2. ¨Ubungsblatt ” Verifikation unendlicher Systeme“

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Theoretische Informatik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ws-20112012/vus/
2. Übungsblatt Verifikation unendlicher Systeme“
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Die Lösungen der folgenden Aufgaben werden in der Übung am 7. November 2011 besprochen. Bearbeiten Sie die Aufgaben daher bitte vor diesem Übungstermin zu Hause.
Aufgabe 1
Es seien ϕ und ψ zwei CTL-Formeln. Die Formel EFϕ ist eine Abkürzung für E(ttUϕ) und
somit ebenfalls eine CTL-Formel. Die vier CTL*-Zustandsformeln
α1 = AXϕ
α2 = AFϕ
α3 = AGϕ
α4 = A(ϕUψ)
sind hingegen keine CTL-Formeln. Konstruieren Sie zu jedem αi eine CTL-Formel βi , so dass
αi und βi als CTL*-Zustandsformeln äquivalent sind, d.h. für jede Kripke-Struktur M und
jeden Zustand s von M gilt: M, s |= αi genau dann, wenn M, s |= βi .
Aufgabe 2
Eine LogSpace-Turingmaschine ist eine 2-Band-Turingmaschine, deren Bänder den folgenden
Einschränkungen unterliegen:
1. Auf dem ersten Band steht die Eingabe. Auf diesem Band darf nur gelesen aber nicht
geschrieben werden.
2. Auf dem zweiten Band dürfen lediglich O dlog2 ne zusammenhängende Zellen benutzt
werden, wobei n die Länge der Eingabe ist.
Mit NL bezeichnen wir die Klasse aller Probleme, die durch eine nicht-deterministische LogSpaceTuringmaschine entschieden werden können.
a) Das Erreichbarkeitsproblem (engl. reachability) für gerichtete Graphen ist das folgende:
Gegeben sind ein endlicher gerichteter Graph G = (V, E) und zwei Knoten v, v 0 ∈ V .
Die Frage lautet, ob es in G einen gerichteten Weg von v nach v 0 gibt.
Zeigen Sie, dass dieses Problem in NL ist.
b) Das wiederholte Erreichtbarkeitsproblem (engl. recurrent reachability) für gerichtete Graphen ist das folgende: Gegeben sind ein endlicher gerichteter Graph G = (V, E), ein
Knoten v ∈ V und eine Knotenmenge U ⊆ V . Die Frage ist, ob es einen unendlichen
Pfad in G gibt, der in v beginnt und unendlich oft durch Knoten aus U läuft.
Zeigen Sie, dass auch dieses Problem in NL ist.
Bitte wenden!
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2. Übungsblatt Verifikation unendlicher Systeme“
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Aufgabe 3
Wenn man die Syntax aussagenlogischer Formeln um Existenz- und Allquantoren für Aussagenvariablen erweitert, gelangt man zu sogenannten quantifizierten booleschen Formeln. Formal ist die Syntax dieser Formeln durch die folgende Grammatik in EBNF gegeben:
ϕ ::= x | ¬ϕ | (ϕ ∨ ϕ) | (ϕ ∧ ϕ) | ∃x ϕ | ∀x ϕ ,
wobei x ∈ V und V eine unendliche, entscheidbare Menge von (Aussagen-)Variablen ist. Jede
Variable x kann die Werte wahr“ und falsch“ annehmen. Für eine Formel ϕ ist die Menge
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free(ϕ) ⊆ V der in ϕ frei vorkommenden Variablen induktiv über den Aufbau von ϕ definiert:
free(x) := {x}
free(ϕ1 ∨ ϕ2 ) = free(ϕ1 ∧ ϕ2 ) := free(ϕ1 ) ∪ free(ϕ2 )
free(¬ϕ) := free(ϕ)
free(∃x ϕ) = free(∀x ϕ) := free(ϕ) \ {x}
Ein Satz ist eine Formel ϕ ohne freie Variablen, d.h. mit free(ϕ) = ∅.
Modelle dieser Logik sind Mengen X ⊆ V von Variablen. Eine solche Menge X ist Modell
einer Formel ϕ, in Zeichen X |= ϕ, falls sich ϕ unter Belegung der Variablen in free(ϕ) ∩ X
mit wahr“ und denen in free(ϕ) \ X mit falsch“ insgesamt zu wahr“ auswertet. Formal ist
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X |= ϕ induktiv über den Aufbau von ϕ definiert:
X |= x
:⇐⇒
x∈X
X |= ¬ϕ
:⇐⇒
nicht X |= ϕ
X |= (ϕ1 ∨ ϕ2 )
:⇐⇒
X |= ϕ1 oder X |= ϕ2
X |= (ϕ1 ∧ ϕ2 )
:⇐⇒
X |= ϕ1 und X |= ϕ2
X |= ∃x ϕ
:⇐⇒
X ∪ {x} |= ϕ oder X \ {x} |= ϕ
X |= ∀x ϕ
:⇐⇒
X ∪ {x} |= ϕ und X \ {x} |= ϕ
Per Induktion über den Aufbau von ϕ kann man zeigen, dass X |= ϕ genau dann gilt, wenn
X ∩ free(ϕ) |= ϕ gilt. Insbesondere sind für einen Satz ϕ die Aussagen X |= ϕ und ∅ |= ϕ
äquivalent. Sind diese Bedingungen erfüllt, dann ist der Satz ϕ wahr, andernfalls ist er falsch.
Das Erfüllbarkeitsproblem für quantifizierte boolesche Formeln (kurz QBF ) ist das folgende:
Gegeben ist ein Satz ϕ und die Frage lautet, ob ϕ wahr ist.
a) Zeigen Sie, dass es zu jeder geschlossenen quantifizierten booleschen Formel ϕ der Länge n
eine aussagenlogische Formel ϕ̂ der Länge O(2n ) gibt, so dass gilt: ϕ ist genau dann wahr,
wenn ϕ̂ erfüllbar ist.
b) Schlussfolgern Sie, dass QBF in NEXPTIME ist.
Hinweis: NEXPTIME ist die Klasse aller Probleme, die nicht-deterministisch in Zeit
O 2p(n) entschieden werden können, wobei p ein beliebiges Polynom und n die Eingabegröße sind.
c) Zeigen Sie, dass QBF bereits in PSPACE ist.
Hinweis: PSPACE ist die Klasse aller Probleme, die deterministisch in Platz O p(n)
entschieden werden können, wobei p ein beliebiges Polynom und n die Eingabegröße
sind.