Lineare Algebra und Geometrie 1 / alg`ebre linéaire et - BFH

F1a
Lineare Algebra und Geometrie 1 / algèbre linéaire et géometrie 1
Schlussprüfung / examen final
Dr. Andreas Stahel
BFH-TI Biel
28.1.2008, 8:00 – 10:00
Aufgabe / problème 1:
Gegeben seien die Vektoren und Matrizen




−1
1
~a =  0.5  , ~b =  0 
−2
1
,
Berechnen Sie
Etant donné les vecteurs et matrices


1 2
1 1 1


, B=
A= 0 1
0 2 −2
2 −2
Calculer
(a)
(e)
2 ~a − ~b
A · ~b
(b) h~a, ~b i
(f) B · ~a
(c)
(g)
k~a + ~bk
h~a × ~a, ~b i
(d) B · A
(h) ~a × ~b
Aufgabe / problème 2:
(a) Soit z1 = 1 − i 3 et z2 = ei 3π/2 . Calculer
√
z1 + z2 , z1 · z2 et z2 d’une façon exacte
(sans calculatrice).
(a) Sei z1 = 1 − i 3 und z2 = ei 3π/2 . Bestimmen
√
Sie z1 + z2 , z1 · z2 und z2 exakt, d.h. ohne
Taschenrechner.
(b) Soit G ⊂ C le troisième quadrant dans le plan
complexe avec norme plus petit que 2, c.-à-d.
les nombres z = x + i y ∈ C avec x < 0 et
y < 0 et x2 + y 2 ≤ 22 . Calculer les racines
de tous ces nombres en G et dessiner cette
nouveau domaine.
(b) Sei G ⊂ C der dritte Quadrant in der komplexen Ebene mit Betrag kleiner als 2, d.h. alle
Zahlen z = x + i y ∈ C mit x < 0 und y < 0
und√x2 +y 2 ≤ 22 . Ziehen Sie die Quadratwurzel z aus allen Zahlen in G und skizzieren
Sie den entstehenden Bereich.
Aufgabe / problème 3:
Im folgenden komplexen Gleichungssystem sind
die Werte der komplexen Konstanten c1 und c2 ,
so dass dieses System unendlich viele Lösungen
hat.
(a) Bestimmen Sie die Werte von c1 und c2 .
Pour le système des équations complexes ci–
dessous les constantes complexe c1 et c2 sont tel
que le système a infiniment de solutions.
(a) Déterminer les valeurs de c1 et c2 .
(b) Trouver une solution du système.
(b) Geben Sie eine Lösung des Systems an.
z1
2 i z1
4 i z1
+
+
+
i z2
z2
5 z2
+ 2 z3
+ c1 z3
+
z3
= c2
= 0
= i
Aufgabe / problème 4:
Examiner les points (xi , yi ) ci dessous et essayer
de mettre une droite (resp. une parabole) par ces
points le plus proche possible (régression linéaire).
(x1 , y1 ) = (0, 3)
,
(x2 , y2 ) = (1, 3)
,
Untersuchen Sie die untenstehenden Punkte
(xi , yi ) und versuchen Sie eine Greade (resp. Parabel) möglichst gut durch diese Punkte zu legen
(lineare Regression).
(x3 , y3 ) = (3, 4)
, (x4 , y4 ) = (4, 5)
, (x5 , y5 ) = (5, 6)
(a) Trouver l’équation de la droite.
(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden.
(b) Trouver un système des équations linéaires
pour les coefficients de la parabole.
(b) Finden Sie ein lineares Gleichungssystem für
die Koeffizienten der Parabel.
(c) Trouver la parabole.
(c) Bestimmen Sie die Parabel.
Aufgabe / problème 5:
La commande LU(A) d’une calculatrice
résultat ci–dessous.

1 0 0
 1 2 0

L=
1 2 3
1 1 1
rend le

0
0 

0 
1
Der Befehl LU(A) eines Taschenrechners liefert
das untenstehende Resultat.


1 0 0 0
 0 2 1 1 

et/und U = 
 0 0 0 2 
0 0 0 1
(a) Trouver A.
(b) Déterminer toutes les solutions ~x ∈ R4 du
système des équations linéaires ci–dessous.

x1
 x2
A
 x3
x4
(a) Bestimmen Sie A.
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen ~x ∈ R4 des linearen Gleichungssystems
  
0
  0 
= 
  0 
0
Aufgabe / problème 6:
~ = (3 , 1) berührt
Der Kreis C mit Mittelpunkt M
die Gerade y = −1 − 2 x.
~ = (3 , 1) touche la
Le cercle C avec centre M
droite y = −1 − 2 x.
(a) Bestimmen Sie die Kreisgleichung.
(a) Trouver l’équation du cercle.
(b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Kreises
C mit der Geraden x + y = 4.
(b) Trouver les points d’intersection du cercle C
avec la droite x + y = 4.