1 Grundlagen - Fakultät für Mathematik und Informatik

7
Höhere Mathematik
1
Grundlagen
1.1
Elementare Logik
Eine (mathematische) Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist
(keine Aussage ist sowohl wahr als auch falsch).
Der Wahrheitswert v(A) einer Aussage A ist entweder wahr (v(A) = w) oder
falsch (v(A) = f ).
Wahrheitstafel für logische Verknüpfungen (Junktoren):
Negation
Disjunktion
Konjunktion
Implikation
Äquivalenz
v(A)
v(B)
v(¬A)
v(A ∨ B)
v(A ∧ B)
v(A ⇒ B)
v(A ⇔ B)
w
w
f
w
w
w
w
w
f
w
f
f
f
f
w
w
f
w
f
f
f
f
f
w
w
1 Grundlagen
w
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8
Höhere Mathematik
Satz 1.1
Es seien A, B und C beliebige Aussagen.
Dann sind die folgenden Aussagen immer wahr:
• [¬(¬A)] ⇔ A, (¬A) ∨ A,
• Kommutativgesetze: (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A), (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A),
• Assoziativgesetze: [(A ∨ B) ∨ C] ⇔ [A ∨ (B ∨ C)],
[(A ∧ B) ∧ C] ⇔ [A ∧ (B ∧ C)],
• Distributivgesetze: [A ∧ (B ∨ C) ⇔ [(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)],
[A ∨ (B ∧ C) ⇔ [(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)],
• De Morgansche Regeln: [¬(A ∨ B)] ⇔ [(¬A) ∧ (¬B)],
[¬(A ∧ B)] ⇔ [(¬A) ∨ (¬B)],
• (A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)], (A ⇒ B) ⇔ [(¬A) ∨ B].
1.1 Elementare Logik
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Höhere Mathematik
1.2
Mengen
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten x unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen
(Georg Cantor). Die Objekte x heißen Elemente dieser Menge M (x ∈ M ).
Mengen definiert man entweder durch Angabe einer Eigenschaft, die die
Elemente charakterisiert,
P = {p : p ist Primzahl ∧ p < 10},
oder durch Aufzählen ihrer Elemente,
P = {2, 3, 5, 7}.
Die leere Menge (∅ = { }) enthält kein Element.
B heißt Teilmenge von A (B ⊆ A), wenn jedes Element von B auch Element
von A ist (x ∈ B ⇒ x ∈ A).
B heißt echte Teilmenge von A (B ⊂ A oder B ( A), wenn B ⊆ A und
B 6= A.
1.2 Mengen
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10
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A ∩ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
heißt Durchschnitt von A und B (in der Abb. links oben).
A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
heißt Vereinigung von A und B (in der Abb. rechts oben).
A \ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
heißt (mengentheoretische) Differenz von A und B (lies: A weniger B; in der
Abb. links unten).
Ist B ⊆ A, so heißt A \ B heißt das Komplement von B bez. A (in der Abb.
rechts unten).
Für zwei Mengen A, B heißt die Menge aller geordneten Paare
A × B := {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
das (Kartesische) Produkt von A und B. Abkürzend schreibt man
An := A × A × . . . × A (n Faktoren).
1.2 Mengen
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11
Höhere Mathematik
A
A
B
B
A
B
A
B
1.2 Mengen
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12
Höhere Mathematik
Satz 1.2 (Regeln für das Operieren mit Mengen)
Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten:
• A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A,
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
• A ∩ A = A, A ∪ A = A,
• A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A,
• A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅, A \ B = ∅ ⇔ A ⊆ B,
• A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C), A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
1.2 Mengen
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13
Höhere Mathematik
1.3
Die reellen Zahlen
N := {1, 2, 3, . . .}
natürliche Zahlen,
N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .},
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
n
o
p
Q := q | p, q ∈ Z, q 6= 0
ganze Zahlen,
= {alle endlichen oder periodischen Dezimalbrüche} rationale Zahlen,
R := {alle Dezimalbrüche}
Beachte:
Zwei rationale Zahlen,
p
q
reelle Zahlen.
und rs , sind genau dann gleich, wenn
ps = rq
gilt. Insbesondere ist
1.3 Die reellen Zahlen
p
q
=
pn
qn
∀n ∈ Z \ {0} (∀ bedeutet für alle“).
”
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14
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Operationen in Q:
p r
ps ± rq
± =
,
q
s
qs
p r
pr
= ,
q s
qs
p
q
r
s
=
p s
ps
= .
q r
qr
Satz 1.3
√
√
2 6∈ Q, d.h. 2 ist keine rationale Zahl.
Jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl.
-7/4
1.3 Die reellen Zahlen
√
-1 -1/ 2
0
1/2
1
π/2
2
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15
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Die arithmetischen Gesetze in R:
(1) (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R
(2) a + 0 = a ∀a ∈ R
(3) a + (−a) = 0 ∀a ∈ R
(4) a + b = b + a ∀a, b ∈ R
(5) (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ R
(6) a · 1 = a ∀a ∈ R
(7) a a1 = 1 ∀a ∈ R, a 6= 0
(8) ab = ba ∀a, b ∈ R
(9) a(b + c) = ab + ac ∀a, b, c ∈ R
1.3 Die reellen Zahlen
(Assoziativgesetz der Addition),
(neutrales Element der Addition),
(inverse Elemente der Addition),
(Kommutativgesetz der Adddition),
(Assoziativgesetz der Multiplikation),
(neutrales Element der Multiplikation),
(inverse Elemente der Multiplikation),
(Kommutativgesetz der Multiplikation),
(Distributivgesetz).
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16
Höhere Mathematik
Vereinbarung: Sei a ∈ R.
a1 := a, an := aan−1 (∀n ∈ N, n > 1), d.h. a2 = aa, a3 = aaa, . . .
Falls a 6= 0:
a0 := 1, a−1 := a1 , a−n := a1n (∀n ∈ N0 ).
Satz 1.4 (Rechenregeln in R)
Für alle a, b ∈ R gelten
• a · 0 = 0,
• ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0,
• a2 = b2 ⇔ a = b ∨ a = −b,
• −(−a) = a, −(a + b) = −a − b, (−a)b = a(−b) = −ab, (−a)(−b) = ab,
• an am = an+m ∀m, n ∈ Z (falls a 6= 0),
• an bn = (ab)n ∀n ∈ Z (falls a, b 6= 0).
1.3 Die reellen Zahlen
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Höhere Mathematik
Die Ordnungsrelation in R:
(10) Zwischen zwei reellen Zahlen a und b besteht immer genau eine der
folgenden drei Größenbeziehungen:
a < b (a kleiner b), a = b (a gleich b), a > b (a größer b).
(11) a < b ∧ b < c ⇒ a < c ∀a, b, c ∈ R
(Transitivität),
(12) a < b ⇔ a + c < b + c ∀a, b, c ∈ R
(Monotonie der Addition),
(13) a < b ∧ 0 < c ⇔ ac < bc ∀a, b, c ∈ R
(Monotonie der Multiplikation).
Definition:
a ≤ b (a kleiner oder gleich b) bedeutet a < b ∨ a = b.
a ≥ b (a größer oder gleich b) bedeutet a > b ∨ a = b.
1.3 Die reellen Zahlen
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Höhere Mathematik
Satz 1.5 (Regeln für das Operieren mit Vorzeichen)
Für a, b, c, d ∈ R gelten:
• a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d,
• a ≤ b ∧ c < 0 ⇒ ac ≥ bc ∧
a
c
≥ cb ,
• a ≤ b ⇒ −b ≤ −a,
• 0<a≤b⇒0<
• a≤b<0⇒
• a<0<b⇒
1.3 Die reellen Zahlen
1
b
1
a
≤
1
b
1
a
≤ a1 ,
< 0,
< 0 < 1b .
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Intervalle: Für a, b ∈ R mit a ≤ b:
[a, b]
:= {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall),
(a, b]
:= {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a, b)
:= {x ∈ R : a ≤ x < b}
(halboffenes Intervall),
(a, b)
:= {x ∈ R : a < x < b}
(offenes Intervall),
[a, ∞)
:= {x ∈ R : a ≤ x},
(a, ∞)
:= {x ∈ R : a < x},
(−∞, b]
:=
{x ∈ R : x ≤ b},
(−∞, b)
:=
{x ∈ R : x < b},
(−∞, ∞)
:= R.
Betrag: Der Betrag von a ∈ R ist durch
(
a, für a ≥ 0,
|a| :=
−a, für a < 0
1.3 Die reellen Zahlen
(halboffenes Intervall),
definiert.
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20
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Satz 1.6 (Regeln für das Rechnen mit Beträgen)
Für a, b ∈ R gelten
• |a| ≥ 0,
• |a| = 0 ⇔ a = 0,
• |a| = | − a|,
• |a| = α ⇒ a = α ∨ a = −α,
• |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung), |a + b| ≥ ||a| − |b||,
• |ab| = |a||b|,
• |a| ≤ α ⇔ −α ≤ a ≤ α.
1.3 Die reellen Zahlen
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21
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Sei M ⊆ R, M 6= ∅, eine Teilmenge der reellen Zahlen. M heißt nach oben
beschränkt [nach unten beschränkt], wenn es eine Zahl C ∈ R gibt mit x ≤ C
[x ≥ C] für alle x ∈ M . Jede solche Zahl C heißt obere Schranke [untere
Schranke] von M .
Jede Zahl C ≥ b ist z.B. eine obere Schranke von jedem der Intervalle (a, b),
(a, b], [a, b) und [a, b].
M heißt beschränkt, wenn M sowohl nach oben wie auch nach unten
beschränkt ist.
Die kleinste obere Schranke [größte untere Schranke] einer nach oben [nach
unten] beschränkten Menge M wird Supremum [Infimum] von M genannt
(Bezeichnung: sup M [inf M ]).
Gilt sup M ∈ M [inf M ∈ M ], so heißt sup M [inf M ] auch Maximum
[Minimum] von M .
Z.B.: sup(a, b) = b, sup(a, b] = b, sup[a, b) = b und sup[a, b] = b. Die
Intervalle (a, ∞), [a, ∞) und (−∞, ∞) besitzen kein Supremum. (a, b) und
[a, b) haben kein Maximum, während [a, b] und (a, b] das Maximum b besitzen.
1.3 Die reellen Zahlen
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22
Höhere Mathematik
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen:
(14) Jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum
in R.
Beachten Sie, dass (1)–(13) auch für die rationalen Zahlen Q gelten, während
(14) in Q nicht erfüllt ist. So hat die nach oben beschränkte Menge
{q ∈ Q : q 2 < 2} ⊂ Q kein Supremum in Q.
Folgerungen:
• Jede nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Infimum in
R.
• Jede beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum und ein
Infimum in R.
1.3 Die reellen Zahlen
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23
Höhere Mathematik
1.4
Elementare Kombinatorik
Das Prinzip der vollständigen Induktion:
Eine Aussage A(n) ist für alle ganzen Zahlen n ≥ n0 wahr, wenn
• A(n0 ) wahr ist (Induktionsanfang) und
• A(n) ⇒ A(n + 1) für alle n ≥ n0 gilt (Induktionsschritt).
Weitere Bezeichungen:
Sind am , am+1 , . . . , an−1 , an reelle Zahlen, so ist
n
X
j=m
n
Y
aj := am + am+1 + · · · + an−1 + an ,
aj := am am+1 · · · an−1 an .
j=m
1.4 Elementare Kombinatorik
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24
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n! :=
Qn
j=1
j (n Fakultät) für n ∈ N, 0! := 1.
Satz 1.7
Es gibt n! verschiedene Permutationen (Anordnungen) von n Objekten.
n
k
Es seien n, k ∈ N0 und k ≤ n. Der Binomialkoeffizient
(lies: n über k) ist
definiert als die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge.
Satz 1.8
Für alle n, k ∈ N0 , k ≤ n, gelten:
n
n
n
n
• 0 = n = 1 und 1 = n−1 = n (n ≥ 1),
n
n
• k = n−k ,
n+1
n
n
• k = k−1 + k ,
n
n!
= (n−k+1)(n+k+2)···(n−1)n
.
• k = k!(n−k)!
k!
1.4 Elementare Kombinatorik
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25
Höhere Mathematik
Zeilenweise Berechnung der Binomialkoeffizenten im Pascalschen Dreieck:
0
1
k :
1
1
1
k :
2
1
2
1
k :
3
1
3
3
1
k :
4
1
4
6
4
1
k :
5
1
5
10
10
5
1
k :
..
.
Satz 1.9 (Binomischer Satz)
Für alle a, b ∈ R und alle N ∈ N gilt:
n X
n j n−j
n 0 n
n 1 n−1
n n 0
n
(a + b) =
a b
=
a b +
a b
+ ··· +
a b .
j
0
1
n
j=0
1.4 Elementare Kombinatorik
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26
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Folgerungen:
Pn
n
n
•
j=0 j = 2 für alle n ∈ N0 .
• Eine n-elementige Menge besitzt 2n Teilmengen.
Satz 1.10 (Arithmetische Summen)
Für alle n ∈ N gilt:
n
X
j = 1 + 2 + ··· + n =
j=1
n(n + 1)
.
2
Satz 1.11 (Geometrische Summen)
Für alle q ∈ R, q 6= 0 und alle n ∈ N0 gilt:
n
X
j=0
1.4 Elementare Kombinatorik
j
2
n
q = 1 + q + q + ··· + q =
(
(n + 1),
q = 1,
1−q n+1
1−q ,
q 6= 1.
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27
Höhere Mathematik
1.5
Abbildungen und Funktionen
Seien A und B Mengen. Eine Abbildung oder Funktion f : A → B ist eine
Vorschrift, durch die jedem x ∈ A genau ein y = f (x) ∈ B zugeordnet wird.
A =: Df heißt Definitionsbereich von f und f (A) := {f (x) : x ∈ A} ⊆ B
heißt Wertebereich oder Bild von f . Für x ∈ A heißt y = f (x) Bild von x
unter f oder Funktionswert von f an der Stelle x.
Schreibweise:
f :A→B
y = f (x)
oder
f :A→B
x 7→ f (x)
.
Zwei Funktionen f : Df → B, x 7→ f (x), und g : Dg → C, x 7→ g(x), heißen
gleich (f = g), wenn Df = Dg und f (x) = g(x) für alle x ∈ Df = Dg gelten.
1.5 Abbildungen und Funktionen
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28
Höhere Mathematik
Funktionen f : A → B kann man auf verschiedene Weise beschreiben“:
”
• Analytisch (d.h. durch Angabe der Zuordnungsvorschrift x 7→ f (x)).
• Tabellarisch (d.h. durch eine Wertetabelle).
• Graphisch; die Menge Graph(f ) := {(x, f (x)) | x ∈ A} ⊆ A × B
heißt der Graph von f . Für f : R → R ist dies eine Kurve“ im R2 .
”
Für reelle Zahlen a0 , a1 , . . . , an−1 , an (an 6= 0) heißt
p : R → R, x 7→ p(x) := a0 + a1 x + · · · an−1 xn−1 + an xn ,
ein Polynom vom Grad deg(p) = n oder eine ganzrationale Funktion vom
Grad n. Die Zahlen aj nennt man die Koeffizienten dieses Polynoms. Beim
Nullpolynom (p(x) = 0 ∀x ∈ R) sind alle Koeffizienten 0 (Schreibweise
p = 0, man definiert deg(0) := −1).
Sind p, q Polynome mit q 6= 0, so heißt
r : R \ {x ∈ R : q(x) = 0} → R, x 7→ r(x) :=
p(x)
q(x)
eine (gebrochen)rationale Funktion.
1.5 Abbildungen und Funktionen
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29
Höhere Mathematik
Sind p, q Polynome mit q 6= 0 und deg(p) ≥ deg(q), so gibt es Polynome s 6= 0
und t mit deg(t) < deg(q) sowie
p = sq + t
bzw.
p
t
=s+ .
q
q
Die Polynome s und t können mit dem Euklidschen Algorithmus berechnet
werden.
Beispiel:
(3x4 + 7x3 + x2 + 5x + 1)
3x4
:
(x2 + 1)
= 3x2 + 7x − 2
+ 3x2
7x3 − 2x2 + 5x + 1
7x3
+ 7x
− 2x2 − 2x + 1
−2x2
−2
− 2x + 3
1.5 Abbildungen und Funktionen
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30
Höhere Mathematik
Ergebnis:
(3x4 + 7x3 + x2 + 5x + 1) = (3x2 + 7x − 2)(x2 + 1) + (−2x + 3)
oder
3x4 + 7x3 + x2 + 5x + 1
−2x + 3
2
=
(3x
+
7x
−
2)
+
.
2
2
x +1
x +1
Folgerungen: Sei a ∈ R und p ein Polynom vom Grad n ≥ 1.
• Es gibt ein Polynom s vom Grad n − 1 mit
p(x) = (x − a)s(x) + p(a).
Im Spezialfall von q(x) = (x − a) kann man mit dem Euklidschen
Algorithmus also p(a) berechnen (Horner-Schema).
• p ist genau dann (ohne Rest) durch x − a teilbar, wenn p(a) = 0 gilt.
1.5 Abbildungen und Funktionen
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31
Höhere Mathematik
1.6
Die komplexen Zahlen
Eine komplexe Zahl z ist ein Ausdruck der Form z = a + ib mit a, b ∈ R. Die
Zahl i (i2 = −1) heißt imaginäre Einheit.
Zwei komplexe Zahlen z = a + ib und w = c + id (a, b, c, d ∈ R) sind genau
dann gleich, wenn a = c und b = d gelten.
a = Re(z) ist der Realteil und b = Im(z) der Imaginärteil von z = a + ib.
Operationen: Für z = a + ib, w = c + id ∈ C (a, b, c, d ∈ R) definiert man
z+w
:= (a + c) + i(b + d),
z−w
:= (a − c) + i(b − d),
zw
:= (ac − bd) + i(ad + bc),
z
w
:=
ac+bd
c2 +d2
+ i bc−ad
c2 +d2
(w 6= 0).
Die arithmetischen Gesetze der reellen Zahlen (vgl. S. 15) und die
Rechenregeln (vgl. Satz 1.4) gelten auch für komplexe Zahlen.
1.6 Die komplexen Zahlen
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32
Höhere Mathematik
Statt x + i0 schreibt man x, d.h. R ⊆ C.
Statt 1/z schreibt man auch z −1 .
z n = zz n−1 = zzz n−2 = · · · = z| ·{z
· · z} und z 0 := 1 (z 6= 0).
n Faktoren
z̄ := a − ib ist die zu z konjugiert komplexe Zahl.
√
√
2
2
|z| := a + b = z z̄ ≥ 0 heißt (Absolut-) Betrag von z. Mit Ausnahme der
vierten und siebten gelten die Regeln für das Rechnen mit Beträgen von
Satz 1.6 auch für komplexe Zahlen.
b
a
und cos(θ) = |z|
θ = arg(z) heißt das Argument von z, wenn sin(θ) = |z|
gelten.
arg(z) ist nur erklärt, wenn z 6= 0 gilt, und ist dann nur modulo 2π durch z
festgelegt. Insbesondere kann arg(z) in [0, 2π) gewählt werden.
Jede komplexe Zahl z = a + ib 6= 0 läßt sich in der Form
z = |z|(cos(θ) + i sin(θ))
mit θ = arg(z) darstellen (Polarkoordinaten).
1.6 Die komplexen Zahlen
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33
Höhere Mathematik
Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Eine komplexe Zahl
z veranschaulicht man sich als Punkt der Gaußschen Zahlenebene mit den
Koordinaten (Re(z), Im(z)).
imaginäre Achse
Re(z)
|z|
i
−1 0
1
−i
z = Re(z) + i Im(z)
Im(z)
θ
reelle Achse
− Im(z)
z = Re(z) − i Im(z)
1.6 Die komplexen Zahlen
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34
Höhere Mathematik
Geometrische Interpretation der Addition/Subtraktion in C:
z+w
w
z
z−w
−w
1.6 Die komplexen Zahlen
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35
Höhere Mathematik
Geometrische Interpretation der Multiplikation/Division in C:
z
w
1
1/w
zw
1.6 Die komplexen Zahlen
z/w
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36
Höhere Mathematik
Satz 1.12 (Rechenregeln in C)
Für z, w ∈ C gelten:
• z̄¯ = z,
• Re(z) = 12 (z + z̄), Im(z) =
1
2i (z
− z̄),
• z = z̄ ⇔ z ∈ R,
• |z̄| = |z|,
• arg(z̄) = − arg(z) = 2π − arg(z) für z 6= 0,
• z ± w = z̄ ± w̄,
• zw = z̄ w̄,
z
• w = w̄z̄ für w 6= 0,
•
1
z
=
z̄
|z|2
1.6 Die komplexen Zahlen
für z 6= 0.
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37
Höhere Mathematik
Satz 1.13 (Weitere Rechenregeln in C )
Für z, w ∈ C gelten:
• arg(zw) = arg(z) + arg(w) für z, w 6= 0,
z
• arg w = arg(z) − arg(w) für z, w 6= 0,
• |zw| = |z||w|,
z
|z|
• w = |w|
für w 6= 0,
• | − z| = |z|,
• arg(−z) = arg(z) + π,
• z n = |z|n (cos(nθ) + i sin(nθ)) mit θ = arg(z) für z 6= 0
(Formel von de Moivre).
1.6 Die komplexen Zahlen
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38
Höhere Mathematik
Satz 1.14 (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes komplexe Polynom vom Grad n hat n komplexe Nullstellen (wobei
Vielfachheiten mitgezählt werden), d.h. jede Gleichung der Form
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
(aj ∈ C, j = 0, 1, . . . , n und an 6= 0) hat n Lösungen in C.
Insbesondere hat xn − 1 = 0 genau n (hier sogar verschiedene) Lösungen, die
sogenannten n-ten Einheitswurzeln
2jπ
2jπ
ζj = cos
+ i sin
, j = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
Allgemeiner: Jedes z0 ∈ C, z0 6= 0, besitzt n verschiedene n-te Wurzeln (das
sind Lösungen von xn − z0 = 0)
p
arg(z0 ) + 2jπ
arg(z0 ) + 2jπ
ηj = n |z0 | cos
+ i sin
, j = 0, . . . , n−1.
n
n
1.6 Die komplexen Zahlen
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39
Höhere Mathematik
Die fünften Einheitswurzeln (•) und die
fünften Wurzeln (•)
von z = −0.2 + 2i (•).
1.6 Die komplexen Zahlen
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