Bericht über die Konstruktion und die Fortsetzung von Bewertungen. I

Mathematics. - Bericht über die Konstruktion und die Fortsetzung von
Bewertungen. 1. By F. LOONSTRA. (Communicated by Prof. L. E. J.
BROUWER.)
(Communicated at the meeting of May 31. 1941.)
LITERATURUEBERSICHT.
J. KÜRSCHÁK: .. Ueber Limesbildung und allgemeine Körpertheorie" (J. f. d. r. u. ang.
Math. 142 (1913)) .
1. Die Erweiterung eines bewerteten Körpers zu einem vollständigen bewerteten
Körper.
2. Die Bewertung der algebraischen Erweiterungen eines bewerteten Körpers. Zum
Beweise der Ungleichheit la
b I ~ I a I I b I werden die Hadamardschen
Resultate benutzt. Es ist möglich. jeden bewerteten Körper K zu einem kleinsten
algebraisch abgeschlossenen bewerteten Körper K' zu erweitern (eventuell ist
K' nicht vollständig. aber die kleinste vollständige Erweiterung von K' ist ebenfalls algebraisch abgeschlossen).
A. OsTROWSKI: .. Fragen der allgemeinen Körpertheorie" (J. f. d. r. u. ang. Math. 143
(1913)).
1. Jede endliche separabele Erweiterung eines bewerteten Körpers ist vollständig.
2. Eine unendliche separabele algebraische Erweiterung eines vollständigen Körpers
ist nicht vollständig.
3. Die kleinste algebraisch abgeschlossene Erweiterung eines vollständigen Körpers
ist dann und nur dann vollständig. wenn sie endlich ~n bezug auf diesen
Körper ist.
A. OSTROWSKI : "Zur Theorie der perfekten Körper" (:J. f. d. r. u. ang . Math. 147 (1917)).
1. Jede endliche bewertete Erweiterung eines vollständigen Körpers ist vollständig.
2. Eine algebraische bewertete Erweiterung eines vollständigen Körpers K. die
Gröszen von beUebig hohem Grade in bezug auf K enthält. ist nicht vollständig.
3. Die kleinste algebraisch abgeschlossene bewertete Erweiterung eines vollständigen
Körpers Kist dann und nur dann vollständig. wenn sie endlich in bezug auf
Kist.
A. OSTROWSKI : "Oher einige Lösungen der Funktionalgleichung q; (xy) = q; (x) q; (y) "
(Acta Mathematica 41 (1918).
1. Eine nicht-triviale Bewertung des Körpers der rationalen Za hl en ist entweder
zur gewöhnlichen Absolutbetragbewertung ä quivalent. oder sie ist zu einer
p-adischen Bewertung äquivalent.
2. Ein archimedisch bewerteter Körper ist zu einem mit gewöhnlichen Absolutbeträgen bewerteten Körper aus komplexen Zahlen isomorph.
K. RVCHLIK: .. Zur Bewertungstheorie der algebraischen Körper" (J. f. d. r. u. ang. Math.
153 (1924)) .
1. Die Bewertung algebraischer Erweiterung eines nicht-archimedisch bewerteten
Körpers durch VeraIlgemeinerung des von Hensel angewandten Vorgangs für
die algebraischen Erweiterungen des Körpers der p-adischen Zahlen.
2. Der derivierte Körper eines algebraisch abgeschlossenen nicht-archimedisch
bewerteten Körpers ist algebraisch abgeschlossen.
+
+
701
A . OSTROWSKI : .. Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper" (Mathematische
Zeitschrift 39 (1934» .
Hinsichtlich der Bewertungstheorie: Für die Bewertung algebraischer Erweiterungen eines bewerteten Körpers K. genügt es vorauszusetzen. dasz K relativ
voIlständig ist.
Die Aufstellung sämtlicher Bewertungen einer algebraischen Erweiterung und
einer einfachen transzendenten Erweiterung eines bewerteten Körpers.
§ 1. Im Laufe der Zeit erschie,nen verschiedene Abhandlungen, in
denen zunächst der Begriff der Bewertung rein postulierend durch defi~
nieren de Eigenschaften eingeführt wurde, während später die Frage nach
der konstruktiven Erfassung 'des Bewertungsbegriffs, d .h. die Frage nach
der Aufstellung sämtlicher Bewertungen eines vorgegebenen Körpers und
deren möglicher Erweitemngen gelöst wurde. Das Ziel dieser Aus~
führungen ist es, eine historische Uebersicht zu geben; dazu habe ich mich
beschränkt auf die Literatur, die sich mit der AufsteUung von Bewertungen
beschäftigt. Es gibt die letzten Jahre wichtige Abhandlungen hinsichtlich
der Bewertungstheorie, z.B. die im Journal f.d .r. und angewandte Math.
170 (1934) erschienene Arbeit von H . HASSE und F. K. SCHMIDT. In
jener Arbeit wird die Aufgabe, alle möglichen Strukturen der nicht~trivial
bewerteten Körper zu bestimmen, behandelt und gelöst.
Ich erwähne weiter die Untersuchungen von W. KRULL, " AlIgemeine
Bewertungstheorie" (J. f . d. r . und ang. Math. 167 (1932)) , in denen die
Bewertungstheorie nur postulierend entwickelt wird, ohne auf die kon ~
struktive Erzeugung der allgemeinsten Bewertung einzugehen. Kümmert
man sich ab er urn die konstruktive Erfassung, so steilte sich heraus, dasz
die Arbeit von A. OSTROWSKI: " Untersuchungen zur arithmetischen
Theorie der Körper," Math . Zeitschr. 39 (1934) , in dieser Richtung am
fruchtbarsten gewesen ist.
§ 2. Der Ausgangspunkt der Bewertungstheorie ist die gemeinsame
Behandlung der HENSELschen p~adischen Körper und des Körpers aller
re ellen ader aller komplexen Zahlen. Der Begriff der Bewertung ist von
KÜRSCHÁK (J' f. d . r . und ang . Math. 142 (1913), " Ueber Limesbildung
und allgemeine Körpertheorie") zum ersten Male eingeführt worden.
KÜRSCHÁK betrachtet sie als eine Verallgemeinerung des absoluten Betrages
von a auf den Fall eines beliebigen Körpers: Es sei jedem Elemente a eines
Körpers K eine reelIe Zahl Ia I 50 zugeordnet, dasz den folgenden For~
derungen genügt wird:
0; Ia I > 0 für a i:. 0,
1 ) I0 I
2) 11 +a l~ 1 + la l,
3) Iab I
Ia 1· 1bi,
4) es gibt in K . wenigstens ein solches Element, dasz Ia I von Null
und Eins verschieden ist.
Jede solche Zuordnung wird eine Bewertung des Körpers K, die Zahll a I
die Bewertung von a genannt. Elemente von gleicher Bewertung werden
als äquivalent bezeichnet. Diebekanntesten bewerteten Körper erhalten
45*
=
=
702
wir. wenn wir für K einen reellen oder komplexen Zahlkörper wählen und
jedem Element seinen absoluter Wert zuordnen. Die p-adische Bewertung
des Körpers der rationalen Zahlen mittels einer Primzahl p erhält man
wenn man jede von Null verschiedene rationale Zahl a in der Gestalt
a
= ~v . pa.
darstellt. wo u und v zu p teilerfremde ganze Zahlen sind und
=
nUID festsetzt. dasz 1a 1 ca. (0 < c < 1) und 10 1
FalIe stellt es sich heraus. dasz
2a)
= O.
Im betrachteten
1a + bi:;;; max (I a I. 1bi) .
Wenn die Bewertung eines Körpers derartig ist. dasz die schärfere
Ungleichheit (2a) für jedes Paar van Elementen gilt. so spricht man von
einer nicht-archimedischen Bewertung. und sonst nennt man die Bewertung
archimedisch.
Es ist naheliegend. die bekannten Begriffe des Limes und der Fundament~lfolge von den reellen und komplexen Zahlen auf beliebige bewertete
Körper zu übertragen. Es ist bekannt. dasz im Körper der reellen Zahlen
eine Folge nur dann und dann immer einen Grenzwert hat. wenn sie eine
Fundamentalfolge ist. Man kann behaupten. dasz die irrationalen Zahlen
dazu eingeführt wurden. um die Bestimmung des Limes einer Fundamentalfolge. die im Körper R der rationalen Zahlen nur ausnahmsweise möglich
ist. im Körper der reellen Zahlen zu einer stets ausführbaren Operation
zu machen. Der Körper der reellen Zahlen besitzt also die Eigenschaft.
dasz jede Fundamentalfolge konvergiert: man nennt darum diesen Körper
einen vollständigen (oder perfekten) Körper.
Die Beantwortung der Frage. ob jeder bewertete Körper K zu einem
vollständigen bewerteten Körper K' ergänzt werden kann. geschieht mittels
der von CANTOR stammenden Methoden. Die so erhaltene Erweiterung
wird von KÜRSCHÁK der derivierten Körper K' von K genannt. und K' wird
bewertet. indem man dem Limes A der Fundamentalreihe al. a2 • ••• die
Zahl 1A 1
lim 1a~ 1 zuordnet.
=
~-+
co
Zwei Bewertungen lP und VJ eines Körpers K werden äquivalent genannt.
wenn sie . zu äquivalenten vollständigen Erweiterungskörpern führen. d.h.
wenn jede Folge {a,,} von K. die für lP eine Nullfolge ist. auch für VJ eine
N ullfolge ist und umgekehrt. V. D. W AERDEN beweist (Moderne Algebra
I). dasz für die zwei Bewertungen lP und VJ. VJ eine Potenz von lP ist. d.h.
lP (a)! für alle a aus K.
eine feste positive Zahl E existiert mit VJ (a)
In dem FalIe. dasz K den Körper der rationalen Zahlen bedeutet. diese
abei nicht mit ihren absoluten Werten bewertet sind. sondern in bezug auf
eine Primzahl p. erhalten wir als derivierten Körper denjenigen Körper.
den HENSEL mit K (p) bezeichnet. und dessen Elemente er p-adisch.
rationale Zahlen nennt. Jede von Null verschiedene Grösze des Körpers
K (p) kann in eine und nur eine unendliche Reihe von der Gestalt
=
aopa.
+ al p«+1 + ... + Bnp«+n + ...
703
entwickelt werden. in der die Exponenten ganze rationale Zahlen sind. die
Koeffizienten 80.81 •...• 8 n • ... den Zahlen O. 1. 2 ..... p-1 entnommen
sind und 80 von Null verschieden ist; c'" ist dann die Bewertung dies er
Zahl.
Man kann diese p-adischen rationalen Zahlen so definieren. dasz sie
teils in bezug auf den Primzahl p bewertete gewöhnliche rationale Zahlen
sind. teils neue Symbole. die so beschaffen sind. dasz sie den Körper der
in bezug auf p bewerteten rationalen Zahlen zu einem vollständigen Körper
erweitern.
Es ist also mit Hilfe des Bewertungsbegriffs die Vollständigkeitseigenschaft der p-adischen Körper als auch die "Stetigkeit" des Körpers aller
reellen oder komplexen Zahlen zu bewerkstelligen.
In den KÜRSCHÁKschen Untersuchungen ist nun eine allgemeine Vorschrift enthalten. die Definition der Bewertungsfunktion von einem gegebenen Grundkörper auf seine algebraischen Erweiterungen auszudehnen.
eine Methode von der OSTROWSKI später beweist. dasz sie die einzig
mögliche ist.
Vom Grundkörper wollen wir voraussetzen. dasz er ein vollständiger
bewerteter Körper ist. Bekanntlich wird jede Grösze des erweiterten
Körpers einer und nur einer solchen algebraischen Gleichung genügen.
deren Koeffizienten dem Grundkörper K entnommen sind und die in K
irreduzibel ist. Wir nennen diese Gleichung die Definitionsgleichung jener
GrÖsze.
Es sei
xn + 81 x n - I
+ ... +
8n
= 0
=
I
die Definitionsgleichung. welcher u genügt. dann setzen wir Iu I
lan In.
Es handelt sich nun urn die Frage. ob die so zugeordnete Zahl Iu I in der
Tat die Forderungen einer Bewertung befriedigt. Dasz im erweiterten
Körper die Gleichung 1up I
IuI . IPI richtig ist. kann leicht bewiesen
werden und dabei spielt der Urnstand. dasz der Grundkörper K vollständig
ist. gar keine Rolle. Wollen wir ab er die Ungleichheit 11 + u! :s; 1 + 1u1
beweisen für die bewertete Erweiterung. so braucht man solche Hilfsmittel.
bei denen die Vollständigkeit des Grundkörpers wesentlich ist. KÜRSCHÁK
teilt mit. dasz für den Fall. dasz der Grundkörper K(p) ist. das beste Hilfsmittel von HENSEL stamrnt. Es besteht nämlich der wichtige Satz (HENSEL.
Theorie der algebraischen Zahlen. S. 74): Sind die Koeffizienten von
=
f(z) = zn
+ al zn-I + ... + an
aus K(p) entnommen und ist Ia n I :s; 1. so kann dieses Polynom nur dann
in K (p) irreduzibel sein. wenn auch Ial I..... Ia n I sämtlich :s; 1 sind.
Ziehen wir noch in Betracht. dasz im Körper K (p) gilt
Ia + b I :s; max (I a I. I b J) .
704
so ersehen wir hier unmittelbar die Richtigkeit der folgenden Behauptung:
Ist in dem irreduziblen Polynom
f(z)
= zn +
al zn-I
+ ... + an
so ist auch in
+ ... + bn
f(t-l) = t"
die Bewertung von
bn
= (-I)n +
al
(-W- I
+ ... + an
gewisz :;;; 1. Das ist aber eben der zu beweisende Satz mit der unwesent~
lichen Beschränkung Iani:;;; 1. Dieser HENsELsche Beweis kann in allen
nicht~archimedischen Fällen angewandt werden. Es ist KÜRSCHÁK nicht
gelungen, diesen HENSELschen Beweis so zu verallgemeinern, dasz er auch
dann zum Ziele führt, wenn die Bewertung archimedisch ist. Er beweist
aber die Ungleichheit 11 + a I ~ 1 + Ia I mit Hilfe von HADAMARDschen
Sätzen (HADAMARD, Essai sur l'étude des fonctions données par leur déve~
loppement de Taylor; Journal de Math. (4) 8 (1892)).
Sind nämlich die Koeffizienten von f(z)
zn + al Zn-I + ... + a n dem
vollständigen bewerteten Körper K entnommen und ist f(z) in diesem
Körper irreduzibel. so ist der Konvergenzradius von
=
1
Co
f (z) = Z
Cl
+ Z2 + ...
I
gleich Ia n In.
Nun bedeute a in irgendeiner Erweiterung von K eine Wurzel der in K
=
=
I
irreduziblen Gleichung f(z)
O. Wir setzen lal
lan fn. Es wird dann
in der Tat 11 + a I :;;; 1 + Ia I, denn zwischen den Konvergenzradien 1 und
l' der Reihen
1
Co
f(z)=z+
Cl
Z2
+
•••
1
có có
und f(t-l)="f+P+'"
besteht die Ungleichheit l' ~ 1 + 1. Den Beweis unterlassen wir.
Ia I . IfJ I wollen wir vorerst den
Bei dem Beweise der Forme! IafJ I
Fall betrachten, dasz a und fJ (in bezug auf K) separabe! sind. Die Defini~
tionsgleichung von a sei zm + al Zm-I + ... + a m = 0, diejenige von fJ sei
zn + ... + b n = 0, endlich diejenige von r = afJ sei zh + ... + Ch = O. Die
zu beweisende Forme! ist
=
I
I
=
I
lam Im Ibn In ICh Ih•
Es ist das lediglich eine Gleichung zwischen Bewertungen solcher
Gröszen, die K angeören. Wir wollen darum diejenige Erweiterung L von
K benutzen, die gerade hinreicht zur Zerlegung von
(zm
+
al Zm-I
+ ... + am) (zn + bi
zn-I
+ .. . + bn)
705
in lineare Faktoren. List eine solche endliche normale Erweiterung von K.
in welcher jedes Element separabel (in bezug auf K) ist. also zugleich
eine einfache Erweiterung von K. Es ist L
K(ff) . Die Definitions~
gleichung von ff habe die Eoigenden Wurzeln: ff. ff 1 • • ••• ff r- l • Es ist
a = ep(ff). fJ = 'lI'(b). r = X({}) .
Es sei rein gemeinsames Vielfaches von m, n und h; ferner sind die
Produkte
=
(z-ep (ff)) (z-ep (ff l )) ••• (z-ep ({}r-I))
(z-'lI' ({})) (z-'lI' ({}I)) • •• (Z-'lI'({}r-I))
(z-X (ff)) (z-X ({}I)) ... (z-X ({}r-I)).
r
r
r
gleich der - ~ten, - ~ten resp. -h ~ten Potenz von
m
n
zm
+ ... + am. zn + ... + bn• zh + ... + eh.
Es ist demnach
r
ep({}) ep ({}I) • •• ep ({}r-I) = ± a~.
r
'lI'({}) 'P ({}I)' .. 'P ({}r-I) = ± b~.
r
=±
X ({}) X ({}I) ..• X ({}r-I)
c~.
Ziehen wir noch in Betracht. dasz
so folgt hieraus
r
±
r
r
c"=am
bn
h
m n'
also in der Tat
I
I
I
Ieh I" = lam Im Ibn In.
Sind a. fJ und
r = afJ nicht separabel
(in bezug auf K). so bestimmt man
u. v und w so, dasz
~
= aPu • p=
r= r
{J. r
v
fJP •
Pw
=
separabel sind. Da für die Elemente ;;.
die Gleichung I-ap I
I ~ 1·1 iJ I
bewiesen ist. so erhält man auch nun einfach I afJ I
Ia1·1 fJ I.
Das Erwähnte hat KÜRSCHÁK in die Lage gesetzt. jeden bewerteten
Körper zu einem algebraisch abgeschlossenen. bewerteten Körper zu
erweitern. Ob dieser Körper auch vollständig ist. bleibt noch unbestimmt.
Man kann ab er beweisen. dasz der derivierte Körper dieses algebraisch
=
706
abgeschlossenen Körpers. also seine kleinste vollständige Erweiterung stets
wieder algebraisch abgeschlossen ist: Es sei nämlich K ein algebraisch
abgeschlossener. bewerteter Körper und K' sein derivierter Körper.
KÜRSCHÁK beweist. dasz jede rationale ganze Funktion
F(z) = zn
+ AI z n-I + ... +An.
deren Koeffizienten K' entnommen sind. in K' in lineare Faktoren zerfällt.
Er bildet eine Funktion f(z)
zn + al zn-I + ... + a n . deren Koeffizien~
ten dem Körper K entnommen sind und die Ungleichungen
=
befriedigen. Es ist
lal-All < t • • . . • Ian-An I < e
für f (z) immer eine Zerlegung
((z )
= (z-a
l)
(Z-a2) ... (z- an)
möglich. Es werden nun n Fundamentalfolgen nach der Rekursionsformel
gebildet. Bezeichnen wir ihre Limes in K' mit 1'1 ••••• Y,·•. ••• rn. so ist
F( z )
(z :- r d (Z- r2 ) '" (z-rn)' Damit hat dann KÜRSCHÁK das
Ziel seiner Abhandlung erreicht: Jeder bewertete Körper kann erweitert
werden zu einem algebraisch abgeschlossenen. vollständigen. bewerteten
Körper.
Die gefundenen Resultate befähigen uns also auch. jede algebraische
Erweiterung des Körpers K (p) der p~adischen rationalen Zahlen zu be~
werten. KÜRSCHÁK bemerkt. dasz HENSEL für diesen Fall nicht die
HADAMARDschen Sätze. sondern viel einfacheren Untersuchungen über die
Zerlegung der ganzen FUlllktionen in K (p) benutzt. KÜRSCHÁK beschlieszt
den § 45 seiner Abhandlung mit der Bemerkung. dasz auch in allen anderen
Fällen die Sätze über die Bewertung der algebraischen Erweiterungen
mittels solcher Methoden bewiesen werden können. die den HENsELschen
Ueberlegungen etwas näher stehen als die von ihm selbst benutzten. Er
hat ab er vergebens nach einer gröszeren Annäherung gestrebt. Es gelingt
K. RVCHLIK (J.f.d.r. u. ang. Math. 153 (1924)) die KÜRSCHÁKschen
Resultate mittels der HENSELschen Methoden zu beweisen (siehe § 5 dieses
Kapitels) .
=
§ 3. KÜRSCHÁK stellt am Schlusse seiner Abhandlung folgende Frage:
Ist schon die kleinste algebraisch abgeschlossene Erweiterung des Körpers
der rationalen p~adischen Zahlen vollständig? Oder. gibt es in der kleinsten
Erweiterung von K (p) zu einem algebraisch abgeschlossenen vollständigen
Körper GrÖszen. die keiner algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus
K(p) genügen? Er spricht die Vermutung aus. dasz es solche " transzen~
denten" p~adischen Zahlen wirklich gibt. Es ist OSTROWSKI gelungen nicht
707
allein diese Frage zu bejahen, aber sogar die allgemeinere Frage zu lösen.
wann die kleinste algebraisch abgeschlossene Erweiterung K' eines vollständigen Körpers K vollständig ist (OSTROWSKI: Fragen der allgemeinen
Körpertheorie. J. f. d. r. u. ang. Math. 143 (1913)). Er beweist nämlich.
dasz:
1. jede endliche separable Erweiterung eines vollständigen Körpers
vollständig ist;
2. eine unendliche separabele algebraische Erweiterung eines vollständigen Körpers nicht vollständig ist und
3. die kleinste algebraisch abgeschlossene Erweiterung eines vollständigen Körpers dann und nur dann vollständig ist, wenn sie endlich in bezug
auf diesen Körper ist. Für die Beweise verweisen wir auf die Originalabhandlung.
Vier Jahre nachher erscheint von OSTROWSKI ein zweiter Aufsatz: Zur
Theorie der perfekten Körper (J.f.d.r.u . ang. Math. 147 (1917)). In
einer Fusznote bemerkt OSTROWSKI, dasz er die Definition der Bewertung
statt der Forderung [1 + a [ :s; 1 + [a [ der schärferen Bedingung
[a + b [ :s; max ([ a [, [ b [) unterwirft. (Damit beschränkt er sich also auf
die nicht-archimedischen Bewertungen. Wie OSTROWSKI an anderer Stelle
zeigt 1), sind die wichtigsten Fragen der Bewertungstheorie im FalIe der
archimedischen Bewertung trivial zu beantworten.)
Es wird in der zweiten Abhandlung OSTROWSKIS die folgende Frage
untersucht: Unter welchen Umständen ist eine bewertete algebraische
Erweiterung eines vollständigen bewerteten Körpers selber vollständig?
Es stellt sich heraus. dasz
I.
jede endliche bewertete Erweiterung Keines vollständigen Körpers
K vollständig ist;
2. eine algebraische bewertete Erweiterung Reines vollständigen
Körpers K. die Gröszen von beliebig hohem Grade in bezug auf K enthält.
nicht vollständig ist;
3. die kleinste algebraisch abgeschlossene bewertete Erweiterung R
eines vollständigen Körpers K dann und nur dann vollständig ist. wenn
sie endlich in bezug auf Kist. Den Satz 3 hat OSTROWSKI bereits in seiner
früheren Abhandlung vollständig, die Sätze I und 2 aber nur unter der
Voraussetzung bewiesen, dasz R separabel in bezug auf Kist. Wir müssen
die Beweise unterlassen.
Zum Schlusz sei noch erwähnt, dasz OSTROWSKI in dieser Abhandlung
beweist. dasz die von KÜRSCHÁK angegebene Bewertung algebraischer
Erweiterungen auch die einzig mögliche Bewertung derselben ist. Der
Beweis folgt hier in § 6.
§ 4.
Die im Jahre 1918 in dem Acta Mathematica 41 erschienene
1) Ueber einige Lösungen der FunktionaIgleichungen tp (xy)
Mathematica 41 (1918).
= rp(x)
tp (y) ; Acta
708
=
Arbeit "Ueber einige Lösungen der Funktionalgleichung g;(xy) g;(x)g;(y)"
voo A. OSTROWSKI darf man sehr wichtig für die Bewertungstheorie
nennen. In dieser Abhandlungen sollen die Lösungen der Funktionalgleichung
( 1)
g;(xy) = g;(x) (y)
mit der Nebenbedingung g;(0)
g;(x
= 0 unC!
+ y)
~
g;(x)
+ g;(y)
(2)
untersucht werden, wo die Funktion g; nur reelIer Werte fähig ist, die
Argumente x, y, ... aber sämtliche Elemente eines beliebigen Körpers
darstellen. Untersucht man zuerst das System (1), (2) im Körper R der
rationalen Zahlen, dann ist, abgesehen von einigen trivialen Lösungen,
entweder
=
g; (x)
IlxW
gewöhnliche Absolutbetragbewertung
(wenn man für
benutzt). oder
Doppelstriche
(x) = cll(P,x)
wo a(p, x), die Ordnung, die ganze Zahl ist von der Eigenschaft. dasz
g;
a
(x ) in gekürzter Form weder im Zähler noch im Nenner p enthält.
p.x
Der von OSTROWSKI herrührende Satz zeigt also, dasz die uns bekannten
Bewertungen des Körpers der rationalen Zahlen, nämlich die p-adischen
und die nach dem absoluten Betrag, im wesentlichen die einzig möglichen
sind. Der Beweis von OSTROWSKI ist später von ARTIN (Ueber die Bewertungen algebraischer Zahlkörper. J. f. d. r. u. ang. Math. 167, 1932) und
v. D. WAERDEN (Moderne Algebra I) etwas vereinfacht worden. Wir
geben hier den Beweis von V. D. WAERDEN.
Bezeichnen wir g; (a) mit 1a I, so folgt einfach 1n 1 ~ 11 n 11, wenn n eine
ganze rationale Zahl ist. Seien nun a und b zwei natürliche Zahlen > 1
und entwickeln wir b~ nach Potenzen von a
b~
= Co + Cl a + ... +
Es i5t a n -== b~. d.h.
wenn M
=
max
-== log b
n = Y • -I- .
.
oga
Cn
an •
0 -== Ck
< a, =f O.
Cn
al50
Ib~ I -== ICo I + ICl 11 a 1+ ... + 1Cn 11 a In
-== a (1 + 1a 1+ ... + 1a In)
-== a (n + 1) max (1. Ia In)
-== a (n + 1) Mn.
(1, 1a I). also
I
b
Ib I~ < a ( ~ Y
loga
+ 1)
10gb
10gb
M log a . ~. oder Ib 1-== M log a
10gb
Ib 1-== max (1.1 a Ilog a ) •
709
1. Die Bewertung ist archimedisch: dann gibt es ein b mit I bi> 1.
Wäre für irgend eine andere ganze Zahl a > 1 etwa I a I:;; 1. so würde
aus der eben bewiesenen Ungleichung der Widerspruch I bi:;; 1 folgen.
Es ist also I a I > 1 für alle ganzen a > 1. Also gilt
Ibl-<:::Ial
10gb
loga
;
I
=
I
da ab er a und b vertauscht werden können. so gilt I a Ilog a
Ib Ilog b •
Ist I b I = b e • so folgt hieraus I a I = a e und a1so I r I = II r W für
jede rationale r. Es ist e> 0 wegen I a I > 1. und e:;; 1 wegen 2e =
121 = 11 + 1 I :;; 1 + 1 = 2.
2. Die Bewertung ist nicht-archimedisch; es ist also Ia I :;; 1 für alle
ganzen a. Aus lal < 1 und Ibl < 1 folgt la + bi:;; max (lal . Ibl) < 1.
also bildet die Gesamtheit aller ganzen Zahlen a mit Ia I < 1 ein Ideal im
Ring der ganzen Zahlen; das Ideal ist primo weil aus ' Iab I
Ia I . I b I < 1
entweder I a I < 1 oder I b I < 1 (oder beides) folgt und jedes Primideal
wird im Ring der ganzen Zahlen von einer Primzahl erzeugt. also sind alle
gamze Zahlen a mit I a I < 1 Vielfachen einer Primzahl p. Jede rationale
=
Zahl r kann in der Form r
=
m pe mit ganzen. nicht durch p teilbaren m
n
und n geschrieben werden.
Da I m I
= In I = 1.
so wird I rl
= I p Ie = p-e
o•
wo cr
= -log
Ip I eine
logp
feste. wegen I p I < 1. positive Zahl ist.
Aus der zweiten Hälfte dies er Abhandlung geht hervor. dasz bei den
tiefergehenden Untersuchungen der Bewertungstheorie allein die nichtarchimedischen Bewertungen von Belang sind. Denn es gilt Illach
OSTROWSKI: Ein archimedisch bewerteter Körper Kist zu einem mit gewöhnlichen Absolutbeträgen bewerteten Körpe.r aus komplexen Zahlen
isomorph.
Betrachten wir nämlich den Körper W aller reellen Zahlen. so gibt es
in W irreduzible Funktionen von einer Unbestimmten nur vom zweiten
Grade und es genügt eine Wurzel einer von ihnen. etwa von x 2 + 1 zu
adjungieren um den Körper Z aller komplexen Zahlen zu erhalten. in dem
es schon keine nichtlinearen irreduziblen Funktionen von einer Unbestimmten mehr gibt.
Ordnet man jeder Zahl a von Z die Zahl II alle zu. so stellt der so
entstehende bewertete Körper Z g zugleich einen vollständigen Körper da.
weil Z es ist. Von Ze gilt nun der wichtige Satz:
Es gibt keilllen archimedischen bewerteten Körper K. der einen Körper
Ze zum Unterkörper hat. ohne mit ihm identisch zu sein.
Nehmen wir nämlich an. es gebe eine bewertete Erweiterung K von
Ze. und es sei x ein in K aber nicht in Ze enthaltenes Element. Es sei die
710
untere Grenze der Zahlen Ix - a I. wo a alle Gröszen von Ze durch~
läuft. gleich m. Dann gibt es ein A aus Ze mit Ix - A I
m. Denn sonst
müsste es eine Folge der komplexen Zahlen ai (i
1. 2 •.. . ) geben. so dasz
lim Ix-anl=m ist.
=
=
n-+
00
Die komplexen Zahlen ai müszten ab er dann eine Häufungsstelle A
haben mit Ix - A I
m. denn die absoluten Beträge der Zahlen ai sind
begrenzt. wegen
=
lail-= lxi + lx-ai I.
Das Element x - A von K. das wir durch y bezeichnen. hat dann die
Eigenschaft. dasz für alle Gröszen aus Z gilt: I y - aI ~I y I
m. Wäre
m 7:. O. so existierte ein a von Ze mit 0 < Ia 1< m
I y I.
Nun besitzt auch y - a die Eigenschaft. dasz für kein Element a von
Z e Iy-a-al < Iy-al m sein kann. Daher besitzt auch y-2a
jene Eigenschaft. dasz für keÎill Element a von Z e
=
=
=
ly-2a-al < ly-2al = m
Iy - na I = Iy I = m für jede natürliche
sein kann. Also ist
ist aber unmöglich. Denn es folgte dann
2m = Iy -
na I + Iy I ~ I na I
Zahl n. Dies
= ne IaI .
wo die rechte Seite mit n unendlich grosz wird. während 2m konstant ist.
also wäre die Annahme m 7:. 0 unmöglich.
Es stellt sich nun leicht heraus. dasz ein beliebiger. arChimedisch bewer~
teter Körper K mit einem Unterkörper von Ze analytisch isomorph ist
(d.h. so isomorph. dasz die entsprechenden Elemente dieselben Bewertungen
haben). Denn der derivierte Körper K' enthält den bewerteten Körper
We (oder einen zu ihm analytisch isomorphen). Ist x 2 + 1
0 irreduzibel
in K'. so adjungieren wir zu K' eine Wurzel von x 2 + 1
0 \Mld bewerten
den so entstandenen Körper Kil (andernfalls setzen wir Kil
K'). Dann
musz Kil einen mit Ze analytisch isomorphen UnterkörperZ~ enthalten.
Nach dem Bewiesenen fällt aber Kil mit Z~ zusammen. Also ist K mit
einem Unterkörper von Z e analytisch isomorph. Ist umgekehrt K mit einem
Unterkörper von Z isomorph. und ordnen wir jedem Element von K die
Bewertung zu. die das ihm entsprechende Element in Ze hat. so entsteht
ein-e archimedische Bewertung von K. Zum Schlusz sei noch erwähnt. dasz
man aus jeder isomorphen Abbildung von K auf Z nach dem Obigen eine
archimedische Bewertung von K herleiten kann.
Zusammenfassend erhalten wir folgenden Satz. durch welchen die
Theorie der archimedischen Bewertungen erledigt wird:
Alle archimedischen Bewertungen eines Körpers K werden erhalten.
indem man K auf alle möglichen Weisen in den Körper der re ellen oder
in den der komplexen Zahlen einbettet und jedesmal IaI
11 alle. 0 < e:;;; 1
setzt.
=
=
=
=