Geordnete Mengen

Geordnete Mengen
Eine Relation R ⊆ A × A heißt Ordnung oder
Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und
antisymmetrisch ist.
Ist R eine Ordnungsrelation auf A, dann nennt man (A, R)
eine geordnete Menge.
Die Namensgebung ist nicht einheitlich. Statt „Ordnung“
sagt man auch „Halbordnung“, „Partialordnung“, manchmal
„teilweise Ordnung“.
Im Englischen steht neben „order“ auch „partial order“,
neben „ordered set“ auch poset für „partially ordered set“.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 1
Minimal – maximal
Ist (M, ≤) eine geordnete Menge und T ⊆ M eine
Teilmenge, dann nennt man
ein Element m ∈ T ein minimales Element von T ,
wenn kein Element von T echt kleiner als m ist, wenn
also gilt:
aus t ≤ m und t ∈ T folgt m = t.
Entsprechend definiert man, was ein maximales
Element von T ist.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 2
Kleinstes und größtes Element
Ist (M, ≤) eine geordnete Menge und T ⊆ M eine
Teilmenge, dann nennt man
ein Element m ∈ T das kleinste Element von T , wenn
m ≤ t für alle t ∈ T
gilt.
Entsprechend definiert man, wann ein Element das
größte Element von T ist.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 3
Wohlordnung
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare
Ordnung auf M mit folgender Zusatzeigenschaft:
Jede nichtleere Teilmenge von M hat ein kleinstes Element.
Das bekannteste Beispiel einer wohlgeordneten Menge ist
(N, ≤), die natürlichen Zahlen mit der vertrauten Ordnung.
Die Aussage
Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen hat ein kleinstes Element.
kann man als eine Form des Induktionsprinzips verstehen.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 4
Infimum und Supremum
Ist (M ≤) eine geordnete Menge und T ⊆ M eine
Teilmenge, dann nennt man ein Element m ∈ M
eine untere Schranke von T , wenn m ≤ t für alle t ∈ T
gilt.
Dual definiert man, was eine obere Schranke von T
ist.
das Infimum von T , wenn m die größte untere
Schranke von T ist.
Dual nennt man die kleinste obere Schranke (falls eine
solche existiert) das Supremum von T .
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 5
Eindeutig, falls existent
Infimum und Supremum müssen also nicht für jede
Teilmenge T existieren.
Wenn sie existieren, sind sie nach der Definition
eindeutig.
V
Man schreibt
W dann inf T oder T für das Infimum und
sup T oder T für das Supremum;
ist T = {s, t} eine zweielementige Menge, dann sind die
Bezeichnungen s ∨ t für das Supremum und s ∧ t für
das Infimum gängig.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 6
Vollständiger Verband
Eine geordnete Menge, in der jede Teilmenge ein Infimum
und ein Supremum hat, nennt man einen vollständigen
Verband.
Ein wichtiges Beispiel eines vollständigen Verbandes ist die
Potenzmenge P(S) einer beliebigen Menge S , geordnet
durch die Teilmengenrelation ⊆.
Das Infimum bekommt man dabei durch den Durchschnitt,
das Supremum durch die Vereinigung der beteiligten
Mengen.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 7
Begriffsverbände sind vollständig
Ein weiteres Beispiel eines vollständigen Verbandes liefert
jeder Begriffsverband.
Zu jeder Teilmenge eines solchen Begriffsverbandes erhält
man den kleinsten gemeinsamen Oberbegriff, indem
man den Durchschnitt der Begriffsinhalte und dann den
zugehörigen Begriff bildet.
Entsprechend ist der größte gemeinsame Unterbegriff
derjenige Begriff, dessen Umfang der Durchschnitt der
beteiligten Begriffsumfänge ist.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 8
Ein Spiegelei zubereiten . . .
Was muss man tun, wenn man ein Spiegelei brät?
HE Herd einschalten
PH Pfanne auf den Herd stellen
PE Pfanne heiß werden lassen
PF Fett in die Pfanne geben
FZ Fett zerlassen
EA Ei aufschlagen
EP Ei in die Pfanne geben
EB Ei gar braten
ET Ei aus der Pfanne nehmen
ES Ei salzen
HA Herd abschalten
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 9
Precedence Constraints
Auf der Menge J := {HE, PH, . . . , PE} definieren wir eine
Relation R mit folgender Bedeutung:
i R j : ⇐⇒ Bevor Schritt j begonnen wird, muss Schritt i
beendet sein.
durch
R := {(HE, PE), (PE, FZ), (FZ, EP), (EP, EB), (EB, ET),
(EB, HA), (PH, PE), (PF, FZ), (EA, EP), (EA, ES)}
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 10
DAGs
Eine Eigenschaft solcher Relationen erkennt man sofort:
sie sind azyklisch, d.h. sie enthalten keine Folgen
(a0 , a1 ), (a1 , a2 ), . . . , (an−1 , an ) mit a0 = an . Insbesondere sind
sie irreflexiv. Man spricht auch von einem DAG (directed
acyclic graph).
Es lohnt sich aber nicht, eine eigene Theorie für DAGs
aufzubauen, weil sie mit den Ordnungsrelationen ganz eng
verwandt sind.
Mathematik I für Informatiker – Ordnungsrelationen – p. 11
Transitive Hülle
Die transitive Hülle einer Relation R ist definiert durch
[
trans(R) :=
Rn = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ . . . ,
n≥1
wobei Rn eine Abkürzung für das n-fache
Relationenprodukt von R mit sich selbst steht, also
Rn := R; R; · · · ; R .
|
{z
}
n−mal
Die transitive Hülle einer Relation R ist die kleinste
transitive Relation, welche R enthält.
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DAGs und Ordnungen
Hilfssatz 1 Eine Relation ist genau dann azyklisch, wenn
ihre transitive Hülle irreflexiv ist.
Daraus folgt: Ist R eine azyklische Relation auf J , dann ist
die reflexiv-transitive Hülle
trans(R) ∪ idJ
eine Ordnungsrelation. Es ist oft einfacher, diese
Ordnungsrelation zu betrachten.
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Die Spiegelei–Ordnung
Herd ausschalten
Ei auf den Teller
gar braten
salzen
Ei aufschlagen
Fett in die Pfanne
Pfanne auf den Herd
Ei in die Pfanne
Fett zerlassen
Pfanne erhitzen
Herd einschalten
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