Neue Herleitung und explizite Restabschätzung der Riemann

NEUE HERLEITUNG UND EXPLIZITE
RESTABSCHÄTZUNG DER
RIEMANN-SIEGEL-FORMEL
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Georg-August-Universität zu Göttingen
vorgelegt von
Wolfgang Gabcke
aus Bremerhaven
Göttingen 1979
Abstract
Die asymptotische Entwicklung der Funktion Z(t) = eiϑ(t) ζ(1/2 + it) für reelle t → +∞
(dabei ist ϑ(t) = = log Γ(1/4 + it/2) − (t log π)/2 und ζ(1/2 + it) die Riemannsche Zetafunktion auf der kritischen Geraden <(s) = 1/2) – heute allgemein als Riemann-SiegelFormel bezeichnet – wird auf neue Weise mit Hilfe der Sattelpunktmethode aus der sogenannten Riemann-Siegel-Integralformel hergeleitet. Die Formeln zur Berechnung der in
der asymptotischen Reihe auftretenden Koeffizienten werden vereinfacht und für t ≥ 200
explizite Fehlerabschätzungen für die ersten 11 Partialsummen dieser Reihe angegeben.
Der tabellarische Anhang enthält u. a. die exakte Darstellung der ersten 13 Koeffizienten der asymptotischen Reihe in der auf D. H. Lehmer zurückgehenden Form sowie die
Potenzreihenentwicklungen und die Entwicklungen nach Tschebyscheffschen Polynomen
1. Art der ersten 11 Koeffizienten mit einer Genauigkeit von 50 Dezimalstellen.
The asymptotic expansion of the function Z(t) = eiϑ(t) ζ(1/2 + it) for real t → +∞ where
ϑ(t) = = log Γ(1/4 + it/2) − (t log π)/2 – today known as Riemann-Siegel formula – is
derived in a new and simpler way. Simplified computation formulas of its coefficients are
given as well as explicit error estimates of its first 11 partial sums for t ≥ 200.
In an appendix the first 13 coefficients of the asymptotic series are presented in a form
introduced by D. H. Lehmer in 1956. Power series and expansions in terms of Čebyšev
Polynomials are given for the first 11 coefficients to 50 decimals.
Keywords: Riemann zeta-function, Riemann-Siegel formula, explicit estimates of the remainders, power series of the coefficients.
D7
Referent:
Professor Dr. M. Deuring
Korreferent: Professor Dr. H.-W. Burmann
Tag der mündlichen Prüfung: 15. Februar 1979
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
iii
Einleitung
1
1 Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
7
1.1 Definition und Integraldarstellung von Z(t) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Anwendung der Sattelpunktmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Die Riemann-Siegel-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Die
2.1
2.2
2.3
Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
Formeln zur Koeffizientenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenz- und T-Reihen der Koeffizienten Cn (z) . . . . . . . . . . . .
Abschätzungen von Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10, |z| ≤ 1) . . . . . . . . . . . .
3
Die
3.1
3.2
3.3
Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
41
Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S . . . . . . . . . . . 41
Explizite Abschätzung der ersten 11 Restglieder . . . . . . . . . . . . 53
Zur Divergenz der Riemann-Siegel-Formel . . . . . . . . . . . . . . . 58
4
Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
4.1 Integralformeln . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t)
4.3 Bestimmung von D0 (τ ) und D1 (τ ) . . .
4.4 Verschiedene Hilfsabschätzungen . . . .
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.
Literaturverzeichnis
Tabellen
(n)
I. Primfaktorzerlegung der Zahlen ak (0 ≤ n ≤ 11) . . . . .
(n)
II. Primfaktorzerlegung der Zahlen dk (0 ≤ n ≤ 12) . . . . .
III. Exakte Darstellung der Koeffizienten Cn (z) (0 ≤ n ≤ 12) .
IV. Potenzreihen der Koeffizienten Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10) . . . .
V. Tschebyscheffreihen der Koeffizienten Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10)
19
19
31
35
61
61
69
76
80
87
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91
91
95
97
101
113
Vorwort
Vor 36 Jahren habe ich meine Dissertation in einer Form veröffentlicht, die den
heutigen Ansprüchen an eine mathematische Publikation – Satz in TEX und Bereitstellung als PDF-Datei – nicht mehr gerecht wird. Auch die Beschaffung eines
Exemplars des Drucks von 1979 ist wohl vor allem für ausländische Interessenten
ausgesprochen schwierig und mit großem Aufwand verbunden, wie ich von Juan
Arias de Reyna weiß. Hauptsächlich aus diesen beiden Gründen habe ich mich
entschlossen, meine Dissertation mit LATEX neu zu setzen und in Form einer PDFDatei allgemein zur Verfügung zu stellen. Weitere Beweggründe waren, daß die in
der Arbeit verwendeten Methoden nebst den daraus gewonnenen expliziten Abschätzungen der Restglieder bis heute aktuell sind, wie die zahlreichen Zitate der
Arbeit in den letzten Jahrzehnten gezeigt haben. Diese doch recht umfangreiche
Beachtung durch die mathematische Fachwelt habe ich 1979 nicht erwartet.
Methoden und Ergebnisse der Dissertation in anderen Publikationen
Einige von den Publikationen, die auf meine Methoden zurückgegriffen oder die
die Ergebnisse der expliziten Restabschätzung insbesondere für numerische Berechnungen verwendet haben, möchte ich hier kurz vorstellen. Sie geben z. T. über
die Riemann-Siegel-Formel hinausgehende Einblicke in den umfangreichen Themenkomplex Riemannsche Zetafunktion“, ganz besonders aber in die numerische
”
Berechnungsproblematik dieser Funktion.
Arias de Reyna hat 2011 [3] die Methoden meiner Dissertation auf Geraden
<(s) 6= 1/2, =(s) → +∞ verallgemeinert und gelangt so zu formelmäßigen Abschätzungen für die Restglieder der asymptotischen Reihe. Dabei geht er ebenfalls
von der Riemann-Siegel-Integralformel 4.1.6, S. 65 und nicht von dem komplexen
Schleifenintegral (9), S. 3 aus. In einer bisher noch nicht erschienenen Folgearbeit
soll eine vollständige Fehleranalyse präsentiert werden.
In [5] stellen Berry und Keating 1992 eine alternative, ebenfalls asymptotische
Berechnungsformel für Z(t) vor und vergleichen sie mit der Riemann-Siegel-Formel.
Bei gleicher Anzahl der berücksichtigten Summanden ist ihre Formel genauer, erfordert aber einen höheren Rechenaufwand pro Summand. Sie wird heute als BerryKeating-Formel bezeichnet. Den vermuteten Zusammenhang zwischen den Nullstellen von Z(t) und den Eigenwerten eines potentiellen, zu einem chaotischen quantenmechanischen System gehörenden hermiteschen Operators untersuchen Berry
und Keating in [7] 1999. Auch dort findet man ausführliche Informationen zur
Riemann-Siegel- und zur Berry-Keating-Formel.
Borwein, Bradley und Crandall haben im Jahre 2000 in ihrer Publikation [8]
iv
Vorwort
neben der Riemann-Siegel-Formel eine Reihe anderer Berechnungsverfahren für die
Zetafunktion in einem Kompendium zusammengetragen. Zusätzlich findet man hier
viele z. T. kuriose Reihen- und Kettenbruchentwicklungen, die auf unterschiedliche
Weise mit der Zetafunktion zusammenhängen.
Von verschiedenen Autoren sind in den Jahren von 1981 bis 2004 umfangreiche
numerische Überprüfungen der Riemannschen Vermutung durchgeführt worden.
Hier sind vor allem Brent, van de Lune, te Riele, Winter [9, 10, 24], Odlyzko [27],
Gourdon/Sebah [18] und Gourdon [19] zu nennen. In jeder der aufgeführten Veröffentlichungen wurde zumindest eine der Restabschätzungen aus Satz 3.2.2, S. 54
verwendet oder zitiert.
In Zusammenhang mit der Primzahlfunktion π(x) gab es einige bemerkenswerte Ergebnisse. Mit Hilfe der Riemann-Siegel-Formel hat te Riele 1987 [29] die
ersten 50 000 Nullstellen von Z(t) mit hoher Genauigkeit berechnet. Zusammen mit
dem Nachweis von Rosser et al. aus dem Jahre 1968 [30], daß die ersten 3,5 Millionen Nullstellen dieser Funktion reell sind, konnte er damit zeigen, daß es in der
Größenordnung von 7 · 10370 x-Werte gibt, an denen die Differenz π(x) − li(x) positiv1) ist. Eine analytische Methode zur Berechnung von π(x) und einiger anderer
zahlentheoretischer Funktionen haben Lagarias und Odlyzko [21] 1987 angegeben.
Offen gebliebene Fragen in der Originalarbeit
Einige offene Fragen, die ich seinerzeit nicht lösen konnte, sind inzwischen geklärt.
So hat Arias de Reyna 2003 [2] bewiesen, daß die Zahlen λn , %n und µn aus Satz
(n)
4.3.1, S. 76 und daher auch die dk aus Satz 2.1.1, S. 19, wie schon von mir vermutet, ganzzahlig sind (für die %n und µn hatte ich diese Vermutung nicht explizit
formuliert).
Die in Abschnitt 3.3, S. 58 aufgeworfene Frage, ob die Riemann-Siegel-Formel
für jedes feste t > 0 divergiert oder nicht, konnte von Berry 1995 [6] geklärt werden.
Demnach liegt immer Divergenz vor – das war aufgrund der Vorgehensweise bei
der Herleitung der asymptotischen Reihe auch nicht anders zu erwarten –, so daß
diese Reihe tatsächlich nur“ eine asymptotische Entwicklung“ darstellt. Berry
”
”
macht auch Angaben zum minimal erreichbaren Abbruchfehler, den eine Berechnung mit der Riemann-Siegel-Formel bei vorgegebenem t > 0 erzeugt, wenn die
Summation der asymptotischen Reihe bis zum betragskleinsten Glied fortgeführt
wird. Er zeigt, daß dieser Fehler mit e−πt genau in der Größenordnung liegt2), die
auch der Eingangsfehler“ der Riemann-Siegel-Formel aufweist, der durch Weglas”
sen des Ausdrucks 0.5 · arctan e−πt in Formel 4.2.3 (a), S. 71 unweigerlich entsteht.
Demnach ist das Divergenzverhalten der Riemann-Siegel-Formel dem der Stirlingschen Reihe für log Γ(t/2) sehr ähnlich3) und damit auch die maximal erreichbare
Genauigkeit in Abhängigkeit vom Argument.
1)
Littlewood zeigte schon 1914, daß diese Differenz für x → ∞ unendlich oft das Vorzeichen
wechselt. Die von te Riele angegebene Größenordnung konnte inzwischen auf etwa 10316 reduziert
werden.
2) Eigene Berechnungen mit den ersten 132 Gliedern der asymptotischen Reihe haben das bestätigt.
3) Statt die jeweiligen Abbruchfehler direkt zu betrachten, müßte eine geeignete Mittelung von
ihnen über die t-Intervalle [2πN 2 , 2π(N + 1)2 ] für N ganz ≥ 1 – hier hat die Hauptsumme genau
N Glieder – zum Vergleich herangezogen werden, da der Abbruchfehler beim Durchlaufen eines
solchen Intervalls lokal sehr stark schwankt. Er kann dabei sogar das Vorzeichen wechseln und
deshalb an bestimmten Stellen des Intervalls verschwinden.
Vorwort
v
Ungeklärt ist nach wie vor die nicht triviale Frage, ob der C0 -Term zusammen
mit der Restabschätzung |R0 (t)| < 0.127 t−3/4 für t ≥ 200 zur eindeutigen Bestimmung von sign Z(t) immer ausreicht. Alle bis jetzt mit der Riemann-Siegel-Formel
durchgeführten Berechnungen scheinen das zu bestätigen, zumindest ist mir kein
Gegenbeispiel bekannt. Ein allgemeingültiger Beweis dafür liegt aber wohl außerhalb der heutigen mathematischen Möglichkeiten.
Abweichungen von der Originalarbeit
Ein wörtlicher Nachdruck der Originalarbeit von 1979 kam aus unterschiedlichen
Gründen nicht in Frage. So galt es, Druckfehler zu korrigieren, sprachliche Bereinigungen vorzunehmen, das Literaturverzeichnis auf den neuesten Stand zu bringen
und vor allem die Möglichkeiten des maschinellen Satzes in LATEX zu nutzen. Zwei
Druckfehler, auf die mich Juan Arias de Reyna aufmerksam gemacht hat, wurden
beseitigt und mittels Fußnoten gekennzeichnet. Nicht dokumentiert sind sprachliche Glättungen und die andere Art der Referenzierung von Sätzen und Formeln,
die auf die Verwendung des LATEX-Satzsystems zurückzuführen sind. Das Literaturverzeichnis wurde aktualisiert und erweitert sowie einige dem besseren Verständnis
dienende Fußnoten eingefügt. Beides wurde nicht eigens kenntlich gemacht.
Die an mehreren Stellen verwendeten Formulierungen scharfe Abschätzung“
”
und scharf abgeschätzt“ waren mißverständlich und wurden kommentarlos mit
”
optimale Abschätzung“ bzw. entsprechend genau abgeschätzt“ ersetzt. Mit ei”
”
ner optimalen Abschätzung“ ist eine Abschätzung gemeint, die keine wesentliche
”
Verbesserung mehr erlaubt.
√
Die unnötige Einschränkung q > − π in Kapitel 3, S. 41 und in Satz 4.4.4,
√
S. 85 wurde beseitigt, so daß die dortigen Abschätzungen nun auch für q = − π
gelten.
In Satz 4.3.1, S. 77 sind jetzt auch die numerischen Werte der ersten sieben
Zahlen %n wiedergegeben, die zwar 1979 implizit schon vorhandenen waren, deren
Abdruck ich aus heute nicht mehr nachvollziehbaren Gründen damals aber nicht
vorgenommen habe.
Alle numerischen Werte im Text sowie das gesamte Tabellenwerk im Anhang
habe ich nicht der Originalarbeit entnommen, sondern mit selbstgeschriebenen CProgrammen vollständig neu berechnet. Erwähnenswerte Abweichungen von den
Werten des Jahres 1979 haben sich dabei nicht ergeben. Dasselbe gilt auch für
die Neuberechnung, die Juan Arias de Reyna mit Mathematica für seine spanische
Übersetzung [17] durchgeführt hat. Folglich sind mit drei unterschiedlichen Programmen zweier Autoren dieselben numerischen Werte erzeugt worden, was deren
Korrektheit hinreichend belegen sollte.
Von den vorstehenden Ausnahmen abgesehen, wurden an der Originalarbeit
keine inhaltlichen Änderungen vorgenommen. Das gilt auch für die Rechtschreibung, die den am 01.01.1903 lt. Bundesratsbeschluß vom 18.12.1902 eingeführten
Regeln entspricht.
Die vorliegende Fassung meiner Dissertation wird auf einem Server der Universität Göttingen als PDF-Datei zum Herunterladen bereitgestellt. Sie mußte ebenso
wie das Original von 1979 in deutscher Sprache verfaßt werden. Eine englische
Version wäre natürlich wünschenswert, jedoch habe ich auch nach Ende meines
Arbeitslebens nicht die für eine Übersetzung notwendige Zeit. Wie oben bereits
vi
Vorwort
erwähnt, gibt es aber eine sehr schöne spanische Übersetzung [17], die Juan Arias
de Reyna 2003 erstellt hat. Dafür und für seine hilfreichen Anregungen möchte ich
mich an dieser Stelle herzlich bei ihm bedanken.
Göttingen, Mai 2015
Wolfgang Gabcke
E-Mail: [email protected]
Einleitung
Im Jahre 1932 veröffentlichte C. L. Siegel [31, 32] in einer Arbeit über Riemanns
Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie eine asymptotische Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion ζ(s) für festen Realteil von s und =(s) → +∞. Dabei
erweist sich der Fall <(s) = 1/2 zur Untersuchung der Riemannschen Vermutung
als der bei weitem bedeutenste, auf den wir uns daher in dieser Arbeit beschränken
werden. Durch Einführung der für reelle t reellen Funktion
Z(t) := eiϑ(t) ζ 1 + it
2
mit
ϑ(t) := = log Γ 1 + i t − t log π
4
2
2
gelingt es, die Untersuchung der Nullstellen von ζ(s) auf der kritischen Geraden
<(s) = 1/2 auf ein reelles Problem zurückzuführen. Die bereits von Riemann gefundene und von Siegel an der oben genannten Stelle veröffentlichte asymptotische
Entwicklung von Z(t) für t → +∞ wird heute allgemein als Riemann-Siegel-Formel
bezeichnet.
In dieser Arbeit werden wir die Riemann-Siegel-Formel auf einem neuen, wesentlich einfacheren Wege herleiten, die Formeln zur Berechnung ihrer Koeffizienten
vereinfachen und die ersten 11 Partialsummen der asymptotischen Reihe mit expliziten Restabschätzungen versehen. Bevor wir die Ergebnisse hier im einzelnen
angeben, treffen wir folgende Konventionen, die für die ganze Arbeit Gültigkeit
haben:
i. Die Quadratwurzel ist stets positiv zu nehmen.
ii. Die Bernoullischen Zahlen Bn und die Eulerschen Zahlen En sind durch die
Potenzreihenentwicklungen
∞
x = X Bn xn
ex − 1
n!
|x| < 2π
und
n=0
∞
1 = X En xn
cosh x
n!
n=0
|x| < π
2
gegeben. Es ist also B2n+1 = 0 für n ≥ 1, E2n+1 = 0 für n ≥ 0 und
1
B0 = 1, B1 = − 12 , B2 = 61 , B4 = − 30
, B6 =
1
42 ,
1
B8 = − 30
, B10 =
5
66 ,
... ;
E0 = 1, E2 = −1, E4 = 5, E6 = −61, E8 = 1 385, E10 = −50 521, . . . .
iii. Zur besseren Unterscheidung von der Gleichheit im üblichen Sinne verwenden
.
wir bei Gleichheit von formalen Potenzreihen das Zeichen =.
2
Einleitung
In der von D. H. Lehmer [22] eingeführten Form lautet die Riemann-Siegel-Formel
dann
Z(t) ∼ 2
N
∞
X
N −1 X
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
Cn (z)
√
+
n
a
an
n=1
für t → +∞.
(1)
n=0
Dabei ist
r
a :=
t ,
2π
N := bac4),
z := 1 − 2(a − N )
und
b3n/4c
(n)
X
dk
1
F (3n−4k) (z)
Cn (z) := 2n
2n−2k
2
π
(3n − 4k)!
(n ≥ 0)
(2)
k=0
mit
cos π2 z 2 +
F (z) :=
cos πz
(n)
Die dk
(n+1)
dk
(n)
dk
5)
.
sind positive rationale Zahlen, die der Rekursionsformel
(n)
(n)
= (3n + 1 − 4k)(3n + 2 − 4k) dk + dk−1
=0
(4n)
3
4
d3n = λn
n ≥ 0, 0 ≤ k <
3(n + 1)
,
4
für k < 0 oder k > 3n ,
4
(n ≥ 0)
(3)
genügen. Mit den Eulerschen Zahlen E2k berechnen sich die λn rekursiv aus
λ0 = 1,
n
X
(n + 1) λn+1 =
24k+1 |E2k+2 | λn−k
(n ≥ 0).
k=0
Die Funktion ϑ(t) besitzt die asymptotische Entwicklung
∞
X (22n−1 − 1)|B |
2n
ϑ(t) ∼ t log t − t − π +
2
2π 2
8
22n (2n − 1)2n t2n−1
für t → +∞.
n=1
Dabei sind die B2n die Bernoullischen Zahlen. Für das Restglied Rϑ(t) in
7
31
ϑ(t) = t log t − t − π + 1 +
+
+ Rϑ(t)
2
2π 2
8
48 t 5 760 t3
80 640 t5
(4)
gilt für t ≥ 10 die optimale Abschätzung
|Rϑ(t)| <
4)
5)
1 .
3 322 t7
bac ist die größte ganze Zahl ≤ a.
F (z) ist eine ganze Funktion der komplexen Veränderlichen z.
(5)
Einleitung
3
Für die Restglieder RK (t) in der Darstellung (a, N und z wie oben)
K
N
X
N −1 X
Cn (z)
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
√
+
+ RK (t)
Z(t) = 2
n
a
an
(K ≥ 0)
(6)
n=0
n=1
ist
2K+3 RK (t) = O t− 4
für K ≥ 0 und t → +∞.
(7)
Sie genügen für t ≥ 200 und K ≤ 10 den expliziten Abschätzungen
|R0 (t)| < 0.127 t−3/4 ,
|R1 (t)| < 0.053 t−5/4 ,
|R6 (t)| < 0.661 t−15/4 ,
|R2 (t)| < 0.011 t−7/4 ,
|R7 (t)| <
9.2 t−17/4 ,
|R3 (t)| < 0.031 t−9/4 ,
|R8 (t)| <
130 t−19/4 ,
|R4 (t)| < 0.017 t
−11/4
,
|R5 (t)| < 0.061 t−13/4 ,
|R9 (t)| < 1 837 t
−21/4
(8)
,
|R10 (t)| < 25 966 t−23/4 .
Für K ≤ 4 sind diese Abschätzungen optimal.
Die Riemann-Siegel-Formel (1) haben Riemann, Siegel [31, 32], Edwards [16,
Ch. 7] und Crary [15] mit Hilfe der Sattelpunktmethode aus dem bekannten Schleifenintegral
Z
(−x)s−1
ζ(s) = i Γ(1 − s)
dx
(9)
x
2π
C e −1
hergeleitet, in dem der Integrationsweg C eine Kurve ist, die im 1. Quadranten
von ∞ kommt, die Singularität des Integranden bei x = 0 umschlingt und im
4. Quadranten6) nach ∞ geht (die Pole des Integranden bei x = ±2kπi (k ≥ 1)
werden nicht mit umschlungen). Eine besonders ausführliche Darstellung dieser Art
der Herleitung der Riemann-Siegel-Formel gibt Edwards [16, Ch. 7]. Die Herleitung
der Riemann-Siegel-Formel läßt sich jedoch erheblich vereinfachen, wenn man statt
(9) die für reelle t gültige Integraldarstellung
Z
−iπx2 −1/2+it
Z(t) = 2 < e−iϑ(t) e iπx x −iπx dx
e
−e
0&1
verwendet, die sich aus der sogenannten Riemann-Siegel-Integralformel (Satz 4.1.6,
S. 65) ergibt. Dabei ist der Integrationsweg eine von links oben nach rechts unten
orientierte Gerade von der Steigung −1, die die reelle Achse zwischen den Punkten
0 und 1 trifft. Durch Anwendung der Sattelpunktmethode auf diese Integraldarstellung von Z(t) haben wir in Kapitel 1, S. 7 die Riemann-Siegel-Formel hergeleitet;
allerdings, um die dabei auftretenden Formeln möglichst einfach zu gestalten, in
einer etwas anderen Form als in (1) angegeben. In Satz 2.1.6, S. 30 transformieren
wir diese dann auf die Lehmersche Form (1).
6)
In der Originalarbeit steht hier fälschlicherweise 2. Quadranten“.
”
4
Einleitung
Die Darstellung (2) der Koeffizienten Cn (z) als Kombination von Ableitungen
der Funktion F (z) ist zusammen mit der Rekursionsformel (3) bereits in der Zeitschrift Math. of Comp. 31, No. 139, July 1977, P. 803 in Form einer Mitteilung
veröffentlicht worden. Der zugehörige, bis jetzt noch ausstehende Beweis, der übrigens ziemlich aufwendig ist, findet sich in Abschnitt 2.1, S. 19. Dort sind auch
numerische Werte der Zahlen λn für n ≤ 6 angegeben. Vermutlich sind alle λn und
(n)
damit auch alle dk nicht nur positive rationale, sondern sogar natürliche Zahlen.
Ein Beweis dafür ist dem Autor dieser Arbeit allerdings nicht bekannt.7)
(n)
Die Zahlen dk sind für 0 ≤ n ≤ 12 in Form einer Primfaktorzerlegung in
Tabelle II, S. 95 und die sich daraus ergebende exakte Darstellung der Koeffizienten
(n) Cn (z) nach (2) – die dabei auftretenden rationalen Zahlen dk / 22n (3n − 4k)!
soweit wie möglich gekürzt – in Tabelle III, S. 97 aufgeführt. Für n ≤ 4 findet man
die Cn (z) auch bei Haselgrove [20] und – gering abgewandelt – bei Edwards [16, S.
154], sowie für n ≤ 8 bei Crary und Rosser [15].
Um die numerische Berechnung der Cn (z) für 0 ≤ n ≤ 10 zu erleichtern, sind
die Koeffizienten ihrer Potenzreihenentwicklungen um den Punkt z = 0 in Tabelle
IV, S. 101 und die Koeffizienten ihrer Entwicklungen nach Tschebyscheffschen Polynomen 1. Art in Tabelle V, S. 113 auf 50 Dezimalstellen genau wiedergegeben.
Die dazu notwendigen Rechnungen sind vom Autor auf der UNIVAC 1108 der Gesellschaft für Wissenschaftliche Datenverarbeitung Göttingen durchgeführt worden
(vgl. Abschnitt 2.2, S. 31). Auf etwa 11 bis 20 Dezimalstellen genau finden sich
diese Potenzreihenkoeffizienten für n ≤ 4 auch bei Haselgrove [20] bzw. [16, S. 158]
und für n ≤ 6 auf 70 Dezimalstellen genau bei Crary und Rosser [15]. Die Potenzreihenkoeffizienten von C7 (z) bis C10 (z) und die für numerische Zwecke besonders
gut geeigneten Tschebyscheffentwicklungen aus Tabelle V dürften neu sein.
Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t), die schon bei Siegel [31, 32] zu finden
ist, leiten wir in Abschnitt 4.2, S. 69 auf einem neuen Wege her. Für das Restglied Rϑ(t) in der Darstellung (4) ergibt sich dann auf relative einfache Weise die
explizite Abschätzung (5). Damit ist gewährleistet, daß die Funktion ϑ(t), die zur
numerischen Auswertung der Riemann-Siegel-Formel benötigt wird, mit Hilfe von
(4) sehr genau berechnet werden kann.
Das wichtigste Ergebnis dieser Arbeit sind die expliziten Restabschätzungen
(8), die wir unter Verwendung von optimalen Abschätzungen der Koeffizienten
Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10, −1 ≤ z ≤ 1), die sich aus ihren Potenzreihenentwicklungen
ergeben, in Abschnitt 3.2, S. 53 hergeleitet haben. Entsprechend schlechtere Abschätzungen von RK (t) (0 ≤ K ≤ 9), die ohne diese Potenzreihenentwicklungen
gewonnen wurden, sind dort ebenfalls angegeben. Bisher sind Abschätzungen dieser
Art nur für R0 (t) und R2 (t) bekannt. Die erste stammt von Titchmarsh [33] und
[34, S. 331] aus dem Jahre 1935
|R0 (t)| < 1.50
t
2π
−3/4
für t > 250π,
die zweite von Rosser, Yohe und Schoenfeld [30] aus dem Jahre 1968
|R2 (t)| < 2.88
7)
t
2π
−7/4
für t > 4 000π,
Diese Vermutung konnte kürzlich von Arias de Reyna [2] bewiesen werden.
(10)
Einleitung
5
deren Beweis allerdings bis heute nicht erschienen ist.8)
Die Abschätzungen (8) zeigen, daß man Z(t) aus (6) mit sehr hoher Genauigkeit
berechnen kann. Alle bis heute mit Hilfe der Riemann-Siegel-Formel durchgeführten Berechnungen von Z(t) stellen sich daher nachträglich als gerechtfertigt heraus.
Eine in diesem Zusammenhang interessante Frage ist, ob die Riemann-SiegelFormel in ihrer einfachsten Form (es ist C0 (z) = F (z))
N
X
N −1 cos π z 2 +
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
2
√
+
·
Z(t) = 2
n
a
cos πz
3
4
+ R0 (t)
n=1
für die Bestimmung von sign Z(t)9) zur numerischen Überprüfung der Riemannschen Vermutung immer ausreicht. Die Abschätzung (10) des Restgliedes R0 (t)
von Titchmarsh genügt dafür jedenfalls nicht immer, wie die Berechnungen von
Lehmer [23], referenziert in [16, S. 175 ff.] und Rosser [30] zeigen. Die in dieser
Arbeit bewiesene optimale Abschätzung |R0 (t)| < 0.127 t−3/4 (t ≥ 200) ist jedoch
für den bis heute untersuchten Bereich – etwa t < 2 · 106 – immer ausreichend.10) Es
ist aber zu vermuten, daß das für hinreichend große t nicht mehr der Fall ist, so daß
zum Nachweis eines Vorzeichenwechsels von Z(t) u. U. höhere Glieder der RiemannSiegel-Formel berücksichtigt werden müssen. Weitere Einzelheiten zu den bei der
numerischen Überprüfung der Riemannschen Vermutung mit Hilfe der RiemannSiegel-Formel auftretenden Fragen findet der Leser bei Edwards [16, Ch. 8].
Die bereits von Siegel [31, 32] gefundene Groß-O-Abschätzung (7) der Restglieder RK (t), die wir in Abschnitt 3.2 beweisen, zeigt, daß sich die Riemann-SiegelFormel trotz der von t abhängigen diskreten Veränderlichen N im wesentlichen
wie eine gewöhnliche asymptotische Entwicklung verhält. Ungeklärt ist nach wie
vor, ob die Riemann-Siegel-Formel in der Form (1), was sehr wahrscheinlich ist,
für jedes feste t > 0 divergiert. Am Ende von Abschnitt 3.2 zeigen wir, daß das
zumindest für spezielle Werte von t, nämlich für t = tM = 2πM 2 (M ganz > 0),
zutreffend ist.11)
An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Dr. M. Deuring danken, der durch sein
freundliches Entgegenkommen das Erscheinen der vorliegenden Arbeit ermöglicht
hat. Ferner danke ich Herrn Prof. Dr. H. L. de Vries für die auf der UNIVAC 1108
zur Verfügung gestellte Rechenzeit.
8)
Zu diesen Abschätzungen vergleiche auch [16, S. 162 ff.]
Die Berechnung dieses Vorzeichens erfordert immer eine Auswertung des asymptotischen Teils
der Riemann-Siegel-Formel
– zumindest
also die Berücksichtigung des C0 -Terms –, da die HauptP
√
summe 2 N
n=1 cos (ϑ(t) − t log n)/ n für die korrekte Beschreibung der Nullstellenverteilung von
Z(t) allein nicht ausreichend ist. So hat die Hauptsumme beispielsweise zwei konjugiert komplexe
Nullstellen in der Nähe des Punktes t = 221.08, während Z(t) dort zwei eng benachbarte einfache
reelle Nullstellen besitzt.
10) Das ist der Stand von 1979. Der vollständig untersuchte Bereich liegt inzwischen etwas unterhalb von 2.45 · 1012 (Berechnungen von Gourdon und Demichel [19] aus dem Jahre 2004 unter
Verwendung des Odlyzko-Schönhage-Algorithmus [28] zur optimierten Berechnung der HauptP
√
summe 2 N
n=1 cos (ϑ(t) − t log n)/ n); jedoch sind nach Wissen des Autors noch immer keine
Stellen bekannt, an denen die angegebene Abschätzung von R0 (t) zur Vorzeichenbestimmung von
Z(t) nicht ausreichend wäre.
11) Berry [6] hat diese Vermutung 1995 für beliebige t bewiesen.
9)
Kapitel 1
Formale Herleitung der
Riemann-Siegel-Formel
1.1
Definition und Integraldarstellung von Z(t)
Es sei t reell. Wir setzen
ϑ(t) := = log Γ 1 + i t − t log π
4
2
2
(1.1)
Z(t)1) := eiϑ(t) ζ 1 + it .
2
(1.2)
und
Dabei ist der Logarithmus in (1.1) so zu bestimmen, daß ϑ(t) bei t = 0 verschwindet.
Die in (1.2) eingeführte Funktion Z(t) ergibt sich auf natürliche Weise aus
der Riemann-Siegel-Integralformel (Satz 4.1.6, S. 65). Setzen wir nämlich dort s =
1/2 + it, so werden die beiden Ausdrücke auf der rechten Seite konjugiert komplex.
Daher genügt es, wenn wir von einem dieser Ausdrücke den doppelten Realteil
nehmen. Wir erhalten so
1
t
π − 4 −i 2 Γ 1 + i t ζ 1 + it
4
2
2
(1.3)
Z −iπx2 −1/2+it 1
t
e
x
= 2 < π − 4 +i 2 Γ 1 − i t
dx .
4
2
eiπx − e−iπx
0&1
1) Diese heute übliche Bezeichnung für die rechtsstehende Funktion geht auf Titchmarsh zurück, der sie 1951 in seinem Buch über die Zetafunktion [34, S. 79] erstmals verwendet hat.
Es handelt sich dabei wohl nicht um ein lateinisches Z“, sondern um ein großes griechisches
”
Zeta, so daß die Funktion verbal mit Groß-Zeta von t“ bezeichnet werden sollte. Sie wird in der
”
Literatur oft Hardys-Z-Funktion“ genannt, was ein wenig mißverständlich ist, da sie in G. H.
”
Hardys Publikationen nicht explizit vorkommt und insbesondere die Bezeichnung Z(t) dort nicht
zu finden ist.
8
Kapitel 1. Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
Wegen (1.1) gilt die Zerlegung (von allen Logarithmen ist der Hauptwert zu nehmen)
t
1
1
t
t
1
1
t
π − 4 −i 2 Γ 1 + i t = e< log Γ( 4 +i 2 )− 4 log π · ei(= log Γ( 4 +i 2 )− 2 log π)
4
2
= f (t) · eiϑ(t) ,
wobei wir zur Abkürzung
f (t) := e< log Γ( 4 +i 2 )− 4 log π
1
t
1
gesetzt haben. Da f (t) und ϑ(t) reell sind, erhält man hieraus durch Übergang zum
konjugiert Komplexen
t
1
π − 4 +i 2 Γ 1 − i t = f (t) · e−iϑ(t) .
4
2
Damit folgt aus (1.2) und (1.3) nach Kürzen von f (t) die Integraldarstellung
Z
−iπx2 −1/2+it
e
x
−iϑ(t)
Z(t) = 2 < e
dx ,
(1.4)
eiπx − e−iπx
0&1
aus der unmittelbar hervorgeht, daß Z(t) reell ist. Wegen |Z(t)| = |ζ(1/2 + it)| läßt
sich die Untersuchung der Nullstellen der Zetafunktion auf der kritischen Geraden
<(s) = 1/2 durch Einführung der Funktion Z(t) auf ein reelles Problem zurückführen.
Die Integraldarstellung (1.4) kann auf einfache Weise verallgemeinert werden.
Es sei N eine natürliche Zahl. Verschieben wir den Integrationsweg 0&1 um N
nach rechts, so ergibt sich mit Hilfe des Residuensatzes
Z
−iπx2 −1/2+it
e
x
−iϑ(t)
Z(t) = 2 < e
dx
eiπx − e−iπx
N &N +1
N
X
−iπx2 −1/2+it
e
x
−iϑ(t)
+ 2 < 2πi e
Res iπx
,
x=n e
− e−iπx
n=1
und wir erhalten wegen
−iϑ(t)
2πi e
N
X
n=1
N
X
−iπx2 −1/2+it
2
e
x
1
Res iπx
2πi e−iϑ(t) e−iπn n−1/2+it Res
−iπx =
x=n e
x=n
−e
2i sin πx
n=1
=
N
X
2πi ei(t log n−ϑ(t)) n−1/2 (−1)n
n=1
2
(−1)n
2πi
N
X
ei(t log√n−ϑ(t))
=
n
n=1
die für jede natürliche Zahl N geltende Integraldarstellung
N
X
cos(ϑ(t)√− t log n)
Z(t) = 2
+ < IN (t)
n
n=1
(1.5)
1.2. Anwendung der Sattelpunktmethode
9
mit
Z
IN (t) = 2 e
−iϑ(t)
2
e−iπx x−1/2+it dx.
eiπx − e−iπx
(1.6)
N &N +1
Der Integrationsweg N & N + 1 ist entsprechend dem Integrationsweg 0 & 1 zu
verstehen (vgl. Abschnitt 4.1, S. 61 ff.). Wenn man leere Summen Null setzt, bleibt
(1.5) auch noch für N = 0 richtig und man erhält die Gleichung (1.4) zurück.
Wir bemerken noch, daß man sich bei der Untersuchung von Z(t) für große |t| auf positive t beschränken kann, da Z(t) eine gerade Funktion ist. Wegen
Γ(s) = Γ(s) ist nämlich ϑ(−t) = −ϑ(t) und daher nach (1.2)
Z(−t) = e−iϑ(t) ζ 1 − it = eiϑ(t) ζ 1 + it = Z(t) = Z(t),
2
2
denn Z(t) ist reell.
1.2
Anwendung der Sattelpunktmethode
Von jetzt ab sei t > 0. Wir wollen das Integral des Ausdruckes IN (t) in (1.6)
nach der Sattelpunktmethode2) auswerten. Wegen der Periodizität des Nenners
eiπx − e−iπx = 2i sin πx vernachlässigen wir diesen und betrachten nur den Zäh2
2
ler e−iπx x−1/2+it = e−iπx +(−1/2+it) log x . Wir haben also die Sattelpunkte von
< −iπx2 + (−1/2 + it) log x zu bestimmen. Bekanntlich sind das die Punkte, an
denen die erste Ableitung von −iπx2 +(−1/2+it) log x, also −2πix+(−1/2+it)/x,
verschwindet. Das ist für
r
r
1
t
x=±
−
∼± t
(t → +∞)
2π 4πi
2π
der Fall. Die gesuchten
Sattelpunktepliegen daher für große positive t in der Nähe
p
der Punkte x = t/(2π) und x = − t/(2π). Wegen des Verzweigungspunktes
des
p
Integranden bei x = 0 ist für uns nur der Sattelpunkt bei x = t/(2π) brauchbar.
Wir setzen daher
r
t
a :=
2π
und haben den Integrationsweg in (1.6) durch diesen Punkt zu legen. Wenn wir dort
N := bac3) wählen und a keine ganze Zahl ist, läßt sich das wegen N < a < N + 1
erreichen. Der Integrationsweg ist in diesem Fall also die Gerade von der Steigung
−1, von links oben nach rechts unten orientiert, die die reelle Achse im Punkte
x = a schneidet. Für ganzes a setzen wir wieder N := bac = a und nehmen
denselben Integrationsweg wie eben. Den Pol des Integranden bei x = a umgehen
wir dabei mit einem kleinen Halbkreis, und zwar so, daß der Pol – unter Berücksichtigung der Orientierung – rechts des Integrationsweges liegt, so daß der
2) Allgemeines zur Sattelpunktmethode – auch Methode des stärksten Abstiegs – findet man
z. B. in [13, S. 455–460], [14, S. 526–532] oder [35, S. 235 ff.]. Riemann hat sie Ende der 1850-er
Jahre zur Herleitung der Riemann-Siegel-Formel wohl als erster angewendet (vgl. Siegels Arbeit
[31, 32] von 1932 über Riemanns Nachlaß).
3) Wie üblich bezeichnet bac die größte ganze Zahl ≤ a.
10
Kapitel 1. Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
Integrationsweg auch hier die reelle Achse zwischen den Punkten N und N + 1
schneidet. Für die so in den beiden zu unterscheidenden Fällen – a ganz bzw. nicht
ganz – festgelegten Integrationswege führen wir das gemeinsame Zeichen4) &a ein.
Aus (1.5) und (1.6) folgt damit
·
N
X
cos(ϑ(t)√− t log n)
Z(t) = 2
+ < IN (t),
n
n=1
2
Z
IN (t) = 2 e
−iϑ(t)
·a
e−iπx x−1/2+it dx,
eiπx − e−iπx
(1.7)
&
r
a :=
t ,
2π
N := bac.
Es sei darauf hingewiesen, daß der Integrationsweg bei strenger Anwendung der
Sattelpunktmethode – zumindest in der Nähe des Sattelpunktes – mit dem Weg
2
des stärksten Abstiegs zusammenfallen muß. Wegen des Faktors e−iπx geht aber
der Betrag des Integranden in (1.7) exponentiell gegen Null, wenn sich x auf dem
Integrationsweg &a von der reellen Achse entfernt, und daher besteht kein Anlaß,
diesen besonders einfach zu handhabenden Integrationsweg zu ändern. Ferner sei
noch angemerkt, daß sich weder das Ersetzen des exakten Sattelpunktes mit dem
benachbarten Punkt a noch die Abänderung des Integrationsweges für ganzzahliges
a bei der Restabschätzung in Kapitel 3, S. 41 negativ auswirken werden.
Da der Logarithmus in x−1/2+it = e(−1/2+it) log x die eindeutige holomorphe
Fortsetzung der reellen Logarithmusfunktion in die längs der negativen reellen Achse bis zum Nullpunkt aufgeschnittenen x-Ebene ist,5) können wir den Zähler des
Integranden in (1.7) durch Entwicklung um den Punkt x = a wie folgt umformen
·
2
2
e−iπx x−1/2+it = e−iπ(x−a+a)
+(−1/2+it) log (x−a+a)
2
2
= e(−1/2+it) log a−iπa · e−2πi(x−a) ge(a, x − a),
mit der Abkürzung
i
h
(1.8)
ge(a, z) := exp − 1 + it log 1 + z − 2πiaz + iπz 2 .
2
a
Wegen a > 0 ist ge(a, z) daher in der längs der negativen reellen Achse bis zum
Punkt z = −a aufgeschnittenen z-Ebene eine eindeutige holomorphe Funktion von
z mit ge(a, 0) ≡ 1.
Unter Berücksichtigung von
− 41
2
t
t
t
e(−1/2+it) log a−iπa = t
ei( 2 log 2π − 2 )
2π
folgt damit aus (1.7)
Z
− 14
−2πi(x−a)2
t
t
e
i( 2t log 2π
− 2t −ϑ(t))
IN (t) = 2
e
ge(a, x − a) dx
2π
eiπx − e−iπx
&
·a
4)
5)
Der Punkt bezeichnet die Lage des Pols relativ zum Integrationsweg bei ganzzahligem a.
Das ergibt sich aus dem Beweis der Riemann-Siegel-Integralformel in Satz 4.1.6, S. 65.
1.2. Anwendung der Sattelpunktmethode
11
und wegen eiπx − e−iπx = 2i sin πx läßt sich das auch so schreiben:
IN (t) = (−1)N −1
t
2π
− 14
U ·S,
6)
U := exp i t log t − t − π − ϑ(t)
,
2
2π 2
8
Z
−2πi(x−a)2
S := (−1)N −1 eiπ/8 e
ge(a, x − a) dx.
i sin πx
&
(1.9)
·a
Den Ausdruck S formen
√ wir noch in geeigneter Weise um. Wir substituieren
im Integral mit x = i v/(2 π) + N + 1/2 und führen die Größen
τ := √1 ,
2 2t
q :=
√ π 1 − 2(a − N )
ein. Damit wird
t = 12 ,
8τ
a = √1 ,
4 πτ
q
N + 1 −a= √ ,
2
2 π
√
und wegen v = 2i π(N + 1/2 − x) transformiert sich der Integrationsweg &a
bezüglich x in iq . bezüglich v. Beachtet man noch
·
·
v +N + 1 −a=iv−
√ iq ,
x−a=i √
2 π
2
2 π
2
q2
−2πi (x − a)2 = i (v − iq)2 = i v + qv − i ,
2
2
2
√
v + N = (−1)N cosh π v,
sin πx = cos π i √
2 π
2
so erhalten wir nach Kürzen von (−1)N und Umkehrung der Orientierung des
Integrationsweges
1 eiπ/8−iq2/2
S= √
2 π
Z
· iq
2
iq
eiv /2+qv
1 ,i v −
√
√
√
g
e
dv.
4 πτ
2 π
cosh 2π v
%
Aus (1.7) und (1.9) folgt dann, wenn wir noch einmal alles zusammenfassen und
zur Vereinfachung
1
z
√
√
g(τ, z) := ge
,i
(1.10)
4 πτ 2 π
setzen:
6) Die Einführung dieses Ausdrucks ergibt sich auf natürliche Weise aus der asymptotischen
Entwicklung von ϑ(t) (Satz 4.2.3, S. 71). Somit ist U ∼ 1 für t → +∞.
12
Kapitel 1. Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
Satz 1.2.1 (Darstellung von Z(t) nach Anwendung der Sattelpunktmethode).
N
− 41
X
cos(ϑ(t)√− t log n)
Z(t) = 2
+ (−1)N −1 t
< (U ·S)
n
2π
n=1
mit
r
a :=
t ,
2π
N := bac,
q :=
√ π 1 − 2(a − N ) ,
τ := √1 ,
2 2t
U := exp i t log t − t − π − ϑ(t) ,
2
2π 2
8
1 eiπ/8−iq2/2
S := √
2 π
Z
· iq
2
eiv /2+qv
√
g(τ, v − iq) dv,
cosh 2π v
%
g(τ, z) := exp
h
2i
1
i
z
z
− + 2 log 1 + 2iτ z +
−i
.
2 8τ
4τ
4
Den rechtsstehenden Ausdruck für g(τ, z) erhält man aus der Definition dieser
Funktion in (1.10) zusammen mit Gleichung (1.8). Wegen τ > 0 ist g(τ, z) daher
in der längs der positiven imaginären Achse bis zum Punkt z = i/(2τ ) aufgeschnittenen z-Ebene eine eindeutige holomorphe Funktion von z mit g(τ, 0) ≡ 1.
iq
Der Integrationsweg % ist jetzt die von links unten nach rechts oben orientierte Gerade
Dabei ist für ganzzahliges a,
√ der Steigung 1 durch den Punkt v = iq. √
wenn q = π wird, der Pol des Integranden bei v = i π mit einem kleinen Halbkreis so zu umgehen, daß der Pol – unter Berücksichtigung der Orientierung – links
des Integrationsweges liegt, so daß
auch hier die imaginäre
√ der Integrationsweg
√
Achse zwischen den Punkten −i π und i π schneidet.
Aus Satz 1.2.1 werden wir im nächsten Abschnitt die Riemann-Siegel-Formel
herleiten. Um die dabei auftretenden Formeln möglichst einfach zu gestalten, haben
wir dem Ausdruck S die obenstehende Form gegeben und die Hilfsvariable τ eingeführt. Dabei erweist es sich als besonders vorteilhaft, daß die Funktion g(τ, z) im
Gegensatz zu ge(a, z) die Zahl π nicht mehr enthält.
·
1.3
Die Riemann-Siegel-Formel
Wir wollen jetzt den Ausdruck < (U ·S) aus√Satz 1.2.1 in eine formale Reihe nach
Potenzen von τ entwickeln. Wegen τ = 1/(2
√ 2t) entspricht das einer Entwicklung
von < (U·S) nach negativen Potenzen von t. Wir erhalten diese Entwicklung, wenn
wir zunächst für U bzw. S je eine formale Reihe nach Potenzen von τ herleiten,
diese Reihen miteinander multiplizieren und zum Realteil übergehen.
Der Ausdruck U besitzt eine asymptotische Entwicklung der Form
U∼
∞
X
n=0
in αn τ 2n
(τ → 0).
(1.11)
1.3. Die Riemann-Siegel-Formel
13
Die Koeffizienten αn sind rationale Zahlen mit α0 = 1. Alles weitere hierzu findet
man in Satz 4.2.4, S. 74.
Wir bestimmen jetzt das Verhalten von S für τ → 0. Die Funktion g(τ, z)
ist gerade so konstruiert, daß limτ →0 g(τ, z) ≡ 1 ist. Ersetzen wir nämlich den
Logarithmus in
2
− 1 + i 2 log 1 + 2iτ z + z − i z
(1.12)
2 8τ
4τ
4
mit den ersten beiden Gliedern seiner Potenzreihe, so wird dieser Ausdruck für
jedes feste z gleich
2
− 1 + i 2 2izτ + 2z 2 τ 2 + O τ 3 + z − i z
2 8τ
4τ
4
2
2
= − z + i z + O (τ ) + z − i z = O (τ ) .
4τ
4
4τ
4
Folglich verschwindet (1.12) für τ → 0 und es ist wie √
behauptet √
limτ →0 g(τ, z) ≡ 1.
Nach Definition von q in Satz 1.2.1 gilt immer − π < q ≤ π. Wir setzen für
diese q
Z
2
1 eiπ/8−iq2/2
eiv /2+qv
√
Fe(q) := √
dv
(1.13)
2 π
cosh 2π v
iq
%
und haben dann S ∼ Fe(q) für τ → 0. Eine einfache Anwendung des Cauchyschen
√
√
iq
Integralsatzes zeigt, daß man den Integrationsweg % in (1.13) mit i π % −i π
ersetzen darf ohne den Wert√des Integrals zu verändern, und zwar auch dann,
wenn a ganzzahlig und q = π wird. Nach Satz 4.1.2, S. 61 ist Fe(q) daher mit
elementaren Funktionen darstellbar:
√
√
π
q2
q2
3π
3π 7)
2
cos
cos
+
q
−
sin
+
2
8
2
2
8
√
√
Fe(q) =
+i
.
(1.14)
cos πq
cos πq
·
·
Setzen wir noch für reelle q
q2
3π
cos
+
2
√ 8 ,
Fb(q) := < Fe(q) =
cos πq
√
Fb (q) := = Fe(q) =
(1.15)
√
2 cos
π
2 q
− sin
√
cos πq
q2
2
+
3π
8
,
so wird, da nach (1.11) U ∼ √
1 für τ → 0 gilt, U ·S ∼ Fe(q) und < (U ·S) ∼ Fb(q) für
1/4
τ → 0. Wegen (t/(2π))
= a folgt so aus Satz 1.2.1 für Z(t) die Darstellung (a,
N und q wie dort definiert)
2
N
X
N −1 cos q + 3π
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
2
√
√ 8
Z(t) ∼ 2
+
·
n
a
cos
πq
n=1
7)
(τ → 0).
(1.16)
Genau genommen ist diese Darstellung von Fe(q) die holomorphe Fortsetzung der in (1.13)
√
√
für reelle q mit − π < q ≤ π eingeführten Funktion Fe(q) in die ganze q-Ebene.
14
Kapitel 1. Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
Das ist die Riemann-Siegel-Formel in ihrer einfachsten Form.
Durch Entwicklung von g(τ, z) in eine Potenzreihe nach τ 8) läßt sich (1.16) zu
einer vollen asymptotischen Entwicklung
Für 2τ |z| < 19) kann man den
P∞ ausbauen.
n−1
Logarithmus in (1.12) mit der Reihe n=1 (−1)
(2iτ z)n /n ersetzen. Diese Reihe
konvergiert für 2τ |z| ≤ θ < 1 (θ reell > 0) absolut und gleichmäßig als Funktion der
beiden Veränderlichen τ und z. Wir können daher den so entstehenden Ausdruck
nach Potenzen von τ anordnen. Da (1.12) für τ → 0 verschwindet, erhalten wir
auf diese Weise eine Potenzreihe in τ , deren absolutes Glied verschwindet und
deren Koeffizienten Polynome in z sind. Setzen wir jetzt diese Potenzreihe in die
Potenzreihe der Exponentialfunktion ein und ordnen wieder nach Potenzen von τ ,
so ergibt sich die gesuchte Entwicklung von g(τ, z). Diese konvergiert ebenfalls für
2τ |z| ≤ θ < 1 absolut und gleichmäßig als Funktion der beiden Veränderlichen τ
und z, ihr konstantes Glied ist 1 und ihre Koeffizienten sind wiederum Polynome
in z. Wir haben daher in dem Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten
g(τ, z) =
∞
X
Pn (z) τ n
(2τ |z| < 1)
(1.17)
n=0
die Polynome Pn (z) zu bestimmen. Wegen g(0, z) ≡ 1 ≡ g(τ, 0) müssen die Pn (z)
den Bedingungen
P0 (z) ≡ 1,
(1.18)
(n ≥ 1)
Pn (0) = 0
genügen.
Der Einfachheit halber bezeichnen wir die partielle Ableitung von g(τ, z) nach
z mit g 0 (τ, z). Dann ist die logarithmische Ableitung von g(τ, z) nach z gleich der
Ableitung des Ausdruckes (1.12) nach z und wir erhalten nach einer einfachen
Rechnung
2
g 0 (τ, z)
=τ z −i
g(τ, z)
1 + 2iτ z
und daraus die homogene Differentialgleichung erster Ordnung
(1 + 2iτ z) g 0 (τ, z) − τ (z 2 − i) g(τ, z) = 0.
(1.19)
Wir tragen hier die Gleichung (1.17) ein:
(1 + 2iτ z)
∞
X
n=0
8)
Pn0 (z) τ n
2
− (z − i)
∞
X
Pn (z) τ n+1 = 0.
n=0
Siegel [31, 32], Edwards [16, Ch. 7.5] und Crary [15] entwickeln die der Funktion g(τ, z)
entsprechenden Funktionen – bei Verwendung unserer Schreibweise – nicht nach τ sondern nach
z. Die formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel führt zwar auch so zum Ziel, jedoch ist es
der natürlichere Weg, wenn man zur Entwicklung von < (U·S) nach Potenzen von τ die Funktion
g(τ, z) gleich in eine Potenzreihe nach τ entwickelt. Das erweist sich für die Restabschätzung in
Kapitel 3 als wichtige Grundvoraussetzung; denn andernfalls, d. h. bei einer Entwicklung von
g(τ, z) nach Potenzen von z, würden die dann auftretenden Formeln derart kompliziert, daß eine
realistische Restabschätzung mit vertretbarem Aufwand nicht mehr durchführbar wäre.
9) Für uns ist τ immer positiv, so daß die Betragstriche bei τ fortfallen können.
1.3. Die Riemann-Siegel-Formel
15
Da nach (1.18) P00 (z) = 0 ist, können wir das in die Form
∞
X
0
Pn+1
(z) τ n+1
n=0
+
∞
X
2iz
Pn0 (z) τ n+1
∞
X
−
n=0
(z 2 − i) Pn (z) τ n+1 = 0
n=0
bringen und durch Koeffizientenvergleich folgt
0
Pn+1
(z) + 2iz Pn0 (z) − (z 2 − i) Pn (z) = 0
(n ≥ 0).
(1.20)
Wir ersetzen z mit x und integrieren von 0 bis z über x. Unter Beachtung von
(1.18) erhalten wir
Zz
Zz
Pn+1 (z) + 2i x Pn0 (x) dx − (x2 − i) Pn (x) dx = 0
0
(n ≥ 0).
0
Partielle Integration gestattet die Umformung
Zz
Zz
0
x Pn (x) dx = z Pn (z) − Pn (x) dx,
0
0
und es ergibt sich die Rekursionsformel
Zz
Pn+1 (z) = (x2 + i) Pn (x) dx − 2iz Pn (z)
(n ≥ 0),
0
(1.21)
P0 (z) ≡ 1,
aus der man unmittelbar folgende Eigenschaften der Polynome Pn (z) ablesen kann:
(a) Pn (z) ist für gerades n eine gerade und für ungerades n eine ungerade Funktion von z.
(b) Pn (z) hat den Grad 3n.
(c) Die Koeffizienten der Potenzen z 0 bis z n−1 des Polynoms Pn (z) verschwinden,
so daß die Funktionen z −n Pn (z) Polynome vom Grade 2n sind.
Um die Berechnung der Polynome Pn (z) aus der Rekursionsformel (1.21) zu
(n)
vereinfachen, machen wir mit unbestimmten Koeffizienten ak den Ansatz
Pn (z) =
n
X
k=0
(n)
ik−n
ak
z n+2k
(n + 2k)!
(n ≥ 0),
(1.22)
der aufgrund der Eigenschaften (a), (b) und (c) in dieser Form zulässig ist. Wir
16
Kapitel 1. Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
(n)
tragen das in (1.21) ein, definieren noch ak
n+1
X
n
(n+1)
k−n−1
i
k=0
= 0 für k < 0 oder k > n und erhalten
(n)
X
n+2k+3
ak
ak
z n+2k+1 =
· z
ik−n
(n + 2k + 1)!
(n + 2k)! n + 2k + 3
k=0
+
n
X
(n)
ik−n+1
n+2k+1
ak
· z
(n + 2k)! n + 2k + 1
ik−n+1
2 ak
z n+2k+1
(n + 2k)!
k=0
−
n
X
(n)
k=0
=
n+1
X
(n)
(n)
(n)
ik−n−1 ak−1
ik−n+1 ak
2 ik−n+1 ak
+
−
(n + 2k + 1)(n + 2k − 2)! (n + 2k + 1)!
(n + 2k)!
k=0
!
z n+2k+1 .
Durch Koeffizientenvergleich folgt hieraus – nach Multiplikation mit (n + 2k + 1)!
und Kürzen von ik−n−1 – die Rekursionsformel
(n+1)
ak
(n)
(n)
= (n + 2k − 1)(n + 2k) ak−1 + (2n + 4k + 1) ak
(n ≥ 0,
0 ≤ k ≤ n + 1),
(0)
a0 = 1,
(n)
ak
=0
(1.23)
für k < 0 oder k > n,
(n)
aus der unmittelbar hervorgeht, daß die ak natürliche Zahlen sind. Dabei ergibt
(0)
sich die Anfangsbedingung a0 = 1 wegen P0 (z) ≡ 1 direkt aus (1.22).
(n)
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel lassen sich die ak sehr leicht berechnen.
Für n ≤ 11 findet man ihre exakten Werte – aus Gründen der Übersichtlichkeit in
Primfaktoren zerlegt – in Tabelle I, S. 91. Bei der Restabschätzung in Kapitel 3
werden uns diese numerischen Werte noch nützlich sein.
Wir ersetzen jetzt die Funktion
g(τ, v − iq) in der Integraldarstellung von S
P∞
aus Satz 1.2.1 mit der Potenzreihe n=0 Pn (v − iq) τ n , vertauschen die Integration
mit der Summation und erhalten
S∼
∞
X
Bn (q) τ n
(1.24)
n=0
mit
1 eiπ/8−iq2/2
Bn (q) := √
2 π
Z
· iq
2
eiv /2+qv
√
Pn (v − iq) dv
cosh 2π v
(n ≥ 0).
(1.25)
%
P∞
Da wir die Reihe n=0 Pn (v − iq) τ n , die nur für |v − iq| < 1/(2τ ) konvergiert,
iq
gliedweise über den unendlichen Integrationsweg % integriert haben, können wir
in (1.24) kein Gleichheitszeichen setzen. Das
gewählte Zeichen ∼“ besagt
Pdort
”
∞
zunächst nur, daß die formale Potenzreihe n=0 Bn (q) τ n dem Ausdruck S auf
natürliche Weise zugeordnet ist. Es ist aber zu vermuten, daß es sich bei (1.24) um
·
1.3. Die Riemann-Siegel-Formel
17
eine asymptotische Entwicklung des Ausdruckes S für τ → 0 handelt. In Kapitel 3
werden wir das beweisen.
Wir tragen nun die Darstellung (1.22) der Polynome Pn (z) in (1.25) ein. Es
folgt
Bn (q) =
n
X
(n)
ik−n
k=0
ak
bn+2k (q)
(n + 2k)!
(n ≥ 0)
(1.26)
(m ≥ 0),
(1.27)
mit
1 eiπ/8−iq2/2
bm (q) := √
2 π
Z
· iq
2
eiv /2+qv
√
(v − iq)m dv
π
cosh 2 v
%
so daß wir zur Berechnung der Koeffizienten Bn (q) nur noch die Funktionen bm (q)
zu bestimmen brauchen. Für m = 0 folgt aus (1.13) die Beziehung b0 (q) = Fe(q).
Für m > 0 läßt sich bm (q) in endlicher Form mit Ableitungen der Funktion Fe(q)
√
√
iq
darstellen. Dazu ersetzen wir den Integrationsweg % in (1.13) mit i π % −i π
und schreiben q + x für q. Wir erhalten
Z
2
2
2
1
eiv /2+qv+xv
iπ/8−i(q
+2qx+x
)/2
e
√
F (q + x) = √ e
dv
2 π
cosh 2π v
·
√
√
i π%−i π
und daraus
e
ix2/2
1 eiπ/8−iq2/2
Fe(q + x) = √
2 π
2
Z
eiv /2+qv
√
ex(v−iq) dv
cosh 2π v
√
√
i π%−i π
=
∞
X
m=0
"
1 eiπ/8−iq2/2
√
2 π
Z
#
2
m
eiv /2+qv
m
√
(v − iq) dv x .
π
m!
cosh 2 v
√
√
i π%−i π
√
√
iq
Da − π < q ≤ π ist, können wir hier als Integrationsweg wieder % wählen.
P
∞
Ersetzen von Fe(q +x) mit der Taylorreihe m=0 Fe(m) (q) xm /m! und Vergleich mit
(1.27) ergibt so die Formel
·
2
eix /2
∞
∞
X
X
Fe(m) (q) m
bm (q) m
x =
x ,
m!
m!
m=0
(1.28)
m=0
aus der sich die bm (q) durch Koeffizientenvergleich berechnen lassen, wenn man die
ix2/2
Funktion eP
mit ihrer Potenzreihe um den Punkt x = 0 ersetzt und diese mit
∞
der Reihe m=0 Fe(m) (q) xm /m! multipliziert.
Wir bilden jetzt das Produkt der beiden formalen Potenzreihen (1.11) und
(1.24). Die Koeffizienten in dem Ansatz
U ·S ∼
∞
X
n=0
en (q) τ n
C
(1.29)
18
Kapitel 1. Formale Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
berechnen sich dann nach den Formeln
e2n (q) =
C
n
X
ik αk B2n−2k (q),
k=0
e2n+1 (q) =
C
n
X
(n ≥ 0)
(1.30)
(n ≥ 0),
(1.31)
ik αk B2n+1−2k (q).
k=0
Setzen wir noch
bn (q) := < C
en (q)
C
so wird
< (U ·S) ∼
∞
X
bn (q) τ n ,
C
(1.32)
n=0
und aus Satz 1.2.1 folgt mit (t/(2π))1/4 =
√
a die formale Entwicklung für Z(t)
Satz 1.3.1 (Riemann-Siegel-Formel).
Z(t) ∼ 2
N
∞
X
N −1 X
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
bn (q) τ n
√
C
+
n
a
n=1
n=0
mit
r
a :=
t ,
2π
N := bac,
q :=
√ π 1 − 2(a − N ) ,
τ := √1 .
2 2t
In Kapitel 3 werden wir zeigen, daß es sich hierbei um eine asymptotische Entwicklung der Funktion Z(t) für t → +∞ handelt. Die Identität unserer Darstellung
mit der Riemann-Siegel-Formel folgt dann aus dem Eindeutigkeitssatz asymptotischer Entwicklungen durch Vergleich mit der von Siegel in [32, S. 290] angegebenen
asymptotischen Entwicklung von Z(t), wenn man diese auf unsere Form transformiert, d. h. mit den Größen τ und q schreibt. Die Funktion Fb (q) = = Fe(q) wird
bn (q) nicht auftreten. Für n = 0 kann man das didaher in den Koeffizienten C
b0 (q) = Fb(q). Den
rekt nachprüfen, denn in Übereinstimmung mit (1.16) wird C
allgemeinen Beweis findet man im nächsten Kapitel.
bn (q) auf folgende
Nach den obenstehenden Formeln können die Koeffizienten C
Weise berechnet werden:
(n)
Man bestimme die ak aus (1.23), die bm (q) aus (1.28) und damit die
Bn (q) aus (1.26). Mit den Zahlen αn – numerische Werte findet man in
en (q) aus (1.30) und
Satz 4.2.4, S. 74 für n ≤ 8 – erhält man dann die C
b
daraus die gesuchten Cn (q) durch Übergang zum Realteil aus (1.31).
Der dafür notwendige Rechenaufwand ist jedoch untragbar. Im nächsten Kapitel
bn (q) ohne Kenntnis
werden wir ein Verfahren kennenlernen, das es gestattet, die C
(n)
der ak , bm (q), Bn (q) und αn direkt zu berechnen.
Kapitel 2
Die Koeffizienten der
Riemann-Siegel-Formel
2.1
Formeln zur Koeffizientenberechnung
bn (q) in der Riemann-Siegel-Formel aus Satz 1.3.1, S. 18 lassen
Die Koeffizienten C
sich auf folgende Weise sehr einfach berechnen:
Satz 2.1.1. Mit der Funktion
2
cos q2 + 3π
√ 8
Fb(q) :=
cos πq
wird
b3n/4c
bn (q) =
C
X
(n)
dk
k=0
Die
Fb(3n−4k) (q)
(3n − 4k)!
(n ≥ 0).
(2.1)
(n)
dk
sind positive rationale Zahlen, die der Rekursionsformel
3(n + 1)
(n+1)
(n)
(n)
,
dk
= (3n + 1 − 4k)(3n + 2 − 4k) dk + dk−1 n ≥ 0, 0 ≤ k <
4
(2.2)
(n)
dk = 0
für k < 0 oder k > 3n ,
4
(4n)
d3n = λn
(n ≥ 0)
(2.3)
genügen. Die Zahlen λn sind rekursiv durch
λ0 = 1,
(n + 1) λn+1 =
n
X
(2.4)
24k+1 |E2k+2 | λn−k
(n ≥ 0)
k=0
gegeben. Dabei sind die E2k die Eulerschen Zahlen. Für die ersten λn ergeben sich
die Werte
λ0 = 1,
20
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
λ1 = 2,
λ4 = 2 · 3 · 7 · 68 111,
λ2 = 2 · 41,
λ5 = 22 · 3 · 47 · 499 · 4 729,
λ3 = 22 · 3 · 881,
λ6 = 22 · 3 · 409 · 193 077 047.
Alle hier auftretenden Zahlen sind prim.
bn (q) sind daher positive rationale Kombinationen gewisser Ableitungen
Die C
0
b
von F (q), nämlich von Fb(3n) (q), Fb(3n−4) (q), Fb(3n−8) (q), . . ., Fb(3n−4k ) (q), wo k 0
die größte ganze Zahl ≤ 3n/4 ist.
(n)
Die dk lassen sich für n < 4m sehr einfach aus (2.2) berechnen, wenn die
(4n)
Zahlen λn = d3n für 0 ≤ n < m bekannt sind, die man sehr rasch aus (2.4)
bestimmen kann. Für n ≤ 6 ergeben sich so die oben angegebenen numerischen
Werte.
(n)
Da die λn nach (2.4) positive rationale Zahlen sind, sind auch alle dk positiv
(n)
rational; jedoch ist es sehr wahrscheinlich, daß alle λn und damit auch alle dk
natürliche Zahlen sind. Ein allgemeingültiger Beweis für diese Vermutung ist dem
Autor nicht bekannt.1) Uns genügt die Tatsache, daß die λn für n ≤ 6 und demnach
(n)
(n)
die dk für n ≤ 27 natürliche Zahlen sind. In Tabelle II, S. 95 sind die dk – aus
Gründen der Übersichtlichkeit in Primfaktoren zerlegt – für n ≤ 12 angegeben.
Der Beweis von Satz 2.1.1 ist leider etwas aufwendig und wird den größten Teil
dieses Abschnittes einnehmen. Wir treffen dazu folgende Konvention:
Unter dem Ausdruck k.T.v. f (x) “ mit der Abkürzung k.T.v.“ für
”
”
konstanter Term von“ wollen wir das konstante Glied der – u. U.
”
nur formalen – Laurententwicklung von f (x) um den Punkt x = 0
verstehen. Das soll auch dann gelten, wenn f (x) außer von x noch von
anderen Variablen abhängt.
Mit Hilfe des P
nächsten Satzes können die Koeffizienten Bn (q) der formalen
∞
Entwicklung S ∼ n=0 Bn (q) τ n (vgl. in Abschnitt 1.3, S. 16 ff.) ohne Kenntnis
(n)
der Zahlen ak und der Funktionen bm (q) direkt berechnet werden:
Satz 2.1.2. Für n ≥ 0 ist
∞
X
Fe(m) (q) m
Bn (q) = k.T.v. An (x)
x .
m!
(2.5)
m=0
Die Funktionen An (x) sind rekursiv durch
2
A0 (x) = eix /2 ,
An+1 (x) = x An (x) +
An (x)
x
gegeben.
1)
Arias de Reyna [2] hat diese Vermutung 2003 bewiesen.
(2.6)
00
(n ≥ 0)
2.1. Formeln zur Koeffizientenberechnung
21
Beweis. Wir führen folgende Polynome vom Grade 3n in x−1 ein
Qn (x) :=
n
X
(n)
ik−n ak x−n−2k
(n ≥ 0)
(2.7)
(n ≥ 0).
(2.8)
k=0
und setzen damit
2
An (x) := eix /2 Qn (x)
(n)
Die ak sind die in (1.23), S. 16 rekursiv eingeführten natürlichen Zahlen.
Wir multiplizieren Gleichung (1.28), S. 17 mit Qn (x) und erhalten wegen (2.8)
∞
∞
X
X
bm (q) m
Fe(m) (q) m
x = Qn (x)
x
An (x)
m!
m!
(n ≥ 0).
m=0
m=0
Da Qn (x) als Polynom in x−1 den Grad 3n hat, lassen sich hier beide Seiten der
Gleichung in beständig konvergierende Laurentreihen mit endlichem Hauptteil um
den Punkt x = 0 entwickeln und die höchste nicht verschwindende negative Potenz
von x ist x−3n . Wir vergleichen die konstanten Glieder dieser beiden Laurentreihen:
X
∞
n
(n)
X
ak
bm (q) m
k.T.v. Qn (x)
x
=
ik−n
bn+2k (q) = Bn (q)
m!
(n + 2k)!
m=0
k=0
unter Verwendung von (1.26), S. 17. Folglich ist auch
∞
X
Fe(m) (q) m
Bn (q) = k.T.v. An (x)
x
m!
(n ≥ 0)
m=0
und (2.5) ist bewiesen.
Zum Beweis von (2.6) leiten wir zunächst eine Rekursionsformel für die Qn (x)
(n)
(n)
her. Aus den Eigenschaften der Zahlen ak – man beachte besonders ak = 0 für
k < 0 oder k > n – folgen für n ≥ 0 die Gleichungen
n
X
Qn (x)
(n)
=
ik−n ak x−n−2k−1
x
k=0
=
n+1
X
(n)
ik−n ak x−n−2k−1 ,
k=0
Qn (x)
x
0
=−
n
X
(n)
ik−n (n + 2k + 1) ak x−n−2k−2
k=0
=−
n+1
X
(n)
ik−n (n + 2k + 1) ak x−n−2k−2 ,
k=0
Qn (x)
x
00
=
n
X
(n)
ik−n (n + 2k + 1)(n + 2k + 2) ak x−n−2k−3
k=0
=
n+1
X
k=0
(n)
ik−n−1 (n + 2k − 1)(n + 2k) ak−1 x−n−2k−1 .
22
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
(Die hochgestellten Striche bedeuten natürlich ein- bzw. zweimalige Differentiation
nach x). Damit wird unter Beachtung von (1.23)
n+1
X
=
Qn (x)
x
00
0
Qn (x)
Q (x)
+ 2ix
+i n
x
x
(n)
ik−n−1 (n + 2k − 1)(n + 2k) ak−1 x−n−2k−1
k=0
−
n+1
X
(n)
ik−n+1 (2n + 4k + 2) ak x−n−2k−1
k=0
+
n+1
X
(n)
ik−n+1 ak x−n−2k−1
k=0
=
n+1
X
(n)
(n) ik−n−1 (n + 2k − 1)(n + 2k) ak−1 + (2n + 4k + 1) ak x−n−2k−1
k=0
=
n+1
X
(n+1)
ik−n−1 ak
x−n−2k−1 = Qn+1 (x),
k=0
und wir haben die Rekursionsformel
Q0 (x) ≡ 1,
Qn+1 (x) =
Qn (x)
x
00
0
Qn (x)
Q (x)
+ 2ix
+i n
x
x
(2.9)
(n ≥ 0)
(0)
gewonnen. Die Anfangsbedingung folgt wegen a0 = 1 direkt aus (2.7). Es ist aber
nach (2.8)
2
Qn (x) = e−ix /2 An (x)
(n ≥ 0)
und daher, wie eine einfache Rechnung zeigt,
2
Qn (x)
A (x)
= e−ix /2 n
,
x
x
0
0
Qn (x)
An (x)
An (x)
−ix2/2
=e
− ix
,
x
x
x
Qn (x)
x
00
00
0
An (x)
An (x)
An (x)
−ix2/2
2
=e
− 2ix
− (x + i)
.
x
x
x
2
Wir setzen das in (2.9) ein und erhalten nach Kürzen von e−ix /2 für n ≥ 0
An+1 (x) =
An (x)
x
00
− 2ix
An (x)
x
0
− (x2 + i)
An (x)
x
2.1. Formeln zur Koeffizientenberechnung
+ 2ix
An (x)
x
= x An (x) +
0
23
+ 2x2
An (x)
x
An (x)
A (x)
+i n
x
x
00
,
2
also gerade die Behauptung (2.6). Da Q0 (x) ≡ 1 ist, folgt A0 (x) = eix /2 unmittelbar aus (2.8) und der Satz ist bewiesen.
Aus (2.6) kann man die allgemeine Form der Laurententwicklungen von An (x)
und damit aus (2.5) die allgemeine Form der Koeffizienten Bn (q) bestimmen:
Corollar 2.1.1. Für geraden Index besitzen die An (x) eine gerade und für ungeraden
Index eine ungerade Laurententwicklung um den Punkt x = 0. Die höchste nicht
verschwindende negative x-Potenz ist x−3n . Die Koeffizienten Bn (q) sind daher
für geraden Index eine Kombination von geraden und für ungeraden Index eine
Kombination von ungeraden Ableitungen der Funktion Fe(q). Die höchste in Bn (q)
auftretende Ableitung ist Fe(3n) (q).
P∞
2
Beginnend mit der Potenzreihe A0 (x) = eix /2 = m=0 (i/2)m x2m /m! ergeben
sich die Laurententwicklungen der An (x) rekursiv aus (2.6) und damit die Bn (q) aus
(2.5). Da diese für uns aber nur von geringem Interesse sind, verzichten wir darauf
en (q) in der formalen
und wenden uns gleich der Berechnung der Koeffizienten C
P∞ e
Reihe U ·S ∼ n=0 Cn (q) τ n von Gleichung (1.29), S. 17 zu.
Satz 2.1.3. Mit den
P∞An (x) aus Satz 2.1.2 und den Koeffizienten αn der formalen
Potenzreihe U ∼ n=0 in αn τ 2n aus Satz 4.2.4, S. 74 setzen wir
D2n (x) :=
n
X
ik αk A2n−2k (x),
k=0
D2n+1 (x) :=
n
X
(n ≥ 0)
(2.10)
(n ≥ 0),
(2.11)
ik αk A2n+1−2k (x).
k=0
Dann ist
∞
X
Fe(m) (q) m
e
x
Cn (q) = k.T.v. Dn (x)
m!
m=0
und die Funktionen Dn (x) genügen der Rekursionsformel
2
D0 (x) = eix /2 ,
D2n+1 (x) = x D2n (x) +
D2n+2 (x) = x D2n+1 (x) +
D2n (x)
x
00
,
(n ≥ 0)
00
2
D2n+1 (x)
+ in+1 αn+1 eix /2 .
x
(2.12)
24
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
Der Beweis ist trivial. Nach Definition der Funktionen Dn (x) in (2.10) ergibt sich
nämlich (2.11) unter Beachtung der Gleichungen (1.30) aus (2.5) und die Rekursionsformel (2.12) unmittelbar aus (2.6).
en (q) bereits direkt beMit Hilfe dieses Satzes kann man die Koeffizienten C
rechnen. Da aber in die Auswertung der Formel (2.11) nur der Hauptteil und das
konstante Glied der Laurententwicklung von Dn (x) um den Punkt x = 0 eingeht, während die rekursive Berechnung dieser Hauptteile und konstanten Glieder
nach (2.12) neben den Zahlen αn noch die Kenntnis gewisser positiver x-Potenzen
verlangt, wünscht man sich zur Verminderung des Rechenaufwandes eine Formel,
die zur Bestimmung des Hauptteils und des konstanten Gliedes der Laurententwicklung von Dn+1 (x) weitgehend nur den Hauptteil und das konstante Glied der
Laurententwicklung von Dn (x) benötigt. Eine solche Formel läßt sich mit Hilfe
einiger zusätzlicher Informationen über die allgemeine Form dieser Haupteile und
konstanten Glieder gewinnen. Als erste Informationsquelle ist hier das Corollar
en (q) statt Bn (q)
2.1.1 zu erwähnen, das auch mit Dn (x) statt An (x) und mit C
richtig bleibt, wenn man die Gleichungen (2.10) und (2.11) berücksichtigt. Die genaue Form der Hauptteile und konstanten Glieder der Funktionen Dn (x) ergibt
sich aus dem folgenden Satz.
Satz 2.1.4. Die formale Reihe
U ·S ∼
∞
X
en (q) τ n
C
n=0
läßt sich in eine nach den Ableitungen von Fe(q) angeordnete Reihe umordnen:
∞
X
n=0
∞
X
Fe(n) (q)
n .
e
.
Cn (q) τ =
Dn (τ )
n!
(2.13)
n=0
Die Funktionen Dn (τ ) sind formale Potenzreihen in τ . Sie genügen der Rekursionsformel
. D (τ )
Dn+1 (τ ) = n
τ
. D (τ )
Dn+1 (τ ) = n
− (n − 1)(n − 2)Dn−3 (τ )
τ
mit den Anfangsbedingungen
(n = 1, 2),
(2.14)
(n ≥ 3)
∞
. X
D0 (τ ) =
λn τ 4n ,
n=0
(2.15)
∞
. X
D1 (τ ) =
µn τ 4n−1 .
n=1
Die Koeffizienten λn sind rekursiv durch
λ0 = 1,
(n + 1) λn+1 =
n
X
k=0
(2.16)
24k+1 |E2k+2 | λn−k
(n ≥ 0)
2.1. Formeln zur Koeffizientenberechnung
25
gegeben. Die Koeffizienten µn bestimmen sich mit den durch
%0 = −1,
(n + 1) %n+1 = −
n
X
(2.17)
24k+1 |E2k+2 | %n−k
(n ≥ 0)
k=0
rekursiv definierten Zahlen %n aus
µn =
λn + %n
2
(n ≥ 1).
(2.18)
Die E2k sind die Eulerschen Zahlen.
Beweis. Wir betrachten die formale Potenzreihe
∞
. X
G(τ, x) :=
Dn (x) τ n ,
(2.19)
n=0
wobei wir unter Dn (x) von jetzt ab immer die Laurententwicklung dieser Funktion
um den Punkt x = 0 verstehen wollen. Damit folgt aus (2.11)
∞
∞
X
Fe(m) (q) m . X e
k.T.v. G(τ, x)
=
Cn (q) τ n ∼ U ·S.
x
m!
m=0
(2.20)
n=0
Nach den Rechengesetzen für formale Potenzreihen ist es möglich, die Reihe in
(2.19) in eine nach Potenzen von x angeordnete Reihe umzuordnen. Wir erhalten
auf diese Weise die formale Laurentreihe mit unendlichem Hauptteil
+∞
. X
G(τ, x) =
D−n (τ ) xn ,
(2.21)
n=−∞
in der die Koeffizienten Dn (τ ) formale Potenzreihen in τ sind. Trägt man diese
Darstellung von G(τ, x) in (2.20) ein, so folgt wegen
∞
∞
X
Fe(m) (q) m . X
Fe(n) (q)
k.T.v. G(τ, x)
x
=
Dn (τ )
m!
n!
m=0
n=0
die im Sinne formaler Potenzreihen zu verstehende Gleichung
∞
X
n=0
∞
X
Fe(n) (q)
n .
e
Cn (q) τ =
Dn (τ )
,
n!
n=0
die besagt, daß eine jede dieser beiden Reihen durch Umordnung aus der anderen
hervorgeht. Damit ist (2.13) bewiesen.
Zur Herleitung der Rekursionsformel (2.14) betrachten wir den Ausdruck
00 G(τ, x)
G(τ, x) − τ x G(τ, x) +
,
x
26
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
in dem die hochgestellten Striche zweimalige Differentiation nach x bedeuten. Mit
der Reihe (2.19) und den Formeln (2.12) wird dieser Ausdruck gleich
e
ix2/2
+
∞
X
Dn+1 (x) τ
n+1
n=0
00 ∞
∞ X
X
2
.
Dn (x)
τ n+1 = eix /2
in αn τ 2n ,
−
x Dn (x) +
x
n=0
n=0
so daß G(τ, x) der Differentialgleichung
00 ∞
X
2
.
G(τ, x)
G(τ, x) − τ x G(τ, x) +
= eix /2
in αn τ 2n
x
n=0
genügt. Setzen wir hier für G(τ, x) die Laurentreihe (2.21) ein, so erhalten wir für
die linke Seite der Differentialgleichung die Laurentreihe
+∞
X
D−n (τ ) xn −
n=−∞
+∞
X
τ D−n (τ ) xn+1 −
n=−∞
.
=
+∞
X
+∞
X
τ D−n (τ )(n − 1)(n − 2) xn−3
n=−∞
D−n (τ ) − τ D−n+1 (τ ) − (n + 2)(n + 1) τ D−n−3 (τ ) xn .
n=−∞
Da die rechte Seite der Differentialgleichung bei x = 0 regulär ist, muß der Hauptteil
dieser Laurentreihe verschwinden. Wir haben also
.
D−n (τ ) − τ D−n+1 (τ ) − (n + 2)(n + 1) τ D−n−3 (τ ) = 0
für n = −1, −2, −3, . . ., und das ist gerade (2.14), wenn man n mit −n ersetzt.
Für n ≥ 2 lassen sich die formalen Potenzreihen Dn (τ )2) aus (2.14) rekursiv
berechnen, falls D0 (τ ) und D1 (τ ) bekannt sind. Auf dem im Beweis von Satz 4.3.1,
S. 76 beschriebenen Wege gelingt es, diese zu bestimmen und so die Formeln (2.15)
bis (2.18) zu beweisen. Für n ≤ 6 findet man dort neben den numerischen Werten
der λn , die wir schon in Satz 2.1.1 angegeben haben, auch numerische Werte für
die Zahlen %n und µn . Der Beweis ist damit abgeschlossen.
Mit den Ergebnissen des letzten Satzes können wir jetzt Satz 2.1.1 beweisen.
Zunächst folgt aus (2.14) und den Anfangsbedingungen (2.15), daß die Koeffizienten der formalen Potenzreihen Dn (τ ) für jedes n ≥ 0 rationale Zahlen und darum
insbesondere reell sind. Ferner müssen die Exponenten aller in Dn (τ ) vorkommenen (q)
den Potenzen von τ ≡ −n mod 4 sein. Nach (2.13) sind die Koeffizienten C
daher eine reelle und rationale Kombination von Ableitungen der Funktion Fe(q)
en (q) auftretenden Ableitung von Fe(q) ist ≡ −n
und die Ordnung einer jeden in C
en (q) statt Bn (q) – die höchste in C
en (q) vormod 4. Da nach Corollar 2.1.1 – mit C
(3n)
kommende Ableitung Fe
(q) ist und die Kongruenz 3n ≡ −n mod 4 gilt, haben
e
die Cn (q) die allgemeine Form
en (q) =
C
X
(n)
dk
0≤k≤ 3n
4
Fe(3n−4k) (q)
(3n − 4k)!
(n ≥ 0)
(2.22)
2) Die in (2.21) auftretenden D (τ ) mit negativem Index sind für uns uninteressant, da sie in
n
der Gleichung (2.13) nicht vorkommen.
2.1. Formeln zur Koeffizientenberechnung
27
(n)
mit gewissen rationalen Zahlen dk . Durch Übergang zum Realteil ergibt sich
hieraus die in Satz 2.1.1 angegebene Darstellung der Koeffizienten; denn nach
(1.15), S. 13 und (1.31), S. 18 braucht man dazu nur das Zeichen e“ mit dem
”
Zeichen b“ zu ersetzen.
”
Nach (2.15) ist λn der Koeffizient von τ 4n in D0 (τ ). Mit (2.13) folgt daraus, daß
e4n (q) genau λn -mal auftritt. Andererseits
die Funktion Fe(q) für jedes n ≥ 0 in C
e4n (q) gerade d(4n) ,
ist – wie aus (2.22) ersichtlich – der Koeffizient von Fe(q) in C
3n
(4n)
so daß für alle n ≥ 0 die Beziehung d3n = λn besteht. Zusammen mit (2.16) sind
damit (2.3) und (2.4) bewiesen.
Zum Beweis der Rekursionsformel (2.2) vergleichen wir (2.22) und (2.11). Wir
erhalten:
Hauptteil und konstantes Glied von Dn (x)
X (n)
dk x−3n+4k .
hat für n ≥ 0 die Form
(2.23)
0≤k≤ 3n
4
Schreiben wir zur Abkürzung H.T.v.“ für Hauptteil von“ und nehmen in den
”
”
Formeln (2.12) auf beiden Seiten den Hauptteil, so lassen sich diese zu
H.T.v. Dn+1 (x) = H.T.v. x Dn (x) +
Dn (x)
x
00 (n ≥ 0)
zusammenfassen. Man sieht unmittelbar, daß die positiven Potenzen von Dn (x)
zur Auswertung der rechten Seite dieser Gleichung nicht benötigt werden, so daß
von Dn (x) nur der Hauptteil und das konstante Glied bekannt zu sein brauchen.
(n)
Wir setzen zur Vereinfachung noch dk := 0 für k < 0 oder k > 3n/4 und erhalten
mit (2.23) einerseits
00 Dn (x)
H.T.v. x Dn (x) +
x
"
#
X (n)
X
(n)
= H.T.v.
dk x−3n+4k+1 +
(3n − 4k + 1)(3n − 4k + 2) dk x−3n+4k−3
0≤k≤ 3n
4
0≤k≤ 3n
4
"
#
X
= H.T.v.
(n)
dk−1 x−3n+4k−3
0≤k≤ 3n
4 +1
+
X
0≤k<
=
(n)
(3n + 1 − 4k)(3n + 2 − 4k) dk x−3n+4k−3
3(n+1)
4
X
(n)
(n) (3n + 1 − 4k)(3n + 2 − 4k) dk + dk−1 x−3n+4k−3 ,
0≤k<
3(n+1)
4
und andererseits
H.T.v. Dn+1 (x) =
X
0≤k<
(n+1)
dk
3(n+1)
4
x−3n+4k−3 ,
28
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
woraus durch Koeffizientenvergleich die Rekursionsformel (2.2) folgt. Die Zahlen
(4n)
d3n – das sind die konstanten Glieder von D4n (x)3) – werden von dieser Rekursionsformel nicht erfaßt. Da wir sie jedoch oben bereits auf anderem Wege bestimmt
haben, ist das nicht wesentlich.
Damit ist Satz 2.1.1 vollständig bewiesen.
P∞ e
n
Die Idee, die Reihe
in eine nach Ableitungen von Fe(q) ann=0 Cn (q) τ
en (q) zu
geordnete Reihe umzuordnen, um so die genaue Form der Koeffizienten C
bestimmen, stammt im wesentlichen von Riemann. Der Leser vergleiche hierzu Siegel [32, S. 290 ff]. In etwas anderer Form findet man dort auch die Formeln (2.14)
und (2.15). Das in Satz 2.1.1 angegebene einfache Verfahren zur Berechnung der
Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel ist aber bei Siegel und auch bei Edwards
[16, Ch. 7] noch nicht vorhanden und daher neu.4)
Der jetzt folgende Satz ist für verschiedene Kontrollrechnungen nützlich.
Satz 2.1.5. Für n ≥ 0 ist
√
b4n ( π) = (−1)n α2n cos π ,
C
8
√
b4n+2 ( π) = (−1)n+1 α2n+1 sin π
C
8
(2.24)
und
3n
X
(4n)
(−1)k
k=0
3n+1
X
k=0
dk
= α2n ,
26n−2k (6n − 2k)!
(2.25)
(4n+2)
d
(−1)k 6n+3−2k k
= α2n+1 .
2
(6n + 3 − 2k)!
Beweis. Wir setzen in der Riemann-Siegel-Formel (Satz 1.3.1,√S. 18) t = tM :=
2
2πM√
mit ganzzahligem M > 0. Dann wird a = N = M , q = π und τ = τM =
1/(2 2tM ). Nach Satz 3.2.1 des nächsten Kapitels auf Seite 53 stellt die RiemannSiegel-Formel die Funktion Z(t) für t → +∞ bzw. τ → 0 asymptotisch dar. Da
τ → 0 erfüllt ist, wenn τ speziell die Folge τM , M = 1, 2, 3, . . . durchläuft, ist
daher
M
∞
X
M −1 X
√
cos(ϑ(tM )√− tM log n) (−1)
n
bn ( π) τM
√
Z(tM ) ∼ 2
+
C
n
M
n=1
n=0
für τM → 0.
Eine zweite Darstellung für Z(tM ) ergibt sich, wenn wir in der Riemann-SiegelFormel den√linksseitigen Grenzwert t → tM mit t < tM bilden. Wegen N = M − 1
und q = − π wird dann nämlich
Z(tM ) ∼ 2
M
−1
X
n=1
3)
∞
M −1 X
√
cos(ϑ(tM )√− tM log n) (−1)
n
bn (− π) τM
− √
C
n
M n=0
Nach (2.23) besitzen nur diejenigen Dn (x) ein konstantes Glied, deren Index durch 4 teilbar
ist.
4) Der Leser vergleiche jedoch die Bemerkung am Ende dieses Abschnittes auf Seite 31 in Zusammenhang mit der untenstehenden Formel (2.27).
2.1. Formeln zur Koeffizientenberechnung
29
für τM → 0. Subtrahieren wir √
diese Darstellung für Z(tM ) von der ersten, so
bn (q) mit
erhalten wir nach Kürzen von 2/ M , wenn wir noch beachten, daß die C
geradem Index gerade und die mit ungeradem Index ungerade Funktionen von q
sind5)
∞
X
√
2n
M
b2n ( π) τM
(τM → 0).
cos(ϑ(tM ) − tM log M ) ∼ (−1)
C
n=0
Wegen
tM log M = tM log tM − tM + πM 2
2
2π
2
ist daher
∞
X
√
2n
b2n ( π) τM
cos tM log tM − tM − ϑ(tM ) ∼
C
2
2π
2
(τM → 0).
n=0
Ein Vergleich mit der aus Satz 4.2.4, S. 74 folgenden asymptotischen Entwicklung
cos t log t − t − ϑ(t)
2
2π 2
= cos π cos t log t − t − π − ϑ(t)
8
2
2π 2
8
− sin π sin t log t − t − π − ϑ(t)
8
2
2π 2
8
= cos π <(U ) − sin π =(U )
8
8
∼ cos π
8
∞
X
(−1)n α2n τ 4n − sin π
8
n=0
∞
X
(−1)n α2n+1 τ 4n+2
n=0
ergibt dann in einfacher Weise die Gleichheit der beiden formalen Potenzreihen
cos π
8
∞
X
(−1)n α2n τ 4n − sin π
8
n=0
∞
X
∞
. Xb √
(−1)n α2n+1 τ 4n+2 =
C2n ( π) τ 2n ,
n=0
n=0
woraus wir die Formeln (2.24) durch Koeffizientenvergleich erhalten.
Mit den in Satz√4.1.5, S. 64 angegebenen Werten der geraden Ableitungen von
Fb(q) an der Stelle π ist
√
6)
Fb(12n−4k) ( π)
(−1)n+k
= 6n−2k
cos π ,
(12n − 4k)!
8
2
(6n − 2k)!
√
Fb(12n+6−4k) ( π)
(−1)n+1+k
= 6n+3−2k
sin π .
(12n + 6 − 4k)!
8
2
(6n + 3 − 2k)!
Für q =
√
π folgt damit aus (2.1)
3n
(4n)
X
√
d
b4n ( π) = cos π
C
(−1)n+k 6n−2k k
,
8
2
(6n − 2k)!
k=0
5)
6)
Das folgt aus (2.1), weil Fb(q) eine gerade Funktion von q ist.
In dem Ausdruck (12n − 4k)!“ fehlt in der Originalarbeit das n“.
”
”
30
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
3n+1
(4n+2)
X
√
d
b4n+2 ( π) = sin π
C
.
(−1)n+1+k 6n+3−2k k
8
2
(6n + 3 − 2k)!
k=0
Hieraus erhalten wir (2.25) durch Vergleich mit (2.24).
Die Formeln (2.25) kann man für Kontrollrechnungen verwenden. Sämtliche
aus Tabelle II wurden mit diesen Formeln überprüft. In allen Fällen ergab
sich Übereinstimmung mit den Werten der αn aus Satz 4.2.4, S. 74. Wir können
(n)
daher davon ausgehen, daß die dk in Tabelle II korrekt wiedergegeben sind.7)
Wir transformieren jetzt unsere Darstellung der Riemann-Siegel-Formel auf die
von Lehmer in [22] eingeführte Form, die zur numerischen Berechnung der Funktion
Z(t) heute gewöhnlich verwendet wird. Man findet die Riemann-Siegel-Formel in
dieser Form auch in [15] und [20] und – gering abgewandelt – bei Edwards in [16,
Ch. 7].
(2n)
dk
Satz 2.1.6 (Lehmersche Form der Riemann-Siegel-Formel). Für t → +∞ ist
∞
N
X
N −1 X
Cn (z)
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
√
+
Z(t) ∼ 2
n
a
an
n=0
n=1
mit
r
a :=
t ,
2π
N := bac,
z := 1 − 2(a − N ).
(n)
Die Koeffizienten Cn (z) sind mit den Zahlen dk
cos π2 z 2 +
F (z) :=
cos πz
aus Satz 2.1.1 und der Funktion
3
4
(2.26)
durch
b3n/4c
(n)
X
dk
1
Cn (z) := 2n
F (3n−4k) (z)
2
π 2n−2k (3n − 4k)!
(n ≥ 0)
(2.27)
k=0
gegeben. Für die Werte der Koeffizienten Cn (z) mit geradem Index an der Stelle 1
gilt
C4n (1) = (−1)n
C4n+2 (1) = (−1)
α2n cos π ,
28n π 2n
8
n+1
α2n+1
π
8n+4 2n+1 sin .
2
π
8
(n ≥ 0)
(2.28)
Beweis. Wir setzen
F (z) := Fb(q)
mit
7)
q
z := √ .
π
(n)
Die dk
mit ungeradem n können mit diesem Verfahren zwar nicht direkt überprüft werden;
(2n−1)
(2n)
man kann aber davon ausgehen, daß die dk
richtig sind, wenn das für die dk
letztere aus den ersten mit Hilfe der Rekursionsformel (2.2) berechnet wurden.
zutrifft, da
2.2. Potenz- und T-Reihen der Koeffizienten Cn (z)
31
Dann gilt für k ≥ 0
Fb(k) (q) =
√ −k (k)
π
F (z)
(2.29)
√
und (2.26) folgt wegen F (z) = Fb( π z) aus der in Satz 2.1.1 angegebenen Darstellung von Fb(q).
Betrachten wir nun
√ unsere Form der Riemann-Siegel-Formel in Satz 1.3.1, S.
18. Wegen τ = 1/(4a π) können wir schreiben
∞
X
∞
X
n .
b
Cn (q) τ =
n=0
n=0
∞
bn (q)
. X Cn (z)
C
√
=
(4 π )n an
an
(2.30)
n=0
mit
Cn (z) :=
bn (q)
C
√
(4 π )n
(n ≥ 0).
(2.31)
bn (q) ein und ersetzen
Tragen wir hier die Darstellung (2.1) der Koeffizienten C
b
die darin auftretenden Ableitungen von F (q) nach Gleichung (2.29) mit denen von
F (z), so ergibt sich (2.27). Unter Berücksichtigung von (2.30) folgt so die in diesem
Satz angegebene Form der Riemann-Siegel-Formel.
Mit z = 1 lautet (2.31)
b (√π)
C
(n ≥ 0)
Cn (1) = n√ n
(4 π )
und die Formeln (2.28) ergeben sich aus (2.24).
Da sich die Fakultäten sehr leicht in Primfaktoren zerlegen lassen, kann man
(n)
mit Hilfe der Primfaktorzerlegung der Zahlen dk aus Tabelle II die in (2.27) auf
(n)
tretenden rationalen Zahlen dk / 22n (3n−4k)! fast ohne Rechnung in reduzierter
Form angeben. Die sich daraus ergebenden expliziten Darstellungen der Koeffizienten Cn (z) als Kombination von Ableitungen der Funktion F (z) findet man für
n ≤ 12 in Tabelle III, S. 97.
Für n ≤ 4 sind die Cn (z) auch von Haselgrove in [20] und – gering abgewandelt – von Edwards in [16, S. 154], sowie für n ≤ 8 in der nicht reduzierten Form
(2.27) von Crary und Rosser in [15] angegeben worden. In anderer Form findet
man die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel für n ≤ 4 auch bei Siegel in [32,
S. 290].
Die Darstellung (2.27) der Koeffizienten Cn (z) ist zusammen mit der Rekursi(n)
onsformel (2.2) der Zahlen dk und den numerischen Werten der ersten λn bereits
in der Zeitschrift Math. of Comp. 31, No. 139, July 1977, P. 803 in Form einer Mitteilung veröffentlicht worden. Der zugehörige Beweis, den wir in diesem Abschnitt
geführt haben, ist aber nach Wissen des Autors bisher noch nicht erschienen.
2.2
Potenz- und T-Reihen der Koeffizienten Cn (z)
Wie die Restabschätzung im nächsten Kapitel ergeben wird, kann man die Funktion Z(t) mit Hilfe der Riemann-Siegel-Formel sehr genau berechnen. Verwendet
32
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
man dazu – wie heute allgemein üblich – die Lehmersche Form aus Satz 2.1.6, so
erhebt sich die Frage nach einem möglichst effektiven Verfahren zur numerischen
Berechnung der Koeffizienten Cn (z) für |z| ≤ 1. Dafür ist nämlich
b3n/4c
(n)
X
dk
F (3n−4k) (z)
Cn (z) := 12n
2
π 2n−2k (3n − 4k)!
(n ≥ 0)
(2.32)
k=0
mit
cos π2 z 2 +
F (z) =
cos πz
3
4
(2.33)
aus zwei Gründen denkbar ungeeignet: erstens, weil die expliziten Darstellungen
der höheren Ableitungen von F (z) eine sehr komplizierte Gestalt annehmen, und
zweitens, weil die Berechnung der Funktion F (z) mit (2.33) in der Nähe der Punkte
z = −1/2 und z = 1/2 numerisch instabil ist, da dort Zähler und Nenner gleichzeitig verschwinden. Eine einfache Überlegung zeigt, daß die letzte Bemerkung auch
für die Ableitungen von F (z) gilt, wenn man zu ihrer Berechnung die eben betrachteten expliziten Darstellungen heranzieht. Wir können diese Schwierigkeiten
aber auf folgende Weise umgehen: Als Funktion der komplexen Veränderlichen z
ist F (z) ganz.8) Da F (z) außerdem gerade in z ist, lassen sich die Funktionen Cn (z)
nach (2.32) in Potenzreihen der Form
C2n (z) =
∞
X
(2n)
c2k z 2k ,
(2.34)
k=0
(n ≥ 0)
C2n+1 (z) =
∞
X
(2n+1)
c2k+1 z 2k+1
(2.35)
k=0
entwickeln, die für alle komplexen z konvergieren und deren Koeffizienten reell
sind. Setzen wir in (2.34) n = 0 und vergleichen mit (2.33), so ergibt sich wegen
C0 (z) = F (z) bei entsprechender Zerlegung von cos [π(z 2 + 3/4)/2] die Beziehung
∞
X (0)
c2k z 2k ,
sin π cos π z 2 − cos π sin π z 2 = cos πz
8
2
8
2
(2.36)
k=0
(0)
aus der sich die Zahlen c2k rekursiv berechnen lassen, wenn man die hier auftretenden trigonometrischen Funktionen mit ihren Potenzreihen um den Punkt z = 0
ersetzt. Mit Hilfe dieser Rekursionsformel hat der Autor auf der UNIVAC 1108
der Gesellschaft für Wissenschaftliche Datenverarbeitung Göttingen unter Verwen(0)
(0)
dung einer 150-stelligen dezimalen Arithmetik die ersten c2k bis einschließlich c154
mit einem absoluten Fehler < 10−100 numerisch bestimmt.9) Die Potenzreihenkoeffizienten der Ableitungen F (m) (z) ergaben sich hieraus für m ≤ 30 mit so
(10)
hoher relativer Genauigkeit, daß die Koeffizienten c2k der Funktion C10 (z), in der
(30)
F
(z) auftritt, noch mit einem absoluten Fehler < 10−60 aus (2.32) berechnet
8) Das folgt entweder direkt aus (2.33), wenn man beachtet, daß alle Nullstellen von cos πz auch
Nullstellen von cos [π(z 2 + 3/4)/2] sind, oder aus Satz 4.1.2, S. 61 zusammen mit den Beziehungen
√
Fe(q) = Fb(q) + i Fb(q) und F (z) = Fb( π z).
9) Die Tabellen im Anhang wurden mit selbstgeschriebenen C-Programmen neu berechnet.
2.2. Potenz- und T-Reihen der Koeffizienten Cn (z)
33
werden konnten. Für n < 10 waren die absoluten Fehler der Potenzreihenkoeffizienten von Cn (z) entsprechend kleiner und ließen sich deshalb ebenfalls mit 10−60
nach oben abschätzen. Auf 50 Dezimalstellen gerundete Werte dieser Potenzreihenkoeffizienten sind für 0 ≤ n ≤ 10 in Tabelle IV, S. 101 abgedruckt10). Für jede
dieser 11 Potenzreihen ist die Summe über alle abgedruckten Koeffizienten unterhalb der durchgezogenen Linie angegeben. Diese Summen, die Näherungen für die
Funktionswerte Cn (1) darstellen, wurden mit genaueren und auf anderem Wege
berechneten Werten von Cn (1) verglichen. In allen Fällen ergaben sich nur geringe
Abweichungen in der 50-ten Stelle. Man kann daher davon ausgehen, daß sämtliche
in Tabelle IV wiedergegebenen Koeffizienten korrekt auf 50 Dezimalstellen gerundet sind. Für gerades n erhält man die für diesen Vergleich notwendigen genauen
Werte von Cn (1) aus (2.28). Für ungerades n kann man für Cn (1) zwar auch eine
Formel angeben; da diese jedoch sehr kompliziert ist, verzichten wir darauf, sie
hier wiederzugeben und verweisen auf [15]. Abschließend sei noch angemerkt, daß
nicht Gleichung (2.32) sondern die reduzierten Darstellungen aus Tabelle III, S. 97
Grundlage für die Berechnungen waren.
Schon bei Lehmer finden sich in [22] erste numerische Werte der Koeffizienten
der Potenzreihenentwicklungen (2.34) und (2.35). Haselgrove gibt diese Koeffizienten für n ≤ 4 auf etwa 11 bis 20 Dezimalstellen genau in [20] an. Die von
ihm gefundenen Werte sind von Edwards in [16, S. 158] übernommen worden.
70-stellige Werte, die mit denen aus Tabelle IV sehr gut übereinstimmen, haben
Crary und Rosser für n ≤ 6 in [15] angegeben; jedoch sind dort nicht alle Koeffizienten aufgeführt, deren Betrag > 10−70 ist. Die in Tabelle IV wiedergegebenen
Potenzreihenkoeffizienten von C7 (z) bis C10 (z) dürften neu sein.
Mit Hilfe dieser Potenzreihen kann man die Funktionen Cn (z) bereits auf recht
einfache Weise mit hoher Genauigkeit berechnen. Jedoch sind gerade für numerische Zwecke Entwicklungen Tschebyscheffschen Polynomen erster Art11) wesentlich
günstiger. Für reelle z mit |z| ≤ 1 sind diese Polynome durch
Tk (z) := cos (k arccos z)
(k ≥ 0)
(2.37)
10) Hinweis für den an einer eigenen Berechnung interessierten Leser
Die Rekursionsformel (2.36) ist numerisch instabil, so daß ihre Auswertung mit einer erheblich
höheren Rechengenauigkeit vorgenommen werden muß, als die gewünschte Genauigkeit der Potenzreihenkoeffizienten beträgt. Diese numerische Instabilität ist ein wesentliches Merkmal der
Rekursionsformel, das sich nicht – etwa durch die Art der verwendeten Arithmetik (Fest- oder
Gleitpunktarithmetik), die Art und Weise ihrer Implementierung oder ähnlicher Kriterien – beeinflussen läßt. Ursache dafür ist die unterschiedliche Geschwindigkeit, mit der die Potenzreihenkoeffizienten von cos (πz 2/2) bzw. sin (πz 2/2) im Vergleich zu denen von cos πz gegen Null
gehen.
Die bei vorgegebener Rechengenauigkeit maximal erreichbare Genauigkeit der Potenzreihenkoeffizienten läßt sich auf folgende Weise experimentell bestimmen:
Man drucke die Koeffizienten mit der vollen Rechengenauigkeit so lange aus, bis die
Beträge dieser Koeffizienten nicht mehr weiter zurückgehen, sondern aufgrund der
endlichen Rechengenauigkeit und der daraus resultierenden Rundungsfehler wieder
zu steigen beginnen. Dann liegt die maximal erreichbare Genauigkeit in der Größenordnung des betragskleinsten Koeffizienten und alle ab diesem Koeffizienten noch
weiter berechneten Potenzreihenkoeffizienten sowie die Dezimal- oder Binärstellen
ab dieser Größenordnung in den vorangehenden Koeffizienten sind irrelevant. Sollte
die so bestimmte maximale Genauigkeit nicht ausreichend sein, ist eine Erhöhung
der Rechengenauigkeit nicht zu vermeiden.
11)
Eine Aufstellung der Eigenschaften dieser Polynome findet man z. B. in [1, Kap. 22].
34
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
gegeben. Sie genügen der Rekursionsformel
T0 (z) ≡ 1,
T1 (z) = z,
Tk+1 (z) = 2z Tk (z) − Tk−1 (z)
(k ≥ 1).
Wir haben die geraden Funktionen C2n (z) und z −1 C2n+1 (z) in Reihen nach
geraden Tschebyscheffpolynomen entwickelt
∞
X
0
C2n (z) =
(2n)
γ2k T2k (z),
k=0
(n ≥ 0)
C2n+1 (z) = z
∞
X
0
(2n+1)
γ2k
(2.38)
T2k (z),
k=0
die wie die entsprechenden Potenzreihen für alle komplexen z konvergieren. Dabei
bedeutet der Strich an den Summenzeichen, daß das konstante Glied – wie bei
Fourierreihen üblich12) – zu halbieren ist.
(n)
Die Koeffizienten γ2k kann man mit Hilfe der Formeln
(2n)
γ2k
(2n)
∞ X
2l
c2l
=
,
l − k 22l−1
l=k
(n ≥ 0, k ≥ 0)
(2n+1)
γ2k
(2.39)
(2n+1)
∞ X
c2l+1
2l
=
l − k 22l−1
l=k
(n)
aus den Potenzreihenkoeffizienten ck berechnen. Man erhält diese Formeln, wenn
man die Tschebyscheffentwicklung der geraden z-Potenzen
z
2k
=
k
X
0
l=0
−2k+1
2
2k
T2l (z)
k−l
(k ≥ 0)
in die Potenzreihenentwicklungen (2.34) und (2.35) einsetzt und die dabei entstehenden unendlichen Reihen aufsteigend nach Tschebyscheffschen Polynomen an(n)
ordnet. Mit den Formeln (2.39) hat der Autor die γ2k für n ≤ 10 auf der oben
genannten Rechenanlage aus den 60-stelligen Werten der Potenzreihenkoeffizienten
numerisch bestimmt. Die auf 50 Dezimalstellen gerundeten Werte finden sich in Tabelle V, S. 113. Zur Kontrolle sind auch hier für jede der 11 Tschebyscheffreihen die
Summen über alle in der Tabelle aufgeführten Koeffizienten – bei Halbierung des
konstanten Gliedes – unterhalb der durchgezogenen Linie angegeben. Diese Summen stellen ebenfalls Näherungen für die Werte Cn (1) dar; denn wegen Tk (1) = 1
P0∞ (n)
für k ≥ 0 folgt aus den Formeln (2.38) Cn (1) =
k=0 γ2k . Ein Vergleich mit
den entsprechenden Summen von Tabelle IV ergibt nur geringe Abweichungen in
12)
der Form f (x) =
P0∞Mit der Substitution x = cos θ geht nämlich eine Tschebyscheffreihe
P0∞
a
T
(x)
wegen
(2.37)
in
die
Fouriercosinusreihe
f
(cos
θ)
=
a
cos
kθ über.
k
k
k
k=0
k=0
2.3. Abschätzungen von Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10, |z| ≤ 1)
35
der 50-ten Dezimalstelle. Man kann daher auch hier davon ausgehen, daß alle in
Tabelle V angegebenen Koeffizienten korrekt auf 50 Dezimalstellen gerundet sind.
In der Lehmerschen Form der Riemann-Siegel-Formel (Satz 2.1.6) benötigen
wir die Koeffizienten Cn (z) nur für reelle z mit |z| ≤ 1.13) Aus numerischer Sicht
sind aber gerade für diese z die Tschebyscheffentwicklungen besonders gut geeignet, da die Tschebyscheffschen Polynome in diesem Intervall der Abschätzung
|Tk (z)| ≤ 1 genügen. Anhand des folgenden Beispiels soll der Vorteil der Tschebyscheffentwicklungen gegenüber den entsprechenden Potenzreihenentwicklungen
deutlich gemacht werden.
Für reelle z mit |z| ≤ 1 ist eine Polynomapproximation für C10 (z) gesucht,
deren absoluter Fehler < 10−12 ist. Der erste Koeffizient in der Potenzreihe von
(10)
C10 (z), den man nach Tabelle IV, S. 112 vernachlässigen darf, ist c38 , so daß sich
2
ein Approximationspolynom vom Grade 18 in z ergibt. Verwendet man jedoch
die Tschebyscheffentwicklung von C10 (z), so zeigt Tabelle V, S. 124, daß wegen
(10)
|Tk (z)| ≤ 1 alle Koeffizienten ab γ20 vernachlässigt werden können. Das auf diese
Weise entstehende Polynom hat dann nur den Grad 9 in z 2 und ist wegen des geringeren Rechenaufwandes für numerische Zwecke wesentlich besser geeignet als das
aus der Potenzreihe gewonnene Approximationspolynom. Wenn man die Tschebyscheffentwicklungen (2.38) verwendet, bereitet die Berechnung der Funktionen
Cn (z) daher keinerlei Schwierigkeiten mehr.
2.3
Abschätzungen von Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10, |z| ≤ 1)
Wir wollen jetzt den Fehler untersuchen, den man begeht, wenn man die Potenzreihen (2.34) und (2.35) nach dem K-ten Gliede abbricht. Dazu benötigen wir
Abschätzungen für die Ableitungen der Funktion F (z), die man aus dem folgenden
Satz erhält.
Satz 2.3.1. Für n ≥ 0 und reelle z mit |z| ≤ 1 gelten die Abschätzungen
(2n) (2n)! n
(z) ≤ n π ,
F
2 n!
(2n+1) (z) ≤ 2n+1 π n n! .
F
(2.40)
(2.41)
(0)
Insbesondere genügen die Potenzreihenkoeffizienten c2k von F (z) der Abschätzung14)
(0) πk
(k ≥ 0).
c2k ≤ k
2 k!
Beweis. Aus der Integraldarstellung von F (z) (Satz 4.1.4, S. 64) folgt durch 2nbzw. 2n + 1-malige Differentiation nach z
Z∞
iπ/4
√
v)
(2n)
−iπ/8
−πv 2/2
iπ/4 2n cosh (πze
F
(z) = 2 < e
e
πe
v
dv ,
cosh (πeiπ/4 v)
0
13)
In Satz 2.1.6 ist zwar immer z > −1; da z dem Wert −1 aber beliebig nahe kommen kann,
ist es sinnvoll, diesen in die Betrachtung mit aufzunehmen.
14) Vgl. hierzu die in [15] gefundene, wesentlich schlechtere Abschätzung (0) < c · 5−2k . Dabei
c2k ist c eine absolute positive Konstante.
36
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
F
(2n+1)
(z) =
√
2< e
−iπ/8
Z∞
2n+1 sinh (πzeiπ/4 v)
2
e−πv /2 πeiπ/4 v
dv
.
cosh (πeiπ/4 v)
0
Unter Verwendung des Satzes 4.4.1, S. 80 gelten dann für reelle z mit |z| ≤ 1 die
Abschätzungen
Z∞
2
(2π)n
(2n) √
(z) ≤ 2
e−πv /2 (πv)2n dv = √ Γ n + 1 ,
F
π
2
0
Z∞
√
2
(2n+1) √
e−πv /2 (πv)2n+1 2 dv = 2n+1 π n Γ(n + 1),
(z) ≤ 2
F
0
aus denen (2.40) und (2.41) folgen, wenn man
(2n)! √
π
Γ n + 1 = 2n
2
2 n!
(0)
beachtet. Die Abschätzung der Potenzreihenkoeffizienten c2k = F (2k) (0)/(2k)! erhält man direkt aus (2.40).
In der Lehmerschen Form der Riemann-Siegel-Formel ist z reell mit |z| ≤ 1.15)
In allen jetzt folgenden Abschätzungen bis zum Ende dieses Abschnittes sind daher
immer diese z gemeint, auch wenn das nicht ausdrücklich erwähnt wird.
Mit dem Restglied von Lagrange ergeben sich aus (2.34) und (2.35) für K ≥ 0
die Gleichungen
C2n (z) =
K
X
(2K+2)
(2n)
c2k z 2k +
k=0
C2n
(ξ) 2K+2
z
,
(2K + 2)!
(n ≥ 0)
C2n+1 (z) =
K
X
(2n+1)
c2k+1 z 2k+1 +
k=0
(2K+3)
C2n+1 (ξ)
(2K + 3)!
(2.42)
z 2K+3 .
Dabei ist ξ eine reelle Zahl, die wegen |z| ≤ 1 der Ungleichung |ξ| < 1 genügt. Die
Restglieder in (2.42) lassen sich dann folgendermaßen abschätzen:
Satz 2.3.2. Für |ξ| < 1 und K ≥ 0 gelten die Abschätzungen
(2K+2) C
(ξ)
2n
(2K + 2)!
(2K+3) C
(ξ)
2n+1
(2K + 3)!
15)
K+1−n
≤ π7n+K+1
2
K+1−n
≤ π7n+K+5
2
3n
bX
2 c
6n + 2K + 2 − 4k
2K + 2
k=0
b6n+3
4 c
X
k=0
(2n)
22k dk
,
(3n + K + 1 − 2k)!
(n ≥ 0)
6n + 2K + 6 − 4k
2K + 3
Vgl. dazu die Fußnote 13) auf Seite 35.
(2n+1)
22k dk
(3n + K + 3 − 2k)!
.
2.3. Abschätzungen von Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10, |z| ≤ 1)
37
Beweis. Wir ersetzen n in (2.32) mit 2n bzw. 2n + 1. Dann wird
(2K+2) C
(ξ)
2n
(2K + 2)!
(2K+3) C
(ξ)
2n+1
(2K + 3)!
3n
bX
2 c
(2n)
dk
1
= 4n
F (6n+2K+2−4k) (ξ),
4n−2k
2 (2K + 2)!
π
(6n − 4k)!
k=0
b6n+3
4 c
(2n+1)
X
dk
1
F (6n+2K+6−4k) (ξ),
= 4n+2
4n+2−2k
2
(2K + 3)!
π
(6n + 3 − 4k)!
k=0
und hieraus folgt nach einfacher Umformung die Behauptung des Satzes, wenn man
die Ableitungen von F (ξ) mit ihren Abschätzungen aus Satz 2.3.1 ersetzt. Dazu
benötigt man übrigens nur (2.40), da alle hier auftretenden Ableitungen von F (ξ)
gerade sind.
Für 0 ≤ n ≤ 10 können wir jetzt den Fehler abschätzen, der entsteht, wenn man
die Funktionen Cn (z) aus ihren Potenzreihenentwicklungen unter Berücksichtigung
aller in Tabelle IV wiedergegebenen Koeffizienten berechnet. Dazu wählen wir die
(2n+1)
(2n)
Werte von K in den Formeln (2.42) so, daß c2K bzw. c2K+1 die letzten noch
in Tabelle IV wiedergegebenen Koeffizienten werden. Auf die sich so ergebenden
Restglieder wenden wir Satz 2.3.2 an und erhalten, wenn wir die dort auftretenden
(n)
Summen mit den exakten Werten der Zahlen dk aus Tabelle II, S. 95 entsprechend
genau abschätzen:
Satz 2.3.3. Für |ξ| < 1 ist
(88) (88) F
C
(ξ)
(ξ)
0
=
< 1.7 · 10−46 ,
88!
88!
(91) (98) C
C
(ξ)
(ξ)
1
6
−47
< 4.4 · 10 ,
91!
98!
(92) (99) C
C
(ξ)
(ξ)
7
2
< 1.9 · 10−46 ,
92!
99!
(93) (100) C
C
(ξ)
(ξ)
3
8
< 5.5 · 10−46 ,
93!
100!
(94) (101) C
C
(ξ)
(ξ)
9
4
< 1.4 · 10−45 ,
94!
101!
(95) (102) C
C
(ξ)
(ξ)
5
10
< 2.8 · 10−45 ,
95!
102!
< 2.0 · 10−46 ,
< 3.5 · 10−46 ,
< 5.6 · 10−46 ,
< 8.5 · 10−46 ,
< 1.3 · 10−45 .
Mit diesen Abschätzungen folgt aus (2.42), daß man Cn (z) für 0 ≤ n ≤ 10 und
|z| ≤ 1 auf mindestens 44 Dezimalstellen genau berechnen kann, wenn man alle
in Tabelle IV abgedruckten Potenzreihenkoeffizienten berücksichtigt. Verglichen
mit diesen Abschätzungen sind natürlich die Fehler, die durch das Runden der
Potenzreihenkoeffizienten auf 50 Dezimalstellen entstehen, vernachlässigbar klein,
so daß wir auf ihre Abschätzung verzichten können.
Zur Genauigkeit der Tschebyscheffentwicklungen bemerken wir noch, daß der
P∞ 0 (n)
Fehler, der entsteht, wenn man die unendliche Reihe
k=0 γ2k T2k (z) mit der
38
Kapitel 2. Die Koeffizienten der Riemann-Siegel-Formel
PK 0 (n)
Partialsumme k=0 γ2k T2k (z) ersetzt, für alle z mit |z| ≤ 1 dem Betrage nach
(n)
nur wenig größer ist als der Betrag des ersten vernachlässigten Koeffizienten γ2K+2 .
Auf eine genauere Untersuchung dieser Fehler können wir hier aber nicht eingehen.
Der folgende Satz gibt Abschätzungen für die Funktionen Cn (z).
Satz 2.3.4. Für 0 ≤ n ≤ 10 und |z| ≤ 1 lassen sich die Funktionen Cn (z)
(a) ohne Verwendung ihrer Potenzreihenentwicklungen mit
|C0 (z)| = |F (z)| ≤ 1,
|C1 (z)| < 1.1 · 10−1 ,
|C6 (z)| < 6.7 · 10−3 ,
|C2 (z)| < 3.7 · 10−2 ,
|C7 (z)| < 8.3 · 10−3 ,
|C3 (z)| < 2.8 · 10−2 ,
|C8 (z)| < 5.6 · 10−3 ,
|C4 (z)| < 1.2 · 10−2 ,
|C9 (z)| < 8.2 · 10−3 ,
|C10 (z)| < 6.3 · 10−3
|C5 (z)| < 1.2 · 10−2 ,
grob abschätzen.
(b) Numerische Untersuchungen ihrer Potenzreihen führen zu den optimalen Abschätzungen
|C0 (z)| = |F (z)| < 9.3 · 10−1 ,
|C1 (z)| < 3.1 · 10−2 ,
|C6 (z)| < 3.4 · 10−5 ,
|C2 (z)| < 5.2 · 10−3 ,
|C7 (z)| < 1.1 · 10−5 ,
|C3 (z)| < 3.2 · 10−4 ,
|C8 (z)| < 2.5 · 10−6 ,
|C4 (z)| < 4.7 · 10−4 ,
|C9 (z)| < 2.5 · 10−6 ,
|C5 (z)| < 7.6 · 10−5 ,
|C10 (z)| < 2.2 · 10−7 .
Beweis. Wir ersetzen in (2.32) wieder n mit 2n bzw. 2n + 1. Mit Hilfe von Satz
2.3.1 wird dann
3n
bX
2 c
(2n)
22k dk
1
,
|C2n (z)| ≤ 7n n
2 π
(3n − 2k)!
k=0
(n ≥ 0)
|C2n+1 (z)| ≤
1
2 π n+1
b6n+3
4 c
X
n
k=0
(2n+1)
dk
(3n + 1 − 2k)!
,
2k
2 (6n + 3 − 4k)!
(n)
und hieraus erhält man (a), wenn man diese Summen mit den Zahlen dk aus
Tabelle II mit der entsprechenden Genauigkeit abschätzt.
Die optimalen Abschätzungen (b) ergeben sich durch genauere numerische Untersuchungen der Funktionen Cn (z) mit Hilfe ihrer Potenzreihen unter Verwendung
von Tabelle IV. Aufgrund der Ergebnisse von Satz 2.3.3 ist dieses Vorgehen gerechtfertigt.
2.3. Abschätzungen von Cn (z) (0 ≤ n ≤ 10, |z| ≤ 1)
39
Bei der Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel im nächsten Kapitel werden uns diese Abschätzungen der Cn (z) noch von Nutzen sein. Mit Hilfe von (b)
wird es gelingen, die ersten fünf Restglieder der Riemann-Siegel-Formel optimal
abzuschätzen.
Kapitel 3
Die Riemann-Siegel-Formel
mit Restglied
3.1
Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S
In Kapitel 1, S. 7 haben wir für den Ausdruck
Z
2
1 eiπ/8−iq2/2
eiv /2+qv
√
S := √
g(τ, v − iq) dv
2 π
cosh 2π v
iq
%
die formale Entwicklung nach Potenzen von τ
(τ > 0,
√
√
− π < q ≤ π)
(3.1)
·
S∼
∞
X
Bn (q) τ n
n=0
hergeleitet. Wir wollen jetzt untersuchen, mit welcher Genauigkeit die Partialsum√
men dieser formalen Reihe den Ausdruck S approximieren. Da q dem Wert − π
beliebig nahe kommen kann, schließen wir ihn in diesem Kapitel ausdrücklich mit
ein1) und definieren die Restglieder
RSK (τ ) := S −
K
X
Bn (q) τ n
(K ≥ 0, τ > 0, |q| ≤
√
π),
(3.2)
n=0
die dann für diese K, τ und q allgemeingültig abgeschätzt werden müssen. Bis
zum Ende dieses Abschnittes beziehen sich alle jetzt folgenden Formeln und Sätze grundsätzlich auf diese Werte von K, τ und q. Eventuell bei τ auftretende
Betragstriche können wir wegen τ > 0 fortlassen. Zur Abkürzung setzen wir noch
ε := eiπ/4 und geben zunächst eine exakte Darstellung für RSK (τ ) an.
Satz 3.1.1. Die Restglieder RSK (τ ) besitzen die Integraldarstellung
ε eiπ/8
RSK (τ ) = √
2 π
+∞
Z
−∞
1)
cosh
2
e−u /2
√
π
2 (iq +
εu)
RgK (τ, εu) du,
In der Originalarbeit ist das noch nicht vollständig umgesetzt worden.
(3.3)
42
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
√
die auch für q = ± π gültig bleibt. Dabei sind die Funktionen RgK (τ, z) die Restglieder in der Entwicklung von g(τ, z) nach Potenzen von τ , die für alle z in der
längs der positiven imaginären Achse bis zum Punkt z = i/(2τ ) aufgeschnittenen
z-Ebene durch
RgK (τ, z) := g(τ, z) −
K
X
Pn (z) τ n
(3.4)
n=0
gegeben sind. Für diese z ist
RgK (τ, z) = τ K+1 z
Z1
0
PK+1
(zw)
exp τ z
1 + 2iτ zw
Z1
!
(zv)2 − i
dv dw.
1 + 2iτ zv
(3.5)
w
0
Beweis. Da die Pn (z) Polynome in z sind, unterscheiden sich die in (3.4) eingeführten Restglieder RgK (τ, z) für jedes K ≥ 0 nur um ein Polynom von g(τ, z) und
besitzen deshalb dieselben Singularitäten wie diese Funktion. Nach Definition von
g(τ, z) in Satz 1.2.1, S. 12 ist RgK (τ, z) daher in der längs der positiven imaginären Achse bis zum Punkt z = i/(2τ ) aufgeschnittenen z-Ebene eine holomorphe
Funktion von z, die wegen g(τ, 0) ≡ 1, P0 (z) ≡ 1 und Pn (0) = 0 für n ≥ 1 der
Bedingung
RgK (τ, 0) ≡ 0
(3.6)
genügt. Folglich verschwindet RgK (τ, z) für alle K ≥ 0 bei z = 0 von mindestens
erster Ordnung. Aus (3.4) – mit z = v − iq – und (3.1) folgt unter Verwendung von
(1.25) durch Vergleich mit (3.2) die Darstellung
1 eiπ/8−iq2/2
RSK (τ ) = √
2 π
Z
· iq
2
eiv /2+qv
√
RgK (τ, v − iq) dv.
cosh 2π v
(3.7)
%
√
Da RgK (τ, v − iq) bei v = iq von mindestens erster Ordnung und cosh π v/2
bei v = iq von höchstens erster Ordnung verschwinden,
ist hier der Integrand im
√
Punkte v = iq auch dann holomorph, wenn q = ± π wird. Die Abänderung des
√
iq
Integrationsweges % in (3.7) für q = + π ist also nicht mehr notwendig und
kann mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes rückgängig
√ gemacht werden. Daher
dürfen wir den Integrationsweg in (3.7) auch für q = ± π mit v = iq + εu (−∞ <
u < +∞) parametrisieren, woraus sich die in (3.3) angegebene Integraldarstellung
von RSK (τ ) ergibt.
Die Gleichung (3.5) erhält man in einfacher Weise aus der Differentialgleichung
von g(τ, z) (vgl. (1.19), S. 14). Setzen wir dort (3.4) ein, so folgt – die hochgestellten
Striche bedeuten gewöhnliche bzw. partielle Differentiation nach z –
·
K
X
n=0
Pn0 (z) τ n +
K
X
n=0
2iz Pn0 (z) τ n+1 −
K
X
(z 2 − i) Pn (z) τ n+1
n=0
+ (1 + 2iτ z) Rg0K (τ, z) − τ (z 2 − i) RgK (τ, z) = 0
3.1. Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S
43
und daraus wegen P00 (z) = 0
K
X
0
0
Pn+1 (z) + 2iz Pn0 (z) − (z 2 − i) Pn (z) τ n+1 − PK+1
(z) τ K+1
n=0
+ (1 + 2iτ z) Rg0K (τ, z) − τ (z 2 − i) RgK (τ, z) = 0.
Nach (1.20), S. 15 verschwindet hier die Summe identisch, und wir erhalten für
RgK (τ, z) die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung
0
(1 + 2iτ z) Rg0K (τ, z) − τ (z 2 − i) RgK (τ, z) = PK+1
(z) τ K+1 ,
0
die sich nur durch die Inhomogenität PK+1
(z) τ K+1 von der Differentialgleichung
für g(τ, z) unterscheidet. Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (3.6) ist
daher2)
RgK (τ, z)
(3.8)
! Z z"
!#
x
Z
Zz 2
0
(x) τ K+1
PK+1
y2 − i
y −i
dy
exp −τ
dy
dx.
= exp τ
1 + 2iτ y
1 + 2iτ x
1 + 2iτ y
0
0
0
Dabei soll in allen drei Integralen als Integrationsweg die Verbindungsstrecke des
Nullpunktes mit dem Punkt z bzw. x genommen werden. Für alle z aus der längs
der positiven imaginären Achse bis zum Punkt z = i/(2τ ) aufgeschnittenen zEbene sind dann die Ausdrücke 1 + 2iτ x und 1 + 2iτ y auf den so festgelegten
Integrationswegen immer 6= 0, so daß die rechte Seite von (3.8) für diese z eine
holomorphe Funktion von z ist. Damit ist durch (3.8) eine allgemeingültige Darstellung der Restglieder RgK (τ, z) gegeben. Schreiben wir (3.8) in der Form
RgK (τ, z) = τ K+1
Zz
!
Zz 2
0
(x)
PK+1
y −i
exp τ
dy dx
1 + 2iτ x
1 + 2iτ y
0
x
und parametrisieren zuerst den Integrationsweg des äußeren Integrals mit x = zw
(0 ≤ w ≤ 1) und danach den des inneren Integrals mit y = zv (w ≤ v ≤ 1), so
ergibt sich (3.5) und der Satz ist bewiesen.
Zur Abschätzung von RSK (τ ) benötigen wir zunächst eine Abschätzung für
RgK (τ, z). Dabei können wir uns wegen (3.3) auf diejenigen z beschränken, die
auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten liegen. Nun zeigen
2)
Bekanntlich hat die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung
a(z)f 0 (z) + b(z)f (z) = h(z)
a(z) 6≡ 0
die allgemeine Lösung
(
)
Z
Z Z
h(z)
b(z)
b(z)
f (z) = exp −
dz
exp
dz dz + const. .
a(z)
a(z)
a(z)
Da g(τ, z) Lösung der homogenen Differentialgleichung ist, könnte man (3.8) auch mit Hilfe
von g(τ, z) schreiben. Für die Abschätzung von RgK (τ, z) im nächsten Satz ist das aber nicht
vorteilhaft.
44
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
bereits ganz grobe Abschätzungen von (3.5) mit z = εu und reellem u, daß für
RgK (τ, εu) eine Abschätzung der Form
2
|RgK (τ, εu)| ≤ |Polynom in u| ecu τ K+1
mit einer positiven Konstanten c zu erwarten ist. Schätzt man hiermit das Integral
in (3.3) ab, so muß c der Bedingung c ≤ 1/2 genügen, damit das Integral konvergiert. Die Abschätzung von RgK (τ, εu) ist daher mit der entsprechenden Sorgfalt
vorzunehmen. In dem jetzt folgenden Satz haben wir das berücksichtigt.
Satz 3.1.2. Für reelle u gelten die Abschätzungen

2

eu /4 VK (u) τ K+1







2


eωu /4 VK (u) τ K+1


|RgK (τ, εu)| <
√



2 VK (u) τ K+1






√

2

 2 e0.28 u VK (u) τ K+1
(n)
Dabei ist VK (u) mit den natürlichen Zahlen ak
VK (u) :=
K+1
X
k=0
für u ≤ − √θ ,
2 2τ
für − √θ < u < 0,
2 2τ
für 0 ≤ u ≤ √1 ,
2 2τ
für u > √1 .
2 2τ
aus (1.23), S. 16 durch
(K+1)
ak
|u|K+1+2k
(K + 1 + 2k)!
(3.9)
und ω für beliebige reelle θ > 0 durch
ω := 1 − 2 + 42 arctan θ
θ θ
θ+2
(3.10)
gegeben, wobei arctan die gewöhnliche reelle Arkustangensfunktion ist. Für diese θ
ist stets 0 < ω < 1.
Beweis. Mit z = εu folgt aus (3.5)
RgK (τ, εu) = τ
K+1
Z1
iu
0
PK+1
(εuw)
exp −τ u
ε − 2τ uw
Z1
!
(uv)2 − 1
dv dw
ε − 2τ uv
w
0
und daraus
|RgK (τ, εu)|
≤ τ K+1 |u|
Z 1 (εuw)
"
(3.11)
0
PK+1
exp −< τ u
|ε − 2τ uw|
Z1
(uv)2 − 1
dv
ε − 2τ uv
#!
dw.
w
0
Mit der Abkürzung
√
x := 2 2 τ u
(3.12)
3.1. Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S
45
ist
1
|ε − 2τ uw| = √1 |1 + i − xw| = √1 1 + (xw − 1)2 2
2
2
(3.13)
und
Z1
"
−< τ u
(uv)2 − 1
dv
ε − 2τ uv
#
w
" Z1
#
Z1 2 2
(uv)2 − 1
(u v − 1)(xv − 1)
x
x
= −<
dv =
dv
2 1 + i − xv
2
1 + (xv − 1)2
w
w
Z1
Z1
x
x
xv − 1
xv
−
1
2
2
dv −
dv.
= u v
2
1 + (xv − 1)2
2 1 + (xv − 1)2
w
w
Für x 6= 0 können wir im ersten Integral v mit v/x substituieren. Das zweite
Integral ist elementar lösbar – nach Multiplikation mit 2x wird der Zähler des
Integranden gleich der Ableitung des Nenners – und wir erhalten
" Z1
#
(uv)2 − 1
−< τ u
dv
ε − 2τ uv
w
2
= u2
2x
Zx
v2
v−1
1 log1 + (x − 1)2 + 1 log1 + (xw − 1)2 .
2 dv −
1 + (v − 1)
4
4
xw
Setzen wir noch
Zx
ϕ(x, w) := v 2
v−1
dv,
1 + (v − 1)2
(3.14)
xw
dann wird mit (3.13)
" Z1
#!
(uv)2 − 1
1
exp −< τ u
dv
|ε − 2τ uw|
ε − 2τ uv
w
2
√ − 1 − 1
2 1 + (xw − 1)2 4 1 + (x − 1)2 4 exp u 2 ϕ(x, w) .
2x
Die Einschränkung x 6= 0 kann wegen der aus (3.12) und (3.14) folgenden Beziehung
=
u2
1
ϕ(x, w) =
ϕ(0, w) = 0
2
x→0 2x
16τ 2
lim
(3.15)
natürlich jetzt fortfallen. Aus (3.11) erhalten wir daher, wenn wir die für 0 < w < 1
geltende Abschätzung


 √1
für x < 0,
1
1
2 −4
2 −4
2
1 + (xw − 1)
1 + (x − 1)
<

 1 für x ≥ 0
46
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
berücksichtigen,
|RgK (τ, εu)| <









τ
K+1
Z1
2
2 0
|u| eu ϕ(x,w)/2x PK+1
(εuw) dw
für x < 0,
0
(3.16)

Z1


√


u2 ϕ(x,w)/2x2 0
K+1
dw

2
|u|
e
P
(εuw)
τ

K+1

für x ≥ 0.
0
Eine von w unabhängige Abschätzung für ϕ(x, w) läßt sich wie folgt gewinnen.
Bezeichnen wir der Einfachheit halber die partielle Ableitung von ϕ(x, w) nach w
mir ϕ0 (x, w), dann wird wegen (3.14)
ϕ0 (x, w) = −x3 w2
xw − 1
.
1 + (xw − 1)2
Hieraus ergibt sich

<0







>0




ϕ0 (x, w) > 0





=0





< 0
für 0 < w < 1 und x < 0,
für 0 < w < 1 und 0 < x ≤ 1,
für 0 < w < 1 und x > 1,
x
1
für w =
und x > 1,
x
für 1 < w < 1 und x > 1.
x
Als Funktion von w ist ϕ(x, w) daher in dem Bereich 0 < w < 1 für x < 0 streng
monoton fallend, für 0 < x ≤ 1 streng monoton steigend und hat für x > 1 bei
w = 1/x ein lokales Maximum, das wegen der strengen Monotonie von ϕ(x, w), die
aus den letzten drei Abschätzungen von ϕ0 (x, w) folgt, gleichzeitig das Maximum
von ϕ(x, w) in dem gesamten Bereich 0 ≤ w ≤ 1 ist. Folglich können wir ϕ(x, w)
für 0 ≤ w ≤ 1 mit

ϕ(x, 0)
für x < 0,




für 0 ≤ x ≤ 1,
ϕ(x, w) ≤ ϕ(x, 1) = 0



 ϕ(x, 1 )
für x > 1
x
abschätzen, wobei sich die Gültigkeit dieser Abschätzung für x = 0 aus (3.15)
ergibt. Setzen wir f (x) := ϕ(x, 0), so ist nach (3.14)
Zx
f (x) = v 2
v−1
dv,
1 + (v − 1)2
0
ϕ(x, 1 ) =
x
Zx
v2
1
v−1
dv = f (x) − f (1),
1 + (v − 1)2
3.1. Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S
47
und wir erhalten aus (3.16)

Z1


0
2
2

K+1 u f (x)/2x

PK+1 (εuw) dw
|u|
τ
e





0




1

Z

√
0


 τ K+1 2 |u| PK+1
(εuw) dw
|RgK (τ, εu)| <
0




√

2
2


τ K+1 2 eu [f (x)−f (1)]/2x




Z1


0


PK+1 (εuw) dw
×
|u|



für x < 0,
für 0 ≤ x ≤ 1,
(3.17)
für x > 1.
0
Zur weiteren Abschätzung verwenden wir die Darstellung (1.22) der Polynome
Pn (z) und erhalten
Z1
Z 1K+1
(K+1)
X
0
a
k−K−1
K+2k k
|u| PK+1 (εuw) dw = |u| i
(εuw)
dw
(K + 2k)!
0
0
≤ |u|
k=0
K+1
X
k=0
=
K+1
X
k=0
(K+1)
ak
|u|K+2k
(K + 2k)!
Z1
wK+2k dw
0
(K+1)
ak
|u|K+1+2k .
(K + 1 + 2k)!
Aus (3.17) folgt hiermit, wenn wir den letzten Ausdruck entsprechend (3.9) mit
VK (u) bezeichnen und die Abschätzungen für f (x) bzw. f (x) − f (1) aus Satz 4.4.2,
S. 81 verwenden

2

eu /4 VK (u) τ K+1
für x ≤ −θ,





2


eωu /4 VK (u) τ K+1
für − θ < x < 0,
|RgK (τ, εu)| <
√


2 VK (u) τ K+1
für 0 ≤ x ≤ 1,





 √ 0.28 u2
2e
VK (u) τ K+1
für x > 1.
Dabei ist θ > 0 und ω durch (3.10) gegeben. Wegen (3.12) ist das gerade die
Behauptung des Satzes.
Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich nun leicht eine Abschätzung für RSK (τ ) gewinnen. Wir verwenden zur Vereinfachung der Schreibweise
√ neben der Variablen τ
jetzt auch wieder die Variable t – bekanntlich ist τ = 1/(2 2t) bzw. t = 1/(8τ 2 ) –
und haben den
√
Satz 3.1.3. Es sei t0 > (3K + 4)/0.44 und τ0 := 1/(2 2t0 ). Dann ist für t ≥ t0
bzw. τ ≤ τ0
(1)
(2)
(3)
(4)
|RSK (τ )| < YK + YK + YK + YK τ K+1
48
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
mit
(1)
YK
√
2
X (θ2 t0 )k a(K+1) K
t0 /4 K+1
(θ t0 )K e−θ
k
√
:= √
+
k
+
1
,
(K + 1 + 2k)! 2
π sinh θ4 2πt0
k=0
(2)
YK
(3)
YK
:= √
K+1
X
1
√
2 π ( w)K+1
k=0
(K+1)
w−k ak
Γ K +1 +k ,
(K + 1 + 2k)!
2
√
K+1
(K+1)
( 2)K+1 X 2k ak
Γ K +1 +k ,
:=
π
(K + 1 + 2k)!
2
k=0
√
K+1
X tk a(K+1) K
t0
( t0 )K e−0.22
0 k
√
:=
+
k
+
1
.
√
0
(K + 1 + 2k)! 2
0.44 2π sinh 2πt
4
k=0
p
Dabei ist θ eine beliebige reelle Zahl, die nur der Bedingung θ > 2(3K + 4)/t0
genügen muß und
(4)
YK
w := 1 + 1 − 12 arctan θ .
4 2θ θ
θ+2
(3.18)
Diese Abschätzung von RSK (τ ) gilt gleichmäßig in q.
Beweis. Für reelle x und y ist
2
|cosh (x + iy)| = sinh2 x + cos2 y.
Daher ist für reelle u
√
√
√
π
(iq + εu) = cosh 2π u + i( 2 q + u) cosh
2
4
√
√
i1
h
2π
2π (√2 q + u) 2
2
2
= sinh
u + cos
4
4
√
√
≥ sinh 2π u = sinh 2π |u|
4
4
und aus Satz 3.1.1 folgt
1
|RSK (τ )| ≤ √
2 π
+∞
Z
−∞
2
/2
e−u
√
|RgK (τ, εu)| du
2π
sinh 4 |u|
√
gleichmäßig für die von uns betrachteten q mit |q| ≤ π, denn diese Abschätzung
ist von q unabhängig. Wir zerlegen das Integral entsprechend den Geltungsbereichen√der Abschätzungen
von |RgK (τ, εu)| aus dem vorigen Satz und haben wegen
√
1/(2 2τ ) = t
|RSK (τ )| ≤ J1 + J2 + J3 + J4
mit
√
−θ
Z t
J1 :=
−∞
ΨK (τ, u) du,
Z0
J2 := ΨK (τ, u) du,
√
−θ t
(3.19)
3.1. Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S
√
Z∞
J4 := ΨK (τ, u) du
t
Z
J3 :=
49
ΨK (τ, u) du,
√
0
t
und der Abkürzung
2
/2
1 · e−u
√
ΨK (τ, u) := √
|RgK (τ, εu)| .
2 π sinh 2π |u|
4
Für reelle a und positive reelle x bezeichnen wir die unvollständige Gammafunktion3)
Z∞
e−v v a−1 dv
x
wie üblich mit Γ(a, x) und schätzen die Ausdrücke J1 bis J4 mit Hilfe von Satz
3.1.2 ab. Dabei sei t0 > (3K + 4)/0.44 und t ≥ t0 .
a) Abschätzung von J1
Z∞
2
K+1
e−u√/2 eu2/4 V (u) du
τ
J1 < √
K
2 π √ sinh 2π u
4
θ t
Z∞
K+1
(K+1)
X
K+1
ak
τ
−u2/4
√
≤ √
uK+1+2k du.
e
(K + 1 + 2k)!
2 π sinh θ4 2πt0√
k=0
θ t0
√
Mit der Substitution u = 2 v folgt daraus
J1 < √
K+1
X 2K+2k a(K+1) K
τ K+1√
θ 2 t0 .
k
Γ
+
k
+
1,
(K + 1 + 2k)!
2
4
π sinh θ4 2πt0
k=0
Für θ2 t0 /4 > K/2 + k + 1 ist die Abschätzung aus Satz 4.4.3, S. 84 anwendbar.
Wegen K/2 + k + 1 ≤ (3K + 4)/2 wird damit
√
2
X (θ2 t0 )k a(K+1) K
t0 /4 K+1
(θ t0 )K e−θ
k
√
J1 < √
+ k + 1 τ K+1 ,
(K + 1 + 2k)! 2
π sinh θ4 2πt0
k=0
falls θ der Bedingung θ >
p
2(3K + 4)/t0 genügt.
b) Abschätzung von J2
K+1
J2 < τ √
2 π
Zθ
0
3)
Siehe [1, Kap. 6.5].
√
t
u√
2
e−u /2
sinh
2π
4 u
2
eωu /4
VK (u)
du.
u
(3.20)
50
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
Wegen u/ sinh u ≤ 1 für reelle u ist
u√
sinh
2π
4 u
≤ √4 .
2π
(3.21)
Damit wird
√
J2 <
2 τ K+1
π
Z∞
K+1
X
2
e−(2−ω)u /4
(K+1)
ak
uK+2k du.
(K + 1 + 2k)!
k=0
0
Wir setzen
w := 2 − ω .
4
Wegen ω < 1 ist dann w > 1/4 > 0 und mit der Substitution u =
p
v/w folgt
K+1
X w−k a(K+1) K + 1
1
k
√
Γ
+ k τ K+1 .
J2 < √
2
2 π ( w)K+1 k=0 (K + 1 + 2k)!
(3.22)
Die in (3.18) angegebene Darstellung von w ergibt sich aus der Definition von ω in
(3.10).
c) Abschätzung von J3
√
K+1
J3 < τ √
2 π
t
Z
u√
2
e−u /2
0
sinh
2π
4 u
√ VK (u)
2
du.
u
Mit (3.21) erhalten wir
K+1
J3 < 2 τ
π
Z∞
K+1
X
−u2/2
e
k=0
0
und daraus mit der Substitution u =
√
(K+1)
ak
uK+2k du
(K + 1 + 2k)!
2v
√ K+1 K+1
X 2k a(K+1)
( 2)
K
+
1
k
J3 <
Γ
+ k τ K+1 .
π
(K + 1 + 2k)!
2
k=0
d) Abschätzung von J4
Z∞
2
K+1
τ
e−u√/2 √2 e0.28 u2 V (u) du
J4 < √
K
2 π√ sinh 2π u
t
4
Z∞
K+1
(K+1)
X
K+1
ak
τ
−0.22 u2
√
≤√
e
uK+1+2k du.
0
(K
+
1
+
2k)!
2π sinh 2πt
4 √
k=0
t0
(3.23)
3.1. Restabschätzung der asymptotischen Reihe von S
Wir substituieren mit u =
p
51
v/0.22 und erhalten
K+1
X 0.22− K2 −k−1 a(K+1) K
K+1
τ
k
√
J4 < √
Γ
+
k
+
1,
0.22
t
.
0
0
(K + 1 + 2k)!
2
2 2π sinh 2πt
4
k=0
Da wir 0.22 t0 > (3K + 4)/2 vorausgesetzt haben, gilt für alle k mit 0 ≤ k ≤ K + 1
die Beziehung 0.22 t0 > K/2 + k + 1, so daß wir wieder die Abschätzung aus Satz
4.4.3, S. 84 verwenden können. Damit wird
√ K −0.22 t
K+1
X tk a(K+1) K
0
( t0 ) e
0 k
√
+
k
+
1
τ K+1 .
(3.24)
J4 <
√
2πt0
(K
+
1
+
2k)!
2
0.44 2π sinh 4 k=0
Bezeichnen wir die in den eckigen Klammern stehenden Ausdrücke in den Abschät(1)
(4)
zungen (3.20) – (3.24) der Reihe nach mit YK bis YK , so ist das wegen (3.19)
gerade die Behauptung des Satzes.
Bei geeigneter Vorgabe von t0 und θ,
der Nebenbepalso unter Berücksichtigung (l)
dingungen t0 > (3K +4)/0.44 und θ > 2(3K + 4)/t0 , werden die YK (1 ≤ l ≤ 4)
für jedes K ≥ 0 konstante Größen. Folglich ist für hinreichend kleine τ
|RSK (τ )| < c τ K+1
mit einer nur von K, aber nicht von τ und q abhängigen Konstanten c, und wir
haben wegen (3.2) den
Satz 3.1.4. Für K ≥ 0 ist gleichmäßig in q
S=
K
X
Bn (q) τ n + O τ K+1
für τ → 0.
n=0
Die formale Potenzreihe
∞
X
Bn (q) τ n
n=0
ist die asymptotische Entwicklung des Ausdruckes S für festes |q| ≤
bzw. t → +∞.
√
π und τ → 0
(l)
Die Ausdrücke Yk (1 ≤ l ≤ 4) in Satz 3.1.3 mögen dem Leser etwas kompliziert erscheinen. Es ist aber wenig sinnvoll, sie durch eine weitere Abschätzung zu
(n)
vereinfachen, denn dazu wären Abschätzungen für die Zahlen ak notwendig, die
nur bei entsprechend hohem Aufwand durch Untersuchung ihrer Rekursionsformel
(1.23), S. 16 bzw. des Wachstums der Polynome Pn (z) in
g(τ, z) =
∞
X
Pn (z) τ n
(2τ |z| < 1)
n=0
(K+1)
zu gewinnen wären. Unter der Voraussetzung, daß die ak
exakt bekannt sind,
kann man sich diese mühevollen Abschätzungen ersparen. Die direkte Berechnung
(l)
der YK (1 ≤ l ≤ 4) aus den in Satz 3.1.3 angegebenen Darstellungen bereitet dann
nämlich keine Schwierigkeiten. Auf diese Weise kann man recht einfach explizite
Abschätzungen für |RSK (τ )| herleiten, wie der folgende Satz für den Fall K = 10
zeigt.
52
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
Satz 3.1.5. Für τ ≤ 1/40 bzw. t ≥ 200 ist gleichmäßig in q
|RS10 (τ )| < 1.4 · 109 τ 11 .
Beweis. Wir setzen in Satz 3.1.3 K = 10 und t0 = 200. Dann wird τ0 = 1/40 und
die Bedingung t0 > (3K + 4)/0.44 = 34/0.44 ist erfüllt. Mit
(2k + 10)! √
Γ 11 + k = 2k+10
π
2
2
(k + 5)!
folgt nach einfachen Umformungen
11
(11)
θ2 X
(200 θ2 )k ak
(200 θ2 )5 e−50
(1)
√
Y10 = √
(k + 6),
π sinh(5 πθ)
(2k + 11)!
k=0
(2)
Y10 = √
√
11
(11)
X
(4w)−k ak
√2 11
,
π ( 4w) k=0 (2k + 11)(k + 5)!
11
(11)
X
2−k ak
(3)
Y10 = √ 1√ 9
,
π ( 2) k=0 (2k + 11)(k + 5)!
(4)
Y10
11
(11)
X
5 −44
200k ak
200
e
√
√
(k + 6).
=
0.44 2π sinh(5 π) k=0 (2k + 11)!
Den abgesehen von der Nebenbedingung
r
√
2 (3K + 4) = 34
θ>
t0
10
(1)
(2)
noch frei wählbaren Parameter θ bestimmen wir so, daß die Summe Y10 + Y10
möglichst klein wird. Ein recht guter Wert ist
√
34
3
θ= >
= 0.58309 . . .
4
10
Damit wird
w = 11 − 16 arctan 3 = 0.44332 96903 98 . . .
12
9
11
(11)
und mit den Zahlen ak
aus Tabelle I, S. 91 berechnet man
(1)
Y10 = 9.67772 . . . · 108 < 9.68 · 108 ,
(3)
Y10 = 2551.10 . . . < 104 .
Y10 = 4.07738 . . . · 107 < 4.08 · 107 ,
Y10 = 3.90019 . . . · 108 < 3.91 · 108 ,
(2)
(4)
Folglich ist für τ ≤ 1/40 bzw. t ≥ 200 gleichmäßig in q
|RS10 (τ )| < 4.08 · 107 + 9.68 · 108 + 3.91 · 108 + 104 τ 11
= 1.39981 · 109 τ 11
< 1.4 · 109 τ 11
wie behauptet.
3.2. Explizite Abschätzung der ersten 11 Restglieder
53
Mit Hilfe von Tabelle I kann man auf demselben Wege auch für K < 10 zu
expliziten Abschätzungen von |RSK (τ )| gelangen. Im nächsten Abschnitt benötigen wir jedoch nur die eben bewiesene Abschätzung von |RS10 (τ )|, so daß wir auf
die Durchführung dieser Abschätzungen verzichten können.
Abschließend sei noch darauf hingewiesen, daß die Abschätzung von |RSK (τ )|
in Satz 3.1.3 nur durch Entwicklung der Funktion g(τ, z) in eine Potenzreihe nach
τ auf so einfache Weise zu gewinnen war. Hätten wir die andere Möglichkeit gewählt und g(τ, z) in eine Potenzreihe nach z entwickelt, so wären die Koeffizienten
dieser Reihe Polynome in τ geworden, was bei einer Satz 3.1.3 entsprechenden Restabschätzung wegen der dann fehlenden Anordnung nach Potenzen von τ zu fast
unüberwindlichen Schwierigkeiten geführt hätte. Der Leser vergleiche dazu noch
einmal die Fußnote 8) auf S. 14.
3.2
Explizite Abschätzung der ersten 11 Restglieder
Wir betrachten zunächst die in Satz 1.3.1, S. 18 angegebene
der RieP∞ Darstellung
n
b
mann-Siegel-Formel. Wenn wir dort die formale Reihe n=0 Cn (q) τ nach dem
K-ten Gliede (K ≥ 0) abbrechen, erhalten wir einen Ausdruck, der für alle K ≥ 0
sinnvoll ist und es stellt sich die Frage, mit welcher Genauigkeit dieser Ausdruck
die Funktion Z(t) approximiert. Dazu führen wir die Restglieder
K
N
X
N −1 X
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
bn (q) τ n
√
C
−
RK (t) := Z(t) − 2
n
a
(3.25)
n=0
n=1
mit
r
a :=
t ,
2π
N := bac,
q :=
√ π 1 − 2(a − N ) ,
τ := √1
2 2t
ein, die dann im weiteren näher untersucht werden müssen und vereinbaren, daß
bis zum Ende dieses Abschnittes K ganzzahlig ≥ 0 und t reell > 0 zu nehmen ist.
Eine zweite, zur Abschätzung besonders gut geeignete Darstellung von RK (t)
ergibt sich, wenn man (3.25) auf die Lehmersche Form (Satz 2.1.6, S. 30) transformiert:
RK (t) = Z(t) − 2
K
N
X
N −1 X
Cn (z)
cos(ϑ(t)√− t log n) (−1)
√
−
n
a
an
n=1
(3.26)
n=0
mit a und N wie oben und z := 1 − 2(a − N ).
Das asymptotische Verhalten von RK (t) für t → +∞ läßt sich mit den Ergebnissen des letzten Abschnittes sofort angeben:
Satz 3.2.1. Für t → +∞ ist
RK (t) = O t−(2K+3)/4 .
Die Riemann-Siegel-Formel stellt Z(t) für t → +∞ asymptotisch dar.
54
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
Beweis. Aus den Sätzen 3.1.4 und 4.2.4 (c), S. 74 folgt die asymptotische Entwicklung
∞
X
√
en (q) τ n
U ·S ∼
C
(τ → 0, |q| ≤ π),
n=0
deren Koeffizienten sich nach den Formeln (1.30) errechnen, und es ist gleichmäßig
in q
U ·S =
K
X
en (q) τ n + O τ K+1
C
für τ → 0.
(3.27)
n=0
Durch Übergang zum Realteil folgt dann – ebenfalls gleichmäßig in q –
< (U ·S) =
K
X
bn (q) τ n + O τ K+1
C
für τ → 0
n=0
und daraus, wenn wir die Darstellung von Z(t) aus Satz 1.2.1,
√ S. 12 mit√(3.25)
vergleichen und beachten, daß q dort immer der Bedingung − π < q ≤ π genügt,
1
1
RK (t) = t− 4 O τ K+1 = t− 4 O t−(K+1)/2 = O t−(2K+3)/4
für t → +∞.
Daher ist die Riemann-Siegel-Formel eine asymptotische Entwicklung der Funktion
Z(t) für t → +∞ und der Satz ist bewiesen.
Für jedes K und hinreichend große t gibt es also eine Abschätzung der Form
|RK (t)| < c(K) t−(2K+3)/4
(3.28)
mit positiven Konstanten c(K), die nur von K aber nicht von t abhängen.
Damit können wir jetzt die Unstetigkeitsstellen der Riemann-Siegel-Formel untersuchen. An den Stellen t = tM = 2πM 2 (M ganz > 0), an denen N von M − 1
auf M springt, ist RK (t) nämlich nicht stetig, wie man leicht nachweist, wenn man
in (3.25) oder (3.26) den links- bzw. rechtsseitigen Grenzübergang t → tM (t < tM )
und t → tM (t > tM ) vornimmt. Daher sind die auf den rechten Seiten von (3.25)
bzw. (3.26) stehenden Ausdrücke, mit denen wir die stetige – sogar analytische –
Funktion Z(t) approximieren wollen, an den Stellen tM ebenfalls unstetig. Die Verwendbarkeit dieser Ausdrücke zur numerischen Berechnung von Z(t) wird davon
für große t aber nicht negativ beeinflußt; denn nach (3.28) läßt sich die Höhe des
−(2K+3)/4
Sprungs von RK (t) an den Stellen t = tM für große M mit 2 c(K) tM
nach
oben abschätzen. Für hinreichend große M wird das – ebenso wie das Restglied
RK (t) selbst – vernachlässigbar klein,4) so daß die Ausdrücke in (3.25) und (3.26)
für große t angenähert als stetige Funktionen betrachtet werden dürfen.
Für K ≤ 10 geben wir jetzt explizite Abschätzungen für die Konstanten c(K)
an.
Satz 3.2.2. Für t ≥ 200 und 0 ≤ K ≤ 10 lassen sich die Restglieder RK (t)
4)
b2n (√π) in Satz 2.1.5, S. 28.
Hierauf beruht die Bestimmung der Werte C
3.2. Explizite Abschätzung der ersten 11 Restglieder
55
(a) ohne Verwendung der Potenzreihenentwicklungen der Funktionen Cn (z) mit
|R0 (t)| < 0.47 t−3/4 ,
|R1 (t)| < 0.43 t−5/4 ,
|R6 (t)| <
10.1 t−15/4 ,
|R2 (t)| < 0.77 t−7/4 ,
|R7 (t)| <
27.1 t−17/4 ,
|R3 (t)| < 0.90 t−9/4 ,
|R8 (t)| <
188 t−19/4 ,
|R4 (t)| < 2.12 t−11/4 ,
|R9 (t)| < 1 934 t−21/4 ,
|R5 (t)| < 3.35 t−13/4 ,
|R10 (t)| < 25 966 t−23/4
grob abschätzen.
(b) Unter Verwendung dieser Potenzreihenentwicklungen ergeben sich für K ≤ 9
die besseren Abschätzungen
|R0 (t)| < 0.127 t−3/4 ,
|R1 (t)| < 0.053 t−5/4 ,
|R6 (t)| < 0.661 t−15/4 ,
|R2 (t)| < 0.011 t−7/4 ,
|R7 (t)| <
9.2 t−17/4 ,
|R3 (t)| < 0.031 t−9/4 ,
|R8 (t)| <
130 t−19/4 ,
|R4 (t)| < 0.017 t−11/4 ,
|R9 (t)| < 1 837 t−21/4 ,
|R5 (t)| < 0.061 t−13/4 .
Für K ≤ 4 sind diese Abschätzungen optimal.
Beweis. Es sei t ≥ 200 bzw. τ ≤ 1/40. Mit K = 10 folgt aus (3.2) und Satz 4.2.4
(b), S. 74 unter Verwendung der Abkürzung
28 6
3 968 10
τ2
(3.29)
u(τ ) := e−i 6 + 45 τ + 315 τ
für U ·S die Darstellung
U ·S = u(τ )
10
X
Bn (q) τ n + R(1)
(3.30)
n=0
mit
R(1) := u(τ ) · RS10 (τ ) + RU(τ )
10
X
Bn (q) τ n + RU(τ ) · RS10 (τ ).
n=0
Für τ ≤ 1/40 haben wir dann mit den Abschätzungen von |RU(τ )| und |RS10 (τ )|
aus den Sätzen 4.2.4 (b) und 3.1.5
10
11 X
11
|Bn (q)| τ n + τ · 1.4 · 109 τ 11
|R(1) | < 1.4 · 109 τ 11 + τ
101
101
n=0
#
10
X
9
|Bn (q)|
≤ 1.4 · 109 + 1
+ 1.4 · 1011 τ 11 .
101
40n
101 · 40
"
n=0
Verwenden wir die Abschätzungen von |Bn (q)| (0 ≤ n ≤ 10, |q| ≤
4.4.4 (b), S. 85, so ist gleichmäßig für diese q
10
X
|Bn (q)|
< 1.1 .
40n
n=0
√
π) aus Satz
56
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
Die Konstante in der obenstehenden eckigen Klammer
läßt sich dann mit 1.41 · 109
√
(1)
nach oben abschätzen, so daß |R | für |q| ≤ π der Abschätzung
|R(1) | < 1.41 · 109 τ 11
(3.31)
genügt. Daher ist R(1) = O τ 11 für τ → 0, und durch Vergleich von (3.27) – mit
P10
K = 10 – und (3.30) folgt, daß die Potenzreihe von u(τ ) n=0 Bn (q) τ n um den
P∞ e
n
Punkt τ = 0 mindestens bis zur Potenz τ 10 mit der formalen Reihe n=0 C
n (q) τ
übereinstimmen muß. Betrachten
τ als komplexe
P10 wir für den Augenblick einmal
√
Veränderliche, dann ist u(τ ) n=0 Bn (q) τ n (q fest mit |q| ≤ π) eine ganze Funktion von τ und wir haben für alle komplexen τ die Identität
u(τ )
10
X
n
Bn (q) τ =
n=0
R
= 1
2πi
en (q) τ n + R(2)
C
(3.32)
n=0
mit
(2)
10
X
I
u(x)
P10
Bn (q) xn τ 11
dx
x
x−τ
5)
n=0
(% > |τ |),
|x|=%
wo auf dem Kreis mit dem Radius % einmal im mathematisch positiven Sinn um
den Nullpunkt herum zu integrieren ist. Jetzt sei τ wieder reell mit 0 < τ ≤ 1/40.
Wählen wir % > 1/40, so können wir R(2) für diese τ wie folgt abschätzen
P10
I
|u(x)| n=0 |Bn (q)| %n τ 11
1
(2)
|R | ≤
|dx|,
2π
%
%−τ
|x|=%
woraus sich mit (3.29) die Abschätzung
"
#
10
2
28 6
968 10 X
exp %6 + 45
% + 3315
%
(2)
n
|R | ≤
|Bn (q)| % τ 11
1
10
% − 40 %
n=0
ergibt. Für |Bn (q)| verwenden wir wie oben die expliziten Abschätzungen aus Satz
4.4.4 (b), S. 85. Der Ausdruck in der eckigen Klammer hängt dann nur noch von %
ab und kann durch geeignete Wahl von % minimiert werden. Ein recht guter Wert
dafür ist % = 3/5 > 1/40. Damit wird
10
X
|Bn (q)| %n < 322 318
n=0
und
exp
%2
6
3 968 10
6
+ 28
45 % + 315 %
< 340.
1
% − 40
%10
Folglich gilt für τ ≤ 1/40 die in q gleichmäßige Abschätzung
|R(2) | < (340 · 322 318) τ 11 < 1.1 · 108 τ 11 .
(3.33)
5) Diese Darstellung des Restgliedes R(2) folgt in einfacher Weise aus den Cauchyschen Integralformeln. Vgl. dazu [4, S. 135, Satz 24] Restglied einer Potenzreihe.
3.2. Explizite Abschätzung der ersten 11 Restglieder
57
Aus (3.30) und (3.32) erhalten wir jetzt
U ·S =
10
X
en (q) τ n + RUS(τ )
C
(3.34)
n=0
mit
RUS(τ ) := R(1) + R(2)
und nach (3.31) und (3.33) die Abschätzung
| RUS(τ )| < (1.41 · 109 + 1.1 · 108 ) τ 11 = 1.52 · 109 τ 11
1
,
(τ ≤ 40
√
|q| ≤ π).
(3.35)
Gehen wir in (3.34) zum Realteil über
< (U ·S) =
10
X
bn (q) τ n + < RUS(τ )
C
n=0
und setzen das in die Darstellung aus Satz 1.2.1, S. 12 von Z(t) ein, so folgt durch
Vergleich mit (3.25)
R10 (t) = (−1)N −1
t
2π
− 41
< RUS(τ ) .
√
Da q in der Riemann-Siegel-Formel der Bedingung |q| ≤ π genügt, ist die Abschätzung (3.35) anwendbar und wir erhalten, wenn wir zur Variablen t zurückkehren und beachten, daß der Bereich τ ≤ 1/40 dem Bereich t ≥ 200 entspricht,
die für t ≥ 200 gültige Abschätzung
|R10 (t)| ≤ 2π
t
14
| RUS(τ )| < 2π
t
14
9
1.52
√ · 1011 < 25 966 t−23/4 ,
(2 2t)
wie in (a) dieses Satzes angegeben.
Die Abschätzungen von RK (t) für K < 10 machen nun keine Schwierigkeiten mehr. In Gleichung (3.26) sei 0 ≤ K ≤ 9. Subtrahieren wir davon dieselbe
Gleichung mit K = 10, so wird
10
N −1 X
(−1)
Cn (z)
√
RK (t) =
+ R10 (t)
a
an
n=K+1
= (−1)N −1
10
2K+3
X
4
2π
t
(0 ≤ K ≤ 9)
n−K−1
2
Cn (z) 2π
+ R10 (t).
t
n=K+1
Es sei t0 ≥ 200 fest vorgegeben. Für t ≥ t0 und K ≤ 9 ist dann
|R10 (t)| < 25 966 t−23/4 = 25 966 t
K−10
2
t−
2K+3
4
K−10
2
≤ 25 966 t0
t−
2K+3
4
,
und wir erhalten die Abschätzung
10
n−K−1
K−10
2K+3 X
2K+3
2
2π
2
4
|RK (t)| < (2π)
|Cn (z)|
+ 25 966 t0
t− 4 ,
t0
n=K+1
(3.36)
58
Kapitel 3. Die Riemann-Siegel-Formel mit Restglied
die für 0 ≤ K ≤ 9 und t ≥ t0 gültig ist. Setzen wir hier t0 = 200 und schätzen
|Cn (z)| mit Hilfe von Satz 2.3.4 (a), S. 38 ab,6) so lassen sich die Ausdrücke in der
eckigen Klammer mit den in (a) dieses Satzes angegebenen Konstanten nach oben
abschätzen. Auf dieselbe Weise ergeben sich die Abschätzungen (b), wenn man die
aus den Potenzreihenentwicklungen der Funktionen Cn (z) gewonnenen besseren
Abschätzungen nach Satz 2.3.4 (b) verwendet.
Numerische Untersuchungen der Genauigkeit der Riemann-Siegel-Formel lassen
vermuten, daß wir |R10 (t)| etwa um den Faktor 106 überschätzt haben. Mit t0 = 200
führt das in (3.36) noch zu einer Überschätzung von |RK (t)| für K ≥ 5. Ist jedoch
K ≤ 4, so sind die in (b) angegebenen Abschätzungen von |RK (t)| nur geringfügig
größer als (2π)(2K+3)/4 |CK+1 (z)| t−(2K+3)/4 , wenn man hier |CK+1 (z)| wieder mit
seiner Abschätzung aus Satz 2.3.4 (b) ersetzt. Die Abschätzungen (b) von |RK (t)|
liegen also für K ≤ 4 in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes
der Riemann-Siegel-Formel. Sie sind deshalb nicht mehr wesentlich verbesserbar,
so daß wir sie als optimal betrachten dürfen.
Mit Hilfe der Abschätzung von |RSK (τ )| aus Satz 3.1.3 und einer Verallgemeinerung der Abschätzung von | RU(τ )| aus Satz 4.2.4, S. 74 – was grundsätzlich keine
Schwierigkeiten bereitet – gelingt es, die eben für K = 10 durchgeführte direkte
Abschätzung von |RK (t)| auf beliebige K ≥ 0 auszudehnen. Das führt aber zu einer
sehr komplizierten und unübersichtlichen Formel, die wir hier deshalb nicht wiedergeben. Außerdem sind die in Satz 3.2.2 gewonnenen expliziten Abschätzungen der
Restglieder RK (t) (0 ≤ K ≤ 10) auch für extreme numerische Ansprüche vollkommen ausreichend. Sie zeigen, daß die ersten 11 Partialsummen der Riemann-SiegelFormel – trotz der Überschätzung von |R10 (t)| – zur Berechnung der Funktion Z(t)
hervorragend geeignet sind. Sämtliche mit Hilfe der Riemann-Siegel-Formel bisher
durchgeführten Berechnungen von Z(t) stellen sich damit nachträglich als gerechtfertigt heraus. Die Einschränkung t ≥ 200 in Satz 3.2.2 ist natürlich unwesentlich,
da Z(t) für t < 200 gut bekannt ist und sich zudem für diese kleinen t noch recht
gut mit der Eulerschen Summenformel berechnen läßt.
3.3
Zur Divergenz der Riemann-Siegel-Formel
Wir beschließen das Kapitel mit einer kurzen Bemerkung zur Divergenz der Riemann-Siegel-Formel. Siegel schreibt in [32, S. 285], daß es – bei Verwendung unserer
Notation – keineswegs trivial ist, daß |RK (t)| für festes t > 0 und K → +∞ nicht
gegen Null geht. Zwar ist das aufgrund der Herleitung der Riemann-Siegel-Formel
in Kapitel 1 sehr wahrscheinlich; ein Beweis dafür ist aber bis heute nicht veröffentlicht worden.7) Wegen der geraden Symmetrie der Funktionen C2n (z) würde es
zum Nachweis der Divergenz ausreichen, Abschätzungen der Form
|C2n (z)| ≥ w2n
(n ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1)
mit nur
von n abhängigen positiven Konstanten w2n so anzugeben, daß die PotenzP∞
reihe n=0 w2n xn für alle x 6= 0 divergiert. Das führt jedoch mit großer Sicherheit
6) Das ist möglich, da z in der Lehmerschen Form der Riemann-Siegel-Formel immer der Bedingung |z| ≤ 1 genügt.
7) Ein solcher Beweis liegt inzwischen vor, vgl. Berry [6], 1995.
3.3. Zur Divergenz der Riemann-Siegel-Formel
59
nicht zum Ziel, da die Funktionen C2n (z) – wie man mit Hilfe ihrer Potenzreihenentwicklungen aus Tabelle IV, S. 101 leicht nachweist – für 2n = 4, 8 und 10 je eine
einfache Nullstelle in dem offenen Intervall 0 < z < 1 besitzen und daher bereits
für diese Werte von 2n nur der trivialen Abschätzung
|C2n (z)| ≥ 0
(0 ≤ z ≤ 1)
√
genügen.8) Ist jedoch in der Riemann-Siegel-Formel q = π, d. h. setzt man t =
tM = 2πM 2 (M ganz > 0), so folgt aus der Identität (vgl. Beweis von Satz 2.1.5,
S. 28)
∞
X
n=0
∞
∞
X
X
√
π
π
4n+2
2n .
n
4n
b
C2n ( π) τM = cos
(−1) α2n τM − sin
(−1)n α2n+1 τM
8
8
n=0
n=0
die Divergenz der Riemann-Siegel-Formel für diese Werte von t; denn die beiden
Potenzreihen auf der rechten Seite dieser Gleichung haben den Konvergenzradius 0,
was sich ohne Schwierigkeiten mit Hilfe von Satz 4.2.4, S. 74 beweisen läßt. Damit
ist die Divergenz der Riemann-Siegel-Formel zumindest für spezielle Werte von t
nachgewiesen.
8) Da die Funktionen C (z) mit ungeradem Index grundsätzlich nur diese triviale Abschätzung
n
zulassen, haben wir sie in dieser Betrachtung von vorn herein nicht betrachtet.
Kapitel 4
Hilfssätze und
Hilfsabschätzungen
4.1
Integralformeln
Für <(τ ) > 0 sei
1)
2
Z
eiπτ u +2πixu du.
e2πiu − 1
Φ(x, τ ) :=
0%1
Dabei ist der mit 0%1 bezeichnete Integrationsweg eine von links unten nach rechts
oben orientierte Gerade der Steigung 1, die die reelle Achse zwischen den Punkten
0 und 1 trifft. Es gilt dann:
Satz 4.1.1. Das Integral konvergiert für jedes komplexe x, so daß Φ(x, τ ) eine ganze
Funktion von x ist und für τ = m/n, wo m und n natürliche Zahlen sind, wird
n
X
Φ x, m =
n
k=1
m
eiπ n k
2
+2kπix
−
q
m
n 2 X
n 2
n
n eiπ( 14 − m
x )
e−iπ m k +2kπi m x
m
k=1
eiπn(2x+m) − 1
.
Daher ist Φ(x, τ ) für positive rationale τ in endlicher Form durch Exponentialfunktionen darstellbar. Zum Beweis sei auf [11, Kap. V] oder [12, S. 35 ff.]
verwiesen. Wir bemerken noch, daß die Nullstellen des Nenners eiπn(2x+m) − 1 in
der obigen Darstellung von Φ(x, m/n) gleichzeitig Nullstellen des Zählers2) sind.
Das folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß Φ(x, τ ) eine ganze Funktion von x ist.
Satz 4.1.2. Die durch
1 eiπ/8−iq2/2
Fe(q) := √
2 π
Z
2
eiv /2+qv
√
dv
cosh 2π v
√
√
i π%−i π
1)
Dieses Integral ist ein spezielles Mordell-Integral“. Definition und Eigenschaften der Mor”
dell-Integrale, insbes. ihre Beziehung zu den Thetafunktionen, findet man in [25].
2) Daraus lassen sich auf elegante Weise die Werte der Gaußschen Summen und das quadratische
Reziprozitätsgesetz herleiten, vgl. [11, Kap. V] oder [12, S. 35 ff.].
62
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
definierte Funktion Fe(q) ist ganz und genügt der Gleichung
√
√
π
q2
q2
3π
cos
2
cos
+
q
−
sin
2
8
2
2 +
√
√
Fe(q) =
+i
cos πq
cos πq
3π
8
.
Der Integrationsweg ist entsprechend dem Integrationsweg 0%1 in Satz 4.1.1 zu
verstehen. Hier
Integrationsgerade daher die imaginäre Achse zwischen
√ trifft die √
den Punkten i π und −i π.
Beweis. Parametrisiert man den Integrationsweg mit v = eiπ/4 u (−∞ < u < +∞),
so sieht man unmittelbar, daß die Konvergenz des Integrals nicht von q abhängt.
Folglich ist Fe(q) eine ganze Funktion von q.
Wir setzen in Satz 4.1.1 m = 2, n = 1 und x = 1/2 − 2p mit reellem p. Dann
ist einerseits
Z
Z
2
2πiu2 +2πi(1/2−2p)u
1
e
e2πiu −4πipu du
Φ
− 2p, 2 =
du
=
2
e2πiu − 1
eiπu − e−iπu
0%1
0%1
und andererseits
−e−4πip −
Φ 1 − 2p, 2 =
2
√1
2
eiπ(1/8+p−2p
2
)
e−2πip − e−4πip
−e−4πip − 1
e−2πip +
=
√1
2
eiπ(1/8−2p
2
)
eiπp − e−iπp
.
e2πip + e−2πip
Hieraus folgt
2 e−iπ(1/8−2p ) Φ 1 − 2p, 2 = 2
2
2
e2πi(p
2
−p−1/16)
√1
eiπp
2
e2πip + e−2πip
+
− e−iπp
.
Daher ist
2e
−iπ(1/8−2p2 )
2
Z
e2πiu −4πipu du
eiπu − e−iπu
0%1
2
cos 2π p − p −
=
cos 2πp
1
16
√
1
sin 2π p2 − p − 16
+ 2 sin πp
+i
.
cos 2πp
Geht man hier zum konjugiert Komplexen über, so wird
iπ(1/8−2p2 )
Z
2e
2
e−2πiu +4πipu du
eiπu − e−iπu
0-1
2
cos 2π p − p −
=
cos 2πp
1
16
√
1
sin 2π p2 − p − 16
+ 2 sin πp
−i
cos 2πp
und durch holomorphe Fortsetzung bleibt das für alle komplexen p richtig. (Der Integrationsweg 0-1 ist wieder entsprechend dem Integrationsweg 0%1 zu verstehen.
Die Steigung der Integrationsgeraden beträgt hier also −1).
4.1. Integralformeln
63
√
Setzen
√ wir jetzt p = (1 − q/ π)/2 und substituieren im Integral mit u =
(1+i
so geht der Integrationsweg 0-1 bezüglich u in den Integrationsweg
√
√ v/ π)/2,
i π % −i π bezüglich v über. Für die linke Seite der letzten Gleichung erhalten
wir dann nach einer einfachen Rechnung den Ausdruck
1 eiπ/8−iq2/2
√
2 π
Z
2
eiv /2+qv
√
dv
cosh 2π v
√
√
i π%−i π
und für die rechte Seite dieser Gleichung
√
√
2
cos q2 + 3π
2 cos 2π q − sin
8
√
√
+i
cos πq
cos πq
q2
2
+
3π
8
.
Damit ist der Satz bewiesen.
Satz 4.1.3. Für jedes komplexe q ist
Fe(q) =
√
2e
iπ/8
Z∞
√
2
cosh ( πqe−iπ/4 v)
e−πv /2
dv,
cosh (πe−iπ/4 v)
0
wo Fe(q) die Funktion aus Satz 4.1.2 ist.
Beweis. Wir setzen in Satz 4.1.1 m = 1, n = 2 und erhalten
√
2
2πix
− 2 eiπ(1/4+2x−2x ) .
Φ x, 1 = i + e
2
e2πix − e−2πix
√
Für x = z/2 + 1/4 wird hieraus nach Multiplikation mit i 2 e−iπz/2
√ −iπz/2 z
√ eiπz/2 + e−iπz/2 − √2 eiπ(1/8−z2/2)
1
1
Φ
i 2e
+ ,
=i 2
2 4 2
eiπz + e−iπz
√
sin π2 14 − z 2
2 cos π2 z − cos π2
=
+i
cos πz
cos πz
cos π2 z 2 +
=
cos πz
3
4
√
+i
1
4
− z2
2 cos π2 z − sin π2 z 2 +
cos πz
Andererseits haben wir nach Satz 4.1.1 die Integraldarstellung
√ −iπz/2 z
√ −iπz/2 Z
1
1
i 2e
Φ
+ ,
= i 2e
2 4 2
2
eiπu /2+iπzu+iπu/2 du
e2πiu − 1
0%1
= √1 e−iπz/2
2
Z
0%1
2
eiπu /2+iπzu−iπu/2 du.
sin πu
3
4
.
64
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
Hier können wir den Integrationsweg durch den Punkt 1/2 legen. Wir parametrisieren den Weg mit u = 1/2 + eiπ/4 v und erhalten nach einer einfachen Rechnung
= √1 eiπ/8
2
+∞
Z
2
iπ/4
e−πv /2+iπze
cos (πeiπ/4 v)
v
dv
−∞
=
√
iπ/8
2e
Z∞
2
cos (πzeiπ/4 v)
e−πv /2
dv.
cos (πeiπ/4 v)
0
Dabei ergibtR sich der
dem vorangehenden, wenn man dort das
R ∞letzte Ausdruck Raus
0
0
Integral in −∞ + 0 zerlegt und in −∞ v mit −v substituiert. Durch Vergleich
√
mit dem obenstehenden Ausdruck für i 2 e−iπz/2 Φ(z/2 + 1/4, 1/2) folgt hieraus,
wenn man noch cos (eiπ/4 x) = cosh (e−iπ/4 x) beachtet, die für alle komplexen z
geltende Gleichung
√
cos π2 z 2 + 34
2 cos π2 z − sin π2 z 2 + 34
+i
cos πz
cos πz
(4.1)
∞
Z
√
2
cosh (πze−iπ/4 v)
dv.
= 2 eiπ/8 e−πv /2
cosh (πe−iπ/4 v)
0
√
Setzt man hier z = q/ π, so wird die linke Seite dieser Gleichung nach Satz 4.1.2
gleich der Funktion Fe(q) und es ergibt sich die Behauptung.
Satz 4.1.4. Für reelle z besitzt die Funktion
cos π2 z 2 +
F (z) :=
cos πz
3
4
die Integraldarstellung
F (z) =
√
−iπ/8
2< e
Z∞
iπ/4
v)
−πv 2/2 cosh (πze
e
dv .
cosh (πeiπ/4 v)
0
Beweis. In (4.1) sei z reell. Dann ist
F (z) =
√
iπ/8
2< e
Z∞
−iπ/4
v)
−πv 2/2 cosh (πze
e
dv ,
cosh (πe−iπ/4 v)
0
und hieraus folgt die Behauptung, wenn man den Ausdruck in der großen Klammer
mit seinem konjugiert Komplexen ersetzt.
Satz 4.1.5. Für die geraden Ableitungen der Funktionen
2
cos q2 + 3π
8
b
√
F (q) :=
,
cos πq
4.1. Integralformeln
65
√
Fb (q) :=
an der Stelle q =
√
√
2 cos
π
2 q
− sin
√
cos πq
q2
2
+
3π
8
π gelten die Formeln
√
(4n)!
cos π ,
Fb(4n) ( π) = (−1)n 2n
2 (2n)!
8
√
Fb(4n+2) ( π) = (−1)n
(4n + 2)!
sin π ,
22n+1 (2n + 1)!
8
√
(4n)!
Fb (4n) ( π) = (−1)n 2n
sin π ,
2 (2n)!
8
√
Fb(4n+2) ( π) = −(−1)n
(n ≥ 0)
(4n + 2)!
cos π .
22n+1 (2n + 1)!
8
Beweis. Aus Satz 4.1.3 folgt durch 2n-malige Differentiation nach q
Fe(2n) (q) =
√
Z∞
√
√ −iπ/4 2n cosh ( πqe−iπ/4 v)
iπ/8
−πv 2/2
2e
e
πe
v
dv.
cosh (πe−iπ/4 v)
0
Für q =
√
π heißt das
√
√
Fe(2n) ( π) = 2 π n i−n eiπ/8
Z∞
2
e−πv /2 v 2n dv
0
= i−n eiπ/8
= i−n
n
2 Γ n+ 1
√
π
2
(2n)! iπ/8
e
,
2n n!
da für ganze n ≥ 0
(2n)! √
Γ n + 1 = 2n
π
2
2 n!
ist. Ersetzt man jetzt n zum einen mit 2n und zum anderen mit 2n + 1, so erhält
man die Formeln
√
(4n)!
Fe(4n) ( π) = (−1)n 2n
cos π + i sin π ,
2 (2n)!
8
8
(n ≥ 0)
√
(4n + 2)!
Fe(4n+2) ( π) = (−1)n 2n+1
sin π − i cos π .
2
(2n + 1)!
8
8
Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil folgt hieraus die Behauptung, denn
nach Satz 4.1.2 ist Fe(q) = Fb(q) + i Fb (q).
66
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
Satz 4.1.6 (Integralformel von Riemann-Siegel). Bis auf Polstellen ist für alle komplexen s
s
π − 2 Γ s ζ(s)
2
Z
2
2
Z
s
1−s
eiπx x−s dx + π − 1−s
e−iπx xs−1 dx.
2
Γ
= π− 2 Γ s
2
eiπx − e−iπx
2
eiπx − e−iπx
0.1
0&1
Die beiden durch die Integrale gegebenen Funktionen von s sind ganz. Von den
Potenzen x−s und xs−1 sind die Hauptwerte zu nehmen.
Beweis. Wir setzen in Satz 4.1.1 n = m = 1 und x = z + 1/2. Nach einfacher
Umformung erhält man die für alle komplexen z geltende Gleichung
Z
2
2
eiπu +2πizu du = eiπz − e−iπz .
eiπu − e−iπu
eiπz − e−iπz
0%1
Es sei s eine reelle Zahl > 1. Wir multiplizieren die letzte Gleichung mit z s−1 und
integrieren, im Nullpunkt beginnend, längs der Winkelhalbierenden des zweiten
Quadranten über z. Dabei sei die Potenz z s−1 die holomorphe Fortsetzung der für
positive reelle z reellen Funktion z s−1 = e(s−1) log z in die längs der negativen Achse
bis zum Nullpunkt aufgeschnittenen z-Ebene. Es wird dann
3π
eiZ4 ∞ Z
0
2
iπu +2πizu
du dz
z s−1 eiπu
e
− e−iπu
0%1
(4.2)
3π
3π
eiZ4 ∞
z s−1
=
e
iπz
eiπz
dz −
− e−iπz
eiZ4 ∞
0
z s−1
2
e−iπz
dz.
e − e−iπz
iπz
0
Das Doppelintegral auf der linken Seite dieser Gleichung konvergiert absolut.3)
Daher dürfen wir hier die Integrationsreihenfolge vertauschen und erhalten so
3π
2
Z
e
eiπu
− e−iπu
eiZ4 ∞
e2πizu z s−1 dz du.
iπu
0
0%1
Mit der Substitution
z = ei3π/4 y wird aber, da für u auf dem Integrationsweg 0%1
iπ/4
< 2πe
u > 0 ist
3π
eiZ4 ∞
e
0
2πizu s−1
z
Z∞
s−1
iπ/4
dz =
e−2πe uy ei3π/4 y
ei3π/4 dy
0
=e
i 3π
4 s
Z∞
iπ/4
e−2πe uy y s−1 dy
0
3) Dazu parametrisiere man etwa u = 1/2 + eiπv/4 (−∞ < v < +∞) und z = ei3πy/4 (0 < y <
+∞) und betrachte den Betrag des Integranden.
4.1. Integralformeln
67
= ei
Γ(s)
s
2πeiπ/4 u
3π
4 s
π
= ei 2 s (2π)−s Γ(s) u−s .
Folglich ist die linke Seite von (4.2) gleich dem Ausdruck
Z
2
π
eiπu u−s du.
ei 2 s (2π)−s Γ(s)
eiπu − e−iπu
(4.3)
0%1
Das zweite Integral auf der rechten Seite von (4.2) läßt sich in eine (4.3) ähnliche Form bringen. Dazu betrachten wir das Integral
Z
−iπz 2
z s−1 iπze
dz.
e − e−iπz
0-1
Wegen s > 1 läßt sich die Integrationsgerade 0 - 1 durch den Nullpunkt legen.
Damit wird
3π
Z
z s−1
e
eiZ4 ∞
−iπz 2
eiπz − e−iπz
0-1
2
z s−1
dz =
−ei
3π
4
e−iπz
dz
iπz
e − e−iπz
∞
3π
eiZ4 ∞
=
z
Z0
2
s−1
e−iπz
dz +
iπz
e − e−iπz
0
−ei
3π
4
2
e(s−1) log z−iπz dz.
eiπz − e−iπz
∞
Für =(z) > 0 gilt nach Festlegung der Potenz z s−1 = e(s−1) log z die Gleichung
log (−z) = log z − iπ und daher
3π
Z0
e
(s−1) log z−iπz 2
eiπz − e−iπz
3π
−ei 4
eiZ4 ∞
2
e(s−1) log (−z)
dz = −
e−iπz
dz
iπz
e − e−iπz
0
∞
3π
eiZ4 ∞
2
e−iπz z s−1 dz.
eiπz − e−iπz
= e−iπs
0
Wir setzen das oben ein und erhalten für das zweite Integral auf der rechten Seite
von (4.2)
3π
eiZ4 ∞
2
e−iπz z s−1 dz =
1
eiπz − e−iπz
1 + e−iπs
0
Z
2
e−iπz z s−1 dz.
eiπz − e−iπz
(4.4)
0-1
Das erste Integral auf der rechten Seite von (4.2) läßt sich wie folgt berechnen:
3π
eiZ4 ∞
z s−1
0
3π
eiZ4 ∞
eiπz
dz = −
iπz
e − e−iπz
z s−1
0
∞
X
n=1
e2nπiz dz.
68
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
Hier sind Summation und Integration vertauschbar; also
i 3π
=−
4
∞ eZ
X
n=1
∞
e2nπiz z s−1 dz
0
∞ Z∞
s−1
X
iπ/4
=−
e−2nπe y ei3π/4 y
ei3π/4 dy
n=1 0
= −ei
3π
4 s
∞
X
n=1
Γ(s)
s
2nπeiπ/4
π
= −ei 2 s (2π)−s Γ(s)
∞
X
1
ns
n=1
π
= −ei 2 s (2π)−s Γ(s) ζ(s).
Setzen wir das zusammen mit (4.3) und (4.4) in (4.2) ein, so wird
Z
2
eiπx x−s dx
iπ
s
−s
2
e
(2π) Γ(s)
eiπx − e−iπx
0%1
iπ
2s
= −e
−s
(2π)
1
Γ(s) ζ(s) −
1 + e−iπs
2
Z
e−iπx xs−1 dx.
eiπx − e−iπx
0-1
Daraus folgt
(2π)−s Γ(s) ζ(s)
−s
= (2π)
Z
Γ(s)
2
π
eiπx x−s dx + e−i 2 s
iπx
e
− e−iπx
1 + e−iπs
0.1
Z
2
e−iπx xs−1 dx.
eiπx − e−iπx
0&1
Es ist aber nach dem Ergänzungssatz der Gammafunktion
π
1
1 Γ 1−s Γ 1+s
e−i 2 s =
=
1 + e−iπs
2 cos π2 s
2π
2
2
und nach dem Verdoppelungssatz
1−s s
2
(2π)−s Γ(s) = π − 2 Γ s π
Γ 1+s .
2
2π
2
Trägt man das in die letzte Gleichung ein, so ergibt sich nach Multiplikation mit
π −(1−s)/2 und nach Kürzen von Γ[(1 + s)/2]/(2π) die Behauptung des Satzes. Die
Einschränkung s reell > 1 kann natürlich jetzt fortfallen; denn da die Konvergenz
der beiden Integrale in der Riemann-Siegel-Integralformel offenbar nicht von s abhängt, sind diese Integrale ganze Funktionen von s. Folglich ist die rechte Seite der
Riemann-Siegel-Integralformel wegen der Meromorphie der Gammafunktion in die
4.2. Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t)
69
ganze Ebene meromorph fortsetzbar. Aufgrund der Art der Herleitung ist ferner
unmittelbar ersichtlich, daß von den Potenzen z −s und z s−1 die Hauptwerte zu
nehmen sind. Damit ist der Satz bewiesen.
Eine ähnliche Herleitung der Riemann-Siegel-Integralformel findet sich in [16,
S. 166] und in [31, 32].
4.2
Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t)
Wie N. Nielsen in [26, S. 87] setzen wir in der längs der negativen reellen Achse bis
zum Nullpunkt aufgeschnittenen z-Ebene
√
µ(z) := log Γ(z) − z − 1 log z + z − log 2π.
(4.5)
2
Dabei sind die rechtsstehenden Logarithmen so zu bestimmen, daß µ(z) für positive
reelle z reell wird.
Satz 4.2.1. Die oben eingeführte Funktion µ(z) hat folgende Eigenschaften:
(a) µ(z) = µ(z)
(b) µ(z) = µ(z + 1) + z + 1 log 1 + 1 − 1
2
z
(c) µ(z) + µ z + 1 = µ(2z) − z log 1 + 1 + 1
2
2z
2
(d) µ(z) + µ(−z) = − log 1 − e2πiz sign =(z)
(z nicht reell)
(e) (Stirlingsche Reihe)
Für K ≥ 0 und jedes ε > 0 ist
µ(z) =
K
X
n=1
B2n
−2K−1
2n−1 + O z
(2n − 1) 2n z
z → ∞ in | arg z| ≤ π − ε.
Die B2n sind die Bernoullischen Zahlen.
(f ) (Restabschätzung der Stirlingschen Reihe)
Für <(z) ≥ 0 und K ≥ 1 gilt für das Restglied
rK (z) := µ(z) −
K
X
n=1
B2n
(2n − 1) 2n z 2n−1
die Abschätzung
|rK (z)| ≤
q |B2K+2 |
2K + 1 π .
1
+
2
K
(2K + 1) (2K + 2) |z|2K+1
In allen Fällen ist von den Logarithmen der Hauptwert zu nehmen.
70
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
Zum Beweis bemerken wir, daß (a) unmittelbar aus (4.5) folgt. Die Gleichung (b)
ergibt sich aus der Funktionalgleichung, (c) aus dem Verdopplungs- und (d) aus
dem Ergänzungssatz der Gammafunktion. Einen Beweis für (d) findet man z. B.
in [26, S. 94]4) und für die wichtige Abschätzung (f) in [4, S. 303]. Im übrigen
verweisen wir auf [4] und [26].
Satz 4.2.2. Es sei t > 0. Dann ist
i
h
= i t − 1 log 1 + 1 + µ 1 + i t
2 4
2it
4
2
= 1 = µ(2it) − µ(it) + 1 arctan e−πt ,
2
2
wenn von dem Logarithmus der Hauptwert genommen wird.
Beweis. (Von allen hier auftretenden Logarithmen ist der Hauptwert zu nehmen).
Wir setzen in Satz 4.2.1 z = −1/4 + it/2. Aus (c) folgt
1
µ − 1 + i t + µ 1 + i t = µ − 1 + it + 1 − i t log 1 +
+1
4
2
4
2
2
4
2
−1/2 + it
2
und aus (d)
µ − 1 + i t + µ 1 − i t = − log 1 − e2πi(−1/4+it/2) = − log 1 + i e−πt .
4
2
4
2
Wir subtrahieren die zweite von der ersten Gleichung und erhalten wegen Satz
4.2.1 (a)
µ 1 +it −µ 1 −it
4
2
4
2
= µ 1 + i t − µ 1 + i t = 2i = µ 1 + i t
4
2
4
2
4
2
die Beziehung
2i = µ 1 + i t
4
2
(4.6)
1
1
1
t
1
−πt
= µ − + it +
−i
log 1 +
+ log 1 + i e
+ .
2
4
2
−1/2 + it
2
Für z = −1/2 + it ist nach Satz 4.2.1 (b)
1
−1
µ − 1 + it = µ 1 + it + it log 1 +
2
2
−1/2 + it
und für z = it nach Satz 4.2.1 (c)
µ 1 + it = µ(2it) − µ(it) − it log 1 + 1 + 1 .
2
2it
2
Zusammengefaßt lauten die beiden letzten Gleichungen
1
µ − 1 + it = µ(2it) − µ(it) − it log 1 + 1 + it log 1 +
− 1.
2
2it
−1/2 + it
2
4)
In diesem Buch achte der Leser besonders auf Druckfehler!
4.2. Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t)
71
Wir tragen das in (4.6) ein:
1
t
1
2i = µ
+ i = µ(2it) − µ(it) − it log 1 +
4
2
2it
(4.7)
t
1
1
−πt
+i
log 1 +
+ log 1 + i e
.
+
4
2
−1/2 + it
Da t reell > 0 ist, gilt die Zerlegung
1
log 1 +
= log 1 + 1 − log 1 − 1 .
−1/2 + it
2it
2it
Damit wird
1 + i t log 1 +
1
− it log 1 + 1
4
2
−1/2 + it
2it
= 1 − i t log 1 + 1 − 1 + i t log 1 − 1
4
2
2it
4
2
2it
h
i
= 2i = 1 − i t log 1 + 1
.
4
2
2it
Aus (4.7) folgt dann, wenn wir gleich durch 2i dividieren,
h
i
= i t − 1 log 1 + 1 + µ 1 + i t
2 4
2it
4
2
= 1 µ(2it) − µ(it) + 1 log 1 + i e−πt .
2i
2i
Die linke Seite dieser Gleichung ist reell. Folglich reicht es, wenn man von der
rechten Seite den Realteil nimmt. Wegen
h
i
< 1 log 1 + i e−πt = 1 arctan e−πt
2i
2
ergibt sich daraus die Behauptung.
Satz 4.2.3. Für reelle t sei
1
t
ϑ(t) := = log Γ
+i
− t log π.
4
2
2
Von dem Logarithmus ist der Hauptwert zu nehmen, so daß ϑ(t) bei t = 0 verschwindet. Dann ist für t > 0:
(a) ϑ(t) = t log t − t − π + 1 arctan e−πt + 1 = µ(2it) − µ(it)
2
2π 2
8
2
2
K
X (22n−1 − 1)|B |
(t → +∞,
−2K−1
2n
(b) ϑ(t) = t log t − t − π +
2n
2n−1 + O t
K ≥ 0)
2
2π 2 8
2 (2n − 1)2n t
n=1
(c) ϑ(t) besitzt die asymptotische Entwicklung
∞
X (22n−1 − 1)|B |
2n
ϑ(t) ∼ t log t − t − π +
2
2π 2
8
22n (2n − 1)2n t2n−1
n=1
(t → +∞).
72
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
(d) In der Darstellung
7
31
ϑ(t) = t log t − t − π + 1 +
+
+ Rϑ(t)
2
2π 2
8
48 t 5 760 t3
80 640 t5
genügt das Restglied Rϑ(t) für t ≥ 10 der Abschätzung
|Rϑ(t)| <
1 .
3 322 t7
Beweis. Es sei t reell > 0. Aus (4.5) folgt für z = 1/4 + it/2
√
log Γ 1 + i t = i t − 1 log 1 + i t − 1 − i t + log 2π + µ 1 + i t .
4
2
2 4
4
2
4
2
4
2
Wegen
log 1 + i t = log i t + log 1 + 1 = log t + i π + log 1 + 1
4
2
2
2it
2
2
2it
wird dann
= log Γ 1 + i t
4
2
h
√
= = i t − 1 log t + i π − 1 − i t + log 2π
2 4
2
2
4
2
i
t
1
1
1
t
+ i −
log 1 +
+µ
+i
2 4
2it
4
2
h
i
= t log t − t − π + = i t − 1 log 1 + 1 + µ 1 + i t .
2
2 2
8
2 4
2it
4
2
Hieraus ergibt sich (a), wenn man auf beiden Seiten der Gleichung (t log π)/2 abzieht und Satz 4.2.2 anwendet.
Mit z = it lautet (f) von Satz 4.2.1 wegen |B2n | = (−1)n−1 B2n
µ(it) =
K
X
n=1
=i
B2n
+ rK (it)
(2n − 1)2n(it)2n−1
K
X
n=1
(−1)n B2n
+ rK (it)
(2n − 1)2n t2n−1
K
X
= −i
n=1
(K ≥ 1)
|B2n |
+ rK (it).
(2n − 1)2n t2n−1
Daher ist
1 =µ(2it) − µ(it)
2
K
|B |
1X
K
X
|B2n |
=1
−
2
(2n − 1)2n t2n−1
2
n=1
=
K
X
n=1
2n
2n−1
n=1
(2n − 1)2n (2t)
+ 1 = rK (2it) − rK (it)
2
(22n−1 − 1)|B2n |
1 =r (2it) − r (it).
K
K
2n
2n−1 +
2 (2n − 1)2n t
2
4.2. Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t)
73
Aus (a) folgt so die Darstellung
ϑ(t) = t log t − t − π + 1 arctan e−πt
2
2π 2
8
2
(4.8)
(2
− 1)|B2n |
+
+ 1 = rK (2it) − rK (it) .
22n (2n − 1)2n t2n−1
2
n=1
Nach Satz 4.2.1 (e) und (f) ist rK (2it) − rK (it) = O t−2K−1 für t → +∞. Setzt
man leere Summen gleich
Null, so bleibt das auch noch für K = 0 richtig. Da
arctan e−πt = O t−K (t → +∞) für jedes K ist, sind damit (b) und (c) bewiesen.
Zum Beweis von (d) wenden wir (4.8) mit K = 5 an. Wir erhalten mit den
numerischen Werten von (22n−1 − 1)|B2n |/[22n (2n − 1)2n] (1 ≤ n ≤ 5)
K
X
2n−1
7
31
+
+ Rϑ(t)
ϑ(t) = t log t − t − π + 1 +
2
2π 2
8
48 t 5 760 t3
80 640 t5
mit
Rϑ(t) =
127
511
1 arctan e−πt + 1 =r (2it) − r (it).
5
5
7 +
9 +
430 080 t
1 216 512 t
2
2
Für t ≥ 10 läßt sich das Restglied Rϑ(t) wie folgt abschätzen:
|Rϑ(t)| ≤
127
511 · 10−2 + 1 arctan e−πt + 1 |r (2it)| + 1 |r (it)|.
5
5
7 +
430 080 t
1 216 512 t7
2
2
2
Es gelten die Abschätzungen (t ≥ 10)
1 arctan e−πt < e−πt < 10−6
2
2
t7
und wegen |B12 | = 691/2730 nach Satz 4.2.1 (f)
1 |r (2it)| + 1 |r (it)|
5
5
2
2
q q |B12 |
11 π + 1 · |B12 |
11 π
≤ 1·
11 1 +
11 1 +
2 11 · 12 (2t)
2
5
2 11 · 12 t
2
5
q (211 + 1) · 691
11 π
1
+
11 · 12 · 212 · 2 730 t11
2
5
q (211 + 1) · 691
11 π < 5.2 · 10−7 .
≤
1
+
11 · 12 · 212 · 2 730 · 104 t7
2
5
t7
Damit wird
−2
127
511
·
10
−6
−7 1
|Rϑ(t)| <
+
+ 10 + 5.2 · 10
.
430 080
1 216 512
t7
=
Hier läßt sich die Konstante in der eckigen Klammer mit 1/3322 nach oben abschätzen, wie in (d) behauptet wurde.
Wir bemerken noch, daß diese Abschätzung fast optimal ist; denn wegen
127
1
=
430 080 t7
3 386.45 . . . · t7
ist der mit 1/3322 t−7 abgeschätzte Fehler nur wenig größer als das erste vernachlässigte Glied der asymptotischen Reihe.
74
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
Eine andere Art der Herleitung der asymptotischen Entwicklung (c) findet der
Leser bei C. L. Siegel in [31, 32].
Satz 4.2.4. Es sei τ > 0 und t = 1/(8τ 2 ). Für den durch
U := exp i t log t − t − π − ϑ(t)
2
2π 2
8
definierten Ausdruck bestehen die Beziehungen
X
K
(22n−1 − 1)|B2n |
2 2n−1
(8τ )
+ O τ 4K+2
(a) U = exp −i
2n
2 (2n − 1)2n
n=1
(τ → 0,
K ≥ 0).
(b) Für τ ≤ 1/40 genügt das Restglied RU(τ ) in der Darstellung
τ2
28 6
3 968 10
U = e−i 6 + 45 τ + 315 τ
+ RU(τ )
der Abschätzung
11
| RU(τ )| < τ .
101
(c) U ist in eine formale Potenzreihe der Form
U∼
∞
X
in αn τ 2n
(τ → 0)
n=0
entwickelbar. Für K ≥ 0 ist
U=
K
X
in αn τ 2n + O τ 2K+2
(τ → 0).
n=0
Die Koeffizienten αn sind rationale Zahlen. Sie genügen der Rekursionsformel
α0 = 1,
b(n+1)/2c
n αn = −
X
βk αn+1−2k
(n ≥ 1)
24k−4 (22k−1 − 1) B2k
k
(k ≥ 1).
k=1
mit
βk :=
Für die ersten αn ergeben sich folgende Werte:
α0 = 1,
α1 = − 1 ,
2·3
α2 = 3 1 2 ,
2 ·3
α5 = − 886896· 9 463 ,
2 ·3 ·5·7
α6 = 1910· 1418 8652 649 ,
2 ·3 ·5 ·7
4.2. Die asymptotische Entwicklung von ϑ(t)
2
· 173 · 1 487 809 , 5)
α7 = 19 · 47
11
2 · 39 · 52 · 7
· 31 393 · 32 653 .
α8 = − 43 · 853
215 · 310 · 52 · 7
4 027 ,
2 · 34 · 5
· 701 ,
α4 = − 23
27 · 35 · 5
α3 =
75
4
Zähler und Nenner sind vollständig in Primfaktoren zerlegt.
Beweis. Aus Satz 4.2.3 (b) folgt nach Definition von U
X
K
U = exp −i
n=1
X
K
= exp −i
n=1
(22n−1 − 1)|B2n |
−2K−1
2n
2n−1 + O t
2 (2n − 1)2n t
(22n−1 − 1)|B2n |
22n (2n − 1)2n t2n−1
+ O t−2K−1
(t → +∞)
(t → +∞)
und hieraus ergibt sich (a), wenn man t = 1/(8τ 2 ) setzt.
Zum Beweis von (b) verwenden wir die Abschätzung 4.2.3 (d). Wir erhalten
1
7
31
U = e−i 48 t + 5 760 t3 + 80 640 t5 + Rϑ(t) .
Für t = 1/(8τ 2 ) heißt das
U =e
mit
RU(τ ) = e−i
Daher ist
−i
τ2
6
τ2
6
+
+
28 6
45 τ
28 6
45 τ
+
+
3 968 10
315 τ
3 968 10
315 τ
+ RU(τ )
e−iRϑ(1/(8τ
2
))
−1 .
∞
X
−iRϑ(1/(8τ 2 ))
1 Rϑ 1 n .
−1 ≤
| RU(τ )| = e
n!
8τ 2
n=1
Es sei jetzt τ ≤ 1/40. Dann wird 1/(8τ 2 ) ≥ 200 und die Abschätzung (d) aus Satz
4.2.3 ist anwendbar. Wir erhalten damit
1 < (8τ 2 )7 = 221 τ 14 < 632 τ 14
Rϑ
2 8τ
3 322
3 322
und so
∞
∞
∞
X
X
X
n
n
632
632
632n .
14n
11
14n−11
11
| RU(τ )| <
τ
=τ
τ
≤τ
n!
n!
4014n−11 n!
n=1
n=1
n=1
Da sich hier die ganz rechts stehende unendliche Reihe mit 1/101 nach oben abschätzen läßt, ist (b) bewiesen.
Zum Beweis von (c) bemerken wir, daß aus Satz 4.2.3 (c) folgt
X
∞
(22n−1 − 1)|B2n |
2 2n−1
U ∼ exp −i
(8τ )
22n (2n − 1)2n
(τ → 0). (4.9)
n=1
5)
In der Originalarbeit steht hier im Zähler statt 192 · . . .“ fälschlicherweise 19 · . . .“.
”
”
76
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
Durch Einsetzen des Exponenten in die Potenzreihe der Exponentialfunktion erhält man hieraus mit gewissen Zahlen αn eine formale Entwicklung von U nach
Potenzen von τ 2
U∼
∞
X
in αn τ 2n
(τ → 0)
(4.10)
n=0
und nach (a) ist klar, daß jede Partialsumme dieser Reihe der in (c) angegebenen
Groß-O-Abschätzung genügt.
Die Rekursionsformel der αn läßt sich in bekannter Weise durch Gleichsetzen
der logarithmischen Ableitungen von (4.9) und (4.10) gewinnen. Unter Verwendung
der Beziehung |B2k | = (−1)k−1 B2k kann man sie in die obenstehende Form bringen.
Dabei ist unter b(n+1)/2c wie üblich die größte ganze Zahl ≤ (n+1)/2 zu verstehen.
Da U ∼ 1 für τ → 0 ist, muß α0 = 1 sein. Aus der Rekursionsformel erhält man
damit die angegebenen Werte der αn (n ≤ 8). Es ist trivial, daß die αn rationale
Zahlen sind.
4.3
Bestimmung von D0 (τ ) und D1 (τ )
Satz 4.3.1. Für die formalen Potenzreihen D0 (τ ) und D1 (τ ) in
U ·S ∼
∞
X
Dn (τ )
n=0
Fe(n) (q)
n!
(τ → 0)
gilt
∞
. X
D0 (τ ) =
λn τ 4n
(4.11)
n=0
und
∞
. X
µn τ 4n−1 .
D1 (τ ) =
(4.12)
n=1
Die Koeffizienten sind rekursiv durch
λ0 = 1,
(n + 1) λn+1 =
n
X
(4.13)
4k+1
2
|E2k+2 | λn−k
(n ≥ 0),
k=0
%0 = −1,
(n + 1) %n+1 = −
n
X
(4.14)
4k+1
2
|E2k+2 | %n−k
(n ≥ 0)
k=0
und
µn =
λn + %n
2
(n ≥ 1)
(4.15)
4.3. Bestimmung von D0 (τ ) und D1 (τ )
77
gegeben. Dabei sind die E2k die Eulerschen Zahlen.
Für n ≤ 6 geben wir die Werte der Zahlen λn , %n 6) und µn in Form einer
Primfaktorzerlegung an:
λ0 = 1,
λ1 = 2,
λ4 = 2 · 3 · 7 · 68 111,
λ2 = 2 · 41,
λ5 = 22 · 3 · 47 · 499 · 4 729,
λ3 = 22 · 3 · 881,
λ6 = 22 · 3 · 409 · 193 077 047,
%0 = −1,
%1 = 2,
%4 = 2 · 313 · 4 493,
%2 = 2 · 3 · 13,
%5 = 22 · 3 · 37 · 2 968 241,
%3 = 22 · 11 · 233,
%6 = 22 · 61 · 3 859 681 871,
µ1 = 2,
µ4 = 25 · 5 · 17 729,
µ2 = 24 · 5,
µ5 = 22 · 3 · 172 · 521 · 733,
µ3 = 22 · 19 · 137,
µ6 = 25 · 52 · 179 · 283 · 23 311.
Beweis. Wir können die einzelnen Schritte des Beweises hier nur andeuten, da
dieser bei genauer Ausführung sehr umfangreich wird. Der Leser vergleiche dazu
auch Siegel [32, S. 290 ff.], beachte jedoch, daß sich die hier auftretenden Integrale
entsprechend unserer Herleitung der Riemann-Siegel-Formel aus der Riemann-Siegel-Integralformel von denen Siegels unterscheiden.
Wir setzen zur Abkürzung ε := eiπ/4 und erhalten mit der Parametrisierung
v = εu (−∞ < u < +∞) aus Satz 4.1.2
ε eiπ/8−iq2/2
Fe(q) := √
2 π
+∞
Z
−∞
2
e−u /2+qεu
√
du.
cosh 2π εu
Ersetzen wir q mit q + εx, so folgt
√
−iπ/8+i(q+εx)2/2
2 πεe
+∞
Z
−u2/2+qεu
√
Fe(q + εx) =
eixu e
du
cosh 2π εu
−∞
und daraus mit u = εv nach dem Satz von Fourier
2
eiv /2+qv
√
= √ε e−iπ/8
π
cosh 2π v
+∞
Z
2
e−εvx ei(q+εx) /2 Fe(q + εx) dx,
(4.16)
−∞
√
falls v der Bedingung |<(v) − =(v)| < π genügt. Man erhält diese Bedingung,
wenn man die für Fe(q + εx) aus Satz 4.1.2 folgende Darstellung
√
√
π
−i(q+εx)2/2−i 3π/8
e
+
i
2
cos
2 (q + εx)
√
Fe(q + εx) =
cos π(q + εx)
6)
In der Originalarbeit wurde auf die Angabe der %n verzichtet.
78
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
in den Integranden einsetzt und die Konvergenz des Integrals an der unteren und
oberen Grenze untersucht.
In Satz
√ 1.2.1, S. 12
√ machen wir die unwesentliche Einschränkung a nicht ganz,
so daß − π < q < π wird, setzen in die dortige Integraldarstellung von S die
aus (4.16) folgende Gleichung
e
iπ/8−iq 2/2
+∞
Z
2
e−x /2−(v−iq)εx Fe(q + εx) dx
2
eiv /2+qv
√
= √ε
π
π
cosh 2 v
−∞
√
iq
ein und parametrisieren den Integrationsweg % mit v = iq + ε 2 u (−∞ < u <
√
+∞). Die Bedingung |<(v) − =(v)| < π ist dann wegen |<(v) − =(v)| = |q| erfüllt
und es folgt
 +∞

+∞
Z
Z
√
√
2
S = √1
g(τ, ε 2 u) 
e−x /2−i 2 ux Fe(q + εx) dx du.
2π
·
−∞
−∞
P∞
Wir tragen hier die Taylorreihe Fe(q+εx) = n=0 Fe(n) (q) (εx)n /n! ein und erhalten
nach Multiplikation mit
U = exp i t log t − t − π − ϑ(t)
2
2π 2
8
die formale Entwicklung
U ·S ∼
∞
X
Dn∗ (τ )
n=0
Fe(n) (q)
n!
(4.17)
mit
n
Uε
Dn∗ (τ ) := √
2π
 +∞

+∞
Z
Z
√
√
2
g(τ, ε 2 u) 
e−x /2−i 2 ux xn dx du
−∞
(n ≥ 0).
(4.18)
−∞
Setzen wir für n ≥ 0
n
hn (u) := √i 2n/2
2π
+∞
Z
√
2
e−x /2−i 2 ux xn dx,
−∞
2
so wird hn+1 (u) = −h0n (u). Wegen h0 (u) = e−u ist dann
n 2
2
hn (u) = (−1)n d n e−u = e−u Hn (u)
du
7)
mit den Hermiteschen
Polynomen Hn (u). Wir erhalten so aus (4.18), wenn wir die
√
Funktion g(τ, ε 2 u) gleich
mit ihrem expliziten Ausdruck aus Satz 1.2.1, S. 12
√
ersetzen und τ = 1/(2 2t) beachten,
Dn∗ (τ )
−n −n/2
= ε √2
U
π
+∞
Z
√
√
2
e(−1/2+it) log(1+iεu/ t)+ε t u−u /2 Hn (u) du (n ≥ 0).
−∞
7)
Siehe [1, 22.11.7].
4.3. Bestimmung von D0 (τ ) und D1 (τ )
79
Eine einfache Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes zeigt, daß wir hier den
√
Integrationsweg mit der durch den Verzweigungspunkt des Integranden bei u = ε t
parallel zur reellen Achse verlaufenden
Geraden ersetzen dürfen.8) Wir parametri√
sieren diesen Weg mit u = ε t + x (−∞ < x < +∞) und erhalten nach Definition
des Ausdruckes U und der Funktion ϑ(t)
−n −n/2 1
π
t
1
t
e 4 log t+ 4 t−i[ 2 log 2+= log Γ( 4 +i 2 )] Wn (t)
Dn∗ (τ ) = ε √2
π
(4.19)
mit
+∞
Z
√
2
Wn (t) := e−πt/4−iπ/8 e−x /2+(−1/2+it) log(iεx) Hn ε t + x dx
(n ≥ 0).
−∞
R∞ R0
Zerlegt man dieses Integral in 0 + −∞ und substituiert im zweiten Integral x
mit −x, so kann man das in die Form
Z∞
h
√
√
i
2
Wn (t) = e−x /2 x−1/2+it Hn ε t − x − i e−πt Hn ε t + x dx
(n ≥ 0)
0
bringen. Hieraus berechnet man wegen H0 (x) ≡ 1 9)
3 t W0 (t) = 1 − i e−πt 2− 4 +i 2 Γ 1 + i t
4
2
und wegen H1 (x) = 2x 10) unter Verwendung des Ergänzungssatzes der Gammafunktion
π
√
t
3
e− 2 t .
W1 (t) = 2 ε t W0 (t) − 2 4 +i 2 2πε
Γ 1 +it
4
2
Mit der Zerlegung
t
t
1
1
Γ 1 + i t = e< log Γ( 4 +i 2 )+i = log Γ( 4 +i 2 )
4
2
folgt damit aus (4.19)
D0∗ (τ ) = 1 − i e−πt eω ,
√
D1∗ (τ ) = 2t D0∗ (τ ) − e−ω ,
(4.20)
wobei wir zur Abkürzung
√
ω := < log Γ 1 + i t + π t + 1 log t − log 2π
4
2
4
4
2
√
Nach Definition der Funktion g(τ, z) in Satz 1.2.1, S. 12 ist der Logarithmus log(1 + iεu/ t)
im Integranden
√ in der längs der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten vom Punkt ∞ bis zum
Punkt u = ε t aufgeschnittenen
√u-Ebene eine eindeutige holomorphe Funktion von u, die reelle
Werte annimmt, wenn 1 + iεu/ t reell und positiv ist. Bei dieser Anwendung des Cauchyschen
Integralsatzes wird der Schnitt in der u-Ebene daher nicht berührt.
9) Siehe [1, 22.4.8].
10) Siehe [1, 22.4.8].
8)
80
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
gesetzt haben. Der letzte Ausdruck läßt sich für t → +∞ in eine asymptotische
Reihe entwickeln. Wir verwenden die von
√ Siegel in [32, S. 289, Nr. 43] angegebene
Darstellung, aus der sich mit τ = 1/(2 2t) die asymptotische Entwicklung
∞
X
|E2n | 4n−3 4n
ω∼
2
τ
n
(τ → 0)
(4.21)
n=1
ergibt. Dabei sind die E2n die Eulerschen Zahlen.11) Die Ausdrücke eω und e−ω
lassen sich daher in formale Potenzreihen der Form
∞
X
eω ∼
λn τ 4n ,
n=0
(τ → 0)
e−ω ∼ −
∞
X
(4.22)
%n τ 4n
n=0
entwickeln, in denen λ0 = 1 und %0 = −1 sind. Die Rekursionsformeln (4.13) und
(4.14) ergeben sich dann in bekannter Weise durch Vergleich von (4.21) und (4.22).
Für t → +∞ bzw. τ → 0 folgen damit aus (4.20) die asymptotischen Entwicklungen
D0∗ (τ )
ω
∼e ∼
∞
X
λn τ 4n ,
n=0
(4.23)
ω
D1∗ (τ ) ∼ e − e
2τ
−ω
∼
∞
X
µn τ 4n−1 ,
n=1
wobei sich die Koeffizienten µn mit den Zahlen λn und %n nach Gleichung (4.15)
errechnen.
Aus der Existenz einer Entwicklung der Form
U ·S ∼
∞
X
n=0
Dn (τ )
Fe(n) (q)
,
n!
in der die Dn (τ ) formale Potenzreihen in τ sind (Satz 2.1.4, S. 24), folgt durch
Vergleich mit (4.17), daß die Dn (τ ) die formalen Potenzreihenentwicklungen der
Funktionen Dn∗ (τ ) sind. Aus (4.23) ergeben sich so für D0 (τ ) und D1 (τ ) die Gleichungen (4.11) und (4.12). Die angegebenen Werte der λn und µn (n ≤ 6) erhält
man mit relativ geringem Rechenaufwand aus (4.13), (4.14) und (4.15). Damit ist
der Beweis abgeschlossen.
4.4
Verschiedene Hilfsabschätzungen
Satz 4.4.1. Für reelle a mit |a| ≤ 1 und beliebige reelle x gelten die Abschätzungen
cosh (eiπ/4 ax) (4.24)
cosh (eiπ/4 x) ≤ 1,
sinh (eiπ/4 ax) √
(4.25)
cosh (eiπ/4 x) ≤ 2.
11)
Siegel bezeichnet |E2n | mit En .
4.4. Verschiedene Hilfsabschätzungen
81
Beweis. Bekanntlich ist für reelle x und y
2
|cosh (x + iy)| = 1 (cosh 2x + cos 2y),
2
2
|sinh (x + iy)| = 1 (cosh 2x − cos 2y).
2
(4.26)
(4.27)
Aus (4.26) folgt mit y = x
"∞
#
∞
∞
X
X
X
2n
2n
(2x)
(2x)
(2x)4n
2
1
n
+
(−1)
=
.
|cosh (1 + i)x| =
2
(2n)!
(2n)!
(4n)!
n=0
n=0
(4.28)
n=0
Für reelle a mit |a| ≤ 1 und beliebige reelle x gilt dann die Abschätzung
2
2
|cosh (1 + i)x| − |cosh (1 + i)ax| =
∞
X
(1 − a4n )
n=0
(2x)4n
≥ 0;
(4n)!
(4.29)
denn diese Reihe enthält nur Summanden ≥ 0. Daher ist
cosh (1 + i)ax cosh (1 + i)x ≤ 1
√
iπ/4
und wegen
= (1 + i)/ 2 folgt hieraus die Abschätzung (4.24), wenn man x
√ e
mit x/ 2 ersetzt.
Wiederum mit y = x ist nach (4.26) und (4.27)
2
2
|sinh (1 + i)x| = 1 (cosh 2x + cos 2x) − cos 2x = |cosh (1 + i)x| − cos 2x,
2
und wir erhalten unter Verwendung von (4.29)
2
2
2
2
|cosh (1 + i)x| − |sinh (1 + i)ax| = |cosh (1 + i)x| − |cosh (1 + i)ax| + cos 2ax
≥ cos 2ax ≥ −1.
Folglich gilt
sinh (1 + i)ax) 2
1
cosh (1 + i)x ≤ 1 + |cosh (1 + i)x|2 ≤ 2;
√
2
denn nach (4.28) ist |cosh (1 + i)x| ≥ 1. Ersetzen wir wie eben x mit x/ 2, so
ergibt sich die Abschätzung (4.25) und der Satz ist bewiesen.
Satz 4.4.2. Es sei x reell. Mit Hilfe der gewöhnlichen reellen Arkustangensfunktion
gelten für die durch
Zx
f (x) :=
v2
v−1
dv
1 + (v − 1)2
(4.30)
0
definierte Funktion die Darstellungen
2
f (x) = x + x − 2 arctan(x − 1) − π
2
2
für alle reellen x,
(4.31)
2
f (x) = x + x + 2 arctan x
2
x−2
für x < 2.
(4.32)
82
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
f (x) und f (x) − f (1) genügen den Abschätzungen

2

 x
für x ≤ −θ,

2
f (x) <
2


ωx
für −θ < x < 0,
2
f (x) − f (1) < 0.56 x2
für x ≥ 1.
(4.33)
(4.34)
Dabei ist θ eine beliebige reelle Zahl > 0 und
ω := 1 − 2 + 42 arctan θ .
θ θ
θ+2
(4.35)
Für diese θ ist 0 < ω < 1.
Beweis. Mit der Zerlegung
v2
v−1
2
=v+1−
1 + (v − 1)2
1 + (v − 1)2
folgt (4.31) unmittelbar aus (4.30). Mit Hilfe der Funktionalgleichung
arctan x = arctan 1 + x − π
1−x
4
für x < 1
ergibt sich dann (4.32) aus (4.31).
Zur Herleitung der Abschätzung (4.33) sei jetzt x < 0. Aus (4.32) folgt
2
f (x) = x h(x)
2
(4.36)
h(x) := 1 + 2 + 42 arctan x .
x x
x−2
(4.37)
mit
Für die erste Ableitung von h(x) berechnet man
.
h0 (x) = − 22 − 83 arctan x − 2 2 8
x
x
x − 2 x x + (x − 2)2
Wegen x < 0 gilt die Abschätzung
− 83 arctan x < − 83 · x = − 2 8
,
x
x−2
x x−2
x (x − 2)
und wir erhalten
4
< 0,
4x
h0 (x) < − 22 1 + 4 + 2
=−
x
x − 2 x + (x − 2)2
(x − 2) x2 + (x − 2)2
so daß h(x) eine streng monoton fallende Funktion ist. Aus (4.30) folgt aber
f 0 (x) = x2
x−1
.
1 + (x − 1)2
(4.38)
4.4. Verschiedene Hilfsabschätzungen
83
Daher ist f 0 (0) = f 00 (0) = 0 und damit
f (x) = O x3
für x → 0.
Nach (4.36) ist dann
h(x) = O (x)
für x → 0,
so daß h(x) im Punkte x = 0 mit dem Wert 0 stetig (sogar analytisch) ergänzbar
ist. Wegen h(−∞) = 1 ist damit gezeigt, daß h(x) monoton von 1 bis 0 fällt, wenn
x die reellen Zahlen von −∞ bis 0 durchläuft. Wir können h(x) daher mit
(
1
für x ≤ −θ,
h(x) <
h(−θ)
für −θ < x < 0
abschätzen. Dabei ist θ eine beliebige reelle Zahl > 0. Setzt man noch
ω := h(−θ),
so ergibt sich hieraus zusammen mit (4.36) die Abschätzung (4.33). Die in (4.35)
angegebene Darstellung von ω folgt aus (4.37) und wegen 0 < h(x) < 1 für negative
x ist 0 < ω < 1 wie behauptet.
Es sei nun x ≥ 1. Wir setzen
w(x) := f (x) − f (1) − 0.56 x2
(4.39)
und haben mit (4.38)
w0 (x) = x2
x−1
− 1.12 x
1 + (x − 1)2
2
= x −0.12 x + 1.24 x2− 2.24
1 + (x − 1)
= −0.12 x
(x − 7/3)(x − 8)
.
1 + (x − 1)2
Hieraus ergibt sich durch Untersuchung des Vorzeichens von w0 (x), daß w(x) für
1 ≤ x ≤ 7/3 und x ≥ 8 streng monoton fallend und für 7/3 ≤ x ≤ 8 streng
monoton steigend ist. Daher hat w(x) bei x = 7/3 ein lokales Minimum, bei x = 8
ein lokales Maximum und genügt für alle x ≥ 1 der Abschätzung
w(x) ≤ max w(1), w(8) .
Nach (4.39) ist aber
w(1) = −0.56 < 0
und unter Verwendung der Abschätzungen
f (8) = 40 − 2 arctan 7 − π = 40 − 3π + 2 arctan 1
2
2
7
< 40 − 3π + 2 < 35.6,
2
7
84
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
−f (1) = − 3 − π < 0.08,
2
die sich aus (4.31) ergeben,
w(8) < 35.6 + 0.08 − 0.56 · 64 = −0.16 < 0,
so daß w(x) für alle x ≥ 1 negativ ist. Die Abschätzung (4.34) folgt damit aus
(4.39) und der Satz ist bewiesen.
Satz 4.4.3. Die unvollständige Gammafunktion12)
Z∞
Γ(a, x) :=
e−v v a−1 dv
(a beliebig reell, x reell > 0)
(4.40)
x
läßt sich für a ≥ 1 und x > a mit
Γ(a, x) ≤ a e−x xa−1
abschätzen.
Beweis. Zunächst sei a ≥ 0. Mit der Substitution v = 1/w folgt aus (4.40)
Z1/x
Γ(a, x) =
e−1/w w−a−1 dw.
(4.41)
0
Setzen wir
h(w) := e−1/w w−a−1 ,
so wird die erste Ableitung dieser Funktion,
h
i
h0 (w) = e−1/w w−a−2 1 − (a + 1) ,
w
für alle w aus dem Integrationsintervall von (4.41) positiv, wenn x der Bedingung
x > a + 1 genügt. Daher ist h(w) für diese w und x eine streng monoton wachsende
Funktion von w, und wir erhalten aus (4.41) die Abschätzung
Γ(a, x) ≤ 1 h 1 = e−x xa
(a ≥ 0, x > a + 1).
(4.42)
x
x
Für a ≥ 1 läßt sich diese Abschätzung noch verschärfen. Partielle Integration in
(4.40) führt zu der Funktionalgleichung
Γ(a, x) = e−x xa−1 + (a − 1) Γ(a − 1, x).
Wendet man hier (4.42) mit a − 1 statt a an, so folgt die Abschätzung
Γ(a, x) ≤ e−x xa−1 + (a − 1) e−x xa−1 = a e−x xa−1
und das war zu zeigen.
12)
Siehe [1, Kap. 6.5].
(a ≥ 1, x > a),
4.4. Verschiedene Hilfsabschätzungen
85
Satz 4.4.4.
(a) Die Koeffizienten √
Bn (q) in der formalen Entwicklung S ∼
genügen für |q| ≤ π den Abschätzungen13)
2n
n+1/2 X 2k a(2n) (n + k − 1)!
2
k
|B2n (q)| ≤
π
(2n + 2k)!
P∞
n=0
Bn (q) τ n
(n ≥ 1),
k=0
1√
|B2n+1 (q)| ≤
2n−1 π
2n+1
X
k=0
(2n+1)
ak
2k (2n + 2k + 1)(n + k)!
(n ≥ 0).
(b) Für diese q ist
|B0 (q)| ≤ 1,
|B1 (q)| < 1.6,
|B6 (q)| <
4 209,
|B2 (q)| < 3.3,
|B7 (q)| <
37 784,
|B3 (q)| < 13.5,
|B8 (q)| <
372 500,
|B4 (q)| <
76,
|B9 (q)| < 3 974 961,
|B5 (q)| < 526,
|B10 (q)| < 45 428 942.
Beweis. Aus (1.26) und (1.27) folgt
|Bn (q)| ≤
n
X
k=0
(n)
ak
|bn+2k (q)|
(n + 2k)!
(n ≥ 0)
(4.43)
mit
1 eiπ/8−iq2/2
bm (q) = √
2 π
Z
· iq
2
eiv /2+qv
√
(v − iq)m dv
π
cosh 2 v
√
√
(m ≥ 0, − π < q ≤ π).
%
Für m ≥ 1 verschwindet (v − iq)m bei v = iq von
√ mindestens erster Ordnung, so
daß der Integrand im Punkte v = iq auch für q = π holomorph ist. Daher können
wir wie beim Beweis von Satz 3.1.1, S. 41 vorgehen. Wie dort setzen wir ε := eiπ/4
und erhalten mit der Parametrisierung v = iq + εu (−∞ < u < +∞)
ε eiπ/8
bm (q) = √
2 π
+∞
Z
−∞
cosh
2
e−u /2
√
π
2 (iq +
εu)
(εu)m du
√
√
(m ≥ 1, − π < q ≤ π),
woraus sich mit (vgl. Beweis von Satz 3.1.3, S. 48)
|u|
|u|
√
√
≤ √4
≤
2π
cosh π (iq + εu)
2π
sinh 4 |u|
2
√
√ In der Originalarbeit sind diese Abschätzungen unnötigerweise auf den Bereich − π < q ≤
+ π beschränkt worden.
13)
86
Kapitel 4. Hilfssätze und Hilfsabschätzungen
die von q unabhängige Abschätzung
√ Z∞
2
2 e−u2/2 um−1 du = 2(m+1)/2 Γ m
|bm (q)| ≤
π
π
2
(m ≥ 1)
0
ergibt. Trennen wir die Fälle m gerade und m ungerade, so heißt das
|b2m (q)| ≤
2m+1/2 (m − 1)!
π
(2m)!
|b2m+1 (q)| ≤ √ m−1
π2
m!
(m ≥ 1),
(m ≥ 0).
√
Wegen bm (−q) = (−1)m bm (q)√gelten diese Abschätzungen auch noch für q = − π
und aus (4.43) folgt für |q| ≤ π
|B2n (q)| ≤
2n
X
k=0
(2n)
ak
|b2n+2k (q)|
(2n + 2k)!
(n ≥ 1)
n+1/2
≤2
π
2n
(2n)
X
2k a
(n + k − 1)!
k
(2n + 2k)!
k=0
und
|B2n+1 (q)| ≤
2n+1
X
k=0
(2n+1)
ak
|b2n+2k+1 (q)|
(2n + 2k + 1)!
(n ≥ 0)
≤
1√
2n−1 π
2n+1
X
k=0
(2n+1)
ak
2k (2n + 2k + 1)(n + k)!
,
wie in (a) behauptet.
(0)
Nach Satz 4.1.2 ist b0 (q) = Fe(q). Wegen a0 = 1 ist daher |B0 (q)| = |Fe(q)|,
und aus der Integraldarstellung von Fe(q) aus Satz 4.1.3 folgt die Abschätzung
∞
√ Z −πv2/2 cosh (√πqεv) √
dv
π).
(|q|
≤
|B0 (q)| ≤ 2 e
cosh (πεv) Es ist aber für |q| ≤
√
0
π nach Satz 4.4.1
cosh (√πqεv) cosh (ε √qπ πv) cosh (πεv) = cosh (επv) ≤ 1
und daher wie in (b) behauptet
∞
√ Z −πv2/2
|B0 (q)| ≤ 2 e
dv = 1.
0
(n)
Mit den exakten Werten der Zahlen ak aus Tabelle I, S. 91 lassen sich die
beiden Ausdrücke von (a) leicht berechnen. Auf diese Weise erhält man die in (b)
angegebenen expliziten Abschätzungen von Bn (q) für 1 ≤ n ≤ 10.
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cx
+d
−∞ e
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Tabellen
(n)
I. Primfaktorzerlegung der Zahlen ak
(0 ≤ n ≤ 11)
92
k↓ →
n 0
0 1
1
2
3
4
5
Tabelle I
1
1
2
2
3
22 · 5
23 · 5
3
3·5
23 · 33
25 · 5 · 7
26 · 5 · 7
k↓ →
n
6
0
33 · 5 · 7 · 11
3
1
2 · 32 · 5 · 19 · 89
2
25 · 33 · 1272
6
3
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 29 · 83
4 28 · 32 · 5 · 72 · 11 · 13 · 17
5
211 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17
6
212 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17
7
4
3·5·7
22 · 3 · 223
24 · 3 · 72 · 11
26 · 52 · 7 · 11
27 · 52 · 7 · 11
5
33 · 5 · 7
2 · 3 · 6 323
24 · 34 · 5 · 7 · 13
25 · 3 · 5 · 72 · 11 · 19
27 · 52 · 72 · 11 · 13
28 · 52 · 72 · 11 · 13
7
33 · 5 · 7 · 11 · 13
25 · 32 · 5 · 7 591
4
2 · 34 · 11 · 24 371
6
2 · 3 · 11 · 13 · 17 · 19 · 709
27 · 3 · 52 · 72 · 11 · 13 · 29 · 37
211 · 3 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17 · 29
213 · 53 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19
214 · 53 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19
k↓ →
n
8
0
34 · 52 · 7 · 11 · 13
3
1
2 · 32 · 5 · 173 · 3 491
2
24 · 32 · 112 · 527 627
9
3
2 · 34 · 5 · 7 · 11 · 132 · 83
8
4
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 133 · 5 477
14
5
2 · 33 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17 · 29
12
6 2 · 3 · 52 · 72 · 11 · 13 · 172 · 19 · 23
7
214 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23
8
215 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23
9
9
3 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17
2 · 33 · 5 · 7 · 2 512 297
4
2
2 · 3 · 5 · 11 · 13 · 2 511 011
25 · 32 · 73 · 11 · 13 · 73 · 892
8
2
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 132 · 17 · 47 · 1 429
9
2 · 33 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 192 · 71 · 83
212 · 3 · 52 · 73 · 11 · 13 · 17 · 19 · 5 273
213 · 32 · 52 · 72 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23
215 · 55 · 72 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23
216 · 55 · 72 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23
k↓ →
n
10
0
34 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
1
22 · 33 · 5 · 7 · 29 894 203
3
2
2 · 34 · 52 · 132 · 2 820 197
8
3
2 · 32 · 7 · 11 · 133 · 37 · 21 323
8
4
2 · 32 · 72 · 11 · 13 · 17 · 29 923 237
10
5
2 · 35 · 52 · 72 · 11 · 132 · 17 · 19 · 853
11
6
2 · 3 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 281 · 401
7 215 · 3 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23 · 3 037
8
215 · 3 · 54 · 72 · 113 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
9
217 · 55 · 73 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
10
218 · 55 · 73 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
4
(n)
Primfaktorzerlegung der Zahlen ak
k↓ →
n
11
0
35 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19
1
23 · 33 · 52 · 7 · 2 857 · 26 959
4
2
2 · 33 · 5 · 13 · 1 571 · 5 542 021
3
27 · 33 · 132 · 17 · 34 217 · 35 323
8
2
2
4
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 37 · 577 531
5
212 · 32 · 5 · 72 · 11 · 13 · 17 · 192 · 1 201 327
12
6
2 · 33 · 52 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23 · 106 801
7 214 · 3 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23 · 43 · 14 783
8
215 · 34 · 54 · 72 · 112 · 132 · 172 · 19 · 23 · 103
9
220 · 3 · 54 · 75 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
22
10
2 · 55 · 73 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31
11
223 · 55 · 73 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31
93
(n)
II. Primfaktorzerlegung der Zahlen dk
(0 ≤ n ≤ 12)
96
k↓ →
n 0
0 1
1
2
3
Tabelle II
1
2
2
23 · 5
2
3
26 · 5 · 7
26
2
k↓ →
n
6
12
2
2
0 2 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17
1
28 · 5 · 72 · 11 · 13 · 17
2
26 · 13 · 1 453
3
23 · 3 · 367
4
24 · 5
5
4
27 · 52 · 7 · 11
26 · 7 · 11
22 · 19
2
2
14
5
28 · 52 · 72 · 11 · 13
28 · 5 · 72 · 11
23 · 17 · 53
24 · 5
7
· 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
214 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17
210 · 11 · 13 · 2 131
28 · 61 · 109
3
2 · 3 · 11 · 37
24 · 5
3
k↓ →
n
8
0 215 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23
1
214 · 52 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23
2
211 · 5 · 7 · 11 · 13 · 19 · 587
3
29 · 11 · 88 651
4
24 · 52 · 5 281
5
23 · 3 · 7 · 61
6
2 · 41
2
9
216 · 55 · 72 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23
216 · 52 · 72 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23
212 · 5 · 7 · 112 · 13 · 17 · 19 · 773
210 · 3 · 7 · 11 · 13 · 53 · 1 259
25 · 19 · 107 · 10 597
27 · 5 · 19 · 199
22 · 19 · 137
k↓ →
n
10
18
5
3
2
0 2 · 5 · 7 · 11 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
1 216 · 54 · 72 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
2
214 · 53 · 72 · 112 · 13 · 17 · 192 · 37
3
212 · 72 · 11 · 13 · 17 · 61 · 3 767
4
27 · 34 · 132 · 17 · 10 499
5
25 · 19 · 257 · 5 527
6
24 · 5 · 7 · 13 · 192
7
22 · 19 · 137
8
11
2 · 5 · 7 · 11 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31
223 · 54 · 73 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29
216 · 53 · 72 · 112 · 13 · 172 · 19 · 23 · 359
217 · 5 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 52 889
211 · 13 · 17 · 661 · 625 631
211 · 3 · 5 · 149 · 93 229
25 · 19 · 31 · 53 629
29 · 19 · 283
22 · 19 · 137
23
k↓ →
n
12
0
224 · 56 · 74 · 112 · 132 · 172 · 19 · 23 · 29 · 31
1
223 · 55 · 74 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31
17
2 2 · 53 · 72 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 31 · 7 411
3
216 · 32 · 5 · 72 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23 · 40 459
4
212 · 13 · 17 · 19 · 23 · 360 131 573
5
211 · 19 · 23 · 101 · 3 062 053
6
26 · 5 · 18 919 · 88 853
7
25 · 52 · 11 · 19 · 6 737
8
23 · 19 · 18 523
9
22 · 3 · 881
5
3
2
III. Exakte Darstellung der Koeffizienten Cn (z)
(0 ≤ n ≤ 12)
98
Tabelle III
C0 (z) = F (z) :=
cos
z2 +
cos πz
π
2
3
4
C1 (z) =
F (3) (z)
22 · 3 π 2
C2 (z) =
F (6) (z)
F (2) (z)
5
2 4 +
2 ·3 π
24 π 2
C3 (z) =
F (5) (z)
F (1) (z)
F (9) (z)
7
4 6 + 3
4 +
2 ·3 π
2 · 3 · 5π
25 π 2
C4 (z) =
F (12) (z)
11 F (8) (z)
19 F (4) (z)
F (z)
+ 7 2
11
5 8 + 9
2
6 +
2 ·3 π
2 · 3 · 5π
29 · 3 π 4
2 π
C5 (z) =
F (15) (z)
7 F (11) (z)
17 · 53 F (7) (z)
5 F (3) (z)
6
10 + 10
4
8 + 11
2
6 +
2 · 3 · 5π
2 · 3 · 5π
2 · 3 · 5 · 7π
27 · 3 π 4
C6 (z) =
F (18) (z)
17 F (14) (z)
13 · 1 453 F (10) (z)
367 F (6) (z)
5 F (2) (z)
8
12 + 15
5
10 +
14
4
2
8 + 13
6 +
2 · 3 · 5π
2 · 3 · 5π
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 3 · 5π
29 π 4
C7 (z) =
F (21) (z)
F (17) (z)
2 131 F (13) (z)
61 · 109 F (9) (z)
+
+
+
218 · 39 · 5 · 7 π 14
215 · 36 · 5 π 12
214 · 35 · 52 · 7 π 10
213 · 34 · 5 · 7 π 8
13
16
+
C8 (z) =
2
23
+
C9 (z) =
C10 (z) =
2
5 F (1) (z)
11 · 37 F (5) (z)
+
14
6
2 · 5π
210 π 4
F (24) (z)
23 F (20) (z)
19 · 587 F (16) (z)
88 651 F (12) (z)
10
16 + 20
8
2 14 + 20
6
2
12 + 17
· 3 · 5 · 7π
2 ·3 ·5 π
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 35 · 52 · 7 π 10
7 · 61 F (4) (z)
41 F (z)
5 · 5 281 F (8) (z)
+
+ 15 4
19
2
8
2 · 3 · 7π
216 π 6
2 π
25
F (27) (z)
13 F (23) (z)
11 · 773 F (19) (z)
13
18 + 21
9
2
16 + 22
· 3 · 5 · 7π
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 38 · 52 · 7 π 14
+
19 · 107 · 10 597 F (11) (z)
19 · 199 F (7) (z)
53 · 1 259 F (15) (z)
19
5
3
12 +
21
4
2
10 +
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 3 · 5 · 7 · 11 π
215 · 32 · 7 π 8
+
19 · 137 F (3) (z)
217 · 3 π 6
2
28
F (30) (z)
29 F (26) (z)
19 · 37 F (22) (z)
14
2
20 + 27
10
2
18 + 25
· 3 · 5 · 7π
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 39 · 5 · 7 π 16
+
61 · 3 767 F (18) (z)
13 · 17 · 10 499 F (14) (z)
19 · 257 · 5 527 F (10) (z)
+ 24
24
8
3 14
2
2
12 +
2 ·3 ·5 π
2 · 3 · 5 · 7 · 11 π
223 · 34 · 52 · 7 π 10
+
7 · 13 · 192 F (6) (z)
19 · 137 F (2) (z)
+
20
2 8
2 ·3 π
219 π 6
Exakte Darstellung der Koeffizienten Cn (z)
C11 (z) =
C12 (z) =
2
30
F (33) (z)
F (29) (z)
17 · 359 F (25) (z)
2
22 + 24
13
2
20 + 28
· 3 · 5 · 7 · 11 π
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 310 · 53 · 7 π 18
15
+
52 889 F (21) (z)
661 · 625 631 F (17) (z)
149 · 93 229 F (13) (z)
9
3
16 + 26
6
3
2
14 + 21
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 3 · 5 · 7 · 11 π
2 · 34 · 5 · 7 · 11 · 13 π 12
+
19 · 283 F (5) (z)
19 · 137 F (1) (z)
19 · 31 · 53 629 F (9) (z)
+
+
24
4
10
16
8
2 · 3 · 5 · 7π
2 · 3 · 5π
220 π 6
2
23
34
F (36) (z)
F (32) (z)
31 · 7 411 F (28) (z)
2
24 + 32
14
2 22 + 32
· 3 · 5 · 7 · 11 π
2 ·3 ·5 π
2 · 313 · 53 · 72 π 20
17
+
40 459 F (24) (z)
23 · 360 131 573 F (20) (z)
8
3
18 +
2 · 3 · 5 · 7π
230 · 38 · 54 · 72 · 11 π 16
+
19 · 23 · 101 · 3 062 053 F (16) (z)
18 919 · 88 853 F (12) (z)
+ 28 5
28
6
3
2
14
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 π
2 · 3 · 5 · 7 · 11 π 12
+
5 · 11 · 19 · 6 737 F (8) (z)
19 · 18 523 F (4) (z)
3 · 881 F (z)
+
+
26
2
10
2 · 3 · 7π
224 · 3 π 8
222 π 6
30
99
IV. Potenzreihen der Koeffizienten Cn (z)
50 Dezimalstellen
(0 ≤ n ≤ 10)
C2n (z) =
∞
X
(2n)
c2k z 2k
k=0
C2n+1 (z) =
∞
X
k=0
(2n+1)
c2k+1 z 2k+1
102
Tabelle IV
k
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
(0)
0.38268
0.43724
0.13237
-0. 1360
-0. 1356
-0. 162
0.
29
0.
7
0.
-0.
-0.
0.
0.
-0.
-0.
-0.
0.
0.
-0.
-0.
0.
0.
0.
-0.
-0.
0.
0.
-0.
-0.
0.
0.
0.
-0.
-0.
0.
0.
-0.
-0.
0.
0.
-0.
-0.
-0.
0.
0.92387
34323
04680
65754
50260
76219
37253
70535
94330
4655
14327
1035
123
17
65089
77520
80343
47674
70103
23144
37333
08795
61246
25163
48471
57927
88108
33914
16326
378
93
5
77172
44936
52332
18865
58088
46528
79690
21469
14504
09551
12312
08386
38579
14389
63390
51093
27423
22184
33506
3412
57
14
ck
84599
02964
40352
49831
79156
28546
78312
58801
50503
05754
94607
17380
54904
92703
25659
18541
25920
30159
73072
42652
51203
89530
12565
4721
132
11
84030
67371
67391
88709
70583
25294
72833
63902
70634
08246
50074
56125
98566
59069
05101
22038
17248
78136
74426
28117
34143
13632
37271
29525
69069
05343
54996
1823
156
1
39886
33198
51055
09990
49920
13364
99515
64879
02160
31206
15677
76262
67814
40621
37405
28546
45662
85531
37895
26494
23991
11505
70214
01434
36303
99951
46377
13765
89403
58396
34346
170
59
1
67613
70730
54743
76607
61860
97256
86690
50144
34762
26158
38403
31253
07069
89788
29710
47200
32063
38931
15090
08098
60339
45475
16853
25668
96199
21418
52746
02318
73772
35088
20725
21033
95119
04876
8422
258
9
44562
41501
22995
06870
29596
59201
67933
87309
31240
88246
49888
03165
04566
44556
48102
18504
98698
47853
35794
71045
50179
62777
30428
95398
92735
34453
55111
02628
08801
23801
43720
50031
30495
82754
13517
47038
34763
45694
754
64
48563
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112
Tabelle IV
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114
Tabelle V
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Tschebyscheffreihen der Koeffizienten Cn (z)
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Lebenslauf
Am 22.02.1949 wurde ich, Wolfgang Gabcke, als Sohn des Lehrers Harry Gabcke und seiner Ehefrau, der Lehrerin Hildegard Gabcke, geb.
Bensel, in Bremerhaven geboren. Ich besitze die deutsche Staatsangehörigkeit.
Ab Ostern 1955 besuchte ich die Altwulsdorfer Schule und ab Ostern 1959 den altsprachlichen Zweig des Gymnasiums der WilhelmRaabe-Schule in Bremerhaven. Am 22.06.1967 legte ich dort die Reifeprüfung ab.
Nach zweijähriger freiwilliger Dienstzeit beim Bundesgrenzschutz
immatrikulierte ich mich am 01.10.1969 an der Georg-August-Universität zu Göttingen im Fach Mathematik mit Nebenfach Physik. Nach
der Vordiplomprüfung am 27.10.1971 bestand ich am 24.10.1975 die
Hauptdiplomprüfung in dieser Fachkombination.
Seit dem 02.10.1978 bin ich im Angestelltenverhältnis bei einem in
Göttingen ansässigen Versicherungsunternehmen beschäftigt.