5 Diskrete Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Bei vielen Zufallsvorgängen lassen sich verschiedenen Ausgängen und Ergebnisse durch
Zahlen repräsentieren. Ein Beispiel dafür sind die verschiedenen Augenzahlen beim Wurf
eines Würfels. Bei Zufallsvorgängen, deren Ergebnisse keine Zahlen sind, wie z.B. das
Werfen einer Münze mit den beiden Ausgängen „Wappen“ oder „Zahl“, ist es auch
zweckmäßig diesen Ergebnissen Zahlen zu zuordnen. Eine Zufallsvariable erhält man,
indem man den Ergebnissen von Zufallsvorgängen Zahlen zuordnet. Wie in der deskriptiven
Statistik unterscheidet man zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen.
Diskrete Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis aus der
Ergebnismenge
eines Zufallsvorgangs genau eine Zahl zuordnet.
Die Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele reelle
Werte annehmen kann.
X : Zufallsvariable (Funktion) mit großen Buchstaben.
x j : Werte, die die Zufallsvariable annimmt, mit kleinen Buchstaben.
X = x j ; mit j = 1 ; 2 ; . . .
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels“
Geben Sie alle Werte an, die diese Zufallsvariable annehmen kann.
X=xj=1;2; 3;4 ;5;6
mit
j=1;2;3 ;4 ;5;6
!
Eine homogene Münze wird 3-mal geworfen. Wir definieren folgende Zufallsvariable
X : „Anzahl von Wappen bei 3-maligem Wurf einer homogenen Münze“
Wenn man z.B. als Ergebnis ( W Z W ),
d.h. 2-mal „Wappen“ und 1-mal „Zahl“ erhält, so ist: X = 2
Geben Sie alle möglichen Werte an, die diese Zufallsvariable annehmen kann.
1
3. Wurf
2. Wurf
Elementarereignis
WWW
1. Wurf
WWZ
"
# $
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels“
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten, für das Eintreten der jeweiligen Augenzahlen an.
P ( X = x1 ) = P ( X = 1 ) = 1/6 ;
P ( X = x3 ) = P ( X = 3 ) = 1/6 ;
P ( X = x5 ) = P ( X = 5 ) = 1/6 ;
P ( X = x2 ) = P ( X = 2 ) = 1/6 ;
P ( X = x4 ) = P ( X = 4 ) = 1/6 ;
P ( X = x6 ) = P ( X = 6 ) = 1/6 .
# $
Geben Sie für das obige Beispiel die Wahrscheinlichkeit an, eine Augenzahl größer als 2 zu
erhalten.
1. Lösungsmethode
P (X > 2) = P ( X = 3 ) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6)
=
1/6
+
1/6
+
1/6
+
1/6
= 4/6
2. Lösungsmethode (, die in der Statistik üblichen und allgemeinen Methode)
P (X > 2) = 1 – P (X
2)
= 1 – [ P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) ] = 1 – [ 1/6 + 1/6 ] = 4/6
2
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten x 1 , x 2 , . . . .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable X kann wie folgt durch die
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x ) beschrieben werden.
f(xj) =pj = P(X=xj)
Dabei ist p j die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert x j annimmt.
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen
Zahl x ist.
(
F(x) = P(X ≤ x) =
f x
j
)
xj ≤ x
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt folgende Eigenschaften
f (x j)
(
f x
j
)
0
= 1
j
%
Die Wahrscheinlichkeiten f (x j ) = p j haben eine Analogie zu den relativen Häufigkeiten
fj
Die Verteilungsfunktion F (x ) hat eine Analogie zu den kumulierten relativen Häufigkeiten
Fj
Die Ereignisse X = x j bilden eine disjunkte Zerlegung von und wegen P ( ) = 1 gilt:
p
j
= P (Ω ) = 1
j
# $
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl , beim Wurf eines homogenen Würfels“
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X graphisch dar.
X =xj
P ( X = x j ) = f (x j )
F(x )
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
3
F (Fx(kx )
)
1
f(x )
1/6
0,15
0,10
2/6
0,05
0
1/6
0
1
2
3
4
Augenzahl
5
6
x
–1
0
1
2
3 4 5
Augenzahl
6
xk
!
#&$
Folgende Zufallsvariable ist gegeben: (s. Aufgabe 1)
X : „Anzahl von Wappen bei 3-maligem Wurf einer homogenen Münze“
Geben Sie alle Werte an, die die Wahrscheinlichkeitsfunktion sowie die
Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariable annehmen kann. Tragen Sie diese
in die folgende Tabelle ein.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der klassischen
Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace. Ist diese Definition hier anwendbar?
2. Wurf
1. Wurf
3. Wurf
Elementarereignis
WWW
WWZ
X =xj
P ( X = x j ) = f (x j )
F(x )
'
Eine inhomogene Münze wird 3-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Wappen“
erscheint, ist ¼ und somit kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ erscheint. Können
wir die Wahrscheinlichkeiten wie in der vorigen Aufgabe mit Hilfe der klassischen Definition
der Wahrscheinlichkeit nach Laplace lösen? Begründen Sie Ihre Antwort!
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
4
!
#&&$
Geben Sie für die vorige Aufgabe (Aufg.2-I) die Wahrscheinlichkeit dafür an,
$ höchstens 2-mal Wappen (d.h., 2-mal Wappen oder weniger) zu erhalten.
$ mindesten 2-mal Wappen (d.h., 2-mal Wappen oder mehr) zu erhalten.
%
Ähnlich den Maßzahlen in der beschreibenden Statistik ordnet man der
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X Kennwerte oder Maßzahlen zu. Zu
ihnen zählen der Mittelwert (Erwartungswert) und die Varianz bzw. die Standardabweichung.
" )
)
*+
)
$"
Führt man ein Zufallsvorgang sehr oft durch (N
∞) , so nähern sich die relativen
Häufigkeiten f j für die jeweiligen x j -Werten den jeweiligen Werten der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x j ) = p j an. Somit kann man analog zum Mittelwert x
(arithmetischen Mittel) einer empirischen Verteilung eine Maßzahl für das Zentrum einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung bilden, die als Erwartungswert E [ X ] = µ der Verteilung
bezeichnet wird.
,#&
In der folgenden Tabelle ist die Wahrscheinlichverteilung der diskreten Zufallsvariable:
X: Erreichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels
dargestellt.
Weiterhin sind in der Tabelle die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten eingetragen, die bei
N = 1200 wiederholten realen Versuchsdurchführungen des Wurfs eines homogenen Würfels
auftraten.
Theorie des Zufallsexperiment
j
1
2
3
4
5
6
Zufallsvariable
X =xj
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeitsfkt.
f ( x j ) = pj
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
N = 1200 Versuchsdurchführungen des
Zufallsexperiment
Ausprägung Abs. Häufig. Rel. Häufig.
aj
hj
f j= h j/ N
1
190
0,158
2
180
0,15
3
205
0,171
4
210
0,175
5
195
0,162
6
220
0,183
5
$ Bestimmen Sie für das Zufallsexperiment den Mittelwert x mit Hilfe der relativen
Häufigkeiten.
$ Bestimmen Sie für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X den Mittelwert
µ (Erwartungswert)
$ Mittelwert der Stichprobe (arithmetisches Mittel): (s. Kapitel 1 Deskriptive Statistik)
M
x
aj ⋅
=
j
M =6
M
hj
a j ⋅f j
=
N
j
a j ⋅f j
==
j = 1
M =6
= ( 1 ⋅ 0 , 158 + 2 ⋅ 0 , 15 + 3 ⋅ 0 , 171 + 4 ⋅ 0 , 175 + 5 ⋅ 0 , 162 + 6 ⋅ 0 , 183 ) = 3 , 58
$ Erwartungswert (Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung) :
pj
x
µ =
j
(
⋅ f x
j
M =6
)
j
= 1⋅
x
==
M=6
1
6
+ 2⋅
1
6
+ 3⋅
1
6
+ 4⋅
j = 1
1
(
⋅f x
j
1
+ 5⋅
6
j
+ 6⋅
6
)
1
6
= 3,5
Erwartungswert µ = E [ X ] einer diskreten Zufallsvariable
Der Erwartungswert E [ X ] einer diskreten Zufallsvariable X ist:
pj
µ
= E[X
]
x
=
j
(
⋅ f x
j
)
j
Dabei ist p j = f ( x j ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariable.
6
- ./
.
.
)
"
Ist die Anzahl der Wiederholungen eines Zufallsexperiments (die Anzahl der Elemente einer
∞) so kann die Varianz mit Hilfe von absoluten bzw. relativen
Stichprobe) sehr groß (N
Häufigkeiten wie folgt berechnet werden.
M
(
hj ⋅ a
s
2
j
M
)2
− x
j
=
M
f
=
j
(
⋅ a
j
− x
j
− x
)2
j
===
N − 1
(
hj ⋅ a
Sehr große N
M
=
N
j
h
j
N
(
⋅ a
j
− x
)2
)2
j
Dabei gibt M die Anzahl der verschiedenen Merkmalausprägungen.
Führt man ein Zufallsvorgang sehr oft durch (N
∞) , so nähern sich die relativen
Häufigkeiten f j für die jeweiligen x j -Werten den jeweiligen Werten der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x j ) = p j an. Somit kann man analog zur
Standardabweichung s einer empirischen Verteilung eine Maßzahl für die Streuung einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung bilden, die als Standardabweichung σ der Verteilung
bezeichnet wird.
Varianz
² = Var[ X ] und Standardabweichung
Die Varianz
einer diskreten Zufallsvariable
² einer diskreten Zufallsvariable X ist:
pj
σ
2
= Var [ X
]
(
f x
=
j
)⋅( xj
− µ
)2
j
Dabei sind p j = f ( x j ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion und µ der Erwartungswert
der diskreten Zufallsvariable.
%
Die Standardabweichung ist: σ =
σ
2
Die Varianz für diskrete Zufallsvariablen kann auch mit der bequemeren Formel
berechnet werden.
σ
2
(
f x
=
j
) ⋅ x 2j
− µ
2
,
j
7
,#&&
In der folgenden Tabelle ist die Wahrscheinlichverteilung der diskreten Zufallsvariable:
X: „Erreichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels.“
dargestellt.
Weiterhin sind in der Tabelle die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten eingetragen, die bei
N = 1200 wiederholten realen Versuchsdurchführungen des Wurfs eines homogenen Würfels
auftraten.
Theorie des Zufallsexperiment
Zufallsvariable
X =xj
1
2
3
4
5
6
j
1
2
3
4
5
6
N = 1200 Versuchsdurchführungen des
Zufallsexperiment
Ausprägung Abs. Häufig. Rel. Häufig.
aj
hj
f j= h j/ N
1
190
0,158
2
180
0,15
3
205
0,171
4
210
0,175
5
195
0,162
6
220
0,183
Wahrscheinlichkeitsfkt.
f ( x j) = pj
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
1/6 = 0,166
$ Bestimmen Sie für das Zufallsexperiment die Varianz s mit Hilfe der relativen
Häufigkeiten.
$ Bestimmen Sie für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X die Varianz σ
$ Varianz der Stichprobe (Empirische Varianz): (s. Kapitel 1 Deskriptive Statistik)
Mit Hilfe der relativen Häufigkeiten: (Für die Berechnung des Mittelwerts s. voriges Bsp.)
s
2
=
=
; N = 1200
M
N
N − 1
1200
f
j
(
⋅ a
)
− x
j
2
j
====
1200 − 1
M = 6 ; x = 3 , 58
[ 0 , 158 ⋅ ( 1 − 3 , 58 )
1199
1200
= 2,92
2
+ 0 , 15 ⋅ ( 2 − 3 , 58
M=6
f
j = 1
)2 +
j
(
⋅ a
j
− x
)2
+ 0 , 183 ⋅ ( 6 − 3 , 58
)2
s = 1,708
$ Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung (Theoretische Varianz) :
(Für die Berechnung des Erwartungswertes s. voriges Bsp.)
pj
σ
2
(
f x
=
µ = 3,5
j
)⋅( x
j
− µ
j
=
)
2
6
⋅ ( 1− 3 , 5
= 2,923
)2 +
1
6
⋅ ( 2 − 3 ,5
(
f x
====
j = 1
M = 6
1
M=6
)2 +
+
j
1
6
)⋅ ( x
j
− 3 ,5
⋅ ( 6 − 3,5
)2
)2
= 1,709
8
]
, /
Hier werden wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt, die als Modell
für einige Zufallsexperimente dienen. Diese sind die Binomial-Verteilung, die
hypergeometrische Verteilung, die Poisson-Verteilung sowie die geometrische
Verteilung
,
%
#
, #&
#"0
%
Bernoulli-Experimente sind Zufallsexperimente mit nur zwei verschiedenen möglichen
Ausgängen (Treffer und Niete). Diese Experimente haben weitere Eigenschaften wie folgt:
Bei jeder n-fachen Wiederholung solcher Experimente – genannt Bernouli-Kette – , gibt
es auch nur zwei verschiedenen Ausgängen
Bei solchen Experimenten treten das Ereignis A (Treffer) mit der Wahrscheinlichkeit p
und das komplementäre Ereignis A (Niete) mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 – p ein.
Bei einer n-fachen Ausführung des Mehrstufen-Experiments tritt das Ereignis A in jeder
Stufe mit der gleichen konstanten Wahrscheinlichkeit p = P(A) = const. ein.
Die n Stufen des Experiments sind also von einander unabhängig.
,
1. Stufe
p
p
A
p
q
A
q
A
A
p
A
q
A
q
p
A
A
A
A
q
p
q
p
q
A
A
A
A
%
In jeder Stufe sollte man für die Ereignisse verschiedene Buchstaben
verwenden, da aber die Ereignisse in jeder Stufe unabhängig voneinander sind, werden hier
in jeder Stufe die gleichen Buchstaben (hier A für Treffer und A für Niete) verwendet.
1
Bei jeder Wiederholung des Zufallsexperiments „Wurf einer homogenen Münze“ sind nur die
beiden sich gegenseitig ausschließende Ereignisse „A : „Wappen“ bzw. „ A : „Zahl“
möglich. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der jeweiligen Ereignisse an.
p = P(A) = ½
und
q = P( A ) = ½
9
!
,
Das Zufallsexperiment „Wurf einer homogenen Münze“ wird 3-mal wiederholt.
Die Zufallsvariable ist wie folgt definiert:
X : „Anzahl von Wappen bei 3-maligem Wurf einer homogenen Münze“
$ Handelt es sich beim diesem Zufallsexperiment um ein Bernoulli-Experiment?
$ Geben Sie die Werte an, die die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariable
annehmen kann, indem Sie diese mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaums ermitteln.
Tragen Sie diese in die folgende Tabelle ein.
$
$ A : “Wappen“ bzw. A : “Zahl“
p = P(A) = ½
bzw. q = P( A ) = ½
3. Wurf
2. Wurf
1. Wurf
p=½
q=½
½
A
½
A
A
A
½
½
A
A
½
½
½
½
½
A
A
½
½
½
A
A
A
A
A
A
X =xj
P ( X = x j ) = f (x j )
'
Eine inhomogene Münze wird 3-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Wappen“
erscheint, ist ¼ und somit kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ erscheint. Können
wir die Wahrscheinlichkeiten wie in der vorigen Aufgabe mit Hilfe eines
Wahrscheinlichkeitsbaums ermitteln?
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
Wenn wir das Zufallsexperiment mit einer Münze (homogen oder inhomogen) sehr oft
wiederholen, dann wird der Wahrscheinlichkeitsbaum sehr groß und unübersichtlich. Im
folgenden Abschnitt werden wir eine Lösungsmethode herleiten, mit deren Hilfe wir solche
Probleme leicht lösen können.
10
, #&&
%
#
Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei einem n-stufigem Bernoulli-Experiment ein
bestimmtes Ereignis k-mal eintritt kann mit Hilfe der Binomialverteilung ermittelt werden.
Im folgenden Beispiel wird die Binomialverteilung exemplarisch hergeleitet.
Das Zufallsexperiment „Wurf einer inhomogenen Münze“ wird 3-mal wiederholt.
X : „Anzahl von Wappen bei 3-maligem Wurf einer inhomogenen Münze“
Dabei sind die Ereignisse bei einem einzelnen Bernouli-Experiment dieses
Zufallsexperiments und ihre Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
A : “Wappen“ bzw. A : “Zahl“ mit p = P(A) = ¼
bzw. q = P( A ) = ¾
Lösen Sie folgende Teilaufgaben mit Hilfe der Formeln aus Kombinatorik.
&$
$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 3 Würfen kein Wappen (0 Wappen) zu erhalten?
E 0 : Kein Wappen bei 3 Würfen.
$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 3 Würfen 1 Wappen zu erhalten?
E 1 : Ein Wappen bei 3 Würfen.
$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 3 Würfen 2 Wappen zu erhalten?
E 2 : Zwei Wappen bei 3 Würfen.
.$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 3 Würfen 3 Wappen zu erhalten?
E 3 : Drei Wappen bei 3 Würfen.
&&$
¼
¾
Wie groß sind nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse:
E 0 ; E 1 ; E 2 bzw. E 3
Lösen Sie diese Teilaufgaben mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsbaums und der
vorigen Teilaufgabe.
A
A
¼
A
¾
A
¼
A
¾
A
¼
¾
¼
A
A
¾
¼
¾
¾
A
A
A
A
¼
A
A
11
X : Anzahl von Wappen
x1 = 1
x2 = 2
X =xk
x0 = 0
P (X=x k)
P ( X=x k ) = f (x k ) = p k :
Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Wappen
f(0) =
f(1) =
f(2) =
¾·¾·¾
=
n=3
f ( xk
)
k=0
27
64
+
3·(¼ ·¾·¾)
27
=
64
27
64
+
9
64
+
1
64
=
64
64
64
f(3) =
3·(¼ ·¼·¾)
27
=
x3 = 3
¼ ·¼ ·¼
9
=
64
1
64
= 1
&$
!
" #
$
$ Es gibt ein mögliches Ergebnis für das Ereignis:
E 0 : Kein Wappen bei 3 Würfen.
n
k
=
n!
3
( n − k )! k !
0
=
$ Es gibt 3 mögliche Ergebnisse für das Ereignis:
E 1 : Ein Wappen bei 3 Würfen.
3
=
1
$ Es gibt 3 mögliche Ergebnisse für das Ereignis:
E 2 : Zwei Wappen bei 3 Würfen.
3
2
=
.$ Es gibt ein mögliches Ergebnis für das Ereignis:
E 3 : Drei Wappen bei 3 Würfen.
3
=
3
3!
( 3 − 0 )! 0 !
3!
( 3 − 1 ) ! 1!
3!
( 3 − 2 )! 2!
3!
( 3 − 3 )! 3!
= 1
= 3
= 3
= 1
12
&&$
Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ereignisse lauten also:
Hier werden jeweils Abkürzungen verwendet, z.B. wird P( A
durch P(A A A) abgekürzt.
%
A
A)
Für das Ereignis E 0 ist kein „Wappen“ vorhanden. Also gilt
(
P E
0
3
) = P (A A A ) =
4
⋅
3
4
⋅
3
= 1⋅
4
3
3
4
Für das Ereignis E 1 sind 1-mal „Wappen“ und 2-mal „Zahl“ vorhanden. Also gilt
(
P E
) = P (A A A )
1
=
1
4
⋅
3
4
⋅
3
4
(
P AAA
+
3
+
4
⋅
1
4
⋅
3
)
+
4
(
P AAA
+
3
4
3
⋅
⋅
4
1
4
)
3⋅
=
1
4
3
⋅
2
4
Für das Ereignis E 2 sind 2-mal „Wappen“ und 1-mal „Zahl“ vorhanden. Also gilt
(
P E
) = P (A A A )
2
=
1
4
⋅
1
4
⋅
3
4
(
P AAA
+
+
1
4
⋅
3
4
⋅
1
)
+
4
(
P AAA
+
3
4
⋅
1
4
⋅
1
=
4
)
3⋅
1
4
2
⋅
3
4
Für das Ereignis E 3 sind 3-mal „Wappen“ und keine „Zahl“ vorhanden. Also gilt
(
P E
3
) = P(AAA) =
1
4
⋅
1
4
⋅
1
4
= 1⋅
1
3
4
13
2
&$
.
%
Ein Bernoulli-Experiment mit den beiden sich gegenseitig ausschließenden
Ereignissen A und A werde n-mal nacheinander ausgeführt. Seien weiter:
p = P(A) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A bei einer einzelnen Stufe
des Experiments eintritt.
X die diskrete Zufallsvariable, die bezeichnet wie oft A bei den n Versuchen
eintritt.
Dabei kann X die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen.
&&$
Die n Versuche beeinflussen sich gegenseitig nicht, daher sind die Ereignisse A und
A unabhängig von einander. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das A
k-mal und A
P(AA
(n – k)-mal eintreten, gegeben durch:
A AA
k - mal
A ) = p
k
q
n−k
= p
k
(1 − p ) n − k
( n − k ) - mal
Nun gibt es
n
k
=
n!
k ! ( n − k )!
Möglichkeiten zur Anordnung von k
identischen Ereignisse A und (n – k) identischen Ereignissen A aus insgesamt n
Ereignissen. (s. Kapitel „Kombinatorik“). Somit erhalten wir die sog.
Binomialverteilung
Binomialverteilung
Gegeben ist ein n-stufiges Bernoulli-Experiment. Seien dabei p = P(A) bzw. q = P( A )
mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses „A“ bzw. des
Gegen-Ereignisses „ A “ bei jeder einzelnen Stufe des Bernouli- Experiments. Und sei:
X die diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Versuche beizeichnet, in denen das
Ereignis „A“ eintritt, und die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen kann.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem n-stufigem Bernoulli-Experiment das
Ereignis „A“ k-mal eintritt (und das komplementäre Ereignis „ A “ (n – k)-mal eintritt),
gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
n!
⋅p
k ! ( n − k )!
k
⋅q
⋅p
i
n−k
=
n
k
⋅p
k
⋅q
n−k
Die Verteilungsfunktion der Binomial-Verteilung ist:
k
F (xk
)
= P ( X ≤ k ) = F (k ) =
i = 0
n
i
⋅q
n−i
14
/
.
%% .
%
P(X=k )
n=5
p = 0,5
x=k
P(X=k )
n=8
p = 0,5
x=k
P( X=k )
n = 10
p = 0,2
x=k
P( X=k )
n = 10
p = 0,7
x=k
Satz: Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Der Erwartungswert der Binomialverteilung für ein n-Stufen-Bernoulli-Experiment
lautet:
n
µ
xk ⋅f (xk
=
)
k⋅
=
k = 0
k
n
k
⋅p
k
⋅q
n−k
= n⋅ p
Die Varianz der Binomialverteilung für ein n-Stufen-Bernoulli-Experiment lautet:
σ
2
f (xk
=
k
)⋅ (xk
−µ
)
2
n
=
k = 0
n
k
⋅ p k ⋅q n − k ⋅ (k − µ )2 = n ⋅ p ⋅ q
15
!
&$
&&$
1#&
Können folgende Aufgaben mit Hilfe der Binomialverteilung gelöst werden?
Begründen sie Ihre Antwort.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Teilaufgaben.
$ In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 schwarze Kugeln zu ziehen?
$ In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 weiße Kugeln zu ziehen?
$ In einer Urne befinden sich 2 weiße 3 schwarze und 5 blaue Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 blaue Kugeln zu ziehen?
a) f (3 ) =
4!
8
⋅
3 ! (4 − 3 ) !
10
3
8
⋅ 1−
10
4−3
=
256
625
=
1
4
b)
d) f (3 ) =
4!
5
⋅
3 ! (4 − 3 ) !
10
3
5
⋅ 1−
10
4−3
!
1#&&
In einer Urne befinden sich 20 weiße und 30 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei 10 Ziehungen mit Zurücklegen
$ höchstens 7 schwarze Kugeln (d.h. 7 Kugel oder weniger) zu ziehen?
$ mindestens 8 schwarze Kugeln (d.h. 8 Kugel oder mehr) zu ziehen?
2 )
%&
!
'
(
)
+
!
*
16
,
23
%
Sind z.B. N Objekte vorhanden, von denen M Objekte eine bestimmte Eigenschaft A haben.
Dann kann man mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung beim Ziehen einer
Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang n , die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen,
dass unter den n gezogenen Objekten k die Eigenschaft A haben.
4
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 6 weiße Kugeln. Es werden 3 Kugeln nacheinander
ohne Zurücklegen gezogen.
C
2/8
A
4/10
3/9
B
6/9
B
6/8
C
3/8
C
C
5/8
C
C
3/8
6/10
A
4/9
B
5/9
B
5/8
4/8
C
C
4/8
&$
&&$
Handelt es sich beim diesem Zufallsexperiment um ein Bernoulli-Experiment?
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 3 gezogenen Kugeln 2
blaue Kugeln sind, indem Sie die Formeln aus der Kombinatorik und die Definition der
Wahrscheinlichkeit nach Laplace verwenden.
&$
Nein, es handelt sich um kein Bernoulli-Experiment, denn durch das Ziehen ohne
Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel in den Stufen
nicht konstant.
&&$
$(
,
$ (((((
Wir entnehmen der Urne mit 10 Kugeln nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen und
10 !
10
=
= 120
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Dies ist auf
3
3 ! ( 10 − 3 ) !
verschieden Arten möglich. (s. Kapitel „Kombinatorik“)
N1
N2
T1
N4
N5
T4
N3
T2
T3
N6
Ziehung von 3 Kugeln ohne Zurücklegen
N1
N1
N2
N2
T1
N3
T4
.
.
.
.
.
.
N5
N6
Anzahl der Möglichkeiten für die Ziehung ohne
Zurücklegen von 3 Kugeln aus 10 Kugeln:
10 !
3!
( 10 − 3 ) !
= 120
17
$ ((
,
$((((
Unter den 3 gezogenen Kugeln sollen sich genau 2 blaue und 1 weiße befinden.
Die zwei blauen müssen daher aus den 4 blauen Kugeln in der Urne stammen. Diese
4!
4
=
= 6 verschieden Arten gezogen werden.
können daher auf
2
2! ( 4 − 2 )!
Die eine weiße muss dann aus den 6 weißen Kugeln in der Urne stammen. Diese
6!
6
=
= 6 verschieden Arten gezogen werden.
kann daher auf
1
1! ( 6 − 1 ) !
.
N2
N1
N1
N3
N5
T1
N2
N4
N6
T2
.
Anzahl der Möglichkeiten für die
Ziehung ohne Zurücklegen von
einer weißen Kugel aus 6
Kugeln:
6!
= 6
1! ( 6 − 1 ) !
T4
T1
N6
.
T3
.
T2
.
.
T3
T4
Anzahl der Möglichkeiten für
die Ziehung ohne Zurücklegen
von 2 blauen Kugeln aus 4
Kugeln:
4!
= 6
2 ! ( 4 − 1)!
$((
.
/
$ ((((((((
Da es 3 Kugeln gezogen werden, von denen zwei blau und eine weiß sind, gibt es also:
4!
2! ( 4 − 2 )!
⋅
6!
1! ( 6 − 1 ) !
= 6 ⋅ 6 = 36
verschiedene Möglichkeiten diese Kugeln aus der Urne zu entnehmen.
.$(
%
$ ((
10 !
10
=
= 120 Fälle bei der Ziehung ohne
Da es insgesamt
3
3 ! ( 10 − 3 ) !
Zurücklegen von 3 Kugeln aus dieser Urne gibt und diese 120 Fälle alle gleich
wahrscheinlich sind, erhalten wir nach der Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace
folgende Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen.
4
P ( E2
)
=
2
⋅
10
3
6
1
=
6 ⋅ 6
120
= 0 ,3
18
Hypergeometrische Verteilung
Gegeben sind N Objekte, darunter M Objekte mit der Eigenschaft A und [N – M ]
Objekte mit der Eigenschaft. A (nicht-A) . Und sei:
X die diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Objekte mit der Eigenschaft A
beizeichnet, und die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen kann.
Werden n Objekte zufällig ohne Zurücklegen gezogen (ausgewählt), so ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unter den n gezogenen Objekten k Objekte mit der
Eigenschaft A vorhanden sind, gegeben durch die hypergeometrische Verteilung mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f (xk
)=
P ( X = k ) = f (k ) =
M
N−M
⋅
k
n− k
N
n
M!
=
k ! ( M − k )!
⋅
[ n − k ]!
⋅
[ N − M ]!
( [N − M ] − [ n − k ] )!
N!
n ! ( N − n )!
Die Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung ist:
M
k
F (xk
)
= P ( X ≤ k ) = F (k ) =
i = 0
i
⋅
N−M
n− i
N
n
19
%% .
3
n=8
N = 20
M = 10
n=8
N = 20
M=8
n=8
%
M = 12
n=8
x=k
N = 20
M = 10
n=8
x=k
N = 20
P(X=k)
N = 20
M = 12
N = 20
P(X=k)
.
P(X=k )
/
M=8
n=8
x=k
Satz: Erwartungswert und Varianz der hypergeometrischen Verteilung
Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung lautet:
n
xk ⋅f (xk
µ =
)
k ⋅f (k
=
k
k = 0
) = n⋅
M
N
Die Varianz der hypergeometrischen Verteilung lautet:
σ
2
f (xk
=
k
)⋅ (xk
−µ
)
2
n
f (k )⋅ (k − µ
=
k =0
)2 = n ⋅
M
N
1 −
M
N − n
N
N −1
!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Teilaufgaben mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung.
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 6 weiße Kugeln (s. voriges Bsp.). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen
$ keine blaue Kugel zu ziehen?
$ eine blaue Kugel zu ziehen?
$ zwei blaue Kugeln zu ziehen?
.$ drei blaue Kugeln zu ziehen?
20
,, 5
#
Poisson-Verteilung
Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
µ
k
k!
⋅e
−µ
heißt Poisson-Verteilung.
X kann die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . annehmen.
Dabei ist der Parameter
der Erwartungswert dieser Verteilung.
Die Varianz dieser Verteilung ist:
² =
%
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist unsymmetrisch. Sie wird dagegen für große
symmetrisch.
nahezu
21
/
.
%% .
5
#
P( X=k )
µ=2
x=k
P( X=k )
µ = 104
x=k
,1 5
#
!
0%
.
%
#
Satz: Übergang von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
Sei die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X durch die Binomialverteilung gegeben.
Für n
∞ , p
0 , wobei vorausgesetzt wird, dass n p = const. ist, kann die
Binomialverteilung in guter Näherung durch die Poisson-Verteilung ersetzt werden.
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
Dabei ist der Erwartungswert:
lim
n → ∞
p → 0
n!
k ! ( n − k )!
⋅p
k
⋅ (1 − p )
n−k
=
µ
k
k!
⋅e
−µ
q
=n p
%
Tritt in einem Bernoulli-Experiment ein Ereignis A mit einer sehr geringen
Wahrscheinlichkeit p auf, so kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A
k-mal eintritt, durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung gegeben
werden, anstatt diese mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung zu
bestimmen.
Numerische Analysen zeigen, dass die Binomilaverteilung näherungsweise durch die
Poisson-Verteilung ersetzt werden darf, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
n > 10
UND
p < 0,1
22
!
4
In einer Urne befinden sich 1 blaue und 499 weiße Kugeln. Es werden 1000 Kugeln
nacheinander mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „A: Ziehung einer blauen Kugel“
Berechnen Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung die
Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse E k, dass man in diesem 1000-stufigen Versuch:
$ keine blaue Kugel zieht.
$ eine blaue Kugel zieht.
$ 2 blaue Kugeln zieht.
.$ 500 blaue Kugeln zieht.
$ 1000 blaue Kugeln zieht.
p = P(A) = 1 / 500 = 0,002
$ P (E 0 ) = f (0 ) =
1000 !
1
⋅
0 ! (1000 − 0 ) !
500
$ P(E 1) = f (1) = 0,2706
.$ P(E 500) = f (500) = 3,251
0
1
⋅ 1−
500
1000 − 0
= 0,135
$ P(E 2) = f (2) = 0,2709
10
– 1051
$ P(E 1000) = f (1000) = 1,071
10
– 2699
!
6a
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Aufg. 6 mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung.
Bestimmung von :
= n p = 1000 (1 /500) = 2
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
20
⋅ e − 2 = 0,135
$ P (E 0 ) = f (0 ) =
0!
$ P(E 1) = f (1) = 0,2706
.$ P(E 500) = f (500) = 3,63
$ P(E 2) = f (2) = 0,2706
10
– 985
$ P(E 1000) = f (1000) = 3,603
10
– 2268
23
,
7
%
6
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, erstmal nach 4 Würfen einer inhomogenen Münze mit
der folgenden Eigenschaft einen „Wappen“ zu erhalten?
A : Wappen bzw. A : Zahl
p = P(A) =
bzw. q = P( A ) =
q·q·q·p =
·
·
·
= 0,098
Geometrische Verteilung
Seien p bzw. q mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg (Treffer) bzw.
einen Misserfolg der unabhängigen Versuchen (Stufen) in einem Bernouli-Experiment.
Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X für die Anzahl der
Versuche bis zum Eintreten des ersten Erfolgs gegeben durch die
Wahrscheinlichfunktion der geometrischen Verteilung:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) = q
k − 1
⋅p
mit X = x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . .
Der Erwartungswert dieser Verteilung ist: µ =
Die Varianz dieser Verteilung ist: σ
2
=
1
p
1− p
p2
24
1 5
#5
Poisson-Prozesse sind Zufallsexperimente, die über einen kontinuierlichen Zeitraum
stattfinden.
&$
Um die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Erfolgen (Treffer) innerhalb eines
Zeitintervalls der Länge t zu finden, unterteilen wir das Intervall in n Teile mit den
jeweiligen Breiten t , so dass gilt:
t = n⋅ t
&&$
Ein Poisson-Prozess hat folgende Eigenschaften:
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg innerhalb eines kleinen Teilintervalls t
ist:
α ⋅ t . Dabei ist α eine Konstante.
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als einen Erfolg innerhalb des kleinen
Teilintervalls t ist sehr klein und vernachlässigbar.
Die n Teile (Stufen) des Prozesses (Experiments) sind von einander
unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg in einer Stufe
unabhängig von dem Ergebnis in der Stufe davor. Damit sind Poissonprozesse
gedächtnislos.
&&&$
Diese Eigenschaften unterliegen auch denen von Bernoulli-Experimenten, die
durch die Binomial-Verteilung mit n = t
t und p = α ⋅ t beschrieben
werden. Folglich gilt für den Mittelwert:
µ = n⋅p =
t
∆t
⋅
( α⋅ ∆t ) = α ⋅t
Da
der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist, gibt die konstante Rate α die
durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in der Zeiteinheit an.
Poisson-Prozesse und Poisson-Verteilung
Sei die Anzahl von Erfolgen in einem Poisson-Prozess gegeben durch die diskrete
Zufallsvariable X . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann gegeben durch die PoissonVerteilung:
(α ⋅ t ) k
P ( X = k ) = f (k ) =
k!
⋅e
− α ⋅ t
=
µ
k
k!
⋅e
−µ
mit X = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . .
Dabei ist der Parameter
= α ⋅ t der Erwartungswert dieser Verteilung.
Die konstante Rate α gibt die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in der Zeit-Einheit
an und t ist das Zeit-Intervall für den Poisson-Prozess.
25
8
Der radioaktive Zerfall eines chemischen Elements, bei der die einzelnen Atomkerne mit
einer kleinen Wahrscheinlichkeit zerfallen kann durch einen Poisson-Prozess beschrieben
werden. Denn die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atomkerne ist sehr gering im
vergleich zur großen Anzahl der insgesamt vorhandenen Kerne.
Bei einem speziellen Präparat zerfallen im Mittel pro Minute 3 Kerne.
$ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät 5 Zerfälle pro Minute zu
registrieren?
$ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät mehr als 3 Zerfälle pro
Minute zu registrieren?
$ Die Rate α = 3 gibt dabei an, wie viel Atomkerne durchschnittlich in der Zeiteinheit (pro
Minute) zerfallen. Das Zeit-Intervall hat die Länge t = 1 (Minute), so dass gilt:
= α ⋅t= 3⋅1 = 3
P ( X = 5) = f (5) =
35
⋅e
5!
− 3
$
P(X >3) = 1 − P (X ≤3) =
30
= 1 −
= 1 −
0!
[1
e
−3
= 0 , 1008
1 −
+
31
1!
[ f (0 )
e
−3
+ f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) ]
+
+ 3 + 4,5 + 4,5 ]e
−3
Stabdiagramm der Poisson-Verteilung für
32
2!
e
−3
+
33
3!
e
−3
= 0 , 352
=3
f(k)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
k
!
8
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät beim radioaktiven Zerfall des
speziellen Präparats aus dem vorigen Beispiel (Bsp. 8) 5 Zerfälle in 2 Minuten zu
registrieren?
Das Zeit-Intervall hat nun die Länge t = 2. Somit ist der Mittelwert
P ( X = 5) = f (5) =
65
5!
⋅e
− 6
= α ⋅t= 3⋅2 = 6
= 0 , 160
26