Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 5
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Bernoulliexperiment
Bei einem Zufallsexperiment trete das Ereignis A mit der
Wahrscheinlichkeit p ein. Das Experiment werde n -mal wiederholt.
Sind die Ereignisse A tritt beim i -ten Versuch ein alle vollständig
voneinander unabhängig, so heiÿt das Experiment ein n -stuges
Bernoulliexperiment.
Der Ergebnisraum bei einem n -stugen Experiment ist
Ω = {A, A}n .
Sei
p ({ω})
ω ∈ Ω.
Dann ist
= p Anzahl der A∈ω · (1 − p )Anzahl der A∈ω .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A genau k -mal eintritt ist
B n ,p ( k )
=
n
k
Bn,p (k ) heiÿt Binomialverteilung.
p
k (1 − p )n−k .
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Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit 2
Farben
In einer Urne benden sich N Kugeln, S schwarze und W weiÿe,
wobei S
+ W = N.
Aus der Urne werden zufällig n Kugeln
gezogen, nach jedem Zug wird die Kugel wieder zurückgelegt. Die
Wahrscheinlichkeit, dafür dass genau k schwarze Kugeln gezogen
werden ist:
p (Anzahl schwarze Kugeln
= k) =
k n −k
n
S
W
k
N
N
.
Ziehen ohne Zurücklegen aus der Urne mit schwarzen und weiÿen
Kugeln ist hingegen kein Bernoulliexperiment!
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§
2. Zufallsvariable und
Verteilungsfunktionen
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Beispiel
Wie groÿ ist beim Würfeln mit 2 Würfeln die
Wahrscheinlichkeit die Augensumme 3 zu Würfeln?
Wie groÿ ist beim Würfeln mit 2 Würfeln die
Wahrscheinlichkeit die Augensumme 4 zu Würfeln?
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Diskrete Zufallsvariable
Denition 2.1.
Sei
(Ω, A, p )
ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Funktion
X
:Ω→R
mit endlichem oder abzählbarem Wertebereich
X (Ω)
= {x1 , x2 , . . .}
heiÿt diskrete Zufallsvariable auf
Ω.
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Verteilung einer Zufallsvariablen
Wir wählen die folgende abkürzende Schreibweise:
X
= x := {ω ∈ Ω | X (ω) = x }.
Denition 2.3
Die Funktion
V
= VX :
X (Ω)
x
−→ [0, 1]
7
→
V (x ) = p (X = x )
heiÿt Verteilung der Zufallsvariablen X .
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Verteilung der Zufallsvariablen Augenzahl beim Würfeln mit
einem Würfel
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Experiment: Würfeln mit 2 Würfeln. Histogramm für die
Zufallsvariable Augensumme
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Beispiel einer Zufallsvariablen bei einem Bernoulliexperiment
Wir betrachten ein n -stuges Bernoulliexperiment mit
Wahrscheinlichkeitsraum
Ω = {A, A}n .
Die Funktion
XA
: Ω → R
ω 7→ Anzahl
der A in
ω,
ist eine Zufallsvariable.
Die Verteilung der Zufallsvariablen XA ist
V
: {0, 1, 2, . . . , n} −→ [0, 1]
k
7→ p (XA = k ) = Bn,p (k ).
Dies ist gerade die Binomialverteilung.
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Binomialverteilung (n=50)
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Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
Wir wählen die folgende abkürzende Schreibweise:
X
≤ x := {ω ∈ Ω | X (ω) ≤ x }.
Denition 2.3
Die Funktion
F (= FX )
: R −→ [0, 1]
X
x
7→
F (x ) = p (X ≤ x ) =
p (X = xj )
x ≤x
j
heiÿt Verteilungsfunktion von X .
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Experiment: Würfeln mit einem Würfel. Verteilung und
Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Augenzahl
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Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer diskreten
Zufallsvariablen
Satz 2.5
Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Wertemenge
X (Ω)
= {xi | i ∈ N} ⊂ R,
so gilt für die zugehörige
Verteilungsfunktion F :
(a) Ist x
(b)
lim
< y,
x →−∞
so gilt F (x )
F (x )
= 0,
≤ F (y ).
lim F (x )
x →∞
(Monotonie)
= 1.
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Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer diskreten
Zufallsvariablen (bis)
Satz 2.7
Ist F die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X , so
gilt für alle reellen Zahlen a
< b:
(a) p (a
< X ≤ b) = F (b) − F (a).
(b) p (a
< X ) = 1 − F (a).
Teil (a) besagt: Für a
<b
gibt
F (b ) − F (a)
die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X einen
Wert im Intervall ]a, b ] annimmt.
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Diskrete unabhängige Zufallsvariable
Denition 2.8
Zwei diskrete Zufallsvariable X und Y auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum
X
=x
und y
Ω
heiÿen unabhängig, wenn die Ereignisse
und Y = y für jedes beliebige Tupel (x , y )
∈ Y (Ω) unabhängig sind, d.h. wenn gilt:
p ((X
∈ X (Ω)
= x ) ∩ (Y = y )) = p (X = x ) · p (Y = y ).
Sonst heiÿen X und Y
Beispiel:
mit x
abhängig.
Experiment: Würfeln mit 2 Würfeln
X =Augenzahl Würfel 1, Y = Augenzahl Würfel 2,
Z =Augensumme. Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig,
die Zufallsvariablen X und Z sind abhängig.
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Stetige Zufallsvariable
Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen Stellung des
Stundenzeigers einer Uhr
1
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Basics: Stammfunktionen und Integrale
Denition (Stammfunktion)
Ist f
:R→R
gegeben, so heiÿt eine Funktion F
:R→R
Stammfunktion von f , wenn gilt:
F
dabei bezeichnet F
0
(x ) = f (x )
für alle x
∈ R,
0 die erste Ableitung von F .
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Basics: Stammfunktionen. Beispiele
f (x )
xk, k
∈ Q \ {−1}
F (x )
1
k +1 x
k +1 + c
ex
ex
− sin x
cos x
+c
cos x
sin x
+c
+c
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Basics: Fundamentalsatz der Dierential- und
Integralrechnung
Fundamentalsatz der Dierential- und Integralrechnung
Sind a, b
∈R
mit a
< b,
Zb
f (x ) dx
a
so gilt
x =b
= F (b) − F (a) =: F (x ) ,
x =a
wobei die linke Seite das bestimmte Integral von f (zwischen a und
b) bezeichnet.
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Basics: Geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals
Z b
a
f (x )dx
= (Flächeninhalt
Geometrisch misst
Rb
a
blaue Fläche)−(Flächeninhalt gelbe Fläche)
f (x ) dx die Fläche zwischen dem Graphen von
f und der x -Achse, die von den senkrechten Geraden x
x
=b
=a
und
begrenzt wird. Dabei werden Flächenstücke unterhalb der
x -Achse negativ bewertet.
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Basics: Uneigentliche Integrale
: R → R mit Stammfunktion
∈ R xiert. Dann heiÿt
Sei f
a
a
:R→R
gegeben und sei
Zb
+∞
Z
F
f (x ) dx
:=
f (x ) dx
lim
b→+∞
a
=
lim
b→+∞
das uneigentliche Integral von f (zwischen a und
F (b ) − F (a)
+∞),
falls der
angegebene Funktionsgrenzwert existiert. Analog deniert man bei Existenz - für beliebiges b
Zb
Zb
f (x ) dx
−∞
∈ R:
:=
f (x ) dx
lim
a→−∞
a
= F (b ) −
lim
a→−∞
F (a).
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Basics: Uneigentliche Integrale. Beispiele
Das uneigentliche Integral
∞
Z
a
x
−2
dx
=
lim
h
b→∞
− x −1
ib
x =a
=−
lim b
b→∞
−1
+ a−1 = a−1
existiert. Das uneigentliche Integral
Z
a
∞
x
−1/2
dx
=
lim
b→∞
h
2
· x 1/2
ib
x =a
=
lim
b→∞
(2 · b1/2 ) − 2a1/2 = ∞
existiert nicht.
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Basics: Gauÿsche Glockenkurve (Carl Friedrich Gauÿ
(1777-1855))
Das folgende uneigentliche Integral ist für die
Wahrscheinlichkeitstheorie von groÿer Wichtigkeit:
1
√
2π
Z
∞
−∞
2
x
exp −
dx = 1.
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