Datei: AtGPE914 (Word2000

Datei:
AtGPE914.doc (Word2000-Format)
Schule:
Pestalozzi-Gymnasium Dresden
E-Mail: [email protected]
Autor / Ansprechpartner: Dr. Rainer Heinrich
Quelle / Literaturhinweise:
Eigene Entwicklung
Systematische Einordnung:
Schlagworte inhaltlich:
Planimetrie, Zufallsversuche, Wahrscheinlichkeiten, Simulation, Ähnlichkeit
Schlagworte didaktisch:
GTR, Modellierung, Simulation, Programmierung, Textproduktion, Gruppenarbeit,
Erarbeitung
Unterrichtliche Einordnung:
Jahrgangsstufe:
Thema:
Zeitumfang:
Klasse 9
Ähnlichkeit
3 Unterrichtsstunden
Anliegen / Ziele:
Hauptanliegen der skizzierten Unterrichtssequenz ist es, am Beispiel der Einführung
des Begriffs „Ähnlichkeit“ einen Beitrag zur Begriffsbildung und damit zur
Weiterentwicklung der mathematischen Fachsprache (in Abgrenzung zur
natürlichen Sprache) zu leisten. Dabei wird als Methode das entdeckende Lernen
durch die Schüler unter Nutzung der Simulation von Zufallsversuchen verwendet. Ein
weiteres Ziel ist, dass die Schüler selbstständig unbekannte mathematische
Zusammenhänge erkennen und in Form von Text aufschreiben können. Nicht zuletzt
dienen die im Zusammenhang mit der Lösung der Aufgabe auftretenden
überraschenden Effekte auch der Motivation der Schüler für die Beschäftigung mit
Mathematik. In der Unterrichtssequenz werden „typische“ Inhalte der Stochastik mit
solchen der Geometrie verknüpft.
Unterrichtliche Voraussetzungen:
Die Schüler sind mit Simulationen von Zufallsversuchen aus dem Unterricht zur
Stochastik vertraut und haben solche am GTR vorgenommen. Sie haben in
vergleichbaren Situationen kurze mathematische Texte produziert.
Sie kennen noch nicht den Begriff ”Ähnlichkeit” im mathematischen Sinne.
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Beschreibung der unterrichtlichen Maßnahme:
Die Schüler erhielten die unten angegebene komplexe Aufgabe. Sie arbeiteten in
Gruppen zu je 4 Schülern.
Das GTR-Programm mussten die Schüler nicht selbst eingeben, es wurde durch den
Lehrer zur Verfügung gestellt.
Die Schüler hatten 75 Minuten Zeit zur Bearbeitung.
Danach wurde mit der Auswertung des Teiles I der Aufgabe begonnen. Die Teile II
und III wurden in der Folgestunde ausgewertet.
Aufgabe:
I. Teil:
Die Eckpunkte eines Dreiecks sind mit ”1”, ”2”, ”3” bezeichnet.
a) Ein Zufallsversuch besteht in der zufälligen Auswahl einer Ecke des Dreiecks.
Jede Ecke werde mit derselben Wahrscheinlichkeit gewählt.
Jürgen führt den Versuch mit einem geeigneten Zufallsgerät 500 mal durch.
Wie oft kann er die Ecke ”1” als Ergebnis erwarten?
Wie oft kann er eine ungerade Zahl erwarten?
b) Beschreibe, wie man unter Nutzung des GTR oder eines geeigneten
Zufallsgerätes den Zufallsversuch simulieren kann.
II. Teil:
Hanka erfindet folgendes Spiel:
Die Punkte ”1”, ”2” und ”3” seien Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
Ferner sei P ein beliebiger Punkt im Inneren dieses Dreiecks. Mithilfe eines
geeigneten Zufallsgenerators wird eine der drei Ecken (mit je gleicher
Wahrscheinlichkeit) ausgewählt. Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke dieses
gewählten Punktes mit dem Punkt P wird konstruiert und als neuer Punkt P
bezeichnet. Jetzt wird wieder eine Ecke des Dreiecks zufällig ausgewählt und das
Verfahren wiederholt.
a) Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis b=20 cm und den Schenkeln
s=16 cm. Führe das Verfahren 10 mal aus und konstruiere die entsprechenden
Punkte.
b) Beschreibe das Verfahren mit eigenen Worten.
c) Erkennst du eine Gesetzmäßigkeit in der Lage der Punkte?
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III. Teil:
Winfried hat ein Programm für den GTR (hier TI – 92) geschrieben, welches dieses
Verfahren realisiert:
dreieck()
Prgm
ClrDraw
-0.1  xmin
10.1  xmax
0  xscl
-0.1  ymin
5  ymax
0  yscl
PtOn 0,0
PtOn 10,0
PtOn 5,5
10  p
5q
Lbl a
rand(3)  z
If z=1 Then
0x
0y
EndIf
If z=2 Then
10  x
0y
EndIf
If z=3 Then
5x
5y
EndIf
(x+p)/2  p
(y+q)/2  q
PtOn p,q
Goto a
EndPrgm
Alle Zeichnungen werden gelöscht.
Das Darstellungsfenster wird eingestellt.
Die Eckpunkte werden gezeichnet.
................................................................................................
Falls z den Wert 1 besitzt, wird der Punkt (0;0) gewählt.
................................................................................................
................................................................................................
Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke
werden berechnet.
................................................................................................
................................................................................................
a) Fülle die Lücken im Text aus.
b) Schreibe die Koordinaten der Eckpunkte des von Winfried gewählten Dreiecks
auf.
c) Führe das Programm aus. Brich nach 4 Minuten ab. Erkennst du jetzt eine
Gesetzmäßigkeit in der Anordnung der Punkte?
d) Man bezeichnet die entstehenden Dreiecke als ähnliche Dreiecke.
Suche Eigenschaften zueinander ähnlicher Dreiecke und vergleiche diese mit
den Eigenschaften zueinander kongruenter Dreiecke. Schreibe eine Definition für
„zueinander ähnliche Dreiecke“ auf.
e) Vergleiche die Verwendung des Wortes „Ähnlichkeit“ in der Umgangssprache
und in der Mathematik.
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Erfahrungen / Bemerkungen:
Die Form, Aufgabenlösen in Gruppenarbeit zu realisieren, war den Schülern
500
bekannt. Im Teil I(a) wurde auf den Erwartungswert
geschlossen.
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Die Beschreibung der Zufallsgeräte führte u. a. zum Würfel (entsprechende
Einteilung der 6 Ergebnisse) bis hin zur Nutzung des Zufallsgenerators des GTR.
Ausgewählte Schülerantworten:
”Man benutzt den Befehl Rand(3). Damit hat man eine Zahl von 1 bis 3 und auch die
Ecke des Dreiecks.”
”Bei einem Würfel wird bei der 1 und 2 die Ecke ”1” gewählt, bei 3 und 4 die Ecke ”2”
und bei 5 und 6 die Ecke ”3”.”
”Man würfelt einmal und teilt das Ergebnis durch 2. Danach wird der Zufallsversuch
400 mal wiederholt. Die gezogenen Ergebnisse sind die Anzahl der Ecken.”
”Ich nehme ein dreiseitiges Glücksrad. ...”
Im Teil (II) wurde bei b) im Wesentlichen der Wortlaut der Aufgabenstellung
wiedergegeben. Die Konstruktion führte (natürlich) nicht zum Erkennen von
Gesetzmäßigkeiten.
Im Teil III erhielten die Schüler nach Ausführung des Programms folgendes Bild:
Die Koordinaten der Eckpunkte wurden aus
dem Programmlisting herausgefunden.
Die Schüler fanden die Winkelgleichheit
ähnlicher Dreiecke selbständig. Die Beziehung
der Verhältnisse entsprechender Seitenlängen
fanden nur wenige Gruppen heraus.
Schülerantworten:
”Ähnliche Dreiecke haben alle Winkel gleich groß.”
”In ähnlichen Dreiecken stimmen die entsprechenden Winkel überein. Die Seiten
sind maßstäblich vergrößert oder verkleinert.”
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Fazit:
Die Schüler waren in der Lage, wesentliche Eigenschaften der Relation „Ähnlichkeit“
selbständig zu entdecken sowie markante Eigenschaften ähnlicher und kongruenter
Dreiecke zu vergleichen.
Die Planung und Durchführung der Simulation einschließlich der verständigen
Nutzung von Rechenhilfsmitteln bereitete den Schülern keine Schwierigkeiten.
Die Schüler waren erstaunt über das Ergebnis der Anordnung der Punkte. Sie
wurden auf das Auftreten ähnlicher Strukturen (Fraktale) in der Natur hingewiesen.
Es hat sich gezeigt, dass das Vorgehen zur Motivation der Schüler beitrug, sich mit
der Begriffsbildung auseinander zu setzen.
Die Begründung der Entstehung des Sierpinski-Dreiecks wurde in der
Unterrichtssequenz nicht geliefert. Es wäre möglich, dass interessierte Schüler im
Rahmen eines Schülervortrages diese Begründung in einer der Folgestunden liefern.
Ferner zeigte sich, dass die Produktion von Text den Schülern nicht leicht fiel, aber
im Sinne des verständigen Lernens und der Schulung des Umgangs mit
mathematischen Objekten entwickelbar ist.
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