Ferienkurs Quantenmechanik 1 Wellenfunktion und - TUM

Grundlagen und Formalismus
Tag 1
(Theoretische Physik III)
8. September 2015
Seite 1
Ferienkurs Quantenmechanik
Sommersemester 2015
Fabian Jerzembeck und Sebastian Steinbeiÿer
Fakultät für Physik
Technische Universität München
8. September 2015
Das folgende Skript ist eine Zusammenfassung des Stoes der Vorlesung
Theoretische
Physik III - Quantenmechanik I, gehalten von Prof. B. Garbrecht im Sommersemester
2015 und orientiert sich an seinen Vorlesungsnotizen.
1 Wellenfunktion und Schrödingergleichung
In der Quantenmechanik wird ein freies Teilchen durch eine Wellenfunktion
Denition 1
~
ψ(~x, t) = Cei(k·~x−ωt)
beschrieben, wobei
C∈C
(1)
eine Normierungskonstante ist. Es gilt weiterhin
E
~
~k = p~
~
ω=
(Kreisfrequenz)
(Wellenvektor)
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Volumenelement
gegeben durch
ρdV ,
dV = d3 x
anzutreen ist
wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte
Denition 2
ρ(~x, t) = |ψ(~x, t)|2
durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegeben ist. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit besagtes Teilchen irgendwo im Volumen
ˆ
V
zu nden gegeben durch
!
dV ρ = 1
(2)
V
Dies erklärt die Normierungskonstante
C : sie muss so gewählt sein, dass Gleichung
erfüllt ist!
Die Energie eines freien Teilchens ist gegeben durch
löst die freie Schrödingergleichung:
1
E=
(2)
p
~2
und die ebene Welle (1)
2m
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Denition 3
i~
~2 2
∂
ψ(~x, t) = −
∇ ψ(~x, t)
∂t
2m
(3)
mit den Operatoren E = i~ ∂t∂ und p~ = −i~∇ haben wir
p~2
Eψ =
ψ
2m
wie gefordert.
Beispiel 1
Wir setzten in Gleichung (1) C = 1 (die Richtigkeit dieser Normierung
lässt sich schnell überprüfen) und rechnen nach:
∂
i
ψ = (− E)ψ
∂t
~
i
i
∇ψ = ( p~)ψ ⇒ ∇2 ψ = ( p~)2 ψ
~
~
p~2
⇒ Eψ =
ψ
2m
Aus der klassischen Mechanik kennen wir die Hamiltonfunktion, die in der Quantenmechanik zum Hamiltonoperator wird:
Ĥ = T + V (~x) =
p~2
~2 2
+ V (~x) = −
∇ + V (~x)
2m
2m
Hieraus folgt die allgemeine Schrödingergleichung:
Denition 4
i~
∂
~2 2
ψ(~x, t) = −
∇ + V (~x) ψ(~x, t) ⇔ Ĥψ = Eψ
∂t
2m
Dies können wir als Eigenwertgleichung auassen, wenn
Ĥ
als Matrix darstellbar ist.
2 Erwartungswerte und Impulsraum I
Denition 5
Wir denieren den Erwartungswert eines Operators Ô(~x) als:
ˆ
hÔ(~x)i =
d3 xρ(~x, t)Ô(~x)
und das Schwankungsquadrat als:
(∆Ô)2 = h(Ô − hÔi)2 i
2
(4)
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Der Impulsraum ist der fouriertransformierte Raum bezüglich des Ortsraums. Für
f (~x), f˜(~k) ∈ L1 und ~x, ~k ∈ Rn ist die Furiertransformation gegeben durch:
Denition 6
ˆ
FT[f (~x)] = f˜(~k) =
FT [f˜(~k)] =
−1
Generell bedeutet:
1
(2π)n
~
dn xf (~x)e−ik~x
ˆ
~
dn k f˜(~k)eik~x
ˆ
f ∈ L ⇔ ||f ||p = ( dn x|f |p )1/p < ∞
p
In der Quantenmechanik sind besonders
die Fälle
n = 1, 2, 3.
L2 -Funktionen
wichtig (Bsp.:
ρ = |ψ|2 )
sowie
Wir denieren analog zu (1) die Impulswellenfunktion:
Denition 7
φ(~p, t) = FT[ψ(~x, t)] =
und nden
ˆ
i
d3 xψ(~x, t)e− ~ p~~x
1
d x|ψ| =
(2π~)3
3
woraus wir folgern, dass
ˆ
2
ˆ
d3 pφ∗ φ
1
φ∗ φd3 p die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen in
(2π~)3
d3 p
zu
nden.
Der Erwartungswert eines Operators lässt sich auch im Impulsraum berechnen:
Denition 8
1
hÔ(~p)i =
(2π~)3
ˆ
d3 pφ∗ Ô(~p)φ
Dies liefert (wie einfaches Nachtrechnen zeigt) das gleiche Ergebnis, wie die Rechnung
im Ortsraum. Wir nden:
ˆ
h~pi =
1
d xψ (−i~∇)ψ ⇒ h~xi =
(2π~)3
3
∗
und somit gilt generell:
3
ˆ
d3 pφ∗ (i~∇p )φ
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Denition 9
ˆ
1
d xψ Ôψ =
(2π~)3
3
hÔi =
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ˆ
∗
d3 pφ∗ Ôφ
mit Ô:
Ort
Impuls
abstrakt Ortsdarstellung Impulsdarstellung
~x
p~
~x
−i~∇
i~∇p
p~
3 Vertauschungsrelationen und Unschärfe
Wir denieren den Kommutator:
Denition 10
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
Für den Kommutator gelten folgende Eigenschaften:
1. Antisymmetrie
[Â, B̂] = −[B̂, Â]
2. Linearität
[Â, c1 B̂ + c2 Ĉ] = c1 [Â, B̂] + c2 [Â, Ĉ]
für
c1 , c2 ∈ C
3. Jacobi-Identität
[Â, [B̂, Ĉ]] + [B̂, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, B̂]] = 0
4. Produktregel
[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ
Für die spätere Diskussion von
guten Quantenzahlen
ist folgender Satz von entschei-
dender Bedeutung:
Satz 1
(Simultane Diagonalisierung)
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren (→ Observablen!) können
simultan diagonalisiert werden und wir können simultan Eigenwerte und Eigenvektoren
(Eigenfunktionen) nden.
Auÿer dem Kommutator denieren wir uns noch den
{Â, B̂} := ÂB̂ + B̂ Â.
4
Antikommutator
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Zum Schluss dieses Abschnittes bemerken wir noch, dass der Kommutator zweier hermitescher Operatoren antihermitesch ist, da
[A, B]† = (AB − BA)† = B † A† − A† B † = BA − AB = −[A, B].
Der Antikommutator von
Beispiel 2
stellung:
A
und
B
ist dagegen wieder hermitesch.
Kommutator von Orts- und Impulsoperator in Orts- und Impulsdar
xi (−i~∂j )ψ − (−i~∂j )xi ψ = xi (−i~∂j )ψ − (−i~δij )ψ − xi (−i~∂j )ψ
(p)
(p)
(p)
(p)
(i~∂i )pj ψ − pj (i~∂i )ψ = (i~δij )ψ + pj (i~∂i )ψ − pj (i~∂i )ψ
[xi , pj ]ψ =
= (i~δij )ψ
⇒ [xi , pj ] = (i~δij )
Weiterhin nden wir:
[xi , xj ] = [pi , pj ] = 0,
[Ĥ, xi ] = −
i~
pi ,
m
[Ĥ, pi ] = i~
∂
V
∂xi
Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass das Produkt der Wurzel der Schwankungsquadrate
∆Â
und
∆B̂
zweier Operatoren
Â
und
B̂
den Wert
~/2
nicht unter-
schreiten kann:
Denition 11
∆ · ∆B̂ ≥
~
2
Gleichheit gilt für gauÿ'sche Wellenpakete!
Die exakten Werte der zwei Operatoren können also nicht simultan gemessen werden!
Zum Beispiel ist es nicht möglich Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig exakt zu
bestimmen, da
∆x · ∆p ≥
~
2
Dies ist eine fundamentale Eigenschaft der Quantennatur des Universums auf kleinen
Skalen und nicht einem unzureichenden Messaufbau o.Ä. geschuldet!
4 Einfache eindimensionale Probleme
Es sei
V 6= V (t)
ein zeitunabhängiges Potential, dann separiert die Wellenfunktion:
i
ψ(~x, t) = ψ(~x)e− ~ Et
5
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Ist
V
stetig, dann folgt aus der Schrödingergleichung (4)
2m
(V − E)ψ
~2
ψ 00 =
und
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ψ,
sowie
ψ0
sind ebenso stetig.
Wir denieren den Paritätsoperator
P:
Denition 12
Pf (x) = f (−x)
und nden
PH(x)ψ(x) = H(x)Pψ(x) ⇔ H(x) = H(−x)
Vertauschen
P
und
H,
gilt also
[P, H] = 0,
so lassen sich simultan Eigenfunktionen
und Eigenwerte zu beiden Operatoren nden (bzw. in der Sprache der lin. Algebra:
beide Operatoren lassen sich simultan diagonalisieren):
2
2
Pψ = αψ ⇒ P ψ = α Ψ ⇒ α = ±1 =
+1
−1
, gerade Partität & sym. Wellenfkt.
, ungerade Partität & antisym. Wellenfkt.
Weiterhin gilt:
(4)
[P, H] = 0 ⇒ 0 = (H − E)ψ = P(H − E)ψ = (H − E)Pψ
und wir nden, dass ψ(x) und ψ(−x) Eigenfunktionen zum Eigenwert E sind, sowie,
1
dass ψ± = √ (ψ(x) ± ψ(−x)) simultan Eigenfunktionen zu H mit Eigenwert E und zu
2
P mit Eigenwert ±1 sind.
6
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Beispiel 3
Der
V (x) = −V0 Θ(a − |x|):
Potentialtopf
sei
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gegeben
durch
das
Potential
V (x)
-a
x
a
V0
Gebundene Zustände existieren für −V0 ≤ E ≤ 0 und mit Hilfe der Schrödingergleichung (4) erhalten wir:
|x| > a :
|x| ≤ a :
2m
1√
−2mE
Eψ ≡ κ2 ψ, κ =
2
~
~
2m
1p
ψ 00 = − 2 (V0 + E)ψ ≡ −q 2 ψ, q =
2m(E + V0 )
~
~
ψ 00 = −
mit den symmetrischen bzw. antisymmetrischen Lösungen:
|x| > a :
|x| ≤ a :
ψS = S2 e∓κx , ψA = ±A2 e∓κx klass. verboten (V = 0 > E )
ψS = S1 cos(qx), ψA = A1 sin(qx) klass. erlaubt (V0 < E )
(x = a, x = −a funktioniert analog)
Es gelten die Anschlussbedingungen:
Sym. Lsg.:
S1 cos(qa) = S2 e−κa qS1 sin(qa) = κS2 e−κa
r
−E
a√
κ
→ qa tan(qa) = κa =
−2mE
⇒ tan(qa) = =
q
V0 + E
~
√
Wir führen dimensionslose Variablen ζ = a~ 2mV0 und z = qa ein und erhalten
eine transzendente Gleichung:
p
z tan(z) = ζ 2 − z 2 ⇒ tan(z) =
p
ζ 2 − z2
z
die wir grasch für ζ = 2, 4, 8 lösen:
6.
z0
5.
4.
z0
3.
2.
z2
z0
1.
z4
z2
0
π/2
7
π
3π/2
2π
5π/2
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Wir erkennen, das es nur endlich viele Lösungen mit den Energien
zn2
~2
2
2
En = −
(ζ − nn ) = −V0 (1 − 2 )
2ma2
ζ
gibt.
Antisym. Lsg.: (x
= a, x = −a funktioniert analog )
Es gelten die Anschlussbedingungen:
A1 sin(qa) = A2 e−κa − qA1 cos(qa) = κA2 e−κa
r
κ
−E
a√
cos(qa)
=− =−
→ qa cot(qa) = −κa = −
⇒ cot(qa) =
−2mE
sin(qa)
q
V0 + E
~
Mit den dimensionslose Variablen ζ und z erhalten wir erneut eine transzendente Gleichung:
−z cot(z) =
p
p
ζ 2 − z2
ζ 2 − z 2 ⇒ − cot(z) =
z
die wir wieder grasch für ζ = 2, 4, 8 lösen:
6.
5.
4.
3.
z1
2.
z1
z3
1.
z5
z1
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
Auch hier nden wir:
En = −V0 (1 −
zn2
)
ζ2
Allgemein nden wir, dass die Eigenfunktion zum n-ten Eigenwert En n − 1 Nullstellen (Knoten) hat.
Geht nun V0 → ∞, so ist ψ0 nicht mehr stetig. ψ(x) muss für alle x < |a| verschwinden und wir erhalten:
En − (−V0 ) =
~2 π 2
(n + 1)2
2
8a m
8
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5 Hilberträume & Dirac-Notation
Zunächst einmal zwei wichtige Denitionen:
Denition 13
Eine zweiwertige Verknüpfung h·, ·i auf einem Vektorraum V in die
komplexen Zahlen C heiÿt inneres Produkt, falls sie folgende Eigenschaften für alle
ψ, φ, χ ∈ V und c1 , c2 ∈ C erfüllt
1. Konjugationssymmetrie
hψ, φi∗ = hφ, ψi
2. Linearität im zweiten Argument
hψ, c1 φ + c2 χi = c1 hψ, φi + c2 hψ, χi
3. Positive Denitheit
hψ, ψi ≥ 0 und
hψ, ψi = 0 ⇔ ψ = 0
Aus der Linearität im zweiten Argument und der Konjugationssymmetrie folgt die
Antilinearität
(oder besser
Semilinearität ) in der ersten Komponente
hc1 ψ + c2 φ, χi = c∗1 hψ, χi + c∗2 hφ, χi .
Das innere Produkt wird oft auch als
Skalarprodukt
bezeichnet. Dieses induziert ge-
mäÿ
k · k=
eine
p
h·, ·i
Norm. Konvergieren beliebige Cauchyfolgen bezüglich dieser Norm, so ist der zuvollständig :
gehörige Vektorraum
Denition 14
Ein vollständiger reeller oder komplexer Vektorraum mit Innenprodukt h·, ·i wird als Hilbert-Raum H bezeichnet.
Hilbert-Räume sind im allgemeinen
komplex.
Dirac-Notation lässt sich Quantenmechanik sehr elegant beschreiben. ein
Vektor (später: Zustand )aus einem Hilbert-Raum H kann hierbei abstrakt
Mithilfe der
beliebiger
Ket |ψi ∈ H geschrieben werden. Der wesentliche Punkt hierbei ist,
Darstellung unabhängig von einer gewählten Basis des Vektorraums ist.
als
dass diese
Per Denition können somit Kets addiert und auch mit Skalaren multipliziert werden.
Auÿerdem können wir jedem Ket
|αi
einen (eindeutigen) dualen
Bra, hα|
Dabei ist gegebenenfalls auf eine komplexe Konjugation zu achten:
c ∈ C, |ψi , |φi ∈ H :
c |ψi + |φi ↔ c̄ hψ| + hφ|
9
zuordnen.
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Wir verzichten an dieser Stelle auf eine formal korrekte Einführung. Für uns genügt
die Tatsache, dass ein Bra
hψ|
zusammen mit einem Ket
|φi
ein
Braket hψ|φi, d.h. ein
inneres Produkt, auf unserem komplexen Hilbert-Raum bilden.
5.1 Operatoren im Hilbert-Raum
Im nächsten Schritt wollen wir nun
die auf die Elemente von
von Elementen aus
H
H
Operatoren
in einem Hilbert-Raum
auf andere Elemente von
H
Â
also auf den Ket
betrachten,
|βi,
Abbildung
gemäÿ
 : |ψi 7→  |ψi ≡ |Âψi
Wirkt
H
wirken. Diese beschreiben nichts weiter als eine
∈ H.
dann gilt für den dualen Bra
 |ψi ↔ hψ| † .
Insbesondere heiÿt ein Operator
linear, falls dieser
 (c |ψi + |φi) = c |ψi +  |φi
erfüllt. Die später betrachteten Operatoren werden allesamt linear sein.
Analog zu Matrizen auf endlichdimensionalen Räumen können lineare Operatoren untereinander multipliziert, addiert und mit Skalaren multipliziert werden und ergeben
so wieder neue Operatoren zu
(cÂ) |ψi = c(Â |ψi)
für
c∈C
\
A
+ B |ψi = Â |ψi + B̂ |ψi
d |ψi = Â(B̂ |ψi).
AB
5.2 Hermitesche Operatoren
 (gemäÿ unserer Forderung) wieder in H liegt, ist
hψ, Aφi mit |ψi , |φi ∈ H wohldeniert und wir können
Nachdem das Bild eines Operators
das folgendes Skalarprodukt
mittels
hψ, Âφi =: h† ψ, φi
einen
adjungierten Operator † zu  denieren. Dies zieht für Vielfache, Produkte und
Summen von Operatoren
Â, B̂
folgende Rechenregeln für ihre Adjungierte nach sich:
(cÂ)† = c̄†
für
†
c∈C
\
A
+ B = † + B̂ †
d † = B̂ † †
AB
10
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Falls
tesch.
 = †
gilt, dann heiÿt
1
 hermitesch.
Gilt
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B̂ † = −B̂ ,
so heiÿt
B̂ antihermi-
In der Quantenmechanik tauchen hermitesche Operatoren in der Form von
Observablen
ständig auf. Der Grund liefert folgender Satz:
Satz 2
Für einen hermiteschen Operator gilt:
1. alle reelle Eigenwerte sind reell
2. die zugehörigen Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
Antihermitesche Operatoren haben dagegegen rein imaginäre Eigenwerte.
5.3 Unitäre Operatoren
Ein Operator
Û
heiÿt
Exponentialfunktion
unitär,
falls dieser
Û † Û = Û Û † = 1
erfüllt. Deniert man die
eines Operators via
Â
e :=
∞
X
Ân
0
so kann gezeigt werden, dass
Û = eiÂ
n!
,
unitär ist, falls
Â
hermitesch ist.
Darüber hinaus lassen unitäre Transformationen hermitesche Operaotren invarian. Es
sei
U
eine unitäre Matrix und
Â
ein hermitescher Operator, dann gilt:
|ψ 0 i = U |ψi
hψ 0 | = hψ| U †
|ψi = U † |ψ 0 i
hψ| = hψ 0 | U
Â0 = U ÂU †
 = U † ÂU
⇒ hÂi = hψ Âψi = hψ 0 U U † Â0 U U † ψ 0 i = hψ 0 Â0 ψ 0 i
Weiterhin können hermitesche Operatoren durch unitäre Transformationen diagonalisiert werden.
5.4 Orthonormalbasen (ONB) eines Hilbert-Raums
Eine
Orthonormalbasis (ONB) ist eine Menge an orthonormalen Vektoren eines HilbertH, d.h. {|ni} mit hn|mi = δn,m . Weiter garantiert die Forderung nach Voll-
Raums
genommen fordert die Quantenmechanik sogar selbstadjungierte Operatoren. Dies ist im
unendlich-diemensionalen Fall relevant, wobei sich der Unterschied zu einem hermiteschen Operator in der Betrachtung der Denitionsbereiche nden lässt. Jedoch ist diese Diskussion bei einer
Einführung überzogen, sodass wir im Folgendem stets beim Begri der Hermitizität bleiben.
1 Streng
11
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ständigkeit
durch eine geeignete
|ψi ∈ H
dieser Menge, dass ein beliebiger Vektor
Linearkombination mithilfe dieser ONB geschrieben werden kann
|ψi =
X
cn |ni ,
wobei
cn = hn|ψi ,
n
wobei wir eine
abzählbare
´
P
die entsprechend
→
zugehörigen Koezienten
1=
über abzählbaren Fall
Enwicklung nach einer ONB
Menge vorausgesetzt haben. Im
. Allgemein wird als die
cn
gilt
mit
genannt. eine Kurzschreibweise ist
X
|ni hn| ,
bzw.
1=
ˆ
dn |ni hn| .
n
n
Der eigentliche Witz wird später sein, dass wir als ONB die Menge der Eigenzustände
bestimmter Operatoren (meist werden dies unsere Observablen sein) wählen. Streng
genommen muss stets die Vollständigkeit dieser Eigenvektoren nachgewiesen werden.
Darauf verzichten wir jedoch im Rahmen dieser Einführungsveranstaltung.
Bei festgelegter ONB lässt sich eine
Matrixdarstellung
eines Operators
Â
mit Elemen-
ten
Ân,m = hn|Â|mi
nden. Diese Feststellung werden wir insbesondere bei endlichdimensionalen Problemen
benötigen. Als einprägendes Beispiel denke man an den Spin und die Pauli-Matrizen,
dem wir uns unter anderem an Tag 3 widmen werden.
Mit den Matrixelementen lässt sich ein Operator bei gegebener ONB zu
 =
X
Ân,m |ni hm|
n,m
zerlegen.
6 Die Axiome der Quantenmechanik
Nachdem wir nun mit dem notwendigen mathematischen Handwerkszeug und Hintergrundwissen gerüstet sind, wollen wir nun die Postulate der Quantenmechanik formulieren:
I. Der quantenmechanische Zustand eines (abgeschlossenen) Systems wird durch
normierten Zustandsvektor in einem Hilbert-Raum, |ψi ∈ H mit hψ, ψi =
1, vollständig beschrieben.
Physikalische Messgröÿen (Observablen ) werden durch hermitesche Operatoren
einen
II.
mit reellen Eigenwerten dargestellt (Korrespondenzprinzip)
12
Grundlagen und Formalismus
Tag 1
(Theoretische Physik III)
III. Erwartungswerte von Operatoren
Â
im Zustand
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|ψi
sind bestimmt durch
hÂi = hψ|Â|ψi .
Diese beschreiben die Mittelwerte über viele Messungen der zu
Gröÿe, wobei das System jedes mal in den Zustand
|ψi
Â
assoziierten
2
gebracht werden muss.
 assoziierten Gröÿe mit dem Ergebnis a, wobei  |ai =
in den Eigenzustand |ai über.
IV. Bei einer Messung der zu
a |ai,
geht das System
V. Die Zeitentwicklung eines Zustandes
|ψi
ist durch die
Schrödinger-Gleichung
(4)
bestimmt.
In den nächsten Schritten werden wir wesentliche Folgerungen aus diesen Postulaten
diskutieren.
6.1 Quantenmechanischer Messprozess
Zunächst werfen wir einen Blick auf den quantenmechanischen Messprozess. Der Einfachkeit halber beschränken wir uns auf den diskreten Fall. Dazu bezeichnen wir die
Eigenwerte einer Observablen A mit a1 , a2 , a3 , .... Die dazugehörigen normierten Eigenvektoren bezeichnen wir mit
|1i, |2i, |3i... und nehmen die Vollständigkeit dieser an. Es
gilt also
A|ni = an |ni
Jeder Zustand
|αi
kann in
hn|mi = δn,m
und
dieser (!) Orthonormalbasis ausgedrückt werden
|αi =
X
cn |ni =
X
n
n
|ni hn|αi
| {z }
cn
Die Quantenmechanik postuliert nun, dass im Moment der Messung das System in
einen der Eigenzustände kollabiert.
|αi −→ |ni
In diesem Moment wird der dazugehörige Eigenwert
an
als Messwert festgelegt. Die
Wahrscheinlichkeit, welchen Messwert das System annimmt, ist über das Betragsquadrat des Koezienten
pn = |cn |2 = | hn|αi |2
gegeben.
2 Die
explizite Abhängigkeit des Erwartungswertes vom physikalischen Zustand des Systems resultiert
auch oft in der Schreibweise hÂi|ψi .
13
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Eine Summation über alle
pn
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ergibt wegen der Normierungsbedingung genau eine
Wahrscheinlichkeit von eins, d.h. die
{pn }n
stellen wirklich eine Wahrscheinlichkeits-
verteilung dar. Wichtig ist nun, dass der Erwartungswert einer Observablen dem durchschnittlichen Messwert der klassischen Physik ergibt
hAi = hα|A|αi =
XX
n
hα|mihm|A|nihn|αi =
m
X
an |hn|αi|2
n
6.2 Allgemeine Unschärferelation
Aus obiger Denition des Erwartungswertes hÂi = hψ|Â|ψi folgt sofort, dass dieser
2
ist. Falls wir auÿerdem hAi und hA i kennen, denieren wir (wie allgemein
2
üblich) die Varianz (∆A) von A als erwartete quadratische Abweichung vom Erwar-
linear
tungswert
Linearitätelf
(∆A)2 := h(A − hAi)2 i = hA2 − 2A hAi + hAi2 i
=
hA2 i − hAi2 .
q
p
2
∆A = (∆A) = hA2 i − hAi2 heiÿt Unschärfe oder Standardabweichung von A.
Betrachten wir nun gleichzeitig zwei Observablen so gibt die
lation
allgemeine Unschärfere-
eine quantitative Aussage für die untere Schranke der Gröÿe des Produkts der
zugehörigen Standardabweichungen:
Satz 3
(Allgemeine Unschärferelation)
Sind  und B̂ hermitesche Operatoren, so gilt für einen beliebigen Zustand |ψi, dass
1
∆ · ∆B̂ ≥ | h[Â, B̂]i |
2
Gilt für zwei Observablen
(5)
h[A, B]i =
6 0, dann ist das Produkt der Unschärfen von beiden
immer gröÿer als Null. Sie können also nie gleichzeitig exakt bestimmt werden.
Beispiel 4
Wir verizieren obige Aussage für das Produkt der Standardabweichungen von Ort- und Impulsoperator:
1
1
1
∆xi ∆pj ≥ | h[xi , pj ]i | = | hi~δij i | = |i~δij |
2
2
2
q
q
1
1
~
=
(i~δij )∗ (i~δij ) =
(i~δij )2 = δij
2
2
2
7 Ort und Impuls, ImpulsraumII
Nachdem wir bisher die Quantenmechanik sehr abstrakt, aber dafür sehr allgemeingültig, eingeführt haben, werfen wir nun einen Blick auf Ort und Impuls.
14
Grundlagen und Formalismus
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Die Beschreibung erfolgt im Hilbert-Raum
L2 (Rn )
für
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n = 1, 2, 3
Dimensionen. Er
besteht aus allen quadratintegrablen Funktionen, dh.:
ˆ
n
n
2
L (R ) ≡ ψ : R −→ C; d x|ψ(x)| < ∞
2
n
Darauf ist ein Skalarprodukt durch
ˆ
hψ, φi ≡
deniert, dass die Norm
ˆ
k ψ k=
dn x ψ ∗ (x)φ(x)
n
2
21
d x|ψ(x)|
induziert. Nach deniertem Skalarprodukt schreibt sich der Erwartungswert zu:
ˆ
hAi =
L2 -Funktionen
dn x ψ ∗ (x, t)Aψ(x, t)
dienen uns zur Beschreibung von physikalischen Zuständen die entwe-
der vom Ort oder dem Impuls abhängen. Als geeignete Orthonormalbasen wählen wir
Ortseigenzustände {|xi} mit der Bestimmungsgleichung x̂ |xi = x |xi und Impulseigenzustände {|pi}, analog mit p̂ |pi = p |pi.
Projizieren wir nun |ψi auf einen Ortseigenzustand |xi, so gelangen wir zur Wellenfunktion im Ortsraum:
einmal
ψ(x) = hx|ψi
oder analog im Impulsraum:
φ(p) = hp|ψi .
Dabei vereinbaren wir, dass die Wellenfunktion in der Ortsbasis mit
Impulsbasis mit
φ(p)
ψ(x)
und in der
bezeichnet wird.
Die konkrete Darstellung eines Operators hängt wesentlich von der gewählten Basis
ab:
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Satz 4
ˆ
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Im Ortsraum gilt, dass
der Ortsoperator x̂ eine Wellenfunktion mit x multipliziert, d.h.:
x̂ψ(x) −→ xψ(x),
ˆ
Potentiale der Form V (x) eine Abbildung darstellen:
V̂ ψ(x) −→ V (x)ψ(x)
ˆ
der Impulsoperator ist ein Dierentiationsoperator der Form:
−i~
d
: ψ(x) −→ −i~ψ 0 (x)
dx
Man schreibt p̂x = −i~ dxd .
ˆ
der Hamilton-Operator Ĥ eines Teilchens mit Masse m in einem Potential V̂
mittels Korrespondenzprinzip geschrieben werden kann zu:
p̂2
−~2 d
Ĥ =
+ V̂ =
+ V (x)
2m
2m dx
Wir wollen den Dirac-Formalismus noch dazu benutzen um herauszunden wie ei0
ne Wellenfunktion φα (p ) die einen Zustand |αi in dem Impulsraum beschreibt, im
Ortsraum aussieht. Dafür schieben wir geschickt einen Identitätsoperator, ausgedrückt
durch Impulseigenzuständen, ein:
ˆ
0
0
0
ˆ
0
ψα (x ) = hx |αi = hx |1|αi =
0
0
0
dp hx |p i hp |αi =
dp0 hx0 |p0 i φα (p0 ).
0 0
Wir müssen also wissen wie hx |p i aussieht. Das ist eine Eigenfunktion des Impulsoped
im Ortsraum. Wir haben also die Dierentialgleichung
rators p = −i~
dx
−i~
d
hx0 |p0 i = p0 hx0 |p0 i
0
dx
Die Lösung lautet (mit richtiger Normierung)
1
hx |p i = √
exp
2π~
0
und ist eine
0
ip0 x0
~
ebene Welle. M.a.W. sind also ebene Wellen die Impulseigenfunktionen im
Ortsraum! Einsetzen liefert uns
0
ψα (x ) =
ˆ
1
dp √
exp
2π~
0
16
ip0 x0
~
φα (p0 )
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Wir kommen also, wie wir bereits oben gesehen haben, durch eine
tion
Fouriertransforma-
von einer Wellenfunktion im Impulsraum zu einer Wellenfunktion im Ortsraum,
man kann also
φ = FT[ψ] schreiben. Dies zeigt formal
die Richtigkeit obiger Annahme
und wir können allgemein für drei Dimensionen festhalten:
Satz 5
Haben wir eine Wellenfunktion ψ(~x) im Ortsraum gegeben, dann lautet die
Wellenfunktion im Impulsraum:
ˆ
1
i~p · ~x
ψ(~x)
d x exp −
~
3
φ(~p) = √
3
2π~
Andersrum haben wir
1
ψ(~x) = √
3
2π~
ˆ
3
d p exp
i~p · ~x
~
φ(~p)
Es sei noch angefügt, dass obige Diskussion für einen beliebigen Zeitpunkt
t
in der
Evolution eines Teilchens galt.
7.1 Die δ -Distribution
δ -Distribution ist eine stetige
Testfunktionen E in den zugrunde
Die
lineare Abbildung von einem Funktionenraum der
liegenden Körper
K:
δ (n) : E → K, f 7→ f (0)
keine
Funktion im mathematischen Sinn (der häug verwendete Begri δ ∞
Funktion ist falsch!) sondern operiert auf dem Raum der Testfunktionen E = C (Ω),
n
n
mit Ω ⊂ R , bzw. Ω ⊂ C . Somit ist K = R, bzw. K = C.
Sie ist
Für unsere Belange sind die folgenden zwei Eigenschaften besonders interessant, wobei
wir ~
x, p~, ~a ∈ Rn wählen:
ˆ
dn xf (~x)δ (n) (~x − ~a) = f (~a)
ˆ
dn p~
(n)
1 · ei~p~x
δ (~x) = FT[1] =
(2π~)n
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Beispiel 5
Im Kontinuierlichen gilt für die Orthonormalität δij → δ (n) (~x − ~y) und
wir können sofort zeigen, dass ei~p~x für alle ~x ein Orthonormalsystem bilden (∗ sei das
Skalarprodukt auf dem betrachteten Hilbertraum):
i~
p~
x
e
∗e
i~
p~
x0
ˆ
ˆ
dn p~ i~p~x
dn p~ i~p~x −i~p~x0
i~
p~
x0 ∗
=
e
·
(e
)
=
e ·e
(2π~)n
(2π~)n
ˆ
dn p~ i~p(~x−~x0 )
=
e
= δ (n) (~x − ~x0 )
(2π~)n
7.2 Zusammenfassung
Ortsbasis |~xi:
Eigenfunktionen zum Operator
~x mit Eigenwert x0 seien gegeben durch:
ψx0 (x) = δ 3 (~x − ~x0 ) ↔ ~xψx0 (x) = x0 ψx0 (x)
mit Eigenvektor
ψx0 (x) → |x0 i. Die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem:
h~x0 , ~x00 i = δ 3 (~x0 − ~x00 )
Dies liefert die Wellenfunktion im Ortsraum zu:
ˆ
d3~x0 δ (3) (~x − ~x0 )ψ(~x0 )
ˆ
ˆ
3
⇒ d ~x |~xi h~x| = 1 ⇒ |ψi = d3~x |~xi h~x, ψi
ψ(~x) = h~x, ψi =
⇒ ψ(~x) = h~x, ψi ⇒
kontinuierliche Basis
{|~xi}
Impulsbasis |~pi: Aus der Denition:
Denition 15
i
h~x, p~i = e ~ p~~x
erhalten wir die Impulsbasis. Sie ist, wie die Ortsbasis, orthonormiert:
h~p, p~0 i = (2π~)3 δ (3) (~p − p~0 )
und wir haben:
φ(~p) =
ˆ
3
d ~xe
~~
x
− ~i p
ˆ
ψ(~x) =
18
d3~x h~p, ~xi h~x, ψi = h~p, ψi
ˆ
1
⇒
d3 p~ |~pi h~p| = 1
(2π~)3
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und wir erhalten, was mit einfachem Nachrechnen überprüft werden kann, den
Ringschluss:
ˆ
ψ(x) =
i
d3 p~e ~ p~~x φ(~p) = · · · = h~x, ψi
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