Probeklausur „Mengen, Relationen, Funktionen“

Name: Vorname: Einführung in die Geometrie
Wintersemester 2007/2008 Probeklausur „Mengen, Relationen, Funktionen“: Lösungen Vorbemerkung: Diese Klausur ist eine reine Übungsklausur und hat keinerlei Auswirkungen auf das Ergebnis Ihrer Teilprüfung! Trotzdem oder gerade weil es eine Übungsklausur ist, wird jede geschriebene Klausur von mir korrigiert und bewertet. Aufgabe 1: Das nebenstehende Venn‐Diagramm kennzeichnet die Teilmengenbeziehungen bezüglich der verschiedenen in der Schule zu behandelnden Vierecksarten. Beschriften Sie die einzelnen Teilmengen so mit diesen Vierecksarten, dass die Teilmengenbeziehungen des Diagramms korrekt sind. Punkte 6 Aufgabe 2: Der Begriff n‐Eck sei bereits definiert. Definieren Sie den Begriff Viereck unter Verwendung des Begriffs Teilmenge. Die Teilmenge aller n‐Ecke, für die n= 4 gilt, heißt Menge der Vierecke.
Punkte 2 Aufgabe 3: Die Menge aller Dreiecke wird im Mathematikunterricht nach zwei Kriterien geordnet. a) Nennen Sie diese beiden Kriterien. Ordnung der Dreiecke nach Winkel bzw. nach Seiten.
Punkte 2 b) Eines dieser beiden Kriterien führt zu keiner Klasseneinteilung auf der Menge aller Dreiecke. Welches? Begründen Sie Ihre Antwort. Die Einteilung der Dreieck nach den Seitenlängen führt zu keiner Klasseneinteilung, da die Menge der gleichseitigen Dreiecke eine echte Teilmenge der Menge der gleichschenkligen Dreiecke ist. Somit sind diese beiden Teilmengen aus der Menge der Dreiecke nicht disjunkt zueinander.
Punkte 4 Aufgabe 4: Kreuzen Sie die entsprechenden Eigenschaften der genannten Relationen in der unten stehenden Tabelle an. Relation reflexiv
symmetrisch transitiv
Gerade a steht senkrecht auf Gerade b x
i
Gerade m ist Mittelsenkrechte von Strecke „kleiner/gleich„ auf der Menge der Steckenlängen
x
x Punkte 9 Name: Vorname: Aufgabe 5: Gegeben ist die folgende Teilmenge W des Kreuzproduktes : 10,2 , 6,2 , 10,5 , 6,3 , 2,2 , 3,1 , 6,6 Handelt es sich bei der Relation W um eine Abbildung? Begründen Sie Ihre Antwort. Es handelt sich nicht um eine Abbildung, da z.B. die Zahl 6 sowohl im geordneten Paar 6,2 als auch im
geordneten Paar 6,3 an erster Stelle auftaucht, womit die Rechtseindeutigkeit (Eindeutigkeit) von W nicht gewährleistet ist. Punkte 3 Aufgabe 6: Es sei eine Ebene und ein Dreieck in dieser Ebene. Ferner sei ein Punkt der Ebene . Wir definieren die folgende Relation auf der Menge der Punkte der Ebene: , |
. a) Ist linkstotal? Begründen Sie Ihre Antwort. ist nicht linkstotal. Anders ausgedrückt: ist keine Relation von sondern nur aus . Begründung: Es existieren Geraden in , die durch Z gehen und das Dreieck nicht schneiden. Punkte 3 b) Ist rechtseindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort. ist auch nicht rechtseindeutig (eindeutig).
Begründung: Es sei g eine Gerade, die durch Z geht und eine Seite des Dreiecks schneidet g eine weitere Seite von . Punkte c) Ist surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort. schneidet. In diesem Fall 3 ist auch nicht surjektiv. Begründung: An zweiter Stelle der geordneten Paare der Relation treten nur Punkte des Dreiecks auf. Nicht jeder Punkt der Ebene ist ein Punkt des Dreiecks . Punkte 3 Aufgabe 7: Geben Sie drei Bijektionen aus der Schulmathematik an. Lineare Funktionen, Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen, zentrische Streckungen, Ähnlichkeitsabbildungen, Kongruenzabbildungen ...
Punkte 3 Auswertung: Punk
te 38 Note 1 37 36 35 34 33
1 1,5 1,5 2 2
32 31 30 29
28
27
26
25
24
23
22
21
20 19 18 17
16
15
14
13
2 2,5 2,5 3
3
3
3,5
3,5
4
4
4
4,5
4,5 4,5 5 5
5
5,5
5,5
5,5
erreichte Punktzahl: Note: i
Die genannten Eigenschaften können nur auf Teilmengen aus Kreuzprodukten vom Typ MxM zutreffen. (Kreuzprodukt einer Menge mit sich selbst.)