Formale Methoden 2 - LS1 - Logik in der Informatik

Formale Methoden 2
Gaetano Geck
(Lehrstuhl I – Logik in der Informatik)
Blatt 3
Aufgabe 1
WS 2015/16
[Wiederholung: Relationen]
3 Punkte
Begründe jeden deiner Lösungsvorschläge.
Wir definieren zwei Relationen auf der Menge M = {1, 2, 3, . . . , 12}:
a)
≡3
≡6
sei
sei
{(x, y) ∈ M 2 | x und y haben bei Division duch 3 denselben Rest},
{(x, y) ∈ M 2 | x und y haben bei Division duch 6 denselben Rest}.
Bestimme die durch ≡3 definierte Partition von M sowie die durch ≡6 definierte Partition von M . Ist ≡3 eine
Verfeinerung von ≡6 ? Ist ≡6 eine Verfeinerung von ≡3 ?
b)
Wir definieren eine binäre Relation auf der Menge aller Mengen natürlicher Zahlen:
R1 = {(M1 , M2 ) | M1 ⊆ N0 , M2 ⊆ N0 , M1 ∩ M2 6= ∅}.
Gib drei verschiedene Mengen M 0 , M 00 , M 000 an, sodass (M 0 , M 00 ) ∈ R1 und (M 0 , M 000 ) ∈ R1 .
Zeige, dass R1 keine Äquivalenzrelation ist.
c)
Wir definiere eine weitere binäre Relation auf der Menge aller Mengen natürlicher Zahlen:
R2 = {(M1 , M2 ) | M1 ⊆ N0 , M2 ⊆ N0 , M1 ⊆ M2 }.
Gib drei verschiedene Mengen M 0 , M 00 , M 000 an, sodass (M 0 , M 00 ) ∈ R2 und (M 0 , M 000 ) ∈ R2 .
Zeige, dass R2 keine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 2
[Definitionen interpretieren]
2 Punkte
Für die in der Vorlesung vorgestellten funktionsfreien Formeln definieren wir die Menge der freien Variablen.
Dies geschieht induktiv1 , indem die Menge zunächst für die einfachsten Formeltypen, die Relationsatome, definiert wird. Im nächsten Schritt wird die Definition dann auf zusammengesetzte Formeln (Negation, Konjunktion,
Disjunktion, existentielle und universelle Quantifikation) ausgedehnt.
Wir setzen eine Datenbank (U, R1 , . . . , Rn ) und eine Menge V von Variablen voraus. Sei ϕ eine funktionsfreie
Formel, dann ist die Menge der freien Variablen von ψ definiert als
free(ϕ) =
free(ϕ) =
free(ϕ) =
free(ϕ) =
{α1 , . . . , αk } ∩ V,
free(ψ),
free(ψ1 ) ∪ free(ψ2 ),
free(ψ) − {x},
falls
falls
falls
falls
ϕ = Ri (α1 , . . . , αk )
ϕ = ¬ψ
ϕ = (ψ1 ∧ ψ2 ) oder ϕ = (ψ1 ∨ ψ2 )
ϕ = ∃xψ oder ϕ = ∀xψ
Bestimme die Menge der freien Variablen für jede der folgenden Formeln. Setze dazu das Universum U =
{1, 2, 3, 4, 5} und die Variablenmenge V = {x, y, z} voraus.
•
•
•
•
•
ϕ1 = R(1, x, 2, y, y)
ϕ2 = S(x, y) ∨ T (y, z)
ϕ3 = ∃zR(x, y, z)
ϕ4 = ∃x∀yR(x, y)
ϕ5 = ∃xT (x) ∧ R(x, y)
(Beachte hierbei, dass ∃xT (x) eine Teilformel ist, T (x) ∧ R(x, y) jedoch nicht.)
1 Auf
diese Vorgehensweise werden wir im weiteren Verlauf der Vorlesung noch genauer eingehen
Formale Methoden 2 (WS 2015/16)
Aufgabe 3
Blatt 3
[Prädikatenlogik: Formeln auswerten]
3 Punkte
Gegeben sei die Datenbank D = (U, Schueler, LK, B) mit
•
•
•
•
dem Universum U = {Amelie, Johann, Vanessa, Mathematik , Informatik , Musik , Deutsch},
der unären Relation (Menge) Schueler = {Amelie, Johann, Vanessa},
der unären Relation (Menge) LK = {Mathematik , Informatik , Musik , Deutsch},
der binären Relation
B
=
{(Amelie, Mathematik ), (Amelie, Informatik ), (Johann, Informatik ),
(Johann, Musik ), (Vanessa, Musik ), (Vanessa, Deutsch)}.
Bestimme den Wahrheitswert folgender Formeln unter der Belegung β, die nur für die Datenwerte im Universum U definiert ist. Beschreibe dazu zunächst kurz, welche Eigenschaft die Datenbank intuitiv erfüllen muss,
damit die Formel wahr wird. Zeige dann mit geeigneten Belegungen, welcher Wahrheitswert sich ergibt.
1. ∃x Schueler(x) ∧ B(x, Deutsch)
2. ¬∃x Schueler(x) ∧ LK(x) 3. ∀x ¬Schueler(x) ∨ ¬LK(x)
Aufgabe 4
[Prädikatenlogik: Formeln erstellen]
2 Punkte
Gegeben sei eine beliebige Datenbank D = (U, R) mit einer binären Relation R.
Gib eine funktionsfreie Formel an, die genau dann den Wert wahr unter der Belegung β, die nur für die Datenwerte im Universum definiert ist, annimmt, wenn die Relation R symmetrisch ist. Beschreibe auch die Intuition
deiner Formel.
Aufgabe 5
[Zusatzaufgabe]
2 Punkte
Wir haben Abbildungen/Funktionen als rechtseindeutige Relationen definiert. Beispielsweise ist die Relation
R = {(1, a), (3, a), (4, c), (5, b)} zwischen X = {1, 2, 3, 4, 5} und Y = {a, b, c, d} rechtseindeutig und kann als
Abbildung r : X → Y mit

a, falls x = 1 oder x = 3



b, falls x = 5
r(x) =

c, falls x = 4



⊥, sonst
interpretiert werden.
Aber auch eine Relation F ⊆ X × Y , die nicht rechtseindeutig ist, kann als Abbildung interpretiert werden.
Dabei muss jedoch der Zielbereich anders gewählt werden: Anstatt Y wird die Potenzmenge P(Y ) verwendet.
Die zugehörige Abbildung f : X → P(Y ) ist dann definiert als
f (x) = {y | (x, y) ∈ F }.
Diese Abbildung ist sogar total.
Bestimme für die Abbildung s, die auf diese Weise durch die Relation S = R ∪ {(1, b), (1, d), (5, a)} zwischen
den oben erwähnten Mengen X und Y definiert wird, den Wert für jedes Argument x ∈ X.
2/2