Lösungsvorschläge - Uni

Lösung der Wettbewerbsaufgaben vom 2.
Bayreuther Tag der Mathematik
5.–6. Klasse
Vorbemerkung: Die hier angegebenen Lösungen sind sehr längliche Lösungen,
die häufig etwas mehr zeigen, als in der Aufgabenstellung gefordert. Sicherlich
gibt es kürzere und elegantere Lösungen. Auch bei den Lösungswegen sind viele
Varianten denkbar. Vorschläge für alternative Lösungswege, bessere Erläuterungen, Hinweis auf (Rechtschreib-)Fehler, Unklarheiten oder sonstige Kommentare
zu dieser Sammlung von Lösungen nehmen wir sehr gerne auf. Einfach eine Email
an [email protected] schreiben.
Aufgabe 1: Man muss maximal 3 Kugeln ziehen. Dass man mindestens zwei
Kugeln ziehen muss, damit man zwei Kugeln der gleichen Farbe haben kann,
ist klar. Zieht man zwei Kugeln, so kann es passieren, dass sie unterschiedliche
Farben (eine blaue und eine rote Kugel) haben oder dass sie die selbe Farbe
besitzen (zwei rote oder zwei blaue Kugeln). Die erste Fall (eine rote und eine
blaue Kugel) ist der schlechteste Fall. Zieht man nun eine weitere Kugel, so muss
diese entweder rot oder blau sein, so dass man nach Ziehen der dritten Kugel auf
jeden Fall ein gleichfarbiges Kugelpaar hat.
Aufgabe 2:
Aufgabe 3: Eine mögliche Variante das Sudokurätsel zu lösen besteht darin,
zunächst in jedes Quadrat die Zahlen von 1 bis 9 zu schreiben. Nun streicht man
in jedem Kästchen die geraden Zahlen durch, wenn es nicht schraffiert ist, und
streicht die ungeraden Zahlen durch, wenn das Kästchen schraffiert ist. Man kann
noch mehr Zahlen in den einzelnen Kästchen streichen. In jeder Zeile, in jeder
Spalte und in jedem 3 × 3-Teilkästchen darf jede Zahl nur ein Mal vorkommen.
Bleibt in einem Kästchen nur eine Zahl übrig, so muss diese Zahl in dem Kästchen
stehen. Ist in einer Zeile bestimmte Zahl nur in einem einzigen Kästchen nicht
1
durchgestrichen, so muss diese Zahl in diesem Kästchen stehen. Das gleiche Argument, kann man natürlich auch für Zeilen oder 3 × 3-Teilkästchen anwenden.
Wenn man eine Zahl in ein Kästchen eingetragen hat, kann man möglicherweise
wieder Zahlen in anderen Kästchen durchstreichen. Führt man das beschriebene
Verfahren eine Zeit lang durch, so erhält man nach einer kurzen Weile folgende
Lösung.
5
2
1
6
9
3
7
8
4
4
6
7
2
8
1
9
5
3
9
8
3
4
5
7
2
1
6
2
5
9
1
6
8
3
4
7
8
3
4
7
2
5
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9
1
7
1
6
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4
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2
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4
5
9
7
2
1
6
8
1
9
8
5
3
6
4
7
2
6
7
2
8
1
4
5
3
9
Wir möchten bemerken, dass es eine ganze Reihe von Lösungstechniken für normale Sudoku’s gibt. Einige davon sind ziemlich ausgefuchst. Im Internet gibt
es reichlich Material hierzu. Da unser Rätsel die Sudoku-Regeln erfüllt sind alle
diese Techniken anwendbar, bei unserem einfachen Beispiel aber nicht wirklich
nötig.
Aufgabe 4:
Wir bemerken zunächst zwei einfache Fakten:
(1) Gibt es in der Anordnung zwei Punkte, die durch eine Linie miteinander
verbunden sind, so kann man die Punkte nicht mit einem einzigen Farbstift
(unter Einhaltung der Regeln) anmalen. In der 1. Zeile der Lösungstabelle
stehen also lauter Nullen.
(2) Gibt es ein Dreieck, also drei Punkte, so dass jeder Punkt mit jedem anderen
mit einer Linie verbunden ist, so benötigt man mindestens drei verschiedene
Farbstifte. In den Fällen c) und e) gibt es also auch für zwei Farbstifte keine
Lösung, also 0 verschiedene Lösungen.
2
Schauen wir uns nun die Fälle a), b) und d) an. Sie bestehen jeweils aus einer
Kette von 2, 3 bzw. 4 Punkten. So eine Kette malen wir von links nach rechts
an. Den ersten Knoten können wir mit einer beliebigen Farbe anmalen. Für den
nächsten Knoten können wir alle Farben, außer die Farbe seines linken Nachbarns,
verwenden. Wir erhalten also:
a) 1 · 0 = 0 Möglichkeiten für einen Farbstift.
2 · 1 = 2 Möglichkeiten für zwei Farbstifte.
3 · 2 = 6 Möglichkeiten für drei Farbstifte.
4 · 3 = 12 Möglichkeiten für vier Farbstifte.
r · (r − 1) Möglichkeiten für r Farbstifte.
b) 1 · 0 · 0 = 0 Möglichkeiten für einen Farbstift.
2 · 1 · 1 = 2 Möglichkeiten für zwei Farbstifte.
3 · 2 · 2 = 12 Möglichkeiten für drei Farbstifte.
4 · 3 · 3 = 36 Möglichkeiten für vier Farbstifte.
r · (r − 1)2 Möglichkeiten für r Farbstifte.
d) 1 · 0 · 0 · 0 = 0 Möglichkeiten für einen Farbstift.
2 · 1 · 1 · 1 = 2 Möglichkeiten für zwei Farbstifte.
3 · 2 · 2 · 2 = 24 Möglichkeiten für drei Farbstifte.
4 · 3 · 3 · 3 = 108 Möglichkeiten für vier Farbstifte.
r · (r − 1)r Möglichkeiten für r Farbstifte.
Betrachten wir nun die Anordnung c). Fangen wir mit einem Punkt an, so können
wir eine beliebige Farbe verwenden. Für den zweiten Punkt können wir eine
beliebige Farbe, außer die des ersten Knotens verwenden. Für den dritten Knoten
können wir alle Farben, außer die Farbe des ersten und des zweiten Knotens (die
ja unterschiedlich sein müssen) verwenden. Wir erhalten also:
c) 1 · 0 · (−1) = 0 Möglichkeiten für einen Farbstift.
2 · 1 · 0 = 0 Möglichkeiten für zwei Farbstifte.
3 · 2 · 1 = 6 Möglichkeiten für drei Farbstifte.
4 · 3 · 2 = 24 Möglichkeiten für vier Farbstifte.
r · (r − 1)(r − 2) Möglichkeiten für r Farbstifte.
Der Fall e) ist zum Fall c) ziemlich ähnlich. Färben wir zunächst das Dreieck.
Die Anzahl der Möglichkeiten kennen wir ja bereits aus Fall c). Betrachten wir
nun den neuen zusätzlichen Knoten. Er kann mit einer beliebigen Farbe, außer
der seines Nachbars, angemalt werden. Wir erhalten also:
3
e) 1 · 0 · (−1) · 0 = 0 Möglichkeiten für einen Farbstift.
2 · 1 · 0 · 1 = 0 Möglichkeiten für zwei Farbstifte.
3 · 2 · 1 · 2 = 12 Möglichkeiten für drei Farbstifte.
4 · 3 · 2 · 3 = 84 Möglichkeiten für vier Farbstifte.
r · (r − 1)2 (r − 2) Möglichkeiten für r Farbstifte.
Die komplizierteste Anordnung ist Fall f). Betrachten wir einen Knoten und nennen ihn A. Es gibt nun genau einen Knoten, die nicht durch eine Kante mit A
verbunden ist. Nennen wir diesen Knoten nun B. Die anderen zwei Knoten bezeichenen wir mit C und D. Wir bemerken: Der Knoten C darf eine beliebige Farbe
besitzen, sie muss nur anders sein, als die von A und die von B. Entsprechendes
gilt für den Knoten D. Wir unterscheiden also nun zwei Fälle, je nach dem, ob
A und B die selbe Farbe besitzen oder nicht.
(i) A besitzt die selbe Farbe wie B: Für r Farbstifte gibt es hierfür genau
r Möglichkeiten. Färbt man nun noch C und D, so ergeben sich |{z}
r ·
A und B
(r − 1) · (r − 1) Möglichkeiten.
| {z } | {z }
C
D
(ii) A und B besitzen unterschiedliche Farben: Für r Farbstifte gibt es hierfür
genau r · (r − 1) Möglichkeiten. Färbt man nun noch C und D, so ergeben
sich r(r − 1) · (r − 2) · (r − 2) Möglichkeiten.
| {z } | {z } | {z }
C
A und B
D
Addiert man nun die Fälle (i) und (ii) zusammen, so lässt sich die Formel für
Anordnung f) noch etwas vereinfachen:
r(r − 1)2 + r(r − 1)(r − 2)2 = r(r − 1)(r2 − 3r + 3)
Insgesamt ergibt sich also
#
a)
b)
1 0
0
2 2
2
3 6
12
4 12
36
r
r(r − 1) r(r − 1)2
folgende Lösungstabelle:
c)
d)
0
0
0
2
6
24
24
108
r(r − 1)(r − 2) r(r − 1)3
e)
f)
0
0
12
84
r(r − 1)2 (r − 2)
Für zwei Farben haben wir alle Möglichkeiten ein mal aufgelistet:
a)
b)
c)
d)
f)
e)
s
c
c
s
c
c
s
s
c
s
c
c
s
c
s
s
c
s
s
c
c
s
c
s
s
c
4
0
2
18
84
r(r − 1)(r2 − 3r + 3)