Aufgaben Algebra I, Wintersemester 2013/2014 13. Serie (14-01
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Aufgaben Algebra I, Wintersemester 2013/2014
13. Serie (14-01-20)
1.
Zeigen Sie, jeder algebraisch abgeschlossene Körper besteht aus unendlich vielen
Elementen.
2.
Bestimmen Sie die Grade der folgenden Körpererweiterungen.
(i) R( 2)/R
(ii) Q( 2)/Q
5 7
(iii) Q( 2, 2)/Q
(iv) Q( 5, 7)/Q
3.
Zeigen Sie, das Polynom X2 – 11 ist irreduzibel über Q( 3).
Zu 1.
Angenommen, es gibt einen endlichen algebraisch abgeschlossenen Körper mit n < §
Elementen, sagen wir
k = {c , ... , c }.
1
n
Dann hat jedes Polynom über k eine Nullstelle in k. Das gilt insbesondere auch für das
Polynom
f(x) := (x - c )(x - c )...(x - c ) + 1.
1
2
n
Für jedes c = c aus k gilt aber f(c) = 1 0 0.
i
Zu 2.
Zu (i). Wegen 2 P R gilt R( 2) = R, also [R( 2) : R] = 1.
Zu (ii). Q ist Quotientenkörper des ZPE-Rings Z, d.h. in der angegebenen Situation
läßt sich das Eisensteinkriterium anwenden. Das Polynom
f(X) = X2 – 2
ist ein Eisensteinpolynom zum Primelement 2, also irreduzibel über Q. Es besitzt 2 als
Nullstelle und ist damit das Minimalpolynom von 2 über Q. Damit gilt
[Q( 2) : Q] = deg f = 2.
Zu (iii). Wie im Fall (ii) sieht man, die Polynome
f(X) := X5 – 2 und g(X) := X7 – 2
5
7
sind die Minimalpolynome von 2 bzw. 2 über Q, d.h. es gilt
5
[Q( 2) : Q] = deg f = 5.
7
[Q( 2) : Q] = deg f = 7.
Betrachten wir die Körpertürme
5
5 7
(1)
Q é Q( 2) é Q( 2, 2) =: K
und
7
5 7
(2)
Q é Q( 2) é Q( 2, 2)
Die beiden linken Erweiterungen haben den Grad 5 bzw. 7. Die Grade der beiden
7
5
rechten Erweiterungen sind gleich dem Grad des Minimalpolynoms von 2 bzw. 2
über dem jeweiligen mittleren Körper. Diese Minimalpolynome teilen das Polynom g
bzw. f, haben also einen Grad ) 7 bzw. ) 5. Damit gilt
5
5
[K : Q] = [K : Q( 2)]:[Q( 2) : Q] ) 7:5
und
7
7
[K : Q] = [K : Q( 2)]:[Q( 2) : Q] ) 5:7.
Außerdem ist der Grad [K : Q] durch
5
[Q( 2) : Q] = 5
und
7
[Q( 2) : Q] = 7
teilbar, d.h. es gilt
5:7 | [K : Q] ) 5:7
also
[K : Q] = 5:7 = 35.
Zu (iv). Wir betrachten das kommutative Diagramm von Körpererweiterungen
Q( 5) Ù Q( 5 , 7)
Õ
Õ
Q Ù Q( 7)
Wie oben sehen wir, die Polynome
f(X) := X2 – 5 und g(X) := X2 – 7
sind die Minimalpolynome von 5 bzw. 7 über Q. Die Grade der Erweiterungen links
und unten sind deshalb gleich 2, die der Erweiterungen rechts und oben sind höchstens
gleich 2. Damit ist der gesuchte Grad
[Q( 5, 7) : Q] ) 2:2 = 4.
Zeigen wir es gilt sogar das Gleichheitszeichen. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann,
wenn im obigen kommutativen Viereck einer der Grade rechts oder oben gleich zwei ist
(in welchem Fall beide Grade gleich zwei sind). Es reicht also zuzeigen, eine der beiden
Erweiterungen oben bzw. rechts ist echt, d.h. es reicht zu zeigen
7 ; Q( 5).
Nehmen wir an, 7 liegt im Körper Q( 5). Dann gibt es rationale Zahlen a, b PQ mit
7 = a + b 5.
Es reicht zu zeigen, dies ist unmöglich. Durch Quadrieren erhalten wir
7 = a2 + 2ab 5 + b2,
also
0 = (a2+b2-7) + 2ab 5.
Weil Q( 5) = Q + Q: 5 den Körpergrad 2 über Q besitzt, d.h. 1 und 5 linear unabhängig
über Q sind, folgt
a2+b2 – 7 = 0 und 2ab = 0,
d.h.
a2 + b2 = 7 , a oder b ist Null.
Mit anderen Worten 7 ist das Quadrat einer rationalen Zahl. Dann besitzt aber X2 – 7
eine Nullstelle in Q, d.h. das Polynom X2 – 7 ist reduzibel über Q im Widerspruch
zum Eisensteinkriterium.
Zu 3.
Wäre das Polynom reduzibel, so wäre
11 P Q( 3),
d.h. es würde rationale Zahlen a, b P Q geben mit
Durch Quadrieren erhalten wir
also
11 = a + b 3.
11 = a2 + 2ab 3 + b2,
0 = (a2 + b2 – 11) + 2ab 3.
Nun hat Q( 3) = Q + Q 3 den Körpergrad 2 über Q (weil X2 – 3 ein Eisensteinpolynom
zur Primzahl 3 ist), d.h. 1 und 3 sind linear unabhängig über Q. Deshalb folgt
a2 + b2 = 11 , a oder b ist Null.
Die Zahl 11 ist somit das Quadrat einer rationalen Zahl, d.h. X2 – 11 hat eine rationale
Nullstelle. Dies ist aber nicht möglich nach dem Eisensteinkriterium.
