1. Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der

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1. Welche der folgenden Aussagen zur Entscheidbarkeit beziehungsweise Unentscheidbarkeit ist falsch?
A. Wenn A und ∼ A rekursiv aufzählbar sind, dann ist ∼ A rekursiv.
B. Es existiert keine rekursive Menge, deren Komplement nicht rekursiv ist.
C. Das Zugehörigkeitsproblem (MP) einer Turingmaschine ist unentscheidbar.
D. Das Halteproblem für -NEA ist entscheidbar.
E. Jede rekursiv aufzählbare Menge ist nicht rekursiv.
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2. Welche der folgenden Aussagen zu Turingmaschinen und regulären Sprachen ist
richtig?
A. Die Teilmengenkonstruktion wandelt eine nichtdeterministische Turingmaschine in
eine deterministische um.
B. Bei einer 3-Band Turingmaschine, die einen DEA simuliert, bewegen sich die Leseköpfe
immer in unterschiedliche Richtungen.
C. Die Klasse der Sprachen, die von einer Mehrband-Turingmaschine akzeptiert werden, ist echt größer als die Klasse der Sprachen, die von einer 1-Band-Turingmaschine
akzeptiert werden.
D. Jede Turingmaschine kann in einen äquivalenten -NEA umgewandelt werden.
E. Keine der Aussagen.
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3. Welches der folgenden Gesetze über reguläre Ausdrücke gilt im Allgemeinen nicht?
(Hierbei bezeichnen D, E, F reguläre Ausdrücke und wir schreiben abkürzend E ≡ F ,
wenn L(E) = L(F ).)
A. (D + E)∗ ≡ (D∗ E ∗ )∗ .
B. (∅)∗ ≡ .
C. ((E + F )D) ≡ (ED + F D).
D. ((DE)F ) ≡ (D(EF )).
E. ((D + E) + F ) ≡ (D + (E + F )).
F. (D + E)+ ≡ (D+ E + )+ .
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4.
Welche der folgenden Sprachen ist nicht regulär?
A. {ai bj | i > 0, j > 0}.
B. {x | x ist ein beliebiges Wort über {a, b} außer aa und aaa}.
C. {x | x ∈ {0, 1}∗ enthält zumindest drei 1en}.
D. (L(a∗ ) ∩ L(ab∗ )) \ L(a(b + c)∗ d∗ ).
E. {x$y | x, y ∈ {a, b}∗ and `(x) < `(y) 6 4711}.
F. {x | x ist ein regulärer Ausdruck über {a, b}}.
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5. Sei x eine ganze Zahl. Wieviele Multiplikationen braucht man, um die Potenz x63
zu berechnen, wenn man die Methode des schnellen Potenzierens verwendet?
A. keine der angeführten Zahlen
B. 6
C. 5
D. 32
E. 12
F. 11
G. 62
H. 10
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6.
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Welcher der folgenden Algorithmen ist ein Divide-and-Conquer-Algorithmus ?
A. keiner der angeführten Algorithmen
B. der Algorithmus von Kruskal
C. der Algorithmus von Floyd
D. der Algorithmus von Warshall
E. der erweiterte euklidische Algorithmus
F. der euklidische Algorithmus
G. der Merge-Sort-Algorithmus
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7. Angenommen die Implementierung eines oft verwendeten Moduls ist fehlerhaft und
mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % gerät das Unterprogramm in einen kritischen Zustand, was auch die aufrufende Funktion beieinträchtigt. Was ist die Wahrscheinlicheit,
dass das ganze Programm fehlerfrei läuft, auch wenn das Modul dreimal aufgerufen
wird?
A. keine der angeführten Zahlen
B. 0, 8 %
C. 3, 2 %
D. 12, 8 %
E. 60 %
F. 51, 2 %
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8. Wieviele Funktionen f : {0, 1}2 → {0, 1}2 gibt es, die surjektiv aber nicht injektiv
sind ?
A. keine der angeführten Zahlen
B. 232
C. 256
D. 24
E. 0
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9.
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Welche der folgenden partiell geordneten Mengen ist nicht wohlfundiert?
A. keine der angeführten Mengen
B. die Menge der natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeitsordnung
C. die Menge der natürlichen Zahlen mit der natürlichen Ordnung
D. die Menge der Paare natürlicher Zahlen mit der lexikographischen Ordnung
E. die Menge der binären Wörter mit der graduiert-lexikographischen Ordnung
F. die Menge der binären Wörter mit der lexikographischen Ordnung
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10.
Welche der folgenden Funktionen liegt in Ω(2n ) ?
A. keine der angeführten Funktionen
B. log n
C. n log n
D. n2
E. n!
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11. Betrachten Sie die folgende induktive Definition von Palindromen über Σ, wobei Σ
endlich.
Basis: das leere Wort ist ein Palindrom und für jedes e ∈ Σ ist e ein Palindrom.
Schritt: Wenn w ein Palindrom ist, dann ist für jedes e ∈ Σ auch ewe ein Palindrom.
Zeigen Sie: Wenn w ein Palindrom über Σ ist, dann ist ww ein Palindrom gerader
Länge über Σ. Verwenden Sie die Eigenschaft, dass “w Palindrom ⇔ w = rev(w)”.
Hier gilt rev(w0 . . . w`(v)−1 ) = w`(v)−1 . . . w0 .
12.
Sei M := {a, b, c, d} , sei
R = {(a, d), (b, c), (d, b), (c, a)}
,
und sei G der Graph der Relation R. Stellen Sie die Adjazenzmatrix A des Graphen G
auf, berechnen Sie mit dem Algorithmus von Warshall die Adjazenzmatrix der transitiven Hülle T von R und geben Sie die Mengendifferenz M 2 \ T an.
13.
Sei G der bewertete Graph mit den Ecken a, b, c, d, e, f, g und den Kanten
{a, b}, {a, e}, {b, e}, {b, f }, {c, d}, {c, g}, {d, g}, {e, f }
.
Die Bewertung dieser Kanten in obiger Reihenfolge sei
1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2
.
Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen spannenden Wald mit minimaler
Bewertung.
14. Berechnen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d von 97 und 111, weiters ganze Zahlen u und v mit
97 · u + 111 · v = d
,
sowie das Inverse von 97 modulo 111, falls es existiert.
15. Betrachten Sie den folgenden regulären Ausdruck R und konstruieren Sie einen
NEA N , sodass L(N ) = L(R).
+ 0(10∗ 1 + 10)∗ 10∗
.
16.
Beweisen Sie mit Hilfe der Kontraposition des Pumping Lemmas dass die Sprache
L = {ai bj ck | wobei i > 0, j > 0 und i + j > k}
nicht regulär ist.
,
ANSWERKEY FOR “versionU”
Version 1:
E
E
F
F
H
G
F
E
F
E