12tab04-1 (70,0 KiB)

1. geringfügig modifizierte Schulaufgabe der 12TAB am 6. Dezember 2004
Lösungen auf der 2. Seite
Hilfsmittel: zugelassener Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung
Arbeitszeit: 60 Minuten
1 x2
1.0 Wir untersuchen die Funktionenschar f a ( x)  a 
, a  IR *.
2
ax
1.1 Bestimmen Sie Anzahl, Art und Lage der Definitionslücken in Abhängigkeit von a.
1.2 Geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von fa in Abhängigkeit von a
an.
1.3 Geben Sie die Gleichung der horizontalen Asymptote von fa in Abhängigkeit von a an.
1.4 Bestimmen Sie den positiven Parameter a so, dass der Graph von fa einen Wendepunkt
bei x = 1 hat.
Von nun an sei a = 3:
1 x2
1.5 Berechnen Sie die Lage der Nullstellen von f 3 ( x)  3 
.
3  x2
1.6 Berechnen Sie die Lage und Art des Extremums von f3.
1.7 Berechnen Sie die Lage der Wendepunkte von f3.
1.8 Ermitteln Sie durch Rechnung die Gleichungen der Wendetangenten von f3.
1.9 Zeichnen Sie den Graphen von f3 unter Verwendung der Resultate
von 1.3 und 1.5 – 1.8 im Intervall [-8;8].

2
2.0 Wir untersuchen die Funktion s ( x)  4  sin  x   im Intervall I = [-;2].
3
3
2.1 Ermitteln Sie durch Rechnung die Nullstellen von s(x) im Intervall I.
2.2 Ermitteln Sie durch Rechnung Art und Lage der lokalen Extrema von s(x)
im Intervall I.
2.3 Geben Sie die Wendepunkte von s(x) im Intervall I an.
2.4 Ermitteln Sie durch Rechnung die Steigungen der Wendetangenten im Intervall I.
2.5 Zeichnen Sie den Graphen von s(x) im Intervall I unter Verwendung der Resultate von
2.1 – 2.4.
3.0 Wir untersuchen die Gleichung 100 x 3  240 x 2  51x  289  0 .
3.1 Ermitteln Sie eine Lösung mit dem Newton-Verfahren (Startzahl x0 = 2).
3.2 Ermitteln Sie durch Rechnung die vollständige Lösungsmenge der Gleichung.
3.3 Geben Sie die vollständige Lösungsmenge der Gleichung
100 cos 3 x  240 cos 2 x  51 cos x  289  0 an.
4.0 Wir betrachten die Dreiecke ABC mit A = O; B(1/k/8) und C(k/k/7).
4.1 Ermitteln Sie durch Rechnung alle Werte für k, sodass das Dreieck gleichschenkelig
ist.
Von nun an sei k = 4:
4.2 Berechnen Sie für das Dreieck mit k = 4 alle Seiten und Winkel.
12TAB, 1. Schulaufgabe aus der Mathematik
am 6. Dezember 2004 gekürzt mit Anregungen und Lösungen
1 x2
1.0 Wir untersuchen die Funktionenschar f a ( x)  a 
, a aus den reellen Zahlen.
a  x2
1.1 Bestimmen Sie Anzahl, Art und Lage der Definitionslücken in Abhängigkeit von a.
für a < 0; a  -1 Pole bei   a ; für a = -1 st. hebbar bei x =  1
1.2 Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von fa in Abhängigkeit von a an.
für a < 0; a  -1 vert. Asympt. bei   a ; für a a  0; -1 hor. Asympt. bei y = -a
1.3 Bestimmen Sie den positiven Parameter a so, dass der Graph von fa einen Wendepunkt
bei x = 1 hat. fa´´(1) = 0
 2ax  2 x
 2a 2  2a  6ax 2  6 x 2



Lösung: f ( x)  a
; f ( x)  a
 a3
2
3
a  x2
a  x2
Von nun an sei a = 3:
1.4 – 1.8 Diskutieren Sie die Funktion und zeichnen Sie den Graphen im Intervall [-8;8]:
3
3
3
Lösung: W1,2 = N1,2(1/0); m =  ; tW: y =  x  ; H (0/1)
2
2
2





2
2.0 Diskutieren Sie die Funktion s ( x)  4  sin  x   im Intervall I = [-;2] und zeichnen Sie
3
3
ihren Graphen.
8
8
  
    7

/ 4 ;
Lösung: W1  N 1   / 0 ; m  ; W2  N 2  / 0; m   ; H 1  / 4 ; T1 
3
3
 2 
4   4

Randextrema: H2(2/-3,46); T2(-/-3,46)
3.1 und 3.2 Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Gleichung 100 x 3  240 x 2  51x  289  0 mit
dem Newtonverfahren (Startzahl a0 = 2) und dem Satz von Vietà.{-1,7;1}
3.3 Geben Sie die vollständige Lösungsmenge der Gleichung
100 cos 3 x  240 cos 2 x  51 cos x  289  0 durch Substitution an. Lösung:
x x  2n ; n  Z
4.0 Wir betrachten die Dreiecke ABC mit A = O; B(1/k/8) und C(k/k/7).
4.1 Ermitteln Sie durch Rechnung alle Werte für k, sodass das Dreieck gleichschenkelig
ist. a = c: –31,5; b = c: 4; a = b: keine Lösung.
Von nun an sei k = 4:
4.2 Berechnen Sie für das Dreieck mit k = 4 alle Seiten und Winkel.
Lösungen: 10 ;9;9 ; 20,24°; 79,88°; 79,88°