å
Å
Linke weiße Fläche: ​ _2 ​ ​ _​ 2 ​ g  ​ · ​ _​ 2 ​ h  ​ = ​ _8 ​ g · h = ​ _4 ​ A,
3
linke schwarze Fläche: ​ _4 ​ A Å
( 3 ) ( 3 )
Å
9
9
_
» untere weiße Fläche: ​ _2 ​ · ​ _​ 4 ​ g  ​ · ​ _​ 4 ​ h  ​ = ​ _2 ​ · ​ _
16  ​ · g · h = ​ 16  ​ A
7
also untere schwarze Fläche: ​ _
16  ​ A
(  ) (  )
Å
å
å
Å 49
49
_
» rechte weiße Fläche: ​ _2 ​ · ​ _​ 8 ​ g  ​ · ​ _​ 8 ​ h  ​ = ​ _2 ​ · ​ _
64 ​ g · h = ​ 64 ​ A
15
also rechte schwarze Fläche: ​ _
64 ​ A
_
_
b)a = ​√
= ​√4 ​ =
  2; c = ​√5 ​ usw.
 
c) Skizze siehe a)
Die Abstände zur jeweils nächsten Zahl werden immer
kleiner.
Das Quadrat der Wurzel ergibt den Radikanden. Der
wächst von Zahl zu Zahl gleichmäßig um 1. Die Zahlen
werden immer größer, sodass immer weniger Zuwachs
benötigt wird, um beim Quadrieren einen Zuwachs von 1
zu erreichen.
_
d)Von Länge 1 bis Länge 2 _(​√4 ​ ): 3 Dreiecke,
von Länge 2 bis Länge 3 (​√9 ​
 ): 5 Dreiecke,
_
von Länge 3 bis Länge 4 (​√16 ​ ): 7 Dreiecke.
Die Anzahl der Dreiecke bis zur nächsten ganzzahligen
Länge nimmt immer um 2 zu. _
_
(Die Anzahl der Dreiecke von ​√n – Å ​ bis ​
  √n ​ ist
 
2 n – 1.)
2
a) Das erste Beispiel stimmt. Man kann zwar eine Regelmäßigkeit erkennen (bis zur nächsten 1 immer eine Null
mehr), aber diese sichert ab, dass es keine Periode gibt.
Das zweite Beispiel stimmt nicht, die Periode ist
1234567898765432.
b)Individuelle Lösung
3
a) – d) Individuelle Lösung
e) Es gibt unendlich viele Lösungen, da man die Stellen
hinter dem Komma beliebig lang variieren kann.
43