¨Ubungsblatt 5 26.11.2014 Analysis 1 abzugeben bis 04.12.2014

Übungsblatt 5
Analysis 1
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. Alan Rendall
26.11.2014
abzugeben bis 04.12.2014
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe
Lösen Sie die folgenden Aufgaben schriftlich und geben Sie Ihre Lösungen bis Donnerstag 10:00 im Briefkasten
Ihrer Übungsgruppe in der vierten Etage des Institutsgebäudes ab! Sie dürfen die Aufgaben allein oder in Gruppen
bearbeiten (nutzen Sie dafür auch das Lernzentrum!), jedoch sollten höchstens je zwei Studierende gemeinsam ein
Lösungsblatt abgeben. Auf diesem sollten dann beide Namen und Matrikelnummern vermerkt sein.
Aufgabe 20
Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge (an )n∈N genau dann konvergiert, wenn die Folgen
(a2n )n∈N ,
(a2n+1 )n∈N
und
(a5n )n∈N
(1)
konvergieren!
Bleibt die Aussage gültig, wenn Sie die letzte Folge in (1) durch (a6n )n∈N ersetzen? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 21
a) Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge (an )n∈N , zu welcher reelle Zahlen M ≥ 0 und γ ∈ (0, 1) derart existieren, dass
für alle n ∈ N
|an+1 − an | ≤ M γ n
gilt, eine Cauchyfolge ist!
Gilt die Aussage auch, wenn Sie nur
lim |an+1 − an | = 0
n→∞
annehmen? Begründen Sie Ihre Antwort!
Folgern Sie, dass es genügt zu wissen, dass für alle n ≥ 1
|an+1 − an | ≤ γ|an − an−1 |
gilt, damit (an )n∈N eine Cauchyfolge ist!
b) Nutzen Sie diese Aussage von Teil a), um zu zeigen dass die rekursiv durch a0 = 1 und
an+1 = 1 +
1
1 + an
für n ∈ N
definierte Folge (an )n∈N konvergiert!
Hinweis (zu a)). Zeigen Sie zunächst, dass eine reelle Zahlenfolge (an )n∈N genau dann eine Cauchyfolge ist, wenn
es zu jedem ε > 0 ein N ∈ N derart gibt, dass für alle n ≥ N und alle m ∈ N
|an+m − an | < ε
gilt (dies ist eine alternative Definition einer Cauchyfolge)!
Aufgabe 22
Zeigen Sie, dass eine reelle Zahlenfolge genau dann konvergiert, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt!
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Beschränktheit als Bedingung nicht weggelassen werden kann (d.h.,
geben Sie eine Folge an, von der Sie zeigen, dass sie genau einen Häufungspunkt besitzt, aber nicht konvergiert)!
Aufgabe 23
Für reelle Zahlen r und s mit r > s > 0 seien die Folgen (an )n∈N und (hn )n∈N rekursiv durch a0 := r, h0 := s und
an+1 :=
an + hn
2
und hn+1 :=
2an hn
an + hn
für n ∈ N
gegeben. Zeigen Sie, dass durch In := [hn , an ] (n ∈ N) eine Intervallschachtelung im Sinne des Intervallschachtelungsprinzips gegeben ist! Geben Sie zudem für beliebige n ∈ N eine Abschätzung der Länge des Intervalls In+1
durch die Länge von In an!
Hinweis. Sie können die Aussage von Aufgabe 10 benutzen und überlegen, unter welchen Bedingungen in der
dortigen Ungleichungskette Gleichheit gilt.
1
Zusatzaufgabe Z2 (Die Abgabe dieser Aufgabe ist freiwillig und wird nicht bewertet.)
Zeigen Sie, dass für eine konvergente reelle Zahlenfolge (xn )n≥1 die Folge (yn )n≥1 der arithmetischen Mittel
1∑
ak
n
n
yn =
k=1
ebenfalls konvergiert und den gleichen Grenzwert wie (xn )n≥1 hat!
Nutzen Sie dies, um zu zeigen, dass für eine Folge (an )n≥1 , für welche
lim (an+1 − an ) = c
n→∞
gilt, die Folge (bn )n≥1 der gewichteten Folgeglieder
bn =
an
n
gegen c konvergiert!
Bemerkung. Beachten Sie, dass die Umkehrung der ersten Aussage im Allgemeinen falsch ist (finden Sie auf die
Schnelle ein Gegenbeispiel?)! Sie finden diesen Mittelungsprozess in der Literatur unter dem Stichwort CesaroMittelung.
2
Testaufgaben
Diese Aufgaben sollten Sie innerhalb weniger Minuten und mit wenigen Zeilen lösen können. Falls dies nicht
der Fall ist, wird empfohlen, sie zur Übung zu nutzen. In unregelmäßigen Abständen werden diese oder ähnliche
Aufgaben während der Übung schriftlich abgefragt.
T12 Sie haben gelernt, dass für konvergente Zahlenfolgen (an )n∈N und (bn )n∈N auch die Folgen (an + bn )n∈N und
(an bn )n∈N konvergieren. Gelten auch die umgekehrten Aussagen? Mit anderen Worten, beweisen bzw. widerlegen
(durch Gegenbeispiel) Sie die folgenden Behauptungen für zwei reelle Zahlenfolgen (an )n∈N und (bn )n∈N !
(i) Falls (an + bn )n∈N konvergiert, so konvergieren auch (an )n∈N und (bn )n∈N .
(ii) Falls (an bn )n∈N konvergiert, so konvergieren auch (an )n∈N und (bn )n∈N .
(iii) Falls (an + bn )n∈N und (an bn )n∈N konvergieren, so konvergieren auch (an )n∈N und (bn )n∈N .
T13 Begründen Sie, warum man in der Definition einer Cauchyfolge aus der Vorlesung die Bedingung
|an − am | < ε
zu
|an − am | ≤ ε
ändern darf, ohne dass sich dadurch die Definition selbst ändert!
T14 Für die reellen Zahlenfolgen (an )n∈N und (bn )n∈N gelte
an ≤ bn
für alle n ∈ N.
Außerdem sei die Folge (an )n∈N monoton wachsend und (bn )n∈N sei monoton fallend.
Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren und dass
lim an ≤ lim bn
n→∞
n→∞
gilt!
T15 Für reelle Zahlen a und b sei
(a ≡ b) : ⇐⇒
(a − b ∈ Z)
definiert. Zeigen Sie, dass ≡ eine Äquivalenzrelation auf R, definiert, d.h., zeigen Sie, dass ≡ für alle x, y, z die
folgenden Axiome erfüllt:
(i) ≡ ist transitiv, d.h., aus x ≡ y und y ≡ z folgt x ≡ z,
(ii) ≡ ist reflexiv, d.h., x ≡ x,
(iii) ≡ ist symmetrisch, d.h., x ≡ y.
Zeigen Sie ferner
(iv) Falls a ≡ b, so gilt für jede ganze Zahl k auch ka ≡ kb,
(v) Falls a1 ≡ b1 und a2 ≡ b2 , so ist auch (a1 + a2 ) ≡ (b1 + b2 ).
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