1. Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der

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1. Welche der folgenden Aussagen zur Entscheidbarkeit beziehungsweise Unentscheidbarkeit ist richtig?
A. Keine der Aussagen.
B. Eine Menge oder ihr Komplement sind rekursiv aufzählbar.
C. Das Zugehörigkeitsproblem (M P ) einer Turingmaschine ist entscheidbar.
D. Wenn A rekursiv ist, dann ist ∼ A nicht rekursiv aufzählbar.
E. Es gibt eine rekursiv aufzählbare Menge, die nicht rekursiv ist.
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2. Welche der folgenden Aussagen zu Turingmaschinen und regulären Sprachen ist
richtig?
A. Keine der Aussagen.
B. Um eine nichtdeterministische Turingmaschine in eine deterministische umzuwandeln, wenden wir die Teilmengenkonstruktion an.
C. Bei einer Turingmaschine, die einen DEA simuliert, bewegen sich die Leseköpfe
immer in unterschiedliche Richtungen.
D. Die Klasse der Sprachen, die von einer 1-Band-Turingmaschine akzeptiert werden,
ist echt kleiner als die Klasse der Sprachen, die von einer 3-Band-Turingmaschine
akzeptiert werden.
E. Jeder -NEA kann in eine deterministische Turingmaschine umgewandelt werden.
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3. Welches der folgenden Gesetze über reguläre Ausdrücke gilt im Allgemeinen nicht?
(Hierbei bezeichnen D, E, F reguläre Ausdrücke und wir schreiben abkürzend E ≡ F ,
wenn L(E) = L(F ).)
A. E∅ ≡ ∅.
B. ()∗ ≡ .
C. ((E + F )D) ≡ (ED + F D).
D. (F (DE)) ≡ ((F D)E).
E. (E + F ) ≡ (F + E).
F. (D(E + F )) ≡ (DE + F D).
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4.
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Welche der folgenden Sprachen (über dem Alphabet {a, b}) ist regulär?
A. Keine der angeführten Sprachen.
B. {ai bj | i > 0, j > 0, i 6= j}.
C. {w | w ∈ L(a∗ ) und die Länge von w ist eine Primzahl}.
D. {w | w ∈ L((a∗ b∗ )∗ ) und w enthält ungleich viele a’s wie b’s}.
E. {an bn | n > 1}.
F. {x | x enthält eine gerade Anzahl von a’s und eine ungerade Anzahl von b’s}.
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5.
Wozu dient der chinesische Restsatz ?
A. zur Lösung keines der angeführten Berechnungsprobleme
B. zum schnellen Potenzieren von Restklassen
C. zum Ziehen von Quadratwurzeln aus Restklassen
D. zum Invertieren von Restklassen
E. zum Lösen eines Kongruenzensystems
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6. Seien f : M → N und g : N → M injektive Abbildungen. Was besagt der Satz von
Bernstein ?
A. keine der angeführten Aussagen
B. Die Hintereinanderausführung von g nach f ist injektiv.
C. Die Hintereinanderausführung von f nach g ist injektiv.
D. Die Hintereinanderausführung von g nach f ist bijektiv.
E. Die Hintereinanderausführung von f nach g ist bijektiv.
F. Es existiert eine bijektive Abbildung von M nach N .
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7. Angenommen die Wahrscheinlichkeit für ein EM-Team ein Spiel zu gewinnen liegt
bei 41 . Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Team alle Spiele in der Vorrunde (=
drei Spiele) verliert.
A. keine der angeführten Zahlen
B.
1
64
C.
3
64
D.
9
64
E.
18
64
F.
27
64
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8. Ein Computer verarbeitet Jobs einen nach dem anderen. Wieviele Möglichkeiten
gibt es, die Reihenfolge von sieben Jobs festzulegen ?
A. keine der angeführten Zahlen
B. 1024
C. 256
D. 128
E. 720
F. 5040
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9. Sei N mit der natürlichen Ordnung 6 und N2 mit der komponentenweisen Ordnung
über 6 versehen. Wieviele unmittelbare Vorgänger hat das Paar (2, 2) in N2 ?
A. keinen der angeführten Werte
B. 0
C. 9
D. 8
E. 1
F. 2
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10. Seien f und g Funktionen von natürlichen Zahlen, die positive reelle Werte annehmen. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage f ∈ o(g) ?
A. keine der angeführten Aussagen
B. lim inf n→∞
C. lim supn→∞
D. lim inf n→∞
E. lim supn→∞
F. limn→∞
|f (n)|
|g(n)|
=0
|f (n)|
|g(n)|
|f (n)|
|g(n)|
=0
>0
|f (n)|
|g(n)|
|f (n)|
|g(n)|
=0
<∞
11. Betrachten Sie die folgende induktive Definition von Palindromen über Σ, wobei Σ
endlich.
Basis: das leere Wort ist ein Palindrom und für jedes e ∈ Σ ist e ein Palindrom.
Schritt: Wenn w ein Palindrom ist, dann ist für jedes e ∈ Σ auch ewe ein Palindrom.
Beweisen Sie mit struktureller Induktion, dass jedes Palindrom w über {a, b} gerader
Länge eine gerade Anzahl an as hat.
12.
Sei M := {a, b, c, d} , sei
R = {(a, c), (b, d), (d, a), (c, b)}
,
und sei G der Graph der Relation R. Stellen Sie die Adjazenzmatrix A des Graphen G
auf, berechnen Sie mit dem Algorithmus von Warshall die Adjazenzmatrix der transitiven Hülle T von R und geben Sie die Mengendifferenz M 2 \ T an.
13.
Sei G der bewertete Graph mit den Ecken a, b, c, d, e, f, g und den Kanten
{a, b}, {a, e}, {b, d}, {b, f }, {c, d}, {c, g}, {d, g}, {e, f }
.
Die Bewertung dieser Kanten in obiger Reihenfolge sei
2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 1
.
Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Kruskal einen spannenden Wald mit minimaler
Bewertung.
14. Berechnen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d von 233 und 89, weiters ganze Zahlen u und v mit
233 · u + 89 · v = d
sowie das kleinste gemeinsame Vielfache von 233 und 89.
15. Betrachten Sie den folgenden regulären Ausdruck R und konstruieren Sie einen
NEA N , sodass L(N ) = L(R).
+ 0(01∗ 1 + 00)∗ 01∗
.
16.
Beweisen Sie mit Hilfe der Kontraposition des Pumping Lemmas dass die Sprache
L = {ai bj ck | wobei i > 0, j > 0 und i + j 6 k}
nicht regulär ist.
,
ANSWERKEY FOR “versionG”
Version 1:
E
E
F
F
E
F
F
F
F
F