Übungen zur Vorlesung Analysis 1 – 6. Serie

Wintersemester 2015/16
A. Hinrichs, E. Lindner, F. Puchhammer, A. Thalhammer, M. Ullrich
Übungen zur Vorlesung Analysis 1
–
6. Serie
Ankreuzen vor der Übung am 11.11.2015
Aufgabe 41 Konvergenz - Wurzeln
Sei (an ) eine konvergente Folgen reeller Zahlen mit an ≥ 0 für alle n ∈ N und sei a = lim an . Zeigen Sie
n→∞
√
√
lim an = a.
n→∞
Aufgabe 42 Konvergenz - Arithmetische Mittel
Sei (an ) eine konvergente Folgen reeller Zahlen und sei a = lim an .
n→∞
a1 + a2 + · · · + an ∞
gegen a konvergiert.
n=1
n
(b) Geben Sie ein Beispiel für eine Folge reeller Zahlen an, deren arithmetische Mittel konvergieren,
die aber selbst nicht konvergent ist.
(a) Zeigen Sie, dass die Folge der arithmetischen Mittel
Aufgabe 43 Konvergenz - Maxima und Minima
Seien (an ) und (bn ) konvergente Folgen reeller Zahlen mit a = lim an und b = lim bn . Zeigen Sie
n→∞
n→∞
lim max{an , bn } = max{a, b} und lim min{an , bn } = min{a, b}. Hilfreich könnte dabei eine Aufgabe aus
n→∞
n→∞
der Übungsserie 3 sein.
Aufgabe 44 Konvergenz und Grenzwerte
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an ) auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls
ihren Grenzwert:
(a) an =
3n +(−3)n
4n
(b) an = (−42)n
(c) an =
√
7+1/ n
√
n+42−n
Aufgabe 45 Konvergenz - rationale Funktionen
Sei
an =
r0 + r1 n + r2 n2 + · · · + rk nk
s0 + s1 n + s2 n2 + · · · + sk nk
für vorgegebene ri , si ∈ C, i = 1, 2, . . . , k mit sk , 0. Dann ist der Nenner für fast alle n ∈ N verschieden von 0 (das brauchen Sie nicht zu zeigen). Entscheiden Sie, ob die Folge (an ) konvergent ist und
bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 46 Grenzwerte - I
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
xn
für gegebenes x ∈ R
n→∞ 1 + x2n
√
√ (b) lim
n+1− n
(a) lim
n→∞
(c) lim
n→∞
(n + 1)!
(n + 2)! − n!
Aufgabe 47 Grenzwerte - II
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
n!
n→∞ nn
(a) lim
(b) lim
n→∞
√
n
3n + 5n + 7n
Aufgabe 48 Die Forschungsaufgabe - Teil 1
Sei x > 0, a1 = 1. Die Folge (an )∞
sei induktiv durch
n=1
an+1 =
x
1
an +
gegeben.
2
an
(a) Berechnen Sie mit dem Hilfsmittel ihrer Wahl die ersten 10 Folgenglieder der Folge (an ) für
x = 1, 4, 9, 16 mindestens auf 6 Stellen nach dem Komma genau. Formulieren Sie eine Vermutung
über die Konvergenz der Folge (an ) und ihren Grenzwert.
(b) Berechnen Sie mit dem Hilfsmittel ihrer Wahl die ersten 10 Folgenglieder der Folge (an ) für
x = 2, 3, 5 mindestens auf 6 Stellen nach dem Komma genau. Erhärtet das Ihre Vermutung aus
(a)?