¨Ubungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik

Aufgabenblatt 4
Sommersemester 2013
Markus Lohrey
Übungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik
1. Sei K = (V, E, Π, π) eine Kripkestruktur und sei v ∈ V . Die Auffaltung F (K, v) = (V 0 , E 0 , Π, π 0 ) sei wie in Aufgabenblatt 3 (Aufgabe 5)
definiert. Für ein k ≥ 1 schränken wir nun die Auffaltung F (K, v)
ein auf Pfade der Länge k. Formal definieren wir die Kripkestruktur
F (K, v, k) = (Vk0 , Ek0 , Π, πk0 ) mit
• Vk0 = {w ∈ V 0 | |w| ≤ k}
• Ek0 = E 0 ∩ Vk0 × Vk0
• πk0 (p) = π 0 (p) ∩ Vk0 für p ∈ Π
Für ϕ ∈ ML(Π) definieren wir die Modaltiefe md(ϕ) induktiv wie folgt:
• md(p) = 1 für p ∈ Π
• md(¬ϕ) = md(ϕ), md(ϕ∧ψ) = md(ϕ∨ψ) = max{md(ϕ), md(ψ)}
• md(ϕ) = md(♦ϕ) = 1 + md(ϕ)
Zeigen Sie dass für jede Formel ϕ ∈ ML(Π) gilt:
(F (K, v), v) |= ϕ ⇐⇒ (F (K, v, md(ϕ)), v) |= ϕ
2. Geben Sie zwei Kripkestrukturen Ki = (Vi , Ei , Π, πi ) und Knoten vi ∈
Vi (i ∈ {1, 2}) mit folgenden Eigenschaften an:
• v1 6∼ v2
• Für alle ϕ ∈ ML(Π) gilt: (K1 , v1 ) |= ϕ ⇐⇒ (K2 , v2 ) |= ϕ.
Beweisen Sie, dass diese Eigenschaften gelten.
3. Gegeben seien wieder zwei Kripkestrukturen Ki = (Vi , Ei , Π, πi ) und
zwei Knoten vi ∈ Vi (i ∈ {1, 2}). Sei S = ({e} ∪ Π, arity) die Signatur,
wie auf Folie 89 definiert. Gilt die folgende Implikation im Allgemeinen?
v1 ∼ v2 =⇒ ∀ ϕ(x) ∈ FO(S) : K1 |= ϕ(v1 ) ⇐⇒ K2 |= ϕ(v2 )
4. Sei G = (S, →, ρ, χ) eine Paritätsspiel. Konstruieren sie aus G ein
neues Paritätsspiel G0 = (S 0 , →0 , ρ0 , χ0 ) mit folgenden Eigenschaften:
• S ⊆ S0
• G0 ist alternierend, d. h. aus s →0 s0 folgt ρ0 (s) 6= ρ0 (s0 ).
• Für alle s ∈ S gilt: Eve gewinnt auf s in G genau dann, wenn Eve
auf s in G0 gewinnt.
Zeigen Sie die gleiche Aussage für Mullerspiele und Büchispiele.