Physik I/II für Maschinenbauer (Fakultät für

Physik I/II für Maschinenbauer
(Fakultät für Maschinenwesen)
Prof. Dr. Christian Schroer
Institut für Strukturphysik
TU Dresden
7. Juli 2009
ii
Inhaltsverzeichnis
I Physik I
Wintersemester 2008/2009
1
1 Einführung
1.1 Physikalischer Erkenntnisprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Physikalische Größen und ihre Messung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Physikalische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
6
2 Mechanik
2.1 Kinematik der Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dynamik der Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kraftbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Grundgesetze der Mechanik — Newtonsche Axiome
2.3 Spezielle Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Beispiele für äußere Kräfte . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Radialkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Zwangskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Dynamik von Systemen von Punktmassen . . . . . . . . .
2.5.1 Massenmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Stoßvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Raketenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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22
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30
31
36
38
41
41
42
43
45
iv
INHALTSVERZEICHNIS
2.6
2.7
2.8
2.9
Mechanik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Bewegungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Statisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Schwerpunkt und potentielle Energie des starren Körpers
2.6.5 Kinetische Energie und Trägheitsmoment . . . . . . . . .
2.6.6 Bewegungsgleichung für den rotierenden Körper . . . . .
2.6.7 Rollbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.8 Drehschwingungen und Pendelschwingungen . . . . . . .
2.6.9 Drehimpuls und Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . .
Beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Bewegungsgleichungen im bewegten Bezugssystem . . . .
2.7.2 Trägheitskraft bei geradliniger Beschleunigung . . . . . .
2.7.3 Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ruhende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Dichte, Druck und Kompressibilität . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Grenzflächeneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strömende Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Beschreibung von Strömungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Strömung idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Strömung realer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4 Kräfte an umströmten Körpern . . . . . . . . . . . . . .
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72
72
75
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79
81
81
82
83
85
II Physik II
Sommersemester 2009
89
3 Thermodynamik
3.1 Temperatur und Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Thermische Ausdehnung fester und flüssiger Körper
3.1.3 Wärmemenge und spezifische Wärmekapazität . . .
3.1.4 Wärmemenge und Phasenumwandlung . . . . . . .
3.2 Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mechanismen der Wärmeübertragung . . . . . . . .
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91
92
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98
99
99
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INHALTSVERZEICHNIS
v
3.2.2 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . .
3.3.2 Zustandsänderungen des idealen Gases . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Ausdehnungsarbeit eines Gases . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Energiesatz) . . . . . . . . . .
3.4.1 Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases . . . . . . . . .
3.4.3 Spezielle Zustandsänderungen des idealen Gases . . . . . . . .
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik (Entropiesatz) . . . . . . . .
3.5.1 Carnotscher Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Reversible und irreversible Vorgänge — zweiter Hauptsatz der
Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
101
102
105
108
109
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111
112
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114
4 Elektrizität und Magnetismus
4.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Ladung und Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Kräfte zwischen Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Elektrostatisches Potential und Spannung . . . . . . . . . . .
4.1.5 Durchflutungsgesetz für das elektrische Feld: 1. Maxwellsche
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Nichtleiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.8 Energieinhalt des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ladungstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Elektrische Leitung in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Elektrische Arbeit und elektrische Leistung . . . . . . . . . . .
4.2.4 Ladungstransport in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Ladungstransport im Vakuum und in Gasen . . . . . . . . . .
4.3 Magnetostatik: Stationäres Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Magnetische Feldstärke und Durchflutungsgesetz . . . . . . . .
4.3.2 Magnetische Induktion und magnetische Kraftwirkung . . . .
4.3.3 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Zeitlich veränderliche Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
125
125
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3.3
3.4
3.5
117
120
133
135
136
139
139
140
141
143
144
145
146
146
149
151
152
152
vi
INHALTSVERZEICHNIS
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.5
Induktion und Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energieinhalt des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . .
Zeitlich veränderliche elektrische Felder: Magnetisches Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetismus: Maxwellsche Gleichungen, Kräfte und Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Schwingungen und Wellen
5.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingung . . .
5.1.2 Freie gedämpfte harmonische Schwingung . . . .
5.1.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . .
5.2 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Wellenphänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Interferenz, Beugung, Brechung und Reflexion von
5.2.5 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . .
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Wellen
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169
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174
175
178
Vorwort
1. Auf lage: 2006/2007
Dieses Skript basiert im Wesentlichen auf dem Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr.
U. Krämer aus dem Wintersemester 2000/2001 und dem Sommersemester 2001. Neben dem Tafelbild“ enthält es zusätzliche Bemerkungen und Verweise auf gezeigte
”
Experimente und Begleitmaterial.
Dieses Skript ist kein Ersatz für ein Lehrbuch und soll begleitend zur Vorlesung
genutzt werden. Ich behalte mir vor, in der Vorlesung vom Skript abzuweichen. Ausserdem möchte ich Sie bitten, mir Fehler im Skript anzuzeigen, sobald Sie welche
finden.
Ich hoffe, dass Ihnen dieses Skript eine Hilfe ist und wünsche Ihnen viel Erfolg (und
auch Spass) beim Physiklernen!
Herzliche Grüße,
Christian Schroer
2. Auf lage: 2007/2008, 2008/2009
Auch in diesem Semester werde ich das Skript nach und nach erst ins Internet stellen,
da ich es vor jeder Vorlesung nochmal überprüfen und überarbeiten möchte. Daher
wird sich auch in diesem Jahr noch einiges im Laufe der Vorlesung ändern, und
es wird für Sie nötig sein, ab und zu das Skript mit der aktuellen Version auf der
Webseite abzugleichen.
vii
viii
Teil I
Physik I
Wintersemester 2008/2009
1
Kapitel 1
Einführung
Physik: Lehre von der Natur“ (früher)
”
→ Lehre von den Grundgesetzen der Natur: z.B. kleinste Bausteine der Natur
und ihre Wechselwirkung.
Diese Grundgesetze können sehr komplexe Systeme hervorbringen: z. B. Lebewesen
Andere Naturwissenschaften:
Spezialisierung auf einen großen Themenkomplex (zu seiner Bewältigung):
• Biologie: Belebte Materie
• Chemie: Stoffe und ihre Umwandlung
• Geologie, Kristallographie, . . .
Physik dient diesen Wissenschaften als Grundlage.
Heute: Verschmelzen der naturwissenschaftlichen Disziplinen, illustriert durch Studiengänge, z. B. Nano-Bio-Physics (Masterstudiengang an der TU) oder durch Zeitschriften wie “Journal of Physical Chemistry” und “Journal of Chemical Physics”.
Kurze Vorstellung des eigenen Forschungsgebiets: Siehe Begleitmaterial auf der Webseite.1
1
www.xray-lens.de → Lehre → Vorlesungsunterlagen zur Physik I. (Zum Herunterladen der
Inhalte wird das Password aus der Vorlesung benötigt.)
3
4
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
1.1
Physikalischer Erkenntnisprozeß
Grundlegend für die Physik ist das Experiment:
1. Experiment (Ermittlung der Zusammenhänge physikalischer Größen)
2. Induktionsschluß (Verallgemeinerung des ermittelten Zusammenhangs)
3. physikalische Gesetze:
→ System gesetzmäßiger Zusammenhänge: Hypothese wird nach Prüfung zur
Theorie (siehe weitere Schritte)
4. Deduktion (aus der Theorie: Ableiten von Aussagen zu konkreten neuen Fragestellungen)
1. Experiment (Überprüfung dieser abgeleiteten Aussagen)
1.2
Physikalische Größen und ihre Messung
Maßeinheiten (Mechanik)
Wichtig bei deren Definition: Möglichst auf ein Verfahren zurückführen, das überall
nachvollziehbar durchgeführt werden kann:
• Zeit: 1 Sekunde ist das 9192631770-fache der Periodendauer der dem Übergang
zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen der Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung: → Cs-Atomuhr.
Bem. 1.1 Atomuhren können sehr genau gehen, z. B. auf ein Teil in 1015
genau. Das bedeutet, dass eine solche Uhr in 30 Millionen Jahren um eine
Sekunde falsch geht.
Beispiel für eine natürliche Uhr: PSR 1913/16 (siehe Begleitfolie)
• Länge: 1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der
Dauer von 1/299792458 Sekunden durchläuft. Dieser Definition liegt die Festlegung der Lichtgeschwindigkeit auf c = 299792458 m/s zugrunde.
• Masse: 1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.
(Hier ist die Zurückführung der Masse auf einen definierten Messvorgang noch
1.2. PHYSIKALISCHE GRÖSSEN UND IHRE MESSUNG
Basisgröße
Zeit
Länge
Masse
elektrische Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Basiseinheit
Sekunde
Meter
Kilogramm
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
5
Symbol
s
m
kg
A
K
cd
mol
Tabelle 1.1: Internationales Einheitensystem (Système International d’Unités, SI)
Vorsatz
Giga
Mega
Kilo
(Hekto)
(Zenti)
Milli
Mikro
Nano
Symbol
G
M
k
h
c
m
µ
n
Wert
109
106
103
102
10−2
10−3
10−6
10−9
Tabelle 1.2: Vielfache und Teile der Einheit (Beispiele)
nicht gelungen. Daher muss das Urkilogramm so gut wie möglich kopiert werden.)
Physikalische Größe = Zahlenwert · Einheit
G = {G} · [G]
Mechanik:
Basisgrößen:
Basiseinheiten:
abgeleitete Größen:
abgeleitete Einheit:
Länge s, Zeit t, Masse m
[s] = 1 m, [t] = 1 s, [m] = 1 kg
z. B. v = st Geschwindigkeit
= 1 ms
z. B. [v] = [s]
[t]
6
1.3
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Physikalische Gleichungen
Physikalische Größengleichungen (unabhängig von den gewählten Maßeinheiten)
Beispiel:
18 km
18000 m
s
=
= 36 km/h =
= 10 m/s
t
0.5 h
30 · 60 s
(h ist die Abkürzung für Stunde (lat. hora“). Sie ist keine SI Einheit.)
”
Es gibt auch noch auf bestimmte Einheiten zugeschnittene Größengleichungen und
Zahlenwertgleichungen. Diese sind aber in der Physik nicht üblich und werden in
dieser Lehrveranstaltung nicht benutzt.
v=
Einheiten sind wichtig!
Beispiel auf Begleitfolie:
Absturz des Mars Climate Orbiters wegen Fehler bei den Einheiten!
Kapitel 2
Mechanik
2.1
Kinematik der Punktmasse
Kinematik: Beschreibung der Bewegung.
Die Punktmasse ist eine Idealisierung: Sie sieht ab von zusätzlichen Freiheitsgraden
eines Objekts (etwa seiner Rotation und/oder inneren Freiheitsgraden, wie etwa dem
Getriebe im Auto). Für Himmelskörper ist die Annahme der Punktform oft eine gute
Näherung, da diese im Vergleich zu deren Ausdehnung weit von einander entfernt
sind: Sie sehen von ferne wie Punkte aus. Die Annahme der Punktmasse kann auch
auf Alltagsgegenstände angewandt werden, wenn bei der Betrachtung nur deren Position eine Rolle spielt (vergl. auch Massenschwerpunkt, Kapitel 2.5.1).
2.1.1
Geradlinige Bewegung
Zum Beispiel: Bewegung auf einer Schiene oder Luftkissenbahn.
Zunächst: Festlegung eines Koordinatensystems, z. B. Metermaß entlang einer Schiene. (Dabei wird auch die Längeneinheit mit festgelegt.)
m
0
x1=x(t1)
x
x2=x(t2)
Betrachte den Ort x zu verschiedenen Zeiten t:
7
8
KAPITEL 2. MECHANIK
Ort-Zeit-Funktion: x(t)
x
x2
Zeitintervall: ∆t = t2 − t1
Wegdifferenz: ∆x = x2 − x1
∆x
x1
∆t
t1
t2
t
Geschwindigkeit vx :
mittlere Geschwindigkeit (im Zeitintervall ∆t):
v̄x =
∆x
∆t
Momentangeschwindigkeit:
dx
∆x
=
= ẋ
∆t→0 ∆t
dt
Bem. 2.1 Der Punkt auf ẋ bezeichnet in der Physik üblicherweise die Zeitableitung.
vx = lim
vx =
dx
= ẋ
dt
Maßeinheit: [v] =
[s]
m
=1
[t]
s
Betrachte nun die Geschwindigkeit v zu verschiedenen Zeiten t:
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion: v(t)
v
vx2
∆vx
vx1
Zeitintervall: ∆t
Geschwindigkeitsdifferenz: ∆vx = vx2 − vx1
∆t
t1
t2
t
Beschleunigung ax : mittlere Beschleunigung:
∆vx
āx =
∆t
2.1. KINEMATIK DER PUNKTMASSE
9
Momentanbeschleunigung:
∆vx
dvx
d dx
d2 x
=
= v̇x =
= 2 = ẍ
∆t→0 ∆t
dt
dt dt
dt
ax = lim
Maßeinheit: [a] =
ax = v̇x = ẍ
[s]
m
= 1 2 = 1 ms−2
2
[t]
s
Spezialfälle:
a) Geradlinige gleichförmige Bewegung
Versuch 2/1b: Luftkissenbahn (erster Teil)
Geschwindigkeit vx = const., ax = 0
x
Geschwindigkeit konstant:
vx = v̄x = vx0 = const.
ax = 0
x - x0
x0
t
t
0
x(t) durch x0 = x(t = 0) und vx0 = vx (t = 0) festgelegt:
vx =
x − x0
∆x
=
= vx0
∆t
t
x(t) = v0 t + x0
(siehe Abbildung). Dasselbe Ergebnis kann auch durch formale Rechnung erhalten werden:
Z t
Z t
Z t
′
′
x=
ẋdt + x0 =
vx dt + x0 = vx
dt′ + x0 = vx · t + x0
0
0
b) Geradlinige ungleichförmige Bewegung
0
10
KAPITEL 2. MECHANIK
Versuch 2/1b: Luftkissenbahn (zweiter Teil)
Beschleunigung ax = const.
x
ax > 0
x
ax < 0
d2 x
>0
dt2
d2 x
<0
dt2
t
x0 = 0
vx0 = 0
x0 = 0
vx0 > 0
t
Integration: ax = const.
Z
t
0
dvx
= ax
dt
Z t
dvx
dt =
ax dt
dt
0
Z t
vx
vx |vx0 = ax
dt
Integration auf beiden Seiten.
Auf der linken Seite: Benutzung des
Fundamentalsatzes der Analysis (lax
gesagt: Integration und Differentiation
heben sich auf).
0
Einsetzen der Grenzen.
vx − vx0 = ax · t
Bei konstanter Beschleunigung ändert sich die Geschwindigkeit linear:
vx = ax t + vx0
(2.1)
Weitere Integration nach der Zeit:
vx =
Z
t
0
dx
dt =
dt
x − x0 =
dx
= ax t + vx0
Zdt
t
(ax t + vx0 ) dt
0
1 2
ax t + vx0 t
2
Ort-Zeit-Funktion festgelegt durch x0 und vx0 :
1
x = ax t2 + vx0 t + x0
2
(2.2)
Bem. 2.2 Ein physikalischer Zustand ist bestimmt, wenn man alle Größen
kennt, die für die Bestimmung des weiteren Verlaufs des Systems notwendig
sind. Hier: x0 und vx0 bestimmen den Zustand.
2.1. KINEMATIK DER PUNKTMASSE
11
Beispiel: Freier Fall
az = g = 9.81 sm2
0
t = 0: z0 = 0, vz0 = 0
z = 21 gt2
z
Versuch 2/3a: Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls
Versuch 2/3c: Fallgeschwindigkeit
Versuch 2/3b: Physikalisches Differential
Beschleunigung nicht konstant: ax zeitabhängig
Beispiel: harmonische Schwingung (z. B. Schraubenfeder)
Versuch 2.11: Gleichgewicht an der Feder
z = zm sin(ωt)
dz
vz =
= zm ω cos(ωt)
dt
dvz
= −zm ω 2 sin(ωt)
az =
dt
z
0
Schwingungsdauer T :
!
T ω = 2π
⇒
T =
2π
ω
Versuch 2/8: Schwingung einer Schraubenfeder
2.1.2
Ebene Bewegung
Prinzip der ungestörten Superposition
Gleichzeitig ablaufende Bewegungen eines Körpers beeinflussen sich gegenseitig
nicht. Resultierende Größen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) ergeben sich
durch Vektoraddition.
v1
v
v2
Versuch 2.28: Freier Fall und horizontaler Wurf
Beschreibung der Bewegung in der Ebene:
~v = ~v1 + ~v2
(2.3)
12
KAPITEL 2. MECHANIK
y
y1
y2
1
∆r
2
r1
vx = ẋ ax = v̇x = ẍ
y(t)
vy = ẏ
ay = v̇y = ÿ
Einheitsvektoren ~ex , ~ey haben den Betrag 1 und spannen die Ebene auf.
r2
ey
x1 x2
ex
x(t)
x
Bahnkurve (Ort ~r als Funktion der Zeit t. Gezeichnete Kurve entspricht Langzeit”
belichtung“)
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey
Bem. 2.3 Die Längeneinheit steckt in x(t) und y(t) und nicht in den Einheitsvektoren!
Während der Zeit ∆t = t2 − t1 bewegt sich Massenpunkt um ∆~r = ~r2 − ~r1 .
Momentangeschwindigkeit:
∆~r
d~r
=
= ~r˙
∆t→0 ∆t
dt
In den x- und y-Komponenten ausgedrückt:
d
(x~ex + y~ey ) = vx~ex + vy ~ey
~v(t) =
dt
~v (t) = lim
(2.4)
Bei Bildung des Limes in (2.4) schmiegt sich der Vektor ∆r immer näher an die
Bahnkurve an:
Der Geschwindigkeitsvektor ist stets tangential zur Bahn!
Beschleunigung:
y
v1
v1
v2 ∆v
r1
v2
∆~v = ~v2 − ~v1
r2
x
~a(t) =
∆~v
d~v
d
=
= ~v˙ = ~r˙ = ~¨r
∆t→0 ∆t
dt
dt
lim
2.1. KINEMATIK DER PUNKTMASSE
~a(t) =
13
d
d~v
(1)
=
(vx~ex + vy~ey ) = ax~ex + ay~ey
dt
dt
Bem. 2.4 Beim Differenzieren von Produkten ist die Produktregel zu beachten, d. h.
df
dg
d
(f · g) = dx
· g + f · dx
. Dies wurde auch bei der Gleichheit (1) beachtet, nur
dx
verschwindet die Ableitung der Einheitsvektoren ~e1 und ~e2 .
Spezialfälle:
a) Wurf:
Konstante Beschleunigung ~g , Anfangsbedingung bei t = 0: ~r0 , ~v0
y
vy0
α
vx0
v0
g
x
~r0 = 0
~v0 = vx0~ex + vy0~ey = v0 cos α ~ex + v0 sin α ~ey
~a = −g~ey
Bem. 2.5 Beachte auch hier, dass sowohl Ort als auch Geschwindigkeit nötig
sind, um die Bewegung festzulegen (Zustand, siehe Bem. 2.2). Hier illustriert
durch Basketballwurf (siehe Begleitmaterial).
Bahnkurve: Betrachte Komponenten x(t) und y(t) (siehe Prinzip der ungestörten
Superposition, Seite 11)
ax = 0 = ẍ
x = vx0 t = v0 cos(α) · t
ay = −g = ÿ
y = − 21 gt2 + vy0 t = − 12 gt2 + v0 sin(α) · t
Eliminiere Zeit t (Auflösen von x(t) nach t):
t=
x
v0 cos α
Einsetzen in y: ⇒ Wurfparabel:
y=−
2v02
g
· x2 + tan(α) · x
cos2 (α)
(Dabei wurde benutzt, dass tan α =
Versuch 2/29: Wurfparabel
b) Gleichförmige Kreisbewegung
sin α
cos α
ist.)
14
KAPITEL 2. MECHANIK
2
∆ϕ
r
∆s
1
Bewegung auf Kreis:
Koordinaten: r = const., ϕ
Bogenmaß: Natürliche Einheit für Winkel
∆ϕ =
∆s
r
Beispiel: Vollkreis: ϕ =
2πr
r
(2.5)
= 2π = 2π rad.
Maßeinheit:
[ϕ] = 1 = 1 rad
(Radiant)
Nach (2.5) ist die Kreisbogenlänge:
∆s = r · ∆ϕ
Bewegung auf der Kreisbahn: ϕ = ϕ(t) zeitabhängig
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
dϕ
dt
Maßeinheit:
[ω] =
1
1 rad
=
s
s
Man nennt die Kreisbewegung gleichförmig,“ wenn ω = const.
”
2π
ω = T : Kreisfrequenz T : Umlaufdauer
f = T1 : Drehfrequenz
[f ] = 1 s−1 = 1 Hz (Hertz)
Bei gegebener Winkelgeschwindigkeit ω ist die Bahngeschwindigkeit auf dem
Kreis:
dϕ
ds (2.5)
=r·ω
= r·
v=
dt
dt
Bem. 2.6 Das zweite Gleichheitszeichen gilt nur, wenn r = const. ist (siehe
auch Bem. 2.4). Für die Kreisbewegung ist dies natürlich der Fall.
v =r·ω
Vektordarstellung der Geschwindigkeit:
(2.6)
2.1. KINEMATIK DER PUNKTMASSE
15
v1 = v2 = |~v1 | = |~v2 |
v2
r2
∆ϕ
Richtung tangential zur Bahn.
~ω : Vektor parallel zur Drehachse.
v1
r1
~v = ~ω × ~r
r
Kreuzprodukt:1 ~ω , ~r, ~v bilden (in dieser Reihenfolge) Rechtssystem
Betrag:
ω
.
(2.7)
v
v = ωr sin(~ω , ~r) = ωr sin(90◦ ) = ωr
r
Richtung: ~v ⊥ ~ω , ~r
Radialbeschleunigung:
Geschwindigkeiten ~v1 , ~v2 (siehe oben)
Im Zeitintervall ∆t: Geschwindigkeitsänderung (Richtung ändert
v2
sich)
∆~v = ~v2 − ~v1
∆ϕ
Geschwindigkeitsänderung bedeutet Beschleunigung:
∆v v
1
∆v
∆v
, mit ∆ϕ ≈
für kleine ∆ϕ
∆t→0 ∆t
v
∆ϕ
dϕ
= lim v ·
=v·
= v·ω
∆t→0
∆t
dt
ar =
lim
Unter Benutzung von (2.6):
v2
ar = ω · r =
r
2
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ~v1 und ~v2 ist wieder
ein Vektor ~v , dessen Richtung senkrecht auf beiden Vekto1 ren steht. Die Richtung (Vorzeichen) wird dabei durch die
Rechtehandregel bestimmt. Der Betrag ergibt sich aus der
Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren
aufgespannt wird.
(2.8)
v
. α
v1
v1·sinα
v2
v2
16
KAPITEL 2. MECHANIK
Vektoriell können wir auch schreiben:
d
d
d
~v = (~ω × ~r) = ~ω × ~r = ~ω × ~v = ~ω × (~ω × ~r)
dt
dt
dt
= −ω 2 · ~r
~ar =
(2.9)
(2.10)
Radialbeschleunigung ~ar zeigt zum Zentrum der Kreisbahn entlang ~r.
Bem. 2.7 Beim Kreuzprodukt gilt nicht das Assoziativgesetz! Daher ist die
Klammerung in (2.9) wichtig! Prüfen Sie mittels der Rechtehandregel selber
nach, dass die Richtung von ~ar in der Tat in die entgegengesetzte Richtung von
~r zeigt.
c) Beschleunigte Kreisbewegung
Kreisfrequenz ω hängt von Zeit t ab:
ω = ω(t), r = const.
d
ω(t) =
ϕ(t) = ϕ̇(t)
dt
Winkelbeschleunigung:
α=
dω
= ω̇ = ϕ̈
dt
Maßeinheit:
1
1 rad
= 2
2
s
s
Tangential- oder Bahnbeschleunigung:
[α] =
as =
dv
dω
=
· r = ω̇ · r = α · r
dt
dt
tangential zur Bahn gerichtet.
Vektoriell gilt für die Gesamtbeschleunigung:
~a
=
(2.9)
=
=
d
d
d~ω
d~r
~v = (~ω × ~r) =
× ~r + ~ω ×
dt
dt
dt
dt
α
~ × ~r − ω 2~r
~as + ~ar ,
dabei ist
~as = α
~ × ~r
(2.11)
2.2. DYNAMIK DER PUNKTMASSE
17
die Bahnbeschleunigung, die tangential zur Bahn wirkt (bitte mit Rechterhandregel prüfen!). Da sich nur der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ~ω ändert und
nicht die Richtung, zeigt die Winkelbeschleunigung α
~ entlang der Richtung von
~ω .
~ar = −ω 2~r
ist die Radialbeschleunigung (siehe auch (2.10)), die den
Körper auf der Kreisbahn hält und ins Zentrum der
Kreisbahn zeigt. Die Summe dieser beiden Beschleunigungen ergibt die Gesamtbeschleunigung.
as
a
ar
r
Beispiel: Katapult (siehe Begleitmaterial)
2.2
2.2.1
Dynamik der Punktmasse
Kraftbegriff
Kräfte bewirken Änderungen des Bewegungszustands, etwa eine Beschleunigung oder
Verzögerung: Dynamische Wirkung.
Kräfte sind gleich, wenn sie die gleichen Wirkungen erzielen.
Kräfte sind Vektoren (Betrag, Richtung), und greifen an einem Punkt an. (Beispiel:
Für einen Massenpunkt ~r greift die Kraft am Ort ~r an.)
Vektoraddition: F~ = F~1 + F~2 + F~3 + . . .
F3
F
F2
F
F1
Versuch: 2/15 Kräfteparallelogramm
Beispiel: Bogenschütze (siehe Begleitmaterial)
Die Physik kennt heute vier fundamentale Kräfte:
• Gravitation
18
KAPITEL 2. MECHANIK
• Elektromagnetische Kräfte
• Schwache Wechselwirkung: Ist zum Beispiel für β-Zerfall verantwortlich.
• Starke Wechselwirkung: Hält Bausteine der Atomkerne zusammen.
In dieser Vorlesung begegnen wir explizit hauptsächlich elektromagnetischen und
Graviatationskräften.
2.2.2
Grundgesetze der Mechanik — Newtonsche Axiome
1. Newtonsches Axiom (Trägheitsgesetz)
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine resultierende Kraft auf ihn wirkt.
~v = const. für F~ = 0.
Ändert ein Körper seinen Bewegungszustand, bewegt er sich also beschleunigt
(a 6= 0), ist dafür eine Kraft die Ursache.
Bem. 2.8 Dieses Axiom ist nicht trivial. Es hat viele Jahrhunderte gedauert, bis
man zu diesem Ergebnis gekommen ist. Seit den Griechen glaubte man, dass alle
in Bewegung befindlichen Körper zur Ruhe gelangen müssten. Erst Gallilei erkannte
das Trägheitsgesetz und stellte eine Verbindung zwischen irdischen und Himmelsbewegungen fest.
Experimentell ermittelter Zusammenhang zwischen Kraft F~ , Masse m und Beschleunigung ~a:
~a ∝ F~
~a ∝ m1
für
für
m = const.
F~ = const.
Träge Masse: Die träge Masse kennzeichnet die Eigenschaft des Körpers, sich der
Änderung seines Bewegungszustands zu widersetzen. Ihre Größe ist somit ein Maß
für die Trägheit des Körpers.
Bem. 2.9 Die träge Masse ist zunächst von der schweren Masse zu unterscheiden,
die für die Anziehung eines Körpers durch einen anderen aufgrund der Gravitationskraft verantwortlich ist. Zunächst gibt es keinen Grund anzunehmen, dass träge und
schwere Masse einander proportional sind, so wie die elektische Ladung eines Körpers
2.2. DYNAMIK DER PUNKTMASSE
19
auch nicht proportional zu seiner Masse ist. Diese Proportionalität wurde jedoch bisher experimentell immer bestätigt. Die Einstein’sche allgemeine Relativitätstheorie
erklärt schliesslich die Proportionalität von träger und schwerer Masse.
2. Newtonsches Axiom (Grundgesetz der Dynamik, Aktionsprinzip)
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse
m und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt.
~a =
F~
m
oder
F~ = m · ~a
(2.12)
Die Masse wurde bereits als Basisgröße der Mechanik eingeführt.
Einheit: [m] = 1 kg
Kraft hat abgeleitete Einheit:
[F ] = [m] · [a] = kg · m · s−2 = 1 N
(Newton)
Messverfahren:
Masse: Vergleich mit bekannter Masse (Urkilogramm) z. B. durch Wägung.
Kraft: Zum Beispiel Federkraftmesser
F
x: Auslenkung
F ∝ x, → F = K · x
K: Federkonstante (aus Eichung ermittelt)
x
Die Federkraft F wächst in einem gewissen Bereich linear (d. h. direkt proportional)
zur Auslenkung x. Diesen Zusammenhang
F =K ·x
nennt man das Hookesche Gesetz.
Versuch: 2/13: Federkraftmesser
Beispiel: Atwoodsche Fallmaschine
(2.13)
20
KAPITEL 2. MECHANIK
Gesamtmasse und resultierende Kraft:
m = 2M + m′ ,
F = m′ · g
Einsetzen in Newton 2 (2.12): (2M + m′ )az = m′ · g
g
m′
· g = const.
(2.14)
2M + m′
Aus (2.2) folgt unter der Annahme z = 0, vz = 0,
z̈ = az =
m’
M
M
1
1
m′
z = az t2 =
· g · t2
2
2 2M + m′
z
(2.15)
Versuch 2/26: Atwoodsche Fallmaschine
(2.15) auflösen nach der Zeit t:
t=
r
2z
=
az
s
2z 2M + m′
·
g
m′
Fallhöhe: z = 0.3 m
M [kg]
0.8
0.8
0.4
m′ [kg]
0.04
0.08
0.08
m [kg]
1.64
1.68
0.88
F [N]
az [ms−2 ]
9.81 · 0.04 = 0.39
0.24
9.81 · 0.08 = 0.78
0.47
9.81 · 0.08 = 0.78
0.89
t [s] t gemessen [s]
1.58
1.63
1.13
1.17
0.82
0.87
Bem. 2.10 Im Experiment ist die Fallzeit systematisch etwas länger. Dies liegt an
der Vernachlässigung des Umlenkrades, das rotatorisch mitbeschleunigt werden muss.
Diesen Einfluss werden wir quantitativ in Abschnitt 2.6.6 berechnen. Ausserdem wurde Reibung vernachlässigt.
Allgemeine Fassung des Aktionsprinzips (Newton 2):
d
F~ = (m~v )
dt
(2.16)
v
= m~a)
(bei m = const. wird F~ = m d~
dt
Einführung einer weiteren physikalischen Größe:
~p := m · ~v
(Impuls)
(2.17)
2.2. DYNAMIK DER PUNKTMASSE
21
d~p
F~ =
dt
(2.18)
Die zeitliche Änderung des Impulsvektors ist gleich der einwirkenden Kraft und
erfolgt in der Richtung, in der die Kraft angreift.
Änderung des Impulses bei Krafteinwirkung während des Zeitraums ∆t = t2 − t1 ist
gegeben durch den Kraftstoß:
Z t2
Z t2
d~p
~
F (t)dt =
dt = p~2 − p~1 = ∆~p
(2.19)
t1
t1 dt
3. Newtonsches Axiom (Wechselwirkungsgesetz, Gegenwirkungsprinzip)
Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Kräfte (Wirkung und Gegenwirkung) sind gleich groß und einander entgegengesetzt.
Kraft = Gegenkraft
actio = reactio
Versuch 2/20: Kraft und Gegenkraft
Bem. 2.11 Dass sich beide Testpersonen etwa gleich schnell und weit bewegen liegt
daran, dass die Gesamtmassen der beiden Einheiten (Wagen + Person) ungefähr
gleich groß sind (siehe Impulssatz, Kap. 2.5.2).
Beispiel: Seilkräfte bei der Atwoodschen Fallmaschine
g
Fs1
Fs2
z
FG1
FG1 = (M + m′ )g
(M + m′ )az = (M + m′ )g − Fs1
Fs1 = (M + m′ )(g − az )
z
FG2
FG2 = Mg
Maz = Fs2 − Mg
Fs2 = M(g + az )
-Fs1
-Fs2
22
KAPITEL 2. MECHANIK
Unter Benutzung von (2.14):
az =
m′
·g
2M + m′
folgt für die beiden Seilkräfte:
Fs1 = Fs2 = g · M ·
2(M + m′ )
,
2M + m′
d. h., beide Kräfte sind in der Tat betraglich gleich.
2.3
Spezielle Kräfte
2.3.1
Beispiele für äußere Kräfte
a) Gewichtskraft (in kleiner Umgebung auf der Erde):
F~G = m · ~g = const.
Setzt man F~G in (2.12) ein, so erhält man als Bewegungsgleichung für den
Körper
m · ~g = m · ~a, oder ~a = ~g .
Die Beschleunigung durch die Gewichtskraft ist also masseunabhängig, weil
schwere und träge Masse gleich sind (siehe Bem. 2.9), d. h. alle Körper fallen
gleich schnell (Begleitmaterial: Fallversuch mit Feder und Hammer auf Mond).
Bem. 2.12 Gravitationskräfte zwischen Körpern folgen
dem Newtonschen Gravitationsgesetz (2.25), das als
Beispiel d) auf Seite 26 behandelt wird. In einer kleinen
Umgebung auf der Erde ist sie näherungsweise konstant,
da sich Abstand und Richtung zum Mittelpunkt der Erde
in der kleinen Umgebung kaum ändern.
b) Federkraft: F~ = F~ (~r)
Beispiel: Senkrecht hängende Schraubenfeder
g
rE
2.3. SPEZIELLE KRÄFTE
Feder unbelastet
23
Feder belastet
Feder ausgelenkt
g
z
F’
∆z
FG
F>0
F~ = F~G + F~ ′ = 0
F~ ′ = −FG
F ′ = K · ∆z
Versuch 2/27: Bestimmung der Federkonstanten
K=
∆mg
= 1.29 N/m,
∆z
F<0
F = −K · z
(∆m = 25 g, ∆z = 0.19 m, g = 9.81
m
)
s2
Bewegungsgleichung (Newton 2):
maz = F,
⇒
mz̈ = −Kz
K
z=0
(2.20)
m
(2.20) ist eine Differentialgleichung, d. h., eine Beziehung zwischen einer Funktion (hier z(t)) und ihren Ableitungen (hier: z̈). Sie beschreibt den harmonischen Oszillator.
z̈ +
Bem. 2.13 (2.20) ist eine homogene lineare Differentialgleichung (DGL) mit
konstanten Koeffizienten (wird später in der Mathematik behandelt). Für diese
Klasse von DGLen können die Lösungen geschlossen angegeben werden. Im
allgemeinen haben DGLen keine geschlossene Lösung.
Lösungsansatz: Harmonische Schwingung
z = zm · cos(ωt + α)
zm : Amplitude
α: Nullphasenwinkel
Überprüfen: z zweimal nach Zeit t abgeleitet:
z̈ = −zm ω 2 cos(ωt + α)
24
KAPITEL 2. MECHANIK
Einsetzen in (2.20) liefert
−zm ω 2 cos(ωt + α) +
K
zm cos(ωt + α) = 0
m
K
−ω 2 +
= 0,
m
und somit die Bedingung für die Kreisfrequenz ω:
2π
ω=
=
T
r
K
m
Versuch 2/27: Messung der Schwingungsdauer
T = 2π
r
m
= 2π
K
s
0.05 kg
= 1.26 s
1.29 N/m
Messung von T :
10T = ... s,
T = ... s/10
Bem. 2.14 Der harmonische Oszillator ist
von großer Bedeutung: In kleiner Umgebung um eine Ruhelage ist fast jede Schwingung harmonisch, da das Kraftgesetz dort
näherungsweise linear ist (Taylorentwicklung).
F
F = -k·x
x
c) Reibungskräfte:
Äußere Reibung: Haftreibung, Gleitreibung, Rollreibung (bei abrollen eines
Rades)
Haftreibung:
Bem. 2.15 Wo kommen diese Kräfte her? Reibungskräfte sind im Detail recht
kompliziert und bis heute noch nicht vollständig verstanden. Sie entstehen durch
Wechselwirkung zwischen den Atomen an der Oberfläche beider Körper.
2.3. SPEZIELLE KRÄFTE
25
Haftreibungskraft wirkt äußerer Kraft entgegen:
FH F
F~H = −F~
Haftreibungskraft kann nur einen Maximalwert erreichen
FH F
FH ≤ µ0 · FN ,
FN
µ0 : Haftreibungszahl
(2.21)
Vorsicht! Gleichung (2.21) ist keine Vektorgleichung.
Versuch 2/102a: Haftreibung und Gleitreibung
Bem. 2.16 Aufgrund der Rauigkeit der meisten Flächen (auf atomarer Skala sind selbst spiegelnde Flächen rau), berühren sich zwei Körper nur mit den
Spitzen der Rauigkeiten, d. h., sehr kleinen Flächen. Die Reibungskraft ist nun
annähernd proportional zu diesen Auflageflächen, die mit zunehmender Normalkraft F~N größer werden. Dadurch erklärt sich die beobachtete Zunahme der
Reibungskraft mit der Normalenkraft, Gleichung (2.21).
Gleitreibung:
F~R zeigt entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung
(gegeben durch ~v ).
FR
v
FR = µ · FN ,
µ : Gleitreibungszahl
(2.22)
Die Gleitreibung ist kleiner als die Haftreibung, d. h.
FN
µ < µ0
(2.23)
Bem. 2.17 Die komplizierten Details der Reibung stecken in den beiden Reibungszahlen µ0 und µ. Diese zu berechnen ist sehr schwierig. Sie können aber
oft einfach gemessen werden.
Versuch 2/103: Wirkung der Gleitreibung
d) Gravitationskraft:
m2
r12
m1
FG12
Punktmasse m1 übt auf die Punktmasse m2 im Abstand
~r12 eine Graviationskraft F~G12 aus, die entlang der Verbindungslinie beider Körper wirkt.
26
KAPITEL 2. MECHANIK
FG12 = γ
m1 m2
,
2
r12
(2.24)
2
die sogenannte Gravitationskonstante. In der
dabei ist γ = 6.673 · 10−11 Nm
kg2
Vektorform lautet das Newtonsche Gravitationsgesetz:
m1 m2 ~r12
F~G12 = −γ 2
,
r12 r12
~
r12
r12
(2.25)
ist der Einheitsvektor in Richtung von ~r12 .
Bem. 2.18 Nomenklatur: Der Abstandsvektor ~r12 zeigt vom Massenpunkt 1
nach 2, die Kraft FG12 ist die, die von 1 auf 2 ausgeübt wird. Wegen des Gegenwirkungsprinzips (3. Newtonsches Prinzip) übt auch der Massenpunkt m2
eine Gravitationskraft auf m1 aus. Diese ist betraglich gleich und entgegengesetzt gerichtet: F~G21 = −F~G12 .
2.3.2
Radialkraft
Bewegung auf Kreisbahn (Abschnitt 2.1.2): Es existiert eine Radialbeschleunigung
~ar .
v
Fr
r
m
Um einen Körper auf eine Kreisbahn zu zwingen, d. h.,
die Radialbeschleunigung aufzubringen, muss eine Radialkraft
F~r = m · ~ar
wirken.
Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, muss eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Kraft wirken. Der Betrag der Radialkraft ist
Fr = mar = mω 2 r = m
v2
r
Beispiele für Radialkräfte:
• Zwangskraft eines Fadens: Umherschwingen einer Kugel am Faden.
(2.26)
2.3. SPEZIELLE KRÄFTE
27
• Federkraft:
Versuch 2/30: Radialkraft
Feder hält Kugel auf Kreisbahn
Winkelgeschwindigkeit ω wird so geregelt, dass F = mω 2 r konstant (vorgegebene Auslenkung). Es wird die Zeit für 10 Umläufe gemessen.
– r: 10T = 7.5 s ⇒ T = 0.75 s ⇒ ω =
2π
T
= 8.38 s−1
F = mω 2 r = mr · 70.2 s−2
– 2r: 10T = 10.6 s ⇒ T = 1.06 s ⇒ ω =
2π
T
= 5.92 s−1
F = mω 2 2r = mr · 2 · 35.1 s−2 = mr · 70.2 s−2
Die Kräfte sind in der Tat in beiden Fällen (im Rahmen der Messgenauigkeit)
gleich, womit die Beziehung F = mω 2 r bestätigt ist.
• Gravitationskraft:
Beispiel: Satellitenbahn
v
Fr=FG12
m1
m2
!
Fr = FG12
r12
FG12
m1 : Masse der Erde, m2 : Masse des Satelliten
r12 : Abstand vom Erdmittelpunkt (Massenmittelpunkt der Erde.
m1 m2
=γ 2
r12
Fr = m2 ω 2 r12 = m2
(2.27)
v2
r12
Kraft um Satellit mit Masse m2 auf Kreisbahn mit Radius r12 zu halten.
Einsetzen in (2.27):
m2 ω 2 r12 = γ
m1 m2
2
r12
28
KAPITEL 2. MECHANIK
m1
2π
,
ω=
3
r12
T
m1
= γ 3
r12
4π 2
=
= const.
γm1
ω2 = γ
4π 2
T2
T2
3
r12
Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz des Bahnradius. Spezialfall des dritten Keplerschen Gesetzes. Die Bewegung eines Satelliten
hängt nicht von seiner Masse ab! Es geht nur die Masse m1 der Erde ein.
2.3.3
Zwangskräfte
Zwangskräfte stehen senkrecht auf der erzwungenen Bahn. Sie verhindern die Bewegung senkrecht zur vorgegebenen Bahn.
Versuch 2/38: Schleifenbahn
Bem. 2.19 Zwangskräfte werden zum Beispiel durch einen Faden (Pendel) eine
Schiene (Luftkissenbahn), oder eine ebene Fläche vorgegeben. Sie beruhen auf Kräften
zwischen den Atomen in den beteiligten Festkörpern und sind elektromagnetischer
und quantenmechanischer Natur.
a) Bewegung auf schiefer Ebene
FZ
F~Z + F~n = 0
Fs
Fn
FG
Die Zwangskraft FZ wirkt der Normalenkraft
Fn entgegen. Dadurch findet keine Bewegung
in Richtung der Normalen der schiefen Ebene
statt.
b) Fadenpendel: mathematisches Pendel
2.3. SPEZIELLE KRÄFTE
ϕ
Die Zwangskraft FZ wirkt der Normalenkraft
Fn entgegen und zwingt die Pendelmasse auf
Kreisbahn:
l
Fs
29
FZ
ar
m~ar = F~Z − F~n
v2
m
= FZ − mg cos ϕ
l
v2
FZ = m + mg cos ϕ
l
s
Fn
(2.28)
FG
Es ist nur eine Bewegung entlang der Kreisbahn möglich (Koordinate: Bogenlänge s)
Bewegungsgleichung:
ms̈ = −mg sin ϕ
lϕ̈ = −g sin ϕ, s = lϕ,
s̈ = lϕ̈
(2.29)
für kleine Ablenkwinkel: sin ϕ ≈ ϕ (siehe Taylorentwicklung in der Mathematik)
g
harmonischer Oszillator
ϕ̈ + ϕ = 0,
l
Analog zum Federschwinger ist (siehe Lösung von Gl. 2.20 auf Seite 23)
g
ω2 =
l
ϕ = ϕm cos (ωt + α)
q
Schwingungsdauer: T = 2π gl
Versuch 2/33: Pendelschwingung
Drei Pendel: (1) und (2) sind gleich lang, d. h. l1 = l2 , haben aber verschiedene
Massen m1 6= m2 :
q
Schwingungsdauer unabhängig von Masse: T = 2π gl
(2) und (3) haben gleiche Massen, aber Längenverhältnis l1 = 4l2 .
s
s
s
l1
4l2
l2
= 2π
= 2 · 2π
= 2T2
T1 = 2π
g
g
g
30
KAPITEL 2. MECHANIK
Frage: Wie ändert sich die Schwingung auf dem Mond, wo g kleiner ist als auf
der Erde?
2.4
2.4.1
Arbeit, Energie, Leistung
Motivation
Versuch 2/37: Energiesatz der Mechanik
Im Prinzip reichen die Newtonschen Axiome aus, um die Bewegung eines mechanischen Systems vollständig zu beschreiben. Wozu dann noch andere physikalische
Größen einführen?
Betrachte mechanisches System, z. B. Achterbahn:
Newton 2: F~ = m~a und Anfangsbedingungen
(~r0 , ~v0 )
beschreiben
Bewegung
vollständig.
Dennoch ist Beantwortung einfacher Fragen schwierig:
z. B.: Welche Geschwindigkeit hat Achterbahnwagen am Punkt C?
Zur Beantwortung muss Differentialgleichung entlang der Bahn gelöst werden!
Angenommen,
es gibt eine Größe E(~r, ~v), so dass
E(~r(t), ~v(t)) = E(~r0 , ~v0 )
(2.30)
für gegebene Anfangsbedingungen ~r0 und ~v0 und alle Zeiten t.
E ist Erhaltungsgröße und erfüllt obigen Erhaltungssatz !
Gibt es eine solche Erhaltungsgröße, so kann obige Frage leicht beantwortet werden:
Man berechnet dazu erst E(~r0 , ~v0 ) und löst dann (2.30) nach ~v (t) am Ort ~r(t) = C
auf.
2.4. ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG
31
Bem. 2.20 Neben dem praktischen Nutzen spielen Erhaltungsätze in der Physik eine
fundamental Rolle, weil sie eine Symmetrie der Natur widerspiegeln:
Energie
zeitliche Verschiebung
Impuls
räumliche Verschiebung
Drehimpuls räumliche Drehung
Wenn es bei einem Experiment zum Beispiel nicht davon abhängt, an welchem Ort
es ausgeführt wird, man es also an einen beliebigen Ort verschieben kann, dann ist
in diesem Experiment der Gesamtimpuls [definiert in Gl. (2.17)] erhalten.
2.4.2
Arbeit und Leistung
mechanische Arbeit:
Definiere:
Arbeit := Kraft · Weg
W := F · s
hier: Kraft parallel zum Weg (F~ k ~s).
ad hoc eingeführt, aber plausibel:
• Kraft alleine reicht nicht:
Auto sollte schon bewegt werden.
• Arbeit doppelt so groß,
– wenn Weg doppelt so lang.
– wenn Kraft doppelt so groß.
• Nicht abhängig davon, wie schnell der Weg zurückgelegt wird: ⇒ Pausen möglich.
32
KAPITEL 2. MECHANIK
Einheit der Arbeit:
[W ] = [F ] · [s] = Nm =: J
(Joule)
1 J ist SI-Einheit für Arbeit (James Prescott Joule 1818-1889).
veraltet: (uneinheitlich) 1 cal = 4.1868 J (siehe Abschnitt 3.1.3 auf Seite 96).
Allgemeiner:
F 6k s
Gesucht: Kraftkomponente entlang des Weges:
W = F s cos θ
Oder vektoriell durch Skalarprodukt ausgedrückt:
W = F~ · ~s
(2.31)
Dabei ist die Arbeit W ein Skalar!
(2.31) beschreibt Arbeit, die konstante Kraft F~ entlang des geraden Weges ~s aufbringt.
Beispiel: Schiefe Ebene:
sx F||
sz s α
α
θ
FG=mg
α
W =
=
=
=
|~s| · |F~k | = |~s| · |F~G | · cos θ
FG s sin α
mgs sin α
mgsz
Arbeit zur (reibungsfreien) Verschiebung auf schiefer Ebene hängt nur vom Hub sz ab.
2.4. ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG
33
Ebene horizontal: α = 0
W = F~G · ~s = F · s · |cos{z90}◦ = 0
=0
In der Ebene wird durch Gravitationskraft keine Arbeit verrichtet (sz = 0).
Bisher: Kraft konstant! Wie groß ist die Arbeit, die eine nichtkonstante Kraft ausübt?
Kraft-Weg-Gesetz: F (x) ist Funktion des Ortes x
Kraft über kleine Wege nahezu konstant: Aufsummieren
der Teilarbeiten.
Übergang zum Integral:
W =
Z
F dx
Beispiel: Federkraft
F
0 x1
x2
x
Kraft, die nötig ist, die Feder zu spannen:
F~ = K~x
34
KAPITEL 2. MECHANIK
Arbeit, die geleistet werden muss, um Feder zu spannen:
W =
Z
x2
Kx dx = K
x1
x
1 2 2 K 2
x = (x2 − x21 )
2
2
x1
Bem. 2.21 Hier wurde angenommen, dass die Kraft, mit der die Feder gespannt
wird, immer entgegengesetzt gleich der Federkraft (−K · x) ist (siehe Seite 23), d. h.
zu jedem Zeitpunkt ein statisches Gleichgewicht herrscht.
Bem. 2.22 Die Kraft F leistet positive Arbeit an der Feder. Von der Federkraft
selbst wird beim Spannen negative Arbeit geleistet: Der Spannvorgang speichert die
von aussen verrichtete Arbeit auf diese Weise in der Feder. Beim Entspannen der
Feder (von x2 nach x1 ) kann die Federkraft (−K · x) diese wieder leisten:
Z
x1
x2
(−Kx)dx = −K
Z
x1
x dx = K
x2
Z
x2
x dx = W
x1
Beliebiger Weg:
y
F(x,y)
F(s(u))
s2
s1
W =
F(x,y)
x
Z
~s2
Z~s1u2
F~ · d~s
d~s
F~ · du
du
u
dx
Z 1u2 (u)
Fx (x, y)
· du
=
du
dy
Fy (x, y)
(u)
u1
du
Z u2 dx
dy
Fx
du
=
+ Fy
du
du
u1
=
0
wobei u ein Parameter (z. B. die Zeit t) ist.
ds(u)
s(u)
Fx (x, y)
Fy (x, y)
x(u)
~s(u) =
,
y(u)
F~ (x, y) =
Beispiel: Wurfparabel (x0 = 0, y0 = 0, vx = v0 , vy = 0)
2.4. ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG
y
35
s1
F~ (~s) =
x
0
s(u)
ds(u)
g
~s(t) =
F
s2
v0 t
− 21 gt2
,
0
−mg
~s˙ (t) =
v0
−gt
Einsetzen in Arbeit:
Z t
v0
0
dt′
·
W =
′
−gt
−mg
0
Z t
1
=
mg 2 t′ dt′ = mg 2 t2
2
0
1
= −mg − gt2 = −mgy
2
| {z }
=y
Leistung (Power):
Arbeit, die pro Zeit aufgebracht wird:
Z
d t~
d
F (~s(t′ ), t′ ) · ~s˙ (t′ )dt′
W =
P =
dt
dt t0
= F~ (~r(t), t) · ~s˙ (t)
= F~ (~r(t), t) · ~v(t)
Einheit der Leistung:
2
kg ms2
[W ]
J
[P ] =
= =
= W (Watt)
[t]
s
s
(Benannt nach James Watt.)
Beispiel: Luftreibung beim Auto:
F = cw Aρv 2 ∝ v 2
Leistung: P = F · v ∝ v 3 !
⇒ Verdopplung der Geschwindigkeit erfordert Verachtfachung (23 ) der Leistung!
(Siehe Begleitmaterial)
36
KAPITEL 2. MECHANIK
2.4.3
Energie
Betrachte: Veränderung des Zustands eines Körpers durch Arbeit, die an ihm verrichtet wird.
Ausgangspunkt: 2. Newtonsches Gesetz
F~ = m~v˙
Bildung des Wegintegrals:
Z
F~ d~s =
| s {z }
Z
m~v˙ d~s
(2.32)
s
=W
=
Z
t1
t0
= m
=
=
=
=:
m~v˙
Z
t1
d~s
dt
dt
N.R.:
~v˙ ~v dt
t0
Z t1
1
d 2
m
(~v )dt
2
t0 dt
t
1
m [v 2 ]t0
2
1 2
m v (t) − v 2 (t0 )
2
∆Ekin
d 2
(v ) = 2~v · ~v˙
dt
1d 2
(~v )
⇔ ~v˙ · ~v =
2 dt
Arbeit, die in Bewegung des Körpers gesteckt wurde. Dabei wurde er von v0 = v(t0 )
nach v = v(t) beschleunigt.
Diese Arbeit kann vom Körper wieder geleistet werden, wenn man ihn abbremst:
Energie: Fähigkeit des Körpers, Arbeit zu verrichten.
Bem. 2.23 Vorzeichen: Energie wird größer, je mehr Arbeit der Körper verrichten
kann, d. h. je mehr Arbeit man hineinsteckt.
Insbesondere:
Kinetische Energie
1
Ekin := mv 2
2
(2.33)
2.4. ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG
37
Fähigkeit des Körpers, aus Bewegung heraus Arbeit zu leisten.
Beispiel:
Öffentliche Vorführung: Zusammenstoß zweier Züge (Siehe Begleitmaterial)
Von Kräften geleistete Arbeit:
1
W = ∆Ekin = m(v 2 − v02 )
2
Betrachte linke Seite des Gleichheitszeichens von (2.32):
Z
W = F~ · d~s, allg.: F~ (~r, ~v , t)
s
Arbeit entlang verschiedener Wege:
y
2
r1
r0
W1 =
~
r1
~
r0 ,1
Z ~r1
W2 =
1
0
Z
F~ d~s,
F~ d~s,
~
r0 ,2
x
Index 1 bzw. 2 bedeutet, dass Arbeit über Weg 1 bzw. Weg 2 ermittelt wird.
R ~r
F~ (~r) konservativ, wenn ~r01 F~ d~s für alle ~r0 , ~r1 unabhängig vom Weg ist!
W1 − W2 =
=
Z
~
r1
~
r0 ,1
Z ~r1
~
r0 ,1
=
I
1,2
falls W1 = W2 , d. h. Kraft konservativ.
Potentielle Energie
F~ d~s −
F~ d~s +
Z
~
r1
~
r0 ,2
Z ~r0
~
r1 ,2
F~ d~s = 0,
F~ d~s
F~ d~s
38
KAPITEL 2. MECHANIK
Konservatives Kraftfeld: Um Körper von ~r0 nach ~r zu bringen, braucht man unabhängig vom Weg:
Z ~r
!
W =
F~ · d~s = −∆Epot
~
r0
= −(Epot (~r) − Epot (~r0 ))
Epot : Potentielle Energie!
Bem. 2.24 Wichtig: Vorzeichen! Epot ist Fähigkeit, Arbeit aus der Lage des Körpers
im Kraftfeld zu gewinnen. W : Vom Kraftfeld am Körper geleistete Arbeit erniedrigt
Epot . Daher:
W = −∆Epot
(2.34)
(Siehe auch Bem. 2.22 auf Seite 34.)
Bem. 2.25 Es können nur Differenzen von Epot gemessen werden. Nullpunkt ~r0 von
Epot kann beliebig gewählt werden, muss dann aber beibehalten werden.
2.4.4
Energiesatz
Konservatives Kraftfeld:
W
W
⇔ ∆Ekin
∆Ekin + ∆Epot
=
=
=
=
−∆Epot
+∆Ekin
−∆Epot
0
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
Energieformen werden durch Bewegung in einander umgewandelt:
Gesamtenergie (mechanische):
E = Ekin + Epot
(2.39)
Energiesatz: Im konservativen Kraftfeld gilt
E = const.
entlang der Bahn für alle Anfangsbedingungen (~r0 , ~v0 ).
Versuch 2/36a: Großes Pendel
(2.40)
2.4. ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG
Beispiel: Lösung der Eingangs gestellten Frage
Gegeben: ~r0 =
x0
h
, ~v0
1 2
m~v
2 0
Epot (~r0 ) = mgh
1 2
m~v + mgh
E(~r0 , ~v0 ) =
2 0
1 2
E(~rC , ~vC ) =
mv + mg · 0
2 C
Ekin (~v0 ) =
Energieerhaltung (Reibung vernachlässigt):
E(~r0 , ~v0 ) = E(~rC , ~vC )
1 2
1 2
m~v0 + mgh =
mv
2
2 C
v02 + 2gh = vC2
q
vC = v02 + 2gh
Nur Betrag gegeben, aber Richtung von ~vC durch Schiene festgelegt.
Versuch 2/38a: Muldenbahn
Versuch 2/36: Energiesatz beim Pendel
Versuch 2/39: Energiesatz beim Kugeltanz
Reibung:
Häufiger Grund für Energieverlust aus mechanischem System, z. B. Gleitreibung
Z
Z
~
W = FR d~s = − FR ds < 0
39
40
KAPITEL 2. MECHANIK
Die Reibungskraft F~R zeigt entgegen der Bewegungsrichtung d~s (Seite 25).
Auch wenn man an den Ausgangsort zurückkehrt
I
W = − FR ds < 0,
muss das System auf jedem (nicht trivialen) Weg Arbeit verrichten: Reibung ist nicht
konservativ!
Das System verrichtet Arbeit. Wo geht diese Energie hin?
z. B. mikroskopische Freiheitsgrade, d. h., Bewegung der Atome in den reibenden
Körpern, z. B., Schwingungen der Atome im Festkörper oder erhöhte Geschwindigkeit
der Atome oder Moleküle in einer Flüssigkeit oder einem Gas (Erwärmung).
⇒ Wärme
Versuch 4/40: Reibungswärme
Arbeit W wird in Wärme umgesetzt ⇒ andere Energieform!
D. h.: Energie weiterhin erhalten, wenn man Wärmeenergie mit hinzuzieht.
EWärme = −W
Die Wärmeenergie EWärme wird in Kapitel 3 behandelt.
Erweiterter Energiesatz:
E = Emech + EWärme
= Ekin + Epot + EWärme
Allgemeiner Energiesatz:
In einem abgeschlossenen System ist die Energie erhalten.
E = Emech + EWärme + Eelektrisch + ...
Bisher keine Verletzung diese Satzes entdeckt! ⇒ Zentrales Naturgesetz!
Bem. 2.26 Bemerkenswert ist, dass das Vorzeichen der Reibungsarbeit immer negativ ist. Ein Körper kühlt sich nicht etwa plötzlich ab und setzt sich in Bewegung.
Dieser Erfahrung gehen wir in Kapitel 3 im Detail nach.
2.5. DYNAMIK VON SYSTEMEN VON PUNKTMASSEN
2.5
41
Dynamik von Systemen von Punktmassen
2.5.1
Massenmittelpunkt
Beispiel: 3 Teilchen mit Massen m1 , m2 und m3 und Bahnkurven ~r1 (t), ~r2 (t) und
~r3 (t).
Definition des Massenmittelpunkts ~rM :
m1
r1 r
2
m2
mges · ~rM = m1~r1 + m2~r2 + m3~v3 ,
rM
m3
⇒
r3
P
mges =
X
mj
(2.41)
j
mj ~rj
j mj
j
~rM = P
(2.42)
Der Massenmittelpunkt ist das mit der Teilchenmasse gewichtete Mittel der Teilchenpositionen.
Bewegung der Teilchen durch Kräfte bestimmt: Auf das Teilchen j können wirken:
• äußere Kräfte F~ja
• innere Kräfte F~lji . F~lji ist die Kraft, die vom l-ten Teilchen auf das j-te wirkt.
F1a
F2a
r1 r
2
F32i
F23i
r3
F3a
Der Übersichtlichkeit wegen sind in der Abbildung nicht alle
inneren Kräfte beschriftet.
Bewegung bestimmt sich aus 2. Newtonschen Gesetz:
X
X
mj~aj = F~ja +
F~lji = F~ja + F~ji , mit F~ji =
F~lji (2.43)
l
l
Die resultierende Bewegung kann sehr kompliziert werden.
(z. B. Kollision zweier Galaxien, siehe Begleitmaterial.)
Wesentlich einfacher ist die Bewegung des Massenmittelpunktes ~rM unter Benutzung
von (2.41):
mges~aM
=
X
j
mj~aj
42
KAPITEL 2. MECHANIK
X
(2.43)
=
F~ja +
j
X
=
X
F~ji
j
F~ja +
j
X
F~lji
(2.44)
l,j
Wegen des Gegenwirkungsprinzips (3. Newtonsches Axiom) ist
F~lji = −F~jli
in der Doppelsumme
vor, sodass
P
l,j
F~lji kommt jede Kraft und ihre Gegenkraft genau einmal
X
F~lji = 0.
l,j
Einsetzen in (2.44) liefert die Bewegungsgleichung für den Massenmittelpunkt
X
mges~aM =
F~ja = F~ a
(2.45)
j
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter demPEinfluss der resultierenden äußeren Kraft wie ein Punktobjekt mit Masse mges = j mj .
Begleitmaterial: Baron Münchhausen zieht sich aus dem Sumpf
Bem. 2.27 Im Nachhinein rechtfertigt diese Tatsache die Idealisierung eines Körpers
zum Massenpunkt, wenn wir nur dessen räumliche Verschiebung betrachten. Die Bestimmung der äußeren Kräfte F~ja kann jedoch gegebenenfalls die Detailkenntnis der
Zustände aller Teilchen (z. B. deren Lage) erfordern.
2.5.2
Impulserhaltung
Impuls einer Punktmasse [Glg. (2.17)]:
d~p
F~ =
dt
~p = m~v ,
Der Gesamtimpuls des Systems von Teilchen:
X
X
p~ges =
p~j =
mj ~vj = mges · ~vM
j
(2.46)
j
d~pges
= mges · ~aM = F~ a
dt
(2.47)
2.5. DYNAMIK VON SYSTEMEN VON PUNKTMASSEN
43
Verschwindet die resultierende äußere Kraft, d. h., F~ a = 0, ist
d~pges
= 0,
dt
d. h. ~pges = const.
(2.48)
Impulserhaltung:
Wirkt auf ein System keine resultierende äußere Kraft, dann ist die Geschwindigkeit
seines Massenmittelpunktes konstant und der Gesamtimpuls bleibt erhalten:
X
p~ges = mges~vM =
mj ~vj = const.
(2.49)
j
Versuch: 2/40a Impulssatz
Versuch: 2/51 Massenmittelpunkt
2.5.3
Stoßvorgänge
Beispiel: Zentraler Stoß zweier Kugeln (Massen m1 , m2 )
Vorher:
v1
m1
vor dem Stoß: v1 , v2
nach dem Stoß: v1′ , v2′
v2
m2
Keine äußeren Kräfte: Impuls ist erhalten!
pges = p′ges
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′
Spezialfall: Elastischer Stoß
Bem. 2.28 Elastisch ist ein Stoß dann, wenn die gesamte kinetische Energie vor
und nach dem Stoß gleich ist.
Im Fall des elastischen Stoßes ist Impuls und Energie erhalten:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′ ,
Impulssatz
1
1
1
1
2
2
m1 v12 + m2 v22 =
m1 v ′ 1 + m2 v ′ 2 ,
Energiesatz
2
2
2
2
(2.50)
(2.51)
44
KAPITEL 2. MECHANIK
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten v1′ und v2′ . Auflösen nach v1′ und v2′ :
v1 (m1 − m2 ) + 2m2 v2
m1 + m2
v2 (m2 − m1 ) + 2m1 v1
=
m1 + m2
v1′ =
(2.52)
v2′
(2.53)
Bem. 2.29 Lösungsskizze: Energiesatz (2.51) und Impulsatz z. B. nach v ′ 22 bzw. v2′
auflösen. Letzteres v2′ quadrieren und mit ersterem v ′ 22 gleichsetzen. Quadratische
Gleichung in v1′ lösen (z. B. mit P-Q-Formel). Es gibt zwei Lösungen, von denen nur
eine die beiden Gleichungen (2.50) und (2.51) erfüllt (wie kommt das?). Lösung zu
(2.52) vereinfachen. (2.53) erhält man durch vertauschen der Indizes (Symmetrie)
oder durch Einsetzen von (2.52) in Impulssatz.
Versuch 2/42a: Elastischer Stoß
m2 ≫ m1 , v2 = 0: Stoß mit fester Wand
v1′ =
v2′ =
m1
v1 m2 ( m
− 1) + 2m2 v2
2
1
m2 ( m
+ 1)
m2
m1
)
v2 m2 (1 − m
2
m1
m2 ( m2
+
=
m1
2m2 m
v1
2
+ 1)
m1
− 1) + 2v2
v1 ( m
2
m1
m2
=
v2 (1
m1
→0
m2
+1
= −v1 + 2 v2 = −v1
|{z}
m1
1
) + 2m
v1
−m
m2
2
m1
+1
m2
=0
m1
→0
m2
= v2 = 0
Versuch 2/43: Elastischer Stoß bei großen Massenunterschieden
Anderer Spezialfall: Vollständig inelastischer Stoß
Beide Stoßpartner bleiben an einander kleben: Kinetische Energie ist nicht erhalten
und wird in Verformung umgesetzt (Wärme- + chemische Energie).
v ′ = v1′ = v2′
Impulssatz gilt dennoch, da keine äußeren Kräfte wirken:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v ′
(2.54)
Auflösen nach v ′ :
m1 v1 + m2 v2
m1 + m2
Versuch 2/42a: Inelastischer Stoß, m1 = m2 = m, v2 = 0:
v′ =
⇒
v′ =
1
mv1
= v1
m+m
2
(2.55)
2.5. DYNAMIK VON SYSTEMEN VON PUNKTMASSEN
45
Kinetische Energiebilanz:
1
1
1
∆W = m1 v12 + m2 v22 − (m1 + m2 )v ′2
2
2
2
Einsetzen von (2.55)
∆W =
1 m1 m2
(v1 − v2 )2 > 0
2 m1 + m2
System leistet Arbeit!
Versuch 2/48: Stoßpendel
Im allgemeinen: Stöße in drei Dimensionen
Impuls ist Vektorgröße
~pges = const.
Dies bedeutet, dass jede Komponente von ~pges für sich genommen konstant ist.
Beispiel: Billardkugel trifft auf ruhende Kugel
p~1 = ~pges , ~p2 = 0,
2.5.4
p~ges = ~p′1 + p~′2
p‘1
p1
m1
⇒
m2
p‘1
p‘2
Raketenantrieb
z. B.: Space Shuttle: Siehe Begleitmaterial
Versuch: Rakete
Ausnutzung des Impulssatzes:
p‘2
pges
(2.56)
46
KAPITEL 2. MECHANIK
t:
t+∆t:
v+∆v
v
u: Austrittsgeschwindigkeit der Abgase relativ zur Rakete.
grauer Bereich: Gesamtsystem Rakete-Abgase
m-∆m
m
∆m
v-u
Anfangsimpuls zur Zeit t:
p(t) = mv
Impuls bei t + ∆t:
p(t + ∆t) = (m − ∆m)(v + ∆v) + ∆m(v − u)
= mv + m∆v − ∆m · u − |∆m∆v
{z }
≈0
≈ mv + m∆v − ∆m · u
(Wenn ∆m und ∆v beide klein sind, ist ihr Produkt kleiner als die anderen Terme
und kann vernachlässigt werden. Dies gilt insbesondere beim Übergang ∆t → 0 (⇒
∆m → 0, ∆v → 0), den wir weiter unten durchführen. Siehe Gl. (2.57).)
Gesamtimpuls ändert sich durch äußere Kräfte im Zeitintervall ∆t:
∆p = p(t + ∆t) − p(t) = F a ∆t
m∆v − ∆m · u = F a ∆t
In der Zeit ∆t ändert sich also der Impuls der Rakete
m
∆v
∆m
∆t =
· u∆t + F a ∆t
∆t
∆t
Übergang zu infinitesimalem Zeitintervall (∆t → dt):
dv
∆m
dm
∆v
→ ,
→−
(2.57)
∆t
dt
∆t
dt
∆m ist die Masse des ausgestoßenen Treibstoffs. Die Rakete wird im Zeitintervall ∆t
negativ ist.
um ∆m leichter, so dass die zeitliche Änderung der Raketenmasse dm
dt
dm
∆m
Daher ist in Gl. (2.57) das Vorzeichen von dt und ∆t verschieden!!
2.5. DYNAMIK VON SYSTEMEN VON PUNKTMASSEN
47
Raketengleichung:
m
dv
dm
=−
· u + F a,
dt
dt
dabei ist
FSchub = −
(2.58)
dm
u
dt
der Schub der Rakete.
Bem. 2.30 Das Vorzeichen des Schubs ist positiv, da dm
< 0. Der Impuls der Rakete
dt
nimmt zu, wenn sie Masse (durch Ausstoß von Abgasen) verliert.
Die Raketengleichung ist Bewegungsgleichung (Differentialgleichung). Wir wollen
diese jetzt in einfacher Situation lösen:
Annahme:
• keine Reibung
• F a = −mg = const. (Nähe der Erdoberfläche)
• eindimensionale Bewegung in z-Richtung
Aus der Raketengleichung (2.58) folgt:
dm u
dv
=−
− g,
dt
dt m
u aus Verbrennung des Treibstoffs bekannt. Integration:
Z t
Z t
Z t
1 dm ′
dv ′
dt = −u
dt −
g dt′
′
′
0 m dt
0
0 dt
Z m(t)
Z
′
dm
dm
v(t) − v0 = −u
− gt,
Erinnerung:
= ln m + C
′
m
m
m0
m(t)
= −u ln m′ |m0 − gt
= −u (ln m(t) − ln m0 ) − gt = −u ln
= u ln
m0
− gt
m(t)
m(t)
− gt
m0
Die Endgeschwindigkeit v(t) hängt vom Logarithmus des Verhältnisses der Anfangsund Endmasse ab. Durch Veränderung des Massenverhältnisses lässt sich die Endgeschwindigkeit nur wenig beeinflussen. Günstiger ist es, u möglichst groß zu machen.
48
KAPITEL 2. MECHANIK
Damit die Geschwindigkeit des austretenden Gases möglichst groß ist, muss die Masse
der Moleküle möglichst klein und die Verbrennung möglichst heiß sein. Ein besonders
leichtes Gas ist Wasser, das bei der Verbrennung von Wasserstoff mit Sauerstoff entsteht. Heißer brennen aber andere Substanzen, die zum Beispiel in Feststoffraketen
verwendet werden.
2.6
Mechanik des starren Körpers
Der starre Körper ist Spezialfall des Systems von Massenpunkten: Massenpunkte
haben festen Abstand zueinander. Dadurch ist Bewegung im Gesamtsystem nicht
mehr so kompliziert. Korrelierte Bewegung der Massenpunkte: Zahl der Freiheitsgrade stark eingeschränkt (siehe Abschnitt 2.6.1).
Translation
Rotation
zusammengesetzte Bewegung
Translation und Rotation können ungestört überlagert werden
Versuch 2/59a: Freiheitsgrade des starren Körpers
Versuch 2/52: Bewegung des Massenmittelpunktes
2.6.1
Freiheitsgrade
Die Zahl der Freiheitsgrade eines Körpers ist gleich der Zahl der Koordinaten, die
man zur Festlegung seiner Lage im Raum braucht.
Beispiel:
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
49
Zahl der Freiheitsgrade:
Punktmasse
N Punktmassen
starrer Körper
2.6.2
3 z. B. (x, y, z)
3N
6 3 Translationen, 3 Rotationen
Bewegungsgrößen
Beispiel: Scheibe, um raumfeste Achse drehbar
∆s1
j
rj
1
∆s2
∆ϕ
2
ϕ
Drehwinkel ϕ(t)
∆ϕ1 = ∆ϕ2
Winkeländerung überall gleich, da Massenpunkte
untereinander starr verbunden sind. Aber:
∆s1 6= ∆s2 ,
v1 6= v2
Alle Punkte haben gemeinsame Winkelgeschwindigkeit:
ω=
dϕ
= ϕ̇
dt
Gleiches gilt für Winkelbeschleunigung:
α=
d2 ϕ
dω
= ω̇ = 2 = ϕ̈
dt
dt
Bewegung des Massenelements j:
vj = rj · ω
ajs = rj · α
ajr = rj · ω 2
(Geschwindigkeit)
(Bahnbeschleunigung)
(Radialbeschleunigung)
Analogie:
geradlinige Bewegung
(Translation)
Drehbewegung
(Rotation)
x, vx , ax
ϕ, ω, α
bei
ax = const.
α = const.
gilt
x = 21 ax t2 + vx0 t + x0
ϕ = 21 αt2 + ω0 t + ϕ0
Kinematische Größen:
50
KAPITEL 2. MECHANIK
Versuch 2/61: Drehung bei konstantem Drehmoment
2.6.3
Statisches Gleichgewicht
Keine Bewegung (Gleichgewicht):
Keine äußeren Kräfte:
X
F~ia = 0
i
Massenmittelpunkt unbeschleunigt.
Aber: Keine Aussage über innere Freiheitsgrade! D. h., im Fall des starren Körpers
über Rotationen.
Definition: Drehmoment
Versuch 2/59: Drillachse
F β
j
Fs r
j
l
A
Kraft F~ wirkt auf Massenelement j.
Radialkomponente der Kraft:
⇒ Rotationsbeschleunigung
Drehmoment (bzgl. Drehpunkt A):
M := Fs · rj = F · sin β · rj = F · l
Einheit:
[M] = [F ] · [s] = 1 Nm
Vektorschreibweise:
Kreuzprodukt:
M
.
~ = ~r × F~
M
F
r
Betrag:
M = r · F · sin β
Richtung:
~ ⊥ ~r, F~
M
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
51
Rechtssystem (Rechtehandregel)
Kräftepaar: Resultierende äußere Kraft F~ a = 0.
Im Folgenden werden nur äußere Kräfte behandelt. Daher vereinfachen wir die Bezeichnung und lassen den Index a“ an der Kraft fallen. Die inneren Kräfte werden
”
nicht explizit betrachtet. Sie sind Zwangskräfte, die die Teile des Körpers starr verbinden.
F1
F~2 = −F~1
1
r 1-
X
r2
r1
r2
l
2
F2
~ = ~r1 × F~1 + ~r2 × F~2
M
= (~r1 − ~r2 ) × F~1
X ~ = l|F~1 |
M
Versuch 2/62: Lage der momentanen Drehachse beim Abrollen: Folgsame Garnrol”
le.“
Damit keine Drehbeschleunigung auftritt, müssen die äußeren Momente verschwinden.
Ein starrer Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn sowohl die Vektorsumme der Kräfte als auch die der Drehmomente in Bezug auf einen beliebig
gewählten Drehpunkt verschwindet:
X
X
~j = 0
F~j = 0,
M
(2.59)
j
j
Versuch 2/53: Verschiebung einer Kraft längs der Wirkungsrichtung
2.6.4
Schwerpunkt und potentielle Energie des starren Körpers
Definition des Schwerpunkts: Damit Körper im Schwerefeld in Ruhe bleibt, muss
Zwangskraft F~s im Schwerpunkt ~rs angreifen.
52
KAPITEL 2. MECHANIK
Bedingung: Kräftegleichgewicht
X
X
F~s +
F~j = 0 ⇒ F~s +
∆mj ·~g = 0
⇒
j
j
F~s = −mges~g ,
| {z }
=mges
Dabei ist ∆mj die Masse des j-ten Massenelements. j summiert über alle Massenelemente.
Bedingung: Momentengleichgewicht
X
~ j + ~rs × F~s = 0
M
j
Fs
∆mj
g
Fj
X
j
~ j + ~rs × F~s =
M
rj
=
X
j
~rj × ∆mj ~g + ~rs × F~s
X
j
rs
~rj ∆mj − mges~rs
!
!
× ~g = 0
Damit letzte Gleichheit für beliebige Orientierung des Körpers gilt, muss Klammerterm verschwinden:
P
rj
j ∆mj ~
= ~rM ,
~rs =
mges
d. h. Schwerpunkt = Massenmittelpunkt! [Vergl. (2.42)]
Versuch 2/51a: Schwerpunkt
Berechnung für kontinuierliche Massenverteilung:
m
Dichte: ρ =
= const., V : Volumen
V
Einheit:2
kg
[m]
=1 3
[ρ] =
[V ]
m
2
Gebräuchlicher als SI-Einheit kg/m3 ist die Einheit g/cm3 . Umrechung:
1
kg
1000g
g
=
= 10−3 3
m3
1003cm3
cm
(2.60)
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
53
P
∆mj ~rj
1 X ∆mj
~rj ∆Vj , Übergang: ∆Vj → dV
=
mges
mges j ∆Vj
| {z }
=ρ
Z
ZZZ
1
ρ
(∗)
=
ρ~r dV =
~r dxdydz, dV = dxdydz
mges
mges
ZZZ
1
mges
=
~r dxdydz, mit ρ =
Vges
Vges
j
~rs =
(2.61)
Die Gleichheit (∗) gilt, wenn ρ = const. ist (siehe Gl. 2.60).
Potentielle Energie im (homogenen) Schwerefeld ~g :
z
g
Epot =
∆mj
rs
X
∆mj gzj = g
j
X
mj zj = mges gzs
(2.62)
j
rj
Die potentielle Energie des starren Körpers ist gleich der Lageenergie der im Schwerpunkt ~rs vereinigten Gesamtmasse mges .
2.6.5
Kinetische Energie und Trägheitsmoment
Kinetische Energie:
Geschwindigkeit des j-ten Massenelements:
∆mj
~vj =
rj’
rj
rs
S
d~rj
dt
Gesamte kinetische Energie:
Ek =
X1
j
2
∆mj
d~rj
dt
2
54
KAPITEL 2. MECHANIK
Zerlege nun ~rj : ~rj = ~rs + ~rj′ .
d~rj
dt
2
=
d~rs
dt
2
+
d~rj′
dt
2
d~rs
+2
dt
d~rj′
dt
Kinetische Energie:
Ek =
X1
j
2
∆mj
d~rs
dt
2 X
′ 2 X
′ d~rj
d~rj
1
d~rs
(2.63)
∆mj
+
+
∆mj
2
dt
dt
dt
j
j
{z
}
|
=0
=
1
mges
2
d~rs
dt
2
+
= Ekin + Erot
1X
∆mj
2 j
d~rj′ 2
dt
(2.64)
Bem. 2.31 Der letzte Term in (2.63) verschwindet, da
X
j
∆mj
d~rs
dt
d~rj′
dt
d~rs d X
=
=
∆mj ~rj′
∆mj
dt dt j
j
!
X
d~rs d X
d~rs d
∆mj (~rj − ~rs ) =
∆mj ~rj − mges~rs
=
dt dt j
dt dt
j
{z
}
|
d~rs
dt
X
d~rj′
dt
=0
= 0.
Dabei folgt die letzte Gleichheit aus der Definition des Massenmittelpunkts.
Die kinetische Energie Ek des starren Körpers ist die Summe der kinetischen Energien der Translation Ekin der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse und der
Energie Erot der Rotation des Körpers um den Schwerpunkt.
Translationsenergie:
1
Ekin = mges~vs2
2
(2.65)
Rotation mit Winkelgeschwindigkeit ω um Achse durch Schwerpunkt:
Erot =
1X
2
∆mj v~′ j
2 j
(2.66)
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
55
S
Ausdrücken der Rotationsgeschwindigkeit ~vj′ durch
Kreuzprodukt mit ω
~ (siehe (2.7) auf Seite 15):
~vj′ = ~ω × ~rj′ ,
rj(s)
ω
∆mj
rj’
(s)
vj′ = ωrj ,
(s)
wobei rj der Abstand von ∆mj zur Rotationsachse S
ist.
∆mj
Für die Rotationsenergie folgt:
vj’
rj’
Erot =
S
1X
1
(s)2
∆mj rj ω 2 = JS ω 2
2 j
2
|
{z
}
(2.67)
=:JS
JS ist das Massenträgheitsmoment des starren Körpers bezüglich der Rotationsachse
S:
Z
Z
X
(s)2
(s)2
JS =
∆mj rj ,
JS = r
dm = r (s)2 ρ dV
(2.68)
j
Die Integration ist hier wie in Gl. (2.61) auf Seite 53 gemeint.
Beispiel: Schwungrad (siehe Begleitmaterial)
Betrachte jetzt Rotation um feste Achse A(, die nicht unbedingt durch den Schwerpunkt gehen muss).
∆mj
rj(A)
A
s
rj(S)
S
1
Ek = JA ω 2,
2
JA =
X
(A)2
∆mj rj
,
(2.69)
j
(A)
Steinerscher Satz:
wobei jetzt rj der senkrechte Abstand zur Achse A ist. Für
A parallel zu S: JA 6= JS .
JA = JS + mges s2 ,
s: Abstand A - S
(2.70)
Bem. 2.32 Das Massenträgheitsmoment bzgl. einer beliebigen Achse ist immer größer
oder gleich dem bzgl. der Achse, die parallel durch den Schwerpunkt verläuft. Die Bewegung um die Achse A setzt sich aus einer Kreisbewegung des Schwerpunkts S und
56
KAPITEL 2. MECHANIK
einer Rotation um den Schwerpunkt zusammen. Die kinetische Energie hat daher
einen Schwerpunktsanteil Ekin = 21 mges s2 ω 2 und einen Rotationsanteil Erot = 12 JS ω 2 .
In der Summe also:
1
1
Ek = Ekin + Erot = (JS + mges s2 )ω 2 = JA ω 2
2
2
2.6.6
Bewegungsgleichung für den rotierenden Körper
Wir berechnen die Arbeit, die die Kraft F~ bei Rotation des Körpers um den Drehpunkt A und den Winkel dϕ verrichtet:
ds = r · dϕ
dW = Fs · ds = Fs · rdϕ = MA · dϕ
Z
Z
W =
dW = MA dϕ
dϕ
F
Fs
Leistung:
r
A
P =
dϕ
dW
= MA
= MA · ω
dt
dt
Die vom Drehmoment MA aufgebrachte Arbeit wird in Rotationsenergie umgesetzt:
dW
dErot
d 1
2
MA · ω =
=
=
JA ω = JA · ω · ω̇.
dt
dt
dt 2
Diese Beziehung gilt für alle ω. Daraus folgt das
2. Newtonsche Prinzip für die Rotation:
MA = JA ω̇ = JA · α = JA · ϕ̈
Vektorschreibweise: ~ω und α
~ als Vektoren (Spezialfall ~ω k α
~ ):
ω
A
ω
α
~ zeigt in Richtung ~ω , falls ~ω d~
> 0.
dt
~ A = JA ~ω˙ = JA · α
M
~
Diese Beziehung ist analog zu F~ = m~a.
(2.71)
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
2.6.7
57
Rollbewegung
Drehung um momentane Drehachse A. (Die Achse ist nicht Ortsfest, sondern bewegt
sich entlang der Rollfläche.)
∆s
Rollbedingung: Kugel (Radius R) rollt, ohne zu gleiten.
Schwerpunkt: Weg ∆s
Drehung der Kugel um den Winkel ∆ϕ:
∆ϕ
∆s
A
∆s = R · ∆ϕ
vs = R · ϕ̇ = R · ω,
A
as = R · α
(2.72)
Beispiel: Rollbewegung auf schiefer Ebene (Radius R)
Versuch 2/63: Abrollen und Trägheitsmoment
Beschreibung der Bewegung: Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung.
Wir benutzen Gl. (2.71). Drehmoment bzgl.
momentaner Drehachse:
g
s
A
S Fs
R β
FG
MA = R · FG sin β = mgR sin β
Trägheitsmoment bzgl. A [siehe Satz von
Steiner (2.70)]:
β
Ein-
JA = JS + mR2
gesetzt in (2.71) erhält man
s̈
mgR sin β = JA ϕ̈ = JA .
R
Dabei folgt die letzte Gleichheit aus der Rollbedingung (2.72). Auflösen nach s̈:
s̈ =
mgR2 sin β
= const.
JA
Diese Differentialgleichung beschreibt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Nach
(2.2) folgt das Weg-Zeit-Gesetz (für s = s0 , vs0 = 0 bei t = 0):
s(t) =
1 mgR2 sin β 2
t + s0
2
JA
58
KAPITEL 2. MECHANIK
Zylinder mit Radius R:
• Hohlzylinder: JS = mR2 .
• Vollzylinder: JS = 12 mR2 .
Unterschiedliche Trägheitsmomente: Unterschiedlich viel Energie wird in Rotation
gegenüber Translation gespeichert. Körper mit größerem Trägheitsmoment hat zu
jedem Zeitpunkt weniger Translationsenergie und ist daher langsamer.
Bem. 2.33 alternative Rechnung unter Benutzung des Energiesatzes:
S
Beim Herunterrollen wird potentielle Energie Epot in kinetische und Rotationsenergie
umgewandelt. Startet der Rotationskörper in
Ruhe bei s0 (t = 0: s = s0 , v = v0 = 0), dann
gilt:
R
s
A
h
Epot (s0 ) = Ekin (s)+Erot (s)+Epot (s) (2.73)
β
Potentielle Energie (vgl. (2.62) auf Seite 53):
Epot (s) = mgh(s) = −mgs sin β.
Dabei wird s in Abwärtsrichtung gemessen.
Kinetische Energie:
1
1
Ekin (s) + Erot (s) = mvs2 + JS ω 2
2
2
Die Rollbedingung (2.72) verknüpft die Geschwindigkeit vs mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Daher gilt für die kinetische Energie:
1 2 1 vs2
mv + JS
2 s 2 R2
vs2
1 vs2
1
2
mR + JS
= JA 2
=
2|
2 R
{z
} R2
Ekin (s) + Erot (s) =
=JA
Die Bewegung kann auch ganz als Rotation um den momentanen Drehpunkt A aufgefasst werden. Nach dem Satz von Steiner ist die gesamte kinetische Energie gleich
der Rotationsenergie um A. [Siehe auch (2.70) und Bemerkung 2.32].
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
59
Einsetzen in (2.73) liefert:
1 vs2
JA 2
2
s R
mg(s − s0 ) sin β =
2mgR2 sin β √
s − s0 .
JA
ds
= vs =
dt
(2.74)
(2.74) ist eine Differentialgleichung für s. Zur Lösung dieser, bringe alle Terme, die
s enthalten, auf die linke Seite und integriere über die Zeit:
Z
t
0
Z
1
ds
√
dt =
s − s0 dt
s
s0
√
1
ds′ =
′
s − s0
√
2 s′ − s0 |ss0 =
Z ts
0
2mgR2 sin β
dt
JA
s
2mgR2 sin β
t
JA
s
2mgR2 sin β
t,
JA
quadrieren
2mgR2 sin β 2
t
JA
1 mgR2 sin β 2
s =
t + s0
2
JA
4(s − s0 ) =
Bem. 2.34 Die Rollbewegung kommt durch Haftreibung des Körpers an der schiefen
Ebene zustande. Die Haftreibungskraft verrichtet jedoch keine Arbeit. Daher gilt der
Energiesatz für das Abrollen eines starren Körpers. In der Realität gibt es keine ganz
starren Körper. Durch die Deformation der aneinander reibenden Flächen kommt
es daher zur Rollreibung. Bei schlecht aufgepumpten Reifen kann diese Deformation
sehr groß werden. Das Walgen des Reifens erzeugt viel Wärme, die sich als Reibung
bemerkbar macht. Dabei wird kinetische Energie des Abrollens in Wärmeenergie umgewandelt. Der Reifen kann platzen, wenn er zu heiß wird, d. h. die Rollreibung zu
groß ist.
2.6.8
Drehschwingungen und Pendelschwingungen
Drillachse (Messung von Drehmomenten):
60
KAPITEL 2. MECHANIK
ϕ
Gleichgewicht: Feder wird solange ausgelenkt, bis sie das
Drehmoment MA = −r · F aufbringt:
r
MA = −D · ϕ
(2.75)
D: Richtmoment
F
Versuch 2/59: Drillachse
(2.75) ist das Analogon des Hookeschen Gesetzes (2.13) für den Fall der Rotation
(Spiralfeder).
Drehschwingung:
2. Newtonsches Prinzip für Rotation:
ϕ
JA
JA ϕ̈ = MA = −Dϕ
Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators (in ϕ):
D
ϕ̈ +
D
ϕ=0
JA
Lösung ist eine harmonische Oszillation:
ϕ(t) = ϕ0 · cos(ωt + α),
ω=
r
D
,
JA
T = 2π
r
JA
D
(2.76)
Die Drehschwingung ist analog zur translatorischen Schwingung (siehe Seite 23 und
folgende). Analogie:
Koordinate:
Trägheit:
Federkonstante/Richtmoment
ω:
Versuch 2/64: Drehschwingung
Versuch 2/65: Satz von Steiner
Translation
x
m
qk
k
m
Rotation
ϕ
JA
D
q
D
JA
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
61
Hohlzylinder:
JA = JS + mr 2 = mr 2 + mr 2 = 2mr 2
√
Da Schwingungsdauer T ∝ J gilt:
p
√
TA /TS = JA /JS = 2
Physikalisches Pendel:
A
ϕ
l
MA = −FG l = −mgs · sin ϕ ≈ −mgs · ϕ
s
Bewegungsgleichung (2. Newtonsches Prinzip für Rotation):
S
FG
JA · ϕ̈ = −mgs · ϕ
mgs
ϕ̈ +
·ϕ = 0
JA
Lösung: Harmonische Schwingung mit
ω=
r
mgs
,
JA
T = 2π
s
JA
mgs
Vergleich mit mathematischem Pendel (siehe Seite 28): Welche Länge hat mathematisches Pendel mit gleicher Schwingungsdauer?
s
s
JA
l∗
= 2π
T = 2π
mgs
g
Reduzierte Länge:
l∗ =
JA
JS
=
+s
ms
ms
Versuch 2/66: Reduzierte Pendellänge
Stab: JS =
1
ml2 .
12
• s = l/2: JA =
1
ml2
12
+m
1 2
l
2
= 13 ml2
1
ml2
JA
2
3
= 1
l =
= l
ms
3
ml
2
∗
62
KAPITEL 2. MECHANIK
• s = l/6: JA =
1
ml2
12
+m
1 2
l
6
= 19 ml2
l∗ =
2.6.9
1
ml2
JA
2
= 91
= l
ms
3
ml
6
Drehimpuls und Drehimpulserhaltung
Drehimpuls für
Teilchen auf Kreisbahn:
m
r
v
Drehimpuls (Definition):
L := r · p = mvr = m(ωr)r = mr 2 ω = J · ω
Teilchen auf beliebiger Bahn (vektorielle Schreibweise):
Drehimpuls L bezüglich Ursprung:
L = mvr⊥ = mvr sin β
m
r
β
v
Vektoriell:
~ = ~r × ~p = ~r × m~v
L
~ steht senkrecht auf ~r und ~v.
Drehimpuls L
Gesamtdrehimpuls für starren Körper:
ω
A
mj
rj
LAj = ∆mj rj2 ω
X
X
LA =
LAj =
∆mj rj2 ω
j
= JA ω
Einheit:
[L] = 1 kg m2 s−1 = 1 N m s
2. Newtonsches Axiom:
j
(2.77)
2.6. MECHANIK DES STARREN KÖRPERS
63
Das resultierende Drehmoment, das von außen auf ein System wirkt, ist gleich der
zeitlichen Änderung des Drehimpulses des Systems:
~
~ a = JA ω̇ = d (JA ω) = dL
(2.78)
M
dt
dt
(JA = const.).
Versuch: 2/79: Präzession eines Radkreisels
Bem. 2.35 Dies gilt auch für beliebige Systeme von Punktteilchen, da die Summe der inneren Drehmomente stets null ist (nach ähnlichem Argument wie in Abschnitt 2.5.1).
Ist die Summe der äußeren Drehmomente null, gilt der
Drehimpulserhaltungesatz:
~
dL
~ = const.
= 0, L
(2.79)
dt
Wenn das resultierende äußere Drehmoment gleich null ist, dann ist der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant.
~a=0
M
⇒
Versuch 2/71: Drehimpulssatz (Erhaltung der Richtung)
Versuch 2/72: Drehimpulssatz bei fester Drehachse
Versuch 2/73: Drehimpulssatz bei veränderlichem Trägheitsmoment
Ls = Js1 ω1 = Js2 ω2
Abgeschlossenes System (keine resultierende Wechselwirkung nach außen):
~a=0
F~ a = 0, M
Versuch 2/74: Drehung durch innere Kräfte
Analogie:
Translation
Rotation
Masse - Trägheitsmoment
Impuls - Drehimpuls
Kraft - Drehmoment
2. Newtonsches Axiom
Arbeit
Leistung
kinetische Energie
m
px = mvx
Fx
Fx = Rdpdtx = max
W = Fx dx
P = Fx · vx
Ekin = 21 mvx2
JA
LA = JA ω
MA
MA =R dLdtA = JA α
W = MA dϕ
P = MA · ω
Erot = 21 JA ω 2
64
KAPITEL 2. MECHANIK
Versuch 2/77a: Kofferkreisel
2.7
Beschleunigte Bezugssysteme
2.7.1
Bewegungsgleichungen im bewegten Bezugssystem
Bisher betrachtet: inertiales Bezugssystem Σ: x, y, z
nur eingeprägte Kräfte, (z. B. Gewichtskraft)
Newtonsche Axiome gelten.
Bem. 2.36 Bisher haben wir implizit angenommen, dass wir uns als Beobachter in
einem Inertialsystem befinden. In diesen Bezugssystemen gelten die Newtonschen
Axiome und es treten nur durch fundamentale Wechselwirkungen eingeprägte Kräfte
auf. Es ist oft gar nicht so einfach zu entscheiden, ob man sich in einem Inertialsystem befindet oder nicht. Um dies zu überprüfen, muss man experimentell zeigen,
dass es außer eingeprägten Kräften keine weiteren (Trägheits-)kräfte mehr gibt.
Bem. 2.37 Da sich die Erde dreht, bewegt sich jeder Punkt beschleunigt auf einer
Kreisbahn. Die Erde ist daher kein Inertialsystem. Oft (aber nicht immer!) ist die
Abweichung durch die Trägheitskräfte jedoch so gering, dass man sie vernachlässigen
kann. Die Erddrehung manifestiert sich zum Beispiel durch die Drehung der Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels relativ zur Erde (siehe Abschitt 2.7.4).
Jetzt betrachtet: bewegtes Bezugssystem Σ′ : x′ , y ′, z ′
Newtonsche Axiome sollten gelten
welche Kräfte werden beobachtet?
′
a) Σ bewegt sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit:
Beispiel: Fahrender Eisenbahnwagen
Σ
Σ’
v=0
v = const.
2.7. BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
P ′
Pendel:
F~ = 0, ~vp′ = 0
Fall: F~ ′ = −mg, ~v0′ = 0
(senkrechter Fall)
65
P
Pendel:
F~ = 0, ~vp = ~v
Fall: F~ = −mg, ~v0 = ~v
(Wurfparabel)
2. Newtonsches Axiom gilt in bisheriger Form:
Bezugssysteme, die mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegt
sind, sind nicht zu unterscheiden: In ihnen gilt dieselbe Physik. Ist die Bewegung innerhalb eines dieser Bezugssysteme nur von eingeprägten Kräften
bestimmt, gilt dies auch für die anderen Bezugssysteme: Sie alle sind dann
Inertialsysteme.
Bem. 2.38 Beachte, dass die Bewegungen in beiden Bezugssystemen verschieden sind. Allerdings werden Sie durch dieselben Kräfte und die Newtonschen
Bewegungsgleichung aber mit verschiedenen Anfangsbedingungen beschrieben.
b) Σ′ bewegt sich beschleunigt zu einem Inertialsystem:
Begleitmaterial: Parabelflug mit Hund
Beispiel: abgebremster Eisenbahnwagen
Σ’
g
Σ′ : Beobachtung zusätzlicher Kräfte:
Trägheitskräfte!
Σ: Beobachter sieht Bewegung unter Beschleunigung ~a, aber keine
zusätzlichen Trägheitskräfte.
a
Trägheitskräfte wirken auf Körper, die von einem beschleunigten Bezugssystem aus betrachtet werden. Sie sind der Beschleunigung des Bezugssystems
entgegengerichtet und können nur von einem mitbeschleunigten Beobachter
wahrgenommen werden.
Kräfte im beschleunigten Bezugssystem:
Das 2. Newtonsche Prinzip soll in Σ und Σ′ (translatorisch beschleunigt) gelten:
66
KAPITEL 2. MECHANIK
~s(t): Bewegung von Σ′ gegen Σ:
y’
y
~r = ~r′ + ~s
r’
r
Beschleunigung:
x’
s
~¨r = ~r¨′ + ~¨s,
(2.80)
x
wobei ~¨s = ~a die Beschleunigung der Bewegung des Bezugssystems Σ′ ist.
Da Σ ein Inertialsystem ist, gilt das 2. Newtonsche Prinzip mit eingeprägten
Kräften F~ :
m~¨r = F~
Einsetzen von (2.80) liefert:
F~ = m~¨r = m~r¨′ + m~a
(2.81)
Nun soll auch in Σ′ das 2. Newtonsche Prinzip gelten:
m~r¨′ = F~ ′
Einsetzen von (2.81) liefert
F~ = F~ ′ + m~a
F~ ′ = F~ − m~a = F~ + F~T ,
wobei die Trägheitskraft F~T durch
F~T = −m~a
gegeben ist.
Die Kraft auf einen Körper in einem beschleunigten Bezugssystem ist gleich
der Summe aus eingeprägter Kraft und Trägheitskraft.
Begleitmaterial: Fallturm in Bremen
2.7.2
Trägheitskraft bei geradliniger Beschleunigung
Versuch 2/87: Trägheitskraft im abrollenden Fahrzeug
2.7. BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
67
Σ′ : Bezugssystem im abrollenden Wagen. Klotz auf Wagen hat Masse m.
FT
Beschleunigung des Wagens:
g
a = g sin β = const.,
FG
A
bei Vernachlässigung der Rotation der Räder
(siehe Abrollen auf schiefer Ebene auf Seite
57).
Fz
β
a) Wagen wird festgehalten: Σ′ unbeschleunigt. Es gibt keine Trägheitskraft. Gravitationskraft erzeugt Drehmoment um Kante A des Klotzes: Klotz kippt.
b) Wagen rollt ab und wird mit
a = g sin β
beschleunigt. Im Bezugssystems Σ′ wirkt auf den Klotz entlang der Bewegungsrichtung die zusätzliche Trägheitskraft
FT = −mg sin β
Kräfte im beschleunigten Bezugssystem:
F~ ′ = F~G + F~z + F~T = F~N + F~z = 0.
Normalkraft wird durch Zwangskraft kompensiert. Klotz ruht im beschleunigten Bezugssystem.
Bem. 2.39 Betrachtung im ruhenden Bezugssystem Σ: Auf Körper wirkt beschleunigende Kraft FG sin β entlang der schiefen Ebene. Gleichzeitig wird Wagen mit derselben Beschleunigung bewegt. Zwischen Klotz und Wagen wirkt keine Kraft in Richtung der schiefen Ebene: Kein Drehmoment um Schwerpunkt
des Klotzes: Reine translatorische Beschleunigung.
2.7.3
Zentrifugalkraft
Betrachtung der Rotation eines Teilchens mit Masse m:
a) Vom ruhenden Bezugssystems Σ aus betrachtet:
68
KAPITEL 2. MECHANIK
Σ: Teilchen bewegt sich auf Kreisbahn. Eingeprägte Kraft:
ω
v
m
Fr = −mω 2 r
Fr
b) Vom mitbewegten Bezugssystem Σ′ aus betrachtet:
ω
Σ’
Σ′ : Teilchen in Ruhe: Trägheitskraft kompensiert Zentralkraft Fr :
X
F~ ′ = 0
X
F ′ = Fr + FT = −mω 2 r + FT = 0
m Fz
Fr
FT heißt Zentrifugalkraft Fz :
Fz = mω 2 r
Vektordarstellung [siehe Gl. (2.9)]:
F~z = −F~r = −(m~ar ) = −m~ω × (~ω × ~r)
~r
= mω 2 r ·
r
Versuch 2/90: Zentrifugalkraft
Beispiel: Rotor auf Jahrmarkt:
Fz
• Inertialsystem:
Normalkraft F~N zwingt Person auf Kreisbahn.
• Rotierendes Bezugssystem:
Person ist in Ruhe: Normalkraft wird durch
Zentrifugalkraft kompensiert:
F~N + F~z = 0
Versuch 2/93: Stabil umlaufender Gummiring
2.7. BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
2.7.4
69
Corioliskraft
Weitere Trägheitskraft im rotierenden Bezugssystem: Tritt auf, wenn sich ein Körper
bewegt (~v ′ 6= 0).
Film: Corioliskraft (Begleitmaterial)
Bem. 2.40 Eine geradlinige Bewegung ist vom rotierenden Bezugssystem aus gesehen keine geradlinige Bewegung mehr. Die resultierende Beschleunigung wird durch
die Corioliskraft beschrieben.
Σ:
y, y’
y
x, x’
Σ’: y’
0 1234 x
y’
1∆t
2∆t
3∆t
2
y’
4∆t
x’
x’
x’
x’
1
y’
3
4
Im ruhenden Bezugssystem Σ: Geradlinige Bewegung: F~ = 0
Im rotierenden Bezugssystem Σ′ : Beobachtung jeweils nach einer Zeit ∆t. Relativ
zum rotierenden Bezugssystem ist Bahnkurve gekrümmt:
Beschleunigung erzeugt durch Corioliskraft F~c :
Vektordarstellung:
F~c = 2m~v ′ × ~ω
Richtung von F~c : Senkrecht auf ~ω und ~v ′
70
KAPITEL 2. MECHANIK
ω
im obigen Beispiel
v’
Fc
Betrag:
Fc = 2mv ′ · ω · sin(~v ′ , ~ω )
Versuch 2/97: Corioliskraft bei fliegendem Geschoss
Beispiel: Jet-Stream auf der nördlichen Halbkugel
Bem. 2.41 Wie kommt man auf die Corioliskraft? Im Folgenden möchte ich Ihnen vorrechnen, wie die Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem zustande kommen. Diese Rechnung geht jedoch über den Prüfungsstoff hinaus und ist hier nur als
zusätzliche Information gedacht.
Die Koordinatendarstellung in einem rotierenden Koordinatensystem in der Ebene
kann durch die Multiplikation mit einer zeitabhängigen Drehmatrix M(ϕ) = M(ωt)
beschrieben werden:
′ x
cos ωt sin ωt
x
= M(ωt) · ~r′ (t).
~r(t) =
=
·
y′
y
− sin ωt cos ωt
Dabei sind ~r(t) die Koordinaten im Inertialsystem Σ und ~r′ (t) die im rotierenden
Bezugssystem Σ′ . Die erste Ableitung liefert die Geschwindigkeit ~v:
′ ′ vx
cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
x
+
·
~v (t) =
ω·
vy′
− sin ωt cos ωt
y′
− cos ωt − sin ωt
2.7. BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
= ω
71
dM
(ωt) · ~r′ (t) + M(ωt) · ~v ′ (t)
dϕ
Auf der rechten Seite wurde die Produktregel verwendet, da M(ϕ = ωt) und ~r′ beide
von der Zeit abhängen. Man beachte auch die Kettenregel bei der Zeitableitung von
M(ωt).
Eine weitere Zeitableitung liefert die Beschleunigung ~a(t):
′ x
− cos ωt − sin ωt
2
ω ·
~a(t) =
y′
sin ωt − cos ωt
′ vx
− sin ωt cos ωt
+2
ω·
vy′
− cos ωt − sin ωt
′ ax
cos ωt sin ωt
·
+
a′y
− sin ωt cos ωt
dM ′
~v + M(ωt)~a′ (t)
= −ω 2 M(ωt)~r′ + 2ω
dϕ
Auflösen nach ~a′ (t) durch Multiplikation von links mit der inversen Drehmatrix
M −1 (ωt) (Dies entspricht dem Übergang in das rotierende Bezugssystem):
cos ωt − sin ωt
− sin ωt cos ωt
~a (t) = ω ~r + 2ω
~v ′ + M −1 (ωt)~a(t)
sin ωt cos ωt
− cos ωt − sin ωt
0 1
2 ′
= ω ~r + 2ω
~v ′ + M −1 (ωt)~a(t)
−1 0
′
2 ′
= ω 2~r′ + 2~v ′ × ~ω + M −1 (ωt)~a(t)
Der erste Term auf der rechten Seite ist die Zentrifugalbeschleunigung, der zweite die
Coriolisbeschleunigung und der dritte die Beschleunigung durch eingeprägte Kräfte,
die auch im Inertialsystem Σ zu einer Beschleunigung ~a führen.
72
KAPITEL 2. MECHANIK
2.8
Ruhende Flüssigkeiten und Gase
Wechselwirkung von Atomen und Molekülen:
Kraft F (r) abstandsabhängig: Wechsel von
abstoßend zu anziehend mit steigendem Abstand r.
F (r0 ) = 0: Gleichgewichtsabstand.
Um r0 : Kraft linear
F = −k(r − r0 )
Makroskopisch macht sich das als Hookesches Gesetz bemerkbar.
• Festkörper: Atome an festen Positionen
• Fluide:
– Flüssigkeiten: Atome können seitlich gegeneinander verschoben werden.
Abstand im Mittel ist fest. Daraus resultiert nahezu konstantes Volumen.
Die Beweglichkeit der Atome ermöglicht eine Anpassung an Randbedingungen, z. B. Wand eines Gefäßes.
– Gase: Atome sind nahezu frei beweglich, auch ihr Abstand kann sich
ändern. Volumen passt sich den Randbedingungen an.
2.8.1
Dichte, Druck und Kompressibilität
Wichtiges gedankliches Hilfmittel: Volumenelement.
Massenelement ∆m nimmt das Volumen ∆V ein:
Dichte:
ρ=
∆m
,
∆V
Einheit: [ρ] =
[∆m]
kg
= 3
[∆V ]
m
Dichte kann von Ort zu Ort schwanken, insbesondere bei Gasen (z. B. die Luft in
der Atmosphäre). Definition der Dichte:
∆m(~r)
dm
=
(~r)
∆V →0 ∆V (~
r)
dV
ρ(~r) = lim
(2.82)
2.8. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
73
Bem. 2.42 Der Grenzwert ist im Widerspruch zur atomaren Struktur der Materie. Auf makroskopischer Skala wirken Fluide jedoch wie ein Kontinuum. Näherung:
Fluidmechanik vernachlässigt atomare Struktur (Kontinuumslimes). Das Verhalten
auf kleiner (atomarer) Skala wird nicht durch Fluiddynamik beschrieben.
Statischer Druck (ohne Schwerefeld, z. B. in einem Behälter im All):
Kraft F~ wirkt senkrecht auf den Stempel mit Fläche A:
F
A
p=
F
A
Einheit:
p
[p] =
[F ]
N
= 1 2 = 1 Pa (Pascal)
[A]
m
Frage: Ist der Druck gerichtet?
Versuch 2/119: Allseitigkeit des Drucks
Versuch 2/121: Allseitigkeit des Drucks (Modellversuch)
Satz von der Allseitigkeit des Drucks in Flüssigkeiten und Gasen:
Der Druck in einer Flüssigkeit oder in einem Gas ist nicht abhängig von der Stellung
der Fläche, auf die er ausgeübt wird.
Grund: Freie Verschiebbarkeit der Flüssigkeits- oder Gasatome oder -moleküle.
Hydrostatik: Es darf nichts fließen.
Würfelförmiges Volumenelement:
Angenommen:
Fz
Fz > Fx = Fy
Fy
Fx
Fx
Fy
Flüssigkeit fließt seitlich ab. Volumen wird plattgedrückt. ⇒ Widerspruch zur Statik! Daher:
Fx = Fy = Fz
Fz
Wegen Ax = Ay = Az ist auch der Druck in alle Richtungen gleich:
px = py = pz = p
74
KAPITEL 2. MECHANIK
Frage: Wie verteilt sich der Druck räumlich?
Betrachte wieder kleines Volumenelement:
Kraft in x-Richtung:
Fges = Fx (x) − Fx (x + ∆x)
= p(x)∆y · ∆z − p(x + ∆x)∆y · ∆z
3
dp
= p(x) − p(x) + ∆x ∆y · ∆z
dx
dp
= − ∆x∆y∆z
dx | {z }
z+∆z
Fx(x)
z
yx
Fx(x+∆x)
y+∆y
x+∆x
=∆V
Wenn Fges 6= 0: ⇒ Volumenelement wird beschleunigt:
Fges = ∆ma
Widerspruch zur Hydrostatik!
⇒ Fges = 0
dp
=
Gleiches gilt für y- und z-Richtung: dy
Ort zu Ort nicht: Druck ist konstant!
⇒
dp
dz
=
dp
=0
dx
dp
dx
= 0. Der Druck p ändert sich von
Insbesondere: Äußerer Druck verteilt sich gleichmäßig: Pascal’sches Prinzip.
Kompressibilität:
Volumenabnahme durch Druckerhöhung bei Flüssigkeiten und Gasen:
∆V
= −κ · ∆p,
V
κ: Kompressibilität
(2.83)
Flüssigkeiten: Werden oft als inkompressibel betrachtet, da κ sehr klein.
Ideales Gas bei isothermer Kompression (siehe Abschnitt 3.3.1):
1
κT = ,
p
d. h., je kleiner der Druck p, desto leichter lässt sich das Gas komprimieren.
3
Hier wird der Druck bis zur ersten Ordnung in eine Taylorreihe entwickelt.
(2.84)
2.8. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
75
Ein Fluid heisst inkompressibel, wenn die Kompressibilität κ unter den gegebenen
experimentellen Bedingungen vernachlässigbar ist.
Bem. 2.43 Jedes Fluid ist strenggenommen komprimierbar, da es keine starren atomaren Abstände gibt. Dennoch kann es unter gegebenen experimentellen Bedingungen zu vernächlässigbar kleiner relativer Volumenänderung ∆V /V kommen und man
kann die Kompressibilität vernachlässigen.
Anwendungsbeispiel: Hydraulische Presse
Begleitmaterial: Betonzange
F1
A1
Druck konstant:
x2
x1
A2
p=
F2
F2
F1
=
A1
A2
⇒
F2 =
Falls A2 ≫ A1 ⇔ F2 ≫ F1 .
p
Wie weit bewegen sich die Stempel?
Stempel 1 verdrängt Volumen V1 = x1 · A1
Inkompressibilität: V1 = V2 = x2 · A2
⇒
x2 =
A1
x1
A2
Verrichtete Arbeit:
W2 = F2 · x2 =
A1
A2
F1 ·
x1 = F1 x1 = W1
A1
A2
Arbeit an beiden Stempeln gleich.
2.8.2
Schweredruck
Beispiel: Tiefseetauchen
Hydrostatischer Druck mit Eigengewicht der Flüssigkeit:
A2
F1
A1
76
KAPITEL 2. MECHANIK
z
0
Flüssigkeit inkompressibel (z. B. Wasser): Dichte
ρ = const.
g
Statisches Volumenelement: Kräfte müssen sich ausgleichen, damit es nicht beschleunigt wird (siehe auch Seite 74).
Masse des Volumenelements:
p(z+∆z)·A
∆m = ρ∆x∆y∆z
Gesamtkraft:
∆z
∆m·g
Fges = p(z) · A − p(z + ∆z) · A − ρ · g ∆x∆y ∆z
| {z }
=A
p(z)·A
= −
dp
· A∆z − ρg · A∆z
dz
(2.85)
dp
= −ρg
dz
(2.86)
Keine Beschleunigung: Fges = 0
⇒
0=−
dp
− ρg
dz
⇔
Druck ändert sich mit der Tiefe:4
Z z
Z z
dp ′
dz = −
ρgdz ′
′
dz
0
0
p(z) − p(0) = −ρgz
z
(2.87)
p(0)
0
p
Hydrostatischer Druck im Schwerefeld:
p(z) = −ρgz + p(0)
(2.88)
Druck unabhängig von x und y.
4
Die Koordinaten sind so gewählt, dass die Tiefe z innerhalb der Flüssigkeit negativ ist. Z. B.
eine Tiefe von 10740 m unter dem Meeresspiegel bedeutet z = −10740 m.
2.8. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
77
Versuch 2/122a: Schweredruck, Messung in beliebiger Tiefe.
Ebenso unabhängig von Form des Gefäßes:
∆z
Druck am Boden aller Gefäße gleich: Hydrostatisches Paradoxon.
Bem. 2.44 Die Bezeichnung hydrostatisches Paradoxon“ ist ein wenig irreführend,
”
da sie suggeriert, dass es dabei einen Widerspruch gäbe. Tatsächlich gibt es diesen
Widerspruch nicht, wenn man den Zusammenhang (2.88) kennt.
Bisher: Fluid (Flüssigkeit) inkompressibel.
4
Dies stimmt für ein Gas nicht mehr [siehe (2.84)].
Daher hängt die Dichte ρ wie auch p von der Höhe
z ab. Wenn man dem Rechnung trägt ergibt sich
z. B. die kompliziertere sogenannte barometrische
Höhenformel:
ρ0g/p0
3
2
áz
−
p(z) = p0 e
1
ρ0 g
z
p0
(für Isotherme)
(2.89)
(siehe Abschnitt 3.3.1)
0
0.0
0.4
p/p
0.8
0
Versuch 2/138: Modellgas im Schwerefeld
2.8.3
Auftrieb
Betrachte einen kleinen Würfel in der Flüssigkeit, dessen Auftriebskraft bestimmt
werden soll.
78
KAPITEL 2. MECHANIK
Kräfte auf seitliche Flächen sind stets entgegengesetzt und gleich groß. Der Druck unten ist höher
als oben gemäß (2.86):
p(z+∆z)·A
∆z
FA = [p(z) − p(z + ∆z)] A = ρFl g∆zA
= ρFl g∆V = ∆m · g
(2.90)
∆m·g
Auftriebskraft ist gleich der Schwerkraft der verdrängten Flüssigkeit!
p(z)·A
Ein beliebiger Körper lässt sich in Gedanken aus solchen kleinen Würfeln zusammensetzen, so dass obiges Ergebnis für jeden Körper gilt.
Versuch 2/123: Aufdruck
Archimedisches Prinzip:
Ein Körper, der teilweise oder vollständig in eine Flüssigkeit eingetaucht ist,
erfährt eine Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der verdrängten
Flüssigkeit ist.
Versuch 2/127: Archimedisches Gesetz
Bestimmung von Dichten von festen Körpern oder Flüssigkeiten mit Hilfe des Auftriebs:
Gemessen: Gewichtskraft des Körpers in Luft (FG,L ) und bei vollständigem Eintauchen in die Flüssigkeit (FG,F ).
FG,L − FG,F = mFl g = ρFl V g = ρFl
wobei ρK =
umgekehrt.
mK
.
V
mK
g,
ρK
Bei bekannter Dichte ρFl kann somit ρK bestimmt werden oder
Bem. 2.45 Hier wurde implizit angenommen, dass der Auftrieb in Luft im Vergleich
zu dem in der Flüssigkeit vernachlässigbar ist. Dies ist der Fall, wenn die Dichte der
Flüssigkeit viel größer ist als die der Luft (ρLuft = 1.2 · 10−3 g/cm3 ). Im Fall von
Wasser (ρ = 1 g/cm3 ) ist dies der Fall. Bei der Messung macht man dann einen
Fehler von etwa 0.1%. Möchte man die Dichte genauer bestimmen, muss der Auftrieb
der Luft mitberücksichtigt werden.
Bem. 2.46 Welche Dichte hat ein Zeppelin bzw. ein Heliumballon verglichen mit
der von Luft?
2.8. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
2.8.4
79
Grenzflächeneffekte
F
Oberflächenspannung resultiert aus anziehenden
Kräften F~ der Moleküle untereinander (Kohäsionskräfte).
Moleküle an der Oberfläche haben resultierende Kraft
in die Flüssigkeit hinein.
Ausstülpungen werden in Flüssigkeit hineingezogen ⇒ Glättung der Oberfläche.
Oberfläche wird minimiert.
Beispiel: Wassertropfen im Spaceshuttle
Versuch 2/151: Minimalflächen
Versuch 2/149: Wasserglocke
Um die Oberfläche zu vergrößern, muss Arbeit gegen die Kohäsionskräfte geleistet
werden:
Oberflächenenergie
Oberflächenspannung (spezifische Oberflächenenergie): Arbeit zur Vergrößerung der
Oberfläche um dA, bezogen auf dA:
σ=
dW
,
dA
Einheit: [σ] =
[W ]
J
N
= 2 =
[A]
m
m
Versuch 2/148: Messung der Oberflächenspannung
Messgröße: Kraft am Bügel, die notwendig ist, um Bügel
aus Flüssigkeit herauszuziehen.
F
∆s
l
σ=
∆W
F ∆s
F
=
=
∆A
2l∆s
2l
(2.91)
[Faktor 2, da zwei Flächen (Vorder- und Rückseite) gebildet werden.]
Grenzflächenspannung:
Wenn Flüssigkeit an einen anderen Stoff grenzt, werden die Flüssigkeitsmoleküle
auch vom anderen Stoff angezogen: Adhäsion.
80
KAPITEL 2. MECHANIK
Tropfen von Fluid 2 in Fluid 1 auf Festkörper 3:
3 Grenzflächenspannungen: Gleichgewicht liefert Form
Spezialfall: Fluid 1 ist Gas (z. B. Luft)
Fluid 1
σ12
ϕ
σ13
Fluid 2
σ23
⇒
Festkörper 3
σ13 = 0,
σ12 = σ
Gleichgewicht:
σ23 = −σ cos ϕ
(2.92)
Zwei Fälle:
• Adhäsion > Kohäsion: σ23 < 0 ⇒ Benetzung
• Adhäsion < Kohäsion: σ23 > 0 ⇒ keine Benetzung
Versuch 2/156: Kapillarwirkung
Adhäsionskräfte größer als Kohäsionskräfte:
Flüssigkeit steigt in Kapillare hoch.
F23
F ϕ
2r
h
ϕ gegeben durch Grenzflächenspannungen. Nach (2.91)
ist
F = σ12 · 2πr
Adhäsionskraft entlang der Kapillarwand nach (2.92)
F23 = F cos ϕ
wird kompensiert durch Gravitationskraft der hochgezogenen Wassersäule
FG = ρ · V · g = ρ · πr 2 h · g
Gleichgewicht:
!
σ12 2πr cos ϕ = F23 = FG = ρπr 2 hg
Kapillare Steighöhe [(2.93) nach h auflösen]:
h=
• Benetzung: ϕ < 90◦ , h > 0
• keine Benetzung: ϕ > 90◦ , h < 0
2σ12 cos ϕ
ρrg
(2.93)
2.9. STRÖMENDE FLÜSSIGKEITEN
2.9
81
Strömende Flüssigkeiten
Hydrodynamik von inkompressiblen Flüssigkeiten.
2.9.1
Beschreibung von Strömungen
Ruhende Flüssigkeiten wurden durch Dichte ρ(~r) und Druck p(~r) beschrieben. Bei
Bewegung der Flüssigkeit können diese Größen von der Zeit abhängen:
ρ(~r, t),
p(~r, t)
Zusätzlich muss die Bewegung der Flüssigkeit an jedem Ort beschrieben werden.
Dazu benötigt man noch zusätzlich die Geschwindigkeit an jedem Ort:
Strömungsfeld: ~v (~r, t)
Strömungsfeld:
Stromlinien:
Geschwindigkeitsfeld ist Vektorfeld:
An jedem Ort ist ein Geschwindigkeitsvektor
angeheftet.
Umströmung eines Zylinders
Versuch 2/159: Stromfadenapparat
Verschiedene Beschreibungen:
• Strömungsfeld: ~v (~r, t) Geschwindigkeit
am Ort ~r zur Zeit t.
• Stromlinien: Kurven mit Tangenten in
Richtung der Strömungsgeschwindigkeit. Bleiben bei stationärer Strömung
(~v (~r) unabhängig von t) zeitlich konstant.
• Bahn eines Teilchens im Zeitablauf:
Verfolge einzelnes Teilchen entlang des
Flusses. Teilchen folgt Stromlinie im
stationären Fall.
82
KAPITEL 2. MECHANIK
2.9.2
Strömung idealer Flüssigkeiten
Flüssigkeit ideal: Inkompressibel und reibungsfrei.
Inkompressibel: Volumenfluss I ist erhalten
I=
dV
= A · v = const.
dt
v2
z2
g
Differenz der Zustände durch Verschiebung von ∆m von [1,1’] nach [2,2’] beschrieben:
F2
v1
In Zeit ∆t bewegt sich Flüssigkeit im Intervall [1, 2] nach [1’, 2’].
F1
z1
∆m = ρ∆V = ρAv∆t
1 1’
2
2’
Energiebilanz: Kinetische Energie:
1
1
∆Ekin = ∆m v22 − v12 = ρ v22 − v12 ∆V
2
2
Potentielle Energie im Gravitationsfeld (z-Richtung entlang −~g ):
∆Epot = ∆mg(z2 − z1 ) = ρ(z2 − z1 )∆V
Arbeit, die von den Kräften F1 = p1 · A1 und F2 = p2 · A2 verrichtet wurden:
W1 = F1 · ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V
W2 = −F2 · ∆x2 = −p2 A2 ∆x2 = −p2 ∆V
Gesamte Arbeit:
Wges = (p1 − p2 )∆V
Wges = ∆Ekin + ∆Epot
Sortiere Größen am Ort 1 und Ort 2 jeweils auf eine Seite der Gleichung:
1
1
p1 + ρgz1 + ρv12 = p2 + ρgz2 + ρv22
2
2
2.9. STRÖMENDE FLÜSSIGKEITEN
83
Daraus resultiert die Bernoulligleichung:
1
p + ρgz + ρv 2 = const.
2
(2.94)
Statischer Druch p, Schweredruck ρgz und Staudruck 21 ρv 2 sind in der Summe erhalten.
Versuch 2/168: Bernoulligleichung bei Rohrströmungen
Versuch 2/170: Ball im Luftstrom
Versuch 2/173: Hydrodynamisches Paradoxon
Versuch 2/171: Anziehung zweier Kugeln in Strömung
2.9.3
Strömung realer Flüssigkeiten
In realer Flüssigkeit gibt es Reibung: Diese wird durch die Viskosität (Zähigkeit)
beschrieben.
Reibungskräfte wirken tangential zwischen Flüssigkeitsschichten.
Laminare Strömung: Schichten gleiten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ~v aneinander ab, ohne sich zu vermischen (Beispiel: siehe Versuch 2/159).
v(r)
n
Geschwindigkeitsfeld ~v(~r) führt zur Scherung:
dv
entlang
Reibung proportional zum Geschwindigkeitsgradienten dn
der Normalenrichtung ~n des Stapels und zur Fläche A der Schicht:
FR = η · A ·
dv
,
dn
Newtonsches Reibungsgesetz
(2.95)
Reibung wirkt reduzierend auf Geschwindigkeitsgradienten, d. h.,
Geschwindigkeit der linken Schicht wird reduziert, die der rechten
Schicht erhöht.
η: Koeffizient der inneren Reibung oder Viskosität
Einheit:
[η] = 1
Ns
= 1 Pa s
m2
Aus dem Newtonschen Reibungsgesetz kann die Reibungskraft für spezielle Strömungen
abgeleitet werden:
84
KAPITEL 2. MECHANIK
a) Laminare Durchströmung eines Rohres (Hagen-Poiseuillesches Gesetz)
Volumenstrom durch Rohr der Länge l und mit Radius r:
π(p1 − p2 ) 4
dV
=
r
dt
8ηl
Reibungskraft auf das Rohr bei mittlerer Strömungsgeschwindigkeit v̄:
FR = 8πηlv̄
b) Umströmung einer Kugel mit Radius r (Stokessches Gesetz):
FR = 6πηrv,
v: Relativbewegung der Kugel zur Flüssigkeit.
Versuch 2/164: Absinken einer Kugel in zäher Flüssigkeit
Kräftegleichgewicht:
FR
FG
g
v
Turbulente Strömung:
4
!
ρg πr 3 = ρV g = mg = FG = FR = 6πηrv
3
Auflösen nach v:
v=
2ρ 2
gr ∝ r 2
9η
2.9. STRÖMENDE FLÜSSIGKEITEN
85
Bei höheren Geschwindigkeiten bricht laminarer Strom ab und es kommt zur turbulenten Strömung:
Komplizierte Strömung mit vielen Wirbeln
auf verschiedenen Längenskalen.
Versuch 2/177: Wirbelkanone und Film
Es überwiegt dann Trägheit über Viskosität!
Charakteristische Größe: Reynoldszahl
Re =
ρlv
η
l ist dabei eine charakteristische Länge und
v eine charakteristische Geschwindigkeit des
Problems.
Bem. 2.47 Die Reynoldszahl ist eine sogenannte charakteristische Größe eines hydrodynamischen Problems. Sie ist besonders nützlich, wenn man die Strömung anhand eines Modells untersuchen will. Man muss dann die Untersuchung bei gegebener Reynoldszahl durchführen. Baut man das Modell zum Beispiel im Massstab 1:
10, d. h. reduziert die charakteristische Länge l um den Faktor 10, muss man die
Geschwindigkeit verzehnfachen, um (beim selben Fluid) dieselben hydrodynamischen
Bedingungen zu haben. In früheren Filmen wurde diese Regel oft missachtet, so dass
man sehen konnte, dass das Schiff als kleines Modell in der Badewanne sinkt und
nicht im Ozean.
Für ein Rohr setzt bei einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit v die turbulente
Strömung bei einer Reynoldszahl von Re = 2320 ein, wenn man als charakteristische
Länge den Durchmesser wählt.
2.9.4
Kräfte an umströmten Körpern
Umströmung eines Körpers (z. B. Kugel):
• ideale Flüssigkeit: Strömungsbild und Druck vor und hinter Kugel gleich: Keine
Kraft auf Kugel
• reale Flüssigkeit:
86
KAPITEL 2. MECHANIK
– Laminar (kleine Geschwindigkeiten): Reibungsbedingter Druckunterschied
führt zu Reibungskraft.
– Turbulent (große Geschwindigkeiten, kleine Zähigkeit): Verwirbelung um
den Körper.
Strömungswiderstand:
FW = cW
ρv 2
A,
2
wobei A angeströmte Fläche und cW Widerstandsbeiwert ist. cW hängt
von der Form des Körpers ab.
cW wird z. B. im Windkanal an Modellen ermittelt. Dafür ist
∗ geometrische Ähnlichkeit (gleiche Form),
∗ hydrodynamische Ähnlichkeit (Strömung bei gleicher Reynoldszahl)
notwendig.
Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung
treten auf bei Bewegung eines Körpers in einer Strömung, wenn
• Körper geeignete asymmetrische Form hat
Versuch 2/183: Zweikomponentenwaage
Auftrieb eines Flügels.
• Körper rotiert (Magnus-Effekt)
2.9. STRÖMENDE FLÜSSIGKEITEN
87
Wirbel erhöht Strömungsgeschwindigkeit auf Unterseite:
⇒ Unterdruck [siehe (2.94)]
Versuch 2/181: Magnus-Effekt im Wasser
Beispiel: Rotierender Fussball (Bananenflanke, siehe Begleitmaterial)
88
KAPITEL 2. MECHANIK
Teil II
Physik II
Sommersemester 2009
89
Kapitel 3
Thermodynamik
3.1
Temperatur und Wärme
Festkörper:
Fluid:
In Festkörpern und Fluiden gibt es eine
Vielzahl von Freiheitsgraden (siehe Abschnitt 2.6.1), wie z. B. die Schwingungsfreiheitsgrade der Atome im Festkörper,
oder die Bewegungsfreiheitsgrade von
Atomen und Molekülen im Fluid.
Führt man dem System zum Beispiel durch Kontakt mit einem anderen Körper
Energie zu, so verteilt sich diese auf die inneren Freiheitsgrade. Überlässt man den
Körper sich selbst, so verteilt sich die Energie im Mittel gleichmäßig auf alle diese
inneren Freiheitsgrade: Dann ist das System im sogenannten thermodynamischen
Gleichgewicht.
Wärme ist die ungeordnete Bewegung innerer Freiheitsgrade!
Versuch 4/59a: Modell der Brownschen Bewegung
Begleitmaterial: Film zur Brownschen Bewegung
Bem. 3.1 Im Fluid zum Beispiel stoßen Atome oder Moleküle untereinander und
tauschen ständig Energie untereinander aus. Daher ist die Energie in den einzelnen
Freiheitsgraden nicht konstant und fluktuiert um einen gemeinsamen Mittelwert. Im
Mittel, jedoch, ist die Energie in allen diesen mikroskopischen Freiheitsgraden gleich.
91
92
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Bem. 3.2 Bei der bisherigen Beschreibung des starren Körpers haben wir nur sehr
wenige Freiheitsgrade desselben betrachtet, nämlich die drei Translationen des Schwerpunkts und die drei Rotationen. Alle anderen Freiheitsgrade waren vernachlässigt (als
starr angenommen). Diese Näherung ist in der Mechanik oft ganz gut, stößt aber
zum Beispiel bei der Betrachtung der Reibung an ihre Grenzen, wo Energie von einem makroskopischen Bewegungsfreiheitsgrad auf viele mikroskopische Freiheitsgrade
übertragen wird. Dabei erwärmt sich der Körper.
3.1.1
Temperatur
Die Temperatur ist Maß für die mittlere kinetische Energie, die in jedem Freiheitsgrad
eines Körpers steckt.
Sie ist unabhängig davon, wie der Körper diese Energie bekommen hat:
Die Temperatur ist eine Zustandsgröße.
Sie ist eine weitere Basisgröße des SI neben Länge, Zeit und Masse (siehe Tabelle 1.1)).
Für die Festlegung einer Temperaturskala nutzt man folgende Tatsachen:
• Temperturabhängigkeit vieler physikalischer Eigenschaften, (z. B., Länge, Volumen, Leitfähigkeit).
Versuch 4/2a: Elektrischer Widerstand bei tiefen Temperaturen.
Versuch 4/3: Thermokolor
• Temperaturausgleich bei Kontakt von Körpern unterschiedlicher Temperatur:
Die beiden Körper gelangen ins thermodynamische Gleichgewicht:
Bem. 3.3 Im thermodynamischen Gleichgewicht haben alle Freiheitsgrade der
in Kontakt gebrachten Körper die gleiche mittlere kinetische Energie. Somit ist
auch die Temperatur beider Körper gleich!
Festlegung der Temperaturskala:
Zunächst Celsius-Skala (1742), definiert mit Hilfe des Flüssigkeitsthermometers:
Festlegung durch 2 Fundamentalpunkte (bei Normaldruck 1013 hPa)
3.1. TEMPERATUR UND WÄRME
93
100o C
0o C
100 gleiche Teile.
1 Teil entspricht 1◦ C
Eis-Wasser-Mischung
am Gefrierpunkt: 0o C
Kochendes Wasser
am Siedepunkt: 100o C
Durch thermische Ausdehnung der Flüssigkeit ergibt sich eine Temperaturabhängigkeit
des Flüssigkeitsstands:
l − l0
T =
· 100◦ C
l100 − l0
Die Skala hängt (bei gegebenem Thermometer) von der Flüssigkeit ab.
Gasthermometer:
Volumen V wird konstant gehalten:
T -abhängige Größe ist der Druck p.
Messung durch ein Manometer: Bestimmung der
Höhe h der Flüssigkeitsseule (z. B. Quecksilber)
p
Messung von p gegen T für kleine Gasmenge: Extrapolation zu p = 0
-273.15o
0
T
94
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Experiment deutet auf einen absoluten Nullpunkt der Temperatur hin.
Einführung der absoluten oder thermodynamischen Temperatur T (Lord Kelvin,
1848).
-273.15o C
0o C
273.16 K
0K
100o C
Fundamentalpunkt: Tripelpunkt des
reinen Wassers (Gas, Flüssigkeit und
Eis befinden sich im Gleichgewicht bei
◦
T T = 0.01 C, p = 611, 657 ± 0, 010 Pa).
Aus der Festlegung: TTr = 273.16 K folgt:
1 Kelvin ist der 273.16te Teil der thermodynamischen
Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.
Das Kelvin ist weitere SI-Einheit (Tabelle 1.1).
Umrechnung:
T [K] = (T [◦ C] + 273.15) K,
T = 0◦ C = 273.15 K
Die Definition der thermodynamischen Temperatur erfolgt über den Wirkungsgrad
des Carnot-Prozesses (siehe später Abschnitt 3.5.1).
Bem. 3.4 Am absoluten Nullpunkt ist die Energie aller Freiheitgrade eines Körpers
minimal: Alle Freiheitsgrade sind in Ruhe.
3.1.2
Thermische Ausdehnung fester und flüssiger Körper
Technologisch ausgesprochen wichtig: Muss bei der Konstruktion von Maschinen
unbedingt beachtet werden!
Festkörper:
Lineare Ausdehnung:
Versuch 4/4: Längenausdehnung beim Erwärmen
∆l
= α · ∆T,
l
α: Längenausdehnungskoeffizient
Einheit:
[α] = 1 K−1
3.1. TEMPERATUR UND WÄRME
95
Ist l1 bei T1 bekannt, lässt sich die Ausdehnung in einem bestimmten Temperaturbereich durch
l2 = l1 [1 + α(T2 − T1 )]
ausdrücken. α ist Materialkonstante und gilt nur in bestimmtem Temperaturbereich.
Beispiel: Für Aluminium bei 25◦ C ist α = 2.31 · 10−5 K−1 . (siehe Begleitmaterial:
Wärmeausdehnung der Concorde beim Überschallflug)
Volumenausdehnung (verbunden mit Längenausdehnung):
Betrachte Würfel:
V2 = l23 = l13 [1 + α(T2 − T1 )]3
= V1 1 + 3α(T2 − T1 ) + 3α2 (T2 − T1 )2 + α3 (T2 − T1 )3
≈ V1 [1 + 3α(T2 − T1 )] ,
da α sehr klein ist und daher der quadratische und kubische Term jeweils sehr klein
ist gegen den linearen.
∆V
= γ · ∆T,
V
γ: Volumenausdehnungskoeffizient
(3.1)
Der Volumenausdehnungskoeffizient γ hängt mit dem Längenausdehnungskoeffizienten
α zusammen:
γ = 3α
Flüssigkeiten: Volumenänderung gemäß (3.1) bei Anpassung an die Gestalt des Gefäßes!
Dies nutzt man beim Flüssigkeitsthermometer aus.
Beispiel: Volumenänderung für Quecksilber (Hg: lat. hydrargyrum) bei 25◦ C ist
γ = 1.81 · 10−4 K−1 .
Versuch 4/1: Volumenänderung beim Erwärmen
Anschauliche Erklärung für die Ausdehnung:
96
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Bei Erhöhung der Temperatur steigt die mittlere
Energie in den Freiheitsgraden des Systems.
Im Festkörper schwingen die Atome gegeneinander. Das Potential Ep ist nach größeren Radien r
flacher, so dass sich beim Schwingen mit mittlerer
Energie Ē der mittlere Radius r̄ gegenüber r0 zu
größeren Werten verschiebt.
r
E
In Flüssigkeiten verhält es sich ähnlich mit dem
mittleren Abstand der Atome oder Moleküle.
Versuch 4/5: Kontraktion von Gummi beim Erwärmen
Zugrichtung
Verknüpfungspunkte
Polymerketten
Gummi besteht aus Polymerketten, die an bestimmten Punkten miteinander verknüpft sind.
Dehnt man den Gummi in eine Richtung, so
werden die Ketten entlang dieser Richtung gestreckt.
Die thermische Bewegung der Ketten wirkt dieser Streckung entgegen. Bei Erhöhung der Temperatur wird die thermische Bewegung stärker
und die Ketten sind im Mittel stärker gekrümmt, was eine Verkürzung in der Zugrichtung zur Folge hat.
Dieses Beispiel soll zeigen, dass eine Temperaturerhöhung nicht immer mit einer
Ausdehnung einhergeht.
3.1.3
Wärmemenge und spezifische Wärmekapazität
Wärmemenge Q:
Wärme ist die Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschieds zwischen zwei Systemen übertragen wird.
Einheit:
[Q] = 1 J = 1 Ws = 1 Nm
1 cal = 4.1868 J, Kalorie ist keine SI-Einheit!
3.1. TEMPERATUR UND WÄRME
97
Wird einem festen oder flüssigen Körper Wärme zugeführt, so ist das mit einer T Erhöhung verbunden, falls kein Phasenübergang stattfindet:
Q = m · c · ∆T,
(3.2)
Dieser Zusammenhang definiert die spezifische Wärmekapazität c. Einheit:
[c] = 1
J
kg · K
Die spezifische Wärmekapazität c entspricht zahlenmäßig der Wärmemenge Q, die erforderlich ist, um m = 1 kg des entsprechenden Stoffes um ∆T = 1 K zu erwärmen.1
Die Wärmekapazität C eines Körpers ist:
Q = C · ∆T,
C := m · c,
[C] =
J
K
Oft wird auch die molare Wärmekapazität benutzt (Molwärme):
Q = nCm · ∆T,
[Cm ] = 1
J
mol · K
Dabei ist n die Stoffmenge in Mol (siehe Abschnitt 3.3.1 für die Definition dieser
SI-Einheit).
Spezifische Wärmekapazität c ist abhängig von:
• Temperatur T
• Davon, welche anderen thermodynamischen Größen variiert werden:
– Volumen V = const.: cV
– Druck p = const.: cp
Dies ist besonders wichtig bei Gasen.
Die spezifische Wärmekapazität lässt sich mit Hilfe der Kalorimetrie bestimmen.
Beispiel: Mischungskalorimeter
1
Die spezifische Wärme von Wasser wurde zur Definition der Kalorie benutzt: Sie ist definiert als
die Wärmemenge, die benötigt wird, um ein Gramm Wasser von 14.5◦ C auf 15.5◦ C zu erwärmen.
98
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
In einem isolierten Gefäß (mit bekannter Wärmekapazität Ck ) befindet sich Flüssigkeit 1 bei Temperatur T1 .
2
Ein
Körper
mit
unbekannter
spezifischer
Wärmekapazität c2 und Temperatur T2 6= T1 wird
in die Flüssigkeit eingetaucht.
1
Nach Einstellen des thermischen Gleichgewichts wird
Temperatur Tm der Flüssigkeit gemessen.
Komponente:
Flüssigkeit
Kalorimeter
Festkörper
Masse
m1
m2
Temperatur
T1
T1
T2
spez. Wärme
c1 (bekannt)
Ck (bekannt)
c2 (zu bestimmen)
Energiesatz (wenn andere Energieformen keine Rolle spielen):
Q(abgegeben vom Körper) = Q(aufgenommen v. Flüssigkeit u. Kalorimeter)
m2 c2 (T2 − Tm ) = m1 c1 (Tm − T1 ) + Ck (Tm − T1 )
m1 c1 + Ck Tm − T1
·
c2 =
m2
T2 − Tm
Versuch 4/10: Kalorimeter
3.1.4
Wärmemenge und Phasenumwandlung
Wärmezufuhr muss nicht zur Temperaturerhöhung führen, z. B. bei Phasenumwandlung.
Liegt nur eine Komponente vor, so existieren:
• gasförmige Phase
• flüssige Phase
• feste Phase(n): Beispiel: Eis (mind. 6 Phasen bei verschiedenen Drücken und
Temperaturen), Eisen (α-Eisen und γ-Eisen haben unterschiedliche Kristallstruktur)
Beispiel: Erwärmen von Wasser bei Normaldruck p0 :
Versuch 4/20a: Siedepunkt des Wassers
3.2. WÄRMEÜBERTRAGUNG
99
T
100o C Wärmezufuhr konstant.
Am Siedepunkt:
Q=m·q
Erwärmen:
T steigt
Sieden:
T konstant
t
q: spezifische Umwandlungswärme
Zwei Phasen eines Stoffes wandeln sich bei zusammengehörenden Druck- und Temperaturwerten ineinander um, solange sich die sonstigen Bedingungen nicht ändern.
Dabei wird eine Wärmemenge frei oder gebunden: Die Umwandlungswärme. Die
Umwandlungswärme heißt auch latente Wärme.
Versuch 4/21: Umwandlung fester Phasen
Atomistische Erklärung: Siehe Begleitmatrial
3.2
3.2.1
Wärmeübertragung
Mechanismen der Wärmeübertragung
a) Wärmeleitung: Energieübertragung ohne Stofftransport
• Festkörper: Schwingungen der Atome übertragen sich auf Nachbaratome,
Energieaustausch.
• Flüssigkeiten, Gase: Schnellere Bewegung der Atome und Moleküle im
wärmeren Teil des Fluids wird durch Stöße auf kältere Teile übertragen.
b) Konvektion: Energietransport gekoppelt an Stofftransport, zum Beispiel durch
Strömungen in einer Flüssigkeit. (Beispiel: Wasserkreislauf einer Zentralheizung)
c) Wärmestrahlung: Emission (Abstrahlung) und Absorption (Aufnahme) von
elektromagnetischer Strahlung. (Beispiel: Sonne als Energielieferant)
Meistens finden mehrere dieser Vorgänge gleichzeitig statt.
100
a
3.2.2
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Wärmeleitung
Versuch 4/15: Wärmeleitung in Stäben
a
Wärmefluss durch Festkörper (hier Betrachtung eines Metallstabs) im stationären
Zustand:
A: Querschnitt des Stabes
Isolation
experimentelles Ergebnis: Linearer TemperaturverT2
T1
lauf
T1 − T2 = ∆T
l
T
T1
Zugeführte Wärmemenge Q während der Zeitdauer t:
T2
A
Q = λ · · t · ∆T
l
x
λ: Spezifische Wärmeleitfähigkeit. Einheit:
J
W
=1
m·K·s
m·K
Wärmestrom: Pro Zeiteinheit durch den Zylinder fließende Wärmemenge
[λ] = 1
Q̇ =
dQ
,
dt
[Q̇] =
[Q]
J
=1 =1W
[t]
s
Im stationären Fall ist Q̇ konstant, wie im obigen Beispiel des Stabes:
Q̇ =
Q
,
t
Q̇ = λ ·
A
· ∆T
l
(3.3)
Bem. 3.5 Analogie zum Ohmschen Gesetz (Abschnitt 4). Das Ohmsche Gesetz sagt,
dass der elektrische Strom I in einem Leiter proportional zur angelegten Spannung
U und dem Widerstand R des Leiters umgekehrt proportional ist [siehe Gl. (4.20)
auf Seite 141]:
U
I=
R
Gleichung (3.3) kann in Analogie interpretiert werden:
Q̇ =
∆T
,
Rλ
Rλ =
1 l
·
λ A
Hier wird der Wärmestrom durch anlegen“ einer Temperaturdifferenz ∆T erzeugt,
”
wobei Rλ der Wärmeleitwiderstand ist.
3.3. IDEALES GAS
101
Beispiel: Aerogel hat extrem schlechte spezifische Wärmeleitfähigkeit (siehe Begleitmaterial)
Versuch 4/12: Wärmeübergang
Wärmeleitung in Luft sehr viel schlechter als in
Festkörpern und Flüssigkeiten:
Papier
T1
T
T1
Luft
Wasser
∆TLuft
∆TPapier
T2
λLuft ≪ λPapier
Stationärer Fall: Wärmefluss Q̇ konstant entlang zRichtung:
T2
z
Q̇ = λLuft
A
lLuft
∆TLuft = λPapier
A
lPapier
∆TPapier
(3.4)
lLuft hängt von vielen Details ab, z. B. von der Luftströmung, der Rauigkeit der
Oberfläche. Empirisch wird in diesem Fall oft der Wärmeübergangskoeffizient α =
λ/l gemessen. Das Experiment zeigt:
αLuft ≪
λPapier
lPapier
Daraus folgt zusammen mit (3.4), dass ∆TLuft sehr viel größer ist als ∆TPapier . Daher
hat das Papier nahezu die Tempertur des Wassers und entzündet sich nicht.
3.3
Ideales Gas
Wie der Name suggeriert, werden bei der Beschreibung eines idealen Gases einige
Idealisierungen gemacht, die in der Realität mehr oder weniger gut erfüllt sind:
• Atome oder Moleküle ohne Eigenvolumen: Ist umso besser erfüllt, je verdünnter
das Gas ist, d. h., je geringer seine Dichte ist.
• Keine langreichweitigen Kräfte zwischen den Atomen und Molekülen: Nur kurze
Stöße. Auch dies ist umso besser erfüllt, je verdünnter das Gas ist. Besonders
gut erfüllt für Edelgase (He, Ne, Ar, . . . ), da die Wechselwirkung der Edelgasatome besonders schwach ist.
102
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
3.3.1
Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Betrachte eine gegebene Gasmenge. Das homogene Gas kann beschrieben werden
durch (siehe auch Abschnitt 2.8.1)
• Dichte ρ oder bei vorgegebener Gasmenge durch Volumen V ,
• Druck p,
• Temperatur T .
Im thermischen Gleichgewicht hängen die Größen nicht von der Vorgeschichte ab:
V , p, T sind Zustandsgrößen, und beschreiben das Gas eindeutig. Wählt man
zwei dieser Größen, ist die dritte durch die sogenannte thermische Zustandsgleichung
festgelegt.
Z. B.: Sperrt man eine bestimmte Gasmenge bei gegebener Temperatur T in ein Gefäß
mit Volumen V ein, stellt sich der Druck p (beschrieben durch die Zustandsgleichung)
ein.
Im folgenden wird die Zustandsgleichung aus empirischen Beobachtungen abgeleitet.
Betrachte: Zustandsänderungen, bei denen eine Zustandsgröße konstant bleibt:
a) Isotherme Zustandsänderung: T = const.
p · V = p0 · V0 = const.
(3.5)
Gesetz von Boyle-Mariotte (benannt nach Robert Boyle und Edme Mariotte)
b) Isochore Zustandsänderung: V = const.
Druck proportional zur Temperatur:
p
p0
= const.
=
T
T0
2. Gesetz von Gay-Lussac (benannt nach Joseph Louis Gay-Lussac)
Versuch 4/18: Isochore Zustandsänderung von Gasen
Siehe auch Gasthermometer auf Seite 93.
(3.6)
3.3. IDEALES GAS
103
c) Isobare Zustandänderung: p = const.
Volumen proportional zur Temperatur:
V0
V
=
= const.
T
T0
(3.7)
1. Gesetz von Gay-Lussac (1802)
Aus diesen Gesetzen lässt sich die Zustandsgleichung ableiten:
Zustandsänderung von p0 , V0 , T0 nach p, V , T .
Da der Zustand nicht vom Weg abhängt, können wir die Zustandsänderung über
jeden beliebigen Prozess führen, insbesondere auch über eine beliebige Kombination
der drei oben beschriebenen.
1. Schritt: Isochore Zustandsänderung: V0 = const., T0 → T
aus dem 2. Gay-Lussacschen Gesetz folgt:
pT
p0
=
T
T0
⇒
pT =
T
p0
T0
2. Schritt: Isotherme Zustandsänderung: T = const., V0 → V
aus dem Boyle-Mariottschen Gesetz folgt:
pV = pT V0
⇒
pV =
T
p0 V 0
T0
Thermische Zustandsgleichung für ideales Gas:
pV
p0 V 0
=
=C
T
T0
Konstante C lässt sich zum Beispiel aus Normzustand bestimmen:
Tn = 0◦ C = 273.15 K,
pn = 1013.25 hPa
Das zugehörige Volumen Vn hängt von der Stoffmenge ab. Diese ist z. B. durch
• Masse m,
• Zahl der Teilchen (Atome oder Moleküle) N
(3.8)
104
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
• oder die Molarität n
bestimmt.
Das Mol als SI-Basisgröße für die Stoffmenge (Tabelle 1.1):
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht,
wie Atome in 12 g des Kohlenstoffnuklids 12 C enthalten sind.
Einheit:
[n] = 1 mol
Bem. 3.6 Ein Mol eines Stoffes enthält ≈ 6.022137 · 1023 Teilchen. Die Teilchenzahl
pro mol wird durch die Avogadro-Konstante NA ≈ 6.022137 · 1023 mol−1 bezeichnet.
Der Grund dafür, dass man gerade ≈ 6.022137 · 1023 Teilchen pro Mol betrachtet
ist der folgende: Ein Mol eines Stoffes hat eine Masse m, die gemessen in g gerade
zahlenmässig der Atommasse in atomaren Masseneinheiten u entspricht. Z. B.:
m1 mol
12
C = 12 g,
m1 Atom
12
C = 12 u
Eine atomare Masseneinheit u ist so gewählt, dass die Masse eines Atoms in u gemessen ungefähr zahlenmässig mit der Zahl der Kernteilchen (Protonen + Neutronen) übereinstimmt. Abweichungen kommen durch relativistische Effekte zustande,
die hier nicht diskutiert werden können.
Beispiel: Beamen bei Star Trek. Wieviel ist ein Mol? (Siehe Begleitmaterial)
Für ein ideales Gas ist bei Normalbedingungen das Molvolumen
Vmn = 22.41383
dm3
mol
Das Volumen einer Stoffmenge von n Mol nimmt also bei Normalbedingungen ein
Volumen von
Vn = n · Vnm
ein.
Damit lässt sich die Konstante C bestimmen:
C=
pn V n
pn Vnm
=n·R
=n
Tn
T
| {zn }
=:R
3.3. IDEALES GAS
105
R heißt molare Gaskonstante und hat den Wert:
R = 8.31451
J
mol · K
Damit lautet die Zustandsgleichung des idealen Gases:
p·V =n·R·T
(3.9)
Äquivalent dazu, kann man die Zustandsgleichung auch auf die Teilchenzahl N =
n · NA beziehen:
R
·T = N · k · T.
(3.10)
p·V =N ·
NA
|{z}
=k
Dabei ist k = 1.380662 · 10−23 KJ die sogenannte Boltzmann-Konstante.
Bem. 3.7 Die Boltzmann-Konstante k ist in der Thermodynamik sehr wichtig. Sie
gibt an, wie viel kinetische Energie pro (mikroskopischem) Freiheitsgrad im Mittel in
einem System steckt. Jeder Freiheitsgrad trägt dabei klassisch betrachtet im Mittel die
kinetische Energie Ekin = 21 kT . (Von dieser Regel gibt es bei niedrigen Temperaturen
Abweichungen, wenn quantenmechanische Effekte eine Rolle spielen.)
Auf die Masse m bezogen gilt
p·V =m·
R
·T = mR′ T,
mmol
| {z
}
(3.11)
=R′
wobei mmol die Molmasse des Gases ist.
Bem. 3.8 Im Gegensatz zu R und k, hängt R′ vom Gas ab und ist keine universelle
Konstante.
3.3.2
Zustandsänderungen des idealen Gases
Die thermische Zustandsgleichung gilt nur für Gleichgewichtszustände, d. h., für
Zustände, für die sich die Energie des Systems im Mittel gleichmäßig über alle Freiheitsgrade verteilt hat (siehe Seite 91).
Sobald man eine Zustandsgröße (p, V oder T ) ändert, gerät das System aus diesem Gleichgewicht. Zustandsänderungen können durch die Zustandsgleichung nur
106
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
beschrieben werden, wenn zu jedem Zeitpunkt nur kleine Änderungen des Zustands
stattfinden, sie also sehr langsam ablaufen:
Quasistatische Zustandsänderung
Darstellung der quasistatischen Zustandsänderung des Gases im p-V -Diagramm (bei
fester Gasmenge):
p
Gas gelangt quasistatisch auf angegebenem Weg vom Zustand 1 zum Zustand 2.
Jeder Punkt der Kurve stellt einen Gleichgewichtszustand
dar.
2
1
V
Spezielle Prozessführung (siehe auch 102):
a) Isobar: p = const.
p
T steigt
1
2
V
b) Isochor: V = const.
p
2
T steigt
1
V
c) Isotherm: T = const., p · V = const.
p
1
p∝
2
V
1
V
: Hyperbel
3.3. IDEALES GAS
107
d) Adiabatisch: Ohne Wärmeaustausch mit Umgebung
p
p · V κ = const.,
1
Ts
κ ist Adiabatenexponent:
gt
tei
Isotherme
Adiabate
2
κ=
V
cp
>1
cV
Versuch: 4/44 Pneumatisches Feuerzeug
Man beobachtet diese Erwärmung auch beim Aufpumpen eines Fahrradreifens:
Pumpe erwärmt sich nach mehrmaligem Pumpen merklich.
Kreisprozesse: Rückkehr an den Ausgangszustand
linksläufig
rechtsläufig
p
1
Isobare
p
2
Isochore
Adiabate
3
V
V
Beispiel: Wärmekraftmaschinen (Verbrennungsmotoren, Dampfmaschine), Kraftwärmemaschinen
(Kraftwerksturbinen, Kühlschrank, Wärmepumpe)
Versuch: 4/43a Kreisprozess
p
2
Isochore
3
Adiabate
4
1
Isobare
V
108
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
3.3.3
Ausdehnungsarbeit eines Gases
Quasistatischer Fall (System immer im Gleichgewicht):
Arbeit des Gases bei Verschiebung des Kolbens um ds:
A
dW = F~ · d~s = F ds = pAds = pdV.
p
(Siehe auch Abschnitt 2.9.2 auf Seite 82.)
s
Arbeit:
W =
Z
pdV
(3.12)
Vorzeichenkonvention:
• W > 0: System verrichtet Arbeit
• W < 0: Am System wird Arbeit verrichtet
Das Integral (3.12) entspricht anschaulich der Fläche unter der Prozesskurve im pV -Diagramm. Die geleistete Arbeit hängt von der Prozessführung ab:
p
p1 1
p2
V1
• A:
• B:
A
p
p1 1
2
B
p2 2
3
V2 V
V1
A
W =
B
W =
Z
Z
p
p1 1
3
V2 V
V2
p1 dV = p1
V1
V2
p2 dV = p2
V1
Z
Z
p2
V1
V1
dV = p1 (V2 − V1 ) > 0
V2
V1
dV = p2 (V2 − V1 ) > 0
• C: Isotherme: T = const.
⇒
3
V2 V
V2
Da p1 > p2 ist W A > W B .
pV = nRT
C
p(V ) = nRT
1
V
3.4. ERSTER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENERGIESATZ)
109
Einsetzen in das Integral (3.12) für die Arbeit:
C
W =
Z
V2
p(V )dV = nRT
V1
Z
V2
V1
V2
1
dV = nRT ln
>0
V
V1
Arbeit für die einzelnen Prozessführungen verschieden, obwohl Anfangs- und Endpunkt gleich sind:
W A 6= W B 6= W C
Daher heisst die Arbeit auch Prozessgröße. Sie ist keine Zustandsgröße!
Umgekehrte Prozessführung:
p
p1 1
B’
B’:
W
B′
=
Z
V1
V2
p2 2
3
V2 V
V1
p2 dV = −p2
Z
V2
V1
dV = −p2 (V2 − V1 ) < 0
Arbeit wird dem Gas zugeführt.
Kreisprozess: Kann periodisch durchlaufen werden, zum Beispiel von einer Maschine.
Zusammengesetzt aus C und B’:
p
p1 1
′
W = WC + WB > 0
C
p2
B’
V1
3.4
2
V2 V
Wird der Prozess in anderer Richtung durchlaufen, wird
dem System Arbeit zugeführt: W < 0.
Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Energiesatz)
Perpetuum Mobile I. Art: Maschine, die Arbeit verrichtet, ohne sich und seine Umgebung zu verändern.
Beispiel für Perpetuum Mobile: Siehe Begleitmaterial
Diese Maschine erzeugt Energie!
110
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Jahrhundertelange Erfahrung zeigt: Es gibt kein Perpetuum Mobile I. Art, d. h., es
kann keine Energie erzeugt oder vernichtet werden (nur umgewandelt).
Satz 3.1 (1. Hauptsatz der Thermodynamik) Es ist nicht möglich eine Maschine zu konstruieren, die Arbeit verrichtet, ohne diese Energie aus einer Quelle zu
schöpfen.
Satz von der Unmöglichkeit des Perpetuum Mobiles I. Art.
Siehe auch Energiesatz der Mechanik (Abschnitt 2.4.4).
3.4.1
Innere Energie
Ein System (z. B. ein Gas), hat eine bestimmte innere Energie U: Die gesamte Energie
aller Teilchen in dem System (z. B., kinetische, potentielle, magnetische, . . . ).
Diese innere Energie U hängt vom momentanen Zustand des Systems ab:
U ist Zustandsgröße
Durch Wechselwirkung mit seiner Umgebung kann das System Energie in unterschiedlicher Form aufnehmen und abgeben:
Q
U + ∆U
W
Q: umgesetzte Wärme
W : mechanische Arbeit
∆U: Änderung der inneren Energie
Bem. 3.9 Während die innere Energie eine Zustandsgröße ist, hängen Q und W
von der Prozessführung ab. Sie sind keine Zustandsgrößen, sondern Prozessgrößen.
Vorzeichenkonvention:
dQ > 0
dW > 0
zugefügte Wärme
vom System verrichtete Arbeit
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik kann nun auch wie folgt formuliert werden:
Satz 3.2 (1. Hauptsatz der Thermodynamik, 2. Variante) Die einem System
zugeführte Wärme dQ ist gleich der Summe der Änderung seiner inneren Energie
dU und der von ihm verrichteten Arbeit dW :
dQ = dU + dW
3.4. ERSTER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENERGIESATZ)
Für ein Gas (dW = p · dV ):
p
dQ = dU + p · dV
111
(3.13)
Wenn eine Maschine einen Kreisprozess durchlaufen hat, ist
sie wieder im Ausgangszustand. Da U Zustandsgröße ist, ist
∆U = 0 nach Umlauf. Daher ist zugeführte Wärme Q gleich
geleisteter Arbeit W :
Q=W
V
3.4.2
Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases
Wieviel Wärme Q muss man zuführen, um die Temperatur T des Gases zu erhöhen?
Hängt von Prozessführung ab, falls Wärmezufuhr mit Volumenänderung einhergeht,
da dann Arbeit vom System geleistet werden muss.
Einfachster Fall: Isochore Erwärmung (V = const., dV = 0). Nach (3.2) ist dann
dQ = mcV dT
(cV : Spezifische Wärmekapazität bei festem Volumen.)
1. Hauptsatz:
dQ = mcV dT = dU
Integration von T = 0 bis T liefert kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases:
U = mcV T
(3.14)
Die innere Energie U hängt nur von T und nicht von p und V ab.
Bem. 3.10 Dass die innere Energie beim idealen Gas nur von der Temperatur abhängt,
kann man sich leicht klar machen: Im idealen Gas haben die Atome oder Moleküle
konstante potentielle Energie, da sie sich (außer während sehr kurzer Stöße untereinander) kräftefrei bewegen. Die innere Energie des idealen Gases besteht daher
nur aus kinetischer Energie der Teilchen. Da die Temperatur direkt proportional zur
mittleren kinetischen Energie der inneren Freiheitsgrade ist, ist sie somit auch direkt
proportional zur inneren Energie. Die Proportionalitätskonstante ist mcV .
112
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Für einen allgemeinen Prozess des idealen Gases gilt nach (3.13) und (3.14):
dQ = m · cV · dT + p · dV
Beispiel: Isobarer Prozess (p = const., dp = 0):
dQ = mcp dT = mcV dT + pdV
(cp : Spezifische Wärmekapazität bei festem Druck.)
Benutze thermische Zustandsgleichung für ideales Gas (3.11)
pV = mR′ T
⇒
dpV + pdV = mR′ dT
und dp = 0:
mcp dT = mcV dT + pdV = mcV dT + mR′ dT = m(cV + R′ )dT
und daher
cp − cV = R ′
Um bei konstantem Druck p ein Gas um dT zu erwärmen ist mehr Wärme als bei V =
const. nötig. Bei konstantem Druck muss zusätzliche Arbeit geleistet werden.
Bem. 3.11 Aus obiger Beziehung hat Robert Mayer 1842 die Wesensgleichheit von
Wärme und mechanischer Arbeit und das mechanische Wärmeäquivalent (die Kalorie) abgeleitet.
Die genaue Messung des Wärmeäquivalents wurde von
James P. Joule 1845 mit Hilfe der in der Abbildung
gezeigten Maschine gemessen. Angetrieben von einem
Gewicht im Schwerefeld wurde das Schaufelrad in der
Flüssigkeit angetrieben. Die Erwärmung der Flüssigkeit
wurde gemessen und mit der Hubarbeit des Gewichts verglichen.
3.4.3
Spezielle Zustandsänderungen des idealen Gases
Betrachte nun Zustandsänderungen aus Abschnitt 3.3.2 im Lichte des 1. Hauptsatzes:
3.4. ERSTER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENERGIESATZ)
113
a) Isobar: p = const.
p
Alle Größen in
Q = ∆U + W
T steigt
1
ändern sich.
Isobare Prozesse sind besonders wichtig: Alle Prozesse, die
bei Atmosphärendruck ablaufen.
2
V
Daher Einführung einer Zustandsgröße (als Funktion von Zustandsgrößen), die
einfachere Darstellung ermöglicht:
Enthalpie: H = U + pV
Differential:
dH = dU + pdV + dpV = dU + pdV = dQ
mit dp = 0.
Zugeführte Wärme Q ist gleich der Änderung der Enthalpie ∆H:
Q = ∆H
b) Isochor: V = const.
p
2
W =
T steigt
1
V
Z
p · dV = 0
Zugeführte Wärme Q ist gleich der Änderung der Inneren
Energie ∆U:
Q = ∆U
c) Isotherm: T = const., p · V = const.
p
Nach (3.14) ist
1
∆U = 0
Zugeführte Wärme Q ist gleich der geleisteten Arbeit W :
2
Q=W
V
114
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
d) Adiabatisch: Ohne Wärmeaustausch mit Umgebung (Q = 0)
p
p · V κ = const.,
1
Ts
gt
tei
2
Isotherme
Adiabate
V
κ=
cp
>1
cV
Vom System geleistete Arbeit W stammt aus innerer Energie U:
W = −∆U
Adiabatisch Expansion (T2 < T1 ):
W = −∆U = mcV (T1 − T2 ) > 0
3.5
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik (Entropiesatz)
2. Hauptsatz der Thermodynamik legt die Richtung der von selbst (in Richtung
Gleichgewicht) ablaufenden Prozesse fest.
3.5.1
Carnotscher Kreisprozess
Betrachte periodisch arbeitende Wärmekraftmaschine:
• konstante Menge eines idealen Gases
• quasistatische Prozessführung (reversibel)
• keine Verluste (z. B. durch Reibung am Kolben)
Kreisprozess aus 4 Schritten (isotherme und adiabatische Zustandsänderungen)
isotherm:
Wärmereservoir
W
T
Gas
T = const.
∆U = 0
Q = W
a
3.5. ZWEITER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENTROPIESATZ)115
adiabatisch:
Wärmeisolation
W
Q = 0
W = −∆U
T1 → T2
Gas
p
A
T1
B
D
T2
C
V
a) isotherme Entspannung bei T1 :
Q1 = WAB =
Z
B
A
p · dV = mR′ T1 ln
VB
>0
VA
b) adiabatische Entspannung (T1 → T2 ):
WBC = −∆U = −mcV (T2 − T1 ) = mcV (T1 − T2 ) > 0
c) isotherme Kompression bei T2 :
Q2 = WCD =
Z
D
C
p · dV = mR′ T2 ln
VD
<0
VC
d) adiabatische Kompression (T2 → T1 ):
WDA = −mcV (T1 − T2 ) = −WBC < 0
Um den Kreisprozess richtig zu realisieren, müssen die Zustandsgrößen des Systems
für die Zustände C und D richtig gewählt werden:
• T1 , T2 : Vorgegeben durch Wärmebäder
116
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
• VA , VB : Beliebig wählbar
• VC , VD : Aus Adiabatengleichung T ·V κ−1 = const. für jede der beiden Adiabaten
vorgegeben:
VC
VB
=
(3.15)
VA
VD
Energiebilanz: (Adiabaten: W = WBC + WDA = 0, Q = 0)
Q=W
Q = Q1 + Q2
W = WAB + WCD
VB
VB
VC
= mR′ (T1 − T2 ) ln
= mR T1 ln
− T2 ln
>0
VA
VD
VA
′
Wirkungsgrad des Carnotschen Kreisprozesses:
Energieaufwand ist die bei hoher Temperatur zugeführte Wärmemenge Q1 :
ηC =
mR′ (T1 − T2 ) ln VVAB
Nutzarbeit
T1 − T2
W
=
=
=
<1
V
Energieaufwand
Q1
T1
mR′ T1 ln VAB
ηC =
T1 − T2
T1
(3.16)
Wärmepumpe und Kältemaschine (Kraftwärmemaschine: Umgekehrter Carnotprozess)
Energieflussschema:
Carnotprozess
umgekehrter
Carnotprozess
T1, Q1
T1, Q1
Arbeitsstoff
T2, Q2
W
Arbeitsstoff
T2, Q2
W
W < 0
Q2 > 0
Q1 < 0
3.5. ZWEITER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENTROPIESATZ)117
• Wärmepumpe:
Leistungsverhältnis:
εW
Q1 T1
>1
= =
W
T1 − T2
(3.17)
• Kältemaschine (z. B. Kühlschrank):
Leistungsverhältnis:
εW
Q2 T2
= =
W
T1 − T2
(3.18)
Versuch 4/46c: Manueller Heißluftmotor
Versuch 4/46: Heißluftmotor
Versuch 4/47: Wärmepumpe und Kältemaschine
Wärmebad T1
Wärmebad T2
T2
T1
Arbeitszylinder/-kolben
3.5.2
Verdränger V stellt
im Wechsel den
Kontakt zu den
Wärmebädern T1
und T2 her.
Verdränger V
Reversible und irreversible Vorgänge — zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Reversibler Prozess: Umkehrbar, d. h., Prozess kann rückgängig gemacht werden,
ohne dass irgendwelche Veränderungen zurückbleiben.
Beispiel: Reibungsfreie mechanische Bewegungen. (Pendelbewegung von einem
Wendepunkt zum anderen kann durch Zurückpendeln rückgängiggemacht werden. Das Pendel ist dann wieder im selben Zustand.) Der quasistatische thermodynamische Prozess ist auch umkehrbar. Dazu muss der Prozess allerdings
sehr langsam ablaufen (immer im Gleichgewicht).
118
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Irreversibler Prozess: Beim Rückgängigmachen bleiben Veränderungen zurück.
Beispiel: Temperaturausgleich zwischen zwei Körpern, Übergang ins thermische
Gleichgewicht. (Man beobachtet, dass sich die Temperatur ausgleicht, aber
niemals das umgekehrte. Rückgängigmachen lässt sich die Temperaturdifferenz
zum Beispiel durch eine Kältemaschine. Dafür ist dann aber äußere Arbeit
notwendig, d. h., es geht nicht ohne Veränderungen.)
Beispiel: Reibung: Mechanische Energie kann auf viele innere Freiheitsgrade
verteilt werden. Körper erwärmt sich auf Kosten der mechanischen Bewegung.
Die Umkehrung wird nie beobachtet: Rollender Ball kommt nach gewisser Zeit
zur Ruhe, aber es kühlt sich nicht plötzlich die Umgebung ab und der Ball
gerät wieder in Bewegung.
Beispiel: Verdunstung: Versuch 4/46b: Suffiente
Bem. 3.12 Irreversible Prozesse verlaufen immer nach demselben Muster: Die Energie weniger Freiheitsgrade wird auf eine größere Zahl verteilt, oder es stehen den
Freiheitsgraden plötzlich mehr Bewegungsmöglichkeiten zur Verfügung (Phasenraum
wird größer). Der Ausgangszustand ist dann einer unter sehr vielen anderen. Dass
er wieder durch Zufall angenommen wird, ist sehr unwahrscheinlich und wird daher
nicht beobachtet.
Beispiel: Gas ist in einem Teil eines Behälter eingeschlos(a)
sen (a). Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Gasteilchen dort zu treffen ist 1. Nimmt man nun die Trennwand
weg, so entspannt sich das Gas in den ganzen Behälter. Die
Moleküle bewegen sich zufällig zwischen den beiden Hälften
hin und her. Für ein Teilchen ist die Wahrscheinlichkeit (b)
in der einen Hälfte zu sein 12 , ebenso für jedes andere. Die
Wahrscheinlichkeit aber, dass alle N Teilchen wieder in der
ursprünglichen Hälfte sind, ist ( 12 )N . Diese ist sehr klein,
wenn N groß ist: Bei einem Mol Gasmoleküle ist es etwa:
6·1023
1
23
≈ 10−10 = 0. |00000 .{z
. . 00000} 1
2
1023 Nullen
Selbst wenn pro Sekunde alle Gasteilchen mehrmals zufällig von einer Hälfte in die
andere wechseln, dauert es viele Universenalter, bis sich zufällig alle in der einen
Hälfte aufhalten. (Betrachtungen wie diese sind Gegenstand der statistischen Thermodynamik, die in diesem Kurs nicht behandelt werden kann.)
3.5. ZWEITER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENTROPIESATZ)119
Die Beispiele zeigen: Es existieren irreversible Prozesse
Satz 3.3 (2. Hauptsatz der Thermodynamik) Ummöglichkeit des Perpetuum Mobiles 2. Art: Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts weiter leistet,
als einem Wärmespeicher Wärme zu entziehen und diese in mechanische Arbeit umzusetzen.
Der Ball im obigen Beispiel (Seite 118) wäre ein solches Perpetuum Modile 2. Art.
Wegen der Unmöglichkeit des Perpetuum mobile 2. Art folgt auch:
Satz 3.4 (Wirkungsgrad reversibler Prozesse) Der Wirkungsgrad einer jeden
reversibel zwischen zwei Wärmespeichern mit den Temperaturen T1 und T2 arbeitenden Wärmekraftmaschine ist kleiner oder gleich dem des Carnotprozesses.
Beweis: Annahme ηrev > ηC
Damit lässt sich folgendes Perpetuum Mobile 2. Art konstruieren:
1. reversibler + 2. umgekehrter = Perp. Mob.
Prozess
Carnotprozess
2. Art
T1,
T < T1, Q1
T1, Q’1
Q1-|Q’1|
W
T > T2, Q2
W’
W-|W’|
Folgerung: Annahme falsch!
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
T2, Q2
Daher folgt:
ηrev ≤ ηC
Der Wirkungsgrad reversibler Prozesse zwischen denselben Wärmebädern ist bestenfalls gleich dem des Carnotprozesses!
Bem. 3.13 Der umgekehrte Prozess geht sehr wohl: Es ist ohne weiteres (zum Beispiel durch Reibung) möglich, mechanische Arbeit vollständig in Wärme umzuwandeln.
Für beliebige irreversible Prozesse lässt sich zeigen:
Satz 3.5 Irreversibel zwischen zwei Wärmebehältern arbeitende Wärmekraftmaschinen
haben stets einen kleineren Wirkungsgrad als reversibel arbeitende:
ηirr < ηrev
120
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Damit folgt für alle möglichen Prozesse:
η≤
3.5.3
T1 − T2
,
T1
T1 > T2
(3.19)
Entropie
Einführung der Entropie als weitere Zustandsgröße. (Dadurch wird andere Formulierung des 2. Hauptsatzes möglich.)
Für einen beliebigen, zwischen 2 Wärmespeichern ablaufenden Kreisprozess gilt:
η=
W
Q1 + Q2
T1 − T2
=
≤
Q1
Q1
T1
damit wird:
Q1 Q2 < 0 : irreversible Prozessführung
+
= 0 : reversible Prozessführung
T1
T2
Wir nennen Q/T reduzierte Wärmemenge. Die Summe der reduzierten Wärme für
jeden Prozess ist immer kleiner oder gleich 0. T gibt dabei die Temperatur der
Wärmespeicher an, nicht die des Gases (Temperatur des Gases kann zum Beispiel
nicht richtig definiert sein, wenn der Prozess irreversibel ist (Nichtgleichgewicht).)
Erweiterung auf den Fall, in dem beliebig viele Wärmespeicher beteiligt sind:
I
I
X Qi
dQ
≤ 0,
≤ 0,
: Ringintegral
Ti
T
i
Reversible Prozesse:
Kreisprozess betrachtet: 1
p
(Weg a) (Weg b)
−→ 2 −→ 1
b
1
2
Z
2
1(a)
a
V
dQrev
+
T
Z
1
2(b)
(vgl. Carnotprozess auf Seite 115.)
Vertauschung der Integrationsgrenzen:
Z 2
Z 2
dQrev
dQrev
=
T
T
1(b)
1(a)
dQrev
=0
T
3.5. ZWEITER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENTROPIESATZ)121
Zustandsänderung von 1 nach 2 ergibt für beide (und für beliebige andere) Wege die
gleiche reduzierte Wärmemenge. Diese ist also für reversible Zustandsänderungen
eine Zustandsgröße.
Entropie S (Zustandsgröße)
dQrev
T
definiert über infinitesimale reversible Zustandsänderungen. Einheit:
dS =
[S] = 1
(3.20)
J
K
Entropiedifferenz zwischen zwei Zuständen:
∆S = S2 − S1 =
Z
1
2
dQrev
T
Adiabatische Zustandsänderung: dQrev = 0 → S = const.
Irreversible Prozesse:
Zusammenhang zwischen ∆S und reduzierter Wärmemenge?
Betrachtung eines Kreisprozesses, der einen irreversible Anteil enthält:
p
reversibel
b
1
2
a
irreversibel
V
I
dQ
< 0,
T
dQ
6= dS
T
Zustandsänderung von 1 nach 2: ∆Sirr ?
Zur Berechnung von ∆S ausnutzen, dass S Zustandsgröße ist: ∆Sirr = ∆Srev
Z 2
Z 1
I
dQ
dQrev
dQ
=
+
< 0
T
T
1(a) T
2(b)
Z 2
dQ
+ S1 − S2 < 0
1(a) T
Satz 3.6 (2. Hauptsatz, andere Formulierung) Bei einer beliebigen Zustandsänderung
ist der Entropiezuwachs stets größer als die Summe der reduzierten Wärmemengen:
Z 2
dQ
.
(3.21)
S2 − S1 ≥
T
1
Bei reversiblen Vorgängen ist er ihr gleich.
122
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Für ein abgeschlossenes System gilt:
dQ = 0
(kein Austausch mit der Umgebung.)
Bem. 3.14 Jedes System kann zum abgeschlossenen System gemacht werden, indem
man alle Körper dazunimmt, die mit ihm in Kontakt stehen, z. B. die Wärmebäder.
In diesem Fall gilt für den 2. Hauptsatz:
Satz 3.7 (2. Hauptsatz für abgeschlossenes System) Bei Zustandsänderungen
in geschlossenen Systemen kann die Entropie nur zunehmen oder (bei reversiblen
Prozessen) konstant bleiben.
S2 − S1 ≥ 0
Beispiel: Freie Expansion eines idealen Gases in ein Vakuum (thermisch isoliert)
(a)
Abgeschlossenes System:
V1
W = 0,
Q=0
1. Hauptsatz:
(b)
∆U = 0
V2
Ideales Gas: → T = const.
Berechnung von ∆S:
R
• Nicht über dQ
möglich, da nicht reversibel. Entropieänderung nur für reverT
sible Prozesse gleich dem Integral über die reduzierte Wärme (siehe Gleichung
3.20 der Definition der Entropie)).
• Berechne Entropieänderung aus beliebigem reversiblen Prozess von (a) nach
(b), z. B. isotherme Expansion (quasistatischer Prozess).
3.5. ZWEITER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK (ENTROPIESATZ)123
(a)
Qrev
U = const.
V1
W
1. Hauptsatz:
(b)
dQrev = dW = p · dV
V2
Z
(b)
dQrev
∆S =
=
2
T
(a)
V2
∆S = nR ln
>0
V1
Z
(b)
(a)
p · dV
= nR
T
Z
1
2
dV
V
(3.23)
Schlussfolgerungen:
a) ∆S > 0: Freie Expansion ist irreversibler Vorgang
b) nicht nutzbare Arbeit
Wn =
Z
(b)
(a)
p · dV = nRT ln
∆S ist ein Maß für die nicht nutzbare Energie.
(3.22)
V2
= T · ∆S
V1
124
KAPITEL 3. THERMODYNAMIK
Kapitel 4
Elektrizität und Magnetismus
4.1
Elektrostatik
4.1.1
Ladung und Stromstärke
Versuch 5/42b: Bandgenerator
Beobachtung: Aufladung und schliesslich Blitzentladung (siehe Begleitmaterial).
Ladung Q
Einheit:
[Q] = 1 C = 1 Coulomb
Eigenschaften:
• 2 Sorten von Ladungen:
Versuch 5/22a: Nachweis und Vorzeichen von Ladungen
Da sich die Ladungen kompensieren können, kann man von positiven und negativen Ladungen sprechen: +/−
Welche Ladung welches Vorzeichen hat, ist Definitionssache!
• Ladung ist quantisiert. Sie kommt nur in ganzzahligen Vielfachen einer Elementarladung vor:
e = 1.602 · 10−19 C
125
126
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Nachweis der Elementarladung zum Beispiel durch den Tröpfchenversuch von
Robert A. Millikan (Nobelpreis für Physik 1923).
Bem. 4.1 Viele elementare Bausteine der Materie tragen eine Ladung. Per
Konvention ist das Elektron mit qe = −e negativ geladen. In einem Atom
befinden sich Elektronen in der Atomhülle und umschwirren“ den positiv ge”
ladenen Atomkern. Die Kernteilchen, die die positive Ladung des Atomkerns
tragen, sind die Protonen (qp = e). Neben Ihnen gibt es noch neutrale Teilchen
im Kern, die Neutronen. Letztere tragen keine elektrische Ladung. Elektronen
und Atomkern werden durch elektromagnetische Kräfte zum Atom zusammengehalten. Im Atomkern ist neben elektromagnetischen Kräften auch noch eine
andere fundamentale Kraft wichtig: Die sogenannte starke Wechselwirkung hält
die Kernteilchen (Nukleonen, der Oberbegriff für Protonen und Neutronen) zusammen. Sie ist extrem kurzreichweitig und daher nicht mehr ausserhalb des
Kerns zu spüren.
Die Wechselwirkungen außerhalb des Atomkerns sind also elektromagnetischer
Natur. Die Elektrodynamik ist besonders wichtig, da sie auch die Wechselwirkung von Atomen untereinander und damit die Struktur der Materie bestimmt.
• Ladung ist an Materie gebunden. (Siehe auch Begleitmaterial.)
• Erhaltungssatz: Ladung ist in einem abgeschlossenen System erhalten.
• Makroskopisch beobachtete Ladung:
negative Ladungen = Elektronenüberschuss
positive Ladungen = Elektronenmangel
Stromstärke I:
Ladungen können sich bewegen. Dann fließt ein Strom:
I=
dQ
.
dt
Die Ladung dQ fließt in der Zeit dt durch eine gegebene Fläche A. Einheit:
[I] = 1 A = 1 Ampere = 1
C
,
s
⇔
1 C = As
Weil eine Stromstärke genauer zu messen ist, wurde das Ampere und nicht das Coulomb zur SI Basiseinheit gewählt:
4.1. ELEKTROSTATIK
127
Durch zwei geradlinige, unendlich lange, im Abstand von 1 m parallel
verlaufende Leiter (mit Durchmesser null) fließt ein Strom von 1 Ampere,
wenn der Strom eine auf beide Leiter wirkende Kraft von 2 · 10−7 N pro
Meter Länge hervorruft. Das Ampere ist weitere SI-Einheit (Tabelle 1.1).
Bem. 4.2 Diese Definition beruht auf der magnetischen Kraftwirkung zwischen den
beiden Strömen, die sich mit dem Durchflutungsgesetz (siehe Abschnitt 4.3.1) und
der Lorentzkraft (Abschnitt 4.3.2) erklären lässt.
Versuch 5/1: Kräfte zwischen parallelen Strömen
Transportierte Ladung:
Q=
Z
t2
I(t)dt
t1
Stromrichtung: In Richtung des Flusses positiver Ladungen, also von + nach −.
Der Strom ist immer an die Bewegung von Teilchen gebunden. Tragen diese jeweils
die Ladung q und bewegen sich mit Geschwindigkeit ~v, so kann die Stromdichte
~j = q · ~v · n,
n=
N
,
V
m 1
C
[~j] = C
=
s m3
sm2
(4.1)
eingeführt werden, wobei n die Dichte der Ladungsträger ist, d. h., ihre Zahl pro
Volumeneinheit.
Die Stromdichte gibt an, wie viel Ladung pro Zeit- und Flächeneinheit durch eine
Fläche senkrecht zur Geschwindigkeit ~v fließt.
Wichtige Größe in der Elektronik (siehe Begleitmaterial).
Bem. 4.3 Die Stromdichte ~j ist ein Vektorfeld ähnlich dem Geschwindigkeitsfeld
~v (~r, t) in der Hydrodynamik (siehe Seite 81).
~ ist durch
Der Strom dI durch die Fläche dA
~
dI = ~j · dA,
~ senkrecht auf der Fläche dA
gegeben, wobei dA
steht. Integriert man über eine beliebige Fläche A,
so ergibt sich der Strom:
Z
~
I = ~j · dA.
A
j(r)
dA
128
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Bem. 4.4 Die Stromdichte ~j ist eine lokale Eigenschaft und hat Vektorcharakter.
Der Strom I bezieht sich immer auf eine durchflossene Fläche A und ist ein Skalar.
4.1.2
Kräfte zwischen Ladungen
Versuch 5/33: Kräfte zwischen elektrischen Ladungen
Elektrostatische Kraft: Coulombsches Gesetz
2 Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand ~r12 :
F~12 =
Q2
F12
r12
Q1
F21
1
Q1 · Q2 ~r12
·
·
2
4πǫ0
r12
r12
(4.2)
Dabei ist
C2
Nm2
die sogenannte elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante (des Vakuums).
ǫ0 = 8.854 · 10−12
Bem. 4.5 Das Coulombgesetz, Gl. (4.2), ist analog zum Gravitationsgesetz (2.25)
auf Seite 26. Allerdings können die elektrischen Ladungen im Gegensatz zur Masse sowohl positiv als auch negativ sein. Während Gravitation immer anziehend ist
(beachte Vorzeichen in (2.25)), stoßen sich Ladungen mit gleichem Vorzeichen ab.
Solche mit entgegengesetztem Vorzeichen ziehen sich an.
Es gilt auch hier das 3. Newtonsche Prinzip (siehe Seite 21):
F~12 = −F~21
Die Kräfte von mehreren Ladungen auf eine gegebene Ladung addieren sich ungestört:
Superpositionsprinzip
Ladungen im Festkörper:
• Leiter (Metalle): Valenzelektronen sind nicht an einzelnes Atom gebunden, sondern können sich nahezu frei im Festkörper bewegen. Sie können somit elektrischen Kräften folgen.
4.1. ELEKTROSTATIK
129
• Isolator: Alle Elektronen sind fest an ein Atom gebunden. Sie können durch
äußere elektrische Kräfte nur leicht innerhalb des Atoms verschoben werden.
Diese Verschiebung führt zur Polarisation des Atoms.
4.1.3
Elektrisches Feld
Mit Hilfe von Gl. (4.2) und dem Superpositionsprinzip kann die Kraft auf eine Ladung
q0 ermittelt werden, die von mehreren Ladungen qi erzeugt wird:
q1
F0
F30
F20
r1
F10
q2
F~0 =
n
X
F~i0 =
i=1
r2
q0
q3
r0
r3
n
X
1
q0 · qi ~ri0
· 2 ·
4πǫ0
ri0
ri0
i=1
n
X
qi ~ri0
1
~ r0 ) (4.3)
· 2 ·
= q0 · E(~
= q0
4πǫ
r
r
0
i0
i0
|i=1
{z
}
~ r0 )
=:E(~
Die Fernwirkung der Ladungen qi (i = 1, . . . , n) kann so formuliert werden, dass die
Kraft F~0 nur vom Ort der Probeladung q0 abhängt. Dazu führt man das elektrische
~ r ) ein, das durch Gleichung (4.3) definiert wird. Kennt man das elektrische
Feld E(~
~ r), so braucht man nicht mehr die Kenntnis der das Feld erzeugenden LaFeld E(~
dungen qi .
~
~ r, t) = F (~r, t) , [E] = 1 N
(4.4)
E(~
q0
C
Versuch 5/54: Elektrisches Feld einer Punktladung
Versuch 5/49: Schwebendes Teilchen im elektrischen Feld
Versuch 5/55: Elektrische Feldlinienbilder
Elektrische Feldlinien (siehe auch Stromlinien auf Seite 81):
• Beschreibung der Kraftwirkung auf q0 (Tangente: Kraftrichtung, Dichte: Größe).
• Anfang: positive Ladung oder ∞.
• Ende: negative Ladung oder ∞.
• Anzahl der Feldlinien ist proportional zur erzeugenden Ladung Q.
130
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
• Positiv geladener Körper wird in Richtung der Feldlinien beschleunigt.
• Feldlinien stehen senkrecht auf Leiteroberflächen (im Gleichgewicht).
E
E
E
~ k paralAngenommen, es gibt eine Komponente E
lel zur Oberfläche des Leiters. Dann gibt es auch
~ k , die parallel zur Oberfläche
eine Kraft F~k = q · E
des Leiters auf dessen Ladungen wirkt. Diese Kraft
würde diese Ladungen beschleunigen und verschieben. Im Gleichgewicht darf aber kein Strom flie~ k verschwinßen. Daher muss die Komponente E
den.
Versuch 5/41: Ladungsverteilung auf Leiter
• elektrische Felder können abgeschirmt werden (siehe Begleitmaterial).
Versuch 5/57: Faradayscher Käfig
~ r) einer Punktladung q:
Einfaches Beispiel: Elektrisches Feld E(~
Positive Ladung q: Feld zeigt nach außen:
F0
~
~ = F0 = 1 · q · ~r
E
q0
4πǫ0 r 2 r
q0
+
q
(4.5)
Bei positiver Probeladung q0 zeigt die Kraft F~0 nach
außen.
4.1.4
Elektrostatisches Potential und Spannung
Welche Arbeit W ist notwendig, um eine Probeladung q0 im statischen elektrischen
Feld von r0 nach r1 zu verschieben?
W =
Z
F~ d~s =
Z
~ s
q0 Ed~
(4.6)
4.1. ELEKTROSTATIK
131
2
E
r1
r0
Wichtiger experimenteller Befund: W hängt
nur von Anfangs- und Endpunkt ~r0 und ~r1 ,
nicht aber vom Weg ab.
1
~ generiert konservatives Kraftfeld F~ = q0 E
~ (siehe Abschnitt 2.4.3),
Elektrostatisches Feld E
d. h., es existiert eine elektrostatische potentielle Energie Epot (~r). Es ist
∆Epot = Epot (~r1 ) − Epot (~r0 ) = −
Z
~
r1
~
r0
F~ d~s = −q0
Z
~
r1
~ s,
Ed~
(4.7)
~
r0
unabhängig vom Integrationsweg. (4.7) gilt für jede Probeladung q0 . Daher führen
wir das elektrostatische Potential ϕ ein:
ϕ=
Epot
.
q0
Es ist die potentielle Energie im elektrostatischen Feld pro Probeladungseinheit. Differenzen ∆ϕ im elektrostatischen Potential werden auch als Spannung U bezeichnet:
Z ~r1
~ · d~s
U01 = ∆ϕ = −
E
~
r0
U01 ist die Arbeit pro Ladung, die zur Verschiebung dieser Ladung von ~r0 nach ~r1
notwendig ist.
q0
Beispiel: Verschiebung einer Probeladung q0 radial vom
Unendlichen zum Abstand r im Feld einer Punktladung
q (bei r = 0)
1
ϕ(r) = −
4πǫ0
Z
r
∞
1
q ~r
d~
r
=
−
r2 r
4πǫ0
Z
r
∞
+
q
r
1
q q
q ~r d~r
1
=
·
·
·
dr
=
r 2 |r {zdr}
4πǫ0 r ∞ 4πǫ0 r
=1
132
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Beschreibt die Arbeit, die notwendig ist, um eine Ladung (aus dem Unendlichen)
ins Feld der Punktladung zu bringen. Dabei wurde das Potential im Unendlichen
(willkürlich) auf 0 gesetzt.
ϕ
U12 = ϕ2 − ϕ1 > 0
U12
r2
r1
r
~ eindeutig durch das Potential ϕ bestimmt:
Feld E
~ = Ex~ex + Ey ~ey + Ez ~ez ,
E
Ex = −
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
, Ey = − , Ez = −
∂x
∂y
∂z
(4.8)
Kürzere Schreibweise:
~ = −grad ϕ = −∇ϕ
E
E
ds
+
q
Äquipotentialfläche
Äquipotentialfläche:
~
d~s ⊥ E
(ϕ = const., ∆ϕ = 0).
Verschiebung einer Probeladung q auf Äquipotentialfläche ohne Arbeitsaufwand.
Die Äquipotentialflächen sind geschlossen, d. h., sie haben keinen Rand.
Bem. 4.6 Das Potential ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, da man
~ über die Kraftwirkung direkt messen kann. Die additive
nur das elektrische Feld E
Konstante in ϕ geht aber nicht in diese Kraft ein, da sie bei der Differentiation in
Gl. (4.8) wegfällt. Man wählt die Konstante oft so, dass die Rechnungen möglichst
einfach werden. Das ist im obigen Fall gerade dann gegeben, wenn das Potential im
Unendlichen verschwindet.
Beispiel: 2 geladene Metallplatten
4.1. ELEKTROSTATIK
133
Betrachte Feld zwischen den Platten:
E -
+
q
ϕ2
ϕ1
d
~ = const.
E
Verschieben einer positiven Probeladung q gegen das Feld:
Z 2
~ · d~s = E · d
U = ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = −
E
(4.9)
1
Somit gilt für das E-Feld zwischen den beiden Platten:
E=
U
d
Bem. 4.7 An den Rändern des Plattenkondensators ist das elektrische Feld nicht
mehr konstant sondern nach außen verzerrt. Sind die Dimensionen der Platten groß
gegen den Abstand d, so kann diese Abweichung oft vernachlässigt werden.
4.1.5
Durchflutungsgesetz für das elektrische Feld: 1. Maxwellsche Gleichung
Elektrische Feldlinien können im statischen Fall nur an Ladungen oder im Unendlichen anfangen oder enden, d. h., also nicht irgendwo im leeren Raum.
E
dA
+
q
Betrachte: Kugelförmige Fläche A mit Radius r symmetrisch
um die Punktladung q.
~ durch
Wir berechnen den Fluss Φ des elektrischen Feldes E
die Fläche A:
I
I
I
q 1
q 1
~
~
Φ =
EdA =
dA =
dA
2
4πǫ0 r 2 A
A
A 4πǫ0 r
q 1
q
=
4πr 2 =
2
ǫ0 4πr
ǫ0
~ an jedem Ort senkrecht auf der Fläche A. Da
Dabei steht das Flächenelement dA
auch die Feldlinien überall senkrecht auf der Fläche stehen, ist das Integral in diesem
Fall sehr einfach auszurechnen.
Der Fluss Φ ist unabhängig vom Radius r.
134
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Anschaulich: Durch jede Fläche stößt immer die gleiche Zahl an Feldlinien.
Daraus kann man folgern, dass man die Fläche beliebig verformen kann, ohne dass
sich Φ ändert, solange q von der Fläche eingeschlossen wird.
Diese Aussage gilt ganz allgemein und kann mathematisch durch den Gaußschen
Satz beschrieben werden. Dieser sagt aus, dass für allgemeine Ladungsverteilungen
und geschlossene Flächen A gilt:
I
X
~ · dA
~= 1
qi ,
(4.10)
E
ǫ0 i
A
wobei
P
i qi
die Summe aller Ladungen im Inneren der Fläche A ist.
Einführung eines weiteren Feldes:
~
Dielektrische Verschiebung oder elektrische Verschiebungsdichte D
~ = ǫ0 E
~
D
im materiefreien Raum
Einheit:
[D] = 1
C
m2
~ ausgedrückt, lautet Gleichung (4.10)
In der dielektrischen Verschiebung D
I
X
~ · dA
~=
D
qi ,
A
(4.11)
(4.12)
(4.13)
i
Dies ist die erste Maxwellsche Gleichung. Sie sagt aus, dass die Ladungen q die
~ sind.
Quellen der dielektrischen Verschiebung D
Bem. 4.8 Insgesamt gibt es vier solcher Gleichungen, die die Eigenschaften von
elektrischen und magnetischen Feldern in Gegenwart von Ladungen und Strömen
beschreiben. Im Laufe der nächsten Abschnitte werden wir die weiteren Maxwellgleichungen kennenlernen.
Bem. 4.9 Die dielektrische Verschiebung ist nach Gleichung (4.11) proportional
~ im materiefreien Raum. Diese Umskalierung wäre nicht
zum elektrischen Feld E
besonders sinnvoll, würden sich beide Felder in Materie (im Nichtleiter) nicht wesentlich unterscheiden (siehe Abschnitt 4.1.7).
4.1. ELEKTROSTATIK
4.1.6
135
Leiter im elektrischen Feld
Leiter: Ladungsträger frei beweglich
⇒ Inneres des Leiters muss im statischen Fall feldfrei sein.
Bem. 4.10 Angenommen, der Leiter sei im Inneren nicht feldfrei: Dann wirken
elektrische Kräfte auf die Ladungsträger, was zu einer Beschleunigung der Ladungsträger und schließlich zu einem Strom im Leiter führen würde. Dies steht im Widerspruch zur Annahme der Elektrostatik, dass alle Ladungen sich in Ruhe befinden.
Wird ein elektrisches Feld angelegt, so verschieben sich die Ladungen so lange, bis
das Innere des Leiters feldfrei ist.
Beispiel:
- - + + +
-
-
-
+ + +
E
Influenz
Ladungstrennung
A
-
-
-
+ + +
Einfl
Versuch 5/43: Nachweis von Influenzladungen
~ infl | = |E|
~
|E
für die auf einem Blech influenzierte Ladung ergibt sich zu
~ ⊥,
Q = |D|A
(4.14)
wenn man die erste Maxwellsche Gleichung (4.13) auf die gestrichelt eingezeichnete
Fläche A anwendet. A⊥ ist dabei nur der Teil der Fläche, durch den die vom Blech
ausgehenden Feldlinien stoßen.
Kapazität eines Leiters
Welche Spannung U liegt an einem Leiter an, wenn man eine Ladung Q aufbringt?
Anders Gefragt: Wieviel Ladung Q kann man pro Spannung U auf dem Leiter speichern?
136
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Beispiel: Leitende Kugel mit Radius R
D
dA
++
Q+
++
+
Für r > R ist das Feld nicht von dem einer Punktladung zu unterscheiden. (Im Inneren der leitenden Kugel verschwindet das Feld.)
Potential der Kugeloberfläche = Potential der Punktladung im Abstand R:
U=
1
Q
Q
· =: ,
4πǫ0 R
C
C : Kapazität (Eigenschaft der Kugel)
Allgemein:
C
As
Q
, [C] = 1 = 1
=: 1 F (Farad)
(4.15)
U
V
V
Die Kapazität C beschreibt, wieviel Ladung Q pro Spannung U auf dem Leiter
gespeichert werden kann.
C=
Hat man zwei parallele Leiterplatten: Plattenkondensator
Versuch 5/23: Ladung auf Kondensatorplatte
Versuch 5/42a: Ladungsdichte auf Leitern
Z d
A
~ s = Ed = D · d , Q = A · D
(4.16)
U=
Ed~
ǫ0
0
- - A: Fläche der Kondensatorplatte (= A⊥ im obigen Beispiel,
d
D
+ + +
siehe Gleichung (4.14)).
Somit ist die Kapazität:
Q
ǫ0 A
=
U
d
Dabei ist d der Abstand der Kondensatorplatten.
C=
4.1.7
Nichtleiter im elektrischen Feld
Nichtleiter (Dielektrikum):
Ladungsträger sind nicht frei beweglich, sondern können sich nur lokal verschieben.
Beispiel: Atom
4.1. ELEKTROSTATIK
137
-
+
Elektronendichte
symmetrisch
+
E
Ohne elektrisches Feld: Elektronendichte symmetrisch zum Kern: Keine Polarisation (Feld außerhalb des Atoms null).
~ Elektronenwolke verMit elektrischem Feld E:
schiebt sich gegen Kern. Es bleibt außen ein Dipolfeld übrig.
Feld kann im elektrostatischen Fall in den Festkörper eindringen. (Für Leiter ist das
nicht möglich, siehe Bem. 4.10.)
Wir wollen nun den Einfluss eines Isolators im elektrischen Feld untersuchen:
Versuch 5/165: Einfluss eines Dielektrikums auf die Spannung zwischen Kondensatorplatten.
• Kondensator ohne Dielektrikum auf U0 aufgeladen und von Spannungsquelle
getrennt. Jetzt kann die Ladung nicht mehr abfließen und ist konstant.
• Dielektrikum zwischen Platten gebracht: Spannung sinkt, U < U0 .
Das Verhältnis der beiden Spannungen heisst relative Dielektrizitätszahl ǫr :
U0
U
Elektrisches Feld im leeren und im gefüllten Kondensator:
ǫr =
+
+
+
+
+
E0 d
+++++-
E+ + +
+ +
-
Im Dielektrikum wird das elektrische Feld teilweise
durch die Polarisation aufgehoben.
E0 =
U0
,
d
d
U0
E0
=
= ǫr
E
U
Da sich die Ladung nicht ändert, steigt die Kapazität:
C=
Q
Q U0
=
= ǫr · C0
U
U0 U
Kapazität des Plattenkondensators (mit Dielektrikum):
C = ǫ0 ǫr ·
A
d
E=
U
< E0
d
138
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Schwächung des elektrischen Feldes kommt durch Polarisation des Dielektrikums
zustande.
+ +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- ++
+
+
Ep
+
+
+
+
+
E
-
Polarisation führt dazu, dass sich an den Rändern
des Dielektrikums effektiv Ladungen sammeln.
Diese führen zu einem teilweise kompensierenden
~ p.
elektrischen Feld E
E = E0 + Ep
0
d
Versuch 5/169: Anziehung ungeladener Körper im elektrischen Feld
Versuch 5/52: Spannungswaage (ohne und mit Abdeckplättchen als Dielektrikum)
~
Für das D-Feld
sollen jedoch nur reale Ladungen der Kondensatorplatten als Quellen
dienen:
~ =D
~0
D
• Kondensator ohne Dielektrikum auf U aufgeladen: Messung der aufgebrachten
Ladung Q0 mit dem ballistischen Galvanometer.
• Entladen des Kondensators und Einbringen des Dielektrikums
• Kondensator mit Dielektrikum auf U aufgeladen: Messung der Ladung Q > Q0 .
Diesmal: Spannung U konstant: U = U0 .
Daher ist auch das E-Feld konstant: E = E0 .
Da C > C0 , ist die Ladung Q größer als Q0 .
Somit ist auch D > D0 .
~ = ǫr D
~ 0 = ǫ0 ǫr E
~
D
Andere Beschreibung der Felder im Inneren eines Dielektrikums:
~ = ǫ0 E
~ + P~ = D
~ 0 + P~
D
(4.17)
Dabei ist P~ die dielektrische Polarisation. Sie beschreibt das Feld, das durch die
Ladungen entsteht, die durch die Polarisation zusätzlich auf die Platten fließen.
4.2. LADUNGSTRANSPORT
4.1.8
d
139
Energieinhalt des elektrischen Feldes
-
Welche Arbeit muss man verrichten, um einen Plattenkondensator aufzuladen?
Dazu bringen wir nach und nach Ladungen −e von + nach −.
Nach (4.6) und (4.9) ist die dazu benötigte Arbeit W = −e · U.
-
E
-e
+ + +
Die Spannung U hängt nach (4.16) von der bereits auf den Platten gespeicherten
Ladung Q ab. Die gesamte Arbeit ist also
Wel =
Z
0
Q
′
′
U(Q )dQ =
Z
Q
0
Q
1 Q2 (4.15) 1
Q′ · d ′
1 Q′2 =
dQ =
= C · U 2,
ǫ0 A
2 C 0
2 C
2
wobei Q und U die Ladung und Spannung im Endzustand sind.
Bem. 4.11 Die Arbeit Wel ist Resultat der Kraftwirkung der Ladungen aufeinander.
Daher ist es sinnvoll, Wel in den Feldern auszudrücken.
Wel ausgedrückt in den Feldern:
1
1
1
A
1
1
A · d ǫ0 ǫr E 2 = V E · D.
Wel = C · U 2 = Cd2 E 2 = ǫ0 ǫr · d2 · E 2 = |{z}
2
2
2
d
2
2
=V
Bei gegebenen Feldern wächst die in den Feldern gespeicherte Energie mit dem Volumen V . Man kann daher den Feldern eine Energiedichte zuordnen:
wel =
1
Wel
= E·D
V
2
(4.18)
Obwohl die Energiedichte nur für den Spezialfall des Plattenkondensators hergeleitet wurde, bei dem das elektrische Feld im Inneren konstant ist, gilt (4.18) allgemein.
4.2
Ladungstransport
Ladungstransport ist sehr vielfältig und ist technologisch außergewöhnlich wichtig.
Hier werden nur die einfachsten Formen des Ladungstransports behandelt, nämlich
die elektrische Leitung in metallischen Leitern, Elektrolyten und Gasen. Kompliziertere Phänomene, wie die Supraleitung können hier nicht behandelt werden.
140
4.2.1
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Elektrische Leitung in Metallen
Legt man an einen Leiter eine Spannung U an, so bildet sich im Inneren des Leiters
~ aus.
ein elektrisches Feld E
⇒ Auf die freien Ladungsträger (Elektronen, q = −e) wirkt dann die elektrische
~
Kraft F~ = q · E.
Die Ladungsträger werden entlang der Feldlinien (in entgegengesetzter Richtung)
beschleunigt: Es fließt ein Strom.
Bem. 4.12 Die freien Elektronen bewegen sich in einem Metall wie Teilchen in einem Gas. Sie bewegen sich nur solange frei, bis sie an einem Defekt oder einer Gitterschwingung im Kristallgitter gestreut werden. Im feldfreien Fall ist die Bewegung
im Mittel in jede Richtung gleich. Durch eine beliebige Fläche fliegen dann ebensoviele Ladungsträger in die eine, wie in die andere Richtung. Der effektive Strom durch
diese Fläche ist null.
E
Legt man nun ein Feld an, so ist
die Elektronenbewegung leicht gerichtet. Die Elektronen werden ständig entlang des Feldes beschleunigt, werden
aber durch die Stöße immer wieder abgebremst.
Dadurch kommt im Mittel ein Strom mit konstanter Geschwindigkeit gegen die Feldrichtung zustande. Dieses klassische Bild ist natürlich nur eine Karikatur. Um den
Ladungstransport in Metallen genau zu verstehen, braucht man ein quantenmechanisches Modell.
Je höher die Spannung U ist, um so stärker ist die mittlere Bewegung ~v der Ladungs~
träger und damit der Strom I in Richtung E.
In guter Näherung gilt [siehe Gl. (4.1)]:
E
A
v
~ · ~j = −e A
~ · ~v n ∝ U
I=A
|{z}
=−Av
-e
Diese Proportionalität kann als
I =G·U
geschrieben werden.
(4.19)
4.2. LADUNGSTRANSPORT
141
G: Leitwert des Leiters. Einheit:
[I]
A
=1
= 1 S (Siemens)
[U]
V
[G] =
Häufig wird auch der Kehrwert von Gleichung (4.19) benutzt (Ohmsches Gesetz)
U=
1
I = RI,
G
R=
1
G
(4.20)
Dabei ist R der elektrische Widerstand. Einheit:
[R] = 1
V
= 1 Ω (Ohm)
A
Der Widerstand R (oder Leitwert G) hängt speziell vom betrachteten Leiter ab,
insbesondere von seinen Dimensionen:
R=ρ·
l
,
A
l: Länge, A: Querschnitt
Materialeigenschaft: Spezifischer Widerstand ρ
ρ=
RA
,
l
Spezifischer Leitwert σ
σ=
[ρ] = 1
Ωm2
= 1 Ωm
m
1
Gl
l
=
=
ρ
A
RA
Durch die Stöße mit den Atomrümpfen geben die Elektronen Energie an den Festkörper
ab:
⇒ Elektrischer Widerstand
⇒ Erwärmung des Leiters (genutzt z. B. im Tauchsieder oder der Glühbirne)
(Es gilt die Energieerhaltung: Elektrische Arbeit wird in Wärme umgewandelt. Siehe 4.2.3)
4.2.2
Kirchhoffsche Regeln
Mit Hilfe zweier Regeln lassen sich die Ströme und Spannungen selbst in komplizierten elektrischen Netzwerken bestimmen.
142
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
1. Kirchhoffsche Regel: Knotenregel
Ladungen können weder erzeugt noch vernichtet werden, sie können sich nur kompensieren.
Wenn sich also die Ladung eines Teils eines Leiters nicht ändert, muss die Ladungsträgerbilanz null sein:
I2
I3
I1
I5
I4
I1 + I2 + I5 = I3 + I4
Die Summe aller Ströme, die zu einem Knoten hinfließen, ist gleich der Summe
aller Ströme, die von diesem Knoten wegfließen.
Unter Berücksichtigung der Vorzeichen:
X
In = 0
n
2. Kirchhoffsche Regel: Maschenregel
~ ist konservativ). Daher ist bei
Die Potentialdifferenz ist unabhängig vom Weg (E
einem Umlauf durch eine Leiterschleife:
I
X
~ s=
Ed~
Ui = 0,
i
wobei Ui die Spannungen sind, die an verschiedenen elektrischen Komponenten abfallen. Insbesondere gilt:
Die Summe aller treibenden Spannungen U0i ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle:
X
X
U0i =
Uj
i
j
Versuch 5/27: Spannungsabfall an Widerstand
Einfaches Beispiel: Wheatstonesche Brücke (Brückenschaltung)
Widerstand R unbekannt. R1 und R3 werden so lange variiert, bis I0 = 0 ist. R2
bekannt.
4.2. LADUNGSTRANSPORT
143
Versuch 5/28b: Brückenschaltung
Knotenregel (linker und rechter Knoten •):
R3
I3
R
I
I 0 R0
U0
R1
I1
I2
I1 −I3 −I0 = 0,
I2 −I+I0 = 0,
⇒
I1 = I3 , I = I2
Maschenregel (untere und obere Masche):
R2
R1 I1 + R0 I0 − R2 I2 = 0,
⇒
R3 I3 − RI − R0 I0 = 0
R1 I1 = R2 I, RI = R3 I1
Es ist I/I1 = R1 /R2 . Es folgt
R = R3
4.2.3
R2
I1
= R3
I
R1
Elektrische Arbeit und elektrische Leistung
Das elektrische Feld im Leiter verrichtet Arbeit an den Ladungsträgern.
U
ds
1 1’
In der Zeit dt bewegen sich alle Ladungsträger (q =
−e) um die Strecke ds = ~v dt.
v
E
2 2’
Effektiv entspricht das einer Verschiebung aller Ladungsträger zwischen 1 und 1’ nach 2 und 2’. (Vergleiche dazu in Analogie die Herleitung der Bernoulligleichung in Kapitel 2.9.2 auf Seite 82.)
Gesamtarbeit in der Zeit dt:
dW = q dN U = qnAUds = qn
ds
AUdt = jAUdt = IUdt.
dt
|{z}
=v
Dabei ist die Ladungsträgerzahl dN = ndV = nAds (n: Ladungsträgerdichte) im
Leiter zwischen 1 und 1’ bzw. 2 und 2’. Über eine längere Zeit betrachtet, ist die
verrichtete Arbeit:
Z t
W =
U(t)I(t)dt
0
Leistung:
P =
dW
= U(t)I(t)
dt
144
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Unter Benutzung des Ohmschen Gesetzes [Gl. (4.20)] folgt:
P = UI = U 2
1
= I 2 R,
R
(Gleichstrom)
(4.21)
Für die Arbeit bei Gleichstrom gilt:
W =P ·t= U ·I ·t = U ·Q
Versuch 5/29: Messung der Stromwärme
4.2.4
Ladungstransport in Flüssigkeiten
Hier gibt es andere Ladungsträger: Positive und negative Ionen
Ionen tragen Elementarladungen entsprechend ihrer Wertigkeit.
Beispiel: CuSO4 : Kation Cu2+ , Anion SO2−
4
Strom fließt von + nach −.
Anion O2− driftet zur Anode
Kation Cu2+ driftet zur Kathode
+ O2
O22H
Cu2+ + 2(−e) → Cu
2+
Cu
H20
Cu
H2 0 → 2H+ + O2− ,
+
2SO4
2O2− → O2 + 4(−e)
Es kommt zur galvanischen Abscheidung von Cu.
Versuch 5/4: Chemische Wirkung des Stromes
Massentransport: Die abgeschiedenen Massen sind der transportierten Ladung proportional (1. Faradaysches Gesetz).
m=
M
M
It =
Q
z · e · NA
z · e · NA
M: Molmasse, z: Wertigkeit, NA : Avogadrozahl (siehe Seite 104).
Bem. 4.13 Es entstehen immer ganzzahlige Verhältnisse von abgeschiedenen Stoffmengen (in Mol). Hieraus konnte auf die Quantisierung der Ladung geschlossen werden.
4.2. LADUNGSTRANSPORT
4.2.5
145
Ladungstransport im Vakuum und in Gasen
Ladungsträger können z. B. durch Glüh- oder Feldemission aus Leiter ins Vakuum
austreten:
~
Freie Beschleunigung im elektrischen Feld E:
U
- -e
+
Elektronen durchfallen“ das Potential U frei
”
und haben an der Anode die Energie E = −e·U.
Es gibt keinen Widerstand im Vakuum.
In Gasen wird der Strom durch Elektronen und Ionen getragen:
U
- -e
Elektronen bewegen sich zwischen Stößen frei
von − nach +. Umgekehrt werden positiv geladene Ionen von + nach − beschleunigt.
+ +
Stöße führen zu weiterer Ionisation, Rekombination und zur Anregung der Gasatome (→
Leuchten).
Bem. 4.14 Ein Blitz bei einem Gewitter ist genau ein solches Transportphänomen.
Innerhalb einer Wolke und zwischen Wolke und Erde baut sich ein starkes elektrisches Feld auf. Irgendwann ist das elektrische Feld so hoch, dass existierende Ladungen (Ionen und Elektronen) im Feld so stark beschleunigt werden, dass sie durch
Stoßionisation weitere Ladungsträger (Ionen und Elektronen) erzeugen können. In
einem Schlauch entstehen in sehr kurzer Zeit viele Ladungsträger, die kurzfristig
einen hohen Strom tragen und die Wolke entladen. Anregung der Atome und Ionen
im Blitz führen zum Leuchten. Damit sich ein Blitz in trockener Luft bildet, ist ein
elektrisches Feld von ca. 106 V/m notwendig (siehe Begleitmaterial)!
Versuch 5/136: Gasentladung in Luft
Versuch 5/3: Lichtwirkung des Stroms
146
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
4.3
Magnetostatik: Stationäres Magnetfeld
4.3.1
Magnetische Feldstärke und Durchflutungsgesetz
Magnetfelder werden durch Dauermagnete und elektrische Ströme erzeugt.
Stabmagnet: (Dauermagnet) zwei Pole (Nord- und Südpol)
• Ungleichnamige Pole ziehen sich an.
• Gleichnamige Pole stoßen sich ab.
Pole treten nie alleine auf: Immer als Nord-Südpol-Paar.
Es gibt keine einzelnen magnetischen Ladungen, sondern nur Dipole.
~ r ) ist Vektorfeld
Magnetisches Feld H(~
Ermittlung von Stärke und Richtung durch Kraftwirkung auf kleinen Probemagneten
(Kompassnadel).
Versuch 5/65a: Magnetische Feldlinienbilder
Magnetische Feldlinien:
• Tangente gibt Kraftrichtung an.
• Dichte ist Maß für Stärke der Kraftwirkung.
• Nordpol der Magnetnadel zeigt in positive Richtung (Definitionssache).
• Beim Stabmagneten verlassen die Feldlinien den Magneten am Nordpol und
treten am Südpol wieder in den Magneten ein.
Stromdurchflossene Leiter haben auch ein Magnetfeld:
s
H
Gerader, stromdurchflossener Leiter:
Feldlinien sind geschlossene Kreise
(Ausmessen, z. B. mit Kompassnadel oder mit Metallspänen wie im folgenden Versuch)
I
Versuch 5/65b: Feldlinien von Stromverteilungen
4.3. MAGNETOSTATIK: STATIONÄRES MAGNETFELD
147
Wichtiger experimenteller Befund:
I
s
~ s ∝ I,
Hd~
außerhalb des Leiters, durch den der Strom I fließt. Dabei ist s eine Schleife, die um
~
den Leiter herumgelegt wird. Die Einheiten des H-Feldes
werden nun so definiert,
dass
I
~ s = I, [H] = 1 A
(4.22)
Hd~
m
s
Betrachte eine beliebige Fläche A, die die Schleife s als Rand hat:
I
Z
X
~ s=
~
Hd~
Ii = ~jdA
s
(4.23)
i
Dabei ist ~j die in Gl. (4.1) auf Seite 127 definierte Stromdichte.
~ längs einer geschlossenen
Das Integral der magnetischen Feldstärke H
Schleife ist gleich dem gesamten Strom, der durch die von der Schleife
berandeten Fläche fließt.
Dies ist das Durchflutungsgesetz für das Magnetfeld.
Bem. 4.15 Es gibt noch andere Quellen für solche magnetischen Wirbel, nämlich
sich zeitlich verändernde elektrische Felder. Daher ist Gl. (4.23) noch nicht ganz
vollständig. In Abschnitt 4.4.5 wird sie vervollständigt und dann zu einer weiteren
Maxwellschen Gleichung.
Bem. 4.16 Die Fläche A hat eine Vorder-“ und eine Rückseite“. Die Vorderseite
”
”
~ festgelegt.
ist durch die Richtung von dA
Der Rand der Fläche wird dann im mathematischen Drehsinn positiv gezählt, wenn man von vorne auf die Fläche A schaut.
~ entlang des rechten Daumens zeigt, geben
Rechte-Hand-Regel: Wenn der Vektor dA
die restlichen Finger die Richtung d~s auf dem Rand an.
Beispiel: Gerader, stromdurchflossener Leiter (siehe vorheriges Bild)
~ auf einer konzentrischen Schleife um den Leiter
Wegen Rotationssymmetrie ist |H|
mit Radius r konstant. Das Integral in (4.22) ist daher
I
I
~
Hd~s = H ds = 2πrH = I
s
s
148
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Somit folgt für H:
H=
I
,
2πr
(außerhalb des Leiters)
~ zeigt tangential zu konzentrischen Ringen um den Leiter. Die Richtung ist durch
H
die Schraubenregel (rechte Hand) gegeben.
Beispiel: Lange Zylinderspule
Versuch 5/65b: Feldlinien von Stromverteilungen: Einzelschleife, Spule
I
Schwarze Spulenteile:
Oberhalb der Bildebene
H
Graue Spulenteile:
Unterhalb der Bildebene
s
l
~ wird durch gestrichelte Linie begrenzt und zeigt aus der Bildebene heraus ⇒
dA
Integrationsweg (Rand) s im math. Drehsinn.
l: Länge der Spule, N: Zahl der Windungen
Näherung:
~ = H
~i
• Entlang des gestrichelten Integrationswegs im Inneren der Spule ist H
konstant.
~ schwach ≈ 0 oder ungefähr senkrecht auf dem Integrati• Außen ist das Feld H
onsweg.
I
~ · d~r ≈
H
Z
~ i · d~si = H · l = N · I,
H
wobei das letzte Gleichheitszeichen wegen des Durchflutungsgesetzes (4.23) gilt.
Das Magnetfeld in der Spule ist also
H=
NI
l
(4.24)
4.3. MAGNETOSTATIK: STATIONÄRES MAGNETFELD
4.3.2
149
Magnetische Induktion und magnetische Kraftwirkung
Rückblick: Elektrisches Feld:
~ Erzeugt durch Ladungen.
• D:
~ Beschreibt Kraftwirkung.
• E:
~ = ǫ0 ǫr E
~
Zusammenhang: D
Analog: Magnetisches Feld
~ Magnetische Feldstärke erzeugt durch Ströme (siehe Abschnitt 4.3.1).
• H:
~ Magnetische Induktion. Beschreibt Kraftwirkung des Magnetfeldes auf be• B:
wegte Ladungen.
Lorentzkraft:
F
B
~
F~ = Q ~v × B
Q
(4.25)
v
Versuch 5/131: Braunsches Rohr
~
Einheit von B:
[B] =
[F ]
Ns
Nm s
Vs
=
=
= 2 =: 1 T (Tesla)
2
[Q][v]
Cm
C m
m
~ und H
~ sind einander proportional. Im Vakuum gilt:
B
~ = µ0 · H,
~
B
~ = ǫ0 E)
~
(Analogie: D
(Allgemeiner Zusammenhang siehe Abschnitt 4.3.3.)
µ0 heißt Induktionskonstante oder magnetische Feldkonstante:
µ0 = 4π · 10−7
Vs
Am
Ihr Wert ist durch die Definition des Amperes festgelegt (siehe Abschnitt 4.1.1).
150
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Versuch 5/68: Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld.
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter:
~v: Driftgeschwindigkeit
: Ladungsträgerdichte
n= N
V
Kraft auf alle Ladungsträger:
l
v
A
~
F~ = N · q · ~v × B,
N =n·V =n·A·l
Einsetzen von N in F~ :
~ (∗)
~ = I · ~l × B,
~
F~ = l · A · nq~v × B
= Aj · ~l × B
wobei ~j = nq~v nach Gl. (4.1) die Stromdichte ist. Die Gleichheit (∗) gilt nur, da
~l k ~v .
Auf zwei stromdurchflossene Leiter (I = 1 A, relativer Abstand r = 1 m) wirkt
demnach pro Länge l = 1 m eine Kraft:
~ = I · ~l × µ0 H
~ = µ0 · I · l · I
F~ = I · ~l × B
2πr
1A
VAs
−7 Vs
·1A·1m·
= 2 · 10−7
= 2 · 10−7 N
= 4π · 10
Am
2π m
m
~ ⊥ ~l und die Kraft ist anziehend, wenn die Ströme in den beiden Leitern
Dabei ist H
in die gleiche Richtung fließen. Siehe Definition des Amperes als SI-Einheit (Seite 127
in Abschnitt 4.1.1).
~ [Gl. (4.13)]
In Analogie zum Durchflutungsgesetz für die dielektrische Verschiebung D
betrachten wir nun den magnetischen Fluss Φ durch eine Fläche A:
B
B
Φ=
ϕ
A
A
Z
A
~ · dA
~
B
und speziell:
Φ=
Z
A
Einheit des magnetischen Flusses:
[Φ] = 1 Tm2 = 1 Wb (Weber)
B cos ϕ dA
4.3. MAGNETOSTATIK: STATIONÄRES MAGNETFELD
151
~ [Gl. (4.13)]
Rückblick: Das Durchflutungsgesetz für die dielektrische Verschiebung D
setzt die von einer geschlossenen Fläche eingeschlossenen Ladungen (Quellen des el.
Feldes) in Relation zum durch die Fläche fließenden Fluss.
Da es keine magnetischen Monopole (Ladungen, Quellen) gibt, gilt in Analogie für
den magnetischen Fluss durch jede geschlossene Fläche:
I
~ · dA
~ = 0,
Φ=
B
(4.26)
A
d. h., das Magnetfeld ist Quellenfrei: Feldlinien sind geschlossen oder beginnen und
enden im Unendlichen.
4.3.3
Materie im Magnetfeld
Bringt man Materie in ein Magnetfeld, so wird sie magnetisiert (in Analogie zur
elektrischen Polarisation).
Strom I in geschlossener Ringspule:
~ 0, B
~ 0 = µ0 H
~0
• Vakuum (Luft) in Spule: H
~
~
~
~
• Materie in Spule: H = H0 , B 6= B0
~
Das H-Feld
wird durch den Strom I erzeugt. Da sich dieser
nicht verändert, wenn man Materie in die Spule einbringt, ist
~
das H-Feld
mit und ohne Materie gleich!
~ =H
~ 0 ist durch das Durchflutungsgesetz Gl. (4.23) auf Seite 147 gegeben.
H
Versuch 5/175: Magnetisierung
~ ist nicht gleich! Sie wird zusätzlich durch die MagneDie magnetische Induktion B
~ der Materie gegeben:
tisierung M
~ =B
~ 0 + µ0 M
~
B
(4.27)
~ ist das Magnetfeld, das durch mikroskopische
Bem. 4.17 Die Magnetisierung M
Ströme auf atomarer Skala in der Materie erzeugt werden.
~ proportional zum anliegenden MaFür die meisten Stoffe ist die Magnetisierung M
~
gnetfeld H:
~ = χm H,
~
M
χm : magnetische Suszeptibilität
(4.28)
152
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
• χm < 0: Material ist diamagnetisch, d. h., die Materie setzt die magnetische
~ herab.
Induktion B
• χm > 0: Material ist paramagnetisch, d. h., die Materie verstärkt die magneti~
sche Induktion B.
Eingesetzt in Gl. (4.27) folgt:
~ = µ0 µr H
~
~ = µ0 H
~0 + M
~ = µ0 H
~ 0 + χm H
~ 0 = µ′ (1 + χm ) H
B
0
| {z } 0
(4.29)
=:µr
~ durch die makroskopischen Ströme erzeugt. B,
~ hingegen,
Nach Definition wird H
wird sowohl durch makroskopische als auch durch mikroskopische Ströme gegeben.
Bem. 4.18 Im diamagnetischen Fall wirken diese Ströme dem induzierenden Feld
entgegen, im paramagnetischen verstärken sie das Feld. Oft sind beide Effekte mit
verschieden starker Ausprägung vorhanden. Die induzierten Kreisströme wirken diamagnetisch (siehe Lenzsche Regel in Abschnitt 4.4.1). Der Paramagnetismus wird
durch die Ausrichtung bereits vorhandener Kreisströme (magnetische Momente der
~
Atome) erzeugt. Sie verstärken die magnetische Induktion B.
Für ferromagnetische Substanzen (Permanentmagneten) gilt die Proportionalität
~ bleibt bestehen, auch wenn es kein äußeres Ma(4.28) nicht! Die Magnetisierung M
gnetfeld gibt.
Bem. 4.19 Ferromagnetismus entsteht durch Wechselwirkung der mikroskopischen
magnetischen Momente, die eine gleiche Ausrichtung bewirkt. Im Gegensatz zur
häufigen Annahme, die magnetische Wechselwirkung würde die Ausrichtung der einzelnen atomaren Momente bewirken, ist der Ferromagnetismus ein quantenmechanischer Effekt, der mit der Orbitalstruktur der Atome zusammenhängt.
4.4
4.4.1
Zeitlich veränderliche Felder
Induktionsgesetz
Veränderliche magnetische Felder erzeugen Wirbel im elektrischen Feld:
4.4. ZEITLICH VERÄNDERLICHE FELDER
B
153
B
U
U
Herausziehen der Leiterschleife aus
~
dem B-Feld
induziert Spannungspuls.
Versuch 5/71: Induktion: Bewegtes Leiterstück im Magnetfeld
Spannungsstoß:
U
schnelles Herausziehen
Fläche unter Spannungs-Zeit-Diagramm konstant:
Z
U(t)dt = const.
langsames
Herausziehen
t
Spannungsstoß ist gleich der negativen Änderung des magnetischen Flusses Φ [siehe
Gl. (4.26)] durch die Leiterschleife:
∆Φ = −
Z
U(t)dt,
Φ(t) =
Z
A(t)
~ · dA
~
B(t)
Bilden der zeitlichen Ableitung auf beiden Seiten:
dΦ
= −Uind
dt
Dies ist das sog. Induktionsgesetz:
Jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eineH Fläche A
~ s.
induziert auf dem Rand s eine induzierte“ Spannung Uind = s Ed~
”
154
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
B
dΦ
>0
dt
B
A
E
E
s
E
Eine positive Änderung des Flusses Φ durch die Fläche
~ (z. B. durch Erhöhung von B
~ führt zu einem elektriA
schen Feldwirbel entgegengesetzt zum mathematischen
E Drehsinn, d. h.:
I
~ · d~s = − dΦ ,
(4.30)
Uind = E
dt
s
~
Bem. 4.20 In Gegenwart von zeitlich veränderlichem B-Feld
ist das elektrische Feld
nicht mehr Wirbelfrei. Das elektrische Feld ist daher kein reines Potentialfeld mehr.
Ist der Rand s der Fläche A elektrisch leitend, so wird ein Ringstrom I induziert. Das
Magnetfeld dieses Stromes wirkt der magnetischen Flussveränderung entgegen:
Lenzsche Regel:
Der auf einer geschlossenen Kurve induzierte Strom erzeugt ein Magnetfeld, das der Induktionsursache entgegenwirkt.
Versuch 5/80: Lenzsche Regel (Abstoßung von Strömen)
Durch Induktionsvorgang wirkt eine Kraft auf jedes kleine Leiterstück d~s: Lorentz~
kraft des induzierten Stromes I(t) im Magnetfeld B(t):
~
dF~ = Id~s × B
Integriert über die Schleife bleibt nur senkrechte Komponente übrig: Kraft drückt
Ring aus Feld raus.
Versuch 5/76: Lenzsche Regel — Wirbelströme
4.4.2
Induktion und Selbstinduktion
Wechselstrom I(t) im Leiter: Magnetisches Feld ändert sich ebenfalls mit t
⇒ Zeitl. veränderliches Magnetfeld induziert Spannung Uind :
4.4. ZEITLICH VERÄNDERLICHE FELDER
155
• In räumlich getrennter Spule: Transformator!
Hauptvorteil: Durch verschiedene Windungszahl lässt sich der magnetische
Fluss N-Fach nutzen: Uind ∝ N
Dadurch kann die Spannung hoch oder runter transformiert werden.
Versuch 5/148: Hörnerblitzableiter
Versuch 5/194b: Teslatransformator
• In den Leiter selbst wird Uind induziert: Selbstinduktion
Lenzsche Regel: Uind erzeugt Iind , das der Änderung der ursprünglichen Ströme entgegengerichtet ist.
Beispiel: Selbstinduktion in einer Spule mit N Windungen und Querschnittsfläche
A:
l
Uind = −N
A
B
dB
dΦ
= −NA
,
dt
dt
mit
dΦ = AdB.
Uind
Wird das Magnetfeld durch die Spule selbst erzeugt, so gilt:
B = µ0 µr H = µ0 µr
I ·N
l
[siehe Gl. (4.24).] Eingesetzt in Uind folgt
N 2 dI
dI
Uind = − µ0 µr A
· = −L .
dt
| {z l } dt
=:L
Dabei ist L die sogenannte Induktivität. Einheit:
[L] = 1
Vs
= 1 H (Henry)
A
Induktivität der langen Spule (konstantes B-Feld im Inneren der Spule):
L = µ0 µr A
N2
l
(4.31)
156
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Selbstinduktion:
• Einschalten von Gleichstrom: Spule bewirkt verzögertes Ansteigen des Stroms
auf Endwert.
• Ausschalten: Spule bewirkt verzögertes Abklingen.
4.4.3
Energieinhalt des magnetischen Feldes
Beim Einschalten des Stroms baut sich in einer Spule ein Magnetfeld auf.
Selbstinduktion erzeugt eine Spannung Uind , die der angelegten Spannung entgegengesetzt ist:
dΦ
dI
Uind = −N
= −L
(4.32)
dt
dt
Die äußere Spannungsquelle muss diese Spannung überwinden und die Arbeit
Wm = −
Z
t
I(t′ )Uind (t′ )dt′
0
aufbringen. Das Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass die Spannungsquelle Uind kompensieren, d. h., entgegengesetztes Vorzeichen haben muss. Einsetzen von (4.32) liefert
Z I(t)
Z t
Z t
dI ′ ′
′
′
′
′
I · dI
Wm = −
I(t )Uind (t )dt =
I(t ) · L · (t )dt = L ·
dt
0
0
0
1
L · I2
(4.33)
=
2
Diese Arbeit steckt im Magnetfeld. Schaltet man nämlich den Strom ab, so klingt
der Strom durch Selbstinduktion nur langsam ab: Das Magnetfeld baut sich ab, Uind
hat umgekehrtes Vorzeichen und verrichtet die Arbeit Wm an den transportierten
Ladungsträgern.
Wm durch das Magnetfeld ausgedrückt:
Der Strom I in der Spule und deren Selbstinduktivität L lässt sich nach (4.24) und
(4.31) durch
H ·l
N 2A
I=
, L = µ0 µr
N
l
4.4. ZEITLICH VERÄNDERLICHE FELDER
157
ausdrücken. Einsetzen in (4.33) liefert:
1
1
1
Wm = µ0 µr · H 2 · (A · l) = µ0 µr · H 2 · V = B · H · V.
2
2
2
Dabei wurde B = µ0 µr H [Gl. (4.29)] und V = A · l benutzt.
Die Arbeit Wm ist proportional zum Volumen V . Daher steckt an jedem Ort im Feld
die Energiedichte:
Wm
1
wm =
= B·H
V
2
Wir haben hier die Energiedichte für den Spezialfall der Spule hergeleitet. Sie gilt
aber allgemein für beliebige Magnetfelder, d. h., auch für solche, die räumlich nicht
konstant sind.
4.4.4
Zeitlich veränderliche elektrische Felder: Magnetisches
Durchflutungsgesetz
Das Durchflutungsgesetz für das Magnetfeld (4.23) von Seite 147 ist in seiner Form
I
Z
~
~
(4.34)
H · d~s = ~j · dA
s
A
noch nicht ganz vollständig. s ist in (4.34) der Rand der Fläche A.
Die Abbildungen (a) und (b) links zeigen dieselbe Kurve
s, die zwei verschiedene Flächen A1 und A2 berandet.
(a)
dA
A1
Damit das Magnetfeld konsistent definiert ist, muss bei
festgelegtem Rand s nach (4.34) durch alle von s berandeten Flächen Ai derselbe Strom fließen:
Z
Z
~=
~
~j · dA
~j · dA
(4.35)
s
(b)
dA
A2
A1
s
A2
Ein einfaches Beispiel zeigt, dass dies im allgemeinen so nicht gilt:
j H
s
A2
+ + -
A1
D(t)
j
In einem unterbrochenen Leiter soll der Stromdichte ~j fließen. Wegen der Unterbrechung läd sich die
linke Seite der Unterbrechung positiv, die rechte
Seite negativ auf.
158
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Betrachte Fläche A1 :
I
s
~ · d~s =
H
Z
A1
~
~j · dA
Da s auch die Fläche A2 berandet, aber durch den Spalt und damit durch die Fläche
A2 kein Strom fließt, kann das Durchflutungsgesetz in der Form (4.34) nicht gelten!!!
Wenn ein Strom fließt, sammeln sich am Spalt Ladungen Q und es baut sich im
~ auf. Die Änderung des Feldes ist proportional zum
Spalt ein elektrisches Feld D
Strom:
Z
Z
Z
dQ
(†)
(∗) d
~
~
~˙ · dA
~
~
~j · dA =
D · dA =
D
(4.36)
=
I=
dt
dt
A2
A2 ,−A1
A1
Die Gleichheit (∗) gilt wegen des Durchflutungsgesetzes (4.13) für das elektrische
~
Feld, die Gleichheit (†) folgt, da das D-Feld
sich nur im Spalt aufbaut und praktisch
nicht durch die Fläche A1 hindurchdringt.
~
Aus (4.36) lässt sich schließen, dass die zeitliche Änderung des D-Feldes
durch ei~
ne Fläche A2 dasselbe Magnetfeld erzeugt wie die Stromdichte j durch die Fläche
A1 :
Z
Z
~˙ · dA
~
~=
~j · dA
D
A1
A2
Dabei ist wichtig, dass beide Flächen denselben Rand s besitzen. Daraus können wir
schließen, dass ein Magnetfeld nicht nur durch einen Strom, sondern auch durch ein
sich änderndes elektrisches Feld erzeugt werden kann.
Entsprechend muss das vollständige Durchflutungsgesetz für das Magnetfeld lauten:
I
Z ~
~˙ · dA,
~
~j + D
H · d~s =
(4.37)
s
A
wobei A eine beliebige von s berandete Fläche ist.
4.4.5
Elektromagnetismus: Maxwellsche Gleichungen, Kräfte
und Materialeigenschaften
Damit haben wir nun alle Gesetzmäßigkeiten für eine vollständige Beschreibung des
Elektromagnetismus zusammen. Sie bestehen aus den Maxwellgleichungen, die die
4.4. ZEITLICH VERÄNDERLICHE FELDER
159
Erzeugung elektrischer und magnetischer Felder beschreiben, den Kräften, die elektrische und magnetische Felder auf Ladungen ausüben, und Materialeigenschaften,
die den Einfluss von Materie auf die Felder beschreiben.
Diese sollen hier nochmal zusammengefasst werden:
Maxwellgleichungen:
Durchflutungsgesetz (elektrisches Feld): Der Fluss der dielektrischen Verschie~ durch eine geschlossene Fläche A ist gleich der Summe aller eingeschlosbung D
senen Ladungen Qi :
I
X
~ · dA
~=
D
Qi
A
i
Elektrische Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes. [Siehe (4.13) auf
Seite 134.]
~ durch
Quellenfreiheit des Magnetfeldes: Der Fluss der magnetischen Induktion B
eine beliebige geschlossene Fläche A ist null:
I
~ · dA
~=0
B
A
Es gibt keine Quellen des magnetischen Feldes, d. h., keine magnetischen Monopole. Alle Feldlinien sind in sich geschlossen oder beginnen und enden im
Unendlichen. [Siehe (4.26) auf Seite 151.]
Induktionsgesetz: Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine
beliebige Fläche A erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld auf dem Rand s dieser
Fläche:
Z
I
d
~ · dA
~
~ · d~s = −
B
E
dt A
s
Elektrische Wirbelfelder werden durch sich ändernde Magnetfelder erzeugt.
[Siehe (4.30) auf Seite 154.]
Durchflutungsgesetz (magnetisches Feld): Ein Strom durch eine beliebige Fläche
A und die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses durch diese Fläche erzeugen einen magnetischen Wirbel auf dem Rand s dieser Fläche:
I
Z ~
~˙ · dA
~
~j + D
H · d~s =
s
A
Magnetische Felder werden durch Ströme oder sich ändernde elektrische Felder
erzeugt. [Siehe (4.37) auf Seite 158.]
160
KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Elektrische und magnetische Kräfte:
~ r ) übt auf eine Ladung q am Ort ~r eine
Elektrische Kraft: Ein elektrisches Feld E(~
Kraft
~ r)
F~ (~r) = q · E(~
aus. [Siehe (4.3) auf Seite 129.]
Magnetische Kraft (Lorentzkraft): Ein magnetisches Feld mit magn. Induktion
~ r ) übt auf eine bewegte Ladung q mit Geschwindigkeit ~v am Ort ~r eine Kraft
B(~
~ r)
F~ (~r) = q · ~v × B(~
aus. [Siehe (4.25) auf Seite 149.]
Der Einfluss von Materie wird makroskopisch durch die Polarisation P~ und die Ma~ beschrieben:
gnetisierung M
~ = ǫ0 E
~ + P~ , B
~ = µ0 H
~ +M
~
D
[Siehe (4.17) und (4.27).]
Kapitel 5
Schwingungen und Wellen
Im Gegensatz zu den Kapiteln 2 bis 4 ist dieses Kapitel keiner physikalischen Theorie,
sondern der Beschreibung spezieller Phänomene gewidmet: Schwingungen und Wellen treten unter den unterschiedlichsten Bedingungen in der Natur auf und spielen in
den Ingenieurwissenschaften eine große Rolle. Daher ist es sinnvoll, diese besonders
wichtige Klasse von Abläufen genauer zu betrachten.
5.1
Schwingungen
Schwingungen können recht kompliziert werden.
Beispiel: Chaos beim Doppelpendel
Versuch: Chaotisches Doppelpendel
Chaotische Systeme wie das Doppelpendel sind zwar deterministisch, die Vorhersage
ihrer Bewegung ist jedoch nur kurzzeitig möglich, da sich unvermeidliche kleine Fehler
bei der Bestimmung des Ausgangszustands im Laufe der Zeit exponentiell stark
auswirken. Würde man das Pendel mit den (fast) gleichen Startbedingungen nochmal
anwerfen, so würde die Bewegung zunächst ähnlich aussehen, dann aber sehr schnell
stark vom vorherigen Versuch abweichen. (Siehe auch Begleitmaterial.)
Solche Systeme versucht man in den Ingenieurwissenschaften zu vermeiden.
Hier: Beschränkung auf harmonische Schwingungen
161
162
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
5.1.1
Freie ungedämpfte harmonische Schwingung
Versuch 2/11: Gleichgewicht an der Feder
Oszillator einmalig angeregt: Schwingung erfolgt
ungedämpft mit konstanter Amplitude und systemtypischer Eigenfrequenz f0 = 1/T0 .
z
F>0
F<0
Federschwinger (siehe Abschnitt 2.3.1 auf Seite 22):
z̈ +
K
z = 0,
m
F (z) = −K · z
(k: Federkonstante, m: Masse). Diese Bewegungsgleichung für den Federschwinger
hat die allgemeine Form
ü + ω02 u = 0,
q
.
mit ω0 = K
m
Lösung: Harmonische Oszillationen (sinoidale Schwingungen)
u(t) = um · cos(ω0 t + φ0 ),
u̇(t) = −um · ω0 · sin(ω0 t + φ0 ),
ü(t) = −um · ω02 · cos(ω0 t + φ0 ),
wobei um die Amplitude der Schwingung und φ0 die Anfangsphase (bei t = 0) ist.
um und φ0 hängen von den Anfangsbedingungen ab.
In der Mechanik haben wir bereits viele Oszillatoren kennengelernt:
Federschwinger (Abschnitt 2.3.1):
u=z
ω0 =
Fadenpendel (kleine Auslenkungen, Abschnitt 2.3.3):
u=ϕ
ω0 =
Physikalisches Pendel (kleine Auslenkungen, Abschnitt 2.6.8): u = ϕ
ω0 =
Drehschwingung (Abschnitt 2.6.8, D: Richtmoment):
ω0 =
u=ϕ
Beispiel aus dem Elektromagnetismus: Schwingkreis (z. B. Tesla-Transformator)
q
K
m
pg
l
q
q
mgs
JA
D
JA
5.1. SCHWINGUNGEN
163
Schwingkreis (ohne Widerstand und andere Verbraucher, z. B. 2. Transformatorspule)
U0
Vor Umlegen des Schalters: Maschenregel:
C
L
−U0 + UC = 0 (Maschenregel)
Legt Anfangsbedingung fest: Kondensator aufgeladen mit Spannung UC = U0 = C1 Q.
Schalter wird umgelegt: Zweite Masche ist geschlossen:
UL + UC = 0
Kondensator entläd sich über Spule. Strom erzeugt Magnetfeld, das durch Selbstinduktion eine Gegenspannung UL = −Uind aufbaut (siehe Gl. (4.32) auf Seite 156):
1
dI
+ · Q = 0,
dt C
dI
d2 Q
d dQ
= 2 = Q̈
=
dt
dt dt
dt
L·
Einsetzen von
in (5.1) liefert
Q̈ +
(5.1)
1
Q=0
LC
Harmonischer Oszillator mit
ω0 = √
1
LC
Lösung:
C · UC (t) = Q(t) = Qm · cos(ω0 t + φ0 )
I(t) = −Qm · ω0 · sin(ω0 t + φ0 )
Anfangsbedingung t = 0: UC = U0
!
Q(t = 0) = Qm cos(φ0 ) = CU0
!
Q̇(t = 0) = Qm ω0 sin(φ0 ) = 0
⇒ Qm = CU0 , φ0 = 0.
Bei dieser Schwingung wird ständig elektrische Energie im Kondensator in magnetische in der Spule umgewandelt und umgekehrt. Dabei wurden Verluste, z. B. durch
elektrischen Widerstand in den Leitungen, vernachlässigt. Im nächsten Abschnitt
sollen diese Verluste mitberücksichtigt werden.
164
5.1.2
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Freie gedämpfte harmonische Schwingung
Meist schwingt ein System nicht ungedämpft: Es gibt Mechanismen, die dem System
Energie entziehen.
Amplitude um nimmt mit der Zeit ab.
Mechanisches System: Reibung:
F~R = −b · ~v
Reibung der Geschwindigkeit proportional und entgegengerichtet (siehe z. B. die
Stokessche Reibung auf Seite 84). Wirkt eine solche Kraft zusätzlich auf einen Federschwinger, so erhalten wir die Bewegungsgleichung:
mz̈ + b · ż + K · z = 0
q
b
Mit ω0 = K
und δ = 2m
erhalten wir die allgemeine Form für den freien gedämpften
m
harmonischen Oszillator:
ü + 2δ u̇ + ω02 u = 0
(5.2)
Allgemeine Lösung mit dem Ansatz
u(t) = um · eλt ,
u̇(t) = um λeλt ,
ü(t) = um λ2 eλt .
(5.3)
Einsetzen von (5.3) in (5.2):
um λ2 eλt + 2δum λeλt + ω02 um eλt = 0
⇒ λ2 + 2δλ + ω02 = 0,
wobei die letzte Gleichung daraus folgt, dass die vorhergehende für alle Zeiten t gelten
muss. Lösen der quadratischen Gleichung:
q
λ1,2 = −δ ± δ 2 − ω02
(5.4)
Also ist die allgemeine Lösung (λ1 6= λ2 ):
u(t) = u1 eλ1 t + u2 eλ2 t .
(u1 und u2 , sowie λ1 und λ2 können komplexe Zahlen sein.) Betrachte verschiedene
Lösungsfälle:
5.1. SCHWINGUNGEN
165
Schwingfall: ω0 > δ: Dämpfungskräfte sind klein gegen rücktreibende Kräfte.
Dann wird die Wurzel in (5.4) imaginär und wir erhalten somit als Lösung:
q
−δt iωt
−δt −iωt
u(t) = u1 e e + u2 e e
, ω = ω02 − δ 2 < ω0
Nach einigen Umformungen erhält man
u(t) = um · e−δt · cos(ωt + φ0 ).
1.0
edutilpmA evitaler
Der Oszillator schwingt gedämpft hin
und her. Dabei nimmt die Amplitude
mit der Zeit wie e−δt ab.
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
200
400
600
800
1000
Die Schwingungsfrequenz ist wegen
der Dämpfung herabgesetzt auf ω =
p
ω02 − δ 2 < ω0 .
Zeit t
Versuch 3/8: Dämpfung eines Stangenpendels
Beispiel: Stangenpendel
Anfangsbedingungen bei t = 0: Anschlagen aus Ruhelage: ϕ(t = 0) = 0, ϕ̇(t = 0) =
v0 .
!
ϕ(0) = ϕm · e−δ·0 · cos(ω · 0 + φ0 ) = 0
!
ϕ̇(0) = ϕm · (−δ)e−δ·0 · cos(ω · 0 + φ0 ) − ϕm · e−δ·0 · ω sin(ω · 0 + φ0 ) = v0
⇒ ϕm = ± vω0 , φ0 = ∓ π2 .
Bewegung (siehe Abbildung):
ϕ(t) =
v0 −δt
e sin(ωt)
ω
Kriechfall: ω0 < δ: Dämpfungskräfte überwiegen rücktreibende Kräfte. Dann ist
die Wurzel in (5.4) reell und wir erhalten somit als Lösung:
q
−(δ−x)t
−(δ+x)t
u(t) = u1 e
+ u2 e
, x = δ 2 − ω02 < δ
166
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Beispiel: Stangenpendel
Anfangsbedingungen bei t = 0: Anschlagen aus Ruhelage: ϕ(t = 0) = 0, ϕ̇(t = 0) =
v0 .
!
ϕ(0) = ϕ1 · e−(δ−x)·0 + ϕ2 · e−(δ+x)·0 = 0
!
ϕ̇(0) = ϕ1 · (−δ + x) · e−(δ−x)·0 + ϕ2 · (−δ − x) · e−(δ+x)·0 = v0
⇒ ϕ1 = −ϕ2 =
v0
.
2x
1.0
v0 −δt
· e · e+xt − e−xt
2x
v0 −δt
=
· e · sinh(xt)
x
0.8
edutilpmA evitaler
ϕ(t) =
0.6
0.4
Der Oszillator kann nicht schwingen.
Beim Anschlagen wird er ausgelenkt.
Die Auslenkung klingt langsam ab.
0.2
0.0
0
200
400
600
800
1000
Zeit t
Aperiodischer Grenzfall: ω0 = δ: Reibungs- und rücktreibende Kräfte haben
gleichen Einfluss. Dann ist die Wurzel in (5.4) null und wir erhalten somit als Lösung
(λ = λ1 = λ2 entartet):
u(t) = u1 e−δt + u2 · t · e−δt ,
(5.5)
Beispiel: Stangenpendel
Anfangsbedingungen bei t = 0: Anschlagen aus Ruhelage: ϕ(t = 0) = 0, ϕ̇(t = 0) =
v0 .
!
ϕ(0) = ϕ1 · e−δ·0 + ϕ2 · 0 · e−δ·0 = 0
!
ϕ̇(0) = ϕ1 · (−δ) · e−δ·0 + ϕ2 · e−δ·0 + ϕ2 · 0 · (−δ)e−δ0 = v0
⇒ ϕ1 = 0, ϕ2 = v0 .
Bem. 5.1 ϕ2 hat hier die Einheit einer Winkelgeschwindigkeit. Das ist kein Widerspruch, da ϕ2 in (5.5) mit t multipliziert wird.
5.1. SCHWINGUNGEN
167
0.35
0.30
edutilpmA evitaler
ϕ(t) = v0 · t · e−δt
0.25
Schnelles Abklingen. Es gibt gerade
noch keine Schwingung.
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
200
400
600
800
1000
Wichtige
technische
Anwendung:
Stoßdämpfer soll Stoß schnell und
ohne Durchschwingen kompensieren.
Zeit t
Anderes Beispiel: Gedämpfte elektromagnetische Schwingung
Kondensator geladen. Schließen des Stromkreises:
R
Widerstand im Schwingkreis führt zu zusätzlichem
Spannungsabfall UR = R·I = R· Q̇. Maschenregel:
L
C
UL + UR + UC = 0
Einsetzen der Kondensatorspannung UC = C1 Q, der Spulenspannung UL = −Uind =
LQ̈ und dem Spannungsabfall am Widerstand:
Q̈ +
1
R
Q̇ +
Q=0
L
LC
Vergleich mit (5.2):
ω0 =
r
1
,
LC
R
δ=
,
2L
ω=
s
1
−
LC
R
2L
2
Energieverlust am Widerstand [P = I 2 R, Gl. (4.21) gilt allgemein]:
dE
= I 2R
dt
Dem Schwingkreis wird Energie entzogen.
−
Bem. 5.2 Beim Teslatransformator wurde auch noch Energie auf die Sekundärspule
übertragen und somit dem Schwingkreis entzogen. Diese musste dem Schwingkreis von
außen über eine Funkenstrecke wieder zugeführt werden.
168
5.1.3
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Erzwungene Schwingungen
Film: Takomabrücke
Versuch 3/9: Resonanzversuch
Federschwinger wird mit periodischer Kraft angeregt
zA
Aufhängung wird mit
zA (t) = z0 sin(ωA t)
z
auf und ab bewegt. Amplitude z0 und Anregungsfrequenz ωA werden von außen vorgegeben.
Aus dem 2. Newtonschen Prinzip folgt
mz̈ = −K(z − zA ) − bż
mz̈ + bż + Kz = KzA = F (t)
z̈ + 2δ ż + ω02z = ω02 z0 sin(ωA t).
Dabei wurde die Reibung im System mit FR = −bż modelliert (δ =
q
K
).
m
(5.6)
b
,
2m
ω0 =
Lösung für eingeschwungenen Zustand (spezielle Lösung):
z = zm sin(ωA t − φ)
(5.7)
Das System schwingt mit der Anregungsfrequenz ωA und nicht mit seiner Eigenfrequenz ω0 . Die Amplitude zm ergibt sich aus der Anregung:
ω02
zm = z0 · q
.
2
2
2 2
(ω0 − ωA ) + (2δωA )
Dabei ist die Phasenverschiebung φ:
tan φ =
2δωA
.
− ωA2
ω02
Prüfen Sie diese Lösung nach durch Einsetzen von (5.7) und dessen Ableitungen in
(5.6)!
5.2. WELLEN
169
2.5
150
2.0
m
z/ z
100
1.0
50
0.5
0
0
1
2
3
ωA [ω0]
4
5
]darG[
φ
0
1.5
Ist die Anregung viel langsamer als die
Resonanzfrequenz (ωA ≪ ω0 ), so folgt
das System der Anregung mit relativer
Amplitude 1. In diesem Fall ist die Phase φ sehr klein (φ ≈ 0).
Je mehr sich die Anregefrequenz ωA der
Eigenfrequenz ω0 nähert, um so mehr
gerät das System in Resonanz: Die Amplitude nimmt zu und die Schwingung
folgt der Anregung verzögert.
Das Maximum der Amplitude zm wird kurz vor der Resonanz erreicht (ωA = ω0 ). An
der Resonanz ist φ = 90◦ . Dies wird als zuverlässiges Kriterium für die Resonanzbedingung genutzt.
Für höhere Anregungsfrequenzen als die Eigenfrequenz des Systems nimmt die Amplitude stark ab und geht mit steigender Anregefrequenz auf null zurück. Das System
läuft dann der Anregung um nahezu 180◦ phasenverschoben hinterher.
Das Verhältnis von δ zu ω0 (hier δ = 0.2 ω0 ) legt die Höhe der Resonanz fest.
5.2
5.2.1
Wellen
Wellenphänomene
Beispiel: Wasserwelle
Versuch 3/42: Kinematisches Modell einer Wasserwelle
Kleines Volumenelement (oder Schwimmer) durchläuft Kreisbewegung:
z
x
z = z0 cos φ(x, t)
170
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
φ(x, t) = ωt + α(x) = ωt +
dα
x
dx
|{z}
=:k
Wellenausbreitung: Wanderung der Phase (nicht der Materie)
Bewegung breitet sich aus: Transport von Energie
Wasserwellen sind recht kompliziert: Rücktreibende Kräfte können Gravitation und
Oberflächenspannung sein. Die Tiefe des Wassers spielt auch eine Rolle (Beispiel:
Tsunami).
Andere Wellenphänomene:
• Mechanische Wellen:
Versuch 3/45a: Querwelle am Gummischlauch
Transversalwelle:
z
Ausbreitungsrichtung
η
x
Amplitude η senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
• Mechanische Wellen: Schall
Longitudinalwelle:
z
Ausbreitungsrichtung
ξ
x
Amplitude ξ parallel zur Ausbreitungsrichtung.
Luft wird durch Lautsprecher komprimiert und expandiert: Ausbreitung der
Druckunterschiede als Welle.
Flüssigkeiten sind auch kompressibel: Daher gibt es auch Schallausbreitung in
Wasser. Der Schall ist auch hier eine Longitudinalwelle. (Schallwellen und Oberflächenwellen sind vollkommen verschiedene Phänomene!! Die Oberflächenwelle
hat sowohl einen transversalen als auch einen longitudinalen Anteil.)
• Elektromagnetische Welle (siehe Abschnitt 5.2.5): Radiowellen, Licht, Röntgenstrahlung
5.2. WELLEN
171
Elektrische und magnetische Felder breiten sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit c aus.
Licht ist Transversalwelle (folgt aus Durchflutungsgesetz für elektrisches Feld
und Quellenfreiheit des Magnetfeldes).
5.2.2
Wellengleichung
Wellen oszillieren nicht nur in der Zeit, sondern auch im Raum.
Sie werden von einer großen Zahl von Freiheitsgraden getragen, die Energie auf einander übertragen. (Für mechanische Wellen ist dies eine Folge des 3. Newtonschen
Prinzips actio gleich reactio“.)
”
Versuch 3/45b: Wellenmodell
Einfachstes Modell: Welle in einer linearen Kette von Federschwingern
u(x-∆x) u(x) u(x+∆x)
m
K
∆x
x
Longitudinalschwingung: u(x) ist
Auslenkung der Masse m entlang der
Kette am Ort x. K ist die Federkonstante.
Die Kräfte auf die Masse am Ort x hängen von den Lagen der Nachbarn an den
Orten x ± ∆x ab.
Newtonsche Bewegungsgleichung:
mü(x) = −K [u(x) − u(x − ∆x)] − K [u(x) − u(x + ∆x)]
(5.8)
Entwicklung von u(x ± ∆x) in eine Taylorreihe um x:
du
1 d2 u
(x) · (±∆x) +
· (±∆x)2 + . . .
dx
2 dx2
1
= u(x) ± u′ (x) · ∆x + u′′ (x)(∆x)2 + . . .
2
u(x ± ∆x) = u(x) +
(5.9)
Wenn die Auslenkung u(x) nur wenig mit x variiert, kann (5.9) in (5.8) eingesetzt
und die Reihe nach dem quadratischen Term abgebrochen werden:
mü(x) = K(∆x)2 u′′ (x)
(5.10)
172
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Teilt man (5.10) durch die Masse und bringt den rechten Term auf die andere Seite,
so erhält man die lineare, eindimensionale Wellengleichung:
ü − c2 u′′ = 0,
c2 =
K(∆x)2
.
m
(5.11)
c hat Einheit einer Geschwindigkeit und heisst Ausbreitungsgeschwindigkeit (genauer
Phasengeschwindigkeit).
Suche nach Lösungen:
Versuch 3/45a: Querwelle am Gummischlauch
Auslenkung einer (im Prinzip) beliebigen Form f (x) breitet sich entlang der x-Achse
aus:
u(x, t) = f (x ± ct)
(5.12)
Einsetzen dieses Lösungsansatzes in (5.11) zeigt, dass er die Wellengleichung erfüllt.
Da die Wellengleichung linear ist, ist eine beliebige Summe von Lösungen der Form
(5.12) auch wieder eine Lösung, d. h.:
Superpositionsprinzip: Mehrere Wellen breiten sich unabhängig und ungestört von einander aus. Sie überlagern sich additiv.
Schallwellen im Festkörper:
Das einfache Modell der Kette von Federschwingern kann benutzt werden, um die
Schallausbreitung in Festkörpern herzuleiten:
linearer Bereich
Einfaches Bild: Atome auf Gitterplätzen
im Festkörper erfahren annähernd lineare
rücktreibende Kräfte, wenn sie aus ihrer
Ruhelage ausgelenkt werden.
5.2. WELLEN
173
u(x)
Im Festkörper liegen viele lineare Ketten nebeneinander.
Eine ebene Welle, die sich entlang von x ausbreitet, lenkt
alle linearen Ketten parallel zu einander gleich aus.
∆x
x
Die Schallgeschwindigkeit im Festkörper läßt sich bestimmen, in dem man die Federkonstante K und die Masse m in (5.10) auf den Elastizitätsmodul E und die
Massendichte ρ zurückführt:
Die Zahl N der Atome in einer Querschnittsebene beträgt
N=
ρ
· ∆x · A,
m
(5.13)
wobei A die Querschnittsfläche des Festkörpers ist. Mit der Zahl der Atome in der
Querschnittsebene steigt auch die Federkraft der Ebene gegenüber der nächsten:
F = −N · K · u.
(5.14)
Um einen Stab der Länge l mit Querschnittsfläche A um ∆l zu verkürzen, muss man
die Druckspannung
∆l
F
= σ = −E ,
A
l
aufbringen. Dabei ist E der Elastitzitätsmodul. Daraus kann die Federkraft F (5.14)
auf dem Querschnitt A bestimmt werden (l = ∆x, ∆l = u):
E
u
F
1
= − = NKu
∆x
A
A
⇒
K=
EA
Em
=
,
∆x · N
(∆x)2 · ρ
wobei die letzte Gleichheit wegen (5.13) gilt. Einsetzen in die Wellengleichung (5.11):
ü − c2 u′′ = 0,
c2 =
E
K(∆x)2
=
m
ρ
Die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper hängt mit dem Elastizitätsmodul E
und der Massendichte ρ zusammen. Je steifer und
p je weniger dicht das Material ist,
desto höher ist die Schallgeschwindigkeit (c = E/ρ).
174
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
In ähnlicher Weise kann auch die Schallausbreitung in Flüssigkeiten und Gasen ermittelt werden. Da gibt es zwar keine festen Nachbarn der Atome oder Moleküle, aber
durch Stöße dennoch rücktreibende Kräfte, die Dichteschwankungen durch Teilchentransport kompensieren.
Ist das Medium mehrdimensional, so können sich Wellen in mehreren Dimensionen
ausbreiten (z. B. Wasserwellen, Schall, Licht, . . . ).
5.2.3
Harmonische Wellen
Im vorherigen Abschnitt haben wir die Lösungen der eindimensionalen Wellengleichung kennengelernt.
Von besonderer Bedeutung sind harmonische Wellen
u(x, t) = um · cos(ωt ∓ kx + φ0 ),
c=
ω
k
die im Folgenden genauer betrachtet werden sollen.
Bem. 5.3 Nebenbei: Harmonische Wellen sind von großer Bedeutung, da sie einen
vollständigen Satz von Lösungen der (3D-)Wellengleichung bilden und sich alle anderen Wellen durch Superposition aus ihnen konstruieren lassen. In ihrer komplexen
Form kann die Zeitabhängigkeit von der räumlichen Abhängigkeit getrennt werden
(Separation), was eine erhebliche mathematische Vereinfachung darstellt.
Betrachte nun den Spezialfall
u(x, t) = um · cos(ωt − kx),
c=
ω
k
An festem Ort variiert u wie ein ungedämpfter Oszillator mit Frequenz ω =
2π · f .
Zu fester Zeit zeigt u als Funktion des Ortes einen sinoidalen Verlauf:
2π
T
=
5.2. WELLEN
175
λ
1.0
c·t1
0.5
Wellenzahl: k
Wellenlänge:
tt0 = 0
tt1 > 0
u/u
m
λ=
0.0
2π
k
(Länge einer Oszillation).
In der Zeit t1 verschiebt sich die Welle
um
∆x = c · t1
-0.5
-1.0
0
5
10
15
20
nach rechts!
x
Die Welle
u(x, t) = um · cos(ωt ∓ kx + φ0 )
läuft nach rechts, falls das Vorzeichen von kx negativ, nach links, falls das Vorzeichen
von kx positiv ist.
Phasengeschwindigkeit c:
Nach Zeit T (volle Schwingung bei festem Ort) ist die Phase der Welle um λ verschoben:
ω
λ
c= =f ·λ=
k
T
5.2.4
Interferenz, Beugung, Brechung und Reflexion von Wellen
Wegen der Linearität der Wellengleichung gilt das Superpositionsprinzip (siehe Seite 172 in Abschnitt 5.2.2):
Wellen addieren sich ungestört: ⇒ Interferenz
Versuch 3/47: Interferenz von Wasserwellen (Überlagerung zweier Kreiswellen)
Einfaches Beispiel: 2 ebene Wellen (u1m = u2m = um , λ1 = λ2 = λ, ω1 = ω2 = ω)
laufen in gleiche Richtung mit unterschiedlichem Phasenwinkel α:
u(x, t) = u1 + u2 = um cos(ωt − kx) + um cos(ωt − kx + α)
176
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
2
α=0
u = u
u
+ u
1
2
= u
1
2
1
0
-1
-2
2
α = π/2
u
2
u
1
u = u
1
+ u
2
1
0
-1
-2
2
1
α = 2π/3
u
2
u
1
u = u
1
+ u
2
0
-1
-2
2
1
u
α=π
2
u
1
u = u
1
+ u
2
0
-1
-2
Unterschiedliche Phasendifferenzen:
• α = 0: Konstruktive Interferenz.
• α = π2 : Amplitude von u nimmt
durch Phasenverschiebung ab.
: Amplitude von u gerade
• α = 2π
3
so groß wie Ausgangsamplituden
um .
• α = π: Destruktive Interferenz (nur bei gleicher Amplitude
vollständig).
Destruktive Interferenz: Antischall:
Mikrophon im Kopfhörer misst Schall
in Umgebung.
⇒
Kopfhörer
reproduziert
das
Geräusch mit α = π und addiert
das gewünschte Musiksignal.
Stehende Wellen
Interferenz zweier Wellen, die sich mit entgegengesetzter Richtung ausbreiten. Amplitude, Wellenlänge und Frequenz müssen dabei gleich sein.
Versuch 3/19: Querschwingungen eines Gummischlauchs
Erzeugt durch Reflexion (Phasensprung α0 ):
u1 (x, t) = um cos(ωt − kx),
u2 (x, t) = um cos(ωt + kx + α0 )
In der Summe:
u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) = um cos(ωt − kx) + um cos(ωt + kx + α0 )
α0 α0 =
2um · cos kx +
· cos ωt +
2 }
2
|
{z
Amplitude ortsabhängig
Variation im Ort ist entkoppelt von Oszillation in der Zeit: Die Oszillationen an
jedem Ort sind in Phase.
Wird die Welle von zwei Seiten eingegrenzt, z. B. Schallwelle in Orgelpfeife, so kann
sich die stehende Welle zur bei bestimmten Wellenlängen richtig ausbilden (Resonanz):
5.2. WELLEN
177
Versuch 3/34: Flammenrohr nach Rubens
Film: Reis auf vibrierender Platte
Allgemeine Beschreibung der Ausbreitung von Wellen im Raum:
Huygens-Fresnelsches Prinzip
Versuch 3/50: Huygenssches Prinzip
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefasst werden. Die Einhüllende aller Elementarwellen gleicher Phase ergibt dann eine andere Wellenfront.
Bem. 5.4 Streng genommen muss die Wellengleichung (siehe Gl. (5.11) für die Version in 1D) gelöst werden, um die Ausbreitung der Wellen zu berechnen. Die mathematischen Lösungen, die sogenannten Kirchhoff-Integrale, enthalten das Huygenssche
Prinzip, machen darüber hinaus aber noch quantitative Aussagen über die Amplitude
der Welle.
Das Huygenssche Prinzip erlaubt die Erklärung von
• Reflexion:
Versuch 3/52: Reflexion von Wasserwellen
Welle fällt auf reflektierenden Gegenstand.
• Brechung:
Versuch 6/70: Brechung von Wasserwellen
178
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Medium 1
c1
Medium 2
c2 < c1
Welle tritt in Medium mit verringerter Ausbreitungsgeschwindigkeit ein.
Wellenlänge λ ist bei gleicher Frequenz in Medium 2 kürzer als in
Medium 1.
Bei schrägem Einfall knickt die
Welle zum Lot hin ab.
• Beugung:
Versuch 3/53: Beugung von Wasserwellen
Ebene Welle trifft auf Hindernis:
Nur ein Teil kann das Hindernis
passieren.
Es werden einige Elementarwellen
vom Hindernis ausgeblendet
Wellenfront verbiegt“ sich an
”
den Rändern des Hindernisses.
Versuch 3/58: Interferenzen zweier Schallwellen im Raum
5.2.5
Elektromagnetische Wellen
Im elektrischen Schwingkreis aus Abschnitt 5.1.1 entsteht ein Wechselstrom I(t), der
~ r , t) erzeugt:
ein sich zeitlich änderndes magnetisches Feld H(~
I
Z
~
~
H · d~s = ~j · dA.
s
A
(Durchflutungsgesetz für das Magnetfeld, siehe Maxwellsche Gleichungen in Abschnitt 4.4.5).
Nach dem Induktionsgesetz induziert eine zeitliche Änderung der magnetischen In~ = µ0 µr H
~ ein ebenfalls zeitlich veränderliches elektrisches Wirbelfeld
duktion B
5.2. WELLEN
179
~ r , t):
E(~
I
s
~ · d~s = −
E
Z
A
~˙ · dA.
~
B
~
Nach dem Durchflutungsgesetz wiederum führt ein zeitlich veränderliches D-Feld
~ = E/ǫ
~ 0 ǫr ) zu einem magnetischen Wirbelfeld H(~
~ r , t):
(D
I
Z
~˙ · dA.
~
~ · d~s =
D
H
s
A
~ = µ0 µr H-Feld
~
Das wiederum erzeugt ein E-Feld, das ebenfalls wieder ein B
erzeugt,
usw.
Die zeitlich veränderlichen Felder breiten sich im Raum aus:
elektromagnetische Welle
Links: Elektrisches Feld zweier (entgegengesetzter) oszillierender Ladungen.
Nach einer Periode T schnürt sich eine
Wellenoszillation ab und entfernt sich
von der Quelle.
Aus den Maxwellgleichungen kann die Wellengleichung für die elektromagnetische
Welle abgeleitet werden. Hier Spezialfall für Ausbreitung in z-Richtung im Vakuum
(keine Materie):
1 d2 Ex
d2 Ex
=
,
dt2
ǫ0 µ0 dz 2
y
d 2 Hy
1 d 2 Hy
=
,
dt2
ǫ0 µ0 dz 2
Ez = Hz = 0
Ausbreitungsgeschwindigkeit (Vak.):
x
c= √
H
1
= 299792458 m/s
ǫ0 µ0
E
Lichtgeschwindigkeit. In Materie:
cmat = √
z
1
c
=√
ǫ0 ǫr µ0 µr
ǫr µr
180
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Bem. 5.5 Elektromagnetische Wellen können sich im Vakuum ausbreiten (ohne Wellenträger!!!). Früher wurde ein unsichtbarer stofflicher Träger postuliert, der sog.
Äther. Die Existenz des Äthers würde implizieren, dass es ein ausgezeichnetes Bezugssystem gibt, in dem der Äther ruht. Dies konnte jedoch nicht beobachtet werden
(Michelson-Morley-Experiment). Stattdessen fand man, dass sich das Licht in allen
Bezugsystemen gleich schnell (mit c) ausbreitet. Dies steht im Widerspruch zu unserer bisherigen Betrachtung, dass sich die Geschwindigkeit eines Objekts in beiden Bezugssystemen um ihre Relativgeschwindigkeit ~v unterscheidet (siehe Abschnitt 2.7.1).
Dieser Widerspruch konnte erst durch Einsteins Relativitätstheorie behoben werden.
Elektromagnetisches Spektrum sehr vielfältig:
Versuch 6/15: Dispersion
Elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen. Verschiedene Polarisation möglich:
Versuch 6/94: Polarisationsfilter
Versuch 6/98: Interferenzen im polarisierten Licht
Eine elektromagnetische Longitudinalwelle ist im ladungsfreien Raum mit den Maxwellgleichungen (Durchflutungsgesetz für elektrisches Feld und Quellenfreiheit des
Magnetfeldes) nicht vereinbar.
Untersuchung der Welleneigenschaften des Lichts:
Reflexion & Brechung: Beide Phänomene beobachtet man vielfältig im Alltag,
z. B. beim Blick in den Spiegel oder beim Blick durch eine Brille, Lupe, oder ein
5.2. WELLEN
181
Fernglas.
Wichtig: Beide Effekte sind Folge des Wellencharakters des Lichts (Huygenssches
Prinzip).
Beugung: Beugung ist im Alltag schwieriger zu beobachten.
Versuch 6/76: Beugung am Spalt
Versuch 6/77: Beugung am Doppelspalt
Beugung im täglichen Leben:
• Hologramm z. B. auf EC-Karte.
• Schmetterling:
Großer Schillerfalter
Flügelschuppen (100x)
Schuppe (1000x)
Furchen & Rillen (10000x)
Furchen & Rillen
Querschnitt (20000x)
Licht wird an Gitterstrukturen gestreut. Farbe (Wellenlänge), für die konstruktive Interferenz in Blickrichtung herrscht, wird vom Flügel ins Auge des Betrachters zurückgestreut.
• Schauen Sie im Dunkeln durch eine engmaschige Gardine (ca. 1m Abstand von
Gardine) auf eine Straßenlaterne in der Ferne: Es bildet sich ein Interferenzmuster aus Punkten senkrecht zu den Fasern in der Gardine.
182
KAPITEL 5. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Beugung mit Röntgenstrahlung:
Wichtigste Methode zur Bestimmung der atomaren Struktur von Kristallen.
Nachwort
Wir haben uns in diesem Kurs mit wichtigen Grundlagen der Physik beschäftigt.
Obwohl wir nur einen sehr kleinen Teil der Physik in der kurzen Zeit behandeln
konnten, hoffe ich, dass ich Sie für die Physik ein wenig begeistern konnte.
Ich wünsche Ihnen viel Erfolg bei der Klausur! Nehmen Sie die Vorbereitung ernst!
Auf der folgenden Seite finden Sie nochmal die Ankündigung.
Herzliche Grüße,
Christian Schroer
183
184