Kapitel IV Wärmelehre und Thermodynamik Ziel: Literatur
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Kapitel IV Wärmelehre und Thermodynamik a) b) c) d) e) f) g) h) i) Definitionen Temperatur Wärme und Wärmekapazität Das ideale Gas - makroskopisch Das reale Gas / Phasenübergänge Das ideale Gas – mikroskopisch Hauptsätze und Kreisprozesse Dampfdruck, Diffusion, Osmose Wärmeübertragung – Strahlung, Leitung, Konvektion Literatur • • • • Gerthsen Demtröder I (Bergmann-Schäfer I) Atkins, The Second Law (Scientific American) • Atkins Physikalische Chemie • Mortimer Physical Chemistry Grundlegende Erkenntnis: alle Materie ist aus Molekülen bzw. Atomen aufgebaut, die sich in ständiger, ungeordneter Bewegung befinden ÆBrown‘sche Molekularbewegung, 1825 Erklärung: Einstein 1905 1 cm³ Luft ... 2.5 1019 Moleküle (20°C, 1 bar) 1 cm³ Festkörper: 1000 – 4000 mal mehr Ziel: • • • • Verständnis der Grundlagen Temperaturmessung Phasenübergänge und ihre Bedeutung Mikroskopische / makroskopische Betrachtung • Grundlage von Kreisprozessen • Transport von Wärme und / oder Materie Wärmelehre historisch „alt“ 17. – 19. Jhd. makroskopische Messgrößen T, V, p, Rspez Wärmemenge Q alt: Kalorie Thermodynamik historisch „jung“ 1870, allg. 20. Jhd. mikroskopische Größen k, NA, R Innere Energie E ∝ k T Einheit: J 1 cal = 4.187 J „mechanisches Wärmeäquivalent“ Wärmelehre Beschreibung „von oben her“ Ohne Moleküle Thermodynamik „von unten her“ mit Molekülen statistische Physik Hier in VL: immer „Molekül“ als Begriff für die kleinste Einheit 1 a) Definitionen • Stoffmenge n;SI Grundgröße [n] = kmol enthält so viele Teilchen, wie Atome in 12 kg 12C enthalten sind 6.022 1026 (Achtung! Mol, NA, L mol, kmol) Molvolumen: [Vm] = m³/kmol Molare Masse, „Molekulargewicht“ [M] = kg/kmol • Temperatur T; SI Grundgröße, [T] = K 1 K ist der 273.16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts des Wassers (T=273.16 K, p=611,657 Pa) Absoluter Nullpunkt: - 273.15 °C 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik: „es gibt Temperatur“ Nullter Hauptsatz: „es gibt eine skalare kontinuierliche Eigenschaft, die es erlaubt, das thermodynamische Gleichgewicht festzustellen. Diese Größe heißt Temperatur“ „steht ein System A mit einem System B im TD Gleichgewicht, und steht das System B mit dem System C im TD Gleichgewicht, dann steht auch d. S. A mit dem S. C im TD Gleichgewicht“ • System – Grenze – Inneres – Äußeres – geschlossen: kein Materiefluss, Energie und/oder Information möglich – abgeschlossen: kein Fluss jeglicher Art – offen: alles möglich – adiabatisch: kein Wärmefluss – anergisch: kein Fluss von Arbeit • Eigenschaften – Intern – Extern – Intensiv: bleiben bei Teilung des Systems gleich (z. B. Druck p, Temperatur T) – Extensiv: ändern sich bei Teilung des Systems (z.B. Volumen V, Molzahl n, Masse m, Entropie S, innere Energie U) • Gleichgewicht – Relativ – Dynamisch (z. B. Phasengleichgewichte, Verdunstungsgleichgewicht bei Sättigungsdampfdruck extensive Größen sind additiv • Prozess Æ etwas, das das System verändert interessant: NurVeränderungen Bezeichnung: d, Δ, δ 2 • Zustand – Zustandsgrößen beschreiben System eindeutig Messgrößen T, p, V – Zustandsfunktionen: Kombination von 2 Zustandsgrößen (dabei: Masse, Molzahl) z. B. innere Energie U, Enthalpie H, Entropie S 1 U ∝ kT; S ∝ T • Thermodynamische Potentiale Trennung von Zustandsfunktionen nicht exakt, bestehen aus Zustandsgrößen und Zustandsfunktionen f U = N kT 2 H = U + pV G = H − TS F = U − TS Innere Energie, [U] = J Enthalpie, [H] = J Freie Enthalpie (Gibbs) [G] = J Freie Energie (Helmholtz) [G] = J • Änderungen von Zustandsgrößen – Endzustand nicht abhängig von Weg, auf dem Zustand erreicht wird – Beschreibung: totale Differentiale z. B. dH = dU + p dV + V dp • Arbeit W 2 Keine Zustandsgröße, W = ∫ p dV 1 Wird vom / am System geleistet Änderungszeichen δ, nicht d Vorzeichenkonvention je nach Buch • Arbeit W, [W] = Nm (oder J) ist Energie der gerichteten Bewegung (System als Ganzes in Bewegung) b) Temperatur / T-Messung ii) Messung von Temperatur / Thermometer i) Temperaturskalen alle: Fixpunkte, dazwischen lineare Skala Celsius: 0°C .... Eis/Wasser, 1030 hPa 100°C ... Kochendes Wasser, 1030 hPa Fahrenheit: 0°F .... NaCl/Eis, -18°C 100°F ... Menschl. Körper 37.7°C T°C = (T°F – 32)*5/9 ≈ (T°F – 30) / 2 T°F = (T°C + 32)*9/5 Kelvin: absolute T, 0K=-273.15°C Physik: T immer in K! (außer: ΔT) • Wärme Q, [Q] = J – Entspricht der Energie der ungeordneten (thermischen) Molekülbewegung – Ist Form von Energie, die bei Vorliegen eines Temperaturgradienten transportiert wird ohne dass mechanische Arbeit geleistet wird Brauche Größe, die sich proportional zur Temperatur ändert, quantitative Messung direkte / indirekte Messmethoden z.B. Länge, Volumen, elektrischer Widerstand, Strahlungsleistung, …… 3 Bimetallthermometer • Längenausdehnung l(ϑ) = l 0 (1 + α ⋅ Δϑ) Cu α … linearer Ausdehungskoeffizient ϑ … Temperatur in °C l … Länge Ausdehnung von Festkörpern z. B. Cu: α = 16.7 10−6 /Κ Fe: α = 12 10−6 /Κ Al: α = 23.8 10−6 /Κ Al Rücken an Rücken verschweißt spiralig aufgewickelt bis 1% von Skalenbereich genau Verwendung: Außenthermometer Thermostatschalter in Leistungsschutzschalter • Volumsausdehnung V(ϑ) = V0 (1 + α ⋅ ϑ) V … Volumen α … Volumsausdehnungskoeffizient ϑ … Temperatur in °C Flüssigkeitsthermometer bis auf ± 0.01°C genau Thermometerkorrektur Flüssigkeit je nach Temperaturbereich Flüss. α Hg 18.2 10-5 -38°C .... +300°C Alkohol 14.3 10-5 -100°C ... +70°C Pentan -190°C ... +35°C /K 15.8 10-5 Bereich • Messung über elektrischen Widerstand R(θ) = R(0°C) (1+βθ) θ Temperatur °C β 1/200 ... 1/300 /K metallische Leiter: R ↑ wenn T ↑ z. B. Pt-100: 100 Ω bei 0°C Halbleiter: R ↓ wenn T ↑ (NTC-Leiter) • Thermoelement / thermoelektrischer Effekt thermoelektrische Spannungsreihe 4 • Thermoelement / Thermoelektrischer Effekt Beruht auf Kontaktelektrizität und Thermodiffusion Zwei Lötstellen „verkehrt“ geschaltet Æ keine Spannung zwischen freien Enden (Spannungen der Kontaktstellen heben sich weg) www.physik.uni-wuerzburg.de Aber: Kontaktspannung Funktion der Temperatur, bei Temperaturunterschied zwischen Lötstellen Spannung zwischen freien Enden Æ Thermospannung ΔU proportional zu ΔT Anwendung: • Thermoelement zur Messung von Temperatur eine Lötstelle auf bekannter T, aus ΔU Æ Tx cgi.ebay.at z. B. Ni-Cr Cu-Konstantan Typ. Thermospannungen: 10-5 V/K Messbereich: -270 – 3000°C je nach Material Thermoelement wichtiges Thermometer, klein, gr. T-Bereich, spricht schnell an, kleine Wärmekapazität • Bolometer – Misst Strahlungsleistung E = σT4 (Stefan – Boltzmann Gesetz) • Thermosäule – Misst Strahlungsleistung E = σT4 (Stefan – Boltzmann Gesetz) • Spektralanalyse − λmaxT = 2.9 10-3 K.m (Wien‘sches Verschiebungsgesetz) • Thermochromfarben leifi.physik.uni-muenchen.de 5 c) Wärme, Wärmekapazität www.printcolor.ch www.ais-online.de i) Wärmekapazität Menge an Wärme(energie), die nötig ist, um 1 kg (1 kmol) eines Stoffes um 1 K zu erwärmen Druck p = const: cp Volumen V = const: cV (Labor: fast immer p = const) ΔQ ΔQ cp = bzw. c p,mol = m ΔT n ΔT [cp] = J / (kg K) [cp,mol] = J / (kmol K) ΔQ Wärmemenge m Masse ΔT Temperaturänderung n Molzahl cp,mol molare spez.Wärmekap. ii) Messung von Wärmekapazität Kalorimeter besteht aus: Dewar-Gefäß Thermometer Mögl. der Wärmezufuhr Mischungskalorimeter Temperaturänderung bei Mischung Elektrisches Kalorimeter Temperaturänderung bei elektr. Heizung Bombenkalorimeter ÆVerbrennungswärmen Chem. Kalorimeter Æ Reaktionswärmen Wärme: kinetische Energie der ungeordneten Molekülbewegung Æ mikroskopisch Wärme: Energieform, die auf nicht mechanischem Weg bei Vorliegen einer Temperaturdifferenz ausgetauscht wird Æ makroskopisch Temperatur T ≠ Wärme Q! T ist Messgröße (Grundgröße); [T] = K Q ist Energieform, [Q] = J Immer: cp > cv konst. Druck: Ausdehnungsarbeit Werte für cp: Wasser 4187 J/(kg K) Eis 2303 Luft 1000 Cu 377 Boden 800 org. Mat. 1900 1m³ Wasser: 4 MJ/K 1m³ Luft: 1.2 kJ/K Mischungskalorimeter: Σ(ΔQvorher) = Σ(ΔQnachher) Für alle: T muss sehr genau gemessen werden Kalorimeterkorrektur Wärmeverluste / Wärmetransport 6 iii) Mechanisches Wärmeäquivalent Kw = zugeführteWärme geleisteteArbeit ΔW = m.g.Δh ΔQ = cp.m.ΔΤ www.dr-matthes-haug.de Kw = ΔQ m ⋅ c p ⋅ ΔT = = 0.238846 cal / J ΔW m ⋅ g ⋅ Δh 1 cal = 4.185 J d) Das ideale Gas – makroskopisch • Beschreibung mit Zustandsgrößen p, V, T • Brauchen trotzdem n, R dazu Æ Immer auch Mikroskopische Argumente dazunehmen Elektrisch: 1 J = 1 Ws P.t = U.I.t Annahmen aus mikroskopischer Betrachtung: • Moleküle sind Massenpunkte Eigenvolumen = 0 • Nur elastische Stöße keine Kräfte („Wechselwirkungen“) zwischen Molekülen (passt gut „weit weg vom Phasenübergang“) Statistische Thermodynamik (später): kinetische Energie der Moleküle Æ T (Temperatur) Stöße auf Wand Æ p (Druck) Gay-Lussac anders: p(θ) = p0 (1+αθ), θ in °C; V = const Messung: α = 1/273.15 /°C p Æ 0 bei θ Æ - 273.15°C Charles anders: V(θ) = V0 (1+αθ), θ in °C; p = const Messung: α = 1/273.15 /°C V Æ 0 bei θ Æ - 273.15°C i) Gasgesetze historisch: Boyle-Mariotte‘sches Gesetz p V = const bei T = const Gay – Lussac‘sches Gesetz p/T = const bei V = const Charles (manchmal: anderes Gay-Lussac) V/T = const bei p = const (Hinweis auf absoluten Nullpunkt) alle sind Sonderformen der idealen Gasgleichung ii) Zustandsgleichung / ideale Gasgleichung makroskopische Beschreibung pV = nRT R = 8.31 kJ/(kmol K) universelle Gaskonstante (früher: spezifische - " – für jedes Gas extra) T immer in K !! 7 iii) Zustandsdiagramme p – V Diagramm, T = const. (Isotherme) V – T Diagramm, p = const. (Isobare) p – T Diagramm, V = const. (Isochore) jeder Punkt im Diagramm beschreibt Zustand p, V, T Zustandsgrößen „Weg“ im Diagramm: Zustandsänderung http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/kinetic/imgkin/pvtgas.gif iv) Adiabatengleichung adiabatische Zustandsänderung dQ = 0; d. h. kein Wärmeaustausch über Systemgrenze bei Expansion: Gas muss Ausdehnungsarbeit leisten, Energie dazu aus kinetischer Energie des Gases Æ T sinkt Æ Adiabaten im p-V Diagramm steiler als Isothermen http://www.chemistrydaily.com/chemistry/upload/thumb/e/ec/341px-Adiabatic.png • Adiabatengleichung κ pV = const κ Adiabatenkoeffizient κ= cp cv Luft: κ = 1.4 wieso: makroskopisch nicht zu erklären Andere Formen der Adiabatengleichung: Einsetzen aus idealer Gasgleichung p∝ T V TV κ −1 = const V∝ T p p Druck V Volumen T Temperatur T κ p1− κ = const 8 i) Van der Waalsgleichung / Zustandsgleichung e) Reales Gas - Phasenübergänge • Ideal: • Real: Moleküle sind Massenpunkte keine Wechselwirkungskräfte Moleküle haben Eigenvolumen Wechselwirkungskräfte zwischen Molekülen Æ van der Waals Kräfte ideales Gas: immer Gas reales Gas: Phasenübergänge Ideal: p Real: (p + Vm a 2 Vm p Vm a/Vm² b = RT )(Vm − b) = RT Druck Molvolumen Binnendruck Kovolumen a, b abhängig von Gas Phasenübergang bei realem Gas möglich z. B. Gas Æ Flüssigkeit Flüssigkeit Æ Gas i) p – V Zustandsdiagramm Wechselwirkungskräfte zwischen Molekülen: van der Waalskräfte anziehend, sehr kleine Reichweite Kritischer Punkt: Dichte der Flüssigkeit = Dichte von Gas Æ Nicht unterscheidbar Aber: bei sehr kleinen Distanzen starke Abstoßung ÆLenard-Jones Potential Æ(siehe Oberflächenspannung) http://smirnov.mae.wvu.edu/courses/mae320/figs/F3-1.jpg ii) Phasendiagramm ÆKein Zustandsdiagramm!!!! Achtung: Aggregatzustand ≠ thermodynamischer Zustand fest, flüssig, gasf. Gegeben durch p, V, T Phasenübergangslinien: zwei Phasen im Gleichgewicht Tripelpunkt: alle drei im Gleichgewicht http://www.naturalsci.gardner-webb.edu/Faculty/vtotten/PChem/h2ophase.gif 9 Wasser: krit. P.: 217 bar, 647 K Tripelp.: 6.1 mbar, 0.0075 K CO2 72.9 bar, 304.2 K 5.11 bar, 216.6 K iii) Phasenübergang / Latente Wärme makroskopisch: Phasenübergang T Phasenübergang festes Wasser wird bei hohem Druck wieder flüssig! gasförmig flüssig fest hochreines Wasser siedet bei > 100°C (Siedeverzug Æ Achtung!) hochreines Wasser gefriert bei < 0°C (flüssigeWolkentröpfchen bis –40° möglich) d. h.: Wärmezufuhr, T von Körper steigt Phasenübergang: T steigt trotz Wärmezufuhr nicht, bis alles Material in andere Phase übergegangen ist Mikroskopisch: zugeführte Energie führt zu T-Erhöhung Phasenübergang: Energie wird zur Überwindung der Gitterkräfte bzw. der zwischenmolekularen Kräfte verwendet Æ T steigt erst, wenn alle überwunden Qs Schmelzwärme Qv Q Verdampfungswärme Schmelzwärme Qs: Wärmemenge, die benötigt wird, um 1 kg (oder kmol) zu schmelzen Verdampfungswärme Qv: Wärmemenge, die benötigt wird, um 1 kg (oder kmol) zu verdampfen Wasser: Qs= 335 kJ/kg QV= 2260 kJ/kg Werden bei Erstarren bzw. Kondensieren wieder frei Æ Latente Wärmen („verborgen“) (Achtung: eigentlich sind das Enthalpien) z. B: Eiswürfelbad, Klimasystem, Schneeschmelze f) Ideales Gas - mikroskopisch i) Annahmen • Schon gehabt: – Massenpunkte ohne Eigenvolumen – Nur elastische Stöße, keine Wechselwirkungen • Jetzt dazu: – Wände vollkommen elastisch, perfekte Reflektoren – Zeitliches Mittel für 1 Molekül = Scharmittel (Mittel über alle zu best. Zeitpunkt) „Ergodenhypothese“ – Orte und Geschwindigkeiten von Molekülen nicht miteinander korreliert Annahme des molekularen Chaos – Alle Realisierungsmöglichkeiten von makroskopischem Zustand sind gleich wahrscheinlich – Postulat der gleichen a-priori Wahrscheinlichkeit – Zeitumkehr???? 10 Definition: Freiheitsgrad f - ist Möglichkeit für Molekül, Energie aufzunehmen Einatomig: Translation, 3 Raumrichtungen Æf=3 Zweiatomig: Translation + Rotation Æf=3+2=5 Dreiatomig: Translation + Rotation + Vibration Æ f = 3 + 2 +2 = 7 Mehratomig: f=7 Festkörper: Schwingung um Ruhelage Æf=6 Druck (Grundgleichung von Bernoulli) ii) Druck Impulsübertrag auf Wand Massenpunkte, f = 3 n = Zahl der Moleküle N pro Volumen V Nur elastische Stöße Æ Ableitung am OH 1 p = n ⋅ m ⋅ v2 3 .... .... .... 2 p ⋅ V = N ⋅ E kin 3 v Geschwindigkeit eines Moleküls v² gemittelt über viele Moleküle n = N/V Anzahlkonzentration m Masse eines Moleküls Ekin mittlere kinetische Energie der Moleküle iii) Temperatur und innere Energie ÆTemperatur T aus Molekularkinetik Zustandsgleichung: Æk = 1.38 10-23 J/K Boltzmannkonstante pV=nRT . . . Ekin = 3/2 k T ÆR = k NA = 8.31 kJ/kmol K universelle Gaskonstante p V = N R/NA T mittlere kinetische Energie 11 Innere Energie U Molekül war Massenpunkt, hatte 3 Freiheitsgrade f=3 N Moleküle, jedes hat Ekin= f/2 kT Alle zusammen: ÆEkin= ½ k T mittlere Energie pro Freiheitsgrad „Äquipartitionstheorem“ Æ T ist Maß für kinetische Energie der Wärmebewegung f N⋅ k ⋅T = U 2 Æ U ist extensive Größe, ändert sich bei Teilung des Systems Erinnerung: Statistik, Messfehler v) Maxwell – Boltzmann Verteilung Geschwindigkeit eines Gasmoleküls? mittlere Geschwindigkeit eines Kollektivs von Gasmolekülen? Mittelwert, Standardabweichung: Parameter der Gaußverteilung „Wahrscheinlichkeitsverteilung“ f(x): W., dass Wert von x in Intervall x+dx liegt f (x) = ⎛ (x − x )2 ⎞ 1 ⎟ exp⎜ − ⎜ 2π σ 2σ 2 ⎟⎠ ⎝ ∞ ∫ f ( x ) dx = 1 x Mittelwert σ S tan dardabweichung −∞ f(x) Maximum bei x Symmetrisch um x können <1 sein Boltzmannverteilung x W, dass Wert innerhalb x ± σ x ± 2σ x ± 3σ x 68,24% 95,44% 99.57% Ableitung aus barometrischer Höhenformel Æ OH hat im Exponenten Verhältnis von potentieller Energie zu thermischer Energie ohne thermische Bewegung: Gas fällt zu Boden Bild: http://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/reglin/gauss.gif 12 Boltzmannverteilung ⎛ mgh ⎞ n (h ) = n 0 exp⎜ − ⎟ ⎝ kT ⎠ Verteilung der Vertikalgeschw. vz ⎛ mv 2z ⎞ ⎟⎟ f ( v z ) = const exp⎜⎜ − ⎝ 2kT ⎠ n Anzahlkonz. der Mol. m Masse eines Mol. g Schwerebeschleunigung h Höhe v Geschwindigkeit vz Vertikalgeschwindigkeit z Höhe Maxwell´sche Geschwindigkeitsverteilung Maxwellverteilung 3 ⎛ mv 2 ⎞ ⎛ m ⎞ 2 f ( v) = ⎜ ⎟ 4πv ⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2πkT ⎠ ⎝ 2kT ⎠ http://universe-review.ca/I13-23-BoltzmannEq4.jpg niedrige Temperatur: relativ scharfes Maximum, bei kl. Geschwindigkeiten hohe Temperatur: flache Kurve, Maximum bei größeren Geschwindigkeiten Wichtig: auch bei niedriger T bestimmte (kleine) Wahrscheinlichkeit, dass Molekül große Geschwindigkeit (bzw. Energie) hat 3 verschiedene „mittlere Geschwindigkeiten“ vw = v= 2kT m 8kT πm v 2 = v rms = • Luft: N2 + O2 , 300 K vw wahrscheinlichste Geschw. Mittlere Molekülgeschwindigkeit 3kT m Mittlere thermische Geschw. „root mean square“ GEschwindigkeit vi) Mittlere freie Weglänge vw = 413 m/sek v = 466 m/sek = 1.128 vw v² = 505 m/sek = 1.225 vw „Weg“ von Molekül Schallgeschwindigkeit: 340 m/sek bei 20°C Æ Kann nur mittleren Weg zwischen Stößen angeben Æ mittlere freie Weglänge λ 13 Fluidmechanik: Fluid ist Kontinuum „continuum regime“ Sehr kleiner Druck oder sehr kleine Teilchen in Fluid: „free molecule regime“ „Körnigkeit“ des Gases Annahme: bewegtes Molekül mit Radius r1 „ruhendes“ Molekül mit Radius r2 Stoßquerschnitt bzw. Wirkungsquerschnitt σ = π (r1+r2)² Kleiner Druck: 0.1 Pa (10-3 mbar) www.pci.tu-bs.de …. OH 1 λ= nσ λ= 1 2nσ n Zahl der Moleküle / Volumen σ Stoßquerschnitt „Zielmolekül“ auch bewegt ÆWurzel aus 2 Luft, 20°C: λ = 0.066 µm (Staubteilchen: d 1 nm ….. 10 µm) λ primär unabhängig von T! λ prop. 1/n prop. 1/p Æ λ.p = const λ= 1 2 2nπd m Alle Moleküle haben gleichen Durchmesser dm vi) Zähigkeit von Gasen ÆImpulstransport …. OH η = 1/3.ρ.λ.v • Gas: Zähigkeit nur abhängig von molekularen Konstanten und Temperatur η ↑ wenn T ↑ η ρ v λ Zähigkeit Dichte mittl.Geschwindigkeit mittl. freie Weglänge • Flüssigkeit: η ↑ wenn T↓ 14 vii) Spezifische Wärmekapazität (molar) cp,mol – cv, mol = R R = k*NA R = 8.31 kJ / (kmol*K) universelle Gaskonstante NA = 6.022 1026 /kmol Avogadrozahl cp,mol, cv, mol spez. Wärmekap. bei konst. Druck bzw. Volumen cp,mol, cv, mol, R Æ makroskopische Größen k, NA Æ mikroskopische Größen vii) Spezifische Wärmekapazität ideales Gas …. OH V = const. cv, mol = f/2 . R p = const. cp,mol = (f+2)/2 . R Schon früher: cp > cv cp,mol – cv, mol = R R = k*NA Adiabatenkoeffizient κ κ= cp cv = f +2 f Spezifische Wärmekapazität, Festkörper: cv, mol = 25 kJ/(kmol K) = 3 R Regel von Dulong und Petit unabhängig vom Material aber: bei (relativ) hohen Temperaturen niedr. T: „eingefrorene Freiheitsgrade“ schwere Elemente: recht gut ab 200K Festkörper: Für TÆ 0 K viii) Dalton‘sches Gesetz Für Gasmischungen cv, mol ∼ T³ Jedes Gas allein Druck pi „Partialdruck“ Debye‘sches Gesetz pges = Σ pi (zur Vollständigkeit) 15
