2. Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der

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1.
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Welche der folgenden Aussagen zur Komplexitätstheorie ist falsch?
A. Keine der angeführten Aussagen.
B. Das Problem Maze is vollständig für die Klasse NLOGSPACE.
C. Jedes Problem in P kann durch einen Polynomzeit Verifikator gelöst werden.
D. Der Begriff der Vollständigkeit einer Klasse ist parametrisch in der angewandten
Definition von Reduktion.
E. Es ist nicht bekannt, ob die Komplexitätsklasse NP unter Komplement abgeschlossen
ist.
F. Es gibt einen Algorithmus der das TSP Problem in Platz O(n2 ) entscheidet.
G. Die Klasse NP ist genau die Klasse der Probleme, die Nicht in Polynomieller Zeit
auf einer Turingmaschine gelöst werden können.
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2. Welche der folgenden Berechnungsmodelle sind nicht äquivalent zu Turingmaschinen?
A. Keines der angegebenen Berechnungsmodellen.
B. Nichtdeterministische Turingmaschinen mit beliebig vielen Bändern.
C. Registermaschinen mit beliebig vielen Registern.
D. Turingmaschinen mit einem beidseitig unbeschränkten Band.
E. Turingmaschinen mit polynomiell beschränkten Bändern.
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3. Welche der folgenden Aussagen über reguläre Ausdrücke gilt im Allgemeinen nicht?
(Hierbei bezeichnen D, E, F reguläre Ausdrücke und wir schreiben abkürzend E ≡ F ,
wenn L(E) = L(F ).)
A. (D(E + F )) ≡ (DF + DE).
B. D(D∗ ) ≡ D+ .
C. (D∗ )∗ ≡ D∗ .
D. (E ∗ F ∗ )∗ ≡ (E + F )∗ .
E. (E + )F ∗ ≡ EF ∗ + F ∗ .
F. (E + F )∗ F ≡ (E ∗ F )∗ .
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4.
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Welche der folgenden Aussagen zu regulären Sprachen ist richtig?
A. Keine der Aussagen.
B. Jeder reguläre Ausdruck kann in einen DEA, nicht jedoch in einen -NEA umgewandelt werden.
C. Es gibt einen deterministischen Automaten A, sodass L(A) nicht durch einen
regulären Ausdruck beschrieben werden kann.
D. Die regulären Sprachen sind unter Komplement und Schnitt, nicht aber unter Mengendifferenz abgeschlossen.
E. Die regulären Sprachen sind nur unter Komplement, Vereinigung, Schnitt und Mengendifferenz abgeschlossen.
F. Die regulären Sprachen sind (unter anderem) unter Komplement, Vereinigung,
Schnitt und Mengendifferenz abgeschlossen.
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5. Welche der folgenden Sprachen (über dem Alphabet {a, b, c}) kann durch einen
regulären Ausdruck beschrieben werden?
A. {an bm | wobei n 6= m}.
B. {cn am | m = n + 3}.
C. {an bbbcn+1 | n keine Primzahl}.
D. {an bn | wobei n > 7}.
E. {bn cm an | wobei n > 1, m > 0 }.
F. {an bm ck | wobei n, m > 0, k > 1}.
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6.
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Welche Komplexität hat der binäre euklidische Algorithmus für Zahlen mit n Binärziffern ?
A. keine der angeführten Komplexitäten
B. Ω(n3 ) Bitoperationen
C. Θ(n2 log n) Bitoperationen
D. O(log n) Bitoperationen
E. O(n log n) Bitoperationen
F. O(n) Bitoperationen
G. O(n2 ) Bitoperationen
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7.
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Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es auf einer Menge mit drei Elementen ?
A. keine der angeführten Zahlen
B. 12
C. 8
D. 3
E. 7
F. 5
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8.
Sei G ein Baum mit n > 0 Ecken. Wieviele Kanten hat G?
A. keiner der angeführten Ausdrücke
B. (n + 1)2
C. (n − 1)2
D. n2
E. n + 1
F. n
G. n − 1
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9. Sei M eine Menge mit einer wohlfundierten partiellen Ordnung ≤ . Welche der
folgenden Aussagen ist allgemein richtig ?
A. keine der angeführten Aussagen
B. Jedes Element von M hat nur endlich viele Nachfolger.
C. Jedes Element von M hat nur endlich viele Vorgänger.
D. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein größtes Element.
E. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein kleinstes Element.
F. Jede nichtleere Teilmenge von M besitzt ein maximales Element.
G. Es gibt keine unendliche absteigende Kette in M .
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10.
Welche der folgenden Funktionen liegt in O(n log n) ?
A. keine der angeführten Funktionen
B. n!
√
C. n n
D. 2n /1001
E. n2 /1001
F. 2n log n + 3
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11. Betrachten Sie die folgende induktive Definition der Menge B[x] der Polynome mit
Koeffizienten aus {0, 1}:
Basis: Die Elemente 0, 1 liegen in B[x].
Schritt: Wenn f, g Elemente von B[x], dann auch xf ∈ B[x] und f + g ∈ B[x]. Hier
wird die Multiplikation mit der Unbekannten x, beziehungsweise die Addition wie üblich
definiert.
Beweisen Sie mit struktureller Induktion, dass für alle f, g ∈ B[x] gilt dass f ◦ g ∈ B[x].
Die Verkettung zweier Polynome f, g ist die Funktion f ◦ g : x 7→ f (g(x)).
(Hinweis: Verwenden Sie Induktion nach dem Aufbau von f .)
12.
Sei G der bewertete Graph mit der Eckenmenge {a, b, c, d} und der Kantenmenge
{(a, 1, b), (a, 4, c), (b, 2, a), (c, 2, b), (d, 4, c), (d, 1, a)}
,
wobei in jedem Tripel die erste Komponente die Anfangsecke, die zweite Komponente
die Kantenbewertung und die dritte Komponente die Endecke angibt. Berechnen Sie
mit dem Algorithmus von Floyd alle Abstände zwischen den Ecken. Geben Sie die
Startmatrix sowie in jedem Schritt des Algorithmus die berechnete Matrix an.
13.
Sei G der bewertete Graph mit den Ecken a, b, c, d, e, f, g, h und den Kanten
{a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, f }, {b, g}, {c, d}, {c, e}, {f, g}, {g, h}
.
Die Bewertung dieser Kanten in obiger Reihenfolge sei
5, 4, 1, 8, 7, 2, 3, 6, 9
.
Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen spannenden Wald mit minimaler
Bewertung.
14. Berechnen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d von 234 und 144, weiters ganze Zahlen u und v mit
234 · u + 144 · v = d
,
sowie das kleinste gemeinsame Vielfache von 234 und 144.
15. Betrachten Sie den folgenden -NEA N und wandeln Sie diesen in einen äquivalenten
DEA um. Verwenden Sie dazu die Methoden aus dem Skriptum.
t
/ 89:;
?/.-,
()*+
>=<
1
89:;
4 ?>=<
?3
a
b
a
89:;
?>=<
2
6
a,b
16.
Beweisen Sie mit Hilfe der Kontraposition des Pumping Lemmas, dass die Sprache
L = {ai baj | wobei 0 6 i, 0 6 j, i < j}
nicht regulär ist.
,
ANSWERKEY FOR “version2G”
Version 1:
G
E
F
F
F
G
F
G
G
F