813 The abundance figures as given in the table are now: ASTON ZEEMAN-DE GIER ~ 010 Mass numbers abundance 58 67.5 60 27,0 ~ 0/0 Mass numbers abundance 58 68,1 60 27,2 62 3,8 61 1,7 62 3,8 64 0,9 Sept. 1935. Laboratory "Physica" of the University of Amsterdam. Mathematks. - Verteilungsfunktianen. Von (Erste Mitteilung). J. G. VAN DER CORPUT. (Communicated at the meeting of September 28, 1935). Einleitung. Die in dieser Arbeit auftretenden Zahlen werden alle reell vorausgesetzt. Verteilungsfunktionen treten auf bei Folgen; eine Folge ist eine abzählbar unendliche angeordnete Zahlenmenge. Ist U die Folge U1' U2, ••• , ':'0 bezeichne ich mit U; ,(x) die Anzahl der Zahlen u~ < y mit ~:;;, x. Desgleichen bezeichne ich, falls V die Folge V1, V2'" darstellt, mit V y(x) dIe Anzahl der Vg<y mit ~:;;,x; desgleichen W ,, (x), Ty(x), U.s.W. Ist es möglich, bei der Folge U die natürliche Zahl x unbeschränkt so wachsen zu lassen, dasz U y(x) für jedes x v ' nach einem Grenzwert '!jJ(y) strebt. so nenne ich diesen Grenzwert '!jJ (y) eine Verteilungsfunktion der Folge U. In dies en Mitteilungen werde ich beweisen: Satz 1: Jede Falge U besitzt wenigstens eine Verteilungsfunktian. Hieraus folgt Satz 2: Ist es bei gegebener Falge U und bei gegebenem 'f} mäglich, die natürliche Zahl x unbeschränkt sa wachsen zu lassen. dasz U-r, (x) nach x einem Grenzwert i; strebt, sa besitzt die F alge U wenigstens eine Verteilungsfunktian. die in 'f} den Wert i; annimmt. Denn dann gibt es eine Folge von monoton wachsenden Zahlen Xl' x2, ... mit (1) Die Folge u x " u x , ••• , besitzt nach Satz 1 wenigstens eine Verteilungsfunktion. Diese ist auch Verteilungsfunktion der Folge U und nimmt wegen (1) in 'f} den Wert i; an. 821 ordnet werden, dasz V' (y) die Verteilungsfunktion mod. 1 der neten Folge darstellt 1). Satz 9 geht über in Satz 17: umgeord~ Sind, cp(y) und cp(y) im abgeschlossenen Intervall (0,1) mit monoton~nichtabnehmend cp (y) -= cp (y); cp (0) = cp (0) = 0; cp (1) = Cp (1) = 1. so kann jede im Intervall (0, 1) überall dichte Folge so umgeordnet werden, dasz die Menge der Verteilungsfunktionen mod. 1 der umgeordneten Folge aus den monoton~nichtabnehmenden Funktionen ljJ (y) mit cp (y) ~ V' (y) ;;; cp (y) besteht. Satz 12 schlieszlich liefert: Satz 18: Es sei U eine Folge, und es seien V'dr), .... V',,(y) im vall 0 ~ y ~ 1 monoton~nichtabnehmende Funktionen mit V'x(O) = 0 und V'x(l) = 1 (x lntec~ = 1. 2•.... k) ; für jedes Zahlpaar (a. {J) mit 0 ~ a < {J ~ 1. dem mindestens ein x (1 ~,,~ k) mit V'x (a) < V'x ({J) entspricht, enthalte U unendlich viele Zahlen u mit a ~ u < {J. Dann kann U so umgeordnet werden, dasz die Menge der Verteilungsfunktionen modo Eins der umgeordneten Folge aus den linearen Komposita À,l '!jJl(y) + ... +À,,,1jJk(y) besteht, wobei die k Koeffizienten ~ 0 sind und die Summe Eins besitzen. ' Denn die Funktionen V'x (y) (x = 1. 2•... k) besitzen. faUs sie für y < 0 gleich NuU und für y> 1 gleich Eins gesetzt werden, die Eigenschaft @ (U). 1) Dieser Satz kommt schon var bei J. VON NEUMANN, Gleichmässig dichte Zahlenfolgen (Mat. fiz. Lap. 32 (1925), S. 32-40) (Ungarisch mit deutschem Auszug). 814 Besitzt eine FolgenUl: eine Verteilungsfunktion. so heiszt diese die Verteilungsfunktion der Folge. Aus Satz 2 geht hervor Satz 3: Besitzt eine F olge U die Verteilungsfunktion jedes feste r Urn Ur (x) x~oo x 1jJ (y ), so ist für = 1jJ (/,). Denn sonstkönnte man wegen 0:;;; U'I (x) :;;; 1 ein 'YJ und eine Folge x Einden; dann hätte die Folge U x1 • ux •• • • • • (also aueh die Folge U) naeh Satz 2 wenigstens eine Verteilungsfunktion. die im Punkte 'YJ einen Wert i:. 1jJ{'YJ) annimmt. sodasz dann 1jJ(y) nicht die einzige Verteilungsfunktion der Folge U wäre. Der Beweis des folgenden Satzes ist sehr leicht und findet sich in der folgenden Mitteilung vor. Satz 4: lede im Intervall ( - 00. (0) überall dichte Folge kann so umgeordnet werden, dasz die umgeordnete Folge dieselben Verteilungsfunktionen besitzt wie eine beliebig vorgegebene Folge, die aus untereinander verschiedenen Zahlen besteht. Dasz alle Verteilungsfunktionen einer Folge monoton-nichtabnehmend, ;;;: 0 und :;;; 1 sind. ist klar. leh suehe nun zunäehst eine notwendigeund hinreichende Bedingung. damit eine vorgegebene Funktionenmenge die Menge der Verteilungsfunktionen ist für eine geeignet gewählte Folge. die aus untereinander versehiedenen Zahlen besteht. rm Satz 5: Besteht aus rnonoton-nichtabnehmenden Funktionen ;;;: 0 und :;;; 1, so ist ill1 dann und nur dann die M enge der Verteilungsfunktionen einer geeignet gewählten aus untereinander verschiedenen Zahlen bestehenden Folge, wenn es eine Folge gJ) (r). gJ2 (2) (y) • .•. stetiger rnonoton-nichtabnehmender Funktionen ~ 0 und :;;; 1 gibt rnit den folgenden Eigenschaften: 1. lede Grenzfunktion der in (2) genannten Folge gehört zu d.h. enthält die F olge (2) eine T eilfolge rm; 'Ijl) (y). 1jJ2 rm. (y) • .•• mit Urn 1jJn (y) = 'Ijl (y). so gehört 1jJ (y) zu 2. lede zu gehörige Funktion ist eine Grenzfunktion der in (2) genannten Folge. rm 815 3. Schlieszlich ist lirn (CPn + 1 (1') - cpn (1')) n-+Oo =0 (3) . Dasz diese Bedingung notwendig ist, ist leicht zu zeigen. Denn ist WC die Menge der Verteilungsfunktionen einer aus untereinander verschiedenen Zahlen bestehenden Folge W, so ist W y(x) für jedes feste ganze x x;:;: 1 eine monoton-nichtabnehmende abteilungsweise konstante Funktion von 1" deren Sprünge gleich ~ sind, x abnehmende Funktion CP" (I') mit o-=-= cp" (1') -== 1 und sodasz es eine stetige monoton-nicht- 1W: (x) - cp" (1') 1-= ~ (4) gibt. Dasz die so definierte Folge cpd 1'). CP2 (1'), ... die drei in Satz 5 genannten Eigenschaften besitzt, ist klar; denn jede Grenzfunktion der Folge cp! (1'), CP2 (I'). ... ist wegen (4) auch Grenzfunktion der Folge W{ (l), W~ (2), ... , gehört somit zu WC, und umgekehrt; auszerdem ist für jedes ganze x ~ 1 __ 1_ -=-= W x+ 1 - (_1 __ ~):::::: W y (x+ 1) _ W y (x) x+ 1 x x+ 1 x (x) y -=-= W y (x) + 1 _ W y(x) -= _1_ x+l x = x+ l' also wegen (4) 1cp,,+dr)-cpx(r) 1-=-= 1 W:~-r 1) - W:(x) I + x~ 1 + ~ -+ 0 für x~ 00. Dasz die in Satz 5 erwähnte Bedingung auch hinreichend ist, werde ich später beweisen. Aus Satz 5 geht zunächst hervor, dasz jeder stetigen monoton-nichtabnehmenden Funktion 'ljJ (I') mit 0;;::; 'ljJ (I') ;;::; 1 eine Folge mit der Verteilungsfunktion 'ljJ (I') entspricht; denn für (2) kann ich dann die Folge 'ljJ(r). 'ljJ (1'), ... wählen. Nach Satz 4 kann dann jede im Intervall ( - 00, 00 ) überall dichte Folge durch Umordnung in eine Folge mit der Verteilungsfunktion 'ljJ( 1') übergeführt werden. Unter der zusätzlichen Bedingung Urn )' -+ - 'ljJ 00 (1') =0 Urn und :' -+ 00 'ljJ werde ich noch etwas mehr beweisen, nämlich: (1') =1 (5) 816 Satz 6: Ist 1p( y) irgend eine stetige monoton~nichtabnehmende Funk~ tion mit (5). so kann jede im Intervall ( - 00. 00) überall dichte F alge durch U mordnung in eine F alge W mit der Verteilungsfunktion 1p (y ) übergefühct werden, und zwar sa. dasz für jedes y und jede natürliche 2ahl x I W;,(x)-X1p(Y) 1< 2 + 2 log x (6) ist. Es ist mir nicht gelungen dies es Resultat wesentlich zu verschärfen. leh weisz sogar nicht, ob es eine Folge W und eine stetige Funktion 1p (y ) gibt. der art dasz W,,(x) - X1p(y) log x für x ~ 00 gleichmässig in y nach Null strebt. Ich weisz auch nicht, ob es eine Folge W. eine stetige Funktion 1p(y) und eine Konstante K gibt. die für jedes y und jede natürliche Zahl x der Ungleichung I W;.(x) - X1p(y) I < K genügen. Jeder monoton~nichtabnehmenden Funktion 1p( y) ~ 0 und ~ 1 entspricht eine Folge stetiger monoton~nichtabnehmender Funktionen ~ 0 und ~ 1 mit der einzigen Grenzfunktion 'Ij! (y). Aus den Sätzen 5 und 4 geht somit hervor: Satz 7: Ist 1p(y) irgend eine monoton~nichtabnehmende Funktion ~ 0 und ~ 1. sa kann jede im Intervall (- 00. 00) überall dichte F alge sa um~ geard net werden. dasz 1p (y) die Verteilungsfunktion der umgeordneten Folge darstellt. Etwas allgemeiner ist Satz 8: Sind 1pl (y) • ...• 1jJ k (y) monoton~nichtabnehmende Funktionen 0 und ~ 1. sa kann jede im Intervall ( - 00. 00) überall dichte F alge sa umgeordnet werden, dasz die Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten Folge aus den linearen Komposita À,l1pl (y) + ... À,k 1pk (y) besteht, wobei die k Koeffizienten ~ 0 sind und die Summe Eins besitzen. Denn · da diese linearen Komposita monoton~nichtabnehmend. ~ 0 und :s; 1 sind. brauche ich nur eine Folge CPl (y). rP2 (y). ;.. mit den drei in Satz 5 genannten Eigenschaften anzugeben. Das habe ich schon für den Spezialfall k = 1 vor Satz 7 getan. leh darf also k;;;;: 2 vorau~setzen und eine Folge Xl (y). X2 (y). ... annehmen. die die drei in Satz 5 erwähnten Eigenschaften besitzt. wenn darin ill1 ersetzt wird durch die Menge ill1* der linearen Komposita der Gestalt f-ll 1pl (y) + ... + f-lk - t 1pk-t( y); hierbei sind die k - 1 Koeffizienten ~ 0 und besitzen die Summe Eins. leh wähie nun irgend eine Folge Wl (y ) • W2 (y ) : ... stetiger monotoiHiicht~ ~ + 817 abnehmender Funktionen ;;;:; 0 und V'k (y). Ich setze für ganzes n;;;:; 1 _ h Xn (y) rpn'+h (Y) - + (n - h) ~ 1 mit der einzigen Grenzfunktion W n (r) für h =0.1. ...• n n _ (2 n -h)Xn (y)+(h-n)wn(y) n für h=n + 1. .. .. 2n ( (7) und ich werde zeigen. dasz die so definierte Folge rp1 (y ) • rp2 (y). ... die drei verlangten Eigenschaften besitzt. 1. Jede Grenzfunktion der Folge rpd y ) • rp2 (y ). ... hat die Gestalt eX (y) + (1 - e) V'k (y). woO ~ e ~ 1 ist und X(y ) 'eine Funktion von 1))1* bezeichnet. Folglich ist jede Grenzfunktion der Folge rpd y). rp2 (y) • ... ein lineares Kompositum der Funktionen '11'1 (y) • .... V'd y) mit Koeffizienten ;;;:; O. deren Summe gleich Eins ist. 2. redes lineare Kompositium der Funktionen '11'1 (y) • .... V'd y). dessen Koeffizienten ~ 0 sind und die Summe Eins besitzen. kann auf die Gestalt eX (y) + (1 -:-- e) V'k (y) gebracht werden. wo 0 ~ e ~ 1 ist und X(y) eine Funktion von 9)(* bezeichnet. Ich kann also das ganze n unbe~ schränkt so wachsen lassen. dasz xJy) nach x(y) und zugleich wJy) nach V'k (y) strebt. Wird jedem dieset n ein ganzes h mit o-= h -== n. zugeordnet. so strebt rpn' + h (y) wegen (7) nach eX (y) + (1 - e) V'k (y). sodasz das betrachtete lineare Kompositum eine Grenzfunktion der Folge rp1 (y), rp2(y) ... · ist. 3. Fürh=0.1. .... 2n-list und auszerdem ist I IFn'+2n+ 1 (y) -rpn'+2n (r) I =I W n + 1 (y) - W n (y) I ~ o. woraus (3) hervorgeht. Hiermit ist Satz 8 vollständig bewiesen. In dies en Mitteilungen werde ich aus Satz 5 noch einen andren Satz ableiten. nämlich Satz 9: Sind rp (y) und cp (y) monoton~nichtabnehmende Funktionen mit 0 ~ rp (y) ~ cp ( y) ~ 1. sa kann jede im Intervall überall dichte F alge durch Umordnung übergeführt werden in eine Folge W van der Art. dasz die Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten Folge aus den monoton~nichtabnehmenden Funktionen V' (y) mit rp( y) ~ V'(Y) ~ cp (y) besteht. 818 In diesem Satz sind lP (y) und q> (y) die Schranken der Verteilungs~ funktionen. d.h. es ist lirn inf W y (x) = lP (y) x y lirn sup W (x) = 4> (y). und ,,~oo ,,~oo X Zugleich sind hier lP (y) und 4> (y) selbst Verteilungsfunktionen. Dasz übrigens nicht bei jeder Folge die Schranken der Verteilungsfunktionen selbst Verteilungsfunktionen sind. geht aus folgendem Beispiel hervor. wob ei U die Folge t i l t y. 4' ll. 4' 1 ll. I 3" 1 t 1 4' 4' 4' 4' Tt 2 ' · · · ' " 1 4' 1. 4' 1 3 4 ' · · · ' 4-·· •. ~~~~ 21 Glieder 3 ! Glieder 'i ! Glieder 5 ! Glieder ist. Wie man leicht einsieht. hat bei dies er Folge U die untere Schranke der Verteilungsfunktionen im Intervall y ~ ~ den Wert O. im Intervall ~ < y ~ i den W ert ~ und im Intervall y> i den Wert 1; die obere Schranke der Verteilungsfunktionen hat im Intervall y ~ à den Wert O. im Intervall i < y ~ ~ den W ert ~ und im Intervall y > ~ den Wert 1. Für gerades x und für 0 ~ y < à ist + U1-y{x)=tx. Uy(x) sodasz jede Verteilungsfunktion Eigenschaft 1p (y) der Folge U für 0;;;;' y < 1p (y ) + 1p (1 - y) i die =t besitzt; die Schranken der Verteilungsfunktionen besitzen diese Eigenschaft nicht. sind also keine Verteilungsfunktionen der Folge U. Es folgen noch einige notwendige Bedingungen. damit eine vorgegebene Menge die Menge der Verteilungsfunktionen einer geeignet gewählten Folge ist. Nicht in Widerspruch zu der Tatsache. dasz die Schranken der Verteilungsfunktionen selbst keine Verteilungsfunktionen zu sein brauchen. ist Satz 10: Bei jeder Folge U bilden die Verteilungsfunktionen eine abgeschlossene Menge, d.h. sind 1pl (y ).1p2 (y). ... Verteilungsfunktionen von U, und besteht für jedes y der Grenzwert lirn 1pn (y). n~OO so ist diesel' Grenzwert auch eine Verteilungsfunktion von U . Satz 11: Ist U irgend eine Folge und ist 1J irgend eine Zahl, so bilden die Zahlen l;, denen eine Verteilungsfunktion 1p (y) von U rnit 1p ( 1J) = '" zugeordnet werden kann, ein abgeschlossenes Interval!. 819 Allgemeiner: Sind 'YJ1 ••••• 'YJk beliebige Zahlen, sobilden die Punkte 'k). denen eine Verteilungsfunktion 'ijl (y) von U mit ( , l' ...• zugeordnet werden kann, eine k-dimensionale Menge, die ent weder aus nur einem Punkt besteht oder ein Kontinuum ist, d.h. es ist unmöglich, diese Menge in zwei nicht-Ieere abgeschlossene Punktmengen zu zerlegen. die keine gemeinsame Punkte besitzen. Die in den früheren Sätzen auftretende Voraussetzung. dasz die betrachtete Folge U überall dicht liegt. ist dort nicht überflüszig. Denn enthält ein Intervall a:S; u < f3 keine oder nur endlich viele Punkte einer Folge U. so sind in diesem Intervall für jede Folge. die durch Umordnung aus U entstehen kann. alle Verteilungsfunktionen. also auch die zwei Schranken der Verteilungsfunktionen. konstant. Zur Behandlung der Folgen. die im Intervall ( - 00. 00) nicht überall dicht liegen. führe ich die folgende Definition ein: Definition 1: Bei beliebig gegebener Folge U sage ich. dasz eine Funktion 'ijl (y) die Eigenschaft @ (U) besitzt. wenn sie für jedes y definiert. monoton-nichtabnehmend. ~ 0 und :s; 1 ist. und auszerdem die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Sind a und f3 zwei beliebige Zahlen mit 'ijl (a) < 'ijl (f3). so enthält U unendlich viele Zahlen u mit a:S; u < f3. 2. Ist a eine beliebige Zahl mit 'IJl(a) < 1. so enthält U unendlich viele Zahlen u ~ a. 3. Ist f3 eine beliebige Zahl mit 'IJl(f3) > O. so enthält U unendlich viele Zahlen u < f3. Aus dieser Definition folgt u.a.: Ist U irgend eine Folge. so besitzen für jede Folge. die durch Umordnung aus U entstehen kann und sogar für jede Teilfolge von U alle Verteilungsfunktionen und auch die zwei Schranken dies er Verteilungsfunktionen die Eigenschaft @ ( U). Ich nenne T eine Teilfolge von U. wenn jede Zahl mindestens ebenso oft in U wie in T vorkommt. Die Sätze 8 und 9. sinngemäsz verallgemeinert. liefern die folgenden Sätze 12 und 13; dasz die zwei ersten Sätze nur Spezialfälle der zwei Ietzten sind. folgt unmittelbar aus der Tatsache. dasz bei einer im Intervall ( - 00. 00) überall dicht liegende Folge U jede monoton-nichtabnehmende Funktion ~ 0 und :s; 1 die Eigenschaft @ (U) besitzt. Satz 12: Ist U eine Folge, und besitzen die Funktionen 'IJld y). .... 'IJlk(y) die Eigenschaft @ (U), so kann Uso omgeordnet werden, dasz die Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten F olge aus den linea ren Komposita ,1.1'1Jl1(y) + ... +Àk 'IJlk(y) besteht, wobei die k Koeffizienten ~O sind und die Summe Eins besitzen. Satz 13: Ist U eine Folge, und besitzen cp (y) und <P (y) die Eigenschaft 820 @( U) mit cp (I') :s; 4> (I' ), dann kann U so umgeordnet werden, dasz die Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten Folge aus den Funk~ tionen 'tjJ(y) mit Eigenschaft @(U) und cp(y) ;;;;;'tjJ(y) ;;;;;4>(1') besteht. Die obi gen Sätze können mit Erfolg auf die Theorie der Verteilungs~ funktionen modulo Eins angewendet werden 1). Bei einer Folge bezeichne ich für jedes im abgeschlossenen Intervall (0, 1) liegende I' mit U·y (x) die Anzahl der Zahlen ~<x mit u.[u.] <I'; hierin ist [u] die > , gröszte ganze Zahl ;;;;; u. Folglich ist U~ (x) =0 und U~ (x) = 1. Ist es möglich, die natürliche Zahl x unbeschränkt so wachsen zu lassen, dasz U; (x) für jedes im abgeschlossenen Intervall (0, 1) liegende I' nach einem x Grenzwert 'tjJ (I') strebt, so nenne ich den im abgeschlossenen Intervall (0, 1) definierten Grenzwert 'tjJ (I') eine Verteilungsfunktionen mod. 1 der Folge U. Die Verteilungsfunktionen modo 1 einer Folge ändern sich nicht, wenn die Zahlen der Folge urn ganze Zahlen vermehrt oder vermindert werden. Bei der Untersuchung der Verteilungsfunktionen modo 1 kann man also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dasz die Zahlen der betrachteten Folge alle ;;;: 0 und < 1 sind. Die Begriffe der Verteilungsfunktionen mod. 1 einerseits und der Verteilungsfunktionen andrerseits sind dann im abgeschlossenen Intervall (0, 1) identisch, sodasz die Theorie der Verteilungsfunktionen insbesondere die Theorie der Verteilungsfunktionen modo 1 enthält. Satz 1 liefert so Satz 14: Jede Folge U besitzt wenigstens eine Verteilungsfunktion mod.1. Besitzt eine Folge nur eine Verteilungsfunktion mod. I, so heiszt diese die Verteilungsfunktion mod. 1 der Folge. Aus Satz 3 geht hervor: Satz 15: Besitzt eine Folge U modulo Eins die Verteilungsfunktion 'tjJ(y), so ist für jedes im abgeschlossenen Intervall (0,1) liegende I' . U/(x) lzm - - = x x~oo 'tjJ (1'). Satz 7 verwandelt sich in Satz 16: Ist 'tjJ(y) irgend eine monoton~nichtabnehmende Funktion ;;;:0 und :s; 1. so kann jede im Intervall (0,1) überall dichte Folge so umge~ 1) Verg!. J. F. KOKSMA, Diophantische Approximationen, Kapitel VIII, § 1 (Ergebnisse der Mathematik IV, 4; J. SPRINGER, Berlin) . Bei KOKSMA treten nicht die Funktionen auf, die von mir Verteilungsfunktionen modo 1 genannt werden, sondern nur die zwei Schranken dieser Verteilungsfunktionen; diese zwei Schranken nennt er kurzweg< Verteilungsfunktionen modo Eins.