3. Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der

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1.
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Welche der folgenden Aussagen zur Komplexitätstheorie ist richtig?
A. Keine der angeführten Aussagen.
B. Nach heutigem Wissen ist die Komplexitätsklasse NP unter Komplement abgeschlossen.
C. Es gibt eine effiziente, das heißt in polynomieller Zeit ausführbare Methode, die
jeden NEA in einen DEA überführt.
D. Das Problem Hamiltonscher Kreis beschreibt eine nicht rekursive aufzhlbare Sprache,
das heißt, dass keine Turingmaschine das Problem lösen kann.
E. Ein logarithmischer Umwandler ist eine deterministische TM mit drei Bändern,
sodass auf dem Arbeitsband maximal O(n) viel Platz verbraucht werden darf, wobei
n die Länge der Eingabe misst.
F. Das Problem Maze ist in polynomieller Zeit auf einer nichtdeterministischen Turingmaschine lösbar.
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2. Welche der folgenden Aussagen zur Entscheidbarkeit beziehungsweise Unentscheidbarkeit ist richtig?
A. Keine der angeführten Aussagen.
B. Wenn A und ∼ A rekursiv aufzählbar sind, dann ist ∼ A nicht rekursiv.
C. Das Halteproblem für einbändige, deterministische Turingmaschinen ist entscheidbar.
D. Das Halteproblem für -NEA ist unentscheidbar.
E. Jede rekursive Menge ist rekursiv aufzählbar.
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3. Welche der folgenden Aussagen über reguläre Ausdrücke gilt? (Hierbei bezeichnen
D, E, F beliebige reguläre Ausdrücke und wir schreiben abkürzend E ≡ F , wenn L(E) =
L(F ).)
A. E(DE + E)∗ D ≡ DD∗ E(DD∗ E)∗ .
B. (D + E)∗ ≡ (D∗ E)∗ .
C. (D + E)∗ E ≡ (D∗ E)∗ .
D. (DE + D)∗ DE ≡ (DD∗ E)∗ .
E. (D + E)∗ ≡ D∗ + E ∗ .
F. (DE + D)∗ D ≡ D(ED + D)∗ .
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4.
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Welche der folgenden Aussagen zu regulären Sprachen ist richtig?
A. Keine der Aussagen.
B. Reguläre Ausdrücke und DEAs sind äquivalent, aber nichtdeterministische Automaten können nicht durch deterministische simuliert werden.
C. Jeder DEA kann in einen regulären Ausdruck verwandelt werden, nicht aber umgekehrt.
D. Es gibt einen regulären Ausdruck E, sodass L(E) nur von einem deterministischen
Automaten akzeptiert wird.
E. Die Klasse der Sprachen, die von einem deterministischen Automaten akzeptiert
werden, ist eine echte Teilklasse der regulären Sprachen.
F. Die Klasse der Sprachen, die von einem nichtdeterministischen Automaten akzeptiert werden, ist eine Oberklasse der regulären Sprachen.
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5.
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Welche der folgenden Restklassen modulo 119 ist nicht invertierbar ?
A. keine der angeführten Restklassen
B. 118
C. 36
D. 55
E. 37
F. 102
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6.
Welche der folgenden Mengen ist nicht abzählbar ?
A. keine der angeführten Mengen
B. Nn
C. Z
D. Q
E. {0, 1}∗
F. {0, 1}N
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7.
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Wieviele Funktionen f : {0, 1}2 → {0, 1}2 gibt es, die bijektiv sind ?
A. keine der angeführten Zahlen
B. 64
C. 16
D. 256
E. 24
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8. Für welche der folgenden Relationen auf der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} ist der Graph
von R ein Wurzelbaum ?
A. für keine der angeführten Relationen
B. {(4, 5), (4, 2), (6, 3), (6, 4)}
C. {(6, 4), (4, 5), (4, 2), (6, 3), (5, 2), (3, 1)}
D. {(4, 2), (6, 3), (4, 5), (3, 1), (6, 4), (5, 3)}
E. {(6, 3), (6, 4), (4, 5), (1, 3), (4, 2)}
F. {(4, 5), (3, 1), (4, 2), (6, 3), (6, 4)}
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9. Sei M eine Menge mit einer wohlfundierten partiellen Ordnung ≤ . Welche der
folgenden Aussagen ist allgemein richtig ?
A. keine der angeführten Aussagen
B. Jedes Element von M hat nur endlich viele Nachfolger.
C. Jedes Element von M hat nur endlich viele Vorgänger.
D. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein größtes Element.
E. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein kleinstes Element.
F. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein maximales Element.
G. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein minimales Element.
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10. Seien f und g Funktionen von natürlichen Zahlen, die positive reelle Werte annehmen. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage f ∈ Θ(g) ?
A. keine der angeführten Aussagen
B. f ∈ O(g) oder f ∈ Ω(g)
C. f ∈
/ O(g) und f ∈
/ Ω(g)
D. f ∈
/ O(g) und f ∈ Ω(g)
E. f ∈ O(g) und f ∈
/ Ω(g)
F. f ∈ O(g) und f ∈ Ω(g)
11. Betrachten Sie die folgende induktive Definition von Palindromen über Σ, wobei Σ
endlich.
Basis: das leere Wort ist ein Palindrom und für jedes e ∈ Σ ist e ein Palindrom.
Schritt: Wenn w ein Palindrom ist, dann ist für jedes e ∈ Σ auch ewe ein Palindrom.
Beweisen Sie mit struktureller Induktion, dass jedes Palindrom w über {a, b} gerader
Länge eine gerade Anzahl an as hat.
12.
Sei G der bewertete Graph mit der Eckenmenge {a, b, c, d} und der Kantenmenge
{(a, 3, b), (a, 5, c), (a, 1, d), (b, 1, c), (b, 2, d), (d, 1, a), (d, 1, b)}
,
wobei in jedem Tripel die erste Komponente die Anfangsecke, die zweite Komponente
die Kantenbewertung und die dritte Komponente die Endecke angibt. Berechnen Sie
mit dem Algorithmus von Floyd alle Abstände zwischen den Ecken. Geben Sie die
Startmatrix sowie in jedem Schritt des Algorithmus die berechnete Matrix an.
13.
Sei G der bewertete Graph mit den Ecken a, b, c, d, e, f, g, h und den Kanten
{a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, f }, {b, g}, {c, d}, {c, e}, {f, g}, {g, h}
.
Die Bewertung dieser Kanten in obiger Reihenfolge sei
4, 1, 5, 9, 2, 3, 7, 6, 8
.
Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen spannenden Wald mit minimaler
Bewertung.
14. Berechnen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d von 234 und 144, weiters ganze Zahlen u und v mit
234 · u + 144 · v = d
,
sowie das kleinste gemeinsame Vielfache von 234 und 144.
15. Betrachten Sie den folgenden -NEA N und wandeln Sie diesen in einen äquivalenten
DEA um. Verwenden Sie dazu die Methoden aus dem Skriptum.
→1
{2}
a
{3}
b
∅
∗2
∅
{1}
∅
3
∅
{2} {2, 3}
16.
Beweisen Sie mit Hilfe der Kontraposition des Pumping Lemmas, dass die Sprache
L = {1i 01i | wobei i > 0}
nicht regulär ist.
,
ANSWERKEY FOR “version3”
Version 1:
F
E
F
F
F
F
E
F
G
F