¨Ubungen zur Algebra I

G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 1.1. Wiederholung Gruppen — Nebenklassen
Ist H ⊂ G eine Untergruppe von G, so bezeichnen wir mit aH = {ah|h ∈ H} die
Linksnebenklassen und mit Ha = {ha|h ∈ H} die Rechtsnebenklassen von H in G. Mit
G/H (bzw. H\G) wird die Menge der Linksnebenklassen (bzw. der Rechtsnebenklassen)
bezeichnet. Die Anzahl der Linksnebenklassen von H in G wird mit (G : H) bezeichnet.
(i) Zeigen Sie, dass durch α : H × G → G mit (h, g) 7→ gh−1 eine Gruppenoperation von H auf G definiert wird.
(ii) Geben Sie die Bahnen und Stabilisatoren dieser Gruppenwirkung an!
(iii) Leiten Sie aus der Bahnenformel den folgenden Satz von Lagrange ab:
Ist H ⊂ G eine Untergruppe der endlichen Gruppe G, so gilt
ord(G) = (G : H) · ord(H) .
Aufgabe 1.2. Wiederholung Gruppen — Automorphismengruppen
Sei G eine Gruppe, so bezeichnen wir mit Z(G) := {g ∈ G|hg = gh für alle h ∈ G} das
Zentrum von G.
(i) Zeigen Sie, dass die Menge Aut(G) = {ϕ ∈ Homgr (G, G)|ϕ ist bijektiv} mit
der Hintereinanderausführung eine Gruppe ist.
(ii) Berechnen Sie die Automorphismengruppe Aut(C8 ) der zyklischen Gruppe C8
mit 8 Elementen.
(iii) Zeigen Sie, dass die Abbildung Φ : G → Aut(G) mit Φ(g) = ϕg und ϕg (h) =
ghg −1 ein Gruppenhomomorphismus ist.
(iv) Zeigen Sie, dass ker(Φ) = Z(G) gilt.
Aufgabe 1.3. Wiederholung Gruppen — Konjugationsklassen
(i) Zeigen Sie, dass durch G × G → G mit (g, h) 7→ ghg −1 eine Gruppenwirkung
von G auf G definiert wird. Diese Gruppenoperation nennt man die konjugierte Wirkung von G auf G. Die Bahnen dieser Gruppenoperation heißen
Konjugationsklassen von Elementen.
(ii) Zeigen Sie, dass der Stabilisator Stab(g) gleich der Menge
CG (g) = {h ∈ G | hgT= gh} ist.
(iii) Zeigen Sie Z(G) = g∈G CG (g).
(iv) Leiten Sie aus der Bahnenformel die Klassenformel für endliche Gruppen G
ab:
X
X
ord(G) =
(G : CG (g)) = ord(Z(G)) +
(G : CG (g))
g∈X1
g∈X2
Dabei bezeichnet X1 die Menge der Konjugationsklassen von G und X2 die
Konjugationsklassen von G mit mehr als einem Element.
Aufgabe 1.4. Wiederholung Gruppen — Beispiel S3
(i) Geben Sie alle Untergruppen von S3 an! Welche ist das Zentrum?
(ii) Welche der Untergruppen von S3 sind Normalteiler?
(iii) Geben Sie die Konjugationsklassen von Elementen von S3 an!
(iv) Prüfen Sie die Klassenformel für S3 .
(v) Zeigen Sie, dass S3 genau 6 Automorphismen besitzt.
Bei (i)–(iii) reicht eine Auflistung.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 2.1. Gruppenoperationen
(i) Zeigen Sie, dass durch
R×R→R
(x, y) 7→ exp(x)y
eine Operation der Gruppe (R, +) auf R gegeben wird. Geben Sie die Bahnen
und deren Stabilisatoren an!
(ii) Zeigen Sie, dass durch
x
cos(α)x − sin(α)y
2
2
R×R →R
α·
=
y
sin(α)x + cos(α)y
eine Operation der Gruppe (R, +) auf R2 gegeben wird. Beschreiben Sie die
Bahnen und deren Stabilisatoren!
(iii) Sei G × X → X eine Gruppenoperation. Zeigen Sie, dass die Teilmenge
Stab(X) = {g ∈ G|g · x = x für alle x ∈ X} ⊂ G
ein Normalteiler ist.
Aufgabe 2.2. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Ferner gelte g ◦ g = e für
alle g ∈ G. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.
Aufgabe 2.3. Seien p eine Primzahl und G eine p-Gruppe. Zeigen Sie, dass das Zentrum
Z(G) der Gruppe G mindestens p Elemente enthält.
Tipp: Nehmen Sie an, dass Z(G) = {e} gelte. Nutzen Sie die Klassenformel (Aufgabe 1.3
(iv)) um zu zeigen, dass p nicht für alle Elemente g ∈ G \ {e} die Anzahl (G : CG (g)) teilt.
Folgern Sie, dass ein g 6= e existiert mit CG (g) = G. Schließen sie nun, dass g ∈ Z(G) gilt.
Aufgabe 2.4. Ein Satz von Cauchy
Beweisen Sie: Teilt die Primzahl p die Ordnung der endlichen Gruppe G, so besitzt G ein
Element der Ordnung p.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 3.1. Der euklidische Algorithmus
(i) Stellen Sie den ggT der ganzen Zahlen a = 12345 und b = 67890 als ganzzahlige
Linearkombination von a und b dar!
(ii) Stellen Sie den ggT der Polynome f = X 5 − 3X 2 − 20 und g = X 2 − 4 aus
dem Ring Q[X] als Linearkombination von f und g dar!
Aufgabe 3.2. Der Ring Z[i] der Gaußschen Zahlen
Wir definieren den Ring Z[i] durch: Z[i] := {a + bi ∈ C | a, b ∈ Z}.
(i) Die Norm von a + bi ∈ C wird durch N (a + bi) = a2 + b2 definiert. Beweisen
Sie, dass für alle komplexen Zahlen r und s die Gleichung N (r · s) = N (r)N (s)
gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass die Norm einer Gaußschen Zahl eine natürliche Zahl ist. Zeigen
Sie die Äquivalenz: N (e) = 1 ⇐⇒ e ∈ Z[i] ist Einheit. Geben Sie die
Einheitengruppe Z[i]∗ an!
(iii) Zeigen Sie, dass die Gaußschen Zahlen 2,4,5 keine Primelemente sind, indem
Sie sie als Produkt von Nichteinheiten darstellen.
(iv) Beweisen Sie: Ist p ∈ Z eine Primzahl, die den Rest 3 bei Division durch vier
läßt, so ist p ein Primelement in Z[i].
Tipp: Nehmen Sie an, es gelte p = r · s mit r und s keine Einheit. Benutzen
Sie nun (i) und (ii) um N (s) = p zu schließen. Betrachten sie die Reste von
Quadratzahlen bei Division durch 4.
√
Aufgabe 3.3. Der Ring Z[
√ −5]
√
√
Wir definieren den Ring Z[
−5]
durch:
Z[
−5]
:=
{a
+
b
−5 ∈ C | a, b ∈ Z}.
√
(i) Zeigen Sie, dass Z[ −5]
√ ein Ring ist!
(ii) Die Norm von√a + b −5 ist eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass
√ N (e) =
1 ⇐⇒ e ∈ Z[ −5] ist Einheit. Geben Sie die Einheitengruppe Z[ −5]∗ an!
(iii) Beweisen Sie, dass wir mit
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5)
zwei verschieden Zerlegungen der Zahl 6 als Produkt von Primelementen
ha√
ben. √
(Sie müssen also nachweisen, dass die vier Zahlen 2, 3, (1√+ −5) und
(1 − √−5) prim sind und zeigen, dass 2 (oder 3) weder zu (1 + −5) noch zu
(1 − −5) assoziiert ist.
Tipp: Benutzen Sie die Norm und ihre Eigenschaft (siehe (ii)).
Aufgabe 3.4. Der euklidische Algorithmus für Z[i]
(i) Zeigen Sie, dass es einen euklidischen Algorithmus für den Ring Z[i] mit der
Höhenfunktion N : Z[i] \ {0} → N gibt.
Tipp: Seien a, b ∈ Z[i] gegeben mit b 6= 0, dann schreiben wir die komplexe
Zahl z = ab als Summe z = q+s, wobei q ∈ Z[i] ist und Real- sowie Imaginärteil
von s im Intervall (− 21 , 12 ] liegen. Zeigen Sie nun N (s) ≤ 12 . Zeigen Sie, dass die
Zerlegung a = q · b + r mit r = s · b einen euklidischen Algorithmus definiert.
(ii) Finden Sie Gaußsche Zahlen q und r, so dass 12 + 5i = (3 − 6i)q + r mit
N (r) < N (3 − 6i) = 45.
(iii) Entscheiden Sie, ob die Zerlegung in Primelemente in Z[i] eindeutig ist.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
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Übungen zur Algebra I
Aufgabe 4.1. Der Holzfäller-Algorithmus zur Polynomzerlegung
Zeigen Sie, dass der folgende Algorithmus zur Zerlegung eines ganzzahligen Polynoms
f ∈ Z[X] vom Grad d stets einen Teiler g von f mit 0 < deg(g) < deg(f ) liefert, wenn
ein solcher Teiler g ∈ Q[X] existiert.
(1) Setzen Sie m := b d2 c, die größte ganze Zahl kleiner gleich d2 , berechnen Sie die
f (i) für i = 0, 1, . . . , m. Ist ein f (i) = 0, so sind wir fertig, da X − i Teiler ist.
(2) Wähle ganzzahligen Teiler ai von f (i) für i = 0, 1, . . . , m. Haben Sie bereits
alle Teilerkombinationen durchprobiert, so gehen Sie zu Schritt (6)
(3) Berechnen Sie das Polynom g ∈ Q[X] vom Grad ≤ m mit g(i) = ai für
i = 0, 1, . . . , m.
(4) Ist g 6∈ Z[X] oder konstant, so gehen Sie zu Schritt (2).
(5) Teilt g das Polynom f , so haben wir einen Teiler gefunden und sind fertig.
Wenn nicht müssen wir wieder zu (2).
(6) Nun wissen wir: f ist irreduzibel.
Sie müssen beweisen: Ist f ∈ Q[X] reduzibel, so findet der Algorithmus nach endlich
vielen Versuchen einen Teiler. Ist f irreduzibel, so endet der Algorithmus nach endlich
vielen Schritten mit dem Ergebnis f ist irreduzibel.
Aufgabe 4.2. Zerlegen Sie das Polynom f = X 3 + X 2 + X + 1 in Primelemente in K[X]
für alle Körper K aus {Q, F2 , F3 , F5 }. Geben Sie eine kurze Begründung an, warum ihre
Faktoren prim sind!
Aufgabe 4.3. Ist f ∈ Z[X] irreduzibel, so gilt stets für unendlich viele Primzahlen p,
dass f mod p reduzibel in Fp [X] ist. Diese Aufgabe ist also ein typisches Beispiel.
(i) Zeigen Sie, dass f = X 3 − 2 ∈ Q[X] irreduzibel ist.
(ii) Ist p ≡ 2 mod 3 eine Primzahl, so ist f mod p reduzibel in Fp [X].
Tipp: Die Abbildung ρ : F∗p → F∗p mit a 7→ a3 ist ein Gruppenhomomorphismus.
Zeigen Sie, dass der Kern höchstens drei Elemente hat. Denken Sie an die Ordnung
der Elemente im Kern um zwei auszuschließen. Schließen Sie drei aus (Satz von
Lagrange) und folgern Sie, dass ρ surjektiv ist.
(iii) Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 2 mod 3.
Tipp: Nehmen Sie an, dass {p1 , p2 , . . . , pn } die endliche Menge aller Primzahlen
p mit pQ≡ 2 mod 3 wäre. Betrachten Sie nun die Primfaktorzerlegung der Zahl
m := ( ni=1 p2i ) + 1.
Aufgabe 4.4.
(i) Zeigen Sie, dass das Polynom f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 ∈ Q[X] irreduzibel ist.
P
(ii) Berechnen Sie im Körper K = Q[X]/(f ) das Element x12 in der Form 3i=0 ai xi .
(Dabei ist x das Bild von X in K) Skizzieren Sie, wie Sie zu Ihrer Lösung kamen!
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 5.1. Sei K → L eine Körpererweiterung mit [L : K] = 5. Sei α ∈ L \ K. Zeigen
Sie, dass α algebraisch über K ist und der Grad des Minimalpolynoms fα ∈ K[X] gleich
fünf ist.
Aufgabe 5.2. Wir betrachten den Körper K = Q[X]/(X 3 − 3X + 1) und bezeichnen das
Bild von X in K mit x. Geben Sie die Zerlegung des Polynoms f = T 3 − 3T + 1 ∈ K[T ]
in irreduzible Faktoren an!
Tipp: In K gilt die Gleichung (2x2 + x − 4)2 = 12 − 3x2 .
Aufgabe 5.3. Wir betrachten den Körper K = Q[X]/(X 3 + 3X + 1) und bezeichnen das
Bild von X in K mit x. Geben Sie die Zerlegung des Polynoms f = T 3 + 3T + 1 ∈ K[T ]
in irreduzible Faktoren an!
Tipp: Geben Sie Körpererweiterungen Q → K → R an und untersuchen Sie, wie viele
Nullstellen f in R besitzt. (Analysiskenntnisse sind gefragt!)
Aufgabe 5.4. Wir betrachten den Körper L = Q[X]/(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) und
bezeichnen das Bild von X in L mit x. (Siehe auch Aufgabe 4.4.)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Zeigen Sie, dass in L die Gleichung x5 = 1 gilt.
Berechnen Sie das Minimalpolynom von y = x2 + x3 über dem Körper Q.
Berechnen Sie das Minimalpolynom von x über dem Körper K := Q[y].
Geben Sie die Grade der Körpererweiterungen Q → K → L an!
Abgabe: Bis Mittwoch, 21. November 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 6.1. Rechnen in quadratischen Erweiterungen I
Sei f (X) = X 2 + pX + q ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom. Wir bezeichnen mit L den
Körper K[X]/(f (X)) und mit x das Bild von X in L. Wir betrachten ein y = a + bx ∈ L
mit a, b ∈ K. Mit my : L → L mit z 7→ y · z bezeichnen wir die Multiplikationsabbildung.
Wir betrachten my als K-lineare Abbildung des K-Vektorraumes L.
(i) Bestimmen Sie das Minimalpolynom des Elementes y ∈ L.
(ii) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der Abbildung my ∈ EndK (L).
(iii) Für welche y ∈ L ist my invertierbar?
(iv) Für welche y ∈ L ist my diagonalisierbar?
Aufgabe 6.2. Rechnen in quadratischen Erweiterungen II
Seien K → L = K[X]/(f (X)) und x wie in Aufgabe 6.1. Ferner gelte f 0 (X) = 2X + p 6= 0
in K[X]. Wir betrachten die folgende K-lineare Abbildung
τ : L → L a + bx 7→ (a − bp) − bx .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Zeigen Sie, dass τ ein Körperautomorphismus mit τ ◦ τ = idL ist.
Zeigen Sie, dass τ (y) = y ⇐⇒ y ∈ K gilt.
Zeigen Sie für alle y ∈ L, dass gy (T ) := (T − y)(T − τ (y)) ∈ K[T ].
Für welche y ∈ L ist gy das Minimalpolynom?
Aufgabe 6.3. Wir betrachten die Liouvillesche Zahl l und das Polynom f (X) ∈ Q[X]
mit
1234
X 1
X
Xn
l=
und
f (X) :=
.
10n!
n+1
n=0
n≥1
Zeigen Sie, dass der Punkt (f (l), 0) nicht aus P0 = {(0, 0), (1, 0)} konstruierbar ist.
Aufgabe 6.4. Das Regelmäßige Fünfeck
Konstruieren Sie aus P0 = {(0, 0), (1, 0)} ein regelmäßiges Fünfeck!
Tipp: Sei ξ := exp 2πi
∈ C. Dann bilden die fünf komplexen Zahlen {ξ, ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , ξ 5 = 1}
5
die Ecken eines regelmäßigen Fünfecks und die Nullstellen des Polynoms X 5 −1. Wir könnten nun ξ 2 durch Ausnutzen der folgenden Fakten konstruieren:
5 −1
- ξ 2 ist Lösung des irreduziblen Polynoms f (X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 = XX−1
∈ Q[X]
(siehe Aufgabe 4.4)
- da ||ξ 2 || = 1 genügt es den Realteil Re(ξ 2 ) zu konstruieren.
- ξ 2 + ξ 3 = 2 · Re(ξ 2 ).
- ξ 2 + ξ 3 hat ein Minimalpolynom zweiten Grades (siehe Aufgabe 5.4.(ii))
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 7.1. Geben Sie alle Körperhomomorphismen Q[X]/(X 4 +X 3 +X 2 +X +1) → C
an!
Aufgabe 7.2. Sei f ∈ Q[X] ein irreduzibles Polynom. Wir setzen K := Q[X]/(f ) und
l := card{h : K → R | h ist Körperhomomorphismus }. Zeigen Sie, dass 0 ≤ l ≤ deg(f )
und l ≡ deg f mod 2 gelten.
Aufgabe 7.3. Wir betrachten den Körper L := F2 [X]/(X 4 +X 3 +X 2 +X +1). Bestimmen
Sie alle Unterkörper K ⊂ L.
Geben Sie zu jedem Unterkörper K alle Körperhomomorphismen K → L an.
Tipp: Sie könnten wie folgt vorgehen:
(i) Betrachten Sie die Körpererweiterungen F2 → K → L und zeigen Sie, dass für
[K : F2 ] nur drei Möglichkeiten in Frage kommen.
(ii) Ist [K : F2 ] = m, so könnten Sie zeigen, dass K gerade aus den Nullstellen von
m
T 2 − T besteht. Zeigen Sie, dass K durch seine Kardinalität bestimmt ist.
(iii) Stellen Sie K in der Form K = F2 [y] für ein y ∈ L dar und nutzen Sie y, sein
Minimalpolynom und dessen Nullstellen um alle Einbettungen von h : K → L
anzugeben, indem Sie das Bild h(y) ∈ L angeben.
(iv) Lassen Sie sich vom Frobenius helfen!
Aufgabe 7.4. Wir nehmen an, p sei eine Primzahl und das Polynom f = T p − T − 1 ∈
Fp [T ] sei irreduzibel. Bestimmen Sie den Zerfällungskörper K von f und bestimmen Sie
die Gruppe der Körperautomorphismen von K.
Tipp: Lassen Sie sich vom Frobenius helfen!
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
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Übungen zur Algebra I
Aufgabe 8.1. Es sei Q → K eine endliche normale Körpererweiterung, die eine Nullstelle
des Polynoms f (X) = X 3 + 3X + 1 enthalte. Zeigen Sie, dass der Grad [K : Q] durch
sechs teilbar ist. (siehe auch Aufgabe 5.3.)
Aufgabe 8.2. Seien K1 und K2 zwei endliche Körper mit gleich vielen Elementen. Beweisen Sie, dass K1 ∼
= K2 gilt!
Tipp: Versuchen Sie K1 und K2 beide in einen endlichen Körper L einzubetten und beachten Sie Aufgabe 7.3.
Aufgabe 8.3. Konstruierbarkeit komplexer Zahlen
Sei P0 ⊂ C. Wir nennen eine komplexe Zahl z ∈ C aus P0 konstruierbar, wenn unter der
Identifizierung ψ : C → R2 mit a + bi 7→ (a, b) der Punkt ψ(z) aus ψ(P0 ) konstruierbar
ist.
√
(i) Zeigen Sie, dass z1 + z2 , z1 · z2 , z11 und z1 aus {0, 1, z1 , z2 } konstruierbar sind.
(ii) Zeigen Sie, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung z 2 + bz + c = 0 aus
{0, 1, b, c} konstruierbar sind.
(iii) Es sei P0 eine unter der komplexen Konjugation abgeschlossene Teilmenge. Zeigen Sie, dass die folgende Implikation gilt: Ist z aus P0 konstruierbar, dann ist
Q(P0 ) → Q(P0 ∪{z}) eine endliche Körpererweiterung vom Grad 2k für ein k ∈ N.
Tipp: Betrachten Sie die Körpererweiterungen Q[P ] → Q[Re(P ), Im(P ), i] und
wenden Sie Ihr Wissen über Konstruktionen in R2 an!
Aufgabe 8.4. Zeigen Sie, dass man aus P0 = {0, 1} ⊂ C kein regelmäßiges Siebeneck
konstruieren kann.
7 −1
Sie sollten natürlich Aufgabe 8.3 benutzen. Um zu zeigen, dass das Polynom XX−1
∈
Q[X] irreduzibel ist, kann man die Transformation X = Y + 1 und das Eisensteinsche
Irreduzibilitätskriterium anwenden.
Abgabe: Bis Mittwoch, 12. Dezember 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R03 D89.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 9.1. Existenz von Körpern mit pk Elementen
Seien eine Primzahl p und eine ganze Zahl k ≥ 1 gegeben, so setzen wir q = pk . Zeigen
Sie, dass es einen Körper Fq mit q Elementen gibt.
Tipp: Betrachten Sie den Zerfällungskörper des Polynoms f (X) = X q − X ∈ Fp [X].
Aufgabe 9.2. Es sei p eine Primzahl und k ≥ 1 eine ganze Zahl. Fq sei der Körper mit
q = pk Elementen.
(i) Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung Fp → Fq Galoissch ist.
(ii) Berechnen Sie die Galoisgruppe der Erweiterung Fp → Fq .
(iii) Geben Sie die Anzahl der Zwischenkörper von Fp → Fq an!
Aufgabe 9.3. Sei K → L eine Körpererweiterung zweier endlicher Körper. Zeigen Sie,
dass K → L Galoissch mit zyklischer Galoisgruppe ist.
Aufgabe 9.4. Wir betrachten die Körpererweiterung F2 → F64 = F2 [X]/(X 6 + X + 1).
(Sie müssen nachweisen, dass X 6 + X + 1 ∈ F2 [X] irreduzibel ist!) Das Bild von X in
a7→a2
F64 bezeichnen wir mit x und mit F : F64 −→ F64 den Frobenius. Bestimmen Sie die
Minimalpolynome von y = x + F 3 (x) = x3 + x2 + x sowie von z = a + F 2 (a) + F 4 (a) in
F2 [T ], dabei ist a ∈ F64 und z 6∈ F2 .
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 10.1. und 10.2. (Hier wird doppelt gepunktet!)
Wir betrachten die Galoissche Körpererweiterung Q → L = Q[x, i] aus der Vorlesung
(x4 = 2 und i2 = −1). Die Galoisgruppe hatten wir als Diedergruppe D8 erkannt mit
D8 = hδ, σ | δ 4 = e = σ 2 , σδσ = δ −1 i. (Mit e bezeichnen wir das neutrale Element.) Die
Gruppenoperation war durch δ(x) = ix, δ(i) = i, σ(x) = x und σ(i) = −i gegeben. Es ist
nun Ihre Aufgabe, zu den in der Vorlesung nicht betrachteten Untergruppen A = {e, δ 2 },
B = {e, σ} und D = {e, δ 2 · σ} die Zwischenkörper LA , LB und LD zu bestimmen,
das heißt die Zwischenkörper in der Form Q[y] oder Q[y, z] angeben. Einige dieser drei
Untergruppen, nennen wir sie H, sind Normalteiler in D8 . Finden Sie diese Untergruppen
H und berechnen Sie die Galoisgruppe von Q → LH .
Aufgabe 10.3. Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage korrekt ist: Sind K → L und
L → M endliche Galoissche Erweiterungen, so ist auch K → M Galoissch. Geben Sie
einen Beweis oder ein Gegenbeispiel!
Aufgabe 10.4. Wir betrachten das Polynom f (X) = X 4 − 2X 2 − 3 = (X 2 − 3)(X 2 + 1) ∈
Q[X]. Der Zerfällungskörper von f (X) über Q sei L. Demnach ist die Körpererweiterung
Q → L Galoissch.
(i) Berechnen Sie die Galoisgruppe G := Gal(L : Q).
(ii) Geben Sie alle Zwischenkörper von Q → L mit allen Inklusionen an! Sie sollen
die von L verschiedenen Zwischenkörper in der Form Q[y] für ein geeignetes y
angeben.
Der Weihnachtsmann brachte dieses Jahr diese Kollektion von Hinweisen:
zu 10.1: Vorher nochmal die Vorlesung vom 12.12. durchgehen.
zu 10.3: Warum steht diese Aufgabe wohl nach 10.1?
zu 10.4: Tipp zur Kontrolle: [L : Q] = 4.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 11.1. und 11.2. Auch hier wird doppelt gepunktet!
Wir betracheten für die beiden irreduziblen Polynome f1 = X 3 − 3X + 1 (siehe Aufgabe
5.2) und f2 = X 3 + 3 in Q[X] die beiden Zerfällungskörper Kf1 und Kf2 über Q. Es sei
i = 1 oder i = 2.
(i) Bestimmen Sie [Kfi : Q].
(ii) Geben Sie die Galoisgruppe Gal(Kfi : Q) an!
(iii) Geben Sie sämtliche Zwischenkörper L von Q → Kfi in der Form L = Q[y] oder
L = Q[y, z] an!
(iv) Für welche Zwischenkörper L von Q → Kfi ist Q → L Galoissch?
Aufgabe 11.3. Die Alternierende Gruppe An ist für n ≥ 5 einfach — Teil 1
Wir hatten in der Vorlesung gesehen, dass für n ≥ 5 die Gruppe An nicht auflösbar ist.
Es gilt sogar: An besitzt keine Normalteiler außer den trivialen Normalteilern {e} C An
und An C An . Eine solche Gruppe heißt einfach. Wir nehmen an n ≥ 5, {e} ( N C An
und wollen zeigen, dass N = An gilt.
(i)
Beweisen Sie: Enthält der Normalteiler N einen 3-Zykel (abc), so enthält er alle
3-Zykel.
(ii) Beweisen Sie: Die 3-Zykel erzeugen An .
(iii) Schließen Sie: Ein Normalteiler N , der einen 3-Zykel enthält, ist gleich An .
Tipp: Berechnen Sie die Produkte (bcd)(abc)(bcd)−1 , (1a)(1b)(1a) und (1a)(1b).
Aufgabe 11.4. Die Alternierende Gruppe An ist für n ≥ 5 einfach — Teil 2
Wir nehmen wieder n ≥ 5 und {e} ( N C An an.
(i) Enthält N einen (m1 , m2 , . . . , mk )-Zykel mit m1 ≥ 4, so enthält N einen 3-Zykel.
(ii) Enthält N einen (3, 3, m3 , . . . , mk )-Zykel, so enthält N einen 3-Zykel.
(iii) Enthält N einen (3, m2 , . . . , mk )-Zykel σ mit mi ≤ 2 für i = 2, . . . , k, so enthält
N einen 3-Zykel.
(iv) Enthält N einen (2, 2, m3 , . . . , mk )-Zykel, so enthält N einen (2, 2)-Zykel.
(v) Enthält N einen (2, 2)–Zykel, so enthält N einen 3-Zykel.
Tipp: Berechnen Sie die Produkte (a1 a2 a3 . . . am1 )−1 (a1 a2 a3 )(a1 a2 a3 . . . am1 )(a1 a2 a3 )−1 ,
((abc)(def ))−1 (bcd) ((abc)(def )) (bcd)−1 , σ 2 , (bcd)((ab)(cd))(bcd)−1 ((ab)(cd)), sowie das
Produkt ((ab)(cd))(abe)((ab)(cd))(abe)−1 für ein e 6∈ {a, b, c, d}.
G. Hein, F. Heinloth, S. Kukulies
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 12.1. Sei p eine ungerade Primzahl. Die Körpererweiterung K → L sei Galoissch mit Galoisgruppe G, wobei G genau 2p Elemente habe. Sie sollen zwei Sachen
beweisen:
(i) Es gibt einen Zwischenköper M von K → L mit K → M ist Galoissch und
[M : K] = 2.
(ii) G ist auflösbar.
Aufgabe 12.2. Sei f ∈ K[X] ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen. L sei der Zerfällungskörper von f . Wir bezeichnen mit G die Galoisgruppe von K → L und mit
N := {xi }i=1,...,n die Nullstellen von f in L. Wir sagen: G operiert transitiv auf N , wenn
für alle i, j ∈ {1, . . . , n} ein g ∈ G mit g(xi ) = xj existiert. Zeigen Sie die Äquivalenz:
f ist irreduzibel ⇐⇒ G operiert transitiv auf N .
Aufgabe 12.3. Wir betrachten das irreduzibel Polynom f = X 3 − X − 1 ∈ Q[X]. Sei
Q → L eine Körpererweiterung, in der f mit den Nullstellen x1 , x2 und x3 zerfalle. Wir
definieren nun für n ∈ N die Folge a : N → L durch an := xn1 + xn2 + xn3 .
(i) Zeigen Sie, dass an ∈ Q für alle n ∈ N.
(ii) Berechnen Sie a0 , a1 und a2 .
(iii) Zeigen Sie, dass an ∈ N, für alle n ∈ N.
(iv) Ist p eine Primzahl, so ist ap ≡ 0 mod p.
Am 21. Januar 2008 von 16–18 Uhr im Raum T03 R02 D82 gibt es einen Tipp.
Zusatzaufgabe (2 Punkte): Nutzen Sie einen Computer, um die Gültigkeit der folgenden Behauptung zu überprüfen:
Für ein n ≥ 2 gilt: n ist Primzahl ⇐⇒ an ≡ 0
mod n .
Aufgabe 12.4. Seien K → K1 und K → K2 zwei Zwischenkörper einer Körpererweiterung K → L. Mit K1 K2 bezeichnen wir den von K1 und K2 erzeugten Unterkörper von
L. Wir nehmen an, dass K → K1 und K → K2 endliche Galoissche Erweiterungen sind,
deren Galoisgruppen abelsch seien.
Zeigen Sie: Die Erweiterung K → K1 K2 ist Galoissch mit abelscher Galoisgruppe.
Tipp: Sie könnten der folgenden Beweisskizze folgen:
(i) Es gibt zwei separable Polynome f1 , f2 ∈ K[X], so dass K → Ki
Zerfällungskörper von fi ist.
(ii) Zeigen Sie: K → K1 K2 ist Zerfällungskörper von f = f1 f2 und somit ist die
Erweiterung K → K1 K2 Galoissch. Die Galoisgruppe bezeichnen wir mit G.
(iii) Betrachten Sie M = {λ ∈ K1 K2 | g(h(λ)) = h(g(λ)) für alle g, h ∈ G} und zeigen
Sie: M ist ein Unterkörper von K1 K2 , der K1 und K2 enthält.
(iv) Folgern Sie nun aus M = K1 K2 , dass G abelsch ist.
13 Abschlußklausur
Aufgabe 13.1. (3 Punkte) Wir betrachten das Polynom f = X 4 − 2X − 2 ∈ Q[X].
Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist.
Aufgabe 13.2. (6 Punkte) Zeigen Sie, dass das Polynom f = X 4 − 2X − 2 ∈ C[X]
im Körper C vier paarweise verschieden Nullstellen {x1 , x2 , x3 , x4 } besitzt, und berechnen
Sie die Zahl r := x21 + x22 + x23 + x24 .
Aufgabe 13.3. (6 Punkte) Sei p eine ungerade Primzahl. Beweisen Sie, dass eine Gruppe mit 2p2 Elementen auflösbar ist.
Aufgabe 13.4. (4 Punkte) Sei K → L eine Körpererweiterung mit [L : K] = 17. Sei
α ∈ L \ K. Zeigen Sie, dass der Grad des Minimalpolynoms fα ∈ K[X] von α gleich 17
ist.
Aufgabe 13.5. (4 Punkte) Wir betrachten die Körpererweiterung
F2 → F16 = F2 [X]/(X 4 +X +1). (Sie müssen nicht zeigen, dass die angegebene Abbildung
F2 → F2 [X]/(X 4 + X + 1) eine Körpererweiterung ist!) Mit x bezeichnen wir das Bild
von X in F16 . Wir wissen, dass F16 /F2 Galoissch ist und die Galoisgruppe vom Frobenius
a7→a2
F : F16 −→ F16 erzeugt wird.
Berechnen Sie das Minimalpolynom fy ∈ F2 [T ] des Elements y = x2 + x ∈ F16 .
Aufgabe 13.6. (12 Punkte) Wir betracheten das irreduzible Polynome f = T 3 − 3 ∈
Q[T ] und den Zerfällungskörper Kf von f über Q.
(i) Bestimmen Sie [Kf : Q].
(ii) Geben Sie die Galoisgruppe Gal(Kf : Q) an!
(iii) Stellen Sie Kf in der Form Q[x, ω] dar und geben Sie alle Nullstellen von f in Kf
an!
(iv) Geben Sie sämtliche Zwischenkörper L von Q → Kf in der Form L = Q[y] oder
L = Q[y, z] an!
(v) Für welche Zwischenkörper L von Q → Kf ist Q → L Galoissch?