Lorenzen (1)

FAUL LURENZEN
Bonn
IST MATHEMATIK EINE SPRACHE?
Die Ahnlichkeiten zwischen Mathematik und Sprache sind so
auffallend, dasz es wohl nicht verwundert, wenn gegenwärtig sehr
häufig die Mathematik unter dem Oberbegriff Sprache subsumiert
wird. Trotzdem möchte ich im folgenden diese - beinahe schon
zum Dogma gewordme These, dasz Mathematik Sprache sei, noch
einmal kritisch in Frage stellen.
Es liegt mir nichts daran, die Gegenthese aufzustellen, dasz Mathematik keine Sprache sei. Wenn ich mich nicht irre, hat viel
mehr alle echte Philosophie die Tendenz, bei jeder Frage sowohl
das Für als auch das Wider zu verstehen, um so schlieszlich zwischen These und Antithese friedlich vermitteln zu können. Getreu
dieser irenischen Tendenz der Philosophie möchte ich die Frage,
ob Mathematik eine Sprache sei, beantworten. Wenn ich trotzdem
hauptsächlich auf die Gründe eingehen werde, die mir gegen die
These: ,,Mathematik ist Sprache". zu sprechen scheinen, so geschieht
es nur, um Zeit zu sparen - und weil die Gründe für die These
ja auch allgemein bekannt sind
Dasz die Sprache, eben ab gesprochene Sprache, mit Lauten operiert, die Mathematik dagegen mit Figuren, darE in unserem Zusammenhang wohl als unwesentlicher Unterschied beiseite gelassen
wepden. Beide operieren j e d d i s mit Zeichen.
Aber schon bei der Frage, zu welchen Zwecken denn mit Zeichen operiert wird, kommen wir auf wesentliche Unterschiede. Die Zwecke der
Verwendung von Sprache sind sicherlich manniqrfaltig, ich möchte
aber eine Funktion der Sprache vor den anderen herausheben: Die
Beschreibung (Deskription) von Wirklichem. Der Sprechende befindet sich in eher Situation, die er einem Anderen mit Hilfe
der Deskription mitteilen will, diese deskriptive Funktion wird man
als eine Grundfunktion der Sprache ansehen dürfen.
Fragt man jetzt entsprechend nach einer Grundfunktion der
Mathematik, so beginnt sich die Schwierigkeit unserer Fragestellung
zu zeigen. Ist der sogenannte Primitive, d a seine Viehherde -zählt,
indem er
mangels Zahlzeichen - Eür je& Tier einen Stein in
seine Tasche tut, ein Mathematiker? Oda ist der Techniker, der
mit Dezimalzahlen nach Formeln reohnet, die er ohne Verständnis
erlernt hat, ein Mathematiker? Wenn wir das primitive Zählen
oder Rechnen schon aIs Mathematik ansehen - gewisz lieszen sich
hierfür gute Gründe angeben - so liesze sich wohl auch mehreres
dafür vorbringen, dasz diese „Mathematik" Spradle sei. Das charakteristisch Nicht-Sprachliche der Mathematik zeigt sich erst, wenn
wir Zahlen und Rechnen ausschlieszen und uns auf die eigentliche
Mathematik beschränken. Die Situation, in der sich der Mathematiker im eigentlichen Sinne befindet, ist nun diese: es sind &m
formale ~ k a t i o n s r e ~ e lfür
n Zeichen vorgegeben - 2.B. die Regelnd
deb Redinen in einem ZahIsystem, oder gewisse evidente geometrische Regeln, oder etwa empirische Regeln der Naturwissenschaften
- und seine Aufgabe ist es, eine bequeme Technik des Operierens
mit diesen Zeichen zu entwickeln. Diese operative Grundf unktion
der Mathematik, die so oft völlig verkannt wird, auf die es aber
für unser Problem entscheidend ankommt, möchte ich an drei Beispielen erläutern.
(1) Es seien die Konstruktion der reellen Zahlen, sowie die Definition
von Differentiation und Integration vorgegeben. Die Aufgabe, ein Integral einer Funktion f zu finden, wird durch den Fundamentahatz
-
J
auf die Aufgabe, eine Funktion g mir Dg = f zu finden, zurückgeführt.
(2) Es seien die Konsrruktion der Kardinalzahlen (der sogen. natürlichen Zahlen) sowie die Definition der Multipiikation vorgegeben. Das kommutative Gesetz
k.1. = 1.k
führt die Multiplikation von Zahlen mit k 2 1 auf die Multiplikation von Zahlen mit k l1 nirück.
(3) Es sei zur Konstruktion von Zeichen ein System von Regeln
vorgesehen, in dem zwei Regeln
(Rl) A b A, -. B
(RB) B, A3
+
C
IST MATHEMATIK EINE SPRACHE?
vorkommen. Die Konsequenzlogik lehrt, dasz zur Konstruktion von
Zeichen nach diesem Regelsystem auch die Rege1
(RB) Al, A2, AB C
hinzugenommen werden darf.
Da das 3. Beispiel völlig voraussetzungslos ist, ist es vielleitht
am geeignetsten, um die Situation des Mathematikers deutlich zu
machen. Ein System von Regeln zur Konstruktion von Zeichen ist
ihm vorgegeben. Seine Aufgabe ist es nun nicht, mechanisch nach
diesen Regeln zu operieren, sondern nach Methoden zu suchen,
diese Arbeit zu erleichtern. Im Beispiel handelt es sich darum, zu
den vorgegebenen Regeln weitere zu finden, die elirninierbar sind,
d.h. deren Benutzung nicht mehr Zeichen zu k a m i e r e n gestatten, ab die vorgegebenen Regeln. Man verkennt die Situation des
Mathematikers gänzlich, wenn man annimmt, es gäbe - wer weisz
wo - ,,Axiome", nach denen man die Regel RS aus Regeln RI, R%
deduzieren könne. Gewisz läszt sich die Konsequenzlogik axiomatisieren, aber das ist ein sekundärer Prozesz. Primär ist die Konstruktionsaufgabe (hier die Regeln Ri, k,.
.).und die Konsequenzlogik ist die erste Stufe einer Technik, solche KonstruktionsauEgaben zu behandeln. Die EliminierbarSreit von Ra musz selbstverständlich ,,bewiesenmwerden, aber nicht durch Deduktion aus Axiomen, sondern dadurch, dasz das Verfahren zur Elimination beschrieben wird. Benutzt eine Konstruktion RS:
-
1)
2) A2
31 AQ
Ra: 1, 2, 3 +4) C
so ersetze man diese Konstruktion durch
1)
2) Ar
3)
Rl: 1 , 2 + 4) B
Rs: 4, 3- 4 5) C
Dia Konsequenzlogik einschl, ihrer späteren Axiomatisierung,
gründet sich auf die Einsidht in die Zweckmäszigkeis solcher EliminationsverEahren und auf das Vermögen, sie zu benutzen.
Um diese operative Gnindfunktion noch deutlicher zu machen,
empfiehlt es sich wohl innerhalb der Logik (und Mathematik) eine
erste Stufe heraus zu heben, eine Protologik, an der gewissermassen die logische Aktivität ,,in statu nascendi" beobachtet werden
kann. Für die in der Protologik zu behandelnden Aufgaben möchte ich zwei Beispiele geben:
PAUL LORENZEN
I Zur Konstruktion von Zeichen (bedeutungslosen Figuren) Seien
die folgenden Regeln gegeben:
(1)
*
(2) X + X 0
(3) x + * x
Wobei X als Variable für die zu konstruierenden Zeichen (2.B. *oo,
w o 0,
o *+ ooo, . . . .) gebraucht sei.
Aufgabe. Es ist die Eliminierbarkeit der Regel
*
**
* ***
(4) X
4
**X
zu beweisen.
Zur Lösung: Ein Verfahren zur Elimination der Regel (4) aus
jeder Konstruktion (Ableitung) nach den Regeln, (I) - (4) muss
durch Beispiele gelehrt werden. Ist X =
o ooo abgeleitet, in
dem mit dem dritten Stern vor X begonnen wurde, dann ist +* X =
*****o
ooo ableitbar, in dem mit dem vierten Stern begonnen wird. (Dieser letzte umgangssprachliche Satz gehört nicht zur
Protolugik, zu dieser hören nur die Beispiele, die Einübung des
Eliminationsverfahrens, nicht die explizite Beschreibung.)
II Konstruktionsregeln :
(1)
*** **
**
(2)
*
X0
X
+
(3)
X
-, ox
(4)
*X
+ a *X
(5) *X + A
(6) *X -. V
(7) *X
+
*X
V *X
*a
*A
*V
*V
Aufgabe: Die Eliminierbarkeit von
(8)
A X A + V X V
Zur Lösung. Zur umgangssprachliche Beschreibung des EIirninationsverfahreus (die hier, nur um Zeit zu sparen, an Stelle der
praktischen Einübung steht), wird man etwa sagen können dass
ein Zeichen A X A, z.B. A* ooo* v abgeleitet esin muss mit Hilfe
von (4) oder (5), im Beispiel also aus* ooo oder ooo*. In jedem Falle
ist mit (6) und (7) daher V x V, im Beispiel V ooo V abzuleiten.
Diese protologische Ubung kann später zur Begründung der folgenden Regel(sog. ,&iornv') der positiven Logik:
*
Cl
-+
A V B; A
-+
C2; B -+ Ca + Cl
+
*
G.(V = vel) benutzt w d e n .
W e n n ich nun behaupte, dasz diese jetzt wohl deutlich gewordene operative Grundfunktion der Mathematik tatsächlich charakteristisch ist Eür die geaamte Mathematik, so kann ich hier nicht den
IST MATHEMATIK EINE SPRACHE?
Beweb dafür erbringen, sondern musz auf meine Arbeiten verweisen,
in denen die Logik und Arithmetik bis zur Analysis (einschlieszlich der modernen Entwicklungen wie des L e w e s c h e n Integrals)
auf dieser Grundlage, die keine Axiome enthält und daher auch
keines Widerspruchsfreiheitsbeweises bedarf, auEgebaut ist: Bei
Anerkennung dieser Chaxacterisierungen von Mathematik bzw. Sprache durch die operative bzw.deskriptive Grundhnktion, ist es wohl
nicht möglich, die Mathematik als einen Teil der Sprache aufzufassen. Die geistige Aufgabe, die dem Mathematiker gestellt
ist, nämlich eine Technik zur Behandlung von Konstruktionsregeln zu entwickeln, ist mit der deskriptiven Aufgabe der Sprache
schlechthin unvergleichlich.
Diese Verschiedenheit von Sprache und Mathematik wird dadurch
verschleiert, dasz die in formalen Konstruktionsregeln auftretenden
Zeichen sprachliche Aussagen sein können (sogar meistens sind)
Der Modus Barbara z.B. -der traditionellen Logik:
Alle Pi sind P2
Alle P2 sind Pa
Alle Pi sind Ps
behandelt ja nichts anderes als die Regeln
x ~ P i - t x ~ P a
X & P B - + X E P ~
und behauptet die Eliminierbarkeit (im obigen Sinne der Konsequenzlogik) der Regel
xtP1+xePs
Rechnet man diese verbale Lq$k noch zur Sprache, so folgt daraus aber nicht, dasz die Mathematik zur Sprache gehöre, es handelt
sich vielmehr nur um auf die {deskriptive) Sprache angewandte
Mathematik. Mathematik und Sprache sind voneinander unabhängige Fähigkeiten des Menschen: das Vermögen der Deskription einerseits, die formale Konstruktionstechnik andererseits. In der vekbalen
Logik wirken beide zusammen, sodasz es schwierig ist, sie zu trena
nen, wenn mau von ihr allein ausgeht.
Diese Trennung von Mathematik und Sprache wird ferner durch
die Auffassung erschwert, als ob auch die Mathematik „Gegenständev
habe, die sie beschreibe - so wie die Sprache wirkliche Gegenstände
beschreibt. Die Arithmetik, auf die ich mich hier beschränken möchte. operiert mit Variablen und Konstanten. Die Frage nach ihren
,,Gegenstand ist die Frage nach der ,,Bedeutung" ihrer Konstanten,
. .- .
d.h. der Zahlen 1, 11, 111,. . . . und der Relationen =,
Die Zahlen sind die Zeichen, die nach den Regeln
+, +,
PAUL LORENZEN
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konstruiert werden. Zwei Zahlen zl und G heiszen ,,gleich" wenn
die Formel zl = zz nach den Regeln
1 =1
z, = Q 3 z1l =ziJl
konsrruierbar ist. Aus diesen Definitionen lassen sich die sogen.
Identitätsregeln
Z=Z
Z1
= 22, A(z1)
-+
A(z2)
(für jede Formel A)
beweisen (was ich hier nicht ausfithren kann) und damit ist der
Anschlusz an den sprachlichen Begriff der Identität hergestellt, Zur
Deskription werden nämlich Eigennamen e, ei, ea,...- gebraucht.
Schreibt man e, = e„ wenn el und e2 den selben Gegenstand bedeuten (bezeichnen) dann gilt
e=e
er = ez, A(el) -+A(ez> (für jede Aussage A)
Gewisz liegt es hiernach auszerordentlich nahe, auch die Zahlen
als Eigennamen für Gegenstände aufiufa~senund die arithmetischen
Formein als deskriptive Aussagen über diese Gegenstände - es handelt sich dann aber trotzdem nur um eine fapn de parler. Diese
M3glichkeit ,,idealew Gegenstände einzu£ühren, die ja bekanntlich
stets vorhanden ist, wenn eine nveistellige Relation
mit
X-X
(reflexiv)
X
X, X
X + X
X
(~coA~arativ)
definiert ist, txägt sicherlich viel dazu bei, die Mathematik mit der
deskriptiven sp&e zu verweckIn. Es l i g t r k r m.E. nur eine
äuszere AhnlicNreit vor. Der Gegenstand der Mathematik sind nicht
die Bedeutungen ihrer Zeichen, mdem sind die Konstruktionsregeln, die das Operieren mit diesen Zeichen definieren. Betrachtet man die Mathematik als eine Sprache, dann ist 2.B. die Formel
(für festes n)
xn p = zn
eine ,,Aussage9',die die durch X, y, z bezeichneten ,,Gegenstande"
beschreibt. Ob es Gegenstände gibt oder nicht, auf die diese Aussage zutrifft, ist & u n a b ~ i a ßvon
~ unserem KonsaiLtionsvermögen, irgendwie, sozusagen beim lieben Gott, entschieden. .Man
sieht hier, wie die Aufhsmng der Mathematik ais Sprache das
Verständnis für die -intuitionistische Ablehnung des tertiurn non
dator geradezu unmöglich macht. Und das kheint mir - zum
mindestens doch wohI hier in den Niederlanden - ein sehr triftiger Grund zu sein, gegenüber dem Dogma von der Mathematik
als Sprache kritisch zu sein.
-
-
+
-