Vorlesung “Mikroökonomik”

Georg-August-Universität Göttingen
Volkswirtschaftliches Seminar
Prof. Dr. Robert Schwager
Vorlesung “Mikroökonomik”
Sommersemester 2004: Mikroökonomik I
Termin und Ort
Donnerstag, 10:15-11:45 (ZHG 010), erster Termin: Do, 15. April 2004.
Sprechstunde
Dienstag, 14:30-15:30 Uhr (Oec II-50)
email: [email protected]
Übung
Mittwoch, 16:15-17:45 (ZHG 011), erster Termin: Mi, 20. April 2004.
Tutorien
Beginn: erste Maiwoche.
Termin und Ort werden durch gesonderten Aushang bekannt gegeben.
Literatur
Bergstrom, T. und H. Varian (2003): Workouts in intermediate microeconomics,
6. Aufl., New York: Norton.
Böhm, V. (1995): Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band I, 3. Aufl., Berlin: Springer.
Böhm, V. (1993): Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band II, 2. Aufl., Berlin:
Springer.
Chiang, A. (2002): Fundamental methods of mathematical economics, 3. Aufl.,
Nachdruck, New York: McGraw-Hill.
Feess, E. (2000): Mikroökonomie: eine spieltheoretisch- und anwendungsorientierte Einführung, 2. Aufl., Marburg: Metropolis.
Kreps, D. (1990): A course in microeconomic theory, New York: Harvester Wheatsheaf.
Varian, H. (2003): Intermediate microeconomics: a modern approach, 6. Aufl.,
New York: Norton.
1
Inhalt
Mikroökonomik I: Einzelwirtschaftliche Entscheidungen
1.
Einführung in die wirtschaftstheoretische Methode: Der Wohnungsmarkt
Varian (2003), Kap. 1
A. Theorie des Unternehmens
2.
Technologie und Produktionsfunktion
Varian (2003), Kap. 18
3.
Gewinnmaximierung
Varian (2003), Kap. 19
4.
Kostenminimierung
Varian (2003), Kap. 20
5.
Kostenkurven
Varian (2003), Kap. 21
B. Theorie des Haushalts
6.
Das Budget
Varian (2003), Kap. 2
7.
Präferenzen und Nutzenfunktion
Varian (2003), Kap. 3, 4
8.
Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung
Varian (2003), Kap. 5
9.
Einkommens- und Preisänderungen
Varian (2003), Kap. 6, 8
10.
Das Arbeitsangebot
Varian (2003), Kap. 9
11.
Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
Varian (2003), Kap. 14
2
Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten
C. Wettbewerbsmärkte
12.
Konkurrenzgleichgewicht und Monopol auf einem einzelnen Markt
13.
Langfristiges Gleichgewicht bei Konkurrenz
14.
Allgemeines Tauschgleichgewicht
15.
Ersparnis und Investition
16.
Risiko und Versicherungsmärkte
D. Spieltheorie und oligopolistische Märkte
17.
Spiele in Normalform
18.
Sequenzielle Entscheidungen
19.
Oligopolistischer Mengenwettbewerb
20.
Oligopolistischer Preiswettbewerb
E. Asymmetrische Information
21.
Adverse Selektion
22.
Moralisches Risiko
23.
Signale
3
1. Einführung in die
wirtschaftstheoretische
Methode:
Der Wohnungsmarkt
– Es gibt mehr Interessenten für die inneren
Wohnungen als solche Wohnungen vorhanden
sind.
– der Preis der Wohnungen im äußeren Ring, das
Einkommen der Wohnungssuchenden, die Anzahl
der Wohnungen im inneren Ring sind exogen.
D.h. diese Größen werden nicht durch das Modell
erklärt.
• Die Wirtschaftstheorie entwickelt Modelle
sozialer Phänomene.
Fragen
Ein Modell ist eine vereinfachte Darstellung der
Wirklichkeit.
– Wie hoch ist die Miete im inneren Ring?
• Beispiel: Der Preis von Wohnungen
• Annahmen:
– es gibt nur zwei Arten von Wohnungen. Die
einen sind nahe der Universität gelegen (innerer
Ring), die anderen sind weiter entfernt (äußerer
Ring).
– Wer wohnt in den Wohnungen im inneren
Ring? (Allokation)
– Wie wünschenswert sind unterschiedliche Verfahren zur Zuteilung der Wohnungen?
Preis und Allokation sind endogen, d.h. sie
werden durch das Modell erklärt.
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
4
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
5
Die ökonomische Methode:
Prinzipien der Erklärung
menschlichen Verhaltens
Nachfragekurve: Beschreibt die nachgefragte
Menge zu jedem möglichen Preis.
Konstruktion der Nachfragekurve: absteigend
– Das Optimierungsprinzip: Jeder Mensch
wählt die beste der ihm zur Verfügung
stehenden Möglichkeiten.
– Das Gleichgewichtsprinzip: Die Entscheidungen müssen alle zugleich durchführbar sein.
geordnete Liste aller Vorbehaltspreise, z.B.
• eine Person mit Vorbehaltspreis € 400
• eine Person mit Vorbehaltspreis € 390
• zwei Personen mit Vorbehaltspreis € 380
• usw.
Miete
[€]
Die Nachfrage
Vorbehaltspreis: Maximale Zahlungsbereitschaft
einer Person
400
390
Zahlungsbereitschaft
1
2
3
4
Anzahl der Wohnungen
380
Möglichkeiten:
Einkommen,
Preise der Wohnungen
im äußeren Ring,
...
Wünsche:
Präferenzen
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
6
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
7
Das Angebot (die Vermieter)
Nachfragekurve bei vielen
Nachfragern
Angebotskurve: Beschreibt die zu jedem der
möglichen Preise angebotene Menge.
Konstruktion der Angebotskurve
Annahmen:
Miete
• Die Vermieter sind daran interessiert, ihre Wohnungen zum höchstmöglichen Preis zu vermieten.
• Die Zahl der Wohnungen ist kurzfristig fest.
• Wettbewerb (Konkurrenz): jeder Vermieter
handelt im eigenen Interesse, keine Preisabsprachen,
Vermieter sind Preisnehmer.
Miete
Nachfrage
Angebot
Anzahl von Wohnungen
• Bei vielen Nachfragern sind die
Sprünge zwischen den Preisen klein.
• Stetige Nachfragekurve
Anzahl der Wohnungen
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
8
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
9
Marktgleichgewicht
Behauptung: Der Preis aller Wohnungen im
inneren Ring muß einheitlich sein.
Das Wettbewerbsgleichgewicht
Beweis durch Widerlegung des Gegenteils:
• Mieter A zahlt p h , Mieter B zahlt p l < p h .
Mieter A kann dem Vermieter von B für B ’s
Wohnung eine Miete zwischen p l und p h bieten.
Miete
• Das lohnt sich für A und den Vermieter; sie
werden einen Mietvertrag über die Wohnung
abschließen.
Angebot
• Widerspruch zum Gleichgewichtsprinzip.
Gleichgewichtspreis p*: Der Preis, bei dem die
nachgefragte Anzahl von Wohnungen gleich der
angebotenen ist.
Allokation im Gleichgewicht: Personen mit
einem Vorbehaltspreis über p* werden im
inneren
Ring
und
solche
mit
einem
Vorbehaltspreis unter p* werden im äußeren
Ring wohnen.
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
10
p*
Nachfrage
Anzahl an Wohnungen
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
11
Komparative Statik
• Wie ändert sich das Gleichgewicht, wenn sich
exogene Größen ändern?
Beispiel: Umwandlung mehrerer Mietwohnungen
in Eigentumswohnungen
1. Effekt: Das Angebot an Mietwohnungen sinkt.
2. Effekt: Da einige Mieter von Wohnungen sich
nun entschließen könnten, die neuen Eigentumswohnungen zu kaufen, sinkt die Nachfrage nach
Mietwohnungen ebenfalls.
• Vergleich zwischen zwei
Gleichgewichtszuständen
Beispiel: Erhöhung des Wohnungsangebots
Wenn sich Nachfrage und Angebot in gleichem
Ausmaß nach links verschieben, bleibt der
Gleichgewichtspreis unverändert.
Miete
Miete
altes
Angebot
neues
Angebot
neues
Angebot
altes
Angebot
altes p*
altes p*
neues P*
alte Nachfrage
Nachfrage
neue Nachfrage
Anzahl an Wohnungen
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
Anzahl der Wohnungen
12
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
13
Beispiel: Grundsteuer
Andere Verfahren der Allokation
von Wohnungen
• Jeder Vermieter muß € 50 pro Monat für jede
seiner Wohnungen zahlen.
• Die Angebotskurve ändert sich nicht, da die Zahl
der Wohnungen unverändert bleibt.
• Die Nachfragekurve ändert sich auch nicht.
• Folgerung: Der Gleichgewichtspreis ändert sich
nicht.
1. Der Konkurrenzmarkt wie in vorheriger
Analyse
2. Der diskriminierende Monopolist
• Die Vermieter tragen die Steuer.
• besitzt alle Wohnungen
Anwendung: Wer profitiert vom Wohngeld?
• kennt alle Vorbehaltspreise
• kann Untervermietung verhindern
Gleichgewicht:
• Jeder Mieter zahlt seinen Vorbehaltspreis
• Die Interessenten, deren Zahlungsbereitschaft
größer ist als p*, erhalten die Wohnungen im
inneren Ring.
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
14
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
15
3. Der (gewöhnliche) Monopolist
4. Mietenbegrenzung
_
• p < p* als höchste zulässige Miete
• besitzt alle Wohnungen
• Rationierung der Nachfrager
• kennt die Nachfragekurve
• i.d.R. erhalten nicht die Nachfrager mit den
größten Zahlungsbereitschaften die inneren
Wohnungen.
• muß von allen Mietern die gleiche Miete verlangen.
Angebotssteigerung
Umsatz steigt
Miete
Angebot
Preis sinkt
_
p
Umsatz sinkt
Nachfrage
Ein Monopolist wird nicht alle Wohnungen vermieten.
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
16
Überschußnachfrage
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
Anzahl an Wohnungen
17
Vergleich unterschiedlicher Arten der
Allokation von Wohnungen
Welches der Allokationsverfahren
•
Konkurrenzmarkt
•
diskriminierender Monopolist
•
gewöhnlicher Monopolist
•
Mietenkontrolle
• Monopol: Die Vermietung einer leeren Wohnung
zu einem beliebigen positiven Preis ist eine
Pareto-Verbesserung.
• Mietenbegrenzung: Es gibt Personen, die im
äußeren Ring wohnen und bereit sind, mehr zu
zahlen als Personen mit einer Wohnung im
inneren Ring, so dass es ein Potential für
Tauschgewinne gibt.
ist das “beste ”?
Pareto-Effizienz: Eine Situation ist Pareto-effizient,
wenn es keine Möglichkeit gibt, jemanden besser
zu stellen, ohne jemand anderen dadurch
schlechter zu stellen.
Pareto-Verbesserung: Eine Veränderung der
Situation, so daß es einer Person besser geht,
aber niemandem schlechter.
Kriterium für Pareto-Effizienz in diesem Modell:
• Alle Wohnungen sind vermietet.
• Die Personen mit den größten Zahlungsbereitschaften wohnen im inneren Ring.
Pareto-effiziente Allokationen:
• Wettbewerbsmarkt
• Diskriminierender Monopolist
Nicht Pareto-effiziente (ineffiziente) Allokationen:
• Monopolist
In einer Pareto-effizienten Situation gibt es
keineTauschmöglichkeiten mehr, die sich für beide
Partner lohnen.
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
Pareto-Effizienz der 4 Allokationen
18
• Mietenbegrenzung
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
19
Zusammenfassung
Langfristiges Gleichgewicht
•
•
•
•
Neubau
Angebot hängt vom Preis ab: Je höher die
Miete, desto mehr Wohnungen werden gebaut.
Die Angebotskurve verläuft steigend.
Die Gleichgewichtsmenge ist endogen.
• In der Wirtschaftswissenschaft werden Modelle
sozialer Phänomene erstellt, die vereinfachte
Darstellungen der Wirklichkeit sind.
• Dabei werden
beachtet:
zwei
methodische
Prinzipien
– Das Optimierungsprinzip: Jeder Mensch
wählt die beste der ihm
stehenden Möglichkeiten.
Miete
• Die Nachfragekurve gibt für jeden Preis an,
wieviel die Käufer zu diesem Preis nachfragen
wollen, die Angebotskurve gibt für jeden Preis
an, wieviel die Verkäufer zu diesem Preis
anbieten wollen. Bei einem Gleichgewichts-
p*
Nachfrage
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
Verfügung
– Das Gleichgewichtsprinzip: Die Entscheidungen müssen alle zugleich durchführbar
sein.
Angebot
Gleichgewichtsmenge
zur
Zahl der Wohnungen
20
preis sind Angebotsgleich groß.
und Nachfragemenge
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
21
• Komparative Statik untersucht, wie sich das
Gleichgewicht verändert, wenn sich eine der
zugrundeliegenden Bedingungen verändert.
• Eine Situation ist Pareto-effizient, wenn
keine Möglichkeit besteht, jemanden besser zu
stellen, ohne gleichzeitig jemand anderen
schlechter zu stellen.
Mikroökonomik I: 1 Der Wohnungsmarkt
22
A. Theorie des
Beschränkungen der Entscheidungsmöglichkeiten eines Unternehmens
Unternehmens
Technische Beschränkungen
Das Grundmodell des Unternehmens
Ziel: Gewinnmaximierung
Gewinn = Erlös - Kosten
Nur technisch durchführbare Input-/
Outputkombinationen können gewählt
werden
Marktbeschränkungen
m
n
i =1
i =1
π = ∑ pi yi −∑ wi xi
Bei Konkurrenz können Outputpreise
p = (p 1 , p 2 , ..., p m) und Inputpreise
w = (w1 ,w2 , ..., wn ) vom Unternehmen nicht
verändert werden. Es ist Preisnehmer.
Entscheidungsmöglichkeiten:
yi Menge, die von jedem Erzeugnis (Output)
i=1,2,...,m hergestellt wird
p i Preis des Outputs i
xi Menge, die von jedem Einsatzstoff (Input,
Produktionsfaktor) i=1,2,...,n verwendet wird
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
23
wi Preis des Inputs i
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
24
2. Technologie und
Produktionsfunktion
• Einproduktunternehmen: m=1
(x1 ,x2 ,...,xn ,y) bzw. (x1 ,x2 ,y) Produktionsplan
• Produktionsplan = Liste aller Inputmengen, die
eingesetzt werden und aller Outputmengen, die
hergestellt werden.
• Inputs und Outputs werden meist als Stromgrößen
gemessen, z.B.
– 200 Arbeitsstunden pro Tag
• Produktionsmöglichkeitenmenge
(Technologiemenge) Y = Menge aller technisch
durchführbaren Produktionspläne
• Die Produktionsfunktion y = f (x1 ,x2 ,...,xn ) gibt
den maximal möglichen Output an, den man mit
der Inputkombination (x1 ,x2 ,...,xn ) erzielen kann.
– 5 MWh pro Tag
– 20 000 PkWs pro Jahr
y = Output
• mathematische Darstellung von Produktionsplänen
durch Vektoren
x = ( x1 , x2 ,..., xn )
Inputmengen
y = ( y1 , y2 ,..., ym )
Outputmengen
( x, y )
Produktionsplan
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
y = f (x) = Produktionsfunktion
Produktionsmöglichkeitenmenge
x = Input
25
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
26
Eigenschaften der Technologie
• Die Isoquante zum Outputniveau y ist
die Menge aller möglichen Kombinationen der
• Monotonie
Es ist immer möglich, von einem Input mehr
Inputs 1 und 2, die gerade ausreicht, um die
Menge y des Outputs zu erzeugen.
einzusetzen oder von einem Output weniger
herzustellen. Wenn mit (x1 ,x2 ) der Output y
hergestellt werden kann, dann kann auch mit
(x1 ´, x2 ´) der Output y´ hergestellt werden, falls
gilt:
x2
x1 ' ≥ x1 , x2 '≥ x2 , y' ≤ y.
x2
Isoquante
(x1´, x2´)
(x1,x2)
x1
x1
Bei monotoner Technologie gilt für alle (x1 ´, x2 ´)
im grünen Bereich
f (x1 ' , x2 ' ) ≥ f ( x1 , x 2 )
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
27
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
28
•
Konvexität
x2
(x1,x2)
200
175
Der gewogene Durchschnitt zweier
durchführbarer Produktionspläne ist selbst
durchführbar.
(x1´´, x2´ ´ )
(x1´, x2´)
100
Beispiel:
x1 = 100, x2 = 200
100 150
x1 ' = 300, x2 ' = 100
y = 100
t = 0,75
x1
Wenn die Technologie konvex ist, gilt f ( x1 ' ' , x2 ' ' ) ≥ y.
Gewichtungsfaktor
Die Isoquante verläuft unterhalb der
Verbindungsgeraden von (x1 ,x2 ) nach (x1 ´,x2 ´).
Kann man mit
x1 ' ' = 0,75 ⋅ 100 + 0,25 ⋅ 300 = 150
300
und
Konvexität im Input-Output-Diagramm
x2 ' ' = 0,75 ⋅ 200 + 0,25 ⋅ 100 = 175
auch den Output y=100 herstellen?
y
x
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
29
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
30
Beispiele für Technologien
Cobb-Douglas Produktionsfunktion
Limtationale Produktionsfunktion
(festes Faktoreinsatzverhältnis)
f (x1 ,x2 ) = min{x1 ,x2 }.
f (x1 , x2 ) = Ax1 a x2b mit A>0, 0<a,b<1.
speziell: A=1, a+b=1.
x2
x2
x1
Lineare Produktionsfunktion
(Vollkommene Substitute)
f (x1 ,x2 ) = x1 + x2 .
x2
x1
x1
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
31
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
32
Das Grenzprodukt
Grenzprodukt bei gekrümmter
Produktionsfunktion
Wie verändert sich der Output, wenn von einem
Input eine Einheit zusätzlich eingesetzt wird?
y
∆x1 = 1, ∆y = ?
∂f
∂xi
∆y
∆ x1
(endliches) Grenzprodukt des Faktors 1;
es gibt die zusätzliche Menge des Outputs je Einheit
zusätzlichen Inputs an.
Beispiel:
f (x1 , x2 ) = 2x1 + x2
x2 unverändert,
∆y
∆x1
∆y
∆x1 = 1 ⇒ ∆y = 2 also ∆x = 2.
1
y
xi
Das (infinitesimale) Grenzprodukt des Faktors i:
∂f ( x1 , x2 )
f ( x1 + ∆x1 , x2 ) − f ( x1 , x2 )
= lim
∆
x
→
0
∂ x1
∆x1
∆y
1
∆x1
gibt das Grenzprodukt für sehr kleine
Inputänderungen an.
x2
x1
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
33
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
34
Skalenerträge
Abnehmendes Grenzprodukt
Wie verändert sich das Grenzprodukt eines Inputs,
wenn von diesem Input mehr eingesetzt wird?
Wie steigt der Output, wenn alle Faktoren
proportional erhöht werden?
Beispiel:
y = f (x1 , x2 ) = ax1 + bx2 .
Verdoppelung der beiden Inputs führt zum Output
y
f ( 2 x1 , 2 x 2 ) = a ⋅ 2 x1 + b ⋅ 2 x 2
= 2( ax1 + bx 2 )
= 2 y,
y
also zur Verdoppelung des Outputs.
y f ( x)
xi = xi
Allgemein: Führt eine Erhöhung der Inputmengen
auf das t-fache (t>1) zu einer Erhöhung des
Outputs um mehr oder weniger als das t-fache?
Durchschnittsprodukt
xi
xi
Ertragsgesetz: Ab einem bestimmtem
Inputniveau sinkt das Grenzprodukt jedes
Faktors.
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
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Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
36
Die technische Rate der Substitution
Die Produktionsfunktion hat
• Konstante Skalenerträge,
wenn für alle t ≥ 0 gilt:
Kann man einen Input durch den anderen ersetzen,
ohne den Output zu verringern?
Beispiel: Lineare Technologie f ( x , x ) = 2 x + x .
1 2
1
2
Wenn x1 um
sinkt und x2 um
steigt,
∆x2 = 2
∆x1 = −1
bleibt f (x) unverändert.
f (tx1 , tx2 ) = tf (x1 , x2 ),
• Zunehmende Skalenerträge,
wenn für alle
gilt:
t >1
f (tx1, tx2 ) > tf (x1 , x2 ),
∆ x2
∆x1
• Abnehmende Skalenerträge,
wenn für alle
gilt:
= TRS(x1 ,x2 )
Technische Rate der
Substitution.
Sie mißt das Austauschverhältnis zwischen zwei Inputs
in der Produktion bei einem konstanten Outputniveau.
t >1
f (tx1, tx2 ) < tf (x1, x2 ).
Abnehmende Skalenerträge treten auf, wenn ein
Produktionsfaktor nicht vermehrt eingesetzt werden
kann.
Beispiel: Landwirtschaft mit Inputs Arbeit (x1 ),
Kapital (x2 ) und Boden (z).
x2
TRS = -2
∆x2
f(x1 ,x2 ) hat abnehmende Skalenerträge
F(x1 ,x2 ,z) hat konstante Skalenerträge.
∆x1
x1
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
37
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
38
TRS mit gekrümmter Isoquante
Entlang einer Isoquante ist dy = 0, also
x2
0=
∆x2
TRS ( x1 , x2 ) =
Abnehmende |TRS|
x1
Wie ändert sich |TRS|, wenn man sich entlang
einer Isoquante nach rechts bewegt?
Wenn die Technologie konvex ist, nimmt |TRS|
ab bzw. steigt nicht.
(infinitesimale) TRS = Steigung der
Isoquante
Berechnung der TRS:
x2
dx1 , dx2 Änderungen der Inputmengen
dy
Änderung der Outputmenge
Totales Differential der Produktionsfunktion:
dy =
dx2
∂ f ( x1 , x2 ) / ∂x1
=−
.
dx1
∂f ( x1 , x2 ) / ∂ x2
∆ x1
dx2
dx1
dx 2
dx1
∂f ( x1 , x2 )
∂f ( x1, x2 )
dx1 +
dx2
∂ x2
∂x1
A
B
∂f ( x1, x2 )
∂f ( x1, x2 )
dx1 +
dx2.
∂x1
∂x2
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
x1
39
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
40
Zusammenfassung
• Die technologischen Beschränkungen eines
Unternehmens werden durch die Menge der
Produktionsmöglichkeiten beschrieben, die
alle technologisch durchführbaren Kombinationen
von Inputs und Outputs darstellt, und durch die
Produktionsfunktion, die den maximalen
Output für jede vorgegebene Menge der Inputs
angibt.
• Eine Isoquante gibt alle jene Kombinationen
von
Inputs
an,
die
ein
Outputniveau produzieren können.
vorgegebenes
• Im allgemeinen wird angenommen, dass die
Technologie konvex und monoton ist.
• Die technische Rate der Substitution (TRS)
mißt die Steigung einer Isoquante. Es wird
allgemeinen angenommen, dass die TRS sinkt,
wenn man sich entlang einer Isoquante bewegt.
• Skalenerträge beschreiben, wie stark der Output
steigt, wenn alle Inputs gleichmäßig erhöht
werden. Konstante Skalenerträge liegen vor,
wenn eine Erhöhung aller Inputmengen auf das
t-fache zu einer Steigerung des Outputs auf das
t-fache führt. Wenn der Output auf mehr als das
t-fache zunimmt, dann haben wir steigende
Skalenerträge; und wenn er um weniger als
das t-fache ansteigt, dann haben wir
abnehmende Skalenerträge.
• Das Grenzprodukt mißt den zusätzlichen Output
je zusätzlicher Einheit eines Inputs bei Konstanz
aller anderen Inputs. Typischerweise wird
angenommen, dass das Grenzprodukt eines
Inputs fällt, wenn immer mehr von diesem Input
verwendet wird.
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
41
Mikroökonomik I: 2 Technologie und Produktionsfunktion
42
3. Gewinnmaximierung
Ein-Produkt-Unternehmen mit zwei Faktoren
Optimierung des Unternehmens
max π = pf ( x1 , x 2 ) − w1 x1 − w2 x 2
x1
Notwendige Bedingung für ein GewinnMaximum:
y = f (x , x )
1 2
π = pf ( x , x ) − w x − w x
1 2
11
2 2
∆π
=0
∆ x1
bzw.
∆π
>0
∆x1
∂π
=0
∂x1
Kurzfristige Gewinnmaximierung
Wenn
Die Einsatzmenge des Faktors x2 sei kurzfristig
fix. Sie ist auf x 2 festgelegt.
Unternehmen den Gewinn erhöhen, indem es
Beispiele:
langfristige Mietverträge für Immobilien,
∆π
<0
∆ x1
wäre, dann könnte das
mehr
vom Input 1 einsetzt.
weniger
Die optimale Menge x1 * ist die (kurzfristige)
Faktornachfrage. Der damit produzierte
optimale Output ist das (kurzfristige) Angebot.
Kündigungsschutz für Arbeitnehmer;
Kapitalbestand
∂π
∂f ( x1 , x 2 )
= p⋅
− w1 = 0
∂x1
∂x1
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
43
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
44
p⋅
∂f ( x1 , x2 )
∂x1
Wertgrenzprodukt
des Faktors 1
Graphische Lösung
= w1
Gewinn:
Preis
=
des Faktors 1
π = py − w1 x1 − w2 x 2
Isogewinnlinie:
... gibt an, um
wieviel der Erlös
... gibt an, um
wieviel die Kosten
steigt, wenn eine
Einheit des Faktors 1
zusätzlich eingesetzt
wird.
steigen, wenn eine
Einheit des Faktors 1
zusätzlich eingesetzt
wird.
Beispiel:
Faktor 1 = Arbeit l
Faktor 2 = Kapital k
y=
π + w2 x2 w1
+ x1
p
p
•
Die Isogewinnlinie enthält alle Kombinationen
von Inputmenge und Outputmenge, die ein
konstantes Gewinnniveau ergeben.
•
Zu jedem Gewinn
gehört eine andere Isoπ
gewinnlinie.
•
Je höher , desto höher liegt die zugehörige
Isogewinnlinie.
π
•
Suche die höchste Isogewinnlinie, die mit der
Produktionsfunktion einen Punkt gemeinsam
hat.
π
∂f ( l , k ) w
=
∂l
p
Grenzprodukt
der Arbeit
=
Reallohn
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
45
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
46
Isogewinnlinien
Steigung = w1 /p
y
Komparative Statik
Wie ändern sich die optimalen Entscheidungen, wenn
sich exogene Größen ändern?
f (x1 , x 2 )
Erhöhung des Inputpreises von w1 auf w1 ´.
y*
(π * +w2 x2 )/ p
y
x*
1
w1 ’/p
w1/p
x1
y*
Anwendung:
Wie verändert sich der Gewinn, wenn das
Unternehmen mehr Beschäftigte einstellen muß,
als es eigentlich will?
f (x1 , x2 )
(π * +w2 x 2 ) / p
y*’
(π *'+ w2 x2 )/ p
x *’
1
x*
1
x1
Nachfrage nach Input 1, Angebot und Gewinn
sinken.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
47
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
48
Inverse Faktornachfragekurven
Erhöhung des Outputpreises p
• die Isogewinnlinien werden flacher
Die kurzfristige Nachfragekurve nach Input 1 gibt
die optimale Einsatzmenge dieses Faktors in
Abhängigkeit vom Faktorpreis w1 an.
Die inverse Faktornachfragekurve gibt an, wie
hoch der Faktorpreis sein muß, damit eine gegebene
Menge an Inputs nachgefragt wird.
• Nachfrage nach Input 1, Angebot und
Gewinn steigen.
Erhöhung des Inputpreises w2
• die Steigung der Isogewinnlinien ändert sich
nicht.
• Faktornachfrage und Angebot bleiben
unverändert, der Gewinn sinkt.
w1
Erhöhung der Menge des fixen Faktors x 2
• die Steigung der Isogewinnlinien ändert sich
nicht.
w1 = p
• Wie ändert sich das Grenzprodukt des ersten
Faktors?
• Plausible Annahme: Faktor 1 wird produktiver.
• Nachfrage nach Faktor 1 steigt.
∂f (x1 , x2 )
∂x1
x1
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
49
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
50
Langfristige Gewinnmaximierung
Langfristig sind alle Faktormengen frei wählbar.
w1
max π = pf ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2
x1 , x2
_
höheres p oder höheres x2
w1 = p
∂f (x1 , x 2 )
∂x1
x1
Anwendung:
„Hohe Löhne führen nicht zu Beschäftigungsverlust, weil durch die hohen Löhne die
Produktivität steigt.“
Die optimalen Faktormengen x1 * und x2 *
erfüllen die notwendigen Bedingungen:
∂π
∂f ( x1* , x*2 )
∂f ( x1*, x*2 ) w1
=p
− w1 = 0 ⇒
=
∂x1
∂x1
∂x1
p
∂π
∂f ( x1*, x*2 )
∂f ( x1*, x*2 ) w2
=p
− w2 = 0 ⇒
=
∂x2
∂x2
∂x2
p
• Auflösen dieser zwei Gleichungen nach den zwei
Unbekannten x1 * and x2 * liefert die
Faktornachfragefunktionen:
x1 * = x1 ( p, w1 , w 2 )
x 2 * = x 2 ( p , w1 , w2 )
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
51
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
52
•
Einsetzen der Faktornachfragefunktionen in die
Produktionsfunktion liefert die
Angebotsfunktion:
y* = f ( x1 ( p, w1 , w2 ), x2 ( p, w1, w2 )) = y ( p, w1 , w2 )
•
Einsetzen der Faktornachfragefunktionen und der
Angebotsfunktion in die Gewinngleichung
Frage:
Wie ändern sich
a)
die Inputnachfragen,
b)
das Angebot und
c)
der Gewinn,
wenn der Outputpreis und alle Inputpreise um den
selben Faktor steigen?
π = py − w1 x1 − w2 x 2
liefert die Gewinnfunktion:
π ( p , w1 , w2 )
= py ( p, w1 , w 2 ) − w1 x1 ( p , w1 , w2 ) − w2 x 2 ( p, w1 , w2 )
Die Nachfragefunktionen, die Angebotsfunktion
und die Gewinnfunktion
•
sind Ergebnis der Optimierung des
Unternehmens
•
hängen vom Outputpreis und von den
Inputpreisen ab.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
53
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
54
f x
w
Probleme mit der Bedingung ∂ ( *) = i
∂x i
p
1. Produktionsfunktion ist nicht differenzierbar
z.B. festes Faktoreinsatzverhältnis
3. Es gibt keinen gewinnmaximierenden
Produktionsplan
z.B. 1 Input, 1 Output, f (x) = ax, a>0.
w

π = pax − wx = p  a −  x
p

steig t


> 


 w
π  bleibt konstant  wenn x steigt ⇔ a = 


<  p
sinkt


 
2. Randlösung x i * = 0 für einen Input.
Insbesondere kann y* = 0 optimal sein.
y
w/p
a > w/p.
f (x )
y
f (x)
a
Isogewinnlinien
w/p
x
y*= x*=0
xi * = 0 ⇒
∂f (x *) wi
≤
∂xi
p
x
Das Unternehmen will „unendlich viel“ produzieren.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
55
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
56
a < w/p.
4. Mehrere gewinnmaximierende
Produktionspläne
y
a = w/p.
w/p
f (x )
a
y
f (x)
π */p = 0
a = w/p
x
π /p < 0
π* / p = 0
x
Randlösung
Alle (x, f (x)) führen zum optimalen Gewinn π * = 0.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
57
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
58
5. Lokales statt globalem
Gewinnmaximum
Gewinnmaximierung und konstante
Skalenerträge
y
w/p
Ein Unternehmen habe konstante Skalenerträge.
Der langfristig gewinnmaximierende
Produktionsplan sei (x1 *,x2 *, y*). Dieser führe zu
f (x )
y*
einem positiven Gewinn
π * = py * − w1 x1 * −w 2 x 2 * > 0.
Wenn das Unternehmen das Niveau seines
Inputeinsatzes verdoppelt, verdoppelt sich auch
sein Output. Der Gewinn ist dann
∼
y
∼
x
x*
p ⋅ 2 y * − w1 ⋅ 2 x1 * − w2 ⋅ 2 x2 *
= 2( py * −w1 x1 * − w2 x2 *)
= 2Produktionsplan
π * > π *.
Also war der
(x1 *,x2 *, y*) gar nicht
x
6. Gewinnminimum
f (x )
y
gewinnmaximierend. Auch (2x1 *,2x2*,2y*) ist nicht
gewinnmaximierend.
w/p
1. Zwischenergebnis:
Wenn
möglich ist, dann gibt es bei
konstanten
Skalenerträgen
keinen
*
∼
y
π >0
gewinnmaximierenden Produktionsplan.
∼
x
x
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
59
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
60
Das Unternehmen kann langfristig immer die
Produktion einstellen (x1 = x2 = y = 0).
Diese Leistungen werden mit dem Preis bewertet,
den sie in anderen Verwendungen erzielen könnten.
2. Zwischenergebnis:
Diese Kosten werden Opportunitätskosten
genannt.
Der maximale Gewinn ist mindestens 0.
Ergebnis:
Der Gewinn eines Unternehmens, das konstante
Skalenertäge für alle Outputniveaus aufweist, ist
langfristig Null.
Folgen unendlicher Expansion eines Unternehmens
mit konstanten Skalenerträgen im Wettbewerb:
• das Unternehmen könnte so groß werden, daß es
Warum stellt der Unternehmer die Produktion nicht
ein, wenn der Gewinn sowieso null ist?
nicht mehr effektiv arbeiten könnte, somit hat es
keine konstanten Skalenerträge für alle
Outputniveaus;
Bei den Kosten müssen auch Leistungen
berücksichtigt werden, die der Eigentümer dem
Unternehmen zur Verfügung stellt, z.B.
• das Unternehmen dominiert den Markt für sein
Erzeugnis, so daß das Modell der Gewinnmaximierung
bei Konkurrenz nicht mehr paßt;
• Arbeitskraft des Unternehmers
• Marktzutritt senkt den Outputpreis.
• Eigenkapital
• Grundstücke, die den Eigentümern gehören.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
61
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
62
Hotellings Lemma
Passive
Gewinngerade
π
∂π ( p, w1 , w2 )
= y( p, w1 , w2 )
∂p
∂π ( p, w1 , w2 )
= − xi ( p , w1 , w2 ) für alle Inputs i = 1,2
∂wi
y*
π ( p, w1*, w2 *)
π ( p*, w1 *, w2 *)
Begründung:
Es sei (x1 *, x2 *,y*) der zu den Preisen p*,w 1 *, w2 *
optimale Produktionsplan. Die Passive Gewinngerade
π = py * −w1 * x1 * −w2 * x 2 *
p*
p
Gewinnfunktion und passive Gewinngerade haben
die gleiche Steigung.
drückt aus, wie sich der Gewinn durch eine
Änderung des Outputpreises verändern würde, wenn
das Unternehmen seinen Produktionsplan nicht an
die veränderten Preise anpassen würde.
Der durch die Gewinnfunktion
π ( p, w1 *, w2 *) ausgedrückte optimale Gewinn ist mindestens so groß.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
63
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
64
Zusammenfassung
• Gewinne sind die Differenz zwischen Erlösen und
Kosten. Bei dieser Definition müssen
Opportunitätskosten mit einbezogen werden.
• Fixe Faktoren sind Faktoren, deren Menge nicht
verändert werden kann; die Menge variabler
Faktoren kann angepaßt werden.
• Kurzfristig können einige Faktoren fix sein;
Langfristig sind alle Faktoren variabel.
• Bei Gewinnmaximierung ist das Wertgrenzprodukt eines jeden variablen Faktors gleich
seinem Faktorpreis.
• Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist
eine steigende Funktion des Outputpreises,
die Nachfragefunktion nach jedem Faktor ist
eine abnehmende Funktion seines Preises.
• Wenn ein Unternehmen konstante
Skalenerträge aufweist, dann ist sein maximaler
Gewinn langfristig Null.
Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaximierung
65
Graphische Lösung
Kostengleichung:
4. Kostenminimierung
w1 x1 + w 2 x2 = C
Isokostenlinie:
x2 =
•
C w1
− x1.
w2 w2
Für jedes Kostenniveau C gibt es eine andere
Isokostenlinie.
Kostenminimierung ist ein Teilproblem der
Gewinnmaximierung:
•
Je höher die Kosten C, desto höher liegt die
Isokostenlinie.
•
Suche die niedrigste Isokostenlinie, die mit der
Isoquante zu y noch einen Punkt gemeinsam hat.
Produktion eines vorgegebenen Outputs y zu
möglichst niedrigen Kosten w1 x1 + w2 x2 .
x2
Isokostenlinien
Steigung = - w1 /w2
Beschränkung (Nebenbedingung): f (x1 ,x2 ) = y
Kostenminimierung ist notwendig, aber nicht
hinreichend für Gewinnmaximierung.
x2 *
Isoquante
f (x1 ,x2 ) = y
x1 *
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
66
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
x1
67
Die Lösung (x1 *,x2 *) der Kostenminimierungsaufgabe
heißt Minimalkostenkombination.
Beispiel:
Es sei TRS = dx2 /dx1 = -2 und w1 / w2 =1. Dann
Isoquante und Isokostenlinie tangieren sich an der
Minimalkostenkombination.
ändert sich der Output nicht, wenn 2 Einheiten
weniger von Input 2 und 1 Einheit mehr von Input
1 eingesetzt werden. Man spart -2w2 an den
Ausgaben für Input 2 und zahlt zusätzlich 1w1 für
den Input 1. Gesamte Kostenänderung:
Steigung der Isoquante = Steigung der Isokostenlinie

w 
− 2w 2 + w1 =  − 2 + 1  w 2 = − w2 < 0.
w2 

Notwendige Bedingung für ein Kostenminimum
TRS
∂f ( x1 *, x2 * ) / ∂x1
∂f ( x1 *, x2 * ) / ∂x2
=−
w1
w2
=
w1
w2
|TRS| ist das Verhältnis, zu dem die beiden Inputs in
der Produktion gegeneinander ausgetauscht werden
können.
Der Relativpreis (das Preisverhältnis) w1 /w2 ist
das Verhältnis, zu dem die beiden Inputs am Markt
gegeneinander getauscht werden können.
Im Kostenminimum sind beide Verhältnisse gleich.
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
68
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
69
Probleme mit der Bedingung TRS = − w1
w2
1. Die Produktionsfunktion ist nicht
differenzierbar
z.B. festes Faktoreinsatzverhältnis y = min{ax1 ;bx2 }
2. Randlösung x 1 *=0 oder x 2 *=0.
x2
x2 *
x2
-w1 /w2
x2 *
x1
x1 * = 0
x1 *
x1
| TRS | =
∂f (0, x2 *) / ∂x1 w1
≤
∂f (0, x2 *) / ∂x2 w2
Die Isoquante ist links von (x1 *,x2 *) steiler als die
Isokostenlinie, rechts davon flacher.
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
70
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
71
4. Lokales, aber kein globales Kostenminimum
x2
3. Mehrere kostenminimierende
Inputbündel
x2 *
x2
∼
x2
A
B
∼
x1
x1 *
x1
5. Kostenmaximum
x2
x1
Alle Inputkombinationen zwischen A und B sind
Minimalkostenkombinationen.
x2 *
∼
x2
Alle diese Punkte erfüllen TRS = -w1 /w2 .
x1 *
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
72
∼
x1
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
x1
73
Analytische Lösung
Hinreichende Bedingungen
min w1 x1 + w2 x2
x1 , x2
Die Technologie ist konvex und monoton;
(x1 ,x2 ) erfüllt TRS = - w1 /w2 und
f (x1 ,x2 ) = y
f ( x1 , x2 ) = y.
u.d.B.
Lagrange-Funktion
⇒
L = w1 x1 + w2 x2 − λ [ f ( x1 ,x2 ) − y]
(x1 ,x2 ) minimiert die Kosten zur
λ
Produktion von y.
ist die Lagrangevariable.
Notwendige Bedingungen für ein Optimum mit
positiven Faktoreinsatzmengen x1 * , x2 * > 0:
Notwendige Bedingungen
(x1 ,x2 ) minimiert die Kosten zur Produktion von y;
f ist differenzierbar;
x1 > 0, x2 > 0
∂L
∂ x1
∂L
∂ x2
⇒
∂ f ( x1 , x2 )
*
= w1 − λ
∂ x1
∂ f ( x1 , x2 )
*
= w2 − λ
=0
*
∂ x2
=0
f ( x1 , x 2 ) − y = 0.
*
(x1 ,x2 ) erfüllt TRS = - w1 /w2 und
*
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt:
f (x1 ,x2 ) = y.
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
*
74
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
75
Interpretation der Lagrangevariablen
w1 ∂ f ( x1* , x *2 ) / ∂x1
=
= −TRS ( x1* , x *2 )
*
*
w2 ∂ f ( x1 , x 2 ) / ∂x 2
Diese Gleichung und die Nebenbedingung bestimmen
die beiden optimalen Inputmengen.
Bedingte Faktornachfragefunktionen:
Für alle w1 , w2 und y gilt:
c(w1 , w2 , y) = w1 x1 (w1 , w2 , y) + w2 x 2 (w1 , w2 , y)
Differenzieren nach y liefert :
∂c( w1 , w2 , y)
∂x ( w , w , y)
∂x (w , w , y)
= w1 1 1 2
+ w2 2 1 2 (1)
∂y
∂y
∂y
x1 * = x1 (w1 ,w2 ,y)
x2 * = x2 (w1 ,w2 ,y)
Zudem gilt für alle w1 , w2 und y:
Einsetzen in die Kostengleichung liefert die
Kostenfunktion:
f ( x1 (w1 , w2 , y), x2 (w1 , w2 , y)) − y = 0
Differenzieren nach y liefert :
c(w1 ,w 2 ,y) = w1 x1 (w1 ,w 2 ,y) + w2 x2 (w1 ,w 2 ,y)
Die Kostenfunktion gibt die bei den Inputpreisen w1
und w2 zur Produktion von y Einheiten des Outputs
notwendigen Kosten an.
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
76
∂f ∂x1 (w1 , w2 , y) ∂f ∂x 2 (w1 , w2 , y)
+
−1 = 0
∂y
∂y
∂x1
∂x2
Ersetze ∂f / ∂xi für beide Inputs i = 1,2 gemäß
den notwendigen Bedingungen durch ∂f / ∂ x = w / λ
i
i
Es folgt:
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
77
∂x ( w , w , y)
∂x ( w , w , y)
=λ
w1 1 1 2 + w2 2 1 2
∂y
∂y
Komparative Statik
(2)
Aus (1) und (2) folgt:
Wie ändert sich die bedingte Faktornachfrage,
wenn ein Inputpreis oder der Output sich ändern?
Der Preis des Inputs 1 steigt von w1 auf w1 ´
∂c( w1 , w 2 , y )
=λ
∂y
x2
Grenzkosten = Lagrangevariable
x2 (w1 ’,w2 , y) -w /w
1
2
x2 (w1 ,w2 ,y)
Die Lagrangevariable gibt an, um wieviel die
Kosten steigen, wenn eine Einheit mehr
-w1 ’ /w2
produziert werden soll.
Allgemein:
Die Lagrangevariable gibt an, um wieviel sich der
optimale Wert der Zielfunktion verbessert, wenn
die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert
wird.
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
78
x1 (w1 ,w2 ,y)
x1
x1 (w1 ’,w2 , y)
∂x1
≤0
∂w1
(gilt auch für mehr als zwei Inputs)
∂x 2
≥0
∂w1
(gilt nicht notwendigerweise bei drei
oder mehr Inputs)
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
79
Erhöhung von y
Shephards Lemma
x2
∂c( w1 ,w2 , y)
= xi ( w1 , w2 , y) für alle Inputs i
∂wi
Faktorexpansionspfad
C = w1 x1 * +w2 * x2 *
x1
Der Faktorexpansionspfad ist die Menge
aller Inputbündel, die (bei konstanten Preisen)
für irgendein Outputniveau kostenminimierend
sind.
drückt aus, wie die Kosten auf eine Änderung des
Inputpreises w1 reagieren würden, wenn das
Unternehmen seine Inputwahl nicht an die
veränderten Preise anpassen würde.
Die durch die Kostenfunktion c (w1 ,w2 *, y* ) ausgedrückten optimalen Kosten sind höchstens so
groß.
Bei inneren Lösungen (x1 * > 0, x2 * >0) gilt
entlang dem Faktorexpansionspfad
TRS = - w1 /w2 .
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
Begründung:
Es sei (x1 *, x2 *) die bei den Faktorpreisen w1 *, w2 *
zur Produktion von y* kostenminimierende
Inputkombination. Die Passive Kostengerade
80
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
81
Zusammenfassung
Passive Kostengerade
Kosten
• Eine Minimalkostenkombination ist dadurch
x1 *
gekennzeichnet, daß die technische Rate der
Substitution gleich dem negativen
Faktorpreisverhältnis ist.
c(w1 , w2 *, y*)
c(w1*,w2*, y*)
• Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten
der Produktion eines vorgegebenen
w2*x2*
Outputniveaus bei gegebenen Faktorpreisen an.
• Die bedingte Nachfragefunktion nach einem
Faktor ist fallend im Preis dieses Faktors.
w1 *
w1
• Der Faktorexpansionspfad enthält die
Minimalkostenkombinationen für alle möglichen
Outputniveaus.
Kostenfunktion und passive Kostengerade haben
die gleiche Steigung.
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
82
Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung
83
5. Kostenkurven
Steigung der Durchschnittskosten
 c (w, y)  ∂c ( w, y)
d
⋅ y − c( w, y)

∂y
 y =
dy
y2
Wie verhält sich die Kostenfunktion in
Abhängigkeit vom Output?
=
Durchschnittskosten A C = c ( w1 , w2 , y)
y
∂c ( w1 , w2 , y)
MC =
∂y
Grenzkosten
1  ∂ c ( w, y ) c ( w, y ) 
⋅
−
y  ∂y
y 
 steigen 
Die Durchschnittskosten  fallen 


wenn die Grenzkosten
Kosten
c(y)
 größer 
 kleiner 


als die Durchschnittskosten sind.
Wenn MC>AC gilt, dann ist die letzte
produzierte Einheit teurer als der Durchschnitt
der bisher produzierten Einheiten.
MC
AC
y
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
84
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
85
Beispiel:
Skalenerträge und Kostenfunktion
Kosten
c(w1 ,w2 ,y)
Wenn die Technologie konstante
Skalenerträge aufweist, dann kann die
Kostenfunktion als
c(w1 ,w2 , y) = c(w1 ,w2 ,1)·y
geschrieben werden.
Grenz-,
Durchschnittskosten
y0
y1
y
MC
Einheitskostenfunktion c(w1 ,w2 ,1)
Begründung:
Wenn man das Produktionsverfahren, mit dem 1
Einheit am billigsten produziert werden kann, y-
AC
fach anwendet, erhält man y Einheiten.
Also kosten y Einheiten höchstens soviel wie y
mal 1 Einheit.
y0
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
y1
y
86
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
87
Das Verfahren, mit dem man y Outputeinheiten
am billigsten produziert, kann auf das 1/y-fache
verkleinert werden. Damit produziert man 1
Einheit des Outputs. Also kostet 1 Einheit
höchstens soviel wie 1/y-mal die Kosten zur
Produktion von y Einheiten. Umgekehrt:
Die Produktion von y Einheiten kostet mindestens
soviel wie y-mal die Produktion von 1 Einheit.
Bei zunehmenden Skalenerträgen benötigt
das Unternehmen weniger als y-mal so viel
von jedem Input, um y-mal so viel Output zu
produzieren. Die Kosten erhöhen sich daher um
weniger als das y-fache.
Bei abnehmenden Skalenerträgen wird zur
Produktion eines y-fachen Outputs mehr als
das y-fache der Inputs benötigt.
Schlußfolgerung:
Die Produktion von y Einheiten kostet genau
soviel wie y-mal die Produktion von 1 Einheit.
Schlußfolgerung:
Die Durchschnittskosten
 sinken 
 steigen 


mit steigender Outputmenge, wenn die
∂c( w, y ) ∂[ y ⋅ c (w ,1)]
= c ( w,1)
=
∂y
∂y
c( w, y ) y ⋅ c ( w,1)
=
= c( w,1)
y
y
Technologie
 zunehmende 
 abnehmende 
Grenz- und Durchschnittskosten sind konstant
und gleich, wenn die Technologie konstante
Skalenerträge hat.
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven

88
Skalenerträge hat.

Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
89
Kurzfristige Kostenfunktion
Die kurzfristige Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten zur Erzeugung eines vorgegebenen
Outputniveaus an, wobei lediglich die variablen
Produktionsfaktoren angepaßt werden können.
Die Menge des Inputs 2 sei kurzfristig auf x_
2
festgelegt.
min wx
1 1 + w2 x2 u.d.B. f ( x1 ,x2 ) = y,
Abgeleitete Kostenbegriffe:
STC
Kurzfristige Durchschnittskosten
y
∂STC ∂SVC Kurzfristige Grenzkosten
SMC=
=
∂y
∂y
SAC=
SAVC=
SVC
y
Kurzfristige variable
Durchschnittskosten
SAFC=
SFC
y
Kurzfristige fixe
x1
Lösung:
kurzfristige bedingte Faktornachfragefunktion
x1 = x1s ( w1 , w 2 , x 2 , y )
und
x2 = x 2 .
STC = cs (y, w1 , w2, x2 ) = w1x1s (w1 , w2 , x2 , y) + w2 x 2
Kurzfristige (Gesamt-) Kosten
Standardverlauf der drei kurzfristigen
Durchschnittskostenkurven:
• SAVC steigend wegen abnehmendem
Grenzprodukt
SVC = w1x1s (w1, x2 , y)
Kurzfristige variable Kosten
• SAFC fallend, weil die Fixkosten auf
mehr Outputeinheiten verteilt werden
SFC= w2 x2
• SAC U-förmig
Kurzfristige Fixkosten
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
Durchschnittskosten
90
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
91
SAFC
Der geometrische Zusammenhang
zwischen langfristigen und
kurzfristigen Kosten
SAFC
Der Faktor 2 sei fix.
Zu jedem Outputniveau y sei x2 (y) die
langfristig kostenminimierende Nachfrage.
y
SAVC
Zum Outputniveau y* ist langfristig die
Faktornachfrage x2 *=x2 (y*) optimal.
SAVC
Kurzfristig sei die Einsatzmenge des Inputs 2
auf x2 * festgelegt.
Die kurzfristigen Kosten sind cs (y,x2 *).
Wenn man genau y* produzieren will, dann ist
die kurzfristig festgelegte Faktormenge x2 *
auch langfristig optimal, d.h. es gilt
y
SAC
SAC
c ( y *) = cs ( y*, x2 *) = c s ( y *, x 2 ( y *))
y
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
92
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
93
Bei allen anderen Outputniveaus y sind die
kurzfristigen Kosten mindestens so groß wie die
langfristigen Kosten.
Auch die lang- und kurzfristigen Durchschnittskosten tangieren sich an der Stelle y*.
Begründung:
An der Stelle y = y* tangieren sich kurz- und
langfristige Kosten.
d AC ( y )
=
dy
Kosten
cs(y,x2*)
cs(y,x2(y))
= c(y)
c( y) 
d

 y  = 1 [MC (y) − AC (y) ]
dy
y
 STC ( y ) 
d
d SAC ( y )
y  1
= 
= [SMC (y) − S AC (y) ]
dy
y
dy
An der Stelle y* gilt c(y*) = STC(y*), also auch
AC(y*) = SAC(y*).
cs(y*,x2*)
= c(y*)
Es gilt für alle y: MC(y) = SMC(y).
y*
Damit sind die Steigungen von AC und SAC
an der Stelle y* gleich.
y
An der Stelle y = y* gilt:
Die Kurve der langfristigen Durchschnittskosten
ist die Einhüllende der Kurven der kurzfristigen
Durchschnittskosten.
dc ( y*) ∂c s ( y*, x 2*)
=
dy
∂y
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
94
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
95
Anwendung: Der Wert der Flexibilität
Beispiele:
Durchschnittskosten
SAC zu x2 (y1 )
SAC zu x2 (y2 )
AC
Zwei Unternehmen haben die gleichen
konstanten langfristigen Durchschnittskosten.
Im deutschen Unternehmen ist die Zahl der
Arbeitskräfte kurzfristig fix, im amerikanischen
variabel.
y1
y2
Ausgangssituation: Beide produzieren y* zu den
langfristigen Durchschnittskosten.
Dann geht die Absatzmenge auf y0 < y* zurück.
y
Häufiger Fall:
langfristig konstante Skalenerträge, kurzfristig
U-förmige Durchschnittskosten
Durchschnittskosten
Das deutsche Unternehmen hat kurzfristig höhere
Kosten.
Durchschnittskosten
SAC
SAC D
AC = SAC USA
AC
y0
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
y 96
y*
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
y
97
Zusammenfassung
• Die Grenzkostenkurve liegt unter der
Durchschnittskostenkurve, wenn die Durchschnittskosten fallen, und darüber, wenn sie
steigen. Die Grenzkostenkurve schneidet deshalb
die Durchschnittskostenkurve in deren Minimum.
• Steigende Skalenerträge implizieren fallende
Durchschnittskosten, fallende Skalenerträge
implizieren steigende Durchschnittskosten und
konstante Skalenerträge implizieren konstante
Durchschnittskosten.
• Durchschnittliche Fixkosten fallen immer mit
steigendem Output, während durchschnittliche
variable Kosten typischerweise steigen. Es
ergibt sich eine U-förmige Durchschnittskostenkurve.
• Die langfristige Durchschnittskostenkurve ist die
Einhüllende der Kurven der kurzfristigen
Durchschnittskosten.
Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven
98
B. Theorie des Haushalts
6. Das Budget
Der private Haushalt
Güterbündel, die der Haushalt sich leisten kann,
• ... konsumiert Güter
• ... bietet Güter und Faktorleistungen an.
erfüllen die Budgetbeschränkung. Alle diese
Bündel zusammen bilden die Budgetmenge.
Wünsche: Präferenzen
Die Güterpreise p 1 , p 2 ,..., p k sind exogen.
Möglichkeiten:
• Die Konsummenge X enthält alle physisch
konsumierbaren Güterbündel (Konsumbündel)
x = (x1 , x2 , ..., xk).
Zwei Varianten:
• Der Haushalt erhält ein exogenes Einkommen in
Höhe von m > 0 Geldeinheiten:
• Die Budgetmenge B enthält alle bezahlbaren
Güterbündel.
i =1
konsumierbaren, bezahlbaren Güterbündeln am
liebsten ist.
Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung
k
∑ pi xi ≤ m
Optimierung: Der Haushalt konsumiert das
Güterbündel, das ihm von allen physisch
99
Ausgaben ≤ Einnahmen
→ Kapitel 7-9, 11
Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung
100
• Der Haushalt besitzt eine Anfangsausstattung
von Gütern, die er verkaufen kann. Der Wert der
Anfangsausstattung ist sein Einkommen.
Beispiele:
Bestände an Konsumgütern,
Komparative Statik
•
x2
Faktorausstattungen (Arbeit, Kapital,
Boden)
→ Kapitel 10 und 14 - 15 in Mikroökonomik II
Budgetgleichung
Budgetgerade
Ein Preis steigt, z.B. von p 1 auf p 1 ´ > p 1
m
p2
p 1 x1 + p 2 x2 = m
−
m p
x2 = − 1 x1
p2 p2
p 1 /p 2 ist der Relativpreis (das Preisverhältnis).
Wenn der Haushalt 1 Einheit weniger von Gut 1
kauft, dann kann er p 1 /p 2 zusätzliche Einheiten
von Gut 2 kaufen.
Dimension:
−
p1
p2
m
p1 '
•
m
p1
x1
Das Einkommen steigt von m auf m´
x2
m '/ p2
m / p2
 €

 ME
ME 2 
1
=


ME1 
 €
 ME 2

Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung
p1 '
p2
m / p1 m '/ p1
101
Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung
x1
102
• Das Einkommen und alle Preise steigen um den
Zusammenfassung
selben Faktor t >0. Es gilt also m’= tm, p 1 ’= t p 1
und p 2 ’ = t p 2 .
• Ein Güterbündel ist eine Liste von Mengen von
Konsumgütern.
Die Budgetgleichung
• Die Budgetbeschränkung gibt an, welche
Güterbündel sich ein Haushalt leisten kann.
p 1 x1 + p 2 x2 = m
• Die Budgetbeschränkung ändert sich nicht, wenn
alle Preise und das Einkommen um denselben
Faktor steigen.
wird zu
p 1 ’ x1 + p 2 ’ x2 = m’
also
t p 1 x1 + t p 2 x2 = t m,
d.h.
p 1 x1 + p 2 x2 = m
Die Budgetmenge ändert sich nicht, wenn alle
Preise und das Einkommen proportional steigen.
Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung
103
Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung
104
Abgeleitete Relationen
7 Präferenzen und
Nutzenfunktion
Strenge Präferenz f
f
xf y⇔x f
: y, aber nicht y : x.
„ x ist strikt besser als y.“
Die Präferenzrelation (Präferenzordnung) f
:
• drückt die Wünsche des Konsumenten aus,
Indifferenz :
• ordnet jeweils zwei konsumierbare Güterbündel
x und y.
„ x ist genauso gut wie y;“
„der Haushalt ist indifferent zwischen x und y.“
x f y bedeutet: „ Der Haushalt findet das
:
Güterbündel x mindestens so gut wie das
Güterbündel y. “
Die Indifferenzkurve zum Güterbündel x besteht
aus allen Güterbündeln y, die genauso gut sind wie
x, d.h. für die x ~ y gilt.
Andere Sprechweisen:
„ Der Haushalt zieht das Güterbündel x dem
Güterbündel y schwach vor. “
„ Der Haushalt präferiert das Güterbündel x
schwach gegenüber dem Güterbündel y.“
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
f
x: y⇔xf
: y und y : x.
Die Bessermenge zu x enthält alle Bündel y, die
mindestens so gut sind wie x, d.h. für die y f
: x
gilt.
105
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
106
1
Menge
Gut 2
Transitivität
Für alle x, y, z gilt:
x
Wenn x f
: y und y f
: z,
f
dann x : z.
Bessermenge zu x
Nur wenn Präferenzen transitiv sind, ist es sinnvoll,
nach einem „ besten“ Güterbündel zu suchen.
Indifferenzkurve zu x
Vollständigkeit, Reflexivität und Transitivität sind
Grundanforderungen an rationales Verhalten.
Menge Gut 1
Standard-Annahmen über Präferenzen
Vollständigkeit
Für alle x, y gilt:
f
xf
: y oder y : x.
Reflexivität
Beispiel für eine nicht-transitive strenge
Präferenzordnung
A:
B:
Veltins
Warsteiner
C:
Jever
f Warsteiner + 1 €
f Jever + 1 €
f Veltins + 1 €
Für alle x gilt:
xf x
:
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
107
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
108
2
Sättigung
Weitere Eigenschaften von
Präferenzrelationen
x ist ein Sättigungspunkt, wenn x mindestens so
gut ist wie alle konsumierbaren Güterbündel y,
d.h. wenn x f y für alle y gilt.
:
Monotonie
Wenn x1 ≥ y1 und x2 ≥ y2 gilt,
dann ist (x1 , x2 ) f (y1 , y2).
x2
:
„ Mehr ist besser.“
x
x2
mindestens so
gut wie x
x1
x
Lokale Sättigung
x ist ein lokaler Sättigungspunkt, wenn x
mindestens so gut ist wie alle Güterbündel y in der
Nähe von x.
x1
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
109
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
110
3
Konvexität
Beispiele für Präferenzrelationen
Für alle x, y mit x ~ y gilt:
tx + (1- t ) y f x,
:
für beliebiges 0≤ t ≤ 1.
Vollkommene Substitute
z.B. Nahrungsmittel, bei denen nur die
Kalorienanzahl zählt. Gut 1 hat a Kalorien/kg,
Gut 2 hat b Kalorien/kg.
x2
(x1 ,x2 ) f (y1 , y2), wenn
:
Bessermenge zu x
x
ax1 + bx2 ≥ ay1 + by2
x2
tx + (1- t) y
Indifferenzkurve zu x
y
x1
-a/b
x1
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
111
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
112
4
Vollkommene Komplemente
z.B. rechte und linke Schuhe
Nutzenfunktion
Es ist sinnvoll, eine Präferenzrelation durch eine
Funktion darzustellen (z.B., damit man damit
rechnen kann).
x2
Eine solche Funktion heißt Nutzenfunktion.
Definition: Die Funktion u ist Nutzenfunktion zur
(strikten) Präferenzrelation f , wenn für alle x, y
gilt:
x f y genau dann, wenn u(x) > u(y).
f wird durch u repräsentiert, dargestellt.
x1
Standard-Präferenzen
konvex, monoton
x2
x2
1
u=8
u=6
u=2
x1
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
113
u=4
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
x1
114
5
Die Nutzenfunktion ist ordinal. Sie macht keine
Aussagen darüber, um wieviel ein Güterbündel
besser ist als ein anderes. Das Niveau des Nutzens
und Nutzendifferenzen haben keine Bedeutung.
Gegeben sei eine positiv monotone Transformation
f, (d.h. f ´>0). Dann gilt:
Wenn u (x) die Präferenzrelation f
: darstellt, dann
stellt auch v (x) = f (u (x)) die Präferenzrelation f
:
dar.
Grenzrate der Substitution
Die Grenzrate der Substitution MRS sagt aus,
wieviele zusätzliche Einheiten des Gutes 2 der
Haushalt benötigt, um für den Verlust von einer
Einheit des Gutes 1 entschädigt zu werden.
Wieviele Einheiten des Gutes 2 würde der Haushalt
hergeben, um eine zusätzliche Einheit des Gutes 1
zu erhalten?
→ Grenzzahlungsbereitschaft für Gut 1,
ausgedrückt in Einheiten des Gutes 2.
Beispiel:
x2
u ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x 2
Geometrisch:
MRS = Steigung der
Indifferenzkurve
f (u ) = u 2 ⇒ v( x1 , x 2 ) = x1 2 ⋅ x2 2
f (u ) = ln u ⇒ v( x1 , x 2 ) = ln x1 + ln x2
Diese drei Nutzenfunktionen repräsentieren alle
dieselbe Präferenzrelation.
MRS =
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
115
dx2
dx1
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
x1
116
6
Beispiel:
Analytisch:
u ( x1 , x2 ) = x1 x2
1/ 2
∂u
∂u
dx1 +
dx2 = 0
∂x1
∂x2
dx2
∂u / ∂x1
=−
dx1
∂u / ∂x 2
du =
1/ 2
Grenznutzen:
∂u( x1 , x 2 ) 1 −1/ 2 1 / 2
= x1 x2
2
∂x1
Herleitung wie bei der TRS in der
Produktionsfunktion.
1
∂ 2 u( x1 , x 2 )
= − x1−3 / 2 x21 / 2 < 0
2
4
∂x1
∂u( x1 , x 2 )
ist der Grenznutzen des Gutes 1.
∂x1
Die Nutzenfunktion
Um wieviel steigt der Nutzen, wenn der Haushalt
eine zusätzliche Einheit des Gutes 1 konsumiert?
Fallender Grenznutzen sagt nichts aus, denn dies
hängt nicht nur von der Präferenzrelation ab,
sondern auch von der gewählten Form der
Nutzenfunktion.
v( x1 , x 2 ) = [u ( x1 , x2 )]4 = x1 x 2
2
2
stellt dieselben Präferenzen dar.
Grenznutzen:
∂v ( x 1 , x 2 )
2
= 2 x1 x 2
∂x1
∂ 2 v ( x1 , x2 )
= 2 x2 > 0
2
∂x1
Dieselbe Präferenzrelation hätte einmal steigenden,
einmal fallenden Grenznutzen.
2
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
117
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
118
7
Fallende Grenzrate der Substitution
• Die |MRS| wird geringer, wenn man bei
unverändertem Nutzen mehr von Gut 1 konsumiert.
• Die Indifferenzkurve wird flacher, wenn man sich
an ihr entlang nach rechts bewegt.
• Interpretation:
Die Zahlungsbereitschaft für Gut 1 wird geringer,
wenn man mehr davon hat.
• Fallende |MRS| ⇔ konvexe Präferenzen
Fallende |MRS| ist ein sinnvoller Begriff, denn die
MRS ändert sich nicht, wenn die Nutzenfunktion
monoton transformiert wird.
Es sei
v( x1 , x2 ) = f (u( x1 , x2 )), mit f ' > 0.
Dann ist die MRS der Nutzenfunktion v:
dx2
∂v / ∂x1
f '(u) ⋅∂u / ∂x1
∂u / ∂x1 dx2
=−
=−
=−
=
dx1 |v
∂v / ∂x2
f '(u) ⋅∂u / ∂x2
∂u / ∂x 2 dx1 |u
x2
A
B
x1
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
119
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
120
8
Zusammenfassung
• Die Präferenzrelation drückt die Wünsche des
Konsumenten aus.
• Rationales Verhalten wird durch eine
vollständige, reflexive und transitive
Präferenzrelation beschrieben.
• Eine Funktion, die bei besseren Güterbündeln
höhere Werte annimmt, ist eine Nutzenfunktion.
• Nutzen wird ordinal angegeben;
Nutzendifferenzen haben keine Bedeutung.
• Die Grenzrate der Substitution drückt die
Grenzzahlungsbereitschaft für ein Gut in Einheiten
des anderen Gutes aus.
Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion
121
9
8. Nutzenmaximierung
und
Ausgabenminimierung
Der Haushalt wählt das beste Güterbündel, das er
sich leisten kann.
Eigenschaften des optimalen Güterbündels:
• Es liegt auf der Budgetgeraden. Das Einkommen
wird vollständig ausgegeben.
• Budgetgerade und Indifferenzkurve tangieren
sich. Es gilt:
dx2
p
= MRS = − 1
dx1
p2
x2
Interpretation:
|MRS| gibt an, wie viele Einheiten des Gutes 2 der
Haushalt hergeben will, um eine zusätzliche
Einheit des Gutes 1 zu erhalten.
m
p2
x2 *
p 1 /p 2 gibt an, wie viele Einheiten des Gutes 2 der
Haushalt hergeben muß, um eine zusätzliche
Einheit des Gutes 1 zu erhalten.
B
x1 *
m
p1
Wenn |MRS|> p 1 /p 2 ist, dann lohnt es sich, etwas
weniger von Gut 2 zu konsumieren und das
x1
Optimierung: Suche die höchste Indifferenzkurve,
eingesparte Geld für Gut 1 zu verwenden.
die mit der Budgetmenge noch einen Punkt
gemeinsam hat.
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
122
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
123
Lagrangefunktion
Analytische Lösung
L( x1 , x 2 , λ ) = u ( x1 , x2 ) − λ ( p1 x1 + p2 x2 − m )
max u( x1 , x2 )
( x1 ,x2 )
∂L ∂u
=
− λp1 = 0
∂x1 ∂x1
∂L ∂u
=
− λp 2 = 0
∂x2 ∂x2
u.d.B. p1x1 + p 2 x 2 = m
Lösungen:
x1 * = x1 ( p1 , p 2 , m)
Nach Elimination von λ folgt
(Marshallsche) Nachfragefunktion nach Gut 1
∂u / ∂x1 p1
=
∂u / ∂x2 p2
x2 * = x 2 ( p1 , p2 , m )
(Marshallsche) Nachfragefunktion nach Gut 2
| MRS |=
v ( p1 , p 2 , m ) = u ( x1 ( p1 , p2 , m ), x 2 ( p1 , p2 , m))
also
p1
p2
Indirekte Nutzenfunktion
Interpretation der Lagrangevariablen
λ=
∂v( p1 , p 2 , m)
∂m
λ ist der Grenznutzen des Einkommens
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
124
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
125
Hinreichende Bedingungen
Ausgabenminimierung
Die Präferenzrelation ist konvex und monoton, und
das Güterbündel (x1 ,x2 ) erfüllt MRS = - p 1 /p 2 und
p 1 x1 + p2 x2 = m
⇒
Wie viel muß der Haushalt bei gegebenen
Preisen (p 1 ,p 2 ) mindestens ausgeben, um ein
vorgegebenes Nutzenniveau u zu erreichen?
min p1x1 + p 2x2
( x1 ,x2 )
(x1 ,x2 ) maximiert den Nutzen unter der
u.d.B. u ( x1 ,x2 ) = u
Budgetbeschränkung.
Lösungen:
Notwendige Bedingungen
x1 * = h1 ( p1 , p2 , u )
(x1 ,x2 ) maximiert den Nutzen unter der
Budgetbeschränkung; u ist differenzierbar; die
Präferenzen sind monoton und es gilt x1 > 0, x2 > 0
(Hickssche) Nachfragefunktion nach Gut 1
x2 * = h2 ( p1 , p2 , u )
(Hickssche) Nachfragefunktion nach Gut 2
⇒
e ( p1 , p2 , u ) = p1h1 ( p1 , p2 , u ) + p 2 h2 ( p1 , p2 , u )
Ausgabenfunktion
(x1 ,x2 ) erfüllt MRS = - p 1 /p 2 und
p 1 x1 + p2 x2 = m.
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
126
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
127
„Shephards Lemma“
x2
Auf Grund der Analogie zur Kostenminimierung gilt:
∂e( p1 , p2 , u )
= h1 ( p1 , p2 , u )
∂p1
x2 *
∂e( p1 , p2 , u )
= h2 ( p1 , p 2 , u )
∂p 2
u
Dualität
x1 *
x1
Optimierung: Suche die niedrigste Budgetgerade,
die mit der Indifferenzkurve zu u noch einen
Der Zusammenhang zwischen Ausgabenminimierung
und Nutzenmaximierung
x2
Punkt gemeinsam hat.
Die Hickssche Nachfragefunktion heißt auch
kompensierte Nachfragefunktion.
u*
e(p 1 ,p 2 ,u*)
Sie gibt an, wie sich die Nachfrage in Abhängigkeit
von den Preisen verhält, wenn das Einkommen so
angepaßt wird, daß der Nutzen konstant bleibt.
x2 *
v(p 1 ,p 2 ,m*)
m*
x1 *
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
128
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
x1
129
Roys Identität
(x1 *, x2 *) maximiert den Nutzen beim
Einkommen m*.
∂v( p1 , p 2 , m)
∂p i
xi ( p1 , p 2 , m) = −
∂v( p1 , p 2 , m)
∂m
u* = v(p 1 ,p 2 ,m*) ist der maximale Nutzen zu m*.
(x1 *, x2 *) minimiert die Ausgaben, wenn der
Nutzen u* erreicht werden soll.
m* = e(p 1 ,p 2 ,u*) sind die minimalen Ausgaben,
mit denen u* erreicht werden kann.
Beweis:
Differenzieren der Identität (2) nach p 1 liefert mit
Identität (1):
Identitäten
Für alle p 1 , p 2 , m, u gilt:
∂v ( p1 , p 2 , m ) ∂v ( p1 , p 2 , m ) ∂e( p1 , p2 , u )
+
=0
∂p1
∂p1
∂m
(1)
e ( p1 , p 2 , v ( p1 , p2 , m )) = m
( 2)
v ( p1 , p2 , e ( p1 , p 2 , u )) = u
( 3)
xi ( p1 , p2 , m ) = hi ( p1 , p2 , v( p1 , p2 , m ))
( 4)
hi ( p1 , p 2 , u ) = xi ( p1 , p 2 , e ( p1 , p2 , u ))
h1 ( p1 , p2 , u )
Wegen der Identität (4) folgt:
∂v( p1 , p2 , m)
∂p1
h1 ( p1 , p 2 , u ) = x1 ( p1 , p 2 , m) = −
∂v( p1 , p2 , m)
∂m
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
130
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
131
Zusammenfassung
• An einem nutzenmaximierenden Güterbündel
ist die Grenzrate der Substitution gleich dem
negativen Preisverhältnis.
• Die Marshallschen Nachfragefunktionen
geben das nutzenmaximierende Güterbündel in
Abhängigkeit von den Preisen und dem
Einkommen an.
• Die Hickssche (kompensierte) Nachfrage
beschreibt das Güterbündel, mit dem ein
vorgegebenes Nutzenniveau mit den
geringsten Ausgaben erzielt werden kann.
Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaximierung
132
9. Einkommens- und
Preisänderungen
Die Einkommenskonsumkurve (EKK) enthält
alle Konsumbündel, die bei unveränderten Preisen
für irgendein Einkommen nutzenmaximierend
sind.
Komparative Statik:
Die Engelkurve stellt den Konsum eines Gutes in
Abhängigkeit vom Einkommen dar.
Wie ändern sich die Marshallschen Nachfragen,
wenn die Preise oder das Einkommen sich
ändern?
x1
x2
Einkommensänderungen
x2
m' ' / p2
EKK
m' / p2
m
m
Definition:
m / p2
ε xi , m =
∂xi m
⋅
∂m xi
Einkommenselastizität der Nachfrage nach Gut i.
m
p1
m'
p1
Um wie viel % verändert sich die Nachfrage nach
Gut i, wenn das Einkommen um 1% steigt?
m' ' x1
p1
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
133
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
134
Beispiel:
ε x ,m > 1
Luxusgut
0 < ε x ,m < 1
Notwendiges Gut
ε x ,m < 0
Inferiores Gut
i
i
Normales Gut
Quasilineare Nutzenfunktion
u ( x1 , x 2 ) = w (x1 ) + x 2 ; w ' > 0, w' ' < 0
i
Falls x1 , x2 > 0, dann gilt für die optimale
Entscheidung:
x2
∂u ( x1 , x 2 ) / ∂x1 p1
=
,
∂u (x1 , x 2 ) / ∂x2 p2
x1
w ' ( x1 ) =
p1
p2
Diese Bedingung hängt nicht von x2 ab. Die
Lösung dieser Gleichung sei x1 .
x2 ergibt sich aus der Budgetbeschränkung:
x2 =
m x
1
p1
m
m
m − p1 x1
p2
Falls das positiv ist, ist die optimale Nachfrage
Definition:
x1 * = x1 , x2 * =
_
Gut 1 ist für Einkommen m > m inferior.
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
Sonst gilt:
135
x1 * =
m − p1 x1
p2
m
, x * = 0.
p1 2
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
136
Preisänderungen
x2
EKK
Der Preis p 1 fällt, p 2 und das Einkommen m
bleiben konstant.
p1 > p1 ' > p1 ' '
x2
m / p2
Preiskonsumkurve
x1
Falls
dann
m > p1 x1
∂x1
∂x
1
= 0, 2 =
∂m p 2
∂m
Falls
m < p1 x1
dann
∂x1 1 ∂x2
= ,
=0
∂m p1 ∂m
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
m
p1
m
p1 '
m x
1
p1 ' '
Die Preiskonsumkurve enthält alle Konsumbündel,
die bei gegebenem Preis p 2 und Einkommen m
zu irgendeinem Preis p 1 nutzenmaximierend
sind.
137
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
138
Giffen-Gut
(Direkte) Preiselastizität der Nachfrage nach
Gut 1:
x2
ε x1 , p1 =
m / p2
∂x1 p1
⋅
∂p1 x1
Um wie viel % ändert sich die Nachfrage nach
Gut 1, wenn der Preis des Gutes 1 um 1% steigt?
Kreuzpreiselastizität der Nachfrage nach Gut 1:
m
p1
x1
_
Für p 1 < p 1 nimmt die Nachfrage nach Gut 1 ab,
wenn der Preis dieses Gutes sinkt.
εx ,p =
1
2
∂x1 p 2
⋅
∂p2 x1
Um wie viel % ändert sich die Nachfrage nach Gut
1, wenn der Preis des Gutes 2 um 1% steigt?
Definition:
Gut i ist ein Giffen-Gut (für p 1 , p 2 , m), wenn
gilt:
Bei einem Giffen-Gut ist die direkte Preiselastizität
positiv.
∂xi ( p1 , p 2 , m )
> 0.
∂pi
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
139
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
140
Einkommens- und Substitutionseffekt
GE
Eine Preiserhöhung hat zwei Effekte:
1. Das betreffende Gut verteuert sich relativ zu
anderen Gütern
→ Substitutionseffekt
2. Die Kaufkraft des Haushalts sinkt
→ Einkommenseffekt
Grund
einer
Erhöhung
des
Preises p i
Die beiden Effekte können analytisch getrennt
werden mit Hilfe der Slutzky-Gleichung.
Slutzky-Gleichung
Für
i, j = 1,2 gilt:
∂x
j
∂p
i
Gesamter
Preiseffekt
=
∂h
j
∂p
i
Änderung
der
MarshallNachfrage
nach Gut
j auf
=
SE
EE
+
Änderung
der HicksNachfrage
Änderung der
MarshallNachfrage
nach Gut j
auf Grund
einer
Erhöhung
des Preises
p i (dh für
nach Gut j
auf Grund des
Kaufkraftverlustes, der
durch eine
Erhöhung des
unveränderten
Nutzen)
Preises p i
entsteht.
∂x
j
−x
i ∂m
= Substitu- + Einkommenstionseffekt
effekt
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
141
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
142
Graphische Zerlegung des
Preiseffekts (nach Hicks)
Beweis der Slutzky-Gleichung
Es gilt für alle Preise p i (Identität 4 der Dualitätsx2
Beziehungen, S. 9, Kapitel 8):
h j ( p1 , p2 , u ) = x j ( p1 , p 2 , e( p1 , p2 , u ))
Ableiten dieser Gleichung nach p i liefert, bei
Verwendung von m = e(p 1 , p 2 , u):
∂h j ( p1 , p 2 , u )
∂p i
=
∂x j ( p1 , p2 , m)
∂p i
B
A
∂x j ( p1 , p 2 , m ) ∂e( p1 , p2 , u )
+
∂m
∂pi
hi ( p1 , p 2 , u )
= xi
Auflösen der Gleichung nach ∂x j ( p1 , p 2 , m ) / ∂p i
führt auf die Slutzky-Gleichung.
C
m
p1
m
p1 '
x1
Gut 1 wird billiger:
Der Preis sinkt von p 1 auf p 1 ´.
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
143
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
144
Die Preissenkung führt zu einer Veränderung
der Nachfrage von A nach B: Gesamteffekt.
Der Substitutionseffekt gibt an, wie sich die
Nachfrage verändert, wenn sich der Preis
ändert, aber das Einkommen gleichzeitig so
angepaßt wird, daß der Haushalt den
ursprünglichen Nutzen wieder erreicht:
Bewegung von A nach C.
Der Einkommenseffekt gibt an, wie sich die
Nachfrage bei unverändertem
Preisverhältnis, alleine auf Grund des
Kaufkraftzuwachses, verändert:
Bewegung von C nach B.
Komparative Statik der Hicksschen
Nachfragefunktion
Der direkte Substitutionseffekt ist nicht positiv:
∂h
i ≤0
i
∂p
Begründung für 2 Güter:
x2
x1
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
145
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
146
Slutzky-Zerlegung und Giffen-Gut
Slutzky-Gleichung für den eigenen Preiseffekt
(i = j)
∂x
∂h
∂x
i = i −x
i
i
∂p
∂p
∂m
i
i
pi
∂x
i > 0 ist (Definition Giffen-Gut),
∂p
i
dann muß − x
∂x
i > 0 sein, also
i ∂m
EE
SE
≤0
Wenn
Die Nachfrage nach Gut i steigt nach einer
Erhöhung von p i , falls i inferior ist und der
Einkommenseffekt stark genug ist, um den
Substitutionseffekt zu überwiegen.
xi
∂x
i < 0.
∂m
Folgerung:
i normal:
Gesamteffekt
xi
i inferior: SE
überwiegt
xi
Jedes Giffen-Gut ist inferior.
EE
überwiegt
xi
Gut i ist
„typisch“,
„gewöhnlich“
xi
Giffen-Gut
Aber:
Nicht jedes inferiore Gut ist ein Giffen-Gut.
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
147
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
148
Substitutions- und Einkommenseffekt bei
einem Giffen-Gut (graphisch)
Graphische Zerlegung des
Preiseffekts (nach Slutzky)
x2
Alternative Definition des Substitutionseffekts:
C
Welche Nachfrageänderung tritt ein, wenn das
Einkommen so angepaßt wird, daß das alte
Konsumbündel trotz der Preisänderung
bezahlbar bleibt?
SE
A
GE
EE
p 1 fällt.
B
GE: von A nach B
x2
SE (nach Slutzky): von A nach C
EE (nach Slutzky): von C nach B
x1
p 1 steigt ⇒
B
A
Gesamteffekt GE: von A nach B, x1 steigt,
Substitutionseffekt SE: von A nach C, x1 sinkt,
C
Einkommenseffekt EE: von C nach B, x1 steigt.
x1
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
149
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
150
Zusammenfassung
• Die Einkommenskonsumkurve beschreibt
die nutzenmaximierenden Güterbündel, die sich
bei gegebenem Relativpreis ergeben, wenn das
Einkommen variiert.
• Die Nachfrage nach einem inferioren Gut
sinkt, wenn der Haushalt wohlhabender wird.
• Die Preiskonsumkurve beschreibt die
nutzenmaximierenden Güterbündel, die sich bei
gegebenem Einkommen ergeben, wenn ein
Preis sich verändert.
• Die Nachfrage nach einem Giffen-Gut steigt,
wenn es teurer wird.
• Eine Preiserhöhung verändert die Nachfrage
durch den Substitutionseffekt und durch den
Einkommenseffekt.
• Der eigene Substitutionseffekt ist negativ.
Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen
151
x2
10. Das Arbeitsangebot
Woher stammt das Einkommen des Haushalts?
Kaufen und Verkaufen
(ω1 , ω 2 )
Anfangsausstattung des Haushalts, die
er verkaufen oder konsumieren kann.
Überschußnachfrage
nach Gut 2,
Kauf von
Gut 2
x2 *
ω2
x1 *
max u ( x1, x2)
x1
Überschußangebot, Verkauf von Gut 1
( x1 ,x2 )
u.d.B. p1 x1 + p2 x2 = p1ω1 + p2ω2
x2
Preisänderungen
Die Lösungen sind die Marshallschen
Nachfragefunktionen
Preiskonsumkurve
x1 ( p1 , p2 , p1ω1 + p 2ω 2 )
ω2
x 2 ( p1 , p 2 , p1ω1 + p2 ω 2 )
Das Einkommen hängt von den Preisen ab.
Eine Preisänderung ändert den Wert der
Anfangsausstattung.
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
ω1
Indifferenzkurve durch
die Ausstattung
ω1
152
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
x1
153
Arbeitsangebot
w Lohnsatz pro Zeiteinheit Arbeit
p Preis für Konsum
Der Haushalt konsumiert zwei Güter:
• ein Konsumgut, „der Konsum“ c
• Freizeit f
max u ( c, f )
( c, f, l)
u.d.B. pc = wl,
u (c , f ) Nutzenfunktion
∂u (c, f )
>0
∂c
∂u (c, f )
>0
∂f
T = l+ f
max u ( c, f )
(c , f )
u.d.B. pc + wf = wT
max u (c, T − l )
Freizeit ist ein Gut.
( c, l)
u.d.B. pc = wl
Notwendige Bedingung für ein Nutzenmaximum
mit c*, f*, l* > 0:
T gesamte zur Verfügung stehende Zeit
= Anfangsausstattung des Gutes Freizeit.
l Arbeitszeit = Verkauf der Zeit
T = f + l Zeitbudget
T wird z.B. gemessen in Stunden pro Tag, Tage
pro Jahr.
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
154
∂u (c*, f *) / ∂f w
=
∂u (c*, f *) / ∂c p
w
| MRS | =
p
Reallohn
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
155
|MRS| gibt an, wie viel zusätzlichen Konsum der
Haushalt für eine zusätzliche Arbeitseinheit
verlangt.
Lohnerhöhung und Arbeitsangebot
|MRS| = Grenzzahlungsbereitschaft für Freizeit,
Bietet der Haushalt mehr Arbeit an, wenn der
Vorbehaltslohnsatz
Lohnsatz steigt?
w/p gibt an, wie viel zusätzlichen Konsum der
Haushalt für eine zusätzliche Arbeitseinheit erhält.
Wenn w/p > |MRS| ist, dann lohnt es sich, mehr
zu arbeiten.
Differenziere die Marshallsche Freizeitnachfragefunktion f ( p, w , wT ) nach dem Lohnsatz w:
df ( p , w, wT )
dw
Graphische Lösung
c
Gesamte
Änderung
der Freizeitnachfrage
wT / p
c*
−
auf Grund
einer Lohnerhöhung
w
p
f*
T
=
∂f ( p , w, wT )
∂w
Wirkung
einer Lohnerhöhung
bei unverändertem Wert
der Zeitausstattung
f
+
∂f ( p , w, wT )
⋅T
∂m
Wirkung einer
Lohnerhöhung
auf Grund der
Änderung des
Wertes der
Zeitausstattung
=
Austattungseinkommenseffekt
l* = T – f*
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
156
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
157
Arbeitsangebot mit NichtArbeitseinkommen
Nach der Slutzky-Gleichung gilt
∂f ( p, w, wT ) ∂h (p ,w , u ) ∂f ( p , w, wT )
=
−
⋅f
∂w
∂w
∂m
mit h(p, w, u) als Hicks-Nachfragefunktion nach
Freizeit. Ersetzen von ∂f / ∂w liefert
df ( p , w, wT ) ∂h( p , w, u) ∂f ( p , w , wT )
=
+
⋅ (T − f )
dw
∂w
∂m
Substitutioneffekt
Einkommen m0 > 0 resultiert nicht aus Arbeit.
Budgetgleichung
oder
pc = wl + m0 ,
pc + wf = wT + m0
Zusätzliche Nebenbedingung, da man nicht mehr
als T Zeiteinheiten Freizeit konsumieren kann:
Gesamter
Einkommenseffekt
f ≤ T bzw. l ≥ 0.
c
Da das Arbeitsangebot l = T - f ist, gilt
d l /d w = d (T – f )/d w = - d f /d w also
(wT + m0 ) / p
dl
∂h( p ,w, u ) ∂f ( p , w, wT )
=−
−
⋅l
dw
∂w
∂m
≥ 0,
> 0, wenn Freizeit inferior ist
da SE ≤ 0 < 0, wenn Freizeit normal ist
−
m0 / p
w
p
Folgerung: Eine Lohnerhöhung kann zu einer
Senkung des Arbeitsangebotes führen, wenn
Freizeit ein normales Gut ist.
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
T
158
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
f
159
Es ergibt sich eine Randlösung
l* = 0, f* = T, c* = m/p, falls
Zusammenfassung
m 
∂u  0 ,T  / ∂f
w
 p 
| MRS | =
≥
p
m

∂u  0 , T  / ∂c
 p 
• Das Einkommen eines Haushalts entsteht durch
den Verkauf von Anfangsausstattungen.
• Der Wert der Anfangsausstattung hängt von den
Güterpreisen ab.
• Das Überschußangebot eines Haushalts gibt
c
an, wieviel er von seiner Ausstattung verkaufen
will. Die Überschußnachfrage gibt an, wieviel
er zu seiner Ausstattung dazu kaufen will.
(wT + m0 ) / p
−
c* = m0 / p
• Ein Haushalt wählt sein Arbeitsangebot so, daß
die Grenzzahlungsbereitschaft für Freizeit
w
p
gleich dem Reallohnsatz ist.
f* = T
f
Der Haushalt würde gerne einen Teil seines
Einkommens m0 verwenden, um über T hinaus
noch Freizeit dazuzukaufen.
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
160
• Falls Freizeit ein inferiores Gut ist, steigt das
Arbeitsangebot, wenn der Lohnsatz
zunimmt. Falls Freizeit ein normales Gut ist,
kann eine Lohnerhöhung auch zu einem
Rückgang des Arbeitsangebotes führen.
Mikroökonomik I: 10 Das Arbeitsangebot
161
11. Konsumentenrente
und Wohlfahrtsmessung
Gegenstand der Wohlfahrtsmessung:
Ausdruck von Nutzenänderungen in Geldgrößen
•
Bewertung von wirtschaftspolitischen
Maßnahmen
•
Interpersonaler Vergleich
Äquivalente und Kompensierende
Variation
Zwei Maße zur Bewertung der Nutzendifferenz
u´ - u° in Geldgrößen:
• Äquivalente Variation
EV = e( p1 °, u´) − e( p1 ´,u´)
• Kompensierende Variation
CV = e( p1 °, u °) − e( p1´, u°)
Die EV gibt an, welche Einkommensänderung
Bewertung einer Preisänderung
beim ursprünglichen Preis p 1 ° zu derselben
Nutzenänderung führen würde wie die
Preisänderung.
2 Konsumgüter, p 2 = 1 bleibt konstant.
p 1 sinkt von p 1° auf p 1´< p 1°.
Die CV gibt an, welche Einkommensänderung
beim neuen Preis p 1 ´ nötig wäre, um den
m Einkommen
u° = v( p 1 °,1,m) Nutzen in der Ausgangslage
u´ = v( p 1 ´,1,m) Nutzen nach der Preisänderung
m = e( p 1 °,u°) = e( p 1 ´,u´).
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
162
Haushalt ebenso gut zu stellen wie vor der
Preisänderung.
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
163
Konsumentenrente
x2
e( p 1 °,u´)
EV
Auflösen der Marshallschen Nachfragefunktion nach
Gut 1
m
x1 ( p1 , p2, m)
nach dem Preis p 1 liefert die die inverse
Nachfragefunktion nach Gut 1.
u´
- p 1°
u°
- p 1´
x1
Die Fläche unter der inversen Nachfragefunktion bis
zur Preisgeraden ist die Konsumentenrente KR.
x2
p1
m
inverse Nachfragefunktion
CV
e( p 1 ´,u°)
KR
u´
- p 1°
p1 0
u°
- p 1´
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
x1
164
x1 = x1 ( p10 , p2 , m )
x1
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
165
Quasilineare Nutzenfunktion
Die schraffierte Fläche
gibt den
Zuwachs an Konsumentenrente ∆ KR an, wenn der
Preis von p 1 ° auf p 1 ´ sinkt.
u ( x1 , x2 ) = w( x1 ) + x2 .
Es sei p 2 = 1 und das Einkommen m sei groß
genug, damit x2 > 0.
∆ KR = KR ( x1 ') − KR ( x1 °)
Die notwendige Bedingung w´( x ) = p definiert
1
1
die inverse Nachfragefunktion nach Gut 1:
p1 ( x1 ) := w´( x1 ).
=
Wie verändert sich die Konsumentenrente, wenn
der Preis des Gutes 1 von p 1 ° auf p 1 ´ sinkt?
p1
p1 ( x1 ) = w´( x1 )
x1 ° = x1 ( p1 °)
=
x1 '
 x1 °

0


∫ p1 ( x1 )dx 1 − p1 ' x1 ' −  ∫ p1 ( x1 )dx 1 − p1 °x1 °
0
x1 '
∫ p1( x1)dx1 − ( p1 ' x1 '− p1° x1°)
x1 °
x1 '
∫ w '( x1 )dx1 − ( p1 ' x1 '− p1 ° x1 °)
x1 °
= w( x1 ') − w( x1 °) − ( p1 ' x1 ' − p1 ° x1 °)
Nutzengewinn
durch zusätzlichen Konsum
von Gut 1
p1 °
p1 '
=
Zusätzliche
Ausgaben
für Gut 1
x1
x1 ' = x1 ( p1 ')
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
166
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
167
EV und CV bei quasilinearer Nutzenfunktion
x1 ( p1 )
x2 = m − p1 x1 ( p1 )
Nachfrage nach Gut 1
Nachfrage nach Gut 2
Ergebnis: Bei quasilinearer Nutzenfunktion sind
Äquivalente und Kompensierende Variation und die
Änderung der Konsumentenrente gleich.
Bei anderen Nutzenfunktionen unterscheiden sich
u = w( x1 ( p1 )) + m − p1 x1 ( p1 )
die drei Größen.
Auflösen nach m und ersetzen von m durch
e( p 1 , u) liefert die Ausgabenfunktion
∆KR
e ( p1 , u ) = u − w ( x1 ( p1 )) + p1 x1 ( p1 ).
als Approximation für EV und CV
Für alle Nutzenfunktionen gilt “Shephard’s Lemma”
Berechnung der Äquivalenten Variation:
EV = e ( p1 °, u ' ) − e( p1 ' , u ' )
= u ' −w ( x1 °) + p1 ° x1 ° − [u' − w( x1 ' ) + p1 ' x1 ' ]
= w( x1 ' ) − w ( x1 °) − ( p1 ' x1 '− p1 ° x1 °)
= ∆KR.
∂e( p1 , u)
.
∂p1
Deshalb kann die EV geschrieben werden als
EV = e( p1 °, u ' ) − e ( p1 ' , u ' )
Berechnung der Kompensierenden Variation:
CV = e( p1 °, u°) − e( p1 ' , u °)
= u ° − w( x1 °) + p1 °x1 ° − [u ° − w( x1 ' ) + p1 ' x1 ']
= EV
= ∆KR.
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
h1 ( p1 , u ) =
168
=
=
p1 °
∂ e ( p1 , u ' )
dp1
∂ p1
p1 '
∫
p1 °
∫ h1 (p1 , u ') dp1.
p1 '
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
169
Die Hickssche Nachfragefunktion ist flacher
(d.h. weniger stark fallend) als die Marshallsche
Nachfragefunktion.
Die CV kann geschrieben werden als
CV = e( p1 °, u °) − e( p1 ' , u °)
=
=
Die inverse Hickssche Nachfragefunktion ist
steiler (d.h. stärker fallend) als die inverse
p1 °
∂e ( p1 , u °)
dp1
∫ ∂p
p1 '
1
Marshallsche Nachfragefunktion.
p1 °
∫ h1 (p1 , u°)dp1.
p1
p1 '
h1 ( p1 , u ' )
EV und CV sind Integrale unter der Hicksschen
Nachfragefunktion, ∆ KR ist ein Integral unter
der Marshallschen Nachfragefunktion.
Zum Vergleich der drei Maße wird die
Slutzky-Zerlegung herangezogen.
p1 °
p1 '
x1 ( p1 , m)
h1 ( p1 , u°)
x1
= CV
∂h1 ( p1 , u ) ∂x1 ( p1 , m ) ∂x1 ( p1 , m )
=
+
x1 ( p1 , m).
∂ p1
∂p1
∂m
+
Wenn Gut 1 normal ist, dann gilt ∂x1 /∂m > 0
und deshalb
0>
+
+
= EV
Die Veränderung der Konsumentenrente liegt
zwischen CV und EV.
∂h1 ( p1 , u) ∂x1 ( p1, m )
>
.
∂p1
∂ p1
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
= ∆ KR
170
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
171
Zusammenfassung
• Durch die Äquivalente Variation EV, die
Kompensierende Variation CV und die
Veränderung der Konsumentenrente werden
Nutzenänderungen in Geldeinheiten
ausgedrückt.
• Die EV gibt an, welche Einkommensänderung
dieselbe Nutzenänderung auslösen würde wie
die Preisänderung.
• Die CV gibt an, welche Einkommensänderung
die von der Preisänderung ausgelöste
Nutzenänderung wieder rückgängig machen
würde.
• Bei einer quasilinearen Nutzenfunktion sind
alle drei Maße identisch.
• Im allgemeinen liegt die Veränderung der
Konsumentenrente zwischen der CV und der
EV.
Mikroökonomik I: 11 Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung
172