Handbuch der theorie der gammafunktion

'«
.^^'
cßjj£i^
.*-^
cRi^Si^
\
*^^
cPuj£ir
HANDBUCH
DER THEORIE DER
GAMMAEUNKTION
VON
Db NIELS NIELSEN
MATHIMAIIK AS DBB U5ITEKSITÄT KOPMHAGEt
»iXMIABM
raePMTOE EBS MATHKXATISCMS rSTXKRICHTS AH DEÄ GTICKASIKII
DOZKltT DEE BEISES
UNIVER5
OF
LEIPZIG
DRUCK UND VERLAG VON
1906
B. G.
TEÜBNER
^^*'
'ii>
'''*'EHAL
ALLE BECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBEBSETZUNGSBECHTS, VOBBEHALTEN.
Sia±.
HERRIST
GENERALMAJOR
V.
H. 0.
MAUSEN
VORSITZENDEM DER MATHEMATISCHEN VEKEaNIGTJNG IN KOPENHAGEN
AUS INNIGSTER DANKBARKEIT GEWIDMET
VOM VERFASSER
157541
VorTTort.
Die Grammafunktion hat für die Entwicklung der modernen
Analysis eine -«viclitige Rolle gespielt: denn obgleich diese Funktion
als eine der einfachsten
muß, so
ist sie
zendente
nicht
e-^,
Transzendenten überhaupt bezeichnet werden
doch so
daß
sie
yiel
komplizierter als
die Elementartrans-
Eigenschaften besitzt, welche dieser Funktion
zukommen.
In der Tat haben die
durch Gammafunktionen ausdrückbaren
Integrale bei der Grundlegung einer strengen Theorie der bestimmten
während
Integrale überhaupt eine Rolle gespielt,
Stirlingsche Reihe
anregte.
st^Uimg
zum Studium
Tor allem
von
JTi.r'
ist
die
aber
die
merkwürdige
der asymptotischen Dai-stellungen
zu
erwähnen, daß die Produkt dar-
Weierstraßsche
Zerlegung
der
ganzen
transzendenten Funktionen in Primärfaktoren hervorgerufen hat.
Wir
finden daher,
daß
die
hervorragendsten Analysten
Zeiten nach der Einführung von r{x)
diese interessante
aller
Funktion
studiert haben.
Nach diesen Tatsachen ist es aber sehr merkwürdig, daß
dem Erscheinen des Legendreschen Traite keine einzige Arbeit
öffentlicht
seit
ver-
worden ist, welche eine für ihre Zeit vollständige DarGammafunktion versucht hat; denn die recht zahlreich
stellung der
vorhandenen Monographien betrachten nur diesen oder jenen Abschnitt
der Theorie unserer Funktion.
eine große Unklarheit über
Demzufolge herrscht recht häufig
die Prioritätsfi-aoren,
und mehr
als
ein
bedeutender Mathematiker hat Sätze und Methoden, die altbekannt
waren, wiedergefunden und als neu publiziert.
Das vorliegende Handbuch, welches
das
Resultat
mehr
als
zwanzigjähriger Studien und Untersuchungen des Verfassers bildet,
versucht
eine
der
Jetztzeit
entsprechende
Gesamtdarstellung
der
Haupteigenschaften der Gammafimktion und verwandter Funktionen
in möglichst elementarer
Form
zu geben.
Um
dies fertig zu bringen,
habe ich die überaus reiche Literatur so sorgfältig, wie
es
mir
überhaupt möglich war, durchmustert; dennoch darf ich natürlich
nicht behaupten, daß die Quellenzitate in
meinem Buche
überall die
Vorwort.
VI
endgültig
Prioritätsfragen
beantworten.
aufgenommen
sätze
während
sind,
Ahnliclies
daß darin
Literaturverzeichnis; ich hoffe,
alle
wohl möglich
es
über
gilt
das
wichtigeren Arbeiten
ist,
daß kleinere Auf-
mir entgingen.
Der erste Teil des Buches gibt in elementarer Form, als Anwendung der Theorie der analytischen Funktionen und ohne Zuhilfenahme bestimmter Integrale, die Fundameutaleigenschaften der Gammafunktion und verwandter Funktionen.
Im zweiten Teile werden die Euler sehen Integrale und die
bestimmten Integrale elementarer* Funktionen behandelt, die sich in
einfacher
Form durch Gammafunktionen ausdrücken
lassen.
Bei der endgültigen Ausarbeitung dieser beiden Abschnitte, die
wortgetreu meine erste Vorlesung
an
der
Universität
hiesigen
als
Dozenten der reinen Mathematik
wiedergeben,
sind
insbesondere
zwei
Arbeiten von durchgreifender Bedeutung für mich gewesen, nämlich
die
schönen Abhandlungen von
Der
und
dritte
Gammafuiiktion
als
letzte Teil
Pringsheim und Jensen.
des Buches behandelt die reziproke
Entwicklungsfunktion, indem er die
fasser entwickelte Theorie der Fakultätenreihen darstellt.
Abschnitte findet
man wohl
die
erste
vollständige
vom
Ver-
In diesem
Würdigung
der
tiefgehenden Gedanken, denen schon im Jahre 1730 Stirling Aus-
dmick verlieh.
Was
endlich
die
Verallgemeinerungen und Analogien
betrifft,
so habe ich dieselben nicht behandelt, weil sie in der Tat von keiner
wirklichen Bedeutung für die Gammafunktion selbst gewesen sind
oder sein werden-, dagegen findet
man
die betreffenden Arbeiten
im
letzten Abschnitte des Literaturverzeichnisses angeführt.
Es ist mir eine teuere Pflicht, Herrn Generalmajor V.H.O. Madseu
meinen herzlichsten Dank auszusprechen für das freundliche Interesse,
das er auch der Ausarbeitung dieses Buches entgegengebracht hat,
und
für
seine
Anregungen und Aufmunterungen während der
vor-
hergehenden schwierigen Untersuchungen und weitläufigen Studien.
Endlich
muß
ich vor allem
noch der Verlagsbuchhandlung für
Entgegenkommen und für die schöne Ausstattung
Buches meinen besten Dank aussprechen.
ihr freundliches
des
Kopenhagen,
den
7.
Oktober 1905.
Dr. Niels Nielsen.
Inhalt.
Erster Teil.
Anahiisclie Theorie der Oammafnnktion.
Kapitel
I.
Fundamentaleigenschaften der Funktionen r{x)
md
§
1.
§
2.
§
3.
§
4.
^(X)'
Seite
Die Differenzeugleicliung der Gammafanktion
Die Eulersche Konstante
Allgemeine Auflösung der DiflFerenzengleichung §
Die Gamma- und Betafunktionen
3
6
9
1, (1)
1-
§
5.
§
6.
Die Funktionen W{x) und ß{x)
Das Multiplikationstheorem von Gauß
17
§
7.
Satz von
Gauß über ^l-) undß(^\
20
§
8.
Über r{u -f
%
9.
Einführung der Funktionen P^Oc) und Q^i^)
Die Funktionenwerte P^'») und Qai"") for ganze u
iv) für reelle
§ 11.
§ 12.
§ 13.
23
« und v
Die Funktionell P^ix) und Q^ix).
Kapitel H.
§ 10.
15
25
27
30
Auflösung einer Differenzengleichung
Über PJ.x) für reelle a und x
Satz von Bourguet über die Xullstellen von P(x)
32
34
Entwicklungen in Fotenzreihen.
Kapitel IQ.
+
§ 14.
Entwicklungen von W{1
§ 15.
Potenzreihenentwicklungen für F(l
x),
ß{l
+ x)
-|-
"id log r(l
x)
+ x)
.
.
und
§ 16.
Independente Darstellung der Koeffizienten c„ und y„
§ 17.
Über die Funktion
§ 18.
Über die Zahlenwerte
B (~^ ~)
.
.
37
40
42
44
,
§ 20.
und ff„
Reduktion einiger Produktsummen der Zahlen s,, und 6„
Anwendungen auf (9\x) + C)», ß^{x) und ß{x){W{x) -\- C)
§ 21.
Bestimmung
§ 22.
Die hyiiergeometrische Reihe F{a,
§ 23.
§ 24.
Verallgemeinerungen der Goldbachschen Reihe
Durch W(x) summierbare unendliche Reihen
59
§ 25.
Durch r{x) und W{x) ausdrückbare unendliche Produkte
62
§ 19.
Kapitel IV.
.<;„
46
49
51
Auswertung unendlicher Reihen und Produkte.
einiger Grenzwerte
Kapitel V.
54
56
ß, y, 1)
58
Fakultäten und Fakultätenkoefflzienten.
und zweiter Art
§ 26.
Die Stirlingschen Zahlen erster
§ 27.
Anwendungen der
§ 28.
Die Stirlingschen Polynome
§ 29.
Sukzessive Berechnung der Polynome
§30.
Die Stirüngsche Fakultätenreihe für 1
Stirlingschen Zahlen
66
69
71
'V'„(«)
75
(x
77
:
— a)
Vin
Inhalt.
Seite
Fakultätenreihen für
Kapitel VI.
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
ß{x), ii{x)
Die Stirlingsclie Fakultätenreihe für ß{x)
Gleichmäßige Konvergenz gewisser Reihen.
und
v(x).
79
Entwicklungen von
— —
a)
{W{x
W{x)) und ß{2x)
Die Funktionen v(x), P{x,y) und &{x,y). Reihen von Binet
Die Funktion fi(ic). Reihen von ßinet. Integralformel von Raabe
.
Kapitel VII.
Die Funktionen r{x) und W{x) für sehr große
und N(x,
.
82
.
.
84
86
ja;j.
§ 35.
Potenzreihen in a für M{x,
§ 36.
Die Formel von Stirling
91
§ 37.
Die Funktionen
92
§ 39.
ii{x) und v{x)-f\iT sehr große \x
Die wesentlich singulare Stelle a;=Oü für r(a;). Formel von Pincherle
Die Nullstellen von W{x)
§ 40.
Über
§ 41.
Hilfssatz.
§ 42.
Unmöglichkeit der hypothetischen Gleichung
§43.
Über
§ 44.
Anwendungen auf
§38.
die Nullstellen von
cc)
90
a)
98
101
|3(ic)
Der Satz von Holder.
Kapitel VIII.
Über eine Differenzengleichung
die Funktionen
96
i'cp{x)dx
und
e
J
103
F^^^
^0
105
''^^^''''^
108
die vorhergehenden Funktionen
.......
110
Zweiter Teil.
Bestimmte Integrale.
Kapitel IX.
über die Integralgattung
§ 45.
Fundamentaleigenschaften des Integrals
§ 46.
Integraldarstellungen von
S8(a;)
+
SSj (a;)
Sß(«).
115
SS(a;)
und
$8(a;)
%{x)
....
118
§ 47.
Die Fundamentaloperationen der Analysis
120
§ 48.
122
§ 49.
Die Fundamentaloperationen der Differenzenrechnung
Binomialkoeffizientenentwicklung für ^{x)
124
§ 50.
Partialbi-uchentwicklung für
127
§ 51.
Anwendungen auf
33 (a?)
die Funktion 3S(«)
Kapitel X.
=—
128
Das erste Eulersche Integral.
—
§ 52.
Bestimmung des
§ 53.
Integraldarstellungen für die Betafunktion
133
§54.
Die Zahlenwerte
r (^\
136
§ 55.
§ 56.
Die Entwicklungskoeffizienten b^ und ß^ des § 17
Allgemeingültige Integraldarstellung für JB{x,y)
§ 57.
Integraldarstellungen für r{x)
142
§ 58.
Verallgemeinerung der Integraldarstellung für Fix)
146
Kapitel
Integrals
XL
(
und
|
r(^\
131
139
140
Das zweite Eulersche Integral.
IX
Inhalt.
Seit«
!*'<
Die Integraldarstellung von Weierstraß
Der Zusammenhang zwischen r(x) und Bix^y)
§ 59.
§60.
Ii8
Dureh Gamiuafnnktionen ansdrückhare Integrale.
Kapitel XII.
§61.
Das
§6-2.
Die Integrale
IvLiegisX
150
Ce~*^t'~^dt
X
152
Tg?^ {<&}«'" ^/f
ö
Iö4
§ 65.
Das Integral von Laplace
Das Integral von Cauchy
Methode von Kummer. Die hyiiergeometrische Reihe
§ 66.
Transformation von Schlömilch
163
§ 67.
Mehrfache Integrale von Dirichlet und Liouville
165
§ 63.
§ 64.
Kapitel XIII.
15'<^
161
Die Fnnktionen ^{x) und log r{x),
Integrale von Legendre für ß(x)
172
§ 71.
und V{x) -\- C
und B-x^y)
Integraldarstellungen erster Gattung für n{x) und v{xj
Integraldarstellungen zweiter Gattung füi uix) und v{x)
168
Die Derivierten von Fix
§ 72.
Die Funktion W(x:
183
§ 73.
Die Funktion log r{x)
185
§ 74.
Einige
§ 68.
§ 69.
§ 70.
§ 75.
Anwendungen der Funktion v(x)
Produkte und Quadrate von §{x) und {Wx)
Anweudungeu.
Kapitel XIV.
189
193
Keihen für log r(x) und V{x),
Verallgemeinerung der Gaußschen Multiplikationsformel
§ 77.
Reihe von
§ 78.
Reihe von Lerch für ''¥(x) sin »x
Die Stirlingsche Reihe für log F'x)
§ 79.
Kapitel
§
§
80.
XV.
180
C
-\-
§ 76.
Kummer
174
196
198
für log r{x)
202
205
Die Fnnktionen
Integraldarstellungen.
P^(.»
und
Q^{x),
...
Genre von Q„{x)
=
209
81.
über
für positive a
211
Die Reihenentwicklung von Hermite
Die Reihenentwicklung von MeUin
Kettenbruch von Legendre
Kettenbrüche von Schlömilch und J. Tannerv
-13
§
82.
§
83.
§
84.
§
85.
§
86.
§
87.
§
§
§
die Gleichung Q^{x)
Kapitel XVI.
214
216
218
Die Umkehrproblenie von Melliu.
219
Das erste Umkehrproblem
Das zweite ümkehrproblem
222
88.
ümkehrung
224
89.
90.
Über Binomialkoeffizientenentwicklungen
Anwendungen des ersten Umkehrproblems
§
91.
Anwendung auf
§
92.
Anwendungen auf
der Eulerschen Integrale
die Funktionen
^{x)
—
und W{x)
und log
-\-
C
225
228
(\ -\-
x)
229
231
X
Inhalt.
8
it«
Dritter Teil.
Theorie der Fakultätenreilien.
Kapitel XVII.
Fundamentaleigenschaften der Fakultätenreihen.
§
93.
Über die Konvergenz einer Fakultätenreihe
237
§
94.
Integraldarstellung von Sl(x)
239
§
95;
Herleitung eines Hilfssatzes
§
96.
Bestimmung der Funktionen,
wickelt vs^erden können
§
97.
Konjugierte Funktionen
§
98.
Herleitung einiger Hilfsformeln
249
§
99.
Multiplikation zweier Fakultätenreihen
252
Kapitel XVIII.
§ 100
Anwendungen.
241
die
eine Fakultätenreihe
in
ent-
244
247
Algorithmus der Fundamentaloperationen.
Das Produkt
—X
255
Sl(x)
und Integration einer Fakultätenreihe
und endliches Integral einer Fakultätenreihe
258
§ 101.
Differentiation
§ 102.
Differenz
§ 103.
Über lineare Differenzengleichungen
§ 104.
Transformation eines bestimmten Integrals
265
§ 105.
267
§ 107.
Durchführung eines Spezialfalles
Der allgemeine Fall
Über die rationalen Werte des Multiplikators
§ 108.
Anwendungen auf
271
Kapitel XIX.
§ 106.
260
261
Multiplikation des Argumentes in
Sl{x),
268
270
ß{x)
Kapitel XX.
Methoden ron Stirling.
§ 109.
Erste Methode von Stirling.
§ 110.
Zweite Methode von Stirling
§ 111.
Asymptotische Entwicklung für Sl{x
§ 112.
Entwicklungen von Sl{u
§ 113.
Reihe von Schlömilch für Q^{x)
282
§ 114.
§ 115.
Die Reihen von Binet für ^{x) und v(x)
Andere Fakultätenreihen aus der Theorie von r(x)
288
§116.
Asymptotische Reihen für ^(ir)
§ 117.
Die Stirlingschen Reihen für
§ 118.
Analogie zwischen
Kapitel XXI.
-f-
Asymptotische Reihe für
.
27'2
—
ii{x)
278
y)
iv) bei reellen
T'{x)
.
276
-\-
Anwendungen auf
J~
Sl{x).
« und
v
280
die Gfammafunktion.
«{^(a-
und
+
1/)
v{x)
und log r(x)
284
290
294
297
Literaturverzeichnis
soo
Alphabetisches Register
321
Noten
325
ERSTER TEIL
ANALYTISCHE THEORIE
DER GAMMAFUNKTION
Nielseu, Theorie der Gammafunktioii.
Kapitel
I.
Fnndamentaleisenseliafteu der Funktionen rfx) and
§
als
^(x).
Die Differenzengleicliiing der Gammafuiiktioii.
1.
Nach Weierstraß^) definieren wir die Gramm afunktion r(x)
diejenige Lösung der Dififerenzengleichung
+
F(x
(1)
1)
= xF(x\
welche zugleich die Bedingung
Fjx
lim
/a\
wo x
befriedigt,
-f-
um
nun
^
^
eine willkürliehe endliche Größe bedeutet,
positive ganze Zahl anzusehen
n als
n)
die
während
ist.
Differenzengleichung (1)
vollständig
aufzulösen,
nur notwendig, eine einzige partikuläre Lösung dieser Gleichung
ist es
Es seien nämlich F^ix) und F^(x) zwei willkürliche
Lösungen von (1), dann muß ihr Quotient eine in x periodische
Funktion mit der additiven Periode + 1 sein; denn man hat verzu kennen.
möge
(1):
F,{x
+ _ xF,{x) _ J\(x)
1)
F,ix-\-l)
xF,{x)
Bezeichnet umgekehrt «(a;) eine in
der additiven Periode
+
1,
x
periodische Funktion mit
ist also
ai(a;+l)
(3)
F,(x)'
=
(D(a;),
und bedeutet F^{x) irgend eine Lösung Yon
(1),
so
ist
offenbar
auch die Funktion
F,ix)
(4)
eine
= a^{x)-F,{x)
Lösung derselben Gleichung.
1)
Abhandlungen aus der
Journal für Mathematik Bd. 51, p. 36; 1856.
Werke Bd. I. p. 194.
p. 229; 1886.
Funktionenlehre
Weierstraß
.Fc(l)
=
1
ist
definiert die
Funktion Fc{x)
=
1
:
r{x); seine Bedingung
nicht notwendig.
1*
4
Erster Teil.
Nun
Analytische Theorie der Gammafunktion.
eine direkte Auflösung
ist
von
(1) nicht
ganz einfach; es
uns daher angemessen^ zunächst eine einfachere Gleichung
scheint
aufzulösen.
Zu diesem Zwecke bezeichnen wir mit %(x) eine in x
Lösung von (1), deren Existenz wir augenblicklich
dififerentiierbare
beweisen wollen, und führen wir die neue Funktion
= DJog^{x)
&ix)
(5)
welche wir vermöge (1) die einfachere Diiferenzengleichung
ein, für
@(:^+l).=
(6)
es die andere
ist
zwar nicht „summierhar", wohl aber
ist
,-
''
x-\- s
Funktion
(
@(^)
werden kann.
finden, die sehr leicht aufgelöst
Die Funktion
+
'7
r
,
,
*
\s -f 1
+
-
und somit ergibt
,
)
'
sich,
s/
daß die Funktion
=5"
®(x)
(7)
.f
Lösung von
eine
sicher
die
ist;
(6)
^
irh -
=
Lösung
allgemeinste
dieser
Differenzengleichung läßt sich demnach folgendermaßen darstellen:
wo
G3
(x) der Periodizitätsbedingung (3)
willkürlich
angenommen werden
Die durch (7) definierte
Punkten
—
+
G{x)= ®{x)
(8)
1, ist
0,
—
1,
—
2,
~
3,
•
•
wenn p
Aus
l^cj
in
=
1
eine
WO n
Mühe
Potenzreihe
konvergiert; setzt
(11)
s„
eine
Wert von x
(7) findet
man
den
dem Residuum
eine analytische
weiter:
=
| + i- + -L +
Nach dem vorhergehenden
also
offenbar in
einfache Pole mit
eine positive ganze Zahl bedeutet:
@(^+i) =
(10)
sonst aber ganz
leistet,
Funktion (3(x) hat
•
@(1)
(9)
und,
Genüge
darf.
sonst aber für jeden endlichen
Funktion dieses Argumentes.
a){x),
sich
läßt
entwickeln,
man
die
...
die
+ l.
Funktion @(1
-{-
x)
im Innern des Kreises
der Kürze halber:
=i+i+i+
ganze Zahl und größer
aus (7) folgende Entwicklung:
als
...,
1
ist,
so
findet
man ohne
Kapitel
Fundamentaleigenschaften der Funktionen Fix) und W{x).
I.
@(l
(12)
+ ^)=^(-l)'-5,-^'-S
derselben Voraussetzung über
unter
5
:r|<l;
dann aus (12)
fließt
'ip'
§ 1.
die
neue Entwicklung:
/@(1 +
(13)
x)dx
=^
^~flT"^^"=
r
Die Potenzreihe rechter Hand
man
in (13) ist für
cc
=
1
konvergent;
hat nämlich offenbar:
(2P
-I-
i)"
^ (2P +
und somit auch wegen
setzt
^
man
2)"
(2^
+
2^"
^)"
2P^"
-
^)
(11):
daher der Kürze halber:
^
It-"n,p
»
=1
nA-r
*» + »?
'
so folgt aus (14) die Ungleichung:
l^«,p
und
es
ist
<^
n
+ f^
demnach möglich,
"^
eine
+ 1 '^
n
große
positive
so zu bestimmen, daß für alle positiven ganzen
I
wo
^„
J<
^iTTr^^^'
ganze Zahl iV
Werte von p immer
«
von beliebiger Kleinheit
vorausgesetzt wird; das heißt, die
wenn nur n ^
Potenzreihe rechter Hand in (13) konvergiert für x = 1.
Nach diesen Erörterungen ergibt ein bekannter Satz von AbeP)
ist,
£
eine vorgegebene positive Größe
N
bedeutet,
die numerische Gleichheit:
x)dx =j%{x)dx =^ ^-=^%
J @(1 +
=
(15)
r
2
ein Resultat, das uns bald sehr nützlich sein wird.
1)
Man
vergleiche
zum
Beispiel
Rausenberger, Lehrbuch
der Theorie
der periodischen Funktionen p. 84; Leipzig. Teubner 1884. Julius Petersen,
Vorlesungen über Funktionentheorie, p. 138 139; Kopenhagen 1898. Der Be-
—
von Lejeune-Dirichlet, aber erst 1862 nach seinem Tode von
Liouville im Journal de Math. (2) Bd. 7, p. 253 255 veröflFentlicht worden.
weis
ist
—
Analytische Theorie der Grammafunktion.
Erster Teil.
6
§
Die Eulersclie Konstaute.
2.
Die in § 1, (7) eingeführte Funktion &(x) besitzt eine merkwürdige Eigenschaft, die sich uns noch eigentümlicher darstellt, Avenn
wir die rationale Funktion
in Betracht ziehen, in der
n eine positive ganze und endliche Zahl
und aus der unmittelbar der Grenzwert
bedeutet,
lim &„(x)
(2)
folgt.
Beachtet
man
X
^
(3(x)
weiter die Identität:
-\-
ps
-\-
p
r
x-\-r
'
P
und
setzt
man
darin der Reihe nach
s
= 0,
2, 3,
1,
•
•
•,
n
—
1,
dann aber in jeder der so erhaltenen Gleichungen nacheinander
r
= 0,l,2,3,-..,p-\,
so liefert die Addition
aller
so
erhaltenen
Formeln eine
Identität
von folgender Form:
®..w = 7-2'®»("t-)+^'
=
(3)
r
WO
Ä
eine
li
von x unabhängige Konstante bedeutet; denn mit den
von s und r muß offenbar die Zahl (ps -f r) die
obigen Werten
ganze Zahlenreihe
0,
1,
2,d,-.;np-l
einmal, aber auch nur einmal durchlaufen.
Um
in (3)
X
nun den Wert der Konstante A zu bestimmen,
oo und erhalten dann, vermöge der aus (1)
=
Identität
(4)
folgende
(5)
®,(oo)_| +
| + i + ... + i,
Bestimmung von A:
^ = ;riT +
;.-i-.
+ --+
'
setzen wir
fließenden
+
Kapitel
L VvadammtiJägeamiaitm der Fvaiküanen I\x)
damit liaben wir folgende mtarkwQnlige
«.,{x)
(6)
bewiesoL
-fzk
man nunmehr
Läßt
«^
'Tt
in (5) die positire ganxe
p
7
Identität:
i^-±-0
jede Groize hinauswachsen, während
9Qey § JL
ZaU n
nnd bestimmt
endlich
übex*
bleibt,
so liefert die DeGnition des beskinunten Integrales den Grenzwert:
lim^
=-
>
= lim
•=*,=i
nnd somit erhalten wir ans
»(')
(7)
V'^^l
——
Y
1
(6)^
Term^e
l^
= logl»,
neue Formel:
(2), die
= y^®(^ + logl^
kann man nun ohne Mühe einen weiteren Grenzwert
hedeitea, der uns noch späterhin unentbehrlich sein wird; setzt man
-\- 1,
niailidi in ^7) x
ao findet man wegen § 1, (10) für die
Aus
(7)
=p
Differenz:
c,= i +
(8)
i + i + --. + i-l,«j,
den Ausdruck:
c;=7-28(»+7)'
(9)
SOS
dem
deutlich herroigeht, daß C^
immer
die Definition § 1, (7) zeigt unftnittelbar, daß
X
positiT sein
^(x)
muß; denn
ist, wenn
positiT
größer als 1 ToramgeueUt wird.
Läßt man
jetzt
in
Graize hinauswachsen,
die
(9^
so
positire ganze
ergibt
sich
gemäß
Zahl
p
über jede
der Definition des
bestimmfaai Integrales hinwiederum folgender Grenzwert:
s
lim C^
(10)
beaeichnet
Hand
man
also der
=r(S{x)dx;
Kürze halber durch
in (10), das heißt, setzt
C
den Grenzwert linker
man
C-^^(| + i_ + i_ + ... + i._i„gp),
(„)
so folgt aus (10) und § 1,(15) die Formel ron
1
1770.
X:vi
No¥X
Commentam Aeademiae
Ada
AauJcmiae
Euler ^):
Peiiopolitaiiae, Bd. 14, p. 157; (1769)
Petrapoütaiiae;, Bd. 2, p. 9; (1784) 1788.
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
(-1)'
f—
ly
c=2;
(12)
^
r
j
r=---2
aus der unter
Anwendung
o
1
der bekannten Reihe
1,1
1
die etwas rascher konvergierende
+
(13)
folgt, die
§§ 14,
ebenfalls
33 für
C
log 2
=
Entwicklung:
-^
1
1,1
^-^-^
(1
-
O
Wir werden
von Euler^) herrührt.
Reihenentwicklungen herleiten,
später
welche noch
in
viel
rascher als (13) konvergieren.
Die so definierte positive Zahl
C
wird gewöhnlich die Euler-
Euler ^)
sche Konstante genannt, weil
sie
zum
Male
ersten
in die
Analysis eingeführt hat.
C
Die Natur der Konstante
ist
uns noch ganz verborgen; wir
wissen nicht, ob diese Konstante eine algebraische oder eine trans-
zendente Zahl
ist,
und
es
ist
bisher nicht gelungen,
kannte transzendente Zahlen wie
unter endlicher
Form
zum
Beispiel
auszudrücken.
tc,
e
C
durch be-
oder Logarithmen
Dagegen kennt man sehr gut
den numerischen Wert von C; die näher mgsweise Berechnung dieser
Zahl läßt sich mittels
der
der
Definition
(11)
und unter Anwendung
Euler sehen (Maclaur in sehen) Summenformel
Euler^) gibt C auf 16 Dezimalstellen
die letzte unrichtig ist;
stellen,
1)
von welchen indessen
Novi
Commentarii
durchführen.^)
von welchen jedoch
Mascheroni^) rechnet bis zu 32 Dezimalan,
die letzten 13 unrichtig sind.
Academiae
Petropolitanae
Bd. 14,
p.
158,
159;
157; (1734
— 35)
1740.
(1769) 1770.
2)
Commentarii Academiae Petropolitanae, Bd.
7, p.
Institutiones calculi differentialis, p. 144; 1755.
Man vergleiche z. B. Petersen, Vorlesungen über Funktionentheorie,
Kopenhagen 1898. Über die älteste Literatur G. Eneström, Öfversigter
der Stockholmer Akademie Bd. 36, Nr. 10, p. 3—17; 1879.
Nova Acta Acad. Petrop. Bd. 4,
4) Acta Acad. Petrop. 1781, II, p. 46.
3)
p. 164;
p. 3; (1786) 1789.
5)
welchen
Adnotationes ad.
Mascheroni
calc. int. Euleri, 1790.
angibt,
kommt
Bessel im Königsberger Archiv;
differentiel et integral Bd.
III,
1812, p. 4,
p. 521.
Der unrichtige Wert von
bei mehreren Autoren vor, so
Lacroix im
Soldner
nouvelle fonction transcendante p. 13 einen neuen
z.
Traite du
C,
B. bei
calcul
gibt in Theorie et tables d'une
und
richtigen
Wert von C
an.
Kapitel
Fundamentaleigenschaften der Funktionen r{x) und W{x).
I.
§
3.
9
Gauß^) hat C bis auf 23 Dezimalstellen berechnet; da dieser
Wert von demjenigen von Mascher oni abweicht, hat Gauß Xicolai
veranlaßt, jene Berechnung zu wiederholen und weiter fortzuführen;
Nicolai^) gab dann C bis auf 40 Dezimalstellen an.
Oet tinger') nahm die näherungsweise Bestimmung von C wieder
auf und fand 43 Dezimalstellen. Der nächste Berechner war Shanks^);
gab
er
70 Dezimalstellen an, von welchen jedoch die letzten 21
imi'ichtig waren.
Glaisher^) machte auf den Fehler von Sh anks aufmerksam und
C die ersten 100 Dezimalstellen. Shanks^) hat
berechnete für
dann seine Rechnung wieder aufgenommen und
die
letzten
Adams*)
unrichtig sind.
7
263 Dezimalstellen angegeben, von denen
C
= 0-57 721
56 649
01532
10421
59335
93 992.
§
3.
86 060
110 Dezi-
bis auf
Adams^) nachgewiesen
malstellen angegeben, von welchen, wie von
ist,
C
C
hat endlich
die ersten
65120
bis auf
50 lauten:
40243
90 082
Allgemeine Auflösung der Differenzengleichung §
Nachdem wir
1, (1).
und die Euler sehe Konstante C eingeführt haben, gehen wir nunmehr zur vollständigen
Auflösung der Differenzengleichung § 1, (1) über. Zu diesem Zwecke
bemerken wir, daß die Reihe rechter Hand in § 1, (7), das heißt,
die
Funktion
&(jc)
die Reihe:
®W=.St+-T-^.)
x+
+
1
für jeden endlichen
Wert von
negativen ganzen Zahl
ist;
falls
diese Reihe
darf
ist,
der nicht gleich
x,
NuU
oder einer
unbedingt und gleichmäßig konvergent
daher nach x
der Integrationsweg endlich
ist
gliedweise
integriert
werden,
und durch keinen der oben
ge-
nannten Pole geht.
1) 2)
Ausgabe
3)
Comment.
Gott. Bd.
2, p.
36; 1812.
Werke Bd.
III, p.
Journal für Mathematik Bd. 60,
p.
375—377;
5)
7)
Deutsche
1862.
the Royal See. London, Bd. 15, pp. 429— 431,
Bd. 16, pp. 154, 299—300 (1868); Bd. 18, p. 49; 1869.
4) Proc. of
6)
154.
p. 43.
Proceedings of the Royal Society of London, Bd.
Ebenda Bd. 20, p. 27—34; 1872.
8) Ebenda Bd. 27, p. 88—94; 1878.
431—432
19, p.
514
*
(1867);
— 524;
1871.
1
:
Analytische Theorie der Gammafutiktion.
Erster Teil.
10
Es
sei
nun a^x)
X integrierbar
bis
ist,
man dann
findet
:
eine
in
x periodische Funktion,
mit der additiven Periode
+
1
die
von
für die Funktion
;
die Funktionalgleichung:
(Oi{x-\- 1)
=
C0i(x)
-i-
K,
K eine
wo
Worten
von x unabhängige Konstante bedeutet, oder mit anderen
co^(x)
x ist wiederum eine in x periodische Funktion
—K
:
•
mit der additiven Periode
Setzt
man
+
1.
daher:
X
log
F(x
+ 1) =J%(1 + x)dx -\-K-(x-\-l),
oder,
was offenbar dasselbe
(1)
log
SO
muß
='^{rh - H' + ^)) + ^
möglich sein, über die Konstante K derart
Fi.
es
+
ist:
1)
daß F(x) eine Lösung der Differenzengleichung §
läßt sich
vermöge
§ 1, (4) die allgemeinste
1,
Lösung
(-
+
1),
zu verfügen,
(1) wird; somit
dieser Gleichung
durch folgende Formel darstellen:
«= 00
F(x)
(2)
WO
+
= '-^^ =
cW
.
.5^'
J]
-n + l'
x periodische Funktion mit der additiven Periode
während wir den Wert von
erst noch zu be-
co(x) eine in
1
bedeutet,
K
stimmen haben.
Zu diesem Zwecke
setzen wir der Kürze halber:
eKx
«=» —
Y~r
e'
s~«-^-Z7
1
-\-^
woraus
eKx .gK
oder,
(3)
was dasselbe
j~r
e'- e'
s
ist:
3.(^+i)=^+^-n^v-«'"°'^'^-^
Kapitel
folgt;
I.
1
«
1
Ftindamentaleigenschaften der Ptmktionen r{x) und V{x).
nun
ist aber,
wie wir eben gesehen haben, die
»
§
3.
1
Summe:
=n—
2{t-M^-^))
immer, auch wenn n über jede Grenze hinauswächst, eine endliche
Zahl, und man findet somit aus (3):
^
+
1
WO
(7^
A'+c„
^
n
die in § 2, (8) definierte positive Zahl
c.-(T + l +
Setzt
bedeutet.
man
i-
+ -- + ¥-i°g")
K = — C.-\
daher
,
so findet
man, daß
die
Funktion:
g.(.)=!z!!:ti.'/7lA
(4)
der Funktionalgleichung:
= ^-g.W-;^
5.(^+l)
(5)
genügt.
Es
Damit
sei
C
ist
wegen
{2) der Satz bewiesen:
die Eulersche Konstante, uähretid (o(x) der
Teriodizi-
o(x + 1) = (o{x)
Genüge leistet, sonst aber ganz uilltätshedingung
Mrlidi angenommen werden darf; dann läßt sich die allgemeinste
Lösung der I>ifferenzengleichnng §
1,
(1) folgetidennaßen darstellen:
X
^(,)
(6)
= «,(,). ^.j^_^.
Führt man in (4) den Ausdruck für C,
weitere Darstellung von %J<x)'
m
$t (x)
-
1
•
^
WO
n'
zu setzen und der positive
(6)
(8)
und
,
(4) findet
man
•
ä
(n
•
-
1)
ein, so findet
•
= e' ^°8
Wert von
=
eine
n-
log n
zu benutzen
endlich den Grenzwert:
F{x)
man
(o(x)
•
lim ^,{x).
ist;
aus
—
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
12
§
Es
nun sehr
ist
Funktion
liche
Gamma- und
Die
4.
'
über die in § 3, (6) auftretende willkürdaß F(x) mit der Gamma-
leicht,
zu verfügen,
so
(o{x)
Betafunktionen.
funktion zusammenfällt, daß also auch
Bedingung §
die
1,
(2) be-
friedigt wird.
Bedeutet nämlich n eine positive ganze Zahl, die vorläufig
endlich vorausgesetzt werden mag, so hat
Anwendung
der Formel §
F{x
{n
—
-f n)
1)
!
«^
aus der nach §
_
"~
so
{x + n —
x{x^l)-
(w—
_
"
1)
l)!w^
F{x)
S7(«r
3, (8):
lim
folgt,
als
1, (1) unter
§
die Identität:
3, (7)
F{x)-
man wegen
daß § 1,(2)
T",
,
= a(x)
-~
unmittelbar (o(x)
=
Somit finden
ergibt.
1
wir für die Gammafunktion die Produktdarstellung:
^X
Cx
^(-^=^-iT '+-
(1)
Anwendung von
oder auch unter
J^{x)
(2)
^ ^
^
Von
diesen
^
§
3, (7), (8)
= lim —7
—p-77 p-^
x{x-\-r){x^'i)---{x
den Grenzwert:
—
j-^-.
„
+ n—l) -
= 00
beiden Darstellungen
für
r{x)
ist
•
die
erste
von
Schlömilch^) und kurz nachher von Newman-) gefunden worden;
aber erst Weierstraß hat die funktiouentheoretische Bedeutung
dieser Produktdarstellung in das rechte Licht gestellt, indem er sie
zum Ausgangspunkt für seine Zerlegung ganzer transzendenter Funk-
genommen
tionen in Primärfaktoren
Die Formel (2)
ist
in etwas
hat.
anderer
Form schon von Euler^)
gegeben, später aber von Gauß^) wiedergefunden worden.
Die Funktion Fix)
ist
worden; leider hat er aber
von Euler
in
die Analysis
eingeführt
die Produktdarstellung zu schnell liegen
lassen,
um
dieser
Integraldarstellung für r{x)
die entsprechende Integraldarstellung zu untersuchen; aus
stammt offenbar der noch heute
1)
Grunert Archiv, Bd.
2)
Cambridge and Dublin math. Journal, Bd.
:{)
1729.
4)
Comment. Gotting. Bd.
4, p.
171; 1844.
Correspondance math.
Deutsche Ausgabe,
— 38.
p. 37^
2,
p.
Analytische Studien,
et phys. Bd.
25—26:
3, p.
I,
1812.
I,
p 45; 1848.
57 -GO: 1848.
p. 2.
Werke, Bd.
III,
p.
145;
Fundamentaleigenschaften der Funktionen r(x) und W(x).
Kapitel
I.
recht
häufig
n{pc)j
und
es ist bei
13
Die
Integral.
Name Gammafunldion
Gauß
her.
4.
braucht die Bezeich-
ihm:
=
n{x)
Wie
Eidersches
zweites
und der daraus fließende
Fi^jc)
dagegen von Legeudre^)
rührt
nung
Name
gebrauchte
Bezeichnung
§
+
r{x
1).
Euler^) und später Gauß') und Schlömilch*)
zuerst
bemerkt haben, läßt sich
die
Formel
(2)
auch folgendermaßen dar-
stellen:
(3)
Aus
(2) findet
r,.)
= i./7^?±i^.
man
unmittelbar:
Ai) =
(4)
woraus, wenn
p
i,
eine positive ganze Zahl bedeutet:
r{p-^l)
(5)
= 12-3-.-p=pl
Unter derselben Voraussetzung für
folgt.
findet
jj
man
aus § 3, (7)
den Grenzwert:
^^
/
,
\CK
/
(—if
\
x=—p
(n
— p)(m — p-|-l)---(n —
V'
1)
**
und daraus den Satz:
Die Gammafmiktion hat in
und den negativen ganzen Zahlen
einfache Pole, und das Besiduum der Pole — p ist gleich (— ly-.pl.
Sonst ist r(x) in der ganzen x-Ebene eine in x analytiscJie Funktioji,
wdche niemals den Wert Xull annehmen lann.
Aus
(1) folgt noch der Satz:
Die Funktion 1 r{x) ist eine ganze transzendente Funktion vom
Genre 1 und mit einfachen Nullstellen in NuU und den negativen
ganzen Zahlen.
:
Aus den
eine
sin
Definitionen (1)
interessante
JTJC
Beziehung
herzuleiten:
man
und
zwischen
findet
Fix)
(2) für
nämlich
ist
es sehr leicht,
Funktionen
den
F{x)
und
aus § 3, (7) die Produkt-
formel:
1)
Memoires de rinstitat de France, Bd.
10, p. 476; 1809.
Correspondance math. et phys. Bd. I, p. 1 1729. Institutiones calculi
integralis Bd. IV, p. 105; 1794. Institutiones calculi differentialis, p. 834; 1755.
2)
;
3) Commentationes Gottingenses Bd. 2,
Deutsche Ausgabe, p. 32.
4)
Analytische Studien,
I,
p. 47; 1848.
p.
26.
Werke, Bd. HI,
p. 146.
Erster Teil
14
Analytische Theorie der Gammafunktion.
daraas folgt gemäß (2) die gesuchte Formel:
r(x)r(i-x)===^-^^—,
^
^
(6)
8in
-
man Euler^)
welche
nx
'
verdankt.
Beachtet man, daß r(x) for positive Wert« von x selbst positiv
sein muß, so findet man aus (6) das numerische Resultat:
das gemäß (2) als eine unmittelbare Folge des Produktes von
Wallis angesehen werden kann: die Formel {!) rührt gleichfalls
von Euler*)
her.
Aus den
Definitionen für 2f»(^)? nämlich:
X
l-2-3---(«-l).n^
x(x+l)(x + 2)...(x + n-l)
^(t\"»^ ^
g""""^"^."^
-
^
TJ^
ll
X
\
X
'
S
man endlich unmittelbar, vermöge der Definition eines konvergenten unendlichen Produktes, den folgenden Satz her:
leitet
Es
bedeute
x
eine endliche Größe,
Zahl sein darf; dann
so zu bestimmen, daß:
gative ganze
y
ZaM
uelcJie
ist es
weder
nocJi eine ne-
möglich j eine positive ganze
ir(:r)-g.(:r)|<.
(8)
wird,
wo
bedeutet,
£
eine vorgegebene positive
während
n> X angenommen
Größe von
beliebiger
Kleinheit
wird.
In früheren Zeiten spielte das sogenannte erste Eulersche Integral
B(x,y), welches von Binet') die Betafunliion genannt wm-de, das
heißt, die
Funktion:
(9)
^^-.^)
eine hervorragende Rolle:
ohne Mühe
die
^f|f
für die Betafunktion findet
Fundamentalformeln:
B{x, y)
(10)
=
= B(jf, X),
B^x+l,y)
=
^
•
man
aus (9)
B(x, y)
1) Institutiones calculi integralis, Bd. IV, p. 105; 1794.
No\-i Comment.
Acad. Petrop. Bd. 16. p. 136; (1771^ 1772.
2> Novi Commentarii Acad. Petrop. Bd. 16, p. 111; (1771) 1772.
Inst,
calc. integr. Bd. IV, p. 87; 1794.
Z)
Journal de lEcole Polytechnique, cahier 27; 1839.
Kapitel L
und
Ftmdamentaleigeiisciiaffcen der FtmktioDen
mittels (6) die spezielle Formel:
'
Obgleich schon
man doch
trachtete
§ 5.
15
—
— x) = -^
Bin icx
B{x,i
^
ai)
v-^-^/
r'x und W{x).
Euler^) die Formel (O") angegeben hat, beBetafanktion noch lange als independente
die
und leitete mittels (10) z-vrischen Betafanktionen eine
große Menge ron Beziehungen her, die sich häufig nach einer Anwendung von (9) in reine TriTialitäten auflösen: man vergleiche
die klassischen Arbeiten von Legendre und Binet oder
z. B.
Funktion
Euler
sogar Ton
§
Für
5.
selbst.
Die Funktionen W{x) und
die Funktion:
g^(;x^
(1)
man
findet
/J(x).
aus §
= D,iogr(j"^
unmittelbar die Entwicklung:
4, (1)
'Pi-^--c^2'(7Tr-^).
(2)
«
während
die
tionalgleichung
für
W[X'
die
Funk-
:
Wi^r
(3)
+
man
Speziell findet
liefert
Gammafunktion
der
Definition
=
1
= -^ +
5r(x)
aus (2) die numerischen Resultate:
= -C-21og2,
gr(i) = _C
?fra)
(4)
(5)
wenn p
und,
eine positiTe ganze Zahl bedeutet:
iir(^+i)
(6)
Wendet man noch
W{1
(7)
= _c + (f + ! +
die
Euler sehe Formel §
—X)—
W(x)
die
(8)
?r^^)_li„Jlog„-i-^
weist
1)
ProduktdarsteUung §
Was
die
Comm
})-
4^ (6) an. so wird:
(2)
den Grenzwert:
^+h^)
independente Definition von W(x)
man ohne Mühe den
Novi
-4,
+
= x<iotxx,
während
liefert.
•.
Acad. Petrop. Bd. 16,
gralis Bd. IT, p. 93; 1794.
betrifft, so
be-
Satz:
p. 13«; (1771) 1772.
Inst. caJc. inte-
:
Erster Teil.
16
Analytische Theorie der Ganmiafunktion.
Die Funldion W{x)
ist
durch die Differenzengleichung (3) mit
der Nehenhedingimg
Hm(3r(^
(9)
vollkommen
während x
+
^)--C
«)-|-i-l
in
definiert;
bedeutet
(9)
eine willhürliche endliche
Wir bemerken endlich, daß
gendermaßen öchreiben läßt:
n
Größe
sich
eine
positive
ganze
Zahl,
ist.
Definition (1) auch fol-
die
D,r(x)==-r(x)-w(x),
(10)
woraus sich die analoge Formel:
Dp.-) = _ZM.
(11)
ergibt.
Wir führen
schließlich
noch
die ^(^x) ähnliche Funktion:
^(-)-l'^
=
(12)
s
ein,
aus der wegen (2):
ßi^)=Y{'^m')-'^{2))
(13)
folgt; aus (7) ergibt sich ferner die ähnliche
(14)
^(^)
+ ^(l_^)__!L._,
während (12) unmittelbar
/3(l)
(15)
Was
man
leicht
die
die
numerischen Resultate
liefert:
= log2, /3(|)=f-
independente Definition von ß(x)
betrifft,
so beweist
den folgenden Satz:
Die Funldion ß(x)
(16)
Formel:
ist
durch die beiden Formeln:
ß{xi-l)=l--ß(x),
lim
ß(x)==0
vollliommen definiert.
Wir bemerken
endlich, daß
eine
Kombination von (13) und
§ 4, (9) die Formel gibt:
(17)
^(^)
= -^.iogß(|,4)'
oder, was offenbar dasselbe
(18)
ist:
i),B(f, |)
= -ß(f,
i)./5W.
Kapitel
I.
Fundamentaleigenschaften der Funktionen Fix) und V(x).
Die Funktion ß{x)
ist
17
§ 6.
schon von StirlingM betrachtet worden,
während W(j:) zuerst, und beinahe zu gleicher Zeit, von Legendre-),
Poisson^) und vor allem von Gauß^) untersucht worden ist. 5*"(j:)
tritt hier und da in der mathematischen Physik") auf, ebenso seine
erste Ableitung^).
§
6.
Das Multiplikationstheorem von Gauß.
Berücksichtigt man, daß sich die Funktion W(x) von der in
um
§ 1,(7) eingeführten Fimktion &{x) nur
man vermöge
scheidet, so findet
s
=n—
§
eine Konstante unter-
daß:
2, (7),
1
^(^)=i-2''^(^)+^«^*'
(1)
«
sein
muß; somit
=
§ 5, (1) für die Grammafunktion die Mul-
liefert
tiplikationsformel:
s
r(x)
(2)
wo
K
=n—1
= K.n'. [] r{^),
von x unabhängige Konstante bedeutet.
den Wert von
zu bestimmen, setzt man
eine
Um
K
in (2)
x
=
1,
woraus:
i
oder, was dasselbe
= „^.'|7"r(:,)
ist:
i
= „ir.'/7'r(i-^)
folgt; die Multiplikation der beiden letzten
wegen §
4, (6):
„_i
1)
2)
3)
4)
Ausgabe
5)
TT
11
o-ir^
•
S7C
n
n
2"-^
Methodus differentialis, p. 27: 1730.
Memoires de linst, de France 1809, p. 502.
Ebenda 1811, pp. 57, 257.
Comment. Gotting. Bd. 2, p. 34 ff. Werke: Bd. IE,
p.
p.
153
ff.
Deutache
42 ff.
Kirchhoff
losophical Magazine
P.
Gleichungen ergibt sonach
in Journal für
(5)
Bd. 46,
6) Hicks in Report of
Blaserna in Accad. dei
p.
Brit.
Math. Bd. 59,
p.
110; 1861.
Jude
in Phi-
254—258; 1898.
Assoc. for the Advancement of Science: 1878.
Lincei Rendiconti
Kielsen, Theorie der Gammafujiktion.
(5)
Bd.
4,
p.
271
— 283;
2
1895.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
18
Da
K oifenbar
muß,
positiv sein
K
n^
damit
ist
die elegante
so wird:
1
^
(2«)
Formel:
r(.)=''^.J7r(-+^)
(3)
bewiesen, die
man Gauß^)
verdankt; es
^^a;
__
ist
wie gewöhnlich:
log n
ga;
wo man für log n den reellen Wert zu nehmen hat.
Für X = 1 war die Formel (3) übrigens schon Euler^) bekannt.
Das Multiplikationstheorem (3) ist später von mehreren Autoren,
ZU setzen,
z. B. von Legendre^), Grelle*), Cauchy^), Lejeune-Dirichlet^)
und Sonin'^) bewiesen worden.
Offenbar ist die Gaußsche Formel (3) als eine Verallgemeinerung der elementaren Formel:
ra-l
sin;r =
(4)
anzusehen, die von
man
2"-^-
Euler ^)
X
TT sm
um
herrührt;
—x
-\-
sn
zu erhalten, braucht
(4)
x einzuführen; vertauscht man
dann die Faktorenfolge rechter Hand, so gibt eine Multiplikation
der beiden so erhaltenen Formeln unmittelbar (4).
Wir werden in § 76 noch eine Verallgemeinerung des Gau fischen Multiplikationstheorems, und zwar unter Anwendung eines
bestimmten Integrales, herleiten.
in der
1)
Tat nur in (3)
Comment. Gotting. Bd.
Deutsche Ausgabe,
p.
44
für
2,
p. 30;
I;
1860.
des integr. Euleriennes Bd.
II,
4)
Journal für Mathematik, Bd.
7,
5)
Exercices de Math.
Darböux Bulletin
Journal für
11°
annee,
p.
II,
p.
II,
1817.
23;
p.
p.
445; 1826.
p.
375; 1831.
91
407—408;
Mathematik Bd. 15,
de la Physique math. Bd.
6)
III,
p.
149—150.
Bd. 4;
(2)
1880.
et integr., Bd. III, p. 480; Paris 1819.
Exercices de calcul integral, Bd.
3)
ellipt. et
Werke, Bd.
1812.
— 47.
Opera posthuma Bd.
2)
Lacroix, Traite de calc. diff.
p.
\
— 92;
1827.
Traite des fonct.
Exercices
d' Analyse
et
1841.
p.
258—263;
1836.
Werke, Bd.
273—278.
7)
Bulletin de la Soc. Math, de France, Bd.
8)
Introductio in Analysin infinitorum,
art.
9,
240.
p.
162—166; 1880.
I,
1
Kapitel
I.
Fundamentaleigenschaften der Funktionen F^x} und
Für n
=
2 findet
man
ri2x)
(5)
=
W{x''.
% 6.
19
aus (3) die speziellere Formel:
^
r{x)nx
+ i),
welche Legendre^) angehört und sehr häufig in den Anwendungen
der Gammafunktion
auftritt.
Die Funktion ß{x) hat offenbar auch ihr Multiplikationstheorem;
X 4setzt man in (1) 2n -f 1 für n und dann nacheinander
^ imd
—
statt X, so findet
(4„
man
+ 2)/.(x)
muß,
5,
(13\ daß:
Jf (^±^) - W {^))
(>^
t
sein
wegen §
in der Tat
woraus nach
=
Reduktion
einfachen
einer
die
gesuchte
Formel:
"W-i^-^^-wiÄ)
Aus
folgt.
herleiten;
(5) wollen
wir noch zwei bemerkenswerte Identitäten
der genannten Formel statt
setzen wir in
erstens
x der
Reihe nach
X
w
jc
jc
Y' T' Y'
die
Multiplikation
der so
'
'
^'
erhaltenen n Gleichungen gibt dann die
Formel:
oder,
was offenbar dasselbe
n- +
(7)
1)
ist:
= 2'<'-=-">
daraus folgt, indem
r(l
man n über
+
\-
1)
Memoires de Tlnstitut de France, 1809,
2)
Gmnert
359—360;
-^
^
Die beiden Formeln (7) und (8) verdankt
Archiv, Bd. 41, p.
n
"''
;
jede Grenze hinaus wachsen läßt:
r(»+i) = 2'-.J7
(8)
f.)
-
man Knar^).
p. 485.
1864.
.
20
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
Aus
und der Definition von
(5)
B (x,
^) ergibt sich die andere
Identität:
aus der ähnlich wie vorher die (7) ähnliche Formel:
man
Endlich findet
folgt.
/3(2a;)
sein
muß; daraus
s
/3(2-';r)
=
Wi^^x)
W{2x)
- log 2
- n log 2 -
W{x)
YII Formeln entwickeln, welche
Kapitel
in
machen,
möglich
=
=l
Wir werden
uns
+
folgt die mit (9) beinahe identische Formel:
2
(10)
aus (1) und der Definition von ^{x), daß:
Wix)
es
Zahl n in (9) und (10)
über jede Grenze hinauswachsen zu lassen. Die so erhaltenen Entdie
positive ganze
wicklungen finden sich in § 38, (12) und § 39,
§
7.
Gauß^)
Satz von
Gauß über wi^) und ß(—)-
auch für den Zahlenwert
hat
(9).
W(—], wo
—
einen
Bruch bedeutet, einen interessanten Satz gegeben, für
welchen wir hier einen von Jensen^) herrührenden eleganten Beweis
rationalen
mitteilen wollen.
Um
die
obenerwähnten Funktionenwerte zu unter-
können wir uns gemäß der Differenzengleichung §
wo das Argument p q ein
tiver echter Bruch ist.
Wir haben somit die unendliche Reihe:
suchen,
auf denjenigen Fall beschränken,
:
5, (3)
posi-
o+^(^)=f (4---^^)
(1)
«
=
zu untersuchen, in welcher ^ und q positive ganze Zahlen bedeuten
und p <iq vorausgesetzt werden soll.
1)
Comment. Gotting. Bd.
Deutsche Ausgabe,
2)
Nyt
p.
44
2, p.
33—34;
1812.
Werke, Bd.
III, p.
— 47.
Tidsskrift for Mathematik, Bd. 2B, p.
52—54;
1891.
155—156.
Kapitel
Fundamentaleigenschaften der Punktionen r(x) und W(x).
I.
Setzt
man
21
der Kürze halber:
S(<)-'J(^--_f-)<'-'',
(2)
*
so
§ 7.
ist
=
diese Potenzreihe in
indessen auch noch für
^
=
sicher für
t
<
f
|
|
1
konvergent; da sie
konvergiert, wie dies deutlich aus (1)
1
hervorgeht, so ergibt sich aus
dem
Satz von Abel:
C+w{f)=S(l).
(3)
Aus
(2) findet
S(t)
(4)
man
aber:
= -t''-'.log{l-t^-S,{t),
worin
fP + 9*
SAf)
(5)
gesetzt
worden
ist;
femer
= 'i-2FTqs
ist,
falls
'
^
<
1
angenommen
während r eine sanze Zahl bedeutet:
irMi\t—p
(6)
-\te
"
)
wird,
,
'
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
22
Läßt man nun
erhält
man nach
Formel
in dieser
gegen
t
-\-
1
konvergieren^ so
(3):
'P-(|)+C=-logg+^e
-logU-e^
'
j
r=l
—p
und daraus, indem man q
statt
p
und dann
setzt
die beiden so
erhaltenen Gleichungen addiert:
^(^)+'F(l-^) + 2(7=-21ogg
(7)
'
= 3-1
2r7ti\
/
+ 2.^cos-^-*^.log(l-e-r).
Summe
Die
„
linker
^rrtt
1
1
d.
Hand
aber offenbar
ist
reell-,
.
— cos 2r7t —
=1
^^7"
^
—e
.
i
.
sm
2r7r
q
= 2^ sm
.
q
da nun:
—
Im
•
e\
n\
-5-/
(
r-jt
"
^'
^
',
q
h.:
log (1
so findet
- ,-r) = I log (2 man
schließlich
2 cos
vermöge
"^ + {f - f + 2^^)
i
(7)
und unter Anwendung von
§ 5, (7) den Ausdruck:
g^(|)--c-iogj-f.cotg^^
r
= 5— 1
+ Y -^cos
oder,
indem man
Glieder
die
der
-^^--
log
.
Summe
(2-2
rechter
cos
Hand
^),
in
um-
gekehrter Reihenfolge schreibt und dann die beiden so erhaltenen
Gleichungen addiert:
gr(|.)=_c_iog4_-|-.cotg^^
(8)
^^,eo.-?fl..log(2-2cos^-*-),
r=l
wo
der Akzent nach
dem Summenzeichen
Glied für gerade q zu halbieren
Beachtet
man noch
bedeutet, daß das letzte
ist.
die aus § 5, (13) folgende Identität:
Kapitel
I.
FtmdamentaleigenBchaften der Funktionen r{x) und
9f(x).
§ 8.
23
ähnliche
so ergibt sich aus (8) nach einer einfachen Reduktion die
Formel:
2
sm
—
r
=
{)
1
Die Integraldarstellungen des § ^>^ gewähren uns ein Mittel, um
die beiden Formeln (^8) und (9^ ebenso elementar, aber von einem
ganz anderen Gesichtspunkte aus herzuleiten.
§
Um
die
8.
Über r{u
-\-
iv)
+ iv),
Funktion r{u
für reelle u
wo
u
+
und
v.
gewöhnliche kom-
iv eine
plexe Variable bedeutet, zu untersuchen, gehen wir von der Frodukt-
formel §
Wir
4, (1) aus.
log
(1)
r{u
finden zunächst:
+ iu) = — C
•
(m
+ iv) - log (m + iv)
H-fC4^"-i»«(i+'^))Es
ist
aber offenbar:
^)
log(l
+ 'i±i^) =
log(l
+ ^) +
+
^) = I
log (1
+ (iT^) + -^^ irr-«'
iog(l
+
und:
log (i
setzt
man
also noch:
T ~ \s
so läßt sich die
(2)
'•
log r(«
Formel
u-\-s)
+ iv) = log r{u) - P(m, v) +
wo
wir der Kürze halber allgemein:
(3)
Pix, y)
=1
i{@{u,
+
v)
.^ log (l + ^^)
»
(4)
"tt-f«'
(1) auch folgendermaßen darstellen:
v W{u)),
,
=
»i^,y)-2{^h-'^*^d'^
=
*
o
gesetzt haben, die mehrdeutigen Funktionen rechter
zu definieren sind, daß
sie
Aus den Definitionen
Hand
aber so
mit y verschwinden.
(3),
(4)
schließt
man
unmittelbar,
daß
P{x,y) und @{x.y) analytische Funktionen der beiden komplexen
:
24
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Variablen x und y sein müssen, vorausgesetzt, daß weder x noch
X ±iy gleich Null oder einer negativen ganzen Zahl angenommen
werden; aus denselben Definitionen fließen auch ohne weiteres die
Fundamentalformeln:
+
(5)
p(^
(6)
@ (^ +
i,^)
lim P{x
(7)
^)
1,
= P(^^^)_|i,g(i^|;^^
= @ (^^
y)-{l~
+ n,y)^0,
Yim
= cc
n=cr>
WO n
&{x
arctg
l)
n,y)
-\-
,
^ 0,
M
eine ganze Zahl bedeutet, und:
P(x,
(8)
~y)
=
(9)
Wir bemerken
um
ausreichen,
=
®{x, 0)
noch, daß die Bedingungen
die
vollkommen zu
== 0.
&(x,-y)
P(x, y),
P{x, 0)
&(x, y),
(5),
(6),
(7)
völlig
beiden neuen Funktionen P{x,y) und &(x,y)
definieren.
Nach
diesen Erörterungen kehren wir nunmehr zu Formel
(2)
Falls
m
1 angenommen wird, ist oflfenbar für s
1
< <
zurück.
l"?(l+^)<log(l+(^)<log(l + ^);
weiter ergibt die bekannte Produktdarstellung für sin
S=
—nu\
(—
_
,
TtU
4
sein
muß.
Da nun wegen
\r{u
ist,
r(u
I
+
+
=
iv)
iv)\
=
daß:
=1
^•^^^
r{u)-e-p^"'^)
von Lerch^) gefundene Resultat:
+ ^)
.
2:r^
-j/
~
I
< <
WO 1
]/l :f ^2 2u setzen
wurzeln positiv zu nehmen sind.
Für den speziellen Fall w
/(;
=
v^r{~iv)r{iv)
ist,
während
findet
r(—
und
(11)
|r(^^;)|
man
sämtliche
aus §
4, (6),
daß:
iv) konjugierte
komplexe Zahlen
sind:
e
= |A|.-|/^_I^.ZZ
muß.
1)
Zitat von
Godefroy, La
Quadrat-
= -^^^'
—
e'-"
oder, weil r{iv)
sein
;ra:,
a.
.
(2):
so ergibt sich unmittelbar das
(10)
00
,
>
^
fonction
gamma,
p. 15; Paris 1902.
Die Funktionen P„(ar) und Q^ix).
Kapitel H.
§
25
9.
Indem man das Zeichen von / ändert, findet man aus der Denoch zwei neue Darstellungen der Funktionen P und 0:
finition (2)
(12)
P(x, y)
(13)
&{x,
mittels der
= log r{x) - I (log Fix + iy) + log Fix -
y)-Yi
(^""^
Formel §
^(^
iy)),
+ *^^ ~ ^^S nx - iy)) - y "Pix);
man
4, (6) findet
=y
somit allgemein:
(14)
P(l -x,y)-^ Pix,
(15)
S(x,y)-Sil-x,y) + jj.log{^^^)-^:tycotg^x.
Aus
(14) findet
man
y)
endlich für
•
^
log
^^^^^
(^
=y
)
,
noch:
p(i,,)^±.,„,(.!ii£::L);
(16)
dagegen
liefert (12) die
ähnliche spezielle Formel:
p(i,y)-iiog( '
(17)
)
,,;
Kapitel U.
Die Funktionell Pai^) nnd Qa{x).
§
9.
Einführung der Funktionen ^„(x) und
Wir haben
^„C^^-
4 bemerkt, daß die Gammafunktion in der
eine in x meromorphe Funktion ist,
einfache Pole hat, und
die in den Punkten 0, — 1, — 2, — 3,
Die neue
daß das Residuum der Pole — n gleich (— 1)" n\ ist.
ganzen
endlichen
in
§
a- Ebene
•
•
•
:
Funktion:
P,(^).2-tr-.^,
(1)
»
wo a
eine
'
von Null verschiedene endliche Größe bedeutet, und wo
indem man log a so bestimmt, daß er für positive a
wird, hat dann offenbai- dieselben Pole und Residuen wie r{x\
zu setzen
reell
=
ist,
Analytische Theorie der Gammafunktion.
26
Erster Teil.
SO
daß die Differenz r{x)
— Pai^)
^^^^ ^^
^ ganze transzendente
Funktion sein muß.
Aus
man:
(1) findet
r
\
*'s5
"^
'
^j
-n
(—
l)*«"""^'
x
+ —s
s
x4-s
s\
und daraus:
a
+
x-\->
l
S-Q
somit
muß
P^i^) der Differenzengleicliung:
P^{x-{-l)
(2)
Genüge
= xP^(x) — e-''-a^
leisten.
Bezeichnet nun
n
eine
ganze Zahl,
positive
und
K^
ist
der
größte Wert, den der Bruch \x-\-n\:\x-\-n-{-s\ annehmen kann,
wenn
s
findet
man
r{x
nicht negative Zahl bedeutet,
ganze,
eine willkürliche
+ n)
j^
=
\r{x-\-n)\-\x-\-n\
s
aus ihm folgt, indem
genommen
K^ immer
lim
Da nun
die
s!
]
a;
+w
r(a;
|
+ n)|'
Q
endlich bleibt, wie groß auch
n
an-
wird:
(3)
ist,
so
aus (1) den Majorantwert:
die
(4«/^4) =
Funktion P^ix) -{- a{x)
Lösung von (2)
allgemeinste
daß Pai^) durch
die
Bedingungen
(2)
•
0.
r(x),
wo
und
(a(x-\-l)
so
darstellt,
= (o(x)
leuchtet
ein,
(3) eindeutig definiert
werden kann.
Wir haben schon bemerkt, daß
Q^ix) =
(4)
eine in
r(x)
die Differenz:
- P^{x)
x ganze transzendente Funktion
ist.
Aus
(2) findet
man
un-
mittelbar für Qa{x) die Differenzengleichung:
Q^{x+l)=^x-Q^(x)
(5)
während
(3)
liefert,
ein,
wo n
e--a^,
den Grenzwert:
lim^%^^) =
(6)
+
als positive
l
ganze Zahl anzusehen
ist.
Somit leuchtet
daß die Bedingungen (5) und (6) für die Definition der Funk-
tion Qai^) ausreichend sind.
Kapitel
Die Funktion
sie
tritt
Prym*)
Die Punktionen P^{x) und Qai^)-
II.
PJx) kommt
Arbeiten
in
schon bei Legendre^) TOr; später
Schlömilch-) und Gasparis^) auf.
von
betrachtet den Fall a
=
1,
= P,{x),
Pix)
(7)
indem
er die Funktionen:
Qix)^Q,{x)
Autor hat auch zuerst
einführt; dieser
21
§ ^^-
die funktionentheoretische Be-
deutung der Funktionen Q{x) und P{x) in der Theorie der Garamafunktion
klar
auseinandergesetzt,
gegebenen Fundamentalgleichungen
allgemeinen
Gesichtspunkte
Funktionen
Pa^x)
und
aus
während Scheefer^") die oben
dieser Funktionen von einem
betrachtet
Die allgemeinen
hat.
Hermite*)
von
sind
Q^ix)
untersucht
worden.
Wir wollen noch mit Lindhagen ^)
der Gleichung (2) machen.
und
dividieren
die
Anwendung
dem Ende in (2) a = 1
Formel mit r{x + 1) = xr(x\
erhaltene
so
eine andere
Setzen wir zu
so erhalten wir:
eP(a; -fl)
r(x -f
1)
_
~
eP{x)
1
r{x)
r(^x
+ 1)
»
daraus ergibt sich das endliche Integral:
wo
C3(x) der Periodizitätsbedingung cj(.r
sonst aber ganz willkürlich
§ 10.
-|-
1)
=
angenommen werden
Die FurLktionenwerte P„(w)
Genüge
cj(x)
leistet,
darf.
und Qai^)
für ganze
>?.
Die Definitionen § 9, (1) und (4) gestatten uns, die Funktionenwerte Pa('0 ^^^^ Qai'*^) mittels elementarer Funktionen in endlicher
Form
für
X
darzustellen, falls n eine ganze Zahl
=
ist.
Aus
)
folgt zunächst
P.(l)=l-e-
(1)
Exercices
1)
de
calcul
integral
Bd.
I,
p.
339—343;
fonctions elliptiques et des integrales Euleriennes, Bd.
2)
Bd.
(1
1:
Grunert Archiv, Bd.
4, p.
3)
396: 1859.
Accademia
11, p. 179; 1848.
Ebenda Bd.
di
16, p.
IT,
p.
5)
6)
Ebenda Bd.
Ebenda Bd.
Giomale
Mathematik Bd. 82, p. 165—172: 1876.
97, p. 230—242; 1884.
90. p. 332—338: 1881.
Stockholm, 1887.
Traite
— 509;
dea
1826.
und Physik
1871.
Napoli Rendiconti Bd. 6: 1867.
7) Dissertation, p. 43:
501
Zeitsckrift für Math,
261—262;
tiche, Bd, 6; 1867.
4) Journal für
1811.
di
matema-
"28
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
und demnach aus §
9, (4):
(2)
= e-<^.
Qa{^)
Durch wiederholte Anwendung der Gleichung §
9, (2),
welche
wir in die Form:
r{x
bringen,
ergibt
+
wenn n
dann,
sich
nx + i)
r{x)
i)
positive
ein
ganze
Zahl be-
deutet, daß:
_
Pa{x-\-n)
./QN
r(x
-\-
P,{x)
/ "^'
_
^
r{x)
n)
,«
muß;
sein
so
läßt
reihe
man
9, (3)
Entwicklung
die
in
eine Fakultäten-
:
= e---a^-^
Pa{^)
(4)
i
ganzen
die in der
bar
1)
=
aber in (3) n über jede Grenze hinauswachsen,
wegen §
ergibt sich
a^
r{x-\-s-\-
a;-
x{x
-(- 1)
•
(rc
•
=
Ebene außer
-f- s)
'
dem Pole von P^{x) anwend-
in
ist.
man Legendre^);
Die Entwicklung (4) verdankt
von Hocevar^) und für
a=l
sie ist später
von Bourguet^) wiedergefunden
worden.
Setzt
man
man gemäß
weiter in (3) x
(1) die
=
1
und n
—
1
statt
n,
so
findet
Formel:
/
s
=n—\
PM = {n-l)\(l-e-^-^^
(5)
\
Aus
^^
«
=o
§ 9, (5) folgt in ähnlicher Weise:
r{x ~f
n)
r(x)
'^
"^ ^
»=o
und daraus wegen
Qain)
=n—l
= {n-l)\e-^.^^^
s
1)
ellipt.
Exercices de calcul integral, Bd.
et des integrales Euleriennes, Bd.
2) Zeitschrift für
3)
+ 1)
(2):
*
0)
r(a; -f s
II,
I,
96, p.
.843;
1811.
Traite des fonct.
505; 1826.
p.
Math, und Physik, Bd.
Comptes rendus, Bd.
p.
=
21, p.
1307; 1883.
449—450;
1876.
—
'
Die Funktionen Pa(x) und Qa{x).
Kapitel n.
:
29
% 10.
Um
nun auch die Funktion Q^ix) für ganze, nicht positive
Werte von x zu berechnen, schreibt man die Formel {()) folgendermaßen
o
u)
VaW-a;(a;^
+
<ga(^
^
_ e-'rv*
^
a;(x +
»)
«_i)
1). ..(a;-f
s
=—
aus der für x
Qa{-
(8)
daß
folgt, so
=
»0
i
(QM -
•
'~a^
man nur den Wert
=n—
-2
mn - s
und §
(1) unmittelbar den gesuchten Wert, nämlich:
QM = _ C _
(9)
+
s)
1)!
a)
der Formel § 9, (4):
Annahme x
9,
(x
•
1
(-
aus; die
gibt
.
Q^iO) zu bestimmen hat.
Zu dem Ende gehen wir von
=
•
und ganz vorausgesetzt:
n, n als positiv
^
—
1)
=
dann mit Rücksicht auf §
+ 2^ (^+1);
log a
•
5, (5),
(10)
j:^^
J=ü
dem Int^graUogarithmus
Dieser Funktionswert steht oflfenbar mit
in
sehr naher Verbindung.^)
Nach
drücke
diesen Erörterungen
für
die
Zwecke schreiben wir vermöge
Form:
^„^(w)
^"^^
man nunmehr
so findet
von
man
9, (5)
Aus-
diesem
unter der
X
'
eW='?a(0) +
^'^^ '
Zu
= ^\
(10)
schreibt
leicht,
herzuleiten.
Formel §
die
(2)
X
Daraus folgt für x
nun auch sehr
es
ist
Funktionswerte
(6) folgendermaßen:
\r{x-\-n)
X
fiir a;
Formel
die
=
e-«.loga;
^
^
gemäß §
5,
r(a;
+s+
1)7
(11\ (6) und unter Anwendung
(7):
[q" (0)=
—
1)
Man
^"
(n
1)!
*=n
(11)
+
g»-(x(»-i)-c)
^i'H")
(n
\,
.2/
«=i
vergleiche meine
—
^
\.
;
= —
e-«-loga-2-,
4
1»
1
»=o
Abhandlung:
matische Annalen Bd. 59, p. 91—102
"""
1)!
1904.
iSttr
une integrale
definie,
Mathe-
:
30
Erster Teil.
WO
der Kürze halber für s
Analytische Theorie der Gammafanktion.
^5)
worden
gesetzt
=T+
Y+
3
endlich die aus §
man
+---
9, (4)
aus (9), (10) und §
+T
hergeleitete Identität:
9, (1)
die weitere Formel:
P(^)(l)^lim(P„(.;)-l-).
(12)
Auflösung einer Differenzengleichung.
§ 11.
Mellin^)
gleichungen §
hat
H{x
und
rix)
Verallgemeinerung
folgende
9, (2), (5) für P(x)
(1)
wo
1
ist.
Wendet man
an, so findet
^
+
= r(x)
1)
der
Difi'erenzen-
und Q{x) untersucht:
H{x)
+
R{x),
Hier müssen
It{x) rationale Funktionen in x bedeuten.
wir uns indessen mit Lindhagen'-^) auf folgenden Spezialfall von
(1) beschränken:
Hix
(2)
wo Hix)
+
1)
= xH{x) +
B{x),
Funktion in x bezeichnet, und zwar
eine ganze rationale
wollen wir für diese Gleichung die elegante Lösung von Jensen')
mitteilen.
Um
reicht
Lösung
die Differenzengleichung (2) vollständig auflösen zu können,
es
aus,
eine
einzige
Lösung zu
kennen;
die
allgemeinste
dieser Gleichung läßt sich nämlich offenbar folgendermaßen
darstellen:
H{x)
(3)
wo ^{x)
der
= ^{X) +
eine willkürliche
co{x)- r{x),
Lösung von
(2) bedeutet,
gewöhnlichen Periodizitätsbedingung (d{x
leistet,
sonst aber ganz beliebig
-\-
V)
=
angenommen werden
während Gi{x)
aix) Genüge
darf.
Eine partikuläre Lösung der Gleichung (2) läßt sich indessen
leicht darstellen-, man findet nämlich aus (2) für die partikuläre
Lösung ^(x), daß:
r{x
sein
muß.
1)
2)
3)
Setzt
-\-
r{x)
1)
man nun
in
'
r{x
+
i)
dieser Gleichung
statt
Acta Mathematica Bd. 15, p. 317—384; 1891.
Stockholm 1887.
Nyt Tidsskrift for Mathematik, Bd. 2 B. p. 60; 1891.
Dissertation, p. 45 ff.
x der Reihe
Die Funktionen Pa{x) und Qa{x).
Kapitel IL
nach X
+
1,
x
+ 2, —
x +jp,
,
31
§ 11.
so ergibt die Addition aller so er-
haltenen Formeln:
r(x
+ *+i)
man
aber in (4) die positire ganze Zahl
Grenze hinanswaohsen, so erhält man offenbar rechter
Läßt
§
1, (2;
p
über jede
Hand gemäß
Hand muß
konvergente Reihe; die Funktion linker
eine
daher auch einem endlichen und bestimmten Grenzwert zustreben,
der offenbar eine in
+
j;
periodische Funktion mit der additiven Pe-
Wir wollen nun über
Lösung
^(x) derart verfügen, daß der obenerwähnte Grenzwert eine Konstante K wird, und setzen demnach:
riode
1 sein
muß.
lim
(5)
Nach
11^44 = JT.
diesen Erörterungen findet
^(x)
(6)
die partikuläre
man
aber für ö(-c) den Ausdruck:
= E rx) - rix) -^ r^lt^^
.
welcher sich noch etwas umformen
,
läßt.
Schreiben wir das ganze Polynom It(x\
vom
h*™ Grade in x
unter dieser Form:
R(x)
(7)
= «0 -^a^
^K^
-l)---(x-s+l\
1=1
wo
von x unabhängig sein
die Koeffizienten a
einander x
= 0,
sollen, so lassen sich
ohne Mühe bestimmen, indem man in
diese Koeffizienten
1,
3,--, »
einsetzt;
die
vollständige
(T'i
nach-
Induktion
ei^bt dann:
(8)
pla, =
^
i?(0
,
=^ (- iy{^)R(p -
Mit dieser Bestimmung der Koeffizienten a
s).
muß
(7) eine for-
male Identität sein, denn diese algebraische Gleichung m** Grades
in X hat n-\- \ verschiedene Wurzeln, nämlich x
-, n.
0, 1, 2,
=
Die Formel (7) ergibt aber:
g(x
-i-
>
—
r(x-|-.)
1
„^"V
^r{x-\-s — p)
F=0
-
•
'
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
32
daraus folgt wegen § 10, (4):
p ==n
^
T(x
s=0
somit
wir
finden
-\-
+
s
unsere
für
~ ^'^
1)
r{x-p)
p=0
'
Lösung ^{x) den
partikuläre
ein-
facheren Ausdruck:
§ (.) = K. r(.) - .
(9)
.
P(.)
.f -^'f»' -"^'T
»=1
/;
W
«==0
wo
der Kürze halber:
f.(^)-^{s-ry.C~l)
r=
(10)
l
gesetzt
worden
ist.
Es leuchtet
chungen (2) und
Wir nehmen
Pa{^)
vollkommen
definiert
Über P^ix) für
§ 12.
einige
daß unsere Funktion ^{x)
ein,
(5)
jetzt
durch
die
Glei-
ist.
reelle a
und
x.
der Parameter a in unserer Funktion
an,
Größe, und wollen unter dieser Voraussetzung
sei eine positive
über das Zeichen von Paix) für ver-
allgemeine Resultate
schiedene reelle x herleiten.
Erstens
Für
Fakultätenreihe § 10, (4) den Satz:
liefert die
positive
a und x
ist
die
Funktion Pa{x) immer
positiv.
Für unsere weiteren Untersuchungen brauchen wir einen Hilfssatz, der unmittelbar aus § 10, (3) hergeleitet werden kann; setzt
man nämlich dort « = 2 und x
2 für x, so erhält man:
—
e'^P^ix
(1)
da nun für x
hat
man
- 2) = --
^—a
ofi'enbar
-\-
Nach
P^ix
diesen
sowohl x
—
i)(^
1
-^
als
x
—2
'-
;
negativ sind, so
den gesuchten Hilfssatz:
Falls Paix) negativ
sicher au^Ji
1
[^_
— 2)
ist,
und x
^—a
-\-
1
vorausgesetzt wird,
ist
negativ.
allgemeinen
Erörterungen wollen
wir nunmehr
den folgenden Satz beweisen:
Bedeutet a eine willkürliche endliche positive Größe, und
eine
ganze,
nicht
negative Zahl, so
ist
die Funktion
Intervallen
-2p>x>-2p-l
(2)
immer
negativ.
ist
p
Paix) in den
:
Kapitel
Um diesen
< y < 1 dann
Die Funktionen PaQt) und Qa'x).
11.
beweisen,
Satz zu
—
offenbar
ist
,
w
j:
x
wir
setzen
> >— —
1
;/
33
§ 1^.
= — » — y, wo
somit
:
liefert die
Formel § 10, (4) für unsere Funktion Pj(^) den Ausdruck:
= A,-A„_,-hÄ,_,
(3)
(- l)*+^a-'c-P„(x)
WO
wir der Kürze halber für
^r =
(^)
und
für r
^^^
^^
>
^
("
+
+y-
y)(«
A^-Ä^_, =
1)
•
-
(1
Größen ^^ sind
man
Definition (4) findet
1)
.
.
.
(«
y
-t-
(,r+y)(n
+ y)y(i - y)
_
r)
also
< a < 1;
•
•
sämtKch
(r
•
- « - y)
Ans der
positiv.
unmittelbar:
+ y-l).-.(n + y-r+T) V»r+y^^ ~ V
wo man also r ^n voraussetzen muß.
Wir haben nun zwei verschiedene Fälle
nachdem
< a < 1 oder aPrl vorausgesetzt
1)
+
«
gesetzt haben; die
(6)
1)-^«
^ r ^ n:
+ y)(n + y _
,«
+(-
hier ergibt {ß) für
>•
'
zu unterscheiden, je
wird.
^n—1
sicher
da nun wegen (3) immer:
(7)
(- ly^^a-^FJx)
sein
muß, so
folgt für gerade
Summe
denn die
+
> A,-A^_, + A„_,
n
Hand
rechter
(- 1)-^,
die gesuchte Ungleichheit
in (7) ist ja
dann immer
positiv.
Liegt X aber im Intervalle
dann
sicher
ist
.r
— 2n>x> — 2n—l, n > 0,
< — a 1, und somit ist unserem
folge Pa(^') in den Intervallen (2)
2)
o
>
1.
Hilfssatze zu-
-\-
Wir
immer
< a < 2 w«
-j- 3
wo m eine
wenn außerdem n — r<.2m
wegen (6)
2 m -f 1
setzen
negativ.
,
ganze, nicht negative Zahl bedeutet;
vorausgesetzt wird, dann
ist
(8)
A^~A,_,>0.
Setzt
man
wieder n als gerade voraus, so braucht
gleichung (S) nur für
Glied rechter
sicher
Hand
/•
>2
man
in Betracht zu ziehen, denn
in (7) ist
dann sicher
positiv; somit findet
auch hier
Kielsen, Theorie der
Gaiuniaftiuktiun.
die
3
Un-
das letzte
man
34
Erster Teil.
— 2m > a > — 2?« —
den Intervallen
in
Analytische Theorie der Gammafunktion.
wir haben gesehen, daß
falls
^m+
w
In
ist
dem
für
Ungleichung
(8)
<n ^ m +
1; denn
anwendbar ist,
sicher
vorausgesetzt wird.
1
letzten der
aber sicher
die
1
obengenannten Intervalle
— 2m — 2>a;> — 2w — 3
x <— a
somit ist unser Satz
1
-\-
;
>
auch für a
1
bewiesen.
Wir wollen nun noch den folgenden spezielleren Satz beweisen:
Es sei n eine ganze, nicht negative ZaJil und 2m + 1 < a < 2w + 3,
dann ist P^i^:) in den Intervallen — 2n — 1 <a;< — 2w — 2 immer
positiv,
wenn n
eine solche
ganze Zahl
bedeutet,
< <m
daß
ist.
»^
Die Ungleichheit (8) ist nämlich dann auch für r = 1 anwendbar; somit ergibt (7) unmittelbar das gewünschte Resultat.
Es
n
>m
ist
mir indessen nicht gelungen, die übrigen Intervalle für
in dieser Allgemeinheit zu untersuchen.
§ 13.
von Bourguet über
Satz
die Nullstellen
Nach den allgemeineren Erörterungen
graphen setzen wir
a
speziell
=
von P(x).
des vorhergehenden Para-
und wollen nunmehr den
1
fol-
genden Satz von Bourguet^) beweisen.
P(x) hat in jedem der
I)ie Funlition
Intervalle
— 2n-l>x> — 2n-^y, - 2n — ~> x> - 2n — 2
von n
=2
an mindestens
hat aber sonst keine
eine Nullstelle,
reelle
Ntdlstelle.
Den Sätzen
des § 12 zufolge
stellen besitzen außer in
von w
>
1
dem
kann P{x) keine
Intervalle
— 2n —
1
reellen
—
>:z;>
Null-
2w
—2
an.
Wir wollen nun zuerst beweisen, daß P(x) im Intervalle
immer positiv ist.
ic
Zu dem Ende setzen wir x = — ?> — y, wo also wie gewöhnlich
—3> >—4
<^<
^
1
ist;
die
Formel §
^^
^
^
weiter findet
1)
2/(1
man gemäß
.
(2)
.
§
P(l
Comptes rendus, Bd.
10, (3) ergibt
9, (2)
+
für
dann für w
+
a = 1,
2/)(2
t/)(3
x
-f
p 1309; 1883.
"
= 1 — y:
- ,) ^ -^'^ -J) + S
96,
2/)
= 4:
'
—
Die Funktionen Pa{x) und QJx).
Kapitel n.
ans der Fakultätenreihe § 10, (4) folgt femer für a
wenn x nnd h
S5
§ 13.
=
\:
beide positiv sind; daher folgt ans (2):
l^>^,
eP(l-,)>'-^<^ =
9, (2) findet man for n = 2,
eP{2) = 6-2
(3)
denn ans §
a
=
1, daß:
muß.
sein
Nun ist der Nenner
findet man gemäß (o):
y)^
ö
eir^
{^^)
rechter
(l
Hand
_ y)y(l
in (1) offenbar positiv, also
_^ y)(2
_{_
y)(3
+ y)
bezeichnet aber y einen positiven, echten Bruch, so
für den Zähler
A
rechter
Hand
in (4) findet
man
js»
immer:
ist
daher:
^Si + (i-y)'-T(i + y)'- ''''"4"'~'^
< < 1 folgt daraus .1 > und somit auch
womit unsere Behauptung bewiesen ist.
für
</
« = 2
von
folgenden
der
Betreffs
an behaupte
Wir
sein muß.
y
= -g-,
— y) >
— 1 < < — 2w — 2
.r
i^) <
ziehen zunächst
P(
~\ in Betracht und setzen in
dann erhält man:
5 7 9 11
11\
3\
T^/
-^f
i.l_l^.eP(_H).,p(_|)
-
(6)
nun
2m
3
daß immer:
p(-
(5)
(1)
ich,
—
Intervalle
P(—
257
.
•
ergibt aber die Fakultätenreihe § 10, (4) für a
=
1
und x
=—
-3
daraus folgt:
^^(-I)<I+I(i+4 + I+I+-)=t;
somit findet
man
5
•
7
ans (6):
•
9
16
so daß
P(
demnach
•
11
-r./^
11\
.
22
257
^^(i-y)<"-T<o.
—\ negatic sein muß, und der Hilfssatz in § 12 zeigt
die Richtigkeit der allgemeinen
Ungleichung
(5).
3*
36
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
lann
in
P(a';)
also
negativ sein, falls
Es
angenommen wird.
in diesen Inter-
Zu dem Ende bezeichnen wir mit
sein kann.
beliebig kleine,
£
P^x)
indessen leicht zu beweisen, daß
ist
vallen auch positiv
ö und
— 2n — 1 >a;> — 2w — 2
den Intervallen
n^ 2
Größen;
positive
die
Definition § 9, (1)
ergibt dann:
P(- 2n-l-d) =
P(- 2n man
worin
P(— 2n —
Nun
2
+
ist
8)
kontinuierliche
+
«'i'^
+
= j^^^r^ +
&o
+
&i^
+
so
s
P(— 2n —
und
aber in
«0
und
ö
offenbar
—
1
£)
+
(.^^^l^y^s
dem
2
klein
-\-
s)
betreffenden
annehmen
•
•
•
•
•,
•,
daß
kann,
beide positiv sind.
Intervalle
P{x) eine
reelle,
Funktion der reellen Veränderlichen x, welche in
der Mitte der Intervalle negativ, an den beiden Endpunkten dagegen
muß
mindestens zweimal in jedem dieser
und damit ist unser Satz bewiesen.
Betreffs der negativen Werte von F{pc) in den obenerwähnten
Intervallen hat Bourguet^) darauf aufmerksam gemacht, daß ihre
positiv
ist,
also
J?{x)
Intervalle verschwinden,
absoluten Beträge sehr klein sein müssen;
^
ist
also
so
ist
Pix)
'
—2n—l>x> — 2n —
offenbar
P{x
-\-
1)
X
ex
2,
positiv,
d. h.
man
hat nämlich aus §
9, (2):
'
—2n>x-\-l> — 2n—\,
und somit
i^(^)
>
,
d. h.
für
< 0:
Bourguet^) hat außerdem zu beweisen versucht, daß P{x) nicht
mehr als vier komplexe Nullstellen besitzen kann; sein Beweis für
diese
Behauptung ist indessen nicht genau.
Über die Nullstellen von ^^C*); ^^^' positive
in § 81 zu sprechen.
1)
2)
Comptes rendus, Bd. 96, p. 1309; 1883.
Ebenda Bd. 96, p. 1487-1490; 1883.
a,
haben wir später
+
Kapitel
;
Entwicklungen
III.
in Potenzreihen.
37
§ 14.
Kapitel HI.
Entwicklnnsren in Potenzreihen.
§
Entwicklungen von
1-4.
'*"(!
Aus den Definitionen §
+ x),
log r(l
+ ^)-
der beiden Funktionen
^(x)
± x)
ß{l
5, (2), (12)
und
und ß{x):
y(^ - -^),
= -c
qr(^)
(-W^^^
findet
man
die anderweiten Entwickluncren
(1)
5rt«)(x)=(-l)'' + ».w!.
(2)
^(.)(^)_(_ !)..„.
setzt
man
V-
]^^_i^,
daher der Kürze halber:
s,
=
= lim(l + i- + |4-
C
+
-^-log«),
(3)
i"
<?-
(4)
11
=
SO erhält
man
(5)
9*"(1
1
+
M>
1,
die Potenzreihen:
+
a;)
/3(1 4- a;)
(6)
n>2
q«
i)"
=— +
^^
=
<5i
—
^2-^
(?2.<'
— s^x^
-f <3^x-
welche beide im Innern des Kreises
Koeffizienten von
n
m
=
2 an wegen
x
(^3)
—
-\-
+
6^j^
=1
und
— %j:* +
s^t"
^^a:*
—
•
•
•
•,
•,
konvergieren, und deren
(^4)
durch die Relation:
''"=(i-i^)-s,
verbunden
sind.
Man kann die Reihen (5) und (6) noch
für die numerische
etwas umformen, so daß
Rechnung bequemer werden.
sie
Zu diesem Zwecke
:
Erster Teil.
38
Gammafunktion.
Analytisclie Theorie der
ändern wir das Zeichen von x nnd erhalten dann unter Anwendung
von §
5,
(7)
und (14)
die beiden
neuen Entwicklungen:
r
W{1 +x)
(8)
/3(l
(9)
da nun aber für
= ~~~^
+
^)
=
a;
<
1
|
j
1
= 1
ist,
man
so gewinnt
cot
=
00
^x -^«2,+!
-^--^^.''
+ X^+ X^+
-^ya
X^
+
X^-^
x'
•
•
'
endlich aus (8) und (9) die zwei noch rascher
konvergierenden Entwicklungen
(10)
(11)
^jr(l+^)
^(1
+
= -L^-cot^^-34^+'V(l-s,,^,)^^
^)
=
Kapitel
Entwicklungen in Potenzreihen.
III.
39
§ 14.
(17)
+2^
welche beide für
x\
<2
Die Formel (16)
konvergieren.
von Legen dre*) angegeben worden.
Die nnmerischen Werte der Zahlen
=
Legendre^)
Werte von s^ bis
korrigierte
auf 16 Dezimalstellen.
Euler und gab
an,
die
%
2 bis «
dann
=
16 bis
von
die Tafel
bis auf 15 Dezimalstellen
während Stiltjes^) eine Tafel der Zahlen
32 Dezimalstellen berechnete.
Über die numerische Berechnung von
in §
schon
wohl bekannt.
s^ sind sehr
Schon Euler-) berechnete diese Zahlen von n
ist
Sj
=
auf
bis s-^ bis
s,
C haben
wir schon
2 berichtet.
Nachdem die Näherungswerte der Koeffizienten
sind, kann man nunmehr mit Zuhilfenahme der eben
s,
berechnet
entwickelten
Reihen zur Berechnung der Funktionswerte selbst übergehen.
Die erste numerische Tafel der Logarithmen der Grammafunktion
Legendre
rührt sicher von
her; er berechnet zunächst die W^erte
von log r(l + x) für x = 0,000 bis x = 0,500 mit dem Intervall
d = 0,005 und auf 7 Dezimalstellen.^) Später hat Legendre diese
Tafel erweitert, indem er die Funktionswerte von x = 0,000 bis
X = 1,000 mit dem Intervall d = 0,001 und zuerst^) mit 7, dann'j
mit 12 Dezimalstellen
gibt.
Gauß^) hat die Funktions werte von ^(1 + x) und logr(l + a:)
von X = 0,00 bis x = 1,00 mit dem Intervall d = 0,01 und mit
1)
integr.,
Memoires de Tlnstitut de France 1809,
Bd.
I,
p. 299; 1811.
2) Institutiones
Petrop. Bd.
7, p.
Traite des fonct.
calculi differentialis , p. 456;
Exercices de calc.
p. 505.
ellipt.,
Bd.
II.
1755.
p.
433: 1826.
Commentarii Acad.
133; (1734—35) 1740.
3) Exercices
de calcul integral, Bd.
II,
p. 65;
1817.
des fonct.
Traite
Bd. H, p. 432; 1826.
4) Acta Matliematica, Bd. 10, p. 299—302; 1887.
5) Memoües de l'Institut de France; 1809, p. 508—509.
ellipt., etc.,
6)
Exercices de calcul integral. Bd. IL
p.
83-95; 1817, Bd.
I, p.
302—
306; 1811.
7)
Traite des fonctions elliptiques et des integrales Euleriennes, Bd. H,
490—499; 1826.
8) Comment.
Deutsche Ausgabe
p.
Gotting., Bd. 2, p.
p.
52
— 54.
44—17;
1812.
Werke Bd.
III, p.
161—162.
,
Analytisclic Theorie der Gamuiafunktion.
Erster Teil.
40
Beinahe
20 Dezimalstellen angegeben.
hat
gleichzeitig
Bessel^)
(r(x)\
2)
^°" ^
"" ^'^^
^^^
^
^^ Dezi-
"" ^'^^ ^^^
d = 0,01 berechnet, während später
Knar^) eine Tafel der Werte von W(x) für
1,00 bis
1,50
mit 7 Dezimalstellen und mit dem Intervalle d == 0,01 geliefert hat.
malstellen mit
dem
Intervalle
x=
x=
Es
man
daß man, Avenn
leuchtet ein,
auf reelle Werte
sich
beschränkt, nur die obengenannten Funktionswerte von x
=
=
bis
hat.
Durch Zuhilfenahme der beiden
und § 6, (3) kann man diejenigen Intervalle, für
welche man die Gammafunktion zu berechnen braucht, beträchtlich
einschränken. Diese Aufgabe ist schon von Legendre^), später von
X
1
berechnen nötig
zu
Formeln §
Hoppe*)
(6)
4,
bearbeitet
worden; aber zuerst Landau^) hat
sie
voll-
ständig gelöst.
§ 15.
Potenzreihenentwicklungen für r(l
Wenden
wir uns nunmehr zu der Funktion
so bietet sich uns zunächst eine Potenzreihe
r(l
(1)
-}-
x)
=
Cq
+
c^x
welche im Innern des Kreises \x]=
Man
c„
Form noch
-\-
x)
der c„ ausreichen.
= — s^
-i-
s^x
1)
3)
4)
5)
c^x^
-\
dar:
,
ist
aber leicht, mit Zuhilfe-
s^x^
-j-
s,^x^
— s^x^
-\-
für die numerische
Berechnung
r(i
4- x)
^p(x
+
1)
nämlich wegen (1) und (2) die allgemeine Formel:
Verbindung
mit
sukzessive Berechnung der
2)
—
die
=
r
in
von der Form
selbst,
Die Identität:
r(^)(i -\-x)
die
x)
konvergiert.
nicht; es
Rekursionsformeln herzuleiten,
liefert
-\-
der Formel § 14, (5):
W (1
(2)
1
+
r{l
kennt zwar die independente Darstellung der Koeffizienten
unter einfacher
nahme
c^x^
-\-
und p/T^r—\'
x)
-\-
Abhandlungen, Bd.
II,
=
dem
c„
p.
Anfangswerte
Cq
=
erlaubt.
342—352.
Grunert Archiv, Bd. 43, p. 168; 1805.
Traite des fonct. elliptiques etc. Bd.
II,
art. 118.
Journal für Mathematik, Bd. 40, p. 152—154; 1850.
Ebenda Bd. 123, p. 276—283; 1901.
1
offenbar
die
'
Kapitel
Für
Entwicklungen
III.
41
§ 15.
die Koeffizienten der beständig konvergierenden Potenzreihe
W
r(i
+ X) = ^0 + yi^: + 7^3^
und
kation von (1)
(4) findet
muß.
Um
eine
Yi^ +
•
•
man ohne Mühe,
daß:
2^.y-r=0
^0=1,
(5)
'\-
Rekursionsformel herleiten; durch Multipli-
läßt sich eine ähnliche
sein
in Potenzreihen.
ähnliche Rekursionsformel wie (ß) auch für
gehen wir von der anderen Identität:
die y^ herzuleiten,
/
1
_^(i +
X
r(i
^'\r(i-\-x)}
x)
+ x)
aus und finden mittels (2) und (4) die gesuchte Formel:
(n
(6)
+
=^(- IK+i
l)?'„-,i
r»-r-
•
Die hier entwickelte Methode zur Herleitung der Formel (6)
wohl zuerst von Schlömilch^) angewendet worden.
ist
Die numerische Berechnung der Koeffizienten c, und y, und
man Bourguet*). welcher eine Annähe-
ähnlicher Zahlen verdankt
rung
auf
16
Dezimalstellen
Es
hat.
erzielt
noch
ist
merken, daß H. M. Jefferey^) schon früher die 11
zienten jeder der 21 Potenzreihen für r(")(x
n
=
20
bis auf
+
zu
be-
ersten Koeffi-
l):n! für n
=
bis
10 Dezimalstellen berechnet hat.
Man kann nun auch
Funktionen P^i^) und
die
Qai-^) in Potenz-
reihen entwickeln; setzt man:
P,(l
(7)
-\-x)
so ist diese Reihe
meinen Koeffizient
§
9, (1)
= a^ip^S^ + p^-^x + pf-)x' + p^i^x' +••.),
offenbar für
p^^^
x-
aber findet
<
konvergent, für
1
man ohne Mühe
den
allge-
aus der Definition
den Ausdruck:
^.,=(_i)..;gj^.^:^.,
(8)
»
=
'
für die Koeffizienten der beständig konvergierenden Potenzreihe
Qa{^
(9)
1) Zeitschiift für
2)
+
1)
=
^S*^
+
^^'x -f qfx^
Math, und Physik, Bd.
Acta Mathematica, Bd.
2,
pp. 289, 291
3) Quarterly Journal, Bd. 6, p.
82—108;
+
•
•
25, p. 104; 1880.
;
1882.
1864.
42
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
kaun man dann vermöge der
Identität
=
Q^ix)
r(x)
- F^{x)
aus (7) die entsprechenden Ausdrücke finden. Für «
=
hat
1
man
z.
B.:
und p^^) sind gleichfalls auf IG Dezimalstellen
q^^]^
von Bourguet*) berechnet worden.
die Koeffizienten
Independente Darstellung der Koeffizienten
§ 16.
c„
und
y^.
Durch Auflösung der Gleichungssysteme § In, (3) und (6) kann
man die Koeffizienten c„ und y^ mittels der Summen s^ ausdrücken;
um
die independente Darstellung dieser Koeffizienten
bequemer her-
zuleiten, setzen wir identisch:
r{x)
(1)
und führen weiter
woraus
ein,
e>'(^)
die Bezeichmincr:
speziell:
= - n.)
..(.)
(3)
=
^^
C+'J (4, --|-^)
«
=
und allgemein für n'^ 1:
r=cc
(4)
r
=
^
'
^
Die höheren Difi'erentialquotienten von r{x) lassen sich nun
mit Zuhilfenahme allgemeiner Formeln aus (1) herleiten. Ist ij
nämlich eine Funktion von x, so hat man^):
folgt.
B:F{y)J^^.T^-^Xy).F^'^\y),
(5)
k
WO
=
l
der Kürze halber:
(6)
T<-,.(j,)^„!2'?-,;J^^-,--frr
worden
gesetzt
1)
Log.
2)
Man
cit,
ist,
die
rechter
Hand
aber über alle positiven
pp. 288, 292.
vergleiche
z.
Bd.
II, p.
Uj.
auf unsere bequemere
5
Summe
Formel
(G);
B.
1879.
Schlömilch, Kompendium d. höheren Analysis,
Eine einfache Rechnung bringt Schlömilchs
Form
7'*»".
Entwicklungen in Potenzreihen.
Kapitel HI.
Werte von
ganzen
r^.
Tj, r,,
•
•
zu
r^
•,
43
§ 16.
erstrecken
die
ist,
der
einzigen Bedingung:
^1
(7)
+ r^ + r, +
•
•
•
+
r^
=
u
Genüge leisten; es ist also stets zu beachten, daß eine bestimmte
Kombination von 1c Zahlen, welche (7) befriedigen, so oft mitgerechnet werden muß, als man verschiedene Permutationen dieser
ohne Wiederholungen bilden kann.
A" Zahlen
In unserem speziellen Falle findet man nun vermöge (2), daß
jn-)(z)
(8)
sein
muß, wo
= (- 1)- n! r{x) •2' ^
%^ .(^) =
^*' "(^)
—
also:
(9)
•
y^li^
mit der Bedingung (7) zu setzen
ist;
'AI
for
x
=
1
findet
man
daher
die gesuchte independente Darstellung:
(10)
..
- (-
Aus der
5i
1)"
.
V-
"(1),
-
muß; somit
(11)
so daß
s„
fijidet
rn
man
kann, indem
-;2 r^:\;\\
Definition (1) folgt aber weiter, daß:
rii+x)
sein
s'-(i)
also den
man
wechselt; dies
man
= e-yW
die (10) ähnliche
Formel:
= (-^y-y.K^-'^'"(n
Ausdruck für y^ aus demjenigen für
c^
bilden
vorkommenden Zahlen
Formeln
beiden
stimmt mit den
§ 15, (3), {&) sehr
das Zeichen sämtlicher dort
gut überein.
Die independenten Ausdrücke der ersten Koeffizienten
von
Binet*),
findet
q
^2
z.
später
von Scheibner^ angegeben
c, sind
worden;
B.
= Si
= Y -S + Y «1
1)
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 27, p. 265; 1839.
2)
Leipziger Berichte, Bd. 14. p. 75; 1862.
man
44
Erster Teil.
_
^3
1
1
~2
+
,
y ^3
1
,
^'2
*1
^4
= X ^4 +
^5
= i ^5 + I «3^2
Man kann
+ T ^2^2' + ^1'
+ i ^4^1 + I S,h, + I 635,2 +
^3^1
-3
-\-
Über die Funktion
B['^p,
ist
,
wie
yj
I)
Identität § 5, (18) liefert,
ß{l
-\-
x)
=
6^
S,S,'
+
= 60 + \X +
vorhergehenden für
die
+ &3^3
?>,^2
\x[<l
— 0^x 4-
ö^x"^
—
_^
.
.
.^
konvergent,
wegen der Formel §
r
und
14, (6):
a^x^ 4- ö-^x^
—
•
,
=
Die Definition der Betafunktion ergibt weiter:
^l
setzt
man
2
>
2J-r-7^^x5
daher:
5 (I I) =
(4)
X
so findet
man
•
,
/3^
+
/5,x
+
ß,x'
+
^3;r«
+
tiurch Multiplikation mit (1):
(P)
ßo
=
^,
o=^V-^._.;
die aus (3) hergeleitete Identität:
dIxbC"-
^-L'^^l2'
Ml-
2^-^(^-M)
2/]-
/^4-l
1\
-Bl
führt in ähnlicher
,^5.
Funktion ß(x) ähn-
Ausdrücke:
(3)
^^^
man:
Reihe offeubar auch für
diese
y
b(^~, yV
offenbar mit Zuhilfenahme der
x) herleiten; setzt
(1)
die
"24
Entwicklungen für -ßf*^
liche
SO
3
"ß" ^1
I
+
^2'
l
§ 17.
F(l
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Weise zu einer zweiten Rekursionsformel:
r=0
die
,
Kapitel
Um
b
Entwicklungen in Potenzreihen.
III.
45
§ 18.
endlich die independenten Darstellungen der Koeffizienten
und 3
zu finden, setzen wir identisch:
wo:
muß;
sein
Methode
dieselbe
wie in
dann
§ 16 ergibt
die § 16,
(10), (11) ähnlichen Ausdrücke:
6,= (-l)"^-'J',T^'"'(l),
(7)
k
(8)
wo
ßn
=
(-
1)"
2
•
=l
-^
^
•
ü'^'
"(1)
der Kürze halber:
p..(l)=2'°^':^'-
(9)
worden ist, die positiven ganzen Zahlen r^, r^, •••, r^ aber
derselben Bedingung wie in § 16 Genüge leisten müssen.
Für die Koeffizienten b„ imd /3„ haben wir später in § 55
gesetzt
Integraldarstelluugeu und Reihenentwicklungen herzuleiten.
Über
§ 18.
Es
und
die Zahlenwerte s^
leuchtet ein, daß
6^.
independenten Darstellungen, welche
die
wir in den vorhergehenden Paragraphen entwickelt haben, für die
dort betrachteten Funktionen gar nichts Spezifisches bieten;
bedeutet F(x)
Funktion,
eine
im Bereiche des
Pimktes x
daß F{0) von Xull verschieden
so
ist,
=
denn,
holomorphe
so existiert eine
Entwicklung von der Form:
log F[x)
sucht
man demnach
Potenzreihe
liche
und
mittels
=
rto
«1^"
+
«2^
+
«3^
der
Koeffizienten
die
der
+
für
Um
und
die
ö. aus
den
(?„
independenten
;
F(x)
bestimmen, so bekommt
a^ zu
Ausdrücke wie diejenigen, welche wir für
für &.
-I
c^
erhaltenen
man
ähn-
und y^ aus den
s^
gebildet haben.
Ausdrücke
obengenannten
der
vier
Koeffiziententypen vereinfachen zu können, müssen spezifische Relationen zwischen den Zahlen 5.
und
<?„
zu Hilfe
die Auffindung solcher Relationen ist indessen
und somit sind
wir
noch nicht imstande,
genommen werden;
noch nicht gelungen,
die
Koeffizienten
der
46
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
beständig
1
:
konvergenten Potenzreihe für die ganze Transzendente
r(x) in einfacher Form anzugeben, obgleich diese ganze Transzen-
dente augenscheinlich eine der einfachsten
Indem wir
AvoUen wir zuerst die Reihen
licher
ist.
hier einige Eigenschaften der Zahlen s^ entwickeln,
Form summieren.
mit geradem Index, unter end-
s^^,
Zu
dem Ende gehen wir von
der
aus
§ 14, (5) fließenden Entwicklung:
n
cot TtX
7C
(1)
= -^ -2
=
oo
•^S.^-X''"-',
< 1,
\x\
rt=_l
aus und bezeichnen mit
^1
(2)
o
^6
die
_
-
^2
6"'
691
30' ^3
7
j.
2730' ^1
j.
6
'
^«
^^
e'-i
_
~
ist
2
30' ^5
_
3617
510
= ;^
iW
sämtlich
-"lO
rational
und
positiv
dann:
gilt
+^
_ 174611
- ~33Ö-?
43867
^9 ~~
'
die
Zahlen B^
t
-
42' ^4
Bernoullischen Zahlen^),
sind; als Definition der
nun
~
(2r)!
^
|^l<2;r,
'
weiter:
_A
1
und man
_A
1
e'-l'
findet somit aus (3);
i
-1
-l/-^^r
= 14-9.
+^ V(
^"''"T2rr
/=!
t
die
Annahme
t
=
2nxi
:2r-
^
1,
führt so unmittelbar zu der weiteren Ent-
wicklung:
^O'
^
(4)
cot
.X
^"-^
= 1- - V^-'Cr(2r)!
^
•
I^K
1;
daraus folgt wegen (1):
^
"2»i
^
Über
—
^„•(2^)'"
(2w)!2
Natur der Summen Sg^^^, mit ungeradem Index,
wissen wir eigentlich noch gar nichts; es ist bisher noch nicht gedie
1) J. C. Adams hat die ersten
Journal für Mathematik, Bd. 85; 1878.
62
Bernoullischen
Zahlen
berechnet.
:
EntwickluDgen in Potenzreihen.
Kapitel ni.
47
§ 18.
Reihen in ähnlicher Weise zu summieren oder durch
Gattung, aber mit niedrigerem Index auszuBildet man z. B. aus § 15, {4:) mittels der Formel:
lunoren, diese
Suraraen
derselben
drücken.
sin 7CX
die Potenzreihe für
Reihe die
n
p^r(yzrx)
so
sin tcx,
tc
Summen ^^„^i von
Wir wollen
=
=
fallen
in
den Koeffizienten dieser
an sowie ihre Potenzen sämtlich
aus.
aber die Zahlen s^ noch von einem anderen Gesichts-
punkte aus untersuchen. Zu dem Ende multiplizieren wir nach den
und s^ und finden:
gewöhnlichen Regeln die beiden Reihen
.•i,,
Vp = ^^n+p + Cn,P +
(6)
n>l,p>l,
'^P,».
wo:
c
"'P
=
^V-^
+
Z'-
1)" Vi''
(r
+ -+'+••
+
3^
2**
r=:l
zu setzen
ist,
übrigens aber n
c,
(7)
^n^p
Zj
wo man
also
;/
^
s,<?p
(8)
"-"
y-sp
1
.
=
und
J)
= ^n+p - Kp -
(r+1)"
"""=1
1
>
1
^1
^^
^
angenommen werden
Vi''
^P,n,
r»
2^
(r+irVl"
(r
)'
nehmen muß, und
w>l, p^l,
^n+p+f^^p-y,,„.
j^
f^J
einen Sinn hat; ebenso findet man:
müssen, weil nur so
rt,p
>
-"l
+ 1)*
Vi'
2^
^
^
/'
r^
'
2^
r"/
eine Untersuchung der drei betrachteten Produkte verwandelt sich
demnach offenbar in eine Untersuchung der vier Zahlen c„ p, y^^, (7,'^
und d„n,p„.
Die Formel (6) war schon Enler^) bekannt; überhaupt kommen
spezielle Reihen c
und d„ ^ neben anderen, unter denen
j d
, y
man auch
divergente
findet,
Euler und Goldbach-)
1)
tarii
häufig in
dem Briefwechsel zwischen
vor.
Coi respondance math. et physique, Bd.
I,
p.
191; (1743). Novi
Academiae Petropolitanae, Bd. 20, p. 184; (1775) 1776.
2) Correspondance, Bd. I, p. 163—200; 1742—1743.
Commen-
1
48
Analytische Theorie der Gammafuuktion.
Erster Teil.
Nun
man
hat
aber die Dekompositionsformel:
r
=p—
1
r=ü
=q—1
r _^ y! /p +
(9)
r
wo p und
(- ir
1\
q positive ganze Zahlen bedeuten;
setzt
man
daher in
w — 1, so ergibt die
Addition aller so erhaltenen Gleichungen, indem man sie mit alternierenden Zeichen nimmt, ohne Mühe die beiden Formeln:
(9)
X
=-
n und nacheinander a
r
=
1, 2,
3,
•
•
•,
=j—
(10)
+
^)
V
'
^=
\
r
q—\
'
)
'yp-r,q + r
">„-l'(-ix(M-:7')v^-v.+
r
(11)
=
+(-i)'-l^h--T')v.-„.^;
es ist also offenbar,
man
Will
summen
beiden
Cp^^
daß
mittels
und
Summen
in (11) p
1 nehmen muß.
ähnliche Formeln auch für die Reihen-
dp^^ herleiten,
rechter
>
man
(i))
Hand
so
in
muß man
(9)
das letzte Glied in den
absondern;
man
(12)
*„^2'^-i)'f+:70v^-^..+
(13)
findet
dann:
Entwicklungen in Potenzreihen.
Kapitel lH.
3=1
für
muß mau in diesen
Hand weglassen, welche
rechter
>
immer p
1
49
§ 19.
beiden Formeln diejenigen Glieder
muß man
sinnlos werden; in (12)
annehmen, dagegen gibt (13) für
i)
=
die speziellere
1
Formel:
(14)
- (- 1>^,., = cy^^, - (- ly^^^-
y„i
iys^_^- 6^^,.
r=0
Beduktion einiger Produktsummen der Zahlen
§ 19.
Nach den allgemeinen Erörterungen
leicht,
Formeln
eine Reihe einfacherer
setzen wir zunächst in § 18, (12) 3
=
*"„
und
es nun sehr
Zu dem Ende
des § 18
ist
herzuleiten.
>
2:
Hand
in
und finden somit für
1
(?j.
7;
r=p-l
^=
+
^r.,r=^..^-y,
(1)
•'p
p,l
l
r
und
für
p
=2
speziell c^
r=l
schreibt
man
^
1
= Sg,
^p_r + l,r
2
d. h.:
^
'
aber in (1) die Glieder der
umgekehrter Reihenfolge, so findet
r=
Summe
man wegen
l
rechter
§ 18,
daß:
(6),
r=p-l
r
sein
=2
muß.
Eine ähnliche Formel kann man auch aus § 18, (12) herleiten,
= 2 und q = 2)i — 2 setzt; man erhält dann:
indem man dort p
r=2n— 4
(2n
- 2)(s^^-t C2,_i_ J =^l- 1)\>- +
l)5,+2
•
S2,_^_,
r=0
oder,
nachdem man
die Glieder der
Summe
rechter
Hand
in
umge-
kehrter Reihenfolge geordnet hat:
r
=n—l
^(^8«"t" ^in-l,l) -~
X\
^irhn~ir
~ ^.
r=l
indem man
in (3)
p
= 2n —
r
=
^'ir
+l
"
'^2i.-2r-lj
l
1 einführt, folgen daraus die
beiden Re-
kursionsformeln:
(O)
^3^2.1-3+ ^ö^2ii-5
von welchen
die erste
Kielsen, Theorie
+
•
•
•
+ ^2n-S^3=
wohlbekannt
der Gammafuiiktiun.
^
^2«
ist.
4
~ ^^%n-\,\i
1
50
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Setzen wir weiter in § 18, (11) c[=
so ergibt sich:
1,
r=p —
>,1 ""
^p'^X
~
^=
r
"p-r,
r
+1
Q
und daraus unter Anwendung von §
und §
18, (7)
18, (8) für
q=
1
die weitere Rekursionsformel:
r
r
=p
—
1
Eine ähnliche Formel kann
leiten; die
Annahme p
r
sein
=
man aber auch aus § 18, (10)
= 2n — 1 ergibt in der Tat,
und q
1
her-
daß:
— 2n— 2
muß; somit
aus (6) die beiden einfachen Rekursions-
fließen
formeln:
(0
^2^2«-2
+ ^4^2«-4-|
(8)
^1^2n-l
+ Ö3^2«-3 H
H<?2n-2^2
\-
^2n-l^l
von welchen
die erste ebenfalls
Um
drittes
noch ein
wir in § 18, (10), (13) g
=
^2«"
2
=
^2«" <?2n+ ^ri,2n-l7
2
wohlbekannt
^2n>
ist.
Formelpaar dieser Art herzuleiten, setzen
=
1; daraus folgt:
^yp,l-^p^l-^yp-r,r + l>
r
=
l
r=p — 2
^p,l
+
Yp,\
eine Subtraktion dieser
§ 18,(8)
und §18,(7)
=
^p + X
— y",
(^p-r,r + l
;
Formeln ergibt aber unter Anwendung von
g=
für
1:
r=p — 2
r
endlich findet
man
aus § 18, (14) für q
=
~
2n
—1
die entsprechende
Formel:
r
= 2n — 3
^2«-!,!+ ^3,2«-l=^^(- ly^r + r «2«-r-l
/=aiO
+
^2n>
:
Entwicklungen in Potenzreihen.
Kapitel IH.
—
p
=
2n
r ^in-i-^i
=
"^2»
daraas ergeben sieh aber wegen (9) für
51
§ 20.
die beiden ge-
l
suchten Kekursiousformeln
(10)
<?252„_,
f^l^
(11)
Wir
(12)
—
+
^iS^n-i H
"*"
^5^2«-3
"i"
^211-1,1
1
+ + ^Sn-S^S = (» "
+ "l,2«-l•
•
•
— Y ^2»»
1)^2«
" T ^2" +
wollen femer die R«ihensnmme:
^„
= y(s„ + ö«) =
beta-acbten; die
Formeln
^ + ^ + ^ + -^ +
+ hSin-i +
f3tf2,_2 + f^G,^_^ +
(13)
(14)
und
(4), (10)
4s2«_2
•
•
•
•
•
w>1
---,
(7) ergeben unmittelbar:
+ t„-iS, = nU„,
+ ^,_2(?. = (» - !)<,,;
durch Addition folgt daraus:
+ /^^2,_, +
U,,_,
(15)
Erinnert
man
sich der
+
•
= ^^4^
t,^_J,
•
^2,.
beiden aus § 14, (5), (6) hergeleiteteo
Identitäten:
r=
«
(16)
cotg
jra;
3c
= ^ - 2 .^s,,
x^^+S
r=
^^^= -X +
sin XX
(17)
^
^
2
.
Vö.,
^j
a-2--S'
.
'^
-
r=
so erhält
man
die
Formeln
(4), (7)
und
indem man
(10),
die beiden
Reihen (16) und (17) in die Identitäten:
= — n- — X- cotg' nXf
DJx cotg "xx) = — (^—
7)^(3r
cotg %x)
)
D^* [—.
\ sin srx
)
=
•
-.
sin^KX
/
,
ar
cotg
^^ icx
einfuhrt.
§ 20.
Anwendungen auf {W{x)
Als
Anwendung
welche wir
iu §
+
C)\ ß\x) und ß{x)
{W{x)
entwickeln.
C).
der allgemeinen numerischen Rekursionsformeln,
19 entwickelt haben, wollen wir die Produkte von
je zwei der yier Funktionen:
W{x)
+
+ C, W{l-x)+C,
ß{x),
ß{l-x)
Analytische Theorie der Gammafuuktion.
Erster Teil.
52
Aus
§ 14,(5) folgt sogleich:
n = CO
=4
n
daraus aber wegen § 19,(3):
{Wa
cy
-x)-\-
=
n—x
-x)-2
^P"(i)(l
-^c^,! x'-K
•
n
Führen wir nun rechter Hand
1+
~
~ 13 +
~ 12 +
man
2
statt
c^
^
die
ent-
Summe
Koeffizient der
als
+ _L
r —
..
.
=
Formel
dieser
in
sprechenden Reihen ein, so findet
>
1
'
den Ausdruck:
X
X^
nachdem man
1
X
X^
—x
für
x
1_
1
gesetzt hat, ergibt sich somit schließlich
die Formel:
imx)
(1)
wo
+ cy =
-
wwix)
"^
- 2Ux),
der Kürze halber:
+ l + T+-+y)
|(.)»^(^-7TT)-(l
=
(2)
r
l
Formel
—
<
gesetzt
worden
und
somit für jedes endliche x anwendbar, weil die beiden Seiten
ist
ist;
man
+ C-
[^{x)
man
(3)
{W{x)
Eine
nun der
für
|
1
a;
]
1
bewiesen
sind.
Identitäten:
(^(1 -x)
+
C)]2=
.jr(X)(^)+^(x)(l_^.)
.
BO findet
sich
ist
(1)
Funktionen in x
in (1) analytische
Erinnert
die
;t2
cotg2;r:r,
= _^_,
aus (1) die ähnliche Formel:
+ C)(wa -
dritte
Formel
:r)
dieser
+
C)
=
""^
-
lix)
-
1(1
- X).
Art erhält man durch Multiplikation
der beiden Identitäten:
2ß{x)
2(^W(x)
+
C)
= - (^f(I) +
- 21og2 =
C)
+ W (^ + ' +
(yi-(l) 4- C)
+
C)
,
(^-P-f-j-)
+
C),
Kapitel
von denen die
fomiel §
Entwicklungen
IIT.
in Potenzreihen.
53
§ 20.
nur einen Spezialfall der Multiplikationseine Anwendung der Formel (1) ergibt näm-
letzte ja
6, (1) darstellt:
ohne weiteres:
lich
ß{x)(mx)-hC) = ß^'Kx)
(4)
Aus §
man
erhält
14, (6)
+ ß{xnog2+^^[^^)-^^(^)weiter
mittels
§ 19, (6)
die
Ent-
wicklung:
ßHx)= WW(x)-2ri(x),
(5)
wo
der Kürze halber:
'iW=f-^^(i +
(6)
r=l
gesetzt
worden
ist;
^
daraus folgt unter
Anwendung
sin»x
j
i
der Identität:
'^
-x)=
ß(l
ß(x)-\r\
r\ j
+ - + ^Tbr)
das ähnliche Resultat:
ß{x)ß{\-x^^n{x)-r,{\-x).
(7)
Von den
beiden letzten Produkten dieser Art:
ß{x){WiX
kann das
-x)^C),
nach §
erste
-
ßi\
x){W{x)
+
entwickelt werden;
19, (9)
G)
man
findet wie
vorher, daß:
(8)
sein
ß{x){WO^
-x)^C) = -
ß^^\\
- x) log 2 - 1,(2-) + ^.(1 - x)
muß, wenn:
r=l
r
(10)
= ac
i,(.)=2'^V^(l-i + l--+^-f^)
r=l
gesetzt werden,
(11)
und somit
ß[\- x\^{x)
Wir erwähnen
-f 6)
schließlich:
=-
hier noch
^(^)(.r)
.
log 2
eine neue
- 1^ (1 _ ^) -f
Darstellung der Funktion
Zu
^(a;), die wir aus (1) erhalten können.
wir, daß eine direkte Quadrierung der Formel:
5'(x)
\^{x\
dem Ende bemerken
+ C-2'(j-^f-iT-,)
54
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafuuktion.
unmittelbar folgendes Resultat
- 2^{x) - 2
nun
ist
liefert:
V (-L_
L„)
(i-
+
- 1-
+
.
+
.
_.^i^^\
.
aber offenbar
- ^T C^w +
2i^,].TW
=
«
also findet
(12)
.
<?);
i
man vermöge
(1) die
neue Darstellung:
j
In
diesem
Zusammenhange
andere Darstellungen
seine
noch erwähnt,
W(x) versucht
sei
der Funktion
Entwicklungen offenbar divergent
daß
hat,
Bauer^)
daß
aber
sind.
Kapitel IV.
Auswertung unendlicher Reilien und Produkte.
§ 21.
Die in §
^
Bestimmung
eingeführte Funktion:
3, (7)
^''^^
^
einiger Grenzwerte.
spielt in verschiedenen
x{x-j-l)-..{x^-n-l)
Untersuchungen eine wichtige Rolle; wir wollen
von ihren Anwendungen wenigstens die wichtigsten erwähnen.
1) Es sei n eine positive ganze "Zahl, während x und y endliche
Größen bedeuten, von welchen keine gleich Null oder einer negativen
hier
ganzen Zahl angenommen werden darf, dann
/o\
1
je
•
Aim
K'^)
*^(^
(x 4- n)
-\- 1)
„(^_L_
1^
/..
2/(a;+l)--.(2/
.
.
.
nachdem '^{x)^^{y)
<
1)
+ n) =
I
..,^
1
\
ist:
^-,.
.
e*we>"
vorausgesetzt wird.
Journal für Mathematik, Bd. 57,
p.
^
^
.
^
endlichen oestimmten Größe,
2G1; 1860.
'
Auswertung unendlicher Reihen und Produkte.
Kapitel n^.
Man
§ 21.
55
hat nämlich wegen (1):
,(,+
(3)
+
!)...(,
=
„)
^i^_±il
und somit auch:
woraus der Grenzwert unmittelbar
2)
Für den
p-l\
n
\
{l-x)i2-x)-..(n-x)
_-|x„
)
folgt.
Binom iaIJcoeffizienten:
allgemeinen
^
^
1
2
•
3
•
•
•
•
H
hat Cauchy^) den Äusdrudc:
angegeben.
3)
2p
-r
Es
2q
zicei positive
q
ganze Zahlen, uähretid die
und 6/ der Bedingung:
6,
--- + ap+(a/
+ < + ••• +
(«1 + «2 +
1= (6^ + 6^ + ... +
4- ^6; + 6/ + ... +
,gx
^
p und
bedeuten
Veränderlichen a,, a/,
(
^
ft^)
Genüge
sotist
leisteti,
aber ganz tviUkürlicIi
daß keine von ihnen gleidi XuU oder
Zahl icird; dann hat man den Grenzwert:
«70
lim
TJS}^i±iL
i A&, + n)
«=1
"j^ /
n
6/)
dürfen,
einer negativen ganzen
(*^^
TJJM^L^
- - TT 8in(xa;)
^^°
11
r(V
*=l
ganze Zahl anzusehen
afe positive
Man
=
angenommen werden
so jedoch,
n^
^'^
«;)
-ir=li
«)
'
ist.
hat nämlich:
r(x
+ n) =
r(x
(8)
+ w - 1)
+ »)==^.(n-l)!«';
+
a:(a;
1)
.
(x
•
.
r(j;),
man:
weiter findet
r(x
(-i)-r(x)
- n) =
(1— X)(2 — X)-
••(»»
— X)
'
daraus aber in ähnlicher Weise:
(-r,''r{x)%„{i-x)
r(.r
(9)
-
n)
=
lilni-'
Bezeichnet nun, für einen endlichen
dukt linker Hand in
"
1;
1i
(7), so
"
n&.^
Exercices de Math.
P
hat
&„(a,)
Wert von
man vermöge
"i
J
r(6;)
anne'e, p. 10; 1826.
•
(8)
n,
und
gf,(i-6;)
P^ das Pro(9):
56
Erster Teil.
man
läßt
aber in dieser Formel n über jede Grenze hinauswachsen,
unmittelbar die Formel (7).
man
so findet
dem
In
Analytische Theorie der Gammafunbtion.
speziellen Falle ^
=
findet
man
iim/7-^^-)
(10;
=
.5
die einfachere
Formel:
1^
1
vorausgesetzt, daß:
«1
angenommen
+
0^2
•
•
•
+
=
C^^
&1
+
^^2
+
•
•
•
+
?>,
wird.
Die hypergeometrisehe Eeihe F(a,
§ 22.
man
Setzt
+
ß, y, 1).
mit Gauß^):
und bezeichnet
u^
das
{ii
+
Glied rechter
l)*«
Hand
in (1),
so ist
w^egen § 21, (4):
U
somit
die
ist
=
^niy)
a
+ fi-y-1.
unendliche Reihe rechter
Hand
in
(1)
offenbar
un-
hedingt lionvergent, falls nur:
3t(y-ß-^)>0
(2)
angenommen
Null
oder
wenn wenigstens
wird; denn
negativ
ganz
eine der Zahlen a oder
reduziert sich die Reihe
ist,
F
ß
auf eine
endliche.
Nachdem wir
nachgewiesen
Zunächst
die
haben,
finden
wir
unbedingte
wollen
nach
Konvergenz
wir
nunmehr
einer
einfachen
unserer
ihre
Reihe
Summe
Rechnung
F
suchen.
die
beiden
Formeln:
(3)
(4)
F(cc+\,fi,Y,l)-~F{cc,ß,y,X)
= l.F{«+\,ß + \,y+l,X),
F(a,ß,y+l,l)-F{a,ß,r,l)^--^^.F(a+l,ß+l,y + 2,\),
von denen
die erste offenbar
durch Vertauschung von a und ß eine
ß, y, 1) ist ja eine in den beiden
Elementen « und ß symmetrische Funktion.
Wenden wir weiter auf das {n
1)*^ Glied der Reihe:
ganz
analoge
_______
1)
liefert;
denn F{a,
ßF(a, ß
Comment. Gotting. Bd.
Ausgabe,
j).
1.
2,
+
+ l,y+l,l)
p. 1;
1812.
Werke Bd.
III,
p. 126.
Deutsche
Auswertxmg unendlicher Reihen nnd Produkte.
Kapitel IV.
§ 22.
57
die offenbare Identität:
+ w = (y + n) H- (^ - y)
^
Formel:
an, so ergibt sich die
ßF(a, /3
(5)
aus welcher
+ 1, y + 1, 1) = rF(a, ß, y, l)-(y- ß)F(a, ft y + 1, 1),
man
offenbar durch Yertauschung
von a und ß eine
ähnliche herleiten kann.
man
Setzt
(3) die
+
aber nun in (5) a
Funktion F{a
-{-
ß
1,
-{-
1,
y
-\-
1 für a,
1, 1)
so
kann man mittels
und wir ge-
eliminieren,
langen so zu der Formel:
yF{a,
(6)
setzt
man
=
-{-
ß
1,
-\-
1,
- ß)Fi^a +
(y
+
in (3) ebenso y
Funktion F(a
(7)
ß, y, 1)
y
für y
1
-{-
2, 1),
y
1, ^,
und
+
1, 1);
eliminiert mittels (4) die
so ergibt sich:
aF{a+l,ß,y-\-l) + (y-cc)F(a,ß,y-rl,l)
= yF(a,ß,y,iy,
somit führt (6) endlich zu der Rekursionsformel:
F(«,
(8)
=
ß, y, 1)
die aber vorläufig
nur
^/L~;;^Z%
•
Fiu,
Ay+
1, 1),
für:
m(y-a-ß)>l
bewiesen
ist.
Bemerkt man
(2)
von (8)
Bedingung
indessen, daß die beiden Seiten
offenbar in y analytische Funktionen sind,
wenn nur
die
befriedigt wird, so leuchtet ein, daß auch (8) unter dieser Be-
dingung gültig
ist.
man
Bedeutet nun n eine positive ganze Zahl, so findet
indem man dort
y der Reihe nach y
y
einführt, folgende allgemeine Rekursionsformel:
statt
F(«,Ay,l)
(9)
-}-
1,
-f 2,
•
•,
y
aus
+
w
(8),
—
1
= -|p=|g^^.f(«,Ay+»,l);
da nun offenbar:
lim F{a, ß,y
ist,
so findet
man
n, 1)
=
1
aus (9) die gesuchte Formel:
Fia,ß,y,l)^J^=^,
(10)
die
+
von
GaußM
Eben
die
Definition der
1)
(9) und (10) sind es, welche Gauß auf seine
Gammafunktion als Grenzwert von f^^ gefuhrt haben.
Comment.
Ausgabe,
p. Zö.
herrührt.
Formeln
Groiting.,
Bd.
2, p.
28; 1812.
Werke, Bd.
IIT, p.
147. Deutsche
Erster Teil.
58
Verallgemeinerung der Goldbachsclien Reihe.
§ 23.
Es bedeute
oder r
Analytische Theorie der Gammafunktion.
= p+
j)
(1)
es sei
r=p
den Wert der Doppelsumme:
jetzt
2j
2j {ps-^rT-l
=
=
n
2
s
Zu dem Ende gehen wir von
(^)
aus,
und
eine endliclie positive ganze Zahl,
Wir suchen
1.
n{n
wo
7«
I
I
>
der Indentität:
— ^^+
l)
"^
"^
n»
"^
vorausgesetzt werden muß, und führen in
1
sie statt
n jede Zahl von der Form:
ps
(3)
ein,
indem wir jedoch
ausschließen,
die
+
^2
w
r)",
unserer Voraussetzung
nach
ja
r
die Zahlen:
{pq_
(4)
-\-
über r sämtlich
wie (3) selbst angehören müssen; durch
die Addition aller so erhaltenen Gleichungen bekommen wir rechter
dei-selben Differenzenreihe
Hand
eine Doppelreihe,
sämtlich positiv sind,
deren Glieder
und
deren einzelne Horizontal- und Vertikalreihen sämtlich konvergieren;
die Glieder unserer Doppelreihe
werden,
daß es erlaubt
so
ist,
können daher willkürlich geordnet
die Vertikalreihen zuerst zu sum-
mieren, woraus sich die Identität:
v
^^
6-
(5)
s
M=OOÄ=0C
=00
Vy
=
i
(ps-{-r){ps-\-r—l)
=
^
ZJ
.i^ {ps-\-r)"
w
s
=2
=
Akzent nach dem Summenzeichen linker Hand
dieser Summe die Glieder, welche die Zahlen (4)
ergibt, in welcher der
bedeutet,
daß in
enthalten, auszuschließen sind.
Aus
(5) findet
man
aber leicht:
n
2"
(6)
Da nun
(7)'
^
{ps
4=0
+ r)(i9S + r — 1>
-
=
oc
Ä
=
OD
VV
j^
jLJ
{ps
n=2s=0
n
=
w
=2
00
S=
4'
30
=
offenbar:
^
n(n
—
1)
= _J__i
n
n—
1
-\-
rf{{ps
-|-
rf
—
1)
Auswertung unendlicher Reihen und Produkte. §
Kapitel IV.
ist,
23. 24.
50
so fließt aus (6) die einfachere Formel:
n = X s= X
t= -x
^^
^^
ips
n=i *=0
+ r)» -
welche in noch eleganterer
man nämlich
1
^^
Form
in der also
Setzt
'
werden kann; beachtet
dargestellt
1/1
+ r)ips + r-l)
so ergibt sich schließlich die
n
+ r-l)
die aus (7) folgende Identität:
1
(p8
(j,s-^r){ps
4=0
=
2
i
=
r = p
man
1
p\ r-1
^4-s''
\ P
P
merkwürdige Formel:
=
oder r
j) -{-
speziell in (9)
>'
1
zu setzen
= 2,
=
p
ist.
1,
so findet
man
die
von
Goldbach ^) angegebene Formel:
TTi^+h^-^'
CO)
während
die
Annahme
H
=2
Wir bemerken
sucht
hat,
*
;-=jj
=2
Euler ^)
liefert:
daß Catalan*) ähnliche Reihen
unter-
folgende Formel von
=
noch,
von Enler und Goldbach
ohne jedoch die Formeln
direkt zu verallgemeinem.
§ 24.
Durch W(x) suininierbare unendliche Reihen.
Die Funktion W(x) und ihre nach x genommenen Ableitimgen
uns, wie Appell^) beiläufig bemerkt hat, Reihen von
sehr allgemeiner Form zu summieren; von diesen Reihen wollen wir
erlauben
Es
zuerst einen spezielleren Fall betrachten.
Qu
n
927 Ps'
•
•
seien nämlich:
Qn
•;
endliche und verschiedene Größen, während:
H{X)
(1)
1)
=
(X
- Q,)(X - Q^)
Moritz Cantor, Vorlesungen über
•
•
•
(X
- (>J
die Geschichte der
pp. 644, 645: 1898.
•2)
Journal de Mathematiques, Bd.
3)
Comptes rendus. Bd.
7,
p.
1—12;
86, p. 953; 1878.
1842.
Math, Bd. lU,
sein
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
60
mag; dann
bekanntlich:
ist
(2)
=
aber die beiden Seiten in (2) mit x^ so ergibt die
oo, daß:
s = n
s
sein
muß, daraus
=_
L._ ^
l
(2):
=n
y ^L^
«
=
?•
=
denn die Gleichung
_
1
=.
man
man
so findet
_
(3) zeigt deutlich,
]
_^(^
- P.L
.
daß die
Euler sehe Konstante
muß.
aber die Identität:
Weise
in ähnlicher
p = CK
wo
1
«=1
in (4) wegfallen
Beachtet
=n
V
s
„
r=0
Hand
i
i
a>
y
rechter
r
uns die Definition von W^x) die Formel:
liefert
(4\
=
wegen
folgt
s
und somit
«;-(,;'
H<i)((.J
man
multipliziert
Annahme x
^V
=
H{x)
s
die
=
noch allgemeinere Formel:
n
g eine endliche positive ganze Zahl bedeutet, r aber eine der
Zahlen
0,
1,
2,
...,
g-1
ist.
Setzt
man
speziell:
(6)
(>,
= -5+l,
so zeigt die Identität:
mx + m) =
daß
die
Summe
Funktion
der
W(x)
+ -+
-^ +
•
•
•
—
+ -—T^
r
^
W(x) rechter Hand in (4) wegfallen muß; die
demnach eine in x rationale
betreffenden Reihe wird
Auswertung unendlicher Reihen und Produkte.
Kapitel IV.
Die so
Funktion.
in § 30, (8)
erhaltene elementare Formel werden wir später
noch auf andere Weise
man
Setzt
61
§ 24.
in
in (5)
herleiten.
= 0,
ähnlicher Weise r
=
q
so
2,
ergibt
Methoden
sich eine Formel, welche wir in § 31, (4) durch andere
herleiten wollen.
Es
hat,
ist
daß dieselbe Methode, wie Jensen^) bemerkt
offenbar,
auch auf die rationale Funktion:
anwendbar
Zählers
um
nur
falls
ist,
der
Grad
mindestens zwei Einheiten übersteigt.
R(x)=y
(7)
,
die
;„,
so findet
Ist
nämlich:
+y-g^^
"",,
*
wo
Xenners denjenigen des
des
=1
gauze Zahlen bedeuten, die sämtlich größer
man
als
1
sind,
ähnlich wie vorher:
Ä+^, + --- +
(8)
/5,
= 0;
daraus ergibt sich folgende Verallgemeinerung von (5):
(9)
m=p
^^
m=
^
.r,„-l)!i-^m
\
k
während
l
}'
l
WO k
eine positive ganze Zahl bedeutet,
0, 1, 2,
3
•
•,
.
Ä;
-
eine der Zahlen
1
ist.
Setzt
man
dagegen:
so daß der Grad des Nenners denjenigen des Zählers genau
Einheit übersteigt, so findet
Form wie
(7),
man zwar
die Gleichung [8)
ist
entsprechende Reihe von derselben
gent
für
Dagegen findet man eine
R{x) — Ii[^y), nämlich:
1)
Nyt
eine
aber nicht
Form wie
2B,
eine
mehr
richtig;
die
(9) wird daher diver-
(9) ziemlich ähnliche
Tidsskrift for Mathematik, Bd.
um
Auflösung von derselben
p. 48; 1891.
Entwicklung
62
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
2
s
(Rix
+
hh
+
1)- R{y
+
Ich
+
D)
=q
(11)
»=i
JW=
1
Wn- überlassen
C{x)
{12)
dem
es
= -^ (cotg « (^ +
«
und
ihrer
Untersuchung der Funktion:
Leser, die
Anwendung
s)
+ i)
=
auf
die
Summation
von Reihen,
deren
Glied eine rationale Funktion von sin (2 an)
und cos (2 an) ist,
selbst durchzuführen; die Analogie dieser Aufgabe mit derjenigen,
welche wir gelöst haben, ist von Appell^) bemerkt worden.
w*"^*
§ 25.
Durch r(x) und W(x) ausdrückbare unendliche Produkte.
Die Produktdarstellung §
A^)--^-I7
"
(1)
uns
gestattet
unmittelbar,
nämlich:
4, (1) für r{x),
gewisse
e
7
'
+f
unendliche
Produkte
Man
Gammafunktionen unter endlicher Form auszudrücken.
z.
mittels
findet
B. aus (1):
und daraus vermöge § 22, (10)
die
Produktdarstellung
geometrischen Reihe, wenn das vierte Element gleich
1
der
hyper-
genommen
wird:
F(.,
(3)
ß, r, 1)
-jr7[(i
«
die
Unsymmetrie
in
- ^,-) (1 + —1,^.)];
=
a und ß rechter
Hand
-scheinbar.
1)
Comptes rendus, Bd.
86, p. 956; 1878.
ist
in (3) sichtlich
nur
'
,
Kapitel IV.
Aus
Auswertung unendlicher Reihen und Produkte.
(2) findet
§ 25.
63
man, wenn a und ß reelle Größen bedeuten,
speziell:
(^)
|r(a
+ »^l» ^L=iv'^ (^T^/
*
eine Formel, die
man
ebenso wie (2) Mellin^) verdankt.
Mit Meli in setzen wir noch allgemeiner:
und bezeichnen durch:
^2, «3;
«i;
die
^\} + ^ (^)]
Da nun wegen
•
««
•>
= ^ + ""i^""' +
•••
+
«„
=
(1):
»
ist,
•
Wurzeln der algebraischen Gleichung n^^ Grades:
=ü
so ergeben die Identitäten:
«1
+
«2 H
1-
«„
= — «1
+ *(f) = (i-«.-!-)(i-<v|)-(i-<^„f)
i
folgende allgemeine Formel von Mellin^):
(1 +
ff
-nßkw = ''"' ff
*=0
r=l
(^)
Setzt
man
^*
^""
(.T-.^)
speziell:
^^(x)
= — x",
und bezeichnen:
^1}
die n**" Einheitswui-zeln,
setzt
und hinwiederum x
^2>
^3?
so findet
statt
>
man
*»
aus (5),
wenn man x
=
1
y einführt, die von Liouville^) an-
gedeutete Formel:
ff-ra^-ff(i-(fr)
(«)
Acta Mathematica, Bd. 15, p. 324; 1891.
Acta Mathematica, Bd. 3, p. 322—324; 1883.
forser Akademie, Bd. 26, p. 173; 1884.
1)
2)
3)
Bd. 17,
Comptes rendus, Bd. 35,
p.
463; 1862.
p.
321; 1852.
Öfversigter der Helsing-
Journal
de Mathematiques,
64
Erster Teil.
Die andere
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Annahme:
spezielle
ergibt in ähnlicher
Weise
Formel:
die
WO
^1,
^2;
<^2;
^n
•;
•
Wurzeln der Gleichung
die
x"
aus (6) und (7)
bezeichnen;
=~
findet
1
man
durch Division die
aber
neue Formel:
(«)
—
n^^-n
und daraus nach
einer einfachen Reduktion:
r(i
— d„x)
r{2 — x)
s"
+
— s^x ^ + x'-{-x'-\
r{l — f^x)
l-\-x"
~pT r (i
r{i
s^x)
'11
i
)
a:«
^x"-^
»•=1
=
also £„
die
numerische Formel:
zu setzen
Aus der Annahme x
ist.
r=l
Der
Spezialfall
interessant; setzt
__
A
"'sso Avird das
von
man
1
^^
(9),
*=2
welcher
^8
n =
L± V^""'
*
1
3 entspricht,
^1 1
'2
Produkt linker Hand in
sj
n-:-;4=i.
=
i
1)
man Gram^)
Nyt
besonders
*'
(9) offenbar gleich:
daraus ergibt sich das interessante Resultat:
welches
ist
— 1 ±2 V^
.(l+.VL).(lri>^)
(10)
2
nämlich:
dj^
„n
_____
s"+a;"'
11
=
= 1 folgt somit
«
wo
1
c""
'fj
2
verdankt.
Tidsskrift for Mathematik, Bd. 10 B, p. 96; 1899.
'
Kapitel IV.
Wir
Auswertung unenJiicher Reihen und Produkte.
§ 25.
Co
wollen nun noch ein Produkt von etwas anderem Charakter
vorhergehenden betrachten und leiten zuerst aus der Defini-
als die
tion der
Funktion W(x) folgende Produktdarstellung her:
»= OD
—
Vu
f
f
r
:
Formel:
die
liefert
dann unmittelbar folgende Formel von Mellin^):
(1+4-^)-"^-.
^'""-n^ =17
=
(11)
j
daraus folgt dann noch die speziellere Fonnel:
1
en^>^,.'fj{l
(12)
+
-l-).
e
man
ebenfalls Mellin^) verdankt.
Es ist offenbar, daß die allgemeine Mellinsche Formel (5) uns
das Analogon zu der allgemeinen Formel § 24, (9) darbietet.
die
Appell") hat bemerkt, daß
Funktion:
die
aJ'C{x)dx
B{x)
(13)
wo C{x)
D{x)
die in § 24, (12) definierte
in ähnlicher
Weise
deren
sin (2 an)
1)
1
,
Funktion bedeutet, so daß also
demselben Verhältnis zu C{x) steht wie
in
erlaubt,
=e
allgemeiner
und cos
(2 an)
Faktor
eine
Ufversigter der Stockholmer
Comptes rendus, Bd.
Ki eisen,
rationale
zu
"^{x),
Produkte
Funktion
von
ist.
Akademie
Helsingforser Akademie, Bd. 26, p. 175; 1884.
2)
F(.i')
die Ermittelung derjenigen unendlichen
86, p. 956; 1878.
Theorie der Gammafonktioa.
1883, Nr. 5, p. 6
;
Ufversigter der
Analj^tische Theorie der
Erster Teil.
()6
Gammafunktion.
Kapitel V.
Fakultäten und Fakultätenkoefflzienteu.
Die Stirlingsclien Zahlen erster
§ 20.
und
zweiter Art.
Das endliche Produkt:
a{a
welches
-\-
man
d)(a
-\-
2d)
•
(a
••
-\-
—
(n
n positiv und ganz,
l)d),
eine analytiscJie Faktdtät genannt hat, spielte eine reclit
wichtige Rolle
in
der mathematischen Literatur der ersten Hälfte
man
des vorigen Jahrhunderts;
hat dafür auch ein eigenes Zeichen
eingeführt, nämlich:
a"!'^
(1)
Die ersten
= a{a +
d){a
Schriftsteller,
+
2rf)
•
•
(a
•
+
{n -- l)d).
welche sich mit diesen Fakultäten be-
schäftigt haben, sind Stirling^),
Vandermonde^) und Krampf);
die beiden ersten betrachteten jedoch nur den Fall
Kramp
das Zeichen linker
Gauß*) drückt
Hand
d
=
1,
während
in (1) eingeführt hat.
die Fakultät a"''' mittels
Gammafunktionen
aus;
er findet nämlich aus (1):
«'"'
so
die
= ^(T + i)(f+2)-(f + ''-i)-'".
daß die Fundamentaleigenschaft der Gammafunktion unmittelbar
Formel:
«''1^=
(2)
~
—^
aus ihr folgt durch Einführung der Funktion ^„(/r):
liefert;
a
a«i'^
(3)
=
8.(1)
Gauß*)
polemisiert daher auch gegen die augenscheinliche All-
gemeinheit der Fakultät
d"^'^,
indem
er
folgendermaßen schreibt:
2)
Methodus differentialis London 1730.
Memoiree de l'Acad. Royale des Sciences 1772,
3)
Analyse des refractions astronomiques
4)
Comment.
1)
;
Ausgabe,
ii.
34.
Gott., Bd. 2, p. 27; 1812.
p.
489— 4it8.
et terrestres;
Werke Bd.
III,
Leipzig 1799.
p. 146.
Deutsche
Fakultäten und Fakultiiteukoeffizienten.
Kapitel V.
„Es
erscheint
änderlichen
in
Veränderlichen,
die
indessen
ratsamer,
xVnalysis
einzufükren
um
so mehr, als
eine
§ 26.
(jT
Funktion einer Ver-
als
eine Funktion
dreier
sich auf jene zurückführen
diese
läßt."
Nichtsdestoweniger
tion
der
über
die
in der nächsten Zeit
ist
Gaußschen Al)handlung sozusagen
Fakultäten
analytischen
nach der Publikaganze Literatur
eine
emporgewachsen; wir erwähnen
hier nur die Arbeiten von Bessel^), Grelle-), Müller^), Oettinger^),
Ohm^) und Raabe«).
mit
Die Formeln (2) und (3) zeigen, daß das Genie eines Gauß
der Fakultät als selbständigem Funktionenbegriff fertig war;
indessen mußte noch das Genie eines
um
daraus
des
Rätsel
die
genannten
eben
vollständige Definition
die
Weierstraß') hinzukommen,
Begriffes durchdringen und
der Funktion
zu können, obgleich dies ja in der Tat von
mit
n
=
der
1
Gauß
:
r{x) herleiten
geschehen war
Einführung der Funktion t^„{x) und deren Grenzwert für
Gammafunktion
oo, d. h. der
selbst.
Mit der klassischen Arbeit von Weierstraß
es
ist
mit der
Fakultät als selbständigem Funktiouenbegriffe aus, und das Zeichen
a"'**
ist
nachher schnell und gewiß für immer verschwunden, so
daß die moderne Bedeutung der Fakultäten wohl auf diejenige von
Entwicklungsfunktionen
Bildung der sogenannten Fakultäten-
zur
reihen beschränkt sein dürfte.
Den vorhergehenden Bemerkungen gemäß betrachten wir nur
(1=1 und setzen identisch für die Fakultät vom Range n
und mit dem Argumente x:
den Fall
x{x
(4)
-\-
1)
-
•
(x
+
n
—
1)
=
C^x"
+
C^x"-^
h C;-^a:;
-{
die positiven ganzen Zahlen C^ werden dann die Fakultäienkoeffizienten
vom Range n oder auch die Stirlingschen Zahlen erster Art genannt;
denn Stirling^) hat zum ersten Male ihre Bedeutung erkannt und
eine Tafel der ersten dieser Zahlen berechnet.
1)
Abhandlungen, Bd.
2)
Journal für Mathematik, Bd.
3)
Ebenda, Bd.
Ebenda, Bd.
4)
11, p.
II,
p.
342—352.
7,
361— ;{72;
pp. 253—305,
314—380;
1831.
1834.
33, 35, 38, 44.
Ebenda, Bd. 39.
6) Ebenda, Bd. 43, p. 283—292; 1852; Bd. 48, p. 130—136; 1854.
Abhandlungen au3
60; 1856.
7) Journal für Mathematik, Bd. 51, p. 1
der Funktionenlehre, p. 183—260. Werke Bd. I, p. 153—221.
5)
—
8)
Methodus
differeutialis, p. 11;
London
1730.
5*
V
.
2
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
68
Die Definition^4) ergibt unmittelbar den Satz:
Der
j
Faliultätenkbeffizient
C'/
möglichen Produkte mit
p
für
ist,
>
p
0,
Summe
die
verscJtiedenen Faldoren, tvelche
der
man
aus den ZaJden
0,
wäJden
2,
1,
3,
.
-1
immer:
Jcann, tvährend
=
a?
(5)
sm setzen
w
•,
•
1
ist.
man nun
Multipliziert
von
die beiden Seiten
(4) mit
x
-\-
n,
so
ergibt sich die Eekursionsformel:
Cr.^x-G'n+n.C^-\
(6)
während
die
w!
(7)
liefert,
=
+
Annahme x
=
a?
1
die
+
Oi
numerische Gleichheit:
+
a?
---
+
C;-'
aus der hinwiederum die wichtige Ungleichheit folgt:
0^i)^w-l.
w!>0/,
(8)
Den
wir die
Wert des Produktes linker Hand in (4) nennen
Fakultät vom Range — n mit dem Argumente rc; benutzen
reziproken
wir die elementaren Identitäten:
{n~l)
x{x
{x
-\- 1)
/
1
\
-\-
n—
_ '^ J
^
\
,^j
X
-\-
1)
r
1
'
r^
.
I
so erhalten wir offenbar eine
^^^
~cc'{x
+
1)
.
.
.
(X
I
^
Entwicklung von der Form:
+«-
1)
^
^ '~x^^~
*
wo
)
s
s
'
\x\'>n-l,
=o
der Kürze halber
S
e«
(11)
gesetzt
=
=K—
i
worden
ist.
Formeln (10) und (11) definierten positiven
ganzen Zahlen ^^ nennen wir die Fahultätenkoeffizienten vom Range
— n oder auch die Stirlingschen Zahlen zweiter Art; denn Stirling^)
Die
1)
durch
Methodus
die
differentialis, p. 8;
London 1730.
:
Fakultäten und FakultätenkoefBzienten.
Kapitel V.
hat auch die Bedeutung dieser Zahlen
und
zum
erst«n
69
§ 27.
Male klar erkannt
eine Tafel derselben berechnet.
man
Setzt
in
n -r
(9)
+
x
erhaltene Formel mit
für
1
n und multipliziert man
wir die zu (6)
erhalten
w, so
die
so
analoge
Rekursionsformel
(12)
(£.^
=
e„%i -«.(£„';/.
Anwendung
§ 27.
der Stirlingschen Zahlen.
Die Stirlingschen Zahlen beider Arten sin^ durch eine überaus
große Menge von Relationen miteinander verbunden^); wir können
indessen hier nicht näher auf alle diese Formeln eingehen, müssen
uns vielmehr auf einige einfachere Anwendungen dieser Zahlen beschränken.
Zunächst gehen wir Ton den wohlbekannten Diiferential-
formeln-):
*= » — 1
^ -2 1- lyc:
(1)
D'jiiog ^)
(2)
n^M^) ^^^c->'e:_,+x- y^'-'KO^^«'
--=
4
=K—
«
aus,
von welchen
.
/>-')(o.=iog^
l
=
die eine als die
umgekehrt« der anderen anzusehen
ist.
Die Annahme:
/•(log x)
=
(p
(x) ,
f(x)
=
(p (e')
ergibt nämlich:
IKf (log x)
setzt
man
so findet
9,'">
ix),
ITMe-)
= r\xy,
daher:
man
die beiden
(3)
=
aus (1) für x
Formeln
=
1
und aus
(2) für
x
=
unmittelbar
:
70
wo
Erster Teil.
w>l
also
AnalytiHche Theorie der Gammafunktion.
anzunehmen
dagegen
ist;
.man
findet
natürlich
speziell:
(5)
man
Bestimmt
\y
=
=
^0
hr
n
also für
^01,
2,
,r aus
3,
(3) die
man genau die ÄusdrücJce (4) und
Anwendung dieses Umkehrungsprinzipes
; ^r, so findet
ZaJäen
umgelelirt
Als eine erste
wollen wir
Gleichungen § 26, (4) für n =^ l, 2, 3,
r nach den Potenzen
von X auflösen; dadurch findet man unmittelbar die schon von
Stirling^) herrührende Formel:
die
•
s
x^
(6)
=
=
Da
•,
—9
V (- iye:_,+, .x{x-l)...
j
die
n
•
(x
-
s).
=
entsprechende Urakehrung der Formel § 26, (9), d. h.
a;-" nach Fakultäten negativen Ranges eine
die
Entwicklung von
besondere
Konvergenzbedingung erfordert, können wir diese Um30 mitteilen.
Wir bemerken, daß die Formeln (1) und (2) unmittelbar die
kehrung
erst in §
beiden Potenzreihenentwicklungen
S
^f
(7)
•
(logd
=
00
-^))"-=2'T/f;)T
S
•
*""'
= CO
^-(1— ')"-2'^Tff-"^'
(8)
,s
liefern,
von welchen die
=
\x\^\
erste für
anwendbar
die letztere eine beständig konvergierende Potenzreihe
Wir wollen noch
ein
paar
andere
ist,
während
ist.
Anwendungen der Zahlen
^n + x kurz erwähnen:
1) Bezeichnet
lioeffizienten
man
durch S\^^ die
"^»"^t^^^-
'
in welchen leine einzige der
so
hat
man
^1
+
^2
+
>-3
p Zahlen
+
•
derjenigen Polijnomial-
Methodus
man nämlich
differentialis, p. 8;
London
•
•
r^, r^,-
allgemein:
Erstens findet
1)
Summe
:
1730.
+
r^
,r^
=
>^;
gleich
Null
ist,
Fakultäten und Fakultätenkoeffizienten.
Kapitel V.
zweitens
allgemein:
ist
+
(a,
71
§ 28.
+
«,
...
+ a^r =21 C) «/(«. +
^3
+
•
•
+
%)"-',
woraus die Rekursionsformel:
»=» — 1
^\s)
"•P
s
und
folgt,
Formel
2)
man
=
vollständige
die
n-s,p-l}
l
Induktion
ergibt
dann
gesuchte
die
(9).
Für
höhere Differenz einer einzigen Potenz von
die
x
findet
den Ausdruclr.
^''-xf^ «!^(;;)-(5;+f
(10)
Es
ist
p>^n.
x^-'-,
•
nämlich:
^«xP
= V(-
1)'Q
•
+ n - sy.
{x
*=o
§ 28.
Die Stirlingschen Polynome.
Die reiche Literatur über die Zablen
C,^
und
6,f bietet
mehrere
allgemeine independente Darstellungen dieser Zahlen dar.
Cauchy^) hat z. B. statt e"" die entsprechende Potenzreihe
§ 21, (8) eingeführt; eine AnAvendimg der Polynomialformel gibt
dann ohne Mühe eine independente, aber praktisch unbrauchbare
in
Darstellung
Zahlen
der
Methode uns auch
6,{';
es
ist
daß
offenbar,
ähnliche
eine
die independente Darstellung der Zahl
Cf
liefert.
Schläfli-'i hat auf andere Weise eine solche independente Darbut this law is a very complicated
stellung der C',f gefunden
one
—
—
sagt
Cayley^) und mit Recht; denn Schläfli drückt
C^ durch
Zahlen
vielfache
Summen
gegeben
Cf
hat.
Wir bemerken
mittels der
(5*
Exercices de Mathematiques,
Journal für Mathematik, Bd. 43,
3)
Quarterlv Journal, Bd.
Schlömilch^)
3, p.
III* annt'e, p.
p.
1—22;
die
die Zahlen
147—154; 1828.
1852.
308; 1860.
Jahrbuch der Universität Lund (schwedisch) 1870.
Journal für Mathematik, Bd. 44, p. 344—355; 1852.
Bd. U, p. 28; 1879.
sagen
analytische
ausgedrückt hat.
1)
5)
die
endlich, daß
2)
4)
Indessen
Xatur von Cü,
Determinantenausdrücke, welche von Zeipel*)
Formeln von Cayley nichts über
dasselbe gilt für die
aus.
die
Kompendium,
:
Während
Gamma fuuktion.
Aualytisclie Theorie der
Erster Teil.
72
:
nach einer jülgememgültigen independenten,
also die Frage
aber praktisch brauchbaren Darstellung der Stirling sehen Zahlen
noch eine offene
man ohne
kann
ist,
große
Natur der Zahlen Cn und
die analytische
und
27, (7)
über
Auskünfte
ßi* interessante
indem man die beiden Potenzreihen §
erhalten,
Schwierigkeit
ver-
(8)
allgemeinert.
Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit x
dann
verschiedene reelle oder komplexe Zahl,
(in^y '=
+
1
+
(^
1)
-^i^si^)
Polynom
in welcher t^„(^) ®^^ ganzes
von
man
findet
—
1
offenbar
von der Form
eine Potenzreihenentwicklung
(1)
eine endliche,
W\<2jt,
c^'"-',
Grades in x mit rationalen
w*^"
Koeffizienten sein muß.
Diese Definition der Funktionen
eine
Funktionalgleichung;
(x -f 2)^„(x
außerdem
+
man
findet
=
1)
(^
für sie unmittelbar
man nämlich
in
mit
(1)
nach « die Differenzengleichung:
a~-'~^, so ergibt die Differentiation
(2)
^l^„(x) liefert
multipliziert
- n)tM +
(^
+
l)^„_i(^);
direkt den Anfangswert:
U^) = Y'
(3)
Nach
wir nunmehr
diesen Erörterungen wollen
den Satz be-
weisen:
Die Polynome t„(x),
wir
ivelche
zeichnen ivollen, sind durch
Gleichungen
die
Polynome
Sürlingsclie
als
und
(2)
(3)
be-
eindeutig
definiert.
Zu diesem Zwecke
offenbar, daß r^^Cr)
Potenz von x
nun
setzt
= 0, 1, 2, , w — 1
= 6^^,x' + (?,,iX'- +
1
;
es ist
dann
noch eine höhere
findet daher:
•
•
^
•
•
•
+
(?,,,_i:r -f (S^y,
man demnach:
ip^^ix)
so ist die
seits
man
=
i^^{x)='-(?>x^2)-
für r
i'Xx)
(4)
n
sein darf,
enthalten kann;
als die erste
^
es sei
setzen wir zuerst in (2)
weder eine Konstante
=
Annahme p
p^ n
a^x^
<C
+
a^xP-'^^
h ttp-iX
n offenbar unmöglich;
setzt
+
a^,
man
voraus, so ergibt eine einfache Rechnung:
«0
=
«1
=
•
•
•
=
%-n-x
-
0;
aber anderer-
Fakultäten und Fakultätenkoeffizienten.
Kapitel. V.
und somit muß
Wendet man
Polynom genau
ein
^,(ar)
daher
Bezeichnung (4)
die
/i*^""
73
§ 28.
Grades in x
auch für
/•
=
sein.
« au, so
die llekursionsformeln:
liefert (2)
+ 2)tf„o=c?,_,,o,
2)ö„,p = (?,_i,p_i ^
(2n
(5)
{2n-p
(6)
-f-
6„-i,p
-l[(.-7;.)+^^GiD]<^..^
indem man
in (6) für
Die Formel
herzuleiten; setzt
während
man
findet
wo
man
die
B^
die
weiter für
und daraus wegen
^•2„(- 1)
(9)
z.
B.
x
x
=
= 0,
*.,(0)
zu setzen hat.
den Koeffizient <5„_i,n=
erlaubt uns noch einige numerische Resultate
Annahme x
die
(8)
ergibt,
=«
jj
(l^i
=—
2, so wird:
wegen §
18, (3) das weitere Resultat:
= (^^^^-^,+t
^.„+i(0)
Bernoullisehen Zahlen bedeuten; aus
=—
(2)
\:
(8):
= 0,
aus (8) und (9) findet
^'a^
+ iC- 1)
man
=
»4-2)!(2»
(2-
+
2)
^« + 1
'
aber den Satz:
Polynom mit geradern Index, tini^)} '^ /***"
Das
immer durch x{x -\- 1) teilbar.
Setzt man in (2) x + n statt m, so erhalt man die Formel:
Stirlingsche
n
>
+ n + 2)t,(x-]-n+l)-{x + n-\-l)tlf,_^{x^n) = xi'^{x-{-ny,
— 3,
2, 1
nacheinander w — 1, « — 2,
man statt
(x
(10)
indem
»j
)i
einführt,
und
die aus [o)
•
•
•,
hervorgehende Identität:
{x -h 2)i'^{x)
=
1
-^x-toi^)
anwendet, folgt aus (10) die Summenformel:
ix
(11)
+
n
+
2)t„ix
+«+
1)
=1+
aus welcher
man mehrere numerische
man
=
z.
B.
./.'
0, so wird:
i-
-^^ ^A-^
+ «)>
Resultate herleiten kann; setzt
74
Aiiiilytische Theorie der
Erster Teil
und somit
für
=
x
1:
^„(„+2)=.4-3(;-.+A +
(13)
Gamniafunklion.
+
...
Als Verallgemeinerung der Formel § 21
,
__L_),
(7)
man
findet
die
Potenzreihenent Wicklung:
('!?£-y-T--<'y=l
(14)
denn
leuchtet
es
+ ^.^^,(^ + ,,).<^..,
daß
ein,
mit
während
schließlich
|i'o(a;)
Die allgemeinen
Ubbo Meyer ^)
der
Reihen
rechter
es leuchtet somit
in (11) mit
und
(1)
(14)
Meyer
Reihen
dieser
Die Formeln (11)
Hand
man
a eben die Formel (10),
wohl zuerst von
sind
hat auch die Abhängig-
ohne jedoch die
erkannt^),
einzuführen.
ij^fX^')
sehr interessant; setzt
Potenzreihe
Reihenent-
dieser
wird.
untersucht worden.
Koeffizienten
Funktionen
=
in
müssen, und multipliziert
sein
so ergibt die Diff'erentiation nach
a^,
keit
Koeffizienten
die
wicklung in X ganze Polynome
,„,<!.
und (14)
man
Hand
ein,
in
in der
in
Verbindung miteinander sind
Tat
(14)
'Si{x)
ofi'enbar
>
muß
voraus, so
für a
=
1
die
divergieren;
daß der absolute Wert des Produktes linker
n über jede Grenze hinauswachsen muß. Schröder^)
—
=
hat den Grenzwert von i'n(n
oo bestimmt.
1) für n
Vergleichen wir endlich die beiden Formeln (1) und (14) mit
§ 27, (7) und (8), so finden wir folgenden Satz:
Bedeuten n und r positive Zahlen, so lassen sich die StirUugsclien
Zahlen
erster
und
zweiter
Art
mittels
der
Stirlingschcn
Folynome
folgendermaßen darstellen:
n^r,
r>0,
(15)
C;+,=-|-±y[.^V-,(»),
(16)
g:^,=eim'l+£)^^^_,(_ „_!),. r>0.
Da
Formeln (15) und (16) die independente Darstellung
Bestimmung der Funktionen i\^(x)
zurückführen, scheinen sie mir die Bezeichnung StirlingscJie Folynome
die
der Stirlingsclien Zahlen auf die
zu rechtfertigen.
1)
Grunert Archiv, Bd.
9, p.
101—112;
1847.
2) loc. cit. p. 110.
3) Zeitschrift für
Math, und Physik, Bd.
20, p. 115;
18^0
Kapitel V.
man
Setzt
Fakultäten und Fakultätenkoeffizienten.
x = n — 1, wo n eine positive ganze Zahl beman vermöge (15) eine spezielle Formel, welche
in (1)
deutet, so findet
Sylvester^) hergeleitet
§ 29.
75
§ 29.
hat.
Sukzessive Berechnung der Polynome t'Jx)'
Die Herleitung einer für die praktische Rechnung bequemen
independenten Darstellung der Stirlingschen Polynome scheint überSchwierigkeiten darzubieten:
aus große
indessen
kann man
leicht
Kekursionsformeln aufstellen, welche für eine sukzessive Berechnung
dieser
Funktionen recht bequem
Zu diesem Zwecke
sind.
setzen wir in § 28, (1)
Mühe
y
statt
die
x-^
Mul-
Gleichungen ei^bt dann ohne
tiplikation der beiden so erhaltenen
für ^\{jc) die Additionsformel:
(^+y -f
2)^^{x
+y+
(1)
1)
+
= (^ + i)^«(^) + (y+
(x
+
+
l)(y
1)
i)^,(y)
+
•^i'X^)^',-,-!«»;
«
=
hier ist aber doch zu bemerken, daß der Charakter dieser Additions-
formel ein sehr allgemeiner
denn
ist;
sie
ist
in
der Tat für die
Koeffizienten der für (F(a))~'~' erhaltenen Potenzreihen anwendbar,
falls sich
a
=
sowohl F{a) wie
1
:
F{a) beide im Bereiche des Punktes
regulär verhalten.
man
= 0,
und eliminiert man aus der so
erhaltenen Formel mittels § 2^, (2) die Funktion M-\{x -r 1), so
findet man wegen § 28, (8) die ziemlich einfache Rekursionsformel:
Setzt
aber in (1) y
(2)
+(^+i)-2'^l^*-*'.-,.(A
aus welcher
der
im
vorigen Paragraph
Teilbarkeit von iff„{x) durch x(x
Setzt
vermöge §
man noch
in (1)
»/
-\-
=—
•
i'„{- X
die
— x statt x, so findet man
bequeme Rekursionsformel:
- 1) = {x - l)tl\{- X) +
(3)
+ ^-^)^(i^v^"-^-^^--) +
1)
über
2 und
28, {!) folgende nicht so
X
bewiesene Satz
1) deutlich hervorgeht.
^
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, Bd.
15, p. 195; 1883.
1
Erster Teil.
76
Analytische Theorie der Gammafunktion.
die
Annahme y
=
x aber
(4)
t^^CIx
+
1)
liefert die
elegante Formel:
:«
=
—
^A^) +'^--^~-^i'A^u^^_,_,{x).
4=0
Andere Relationen zwischen dem Polynome
^„(ä^)
Funktionen, sowie den Grenzwert von ^„(^) für n
selbst in mehreren Arbeiten') entwickelt.
und ähnlichen
=
oo habe ich
Die in § 18, (2) mitgeteilten Werte der ersten BenwuUischen
Zahlen ergeben unter Anwendung von (2) für die ersten Stirlingschcn
Polynome folgende Ausdrücke:
,
.
x{x 4-
.
1)
6!2^
^,^(x)
= ~3
^G (^) ==
- 315ä;3 - '224x^ +
(63^;5
%^
-
(9^*
18^'
140:»
+
- 57a;2 + 34;r +
06)
80),-^
und somit können wir auch die ersten Stirlingschcn Zahlen C«-|_i
und ^n-\-\ für einen willkürlichen Wert von n direkt berechnen.
Wir bemerken noch, daß
die
Polynome uns
Stirling sehen
er
lauben, auf einfache Weise die Koeffizienten gewisser Potenzreihen
auszudrücken.
und
setzt
Versucht
1)
Annali
man
Differentiiert
man nachher x
=
man dagegen
cli
Matematica,
z.
0, so
die
(3)
Bd.
Monatshefte für Math, und Physik, Bd.
B. die Formel § 28, (14) nach x,
erhält
man
Koeffizienten
9, p.
die
Entwicklung:
dieser
Reihe durch
319—326; 1904, (3) Bd.
135—140; 1905.
16, p.
12;
1905.
:
Fakultäten und Fakultätenkoeffizicnten.
Kapitel V.
altbekannte Zahlen auszudrücken, so ergibt (2) für
=n
und unter
Ausdruck
28, (15) den
Anwendung von §
o:
77
§ 29.
^^
»=1
In den Paragraphen 102, 114 werden wir noch andere schone
Anwendungen der Stirlingschen Polynome
Cayley^) hat
welche
trachtet,
differentiiert
auseinandersetzen.
Reihenentwicklung (5) und die analogen beaus § 2%, (14) erhält, indem man r-mal nach x
die
man
=
und dann j
allgemeine Bildungsgesetz der
setzt: das
Koeffizienten dieser Reihenentwicklungen
ist
ihm indessen verborgen
geblieben.
Die Stirlingsche Fakultätenreihe für l:{x
§ 30.
Es
noch übrig,
bleibt uns
Zu dem Ende
1
x
— a'
Ma +
1)
\x{x 4-
1)
•
•
+
1)
_ a(a +
1)
1)
x{x
1)
'•r
(.T -j-
—
-\-
_ a(a.r(x+
nacheinander r
=
2,
1,
3,
•
zu
setzen wir in der Identität:
•(«
•
umzukehren und
(9)
x nach Fakultäten negativen Ranges
eine negative Potenz von
entwickeln.
Formel § 26,
die
— a).
•
l)--\-
Addition
n: die
••,
•
-
(«
+ r)\ _
{X
-\-
(«
r))
+ r-l)
1)
{X
aller
so
-\- r)
erhaltenen
Gleichungen ergibt dann vermöge der Identität:
^-(1-°)
= -X
x/
X— a
\
die Formel:
wo
der Kürze halber:
J?>,a)=.
«v
y
(2)
^ ^
>
gesetzt
worden
Xach
"("
+
;^--i"
(x
x{x -f
1)
•
•
•
+ n)
"^ ^X —a
-|-
ist.
diesen
Erörterungen
liefert
der Grenzwert § 21, (2) fol-
genden Spezialfall der Gaußschen Formel § 22, (10):
(3)
^ ^
"^"
-^
+!\-;
—a = i
Xi xix
X + y
x
-|- 1)
^"
•
•
•
•
+1 ~ ^\
(a; -j-
s)
'
^{x
^
welcher Stirling*) angehört.
1)
Quarterly Journal, Bd.
8)
Methodus
3, p.
366—360; 1860.
London 1730.
differentialis, p. 12, 45;
- «) > 0,
^
'
'
Annahme
gibt die
—
man nun
die
«=0
von Sclilömilcli^) herrührende
Differentiiert
wo
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
78
.
die
Formel
(1)
())
l)-mal nacli
a,
so er-
Identität:
der Kürze halber:
worden
gesetzt
man nun
aus der Ungleichheit § 26, (8) findet
ist;
weiter:
«^^1^
I
wo
K
\x{x 4-
1)
.
.
.
(a;+ «)i'
endliche Zahl bedeutet, und
eine
=
§ 21, (2) aus (4) für n
H^p
somit
ergibt
sich
wegen
oo die in § 27 erwähnte Entwicklung:
1
welche ebenfalls Stirling^) angehört.
Wir haben
zuleiten,
aus (1) noch eine andere elementare Formel her-
=
indem wir x
a
r einführen,
-{-
wo
r eine
positive
ganze
Zahl bedeutet; eine darauf folgende Division durch
a{a+l)
ergibt dann,
indem x
die gesuchte
Formel:
S
^^^
{a-\-
schließlich
r—
1)
u gesetzt wird, unmittelbar
statt
=?l
2j
=
{x-\-s){x-^s
+
l)--.{x-\-s+r)
=
«
=1
r
'-
(
\x(x
-|-
1)
•
Läßt man noch
findet
Formel
man
(4)
die
in
(^
L
+*—
{x
n
-\-
-\-
1)
•
\
{x
-\-
n
-\-
r)/
in (7)
n über jede Grenze hinauswachsen,
§ 24
als
Spezialfall
der
dort
so
entwickelten
erwähnte Identität:
y.
^
=
(8)
•
•
(X
-\-
s){x
-\-
s
+
{X -^ s -\-r)
1)
s
1
r
1
x{x
-|-
1)
•
•
(ic
-f
}•
—
welche für einen willkürlichen Wert von x
sie
1)
anwendbar
war Stirling^) schon bekannt.
1)
Zeitschrift für
2) loc. cit. p. 11.
Mathematik und Physik, Bd. 4, p. 396; 1859.
ii) loc. cit. p. 23—24.
ist;
auch
'
Kapitel VI.
Fakultätenreihen für ß{x),
und
il{x)
'
§ 31.
v{x).
79
Kapitel VI.
Fakultätenreihen für ß(a-), u(x) und
r(ic).
Die Stirlingsclie Fakultätenreihe für
§ 31.
ß{x).
Die Formeln des vorhergehenden Paragraphen erlauben uns, in
sehr einfacher Weise die bekannten Fakultätenreihenentwickluugen aus
Gammafunktion iu aller Strenge herzuleiten. Wir
und einfacheren Summation des in § 24
dortigen Formel (5).
der
erwähnten Spezialfalles
Zu diesem Zwecke setzen wir:
der Theorie der
be<yinnen mit einer neuen
(1)
(2)
WO
S^{x)
T^x)
r eine
=^
=^
»=o
(a;
4- s)(x
+s
+ 2s)[x +
(cc
-j-
2s 4-
ganze Zahl bedeutet,
vermöge § 30,
(8):
(^)
^r(Fd
= jT^Ti
und außerdem ergibt
•
•
•
(X
1)
•
•
•
+
eine einfache
1)
•
•
als
1)
'
+ i^^^
-f2s
(«
größer
die
x{x
+s+r-
•
1)
ist;
1
dann
+ r — 2)
(.r
Rechnung, daß:
= r-T^^,{x)
TAx)-TXx-\-l)
sein muß, woraus wegen (3) die Rekursionsformel:
^r(^)
folgt; somit
^r(^)
= 2r — 2
multipliziert
+
{X
i)
-\-
r
—
2)
+Y
W
'
^r + i
'
^r + iC^)
haben wir folgende Formelkette:
=
27^1-^
W = ^^—
r {x\
^r-i
x{x
2/
*
a;(x
+
1)
•
•
•
+ r - 2) + Y
(a;
''"^
^^
4
man nun
x(x 4-
diese
1)
•
•
•
(«
+r—
3)
^h
Formeln einzeln mit:
(r—l)! (r— 2)!
„r-3
ar-2^»
^
'
'
"
'
„1
1|
'
o«
'
•
2
r^^^^
(x^
ist
.
80
Purster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
SO ergibt die Addition aller so
erhaltenen
Gleichungen wegen
der
Identität:
die allgemeine
ß(x)
(4)
Summenformel:
'
="y-—
«
^^-^ll_.T
^
,
(a-)
=u
aus der deutlich hervorgeht, daß die
Summe T^(x), für r > 2, von
Funktion in x abgesehen, mittels ß(x) ausgedrückt
einer rationalen
werden kann.
Aus (4) kann man aber eine noch elegantere Formel herleiten,
wenn man r über jede Grenze hinauswachsen läßt; setzt man:
wo
x^ und x^ reelle Größen bedeuten, so
wenn x als endlich vorausgesetzt wird,
Zahl
p
ist
es in der
Tat möglicli,
solche positive ganze
eine
zu bestimmen, daß entweder
0Pi>p
Im
oder
ersten Falle hat
\x
~p-j-l<x^<~p-{-2
man
aber offenbar:
'—
s\
-\-
ist.
S
^
Xj^
-~^-
s -{-p'>
daraus folgt wegen (2) und (3):
- i .^-^^,^^1^^-—
\T.,.i^)\<S^,A.P)
(5)
Im
zweiten
Falle
man
findet
wenn
ähnlich,
s
>p
voraus-
gesetzt wird, daß:
a?
I
sein
muß, woraus
-f-
s
< —p
s
I
die neue Ungleichung:
1
|(a;
folgt,
+
wo
s)(a;
-f s 4- 1)
.
.
.
+s
(a;
'
worden
Nun
(6)
>
^
K
ist
+
-{-
l)
.
.
.
(s
— p)
-^ r
s-j-l).
.
.{x-i-s-l-pl
ist.
es offenbar erlaubt, in (4) die
K den
sicher endlich, weil
p
l^rr + l\
l(^)i<^-'^r
n ^
r-p.(1)
v/
\
s(s
I
1
\{^-\-s){x
zunehmen; bezeichnet dann
so ist
<
^
r)
der Kürze halber:
j^
gesetzt
-f-
größten
Zahl r größer
Wert von Kq,
endlich bleibt,
und man
= _23_1
^—T'7 — p —(r
p
findet:
^-
,.
als
an-
K^, K^,-
1)\
-,
Kapitel VI.
Aus
(5)
und
Fakultätenreihen für ß{x), nix) und v(x).
man
(6) findet
Null noch negativ und ganz
81
§ 31.
aber nun unmittelbar,
falls
x weder
den Grenzwert:
ist,
= 0;
r=oc
somit
«ä
,
auch:
ist
*^
1
s!
=
i
eine Formel, die schon Stirling^) bekannt war; später ist (7)
von
Th. Claussen^) wiedergefunden worden.
man
Setzt
—2
a:=
in (7)
man
so gewinnt
,
das numerische Resultat:
»=00
2
^^
"^^
2
«
während
—ß
(9)
=
•
^ 2^x(x4-l)=
man
7
x
die Differentiation nach
jx)
4
•
5
3
6
•
•
•
•
•
2s
•
(-'s
•
"
4-
2'
1)
'
Fonnel:
die weitere
"^
-(xA-s)' ^^+^ Vx
'
x4^
"*
^x~^s}
4
liefert;
setzt
§ 28, (13), wenn
rührende Formel:
aber in § 28, (14) x
man
i
=
x
1
2,
=—
cc
X
1
=Y
findet
»=00
-^
^
(11)
cc
man
endlich aus (9) das andere numerische Resultat:
^,
,
_
(-1)
(2s4-
»==00
^
.
2
1)^
^V
«'
1
3
•
5
\1^3^5^
Es
ist
•
^
•
•
(2s
+
1;
2s 4-1/
bemerkenswert, daß sich das Restglied der Fakultätenreihe
mittels (4) so einfach ausdrücken läßt; für
dadurch die weitere Fakultätenreihenentwicklung:
(7)
?•
>2
findet
»=00
xn
1
^
wegen
von Legendre^) her-
die
setzt,
so folgt
,
^7V = ^-i('"g2)n
(10)
für
=
in (9)
=
»"^^^
^
(r
—
1)!
welche überall anwendbar
1)
Methodus
'^
s\
x{x
«=r — 2
ist,
wo
differentialis, p. 47;
-\- 1)
•
•
{X
-\- s)
2*-''+*
dies mit (7) der Fall
London
1730.
Grunert Archiv, Bd. 13, p. 336; 184Ü.
3) Exercicos de calcul integral, Bd. I, p. 244; 1811.
Nielsen, Theorie der Gammafunktion.
2)
ß
ist.
man
82
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
§ 32.
Gleichmäßige Konvergenz gewisser Reihen. Entwicklungen
von
- a)-
{"^{x
und
W{x))
ß{2x).
Wir kehren nunmehr zur Stirlingschen Formel § 30, (1) zurück
und setzen dort nacheinander x -\- 1, x -\- 2,
x -\- p für x-, die
Addition aller so erhaltenen Gleichungen gibt dann wegen § 30, (7):
-,
y^
I
\x
— a -\-r
x-]-rJ
(1)
^
wo
xix-\-\)
s
{x
s—1)^
-\-
^\,pV^^ «;;
der Kürze halber:
r=p
(2)
+ S - 1)
(a
'
gesetzt
^^
.v=l
worden
Nun
ist
{x
s
-\-
+ +
p)(x
{x
1)
2'
p
-\-
s
-\-
—
1)
ist.
aber offenbar wegen § 30, (2):
=
R„{x-\-r, a)
—u
X
—
X
a
x(x
r
-j-
{x
-\-
-\-
n
1)
•
•
(x
-{-
(x
-\- 1)
—
r
-\-
n
1)
-.-R^x,
a),
-\~ r)
woraus unmittelbar:
r=p
(3)
--R
(r
^nV^i
rA
«; (\
y-
was endlich
folgt;
^V X- ~
^
^
I
die letzte
+
+w
1)-- -(^
^(^
"^
.
oi-^T
(a;
Summe
1)
-f-
•
•
•
+ ^-1)
+ w 4- r)j
\
(a;
Hand
rechter
in
(2)
betrifft,
so ist:
9 ==/«
Vi.
jLJ
s
a(a -f
(o;
+
p){x -f
^
1)
+
•
•
(a 4- s
•
1)
•
•
•
(«
—
1)
+ + s—
_p
1)
(4)
"r^fl
X -\-
Denkt man
Zahlen n und
Hand
in
pliziert
(3)
sind,
p
+
^
s
nun
(a;4-p
+
l)---(a;
und
+ p4-s-
r,)
positiven
ganzen
hinreichend groß, so werden die Reihen
rechter
sich
in
(3)
(4)
die
und (4), mit welchen R^ix, a) bzw. a:{x^p) multiwegen § 21, (2) beide unbedingt konvergieren, falls
2
Fakultätenreihen für ß{x\
Kapitel VI.
nur
— a)>0
9?(a:
Es
vorausgesetzt wird.
P
positive ganze Zahlen 3'
und
(5)
|i2^p(^,«)l<^
angenommen werden
von
p^ P
zwei
möglicii,
also
ist
83
§ 32.
v(x).
so zu bestimmen, daß:
wo
darf,
Größe
und zugleich
eine vorgegebene positive
s
wenn nur
bedeutet,
beliebiger Kleinheit
und
il(x)
)i
>X
angenommen werden, imd somit haben wir den wichtigen
Satz bewiesen:
Es
eine tcülkürlicJie, auf der AcJise der reellen ZaJden
während ^^ und ^, die Halbebenen bezeichnenj
bzw. links von L liegen, so ist die Formel:
Linie,
weiche rechts
r=
^
»=
oc
^i
^
\x
anwendbar,
Hand
L
bedeute
senkrecJite
— a-\-r
falls
X
nur x
^^
-\-r)
in
3c
x{x
s
^^ und a
-\-l)
in ^^j liegt,
(x
•
und
-\-
s
—
1)
die Beihe rechter
gleichmäßig l-otivergent ; natürlich imrd vorausgesetzt, daß
ist
weder Null noch negativ und ganz
Offenbar läßt
sich
die
x
ist
Formel (6) auch folgendermaßen
dar-
stellen:
(7)
W(x)-W{x-a)=^-^^
.^ +
wo man
also
a
s
= — ^,
'Si(x
— a) ^
ß{2x)
=2j
»
=
voraussetzen muß.
x{x-\-\)---{x-\-s)
also 9f{(ip)>
—^
voraussetzen
1
ß(2x
(9)
wo man
+ l)=^ [X
ebenfalls
speziell für
x =
-j-
fR(y)>
die
so erhält
l)(x
—
-\- ä)
man
Setzt
Methodus
+ l^!2*'+=*
muß;
man
in
(7)
setzt
-J-
.
.
1)
(S-\- l)!22*
--vSs-l-l)
o
-27
man dagegen
annehmen muß: aus
-S-ö=24^
6--(2s-f-2)
=
differentialis, p.
;
'
in ähnlicher
numerische Entwicklung:
*
1)
(s
(2S + 1)!
+ 2V (x + S +
1
log 2
(10)
'
=ü
und x -\- 1 für Xj
Formel von Stirling*):
(7) a
(x
1)
so wird:
(8)
wo man
x{x -^
1
London 1730.
2s
-|-
Weise
in
die
+27
(9) findet
man
,
84
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
Wir haben
noch eine bemerkenswerte Änderung der Formel
hier
(6) zu erwähnen;
wir in (6)
setzen
+
a;
1
x und a
für
+
1
für a,
so ergibt sich:
jj--!
nun
a
ist
=
1
\x
— a-\-r
X
^j
X
r)
-\-
{x
s
-\-
wenn man
aber vermöge § 30, (3),
\){x
{x
-\- 'l)
dort x
-\-
^
-\- s)''
für
x und
einführt:
Ä= CO
y
1=
(11)
«
und somit
man
findet
^'^^' -.^^
^(£)
die zu (7) analoge Entwicklung:
(12)
'i'«-n-<')=2""4^l^iÄ+if'
=
wo man
also
l
s
sowohl
>
9fit(a:;)
als 9R(:r
Die Funktionen vix)^ P(x,
§ 33.
Anwendung
Als erste
> 0,
=i
—
und
y)
a)
>
®{x,
voraussetzen muß.
Reihen von Binet.
y).
des Satzes im vorigen Paragraphen be-
stimmen wir die Linie L so, daß
in der Halbebene ^^ hegt;
folgen wir dann einem Integrationsweg, welcher ganz in ^^ fällt, während x in einem Punkte der Halbebene ^^ abgebildet wird, so darf
man die beiden Reihen in § 32, (6), einem bekannten Satze zu-
nach a von
folge, gliedweise
bis a integrieren.
Die gliedweise Integration der Reihe linker Hand in § 32, (6)
ergibt wegen § 32, (7) für die Funktion:
N(x,
(1)
die
a)
=
a W{x)
+
log
r{x
-
— log r{x)
a)
Entwicklung:
(2)
^(«, «)
= -^ (log (l - ^-) + ^)
s
=
welche mit der Formel von Mellin § 25, (11) übereinstimmt.
Um nun auch die gliedweise Integration der Reihe rechter
Hand
möge
in § 32, (6)
§ 2Q, (4)
nach a ausführen zu können, entwickelt man ver-
die
und
einzelnen Fakultäten in a,
es
ergibt sich
so die Fakultätenreihenentwicklung:
*=oo
(3)
N{x,a)=^
^
s
4=X
(.()
.
x{x
_^
-\-
^
l){x
.
c/
-j-
2)
+
.
.
.
{X
+
-|'
-\- s
-
.
c;-'
1)
'
Fakultätenreihen für ß{x), n{x) und v(x).
Kapitel VI.
welche also unter den beiden Bedingungen
'31
> 0,
{x)
85
§ 33.
91 (x
— a) >
konvergiert.
L
Mit derselben Bestimmung der Grenzlinie
man auch
« gliedweise integrieren;
man
N(x,a)—2^
(4)
Hand
die Reihe rechter
*=
welche ebenfalls
findet hier die
wie vorher darf
nach a von
in § 32, (12)
bis
Entwicklung:
'
s-(x-\-l){x-^2)--{x-{-s)
i
unter den Bedingungen 3i (x)
> 0,
91 (ic
— a) >
konvergiert.
Xach
nunmehr
diesen allgemeinen Erörterungen wollen wir
die
speziellere Funktion:
v{x)
(5)
man
näher untersuchen;
während
die
Formel
.r
W(x)
findet zuerst die beiden
=
K1)
(6)
= log —
(1)
C,
t;(|)
numerischen Werte:
= C + log2,
ohne weiteres die Identitäten:
= Nix, - 1),
vix) =
I - Nix +
v{x)
(7)
(8)
liefert,
und somit ergibt
1, 1)
sich aus (2) die Entwicklung:
„(,)JJ(^_l0g(l + ^J);
(9)
»
endlich
findet
man
=
aus (3) und (4) für u
=~
die beiden
1
Binet*) herrührenden Fakultätenreihenentwicklungen für
denen wiederum für x
=
1
v(j'),
von
aus
zwei Entwicklungen für die Eulersche
Konstante folgen.
Die beiden Reihen von Bin et sind also für
Wir erwähnen noch, daß
gent.
Funktionen
P[X, y)
und
©(/',
//)
einfach
Nix, a) ausdrücken lassen: die Formeln §
Tat vermöge (1) die Darstellungen:
mittels
>
konver-
der
Funktion
8, {}--), (^13) liefern in der
-
(10)
Pix,
*/)
=-
4- VNix,
iy)
+
(11)
@ix, y)
=-
^ [Nix,
iy)
- Nix, -
1)
9?(ic)
sich die zwei in § 8 eingeführten
Nix,
iy)\
,
iy)],
Journal de TEcole Polytechnique, cahier 37, p. 257; 1839.
86
Erster Teil.
und somit
findet
Analytische Theorie der Gammafunktion.
man
aus (3) und (4) ohne
Mühe
zwei entsprechende
Fakultätenreihenentwicklungen für jede der beiden Funktionen P(x, y)
und &{x, y)] diese Reihen konvergieren sämtlich unter den Be-
dingungen
U(x)>0,
9ft(
± iy) > 0.
Die Funktion ^(x).
§ 34.
von
Reilien
Integralformel
Einet.
von Raabe.
daß die Reihen rechter Hand in § 33, (3), (4)
derselben Bestimmung der Grenzlinie L wie vorher dieselbe
Es
mit
ist
offenbar,
Eigenschaft besitzen wie die ursprünglichen Reihen § 32, (6), (12),
so daß diese neuen Reihen wieder gliedweise nach a integriert
werden dürfen, und zwar von
bis a, wenn der Integrationsweg
ganz in ^^ liegt, während x in ^^ abgebildet wird.
Zu diesem Zwecke bemerken wir zuerst, daß das von
bis a
genommene
als Resultat
{.
Integral des allgemeinen Gliedes rechter
+ s- I)
liefert;
Hand
in § 33, (2)
den Ausdruck:
log (1
--,) + « - I- [log (1 - ,^) + 4-]
setzen wir daher:
4=00
Mix,
(1)
a)
=^
«
so
leuchtet
+.-
I)
log (l
- -^^) + a\
,
=o
daß
ein,
[[x
Reihe für solche Werte von x und a
diese
unbedingt konvergiert, welche kein Glied der Reihe unendlich groß
machen, und es
daher:
ist
00
f N{x, a)da =
(2)
Integriert
Hand
formung
-[(.
man
in § 33, (2)
M{x,
a)
+
-|-
N{x,
a).
aber andererseits das allgemeine Glied rechter
nach x, so ergibt sich nach einer einfachen
Um-
:
+ . -|)log(l-4-)+«] + |-[log(l-^-^)+^-^] +
"^
L"
"~
2(a;
+ s)J
'
daraus folgt dann die Integralformel:
- /
N{x, a)dx
=
M{x,
a)
— M{1, a) + y {N{x, a) - N{1, a))
(3)
^^^-{W{x)-W{V)).
-\-
Fakultätenreihen für ß{x\
Kapitel VI.
man
Erinnert
sich aber der
Formel § 33,
X
a)dx
(1), so folgt:
= - « log rix) -flog {^^)
dx.
1
1
Wir
und
87
% 34.
v(x).
X
-JjN>,
(4)
und
ii{x)
wollen auch hier
den Fall «
'speziell
=—
untersuchen
1
setzen der Kürze halber:
M[a:,
(5)
—
=
l)
a{x),
woraus sich wegen (1) die Entwicklung:
=5
K-)
(6)
*
ergibt; setzt
man
[(-
=
+ ' + I) log (1 + ^.) -
aber in (1)
a;
+
1
M{x-^l,l)
(7)
Um
=—
bedenke
folgt,
=
daß
so
man
cc
=
1,
so folgt weiter:
-iL{x).
den Funktionen
.u(a;)
zunächst, daß aus (3)
und
und
(4)
1:
il{x)
(8)
=
den Zusammenhang zwischen
F(a:) klar zu erkennen,
für a
x und
für
1]
+ log r{x) -[x-\)\ogx + x-l
.tt(l)
sich
es
wertes fi(l) dreht.
also
nur
Zu dem Ende
um
Bestimmung
die
setzt
man
in (8)
des Zahlen-
+ -^
•»
statt x,
woraus:
(9)
iL[x+ I)
= ^(1) + log r(x+ |)-x log (x-+ I) + ^ - I
folgt; weiter ist unter
Anwendung von
= li{2x) - ft(l) +
wegen
(10)
il{x)
Setzt
(8)
und
und §
6, (5):
+ iogr(ic+y) =
iogr(^)
also
(8)
[2x - A) log
.1-
-
2j:
+
1
+
log
/2^,
(9):
+ /t(a-+ |) = a(2a;) + x log (^^\ + logV^^ ^(1).
man
aber nun in (10) x
-\-
n für x,
wo n
eine positive
ganze Zahl bedeutet, so verschwinden die drei Funktionen:
fi(a;
wenn n über
+ n),
+ n4-y),
jede Grenze hinauswächst,
hervorgeht; denn
Reihe (6) für
fi(a;
;i(ic
ii{x).
ft(2a;
+ 2w),
wie dies deutlich aus (6)
-f n) ist ja nur das Restglied der konvergenten
Man
findet also:
UNIVERS ITY
OF
iElLIFORNA^
:
88
Erster Teil.
Analjüsche Theorie der
Gamma funktion.
KD - I - lo«>^- Jim ((. + u) log (l - ,-:pi-^,)),
woraus
folgt;
somit ergibt sich
^(x)
(12)
luis
= 1 -log ]/2:t
^(1)
(11)
= log r(x) —
(12) aber erhält
man
(13)
Formel:
scliließlich. die
^
für
^(|)
-) log
(x
==
:i;
y ^^^
+
:^
— log y27f,
weitere numerische Resultat:
= |(l-log2).
Die Reihenentwicklung (6) verdankt man Gudermann^).
Nach diesen Erörterungen kehren wir nunmehr zu Formel (2)
zurück; eine Integration von
vermöge
bis a in § 33, (3), (4) ergibt
(2) folgende Fakultätenreihenentwicklungen:
,= <»
»
(15)
««
^
s
^^• + i-T-
man
'^* + i"i
.,_]
r-2.3'^* + i
=l
in (14)
und (15) a
kultätenreihen von Binet^).
Cauchy^)
s{s-\-l)
1-a
s-{x-\-l){xi-2)---{x-\-b)
welche ebenfalls beide für ^(x)';>
Setzt
1
=i
J/(a;,a)^-|.V^i±lKi±^
2
{S~l) a ^
0, 'Si(x
=—
— a) '^
1, so
konvergieren.
gewinnt
Die eine dieser Reihen
hergeleitet worden,
während Jensen^)
in
man
ist
die Fa-
später von
aller
Strenge
Reihen von Binet, welche wir hier und in dem vorhergehenden Paragraphen in verallgemeinerter Form entwickelt haben,
die
vier
die Methode von Jensen erlaubt indessen keine
Bestimmung der Konvergenz Bereiche unserer R?ihen.
Wir haben endlich noch die Raabesche Integralformel aus den
vorhergehenden Resultaten herzuleiten.
Zu dem Ende eliminieren
wir aus (2) und § 33, (1) die Funktion N(x, a), dann erhält man:
hergeleitet
hat;
vollständige
a
/ log
(16)
r{x — a)da^ M{x,
a) -f
y (log r\x - a) + log Fix)).
2)
Journal für Mathematik, Bd. 29, p. 209—212; 1815.
Journal de FEcole Polytechniquc, cahier 27, pp. 231, 339; 1839.
3)
Exercices d'Analyse
1)
et
de la Physiriue mathematique, Bd.
II,
p.
391;
Taris 1841.
4)
Nyt
Tidsskrift for Mathematik, Bd. 2B, pp.
66—72, 83—84; 1891.
Fakultätenreihen für ß{x\
Kapitel \a.
Daraus folgt für «
=—
die gesuchte
1
und
ii{x)
v{x).
89
§ 34.
Formel:
1
Aog r(x
(17)
-\-
a)da
= X (log X -
1)
+ log>'2^.
In seiner ersten Abhandlung^), welche die Formel (17) enthält,
hat
Raabe den
Fall betrachtet,
wo x
eine ganze,
nicht negative
Zahl bedeutet, in der zweiten Abhandlung-) den allgemeineren FaU,
und nicht negativ angenommen wird.
Raabeschen Formel treten sehr zahlreich
auf; wir erwähnen z. B. die Beweise von Stern^), Björling*),
Bertrand^), Malmste'n^J, Stiltjes') und Lerch^J.
In neueren Arbeiten von Glaisher^) und Barnes^") tritt auch
wo X
reell
Spätere Beweise der
die allgemeinere Funktion (16) auf.
AVir erwähnen noch, daß die Formeln §
bindung mit
(^12) iüi
P{x, y)
8, (12),
(13) in Ver-
P{x,y) und &{x,\j) folgende DarsteUungeu
= ii{x) — —
(.u(a;
+ »y) + i^ix - iy)) — y
liefern:
arctg |-
(18)
-(-DioglAT?,
Ö(a;,y)
= ^.(fi(a;+iy)-/t(a:-iy))+y-i/(a;) + j/log]/l + |-!-y +
(19)
+ (x-|)arctgfU9;
1)
Journal für Mathematik, Bd. 25, p.
2)
Ebenda, Bd.
3)
Zur Theorie der Eulerschen Integrale, Göttinger Studien 1847, p. 9.
der Stockholmer Akademie 1856, p. 181 182.
Traite de caleul ditferentiel et integral, Bd. II, Zitat von Her mite,
28, p.
12—14:
—
4) Öfversigt
5)
Cours lithographie's,
p. 102; Paris 1883.
6}
Acta Mathematica. Bd.
7)
Xieuw
8)
Giomale
9)
Quarterly Journal, Bd. 28; 1896.
10)
1843.
1844.
di
5,
p. 34; 1884.
100—104; 1878.
matematiche, Bd. 26, p. 39—40; 1888.
Archief, Bd.
Ebenda, Bd. 31
;
2, p.
1900.
:
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
90
,
:
Kapitel VII.
Die Funktionen r(x) und
W(x) für sehr große
Potenzreihen in a für M(x,
§ 35.
Gehen wir von den Definitionen §
so leuchtet ein,
a
analytisch
und N(x,
a)
und §
33, (2)
a:;
|.
|
a).
aus,
34, (1)
daß die beiden Funktionen M(x, a) und N{x, a) in
müssen,
sein
nur
falls
|
«
|
<
-|-
:z;
|
s
angenommen
|
wird, indem s eine willkürliche ganze und nicht negative Zahl bedeutet.
Die Werte der nach a genommenen Ableitungen kann man
aus
direkt
den
obengenannten Definitionen herleiten,
und
es
er-
geben sich so die Potenzreihenentwicklungen:
g=
00
Nix,a)^^^-ax),
(1)
M{^,
(2)
a)
= -2^ ''^^^
/,
W
4=2
wo
der Kürze halber:
/.«=2'(^' ^^2
(3)
r=
gesetzt
worden
ist,
/;(^)
= -(^-^-p-^^-^^(^).
Die Reihen (1) und
(2) sind konvergent,
(4)
angenommen
setzt
daraus aber folgt:
man
wird,
speziell
wo
in
und
(2)
a;
|
man offenbar a = + 1 annehmen, und
ergibt dann für « = — 1 die weiteren
(5)
^^(^)
falls
|
a
j
<
-f 5
ic
|
|
nicht negative Zahl bedeutet;
s eine ganze,
(1)
.
=
|
1
und
'Si(x)
> 0,
so darf
der bekannte Satz von
Abel
Formeln
= y^fs(^),
s=2
f=
00
K-)=2'-liÄi^-/'«
(6)
«
Setzt
man dagegen
ähnlichen Entwicklungen
o;
=
=2
1
und ^
+
1 statt x,
so erhält
man
die
Kapitel VTI.
Die Funktionen r<x) und Wix) für sehr große \x\. §§35. 36.
(7)
i-v{x)==^^-fXx+l),
(8)
cw=2'-2OT-/''(^+i)«
Die Formeln
=2
und
(5), (6), (7)
(8) rühren
Beachtet man, daß (5) für
Annahme
s'-
als
1
her.
Die Formel von Stirling.
man ohne
weiteres,
x
Identität:
daß für jedes ganzzahlige
ist:
s
muß; daraus
aus und denken uns
(^8)
- 5s + 6 - (s — 2)(5 - 3)
—1 ^
=
s,
das größer
1
s(s4-l)
sein
von Binet*)
konvergiert, so ergibt diese
1
gehen von der Formel § 35,
und sehr groß; aus der
folgert
=
gefunden haben.
2, (12)
§ 36.
positiv
a:
Eulersche Konstante diejenige Reihenentwicklung,
für die
welche wir schon in §
Wir
9]
6
ergibt sich für positive x:
K^)<-^-^/:o^ +
(1)
i).
«= i
Führt man aber rechter Hand
in
(1)
für jedes
fj^
-\-
1)
die
aus § 35, (3) hergeleitete Reihe ein, so entsteht eine Doppelreihe,
deren Glieder sämtlich positiv sind, und in welcher jede Horizontalund Yertikalreihe konvergiert; in dieser Doppelreihe darf man daher
0:
die GKeder willkürlich ordnen.
Da mm für s > 1 und für .r
>
(x
ist,
so
+
1^
s)*
findet
+
/-- _l_
(x
'
man
cNS
s)»
1^
'
+
/'-,._l_o^4
(x
s)*
aus (1),
x-^s
1^
'
—1
indem man zuerst
die
x-\-s
Yertikalreihen
summiert, daß:
•'^(^)
sein
muß, woraus der wichtige Satz
Bezeichnet
X
< -12^
eine positive
Q
\ogr{x)
(2)
1)
eine reelle Größe,
Zahl
bedeutet, so hcU
folgt:
so
daß
^ <1
ist,
während
man:
= [x-\)logx-x + logy2^+^^-
Journal de l'Ecole Polvtechnique, cahier 27, pp. 226, 248, 249; 1839.
Comptes rendus. Bd.
9,
p.
39—45;
1839.
:
92
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
zudem x der positiven ganzen Zahl n gleich, so
n die sogenannte Stirlingsche Formel^):
Ist
findet
man
für sehr große
log ((w
(3)
-
1)!)
= (n--^
Formel
Stirlingsche
Die
log
n-n + log ]/2;r + -^
sich
auch
-|/2:r (1
+ O;
läßt
•
folgendermaßen
schreiben
——
1
(n-l)\
(4)
wo
£„
n
=n
n
2
e-«
.
mit wachsendem n der Grenze Null zustrebt.
Die Formel (3) ist späterhin von vielen Mathematikern hergeleitet worden; wir erwähnen z. B. Liouville^), Raabe^), Serret*),
Bonnet ^), Glaisher®) und Lerch^).
Die oben gegebene elegante
Herleitung rührt von Jensen^) her.
Es
leuchtet ein, daß
die
Formel
(4)
den
erlaubt,
G au ß sehen
Grenzwert für r{x) zu modifizieren; wir finden unmittelbar, daß:
x+n
r(.)
(5)
sein
muß;
—
1
-
= y2..1im-^^^^^...^^^_^^
von Enneper^), später von
diese Darstellung ist zuerst
Gilbert^") bemerkt worden.
§ 37.
Die Funktionen
ii{x)
und
v(x) für selir große
x
i
|.
Wir wollen nunmehr allgemein die beiden Funktionen iiix)
und v{x) für sehr große Werte von x untersuchen. Zu dem Ende
gehen wir von den aus § 33, (3) und § 34, (14) hergeleiteten
|
Fakultätenreihen aus
diese
;
Reihen sind für
und somit wegen des Grenzwertes §
Methodns
1)
difFerentialis
(3),
sondern eine allgemeinere.
Bd.
4, p.
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
p. 135.
21, (2)
SfJ (:r)
>
konvergent
sicher für
Stirling gibt nicht
9i(:r)
>
1
genau die Formel
Comptes rendus, Bd. 9, p. 105—108; 1839. Journal de Matht'matiques,
317—322; 1839.
Journal für Mathematik, Bd. 25, p. 147—159; 1843.
Comptes rendus, Bd. 50, p. 662—666; 1860.
Ebenda, Bd. 50, p. 862—866; 1860.
Quarterly Journal, Bd. 15, p. 57—64; 1877.
Casopis, Bd. 24, p. 129—132; 1895 (böhmisch).
Nyt Tidsskrift for Mathematik Bd. 2B, p. 43; 1891
9) Dissertation, p.
10)
,
\
Recherches sur
Belgique, Bd. 41; 1873.
10; Göttingen 1856.
le
developpement de
la
fonction
F,
p.
7;
Me'm. de
:
Die Funktion r{x) und W{x) für sehr große \x\.
Kapitel VII.
Es
unbedingt konvergent.
9ll(y)
>
1
während
ist,
genommen wird; dann
sei
nun y
so daß
eine endliche Zahl,
sehr groß und zugleich '^(x)
x
93
% 37.
>
an-
1
Reihenpaare für ^{y), v(y)
unbedingt konvergent; da nun
sind die beiden
and für ^^(x), v(x) sicher sämtlich
immer y so bestimmt werden kann, daß
Wert von s und für sehr große x \:
für jeden ganzen positiven
\
(ar
+ lXx-f 2)---(x +
s)
wird, so findet man, indem die Koeffizienten der obenerwähnten Fa-
kultätenreihen der Kürze halber durch A. und B, bezeichnet werden:
«= ao
^(^)i<^xi*^
»
+ i)-*-(y + s)|
iy(y
«=o
=
"^""^^^.xl'^j
ly(y
+ i)---(yH-«)|
somit haben wir bewiesen, daß es möglich
Zahl
Jt
zu bestimmen, daß für
sein
'di{x)
IK^)I<^,
(1)
muß, wo
s
eine
'
>
1
eine so große positive
ist,
und
\
x
R
\'>
immer:
IK^)1<*
vorgegebene positive
Größe von beliebiger
Kleinheit bedeutet.
Es
(1)
ist
aber sehr leicht, die Bedinomngen für die Uufrleichuncren
Zu diesem Zwecke gehen wir von den Entwick-
zu erweitern.
lungen § 33, (9) und § 34, (6) aus und erhalten so ohne weiteres
die beiden Differenzengleichungen:
(2)
ti(x
+
1)
= iL(x) - [{x + I) log(l + ^) - l],
(3)
vix
+
1)
= v(x) - [^ - log (l + I)];
nun
gibt aber die
logarithmische
Reihe die beiden für
konvergenten Entwicklungen
«=0»
{.+
-l)log(i
+ i)-i=Vfc>)'(^.±
2s(s-\-l)
\äiLj
'
*
^-lo«{l + i) =
=%
!jf
|
a;
|
>
1
:
94
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
muß,
SO daß es möglicli sein
+
{i(x
(4)
1
wird,
wo
1)
-
^{x)
a;
|
|
so groß zu wählen, daß:
\v(x^l)-
\<d,
I
d dieselbe Bedeutung wie
man
Setzt
v{x)
<d
in (1) hat.
s
aber nun in (4) 9R(a:)>0 voraus, so leuchtet ein,
daß die Ungleichungen (1) auch in diesem Falle richtig sein müssen.
muß dann auch für 9?(a:)>
1 gelten, und durch voll-
—
Dasselbe
ständige Induktion zeigt
für 9?(ic)
> — h,
wo
man ohne Mühe,
daß die Ungleichungen (1)
k eine willkürliche endliche positive Zahl be-
deutet, richtig sein müssen.
Nach
diesen Erörterungen wollen wir uns der Definition:
=
^(x)
(5)
Wir
bedienen.
log r{x)
— (x~ —j
-i-
— log y27t
X
setzen der Kürze halber:
—n<&<^7C,
x=\x\e''^,
(6)
indem wir
logx
Funktion ^{x)
die
durch
einen
Querschnitt
eindeutig
machen, welcher die Achse der negativen reellen Zahlen, den Ur-
& kann
sprung mitgerechnet, abtrennt; die Amplitude
+
den Wert
also niemals
erreichen.
jt
Mit dieser Definition von
&
man
findet
aus (5) die ähnliche
Formel
^{—
(7)
wo
x)
+ jri
zu
^
log
r(— x)
— ix + —)
(log
x
0^0
nehmen ist, je nachdem
Eulersche Formel, daß:
+ m)—x — log y2n,
vorausgesetzt wird;
nun
zeigt aber die
log r{x)
ist,
wo
+
log
r(-
x)
= log 7C
und
Setzt
man nun
man
wird, so erhält
^{x)
+
Nun haben
R
+
ni)
+
log
~
(^
j
Somit
ist.
(7) die weitere Identität:
X-
Zahl
X
das Zeichen von %i wie vorher zu bestimmen
ergibt sich aus (5)
(9)
(log
aber x
-JTti-
= + x',
je
log
-.
j
(^
nachdem
@^
.
angenommen
aus (8):
/i(- x)
= ± Y + log i - log (1 -
wir aber bewiesen, daß es möglich
so groß zu wählen, daß
^(±
iE), absolut
e-'^-'^).
ist,
die positive
genommen,
kleiner
Die Funktionen r{x) und V{x) für sehr große \x\.
Kapitel VH.
als
muß
daher
wird,
s
in
(9)
Wert von
der
log
i
so
95
% 31.
bestimmt
werden, daß:
± y + log =
i
ist.
Somit haben wir
^(a:)
(10)
wo
bewiesen,
genommen
+
also x'
die allgemeingültige
= -log(l-e-^--'^0
u(-a:)
=+x
Formel:
zu setzen
ist,
nachdem
je
0^0
an-
wird.
man
Beachtet
endlich die Identität:
vix)==^-ti^'Kx),
(11)
so folgt aus (10) die ähnliche Formel:
K^)-K-^) = ^ +
(12)
Aus
(10)
gleichungen
^(ix)
,37^i7^--^-
und (12) geht aber deutlich hervor, daß die Unrichtig bleiben, wenn nur
noch für 9i(a:) <
(1)
hinlänglich groß
angenommen
wird.
Somit haben wir den
allgemeinen Satz bewiesen:
Läßt man
m wiUkürlicJier
Weise die Variable x
sich von der
Achse
der negativen Zahlen unendlich entfernen, so l-onvergieren die beiden
FtinJctionen ^{x)
Dieser
gesprochen
Satz
und v{x) gleichmäßig gegen
ist
worden;
wohl
er
ist
zuerst
die
SnU.
von Jensen^)
schon
indessen
in
explizite
den Formeln
aus-
von
Stiltjes^) enthalten.
Es ist offenbar, daß die Bedingung unseres Satzes befriedigt ist,
wenn sich die Variable x nach einem Radiusvektor entfernt, welcher
einen angebbaren Winkel mit der Achse der negativen reellen
Zahlen
bildet.
Weiter leuchtet
ein,
daß die beiden Funktionen u(x) und v{x)
durch die Differenzengleichungen
(2), (3)
und
die
Bedingung
deutig definiert werden können.
1.
Xvt
2)
Journal de Mathematiques,
Tidsskrift for Mathematik, Bd. 2B, p. 45; 1891.
(4_)
Bd.
;"»,
p. 433; 1889.
(1) ein-
96
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
Die wesentlicli singulare Stelle x
§ 38.
von
=
Formel
oc für r(x).
Pinclierle.
Die Untersuchungen des vorhergehenden Paragraphen erlauben
Gammafunktion §
uns, die Definition der
eben bewiesene allgemeine
der
schwinden von
^{x)
für
\
x
\
\
|
§ 37,
(2) zu verallgemeinern*,
gleichmäßiore Ver-
das
oo ergibt nämlich erstens wegen
daß:
(5),
muß, wenn
X —-
= CO
a;
=1
^-^
lim
(1)
sein
=
1,
über
Satz
nur die Variable x von der Achse der nega-
sich
tiven reellen Zahlen unendlich entfernt.
Weiter gehen wir von der offenbaren
rix-\-y)
(2)
2
•
.-a:-j/,/9*
nx + y)
rix)
.
1
Identität:
1
1
2^-^n'
^
aus, wo y als endlich, x aber als sehr groß anzunehmen
deuten nun a und ß endliche Größen, und setzen wir:
|
wo
sehr groß
x
I
\
ist;
be-
so ergibt sich offenbar:
ist,
I
log/o
=
(Ä;
+
p{)log(l
+
^
limlogÄ;
^),
^'
=
«
1x1=00
und somit auch:
lim (l
(3)
=
a;
I
+
CO
^r ''=..;
I
mit Zuhilfenahme der Formel (3) findet man nun unmittelbar aus
(1) und (2) folgende Verallgemeinerung der Formel § 1, (2):
^
^
wo
^^+^)-
lim
(4)
lr|
also
y
I
\
=
a=
=
1,
r{x)a^
endlich bleiben muß, die Variable
Achse der reellen negativen Zahlen unbegrenzt
In vielen Untersuchungen braucht
wo
und
x aber
sich
von der
entfernt.
man den Wert von
während t; sehr
groß wird; über diesen Zahlenwert hat Pincherle^) den folgenden
l
ri
reell
sind,
t,
aber endlich bleibt,
|
|
Satz bewiesen:
1)
Rendiconti
792—799;
1888.
della
Reale Accad.
dei Lincei
(4)
Bd. 4, pp. 694—700
,
:
= ^+
man x
tro ^
ii],
und
reell sind,
i^
'
jarj.
^
§ 38.
9T
aber eine ge-
'
endliche positive Zahl nicht überschreitet, so ist immer, wie groß
tci'ise
audi
;
Die Fanktionen r{x) und 9(x} für sehr große
Kapitel YII.
Seilt
,
angenommen wird:
T]
\
I
'-e
\r(^-\-iti),<\t+iv[
(5)
wo
nidä
eine endlicJie,
Man
o,
'
Größe
verschic indende positive
bedeutet.
hat nämlich vermöge der Definition § 34,(12) für u(x):
= y2^ x"^- e-'+f^')
r{x)
(6)
man daher
setzt
-
x
;
wie im vorigen Paragraphen:
= ^+
it]
=
— %<Q <-\- n,
x\-&^,
80 folgt aus (6):
= \x\^
\r{x)\
(7)
'-e-^n.e-^+f^'.y2:t,
wo
u(5
worden
gesetzt
möglich,
iJj)
=
+ tu"
|Lt'
Satze des § 37 zufolge
so groß zu wählen, daß
ij
I
Dem
ist.
+
;
fi'
und
|
ist
,u"
j
i
j
es aber hier
beide beliebig
angenommen werden können.
klein
Weiter zeigt die gewöhnliche geometrische Darstellung der komplexen Zahl X
kommt,
je
=
^
-{-
nachdem
rj&
=
ii],
»/
ri
^
daß hier
Werte
+~
vorausgesetzt wird; also findet
arctg
j = y\v[±V arctg
sehr nahe
man:
-|-
man daher
setzt
= 12^
(8)
so ist der Satz
r,
d
\
\
beliebig klein
Aus
•
6-'+."'
|
iy
ajcctg
^=t
wo
d
-\-
angenommen werden
j^-r(x)
wird,
/'''^t
j
(5) folgt, daß es möglich
(9)
•
von Pincherle vollkommen bewiesen; denn man
hat offenbar for sehr große
wo
& dem
ist,
{
i;
|
darf.
so groß zu wählen, daß
<e
k eine willkürliche endliche Zahl bedeutet, während
vorgegebene positive Größe von beliebiger Kleinheit
Xielsen, Theorie
der Gaminafunktion.
ist.
7
« eine
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
98
Bedeuten weiter a und
(5),
zwei endliche Zahlen,
t|^ =
(10)
sein
h
so
folgt
ans
daß unter den dort für x angegebenen Voraussetzungen:
I
^
*'
I"'-"'
muß, wo ^' eine Größe von derselben Natur wie
cD in (5)
be
während
deutet,
a
worden
gesetzt
=
a
-\-
ia"
=
h
,
ih"
h' -\-
man mit
denselben
Formeln von derselben Art wie (10) und
(11), aber
in
ist;
ähnlicher Weise
findet
Bezeichnungen wie vorher:
und
es ist leicht,
mit mehreren Faktoren im Zähler und Nenner herzuleiten; solche
Formeln treten zu wiederholten Malen in Untersuchungen von
Mellin^) auf.
Es ist klar, daß uns die vorhergehenden Formeln über die
Natur der wesentlich singulären Stelle x = oo für die ganze transzendente Funktion 1 r(x) völligen Aufschluß gewähren.
Folgen wir
z. B. der Achse der positiven reellen Zahlen, so nimmt unsere Funk:
tion stärker ab wie e~^*,
wo
Je
eine beliebig große, aber endliche
positive Zahl bedeutet; folgen wir dagegen der
ginären Zahlen, so wächst unsere Funktion wie
Wir erwähnen noch, daß
§
6, (9)
die
die
(G)
e'^
in
r(x)
^2af-e-^-JJ^
s
welche
man Catalan^)
§ 39.
Erinnert
man
yB (2' -
'
x,
\)
=l
verdankt.
Die NuUsteUen von W{x).
sich der
v{x)
Bedeutung der Funktion:
= log x —
"^(x),
so läßt sich der in § 37 über v{x) bewiesene Satz
maßen
Verbindung mit
Produktentwicklung:
(12)
liefert,
Formel
Achse der rein ima-
auch folgender
formulieren:
1)
Man
2)
Journal de Mathematiques
vergleiche
z.
B.
Acta Mathematica, Bd.
(3)
Bd.
1,
p.
228
;
15, p.
1875.
317—384;
1881.
Die Funktionen r{x) und W{x) für sehr große
Kapitel TU.
Läßt man
ganz
in
willkiirliclicr
Zahl
R
- log
W{x)
1
wenn nur \x\'>
deutet,
Wir
E
sicli
sehr
möglich,
<£
.r
I
tcird, ICO s eine vorgegebene positive
ist es
99
% 39.
daß:
so groß zu wählen,
(1)
x\.
Weise die Variable x
weit von der Achse der negativen Zahlen entfernen, so
eine positive
'
Größe von
angenommen
beliebiger Kleinheit be-
irird.
wollen jetzt diesen Satz auf eine Untersuchung über die
y^(x) anwenden; setzt
Nullstellen der Funktion
man
in:
5r(^)__C+2'(^-j^j
(2)
»
X =a
-\-
iß und
W{a
-\-
=
iß) = Ä
wo
-{ iJB,
a,
ß und A,
B
sämtlicli
reell sind, so ergibt sich:
3
=
woraus deutlich hervorgeht, daß
B
nur mit ß verschwinden kann,
d. h.:
W{x)
Jcann
Aus der
nur
reelle
Definition (2) findet
W{x)-W{y)
(3)
denkt
man
sich daher
(4)
nun hat man
man
weiter:
als positiv, so ist
'^•(t/),
wenn
x
immer:
> y,
aber:
gr(i)
''Pix)
>
besitzen.
= {x-y).y
x und y
W{^x)
und da
NuUstdlen
=_
< 0,
für positive
x eine
Wi'2)
in
= 1 - C> 0,
x kontinuierliche Funktion
ist,
so folgt daraus der Satz:
W{x) hat eine
und x = 2 liegt.
Nach Gauß^)
einzige positive NuUsteUe, welche zwiscfien
ist
x
=
1
diese positive Nullstelle näherungs weise durch
den Wert:
ir
=
1,4616321-..
bestimmt.
1)
Comment.
Ausgabe,
Gott., Bd. 2, p. 27; 1812.
Werke, Bd.
III,
p. 147.
p. 35.
7*
Deutsche
1
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
100
Was
Werte von x
die negativen
so hat
betrifft,
W{x) einfache
= 0. Es sei
Pole in den negativen ganzen Zahlen sowie auch in x
nun n
eine
Größe, dann
ganze nicht negative Zahl, 6 aber eine kleine positive
es
ist
vermöge
(2) möglich,
den Wert von 6 so klein
zu wählen, daß gleichzeitig:
W{^-
(5)
n-i)> 0,
«F(- n
- 1 + f) <
^
ö angenommen wird.
sein muß, wenn nur £
und y zwei negative Zahlen, so daß:
Bedeuten weiter x
— m>ä;>?/> — w — 1
ist,
so
ist
auch vermöge
(3):
W{x)>W{y),
—y
denn x
und dasselbe
positiv,
ist
Hand
der unendlichen Reihe rechter
gilt für die einzelnen Glieder
in (3);
im
Intervalle:
— w>ic> — w—
Funktion W{x) daher beständig abnehmend, und zwar geht sie
oo; die Funktion W{pc) kann in dem angegebeneu
von -)- oü bis
Intervalle daher nur eine einzige Nullstelle haben; wir bezeichnen
ist die
—
diese Nullstelle mit x^, so daß also:
ist;
-n>x„>-n-i
W{xj-=Q,
-
(6)
weiter setzen wir der Kürze halber:
und finden somit wegen
7t
(7)
cotg (n yj
und daraus vermöge
7t
und §
(6)
5, (7)
=
=^F{1- x„)
(1),
cotg (nyj
die Gleichung:
W{n
+
2
-
yj
wenn n
eine sehr große Zahl bedeutet:
=
log n
+
arctg
(^^^^^)
lim
n= oo
d^,
(J„
= 0;
daraus folgt:
2/n
=^
was offenbar dasselbe
oder,
«
-'»
damit
ist
Es
=
1
log»
ist:
"—
h T—
logw'
„
=
=
0;
00
aber der folgende Satz von Hermite^) bewiesen:
n
Funktion ^(x) im
bedeute
eine
ganze,
Intervalle
dann hat
)*
1 eine und nur
mit wachsendem n dem Wert:
nicht
negative Zahl,
— w>ä;> — —
einzige Nullstelle x^, welche sich
1)
lim ön
,
'
Journal für Mathematik, Bd. 90,
p.
332—338;
1881.
die
eine
Kapitel VII.
Die Funktionen r{x) und W{x) für sehr große
*.--«-i +
(8)
mefir
und mehrt
Erinnert
|
x
1.
§ 40.
101
ü;i^
näliert.
man
daß r{x) keine endliche Nullstelle hat,
sich nun,
so zeigt die Identität:
=
rw{x)
r{x)
w{x),
daß r^^^(x) genau dieselben Nullstellen haben muß wie 5*"(j;), und
daß diese Nullstellen mit den Maximis und Minimis von r{x) zusammenfallen müssen: diese Maxima und Minima nähern sieh daher,
wie Hermite^ und Bourguet-) bemerkt haben, mehr imd mehr
Diese Bemerkungen sind für die graphische
den Polen von r{x).
Darstellung von r{x) für reelle x sehr nützlich;
phische Darstellung
ist
zuerst
eine
solche gra-
von BesseF), später und minder aus-
Schenkel^) geliefert worden.
Wir erwähnen noch, daß (1) vermöge §
führlich von
(10) für die Funk-
6,
tion v{x) folgende neue Entwicklung liefert:
v{x)
(9)
= y]ß{2*-x).
Über
§ 40.
die NuUstellen
von
ß{x).
In diesem Kapitel wollen wir noch einige Bemerkungen über
die Nullstellen der Funktion:
^w=2^
(1)
hervorheben, indem wir zuerst den folgenden Satz beweisen wollen:
Bie Funktion ß{x) hat keine
Aus
(1) findet
man
^(^)
(^)
^^
t
so daß ß(x) für positive
1) Journal für
2) Atti di
3)
//
(j;-(-2s)ix-|-2s-|-l)
x immer
positiv sein
muß; weiter
= ^-^W,
90, p 332—338;
758—772; 1881.
Mathematik, Bd.
Torino, Bd. 16, p.
Abhandlungen, Bd. n, p. 351.
Bern 1894.
4) Dissertation,
'
=
^(«-1)
(3)
reelle Xullstdle.
nämlich:
1881.
finden wir:
:
Analytiscbe Theorie der Ganamafunktion.
Erster Teil.
102
man
setzt
daher
a;
<
und
1
>
^(:r)
vor.ms, so leuchtet ein, daß
gleichzeitig
ß{x-2)>0
ß{x-l)<0,
muß; da nun vermöge
sein
(2),
< <
für
;r
1,
ß(x) sicher positiv
die vollständige Induktion unmittelbar den folgenden
ergibt
so
ist,
Satz:
Bedeutet n eine ganze, nicht negative Zahl,
so ist ß{x)
— 2 n <i x <i — 2n — 1 immer negativ, in
— 2n — 1 >ä;> — 2n — 2 dagegen immer positiv.
Was
eventuellen komplexen Nullstellen von ß{x) betrifft,
die
man:
setze
ß(t+iv)-Ä +
x^l^irj,
(5)
wo
in den
den Intervallen
Intervallen
t,
und
7],
A
und
B
sämtlich reell sind; dann folgt aus (1):
t
=
3C
^_vi=i):tt_±i)
« + i)' + n'
=
^
(6)
iB,
'
«
s=
ao
aus {!) geht aber deutlich hervor, daß, für
verschwinden kann;
Zeichen haben.
B
denn
und
ri
bestimmten Halhebene überhaupt
ist
die Ungleichung
^{x)'^
^ bestimmten Halbebene
ß(x)
=-
Th. Claußen^) hat in-
er näherungsweise zwei Nullsiellen der Gleichung (8):
i
0,6950,
x
= - 2,51 +
angibt.
p. 293—297;
334—336; 1849.
1)
Grunerts Archiv, Bd. 12,
2)
Ebenda, Bd.
13, p.
wirklich
1
komplexe Nullstelle besitzen kann.
+
in der
die Gleichung:
dessen nachgewiesen, daß diese Behauptung nicht stichhaltig
0,5794
--
dies für wahrscheinlich.
Schlömilch^) behauptet bewiesen zu haben, daß
=~
—
l'cine endliche Nullstelle.
'3i{x) -C
(8)
r]
müssen dann immer dasselbe
komplexe Nullstellen hat; doch halte ich
x
nur mit
mir nicht gelungen allgemein zu beweisen, daß ß(x)
durch die Ungleichung
keine
B
—,
Daraus ergibt sich der Satz-
Die Funktion ß {x) hat in der durch
Es
^^
1849.
i
0,63
ist,
indem
Kapitel
Vm.
Der Satz Ton Holder.
103
§ 41.
Kapitel Yin.
Der Satz von Holder.
§ 41.
HölderM
hat eine interessante negative Eigenschaft der Funk-
W(x
tionen r{x) und
dieser
beiden
leisten
kann.
Über eine Differenzengleichung
Hilfssatz.
entdeckt, indem er bewiesen hat, daß keine
einer algebraischen Gleichung Genüge
Der Satz von Holder kann sicher sehr beträchtlich
Funktionen
verallsemeinert Averden: wir wollen uns indessen hier auf eine der
einfachsten dieser Verallgemeinerungen beschränken, welche mit der
Mehrzahl der vorhergehenden Funktionen
in
sehr naher Verwandt-
aber sehr bemerkenswert, daß der Beweis von
Schaft steht.
Es
Holder auch
für diesen allgemeineren Fall beinahe wortgetreu an-
wendbar
ist
ist.
Um
nicht
folgende Darstellung
die
unterbrechen
zu müssen,
wollen wir zuerst, den folgenden Hilfssatz beweisen:
Die
lineare,
nicht homogene Differentialgleicliang mit konstanten
Koeffizienten:
^
(1)
«,
r-"'
•
(^)
= Ä{x +
c)
- lcA{x),
*=o
und a konstant sind, während A{x) eine in x rationale Funkkann keine rationale gebrochene Lösung besitzen, tvenn
A{x) nieht selbst gehrochen ist, und diese eventuelle gebrochene Lösung
uo
Je
tion bedeutet,
muß
dann immer unter der Form:
sich
R{x)
{2)
darstellen, tco
Da
das
= R,{x -f
o)
- kJi^{x)
Ri{x) wieder eine gebrocliene Funktion
vollständige
Integral
der
(1)
ist.
entsprechenden
genen Gleichung eine in x ganze transzendente Funktion
homoist,
so
kann kein Integral der vollständigen Gleichung (1) für einen endlichen Wert von x unendlich werden, wenn dies nicht mit Ä{x)
selbst
der Fall
ist,
so
brochene Funktion sein
Es
sei
nun
-Rj(a;)
Ä(x)
muß.
dass
also jedenfalls
eine rationale gebrochene
chung:
1)
Mathematische Annalen, Bd.
28, p. 1
— 13;
1886.
eine
rationale ge-
Lösung der
Glei-
104
Erster Teil.
Aualjtibche Theorie der Gammafuuktion
s
dann
a
ist
=m
weil die Koeffizienten a^ und die Parameter h und
sicher,
konstant sind:
=
Il{x)
A^ co)
Lösung von
eine rationale gebrochene
mögliche Lösung
B^ix
— liJR-^ix)
und daher auch
(1)
die einzig
welche (1) besitzen kann; denn die
Differenz zweier willkürlichen Lösungen von (1) ist ja immer eine
in
dieser Art,
X ganze transzendente Funktion.
Nach diesen Erörterungen betrachten wir nunmehr
homogene Differenzengleichung:
wo
+
q){x
(3)
a und
co
=
w)
a(p{x)
+
konstant sind, während B(x) eine in x gebrochene ratio-
R(x)
(4)
gebracht werden kann,
in
nicht
B{x),
nale Funktion bedeutet, welche niclit auf die
Funktion
die
x bedeutet.
==
aR^ (x)
— R^{x ^
Form:
(o)
wo R^(x) wieder eine gebrochene
Wir werden dann beweisen, daß
Lösung besitzen kann, welche
rei)zeugleichung (3) keine
rationale
die Diffe-
einer alge-
braischen Differentialgleichung genügt.
Zuerst bemerken wir,
hinreichende
Bedingung
daß die,
auch
(4)
wie wir später sehen werden,
notwendig
ist.
Zu
dem Ende
setzen wir:
R{x)
dann
= a R^ {x) —
-\-
co),
offenbar die rationale Funktion:
ist
(p{x)
eine
R^(x
= — 7?^ {x)
Lösung der entsprechenden Gleichung (3), und man hat eben
Lösung eine algebraische Differentialgleichung.
für diese
Den Beweis
des oben genannten allgemeinen Satzes führen wir
wir denken uns also, daß (p{x) eine Lösung von (3)
welche der algebraischen Differentialgleichung:
indirekt;
F^{X,
(5)
genügt,
(6)
wo
(f^,
(Pt,(p2,-
,(Pn)
=
der Kürze halber:
9^„ -- g^'"(^),
90
-^(^)
^
sei,
Der Satz von Holder.
Kapitel Vin.
zu setzen
ist,
die ähnlichen Bezeichnungen:
während wir später
(p'„
(7)
=
(p^"K^
105
§ 42.
+ «);
= "Pi^ +
9^0
«)
einfuhren wollen.
Die Differentialgleichung
meinen
daß
wir,
F^
(8)
auf die Form:
sie
^
+
Sl„^
ii^_, 4-
wo
gebracht werden kann,
(9)
Sl^
(fo,
sein
S
Bezeichnet
soll.
damit
eine algebraische sein;
soll
(5)
.
.
+
.
+
ß^
ßo
=
homogen von der
(fi,
Dimension
s*^'
in
, ^n
fP2,
Anzahl der überhaupt möglichen Lö-
die
simgen der unbestimmten Gleichung:
r„,,
(10)
wo
+ r,,, +
-f
.
.
.
+
r^,
= s,
ganze und nicht negative Zahlen bedeuten, so
die r
ß,
(11)
=^
9
WO
>•,,,
ist
demnach:
fp>* ,
A,^{x) fpl^'^f?''
=1
Funk-
die Koeffizienten Ä,^{x) rationale, ganze oder gebrochene,
tionen in X bedeuten, von welchen aber natürlich einige konstant
oder gar Null sein können.
In
gleich
ii„,
1
denken wir uns jedoch immer, daß einer der Koeffizienten
was ja offenbar erreicht werden kann, ohne die All-
ist,
gemeinheit der Gleichung (5) zu beschränken; wir setzen also:
g
<i„.= 9:o'^'>^''-
(12)
•
•
=N
9)>'"+^^^(2-)9'S°'>?'''
•
•
•
(JP«"'-.
9--
§ 42.
Unmöglielikeit der hypothetischen Gleichung
Wir gehen
also
2^,„
= 0.
von der im vorhergehenden Paragraphen
defi-
nierten hypothetischen Differentialgleichung:
F„Xx,
(1)
aus
(fo, (f,,
und setzen darin überall x
-j-
=
•,(f„)
(o
für x,
dann ergibt sich aus
den Definitionen § 41, (7) die neue Gleichung:
F^{x
(2)
+
(D,
qpo, qp;,
•
•
•,
(p„)
= 0.
Betrachten wir aber das Glied der m**" Dimension
P^{X)
= A(x)(p^'^(f'('
^1%
f^o
+
'^l
+
•
•
•
+
^n
=
»^,
so
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erster Teil.
106
man
erhält
P„.(a^
+
offenbar vermöge der Differenzengleichung § 41, (3):
=
«)
Ä{x
+
+ B^'^x))"^
'{a(p^"\x) + i2W(Ä:))«".
+
(o)(a(p(x)
R{x)yo(^a(p('\x)
•
und daraus:
(3)
wo
Pm(^)
- ci-'^'PJx +
co)
= {Ä(x) - Ä(x + a))K»9'i"
Hand
die übrigen Glieder rechter
Dimension
in
(p^,
der
, cp^ als
(p^,
•
•
•
9'?
+
•
'
•;
sämtlich von einer niedrigeren
w*"''
sein müssen, deren Koeffi-
zienten aber sämtlich in x rationale Funktionen sind.
Da nun
ist,
die rationale
unmöglich
daß das Glied
Funktion Ä{x), wenn
die additive Periode
co
Dimension rechter Hand
w**""
keine Konstante
sie
haben kann, so leuchtet
in
(3)
ein,
dann und nur
dann ausfallen kann, wenn der entsprechende Koeffizient Ä(x) eine
Konstante ist; das erste Glied in 5i,^ mit der Bezeichnung § 41, (12)
kann daher, wenn es der Transformation (3) unterworfen wird, sicher
kein Glied der
F^(x,
(4)
(fo,
Dimension
m^'^°^
9i,
•
•
•,
cpj
- a-"'
Glied
ein
der
F^{x
•
+
Form wie
welche offenbar von derselben
mindestens
neue Gleichung:
liefern; die
a,
cp'^,
cp\,
•
;
(1) selbst ist,
%,)
= 0,
muß
daher
Dimension weniger enthalten
w*®"
als
Fm =0.
Wir
nun in (4) einem Gliede der m^^^ Dimension
und wenden dieselbe Methode wie vorher an; auf
verschaffen
den Koeffizient
1
Weise fahren wir
diese
bis
fort,
wir eine Gleichung erhalten,
in
welcher die Glieder der w'®" Dimension sämtlich lionstante Koeffihaben.
zienten
liefert
(m—
Eine
dann sicher für
1)*^"
nochmalige Anwendung derselben Methode
eine algebraische Differentialgleichung
(p{x)
Grades:
Fm-x{^,
(5)
'Po,
fl,
,
9'n)
= 0.
Es kommt aber noch darauf an zu beweisen, daß
(5) keine formale
Identität sein kann.
Zu diesem Zwecke
P^{x)
(6)
wo
also
(7)
=
A
=A
betrachten wir das Glied:
•
(p'^.^cpl^
a«
9d;;",
eine Konstante bedeutet,
4 -^«^
4
=
•
^'^(^)
•
^'o"-
•
•
+
«^
+
•••
+
«„
=
m,
und finden:
ev9'?-V:;v---9'r +
-
Der Satz von Holder.
Kapitel YIQ.
wo
die übrigen Glieder rechter
Dimension
— 1)**°
der (m
als
Nimmt man nun
welche
diejenigen,
Hand
107
§ 42.
sämtlich von einer niedrigeren
sein müssen.
aus den möglichen Gliedern von der
durch
die
Transformation
(7)
das
Form
(6)
bestimmte
Produkt:
9>oV--ev<^"et^--9':»
(8)
können, so müssen diese Glieder offenbar aus (6) hervorgehen,
1 ersetzt, wobei
indem man dort or durch a -\- 1 und a^ durch «^
liefern
—
j)
Der vollständige Koeffizient des
von s verschieden sein muß.
Gliedes (8), welcher aus Gliedern der ;h^° Dimension hervorgehen
kann, wird daher:
s=n
^Jc^R^-^x),
(9)
*
wo
die l\
Konstanten
sind.
—
Aus den Gliedern (w
chung
F^ =
=o
kann
r/*^'
Dimension
bestimmte
das
Glied
formation (4) nur mit
dem
(10)
Ä{x)-a-^Ä(x
hervorgehen,
wo Ä(x)
Nun kann
der
aber nach
Ausdrücke
damit
ist
durch die Trans-
+ a})
von
ist.
dem oben bewiesenen
Hilfssatze die
Summe
und (10) unmöglich gleich Xull werden, und
(9)
nachgewiesen,
also
(8)
Koeffizienten:
eine rationale Funktion bedeutet, welche
expUzite unabhängig
JK(a;)
in unserer letzten Glei-
daß
die
neue
Gleichung i%„_i
=
keine formale Identität sein kann.
Diese neue Gleichung -F^,„_i=0 wird nun durch dieselbe Methode wie vorher reduziert, und so fährt man fort, bis man eine
Gleichimg von der Form:
«
=m
^c,-<p^^-*\x)
(11)
= Ä(x)
*=
erreicht hat,
wo
die
c^
sämtlich konstant sind, ä{x) aber eine in
x
rationale Funktion bedeutet.
Aus
man
(11) findet
aber durch eine letzte
Anwendung
Methode, daß:
=n
^
s
-
c,
iJC—)(a;)
= Ä{x-\-(o)-a- A(x)
unserer
108
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Erstej: Teil.
muß;
sein
und somit haben wir den
dies ist aber wieder unmöglicli,
folgenden Satz bewiesen:
Es
a und a zwei Konstanten, während R{x)
seien
Funldion
tionale gebrochene
wo Ri{x)
gebracht werden \kann,
deutet;
dann Imnn
q){x
Lösung
Jieine
wieder eine rationale Funldion
be-
die lineare Differenzengleichung:
(13)
gleicliimg
x ra-
= aR^ (x) — R^{xi-co)
R(x)
(12)
eine in
auf die Form:
bedeutet, welehe nicht
-\-
co)
= a(p{x) + R(x)
besitzen, ivelchc zugleich einer algebraischen Differential^
Genüge
Bedingung (12)
die
leistet;
ist
sowohl notwendig als
hinreichend.
Es
ist offenbar,
daß die derivierten Funktionen von cp(x) sämtwie (p{x) besitzen müssen; keine von ihnen
lich dieselbe Eigenschaft
kann einer algebraischen Differentialgleichung Genüge
...
§ 43.
Um
Über
die
r
f(p{x)dx
\
/
Punktionen J(p(x)dx und
die eben dargelegten Eigenschaften der
leisten.
e'
Funktion
cp(x)
mit
Erfolg auf r(x) und verwandte Funktionen anwenden zu können,
haben wir noch
von
die folgenden zwei Eigenschaften
(p(x) zu be-
weisen:
Wenn
1)
die
Funldion
und
(p(x)
ihre Derivierten
algebraische
Differentialgleichungen nicht befriedigen können, so hat die Funldion:
0(x) =J(p{x)dx
(1)
dieselbe Eigenschaft.
Wäre nämlich
müßte
dieselbe
die
solche
eine
Differentialgleichung
Funktion 0(x)
selbst
explizite
möglich,
enthalten
so
und
könnte demzufolge auf die Form gebracht werden:
S
(2)
WO
.
^™ (x)
-f
—
711
2
die Koeffizienten AJ^x^ in
rationale
x
selbst
Funktionen bedeuten, denn
0iP\x)
(3)
Differentiert
wegen
Ä^ (x) O"'
(3):
man
=
'
{x)
und
=
in (f{x),
es ist ja
(p^-'\x),
,
^)^'^^ix),
wegen
•
•
, (p^"\x)
(1):
p^l.
aber die Gleichung (2) nach
x,
so ergibt sich
Der Satz von Holder.
Kapitel VTO.
*
109
§ 43.
=m—1
2| ^^+-*- + (m-s)^.-<p(a;)]- ^-'-^(:r) = 0.
(4)
A,=^
1,
welche Gleichung ja offenbar keine formale Identität sein kann, weil
Die Gleichung
1)** Potenz von 0{x) nicht wegfallen kann.
die (»1
—
kann daher auf dieselbe Form wie (2) gebracht und ihr Grad in
0(x) in ähnlicher Weise erniedrigt werden: unsere Methode führt
uns daher zuletzt auf eine Gleichung von der Form:
(4)
H.)
(5)
=
°»+;'r.+^.
+ c, + o.^ +
.+;'-,;::"•
.
+ .,„-
oder auch:
^(x)
(6)
wo
die Koeffizienten a,
= Co + C19; +
in x,
h, c
•
.
+
-
c^g>%
9)^*^(a:), fp^^ipc)j
rationale
•
Funk-
tionen sind.
(6)
Eine Differentiation nach x zeigt aber direkt, daß die Gleichung
möglich seia kann; was die Gleichung (5) betrifft, so
nicht
schreiben wir sie in der Form:
=
^{x)
(7)
und bezeichnen durch einen
leitungen,
ordnet
dann
man
f+B
Strich
die
nach x genommenen Ab-
folgt aus (7):
aber die beiden Seiten von (8) nach
so leuchtet ein,
tp.
daß diese Gleichung keine formale Identität sein kann; daher
und somit auch
2)
Es
\2)
sei (p{x)
ist (7)
unmöglich.
dieselbe
Funktion
tcie
vorher,
dann hinn
aucJi
die andere Funktion:
-/'*"'"
ß(x)
(9)
keiner algebraischen Differentialgleichung genügen.
Denkt man
wäre, so könnte
sich nämlich,
sie
vermöge
daß eine solche Gleichung möglich
^^9)
und §
immer auf
16, (5), (6)
Form:
*
a-(a;)
(10)
gebracht werden,
wo
=m
+2
Ä,9J^-'{x)
die Koeffizienten
rationale Funktionen bedeuten.
=
A^ sämtlich
itt
die
110
Erster Teil.
Analytische Theorie der Gammafunktion.
Die Identität:
SlW(x)
(11)
zeigt aber,
wenn wir
(10) differentiieren, daß auch:
s
(12)
mil'^{x)(p{x)
= Sl(x)-(p{x)
=m
+^ [(m -
s)Ä^
(fix)
+
^f^'j
Sl"'-'{x)
=
4=1
muß;
sein
Sl"*(x),
man nunmehr
eliminiert
so erhält
man
2 (4t -
(^^'^
aus (10) und (12) die Potenz
die neue Gleichung:
^^^'
•
^'^
•
= 0,
^"'-'(^)
welche ebenfalls keine formale Identität sein kann; denn setzt
man
der Kürze halber:
A
=
^o
+ ^i'JpH
hCTpqP^
^
P^
so wird:
^^*
dx
QP-PQ'-sPQ
_ ^^^^^^ ^_
Qi
o
cp
und
hier kann der Zähler offenbar nicht identisch verschwinden; die
Unmöglichkeit der Gleichung (10) erweist sich dann durch eine Anwendung der gewöhnlichen Methode.
§ 44.
Anwendungen auf
die vorhergehenden Funktionen.
Als eine Anwendung der drei vorhergehenden Sätze wollen wir
nunmehr den folgenden speziellen Satz beweisen:
Keine der sechs Funldionen:
w{x), r{x),v{x), ^(:x),ß(x),B[l,
kann
einer algebraischen Differentialgleichung
Daß
man
W(x)
diese
Eigenschaft
besitzt,
I)
Genüge
ist
.
leisten.
einleuchtend,
denn
hat:
W{x-^l)=^(x) + ^,
und damit ist zugleich r{x) abgetan: dies
von Holder.
Gehen wir weiter von der Identität:
v(x)
= log X —
W(x)
ist
der eigentliche Satz
Der Satz von Holder.
Kapitel Vni.
Hl
U.
%
aus, so ergibt sich:
v(i)(a;)
womit
= -|-9rti)(ar),
obengenannte Eigenschaft für v{x) und daher auch für
die
denn aus der Definition:
fi(x) erwiesen ist;
tiix)
= log
rix)
-(x-^)logx + x- log y2^
weitere Identität:
fließt die
Was
die beiden letzten
Funktionen ß{x) und
B(—, yj
betrifit,
man:
so hat
ß{x
+
1)
= - ß(x) +
-^-
und:
^xlogB(f, |) = -^(^);
ist aber unser Satz vollkommen bewiesen.
Stadigh^) hat bemerkt, daß auch die Funktion:
damit
9»W-f(f) + ''(V^)
die obige Eigenschaft besitzt.
Dies
auch eine unmittelbare Folge
ist
unseres ersten allffemeineren Satzes: es
ist
nämlich nach einer
ein-
fachen Reduktion:
9)(a:
Es
ist
+
2)
= 9(^) + |- + ^4TStadigh beträchtZu dem Ende bezeichnen wir
übrigens offenbar, daß der Satz Ton
lich
verallgemeinert
mit
a,.
und
a^
werden kann.
willkürliche Konstanten,
während
die p^ rationale
Zahlen sind; dann kann keine der Funktionen:
r
=
l
r=n
{r{p,x + «,)^
[J
=
r
algebraischen
einer
gesetzt,
1)
daß
die
l
Differentialgleichung
Argumente {p^x
+
a^)
Dissertation, p. 32: Helsingfors 1902.
Genüge
nicht
leisten,
paarweise
voraus-
geordnet
Erster Teil.
112
Analytische Theorie der Gammafunktion.
werden können, so daß die Differenz
eine
Null
ganze Zahl
hat.
ist,
während
die
je
zweier solcher Argumente
entsprechende
a^,
die
Summe
,
Als Beispiele können die Funktionen B{x,y)
\mdt.
P{x,y),
als
Punktionen von x betrachtet, dienen; da die nach x genommene
Ableitung
von Q{x^
y)
keiner
algebraischen
Difierentialgleichung
genügen kann, so ist dies mit der Funktion &{x,
wenn wir © als Funktion von x betrachten.
y) selbst der Fall,
ZWEITER TEIL
BESTIMMTE INTEGRALE
Nielsen, Theorie der Gammafuuktion.
Kapitel IX.
Über die Integiralgattnng iS{x).
§ 45.
Wir
Fundamentaleigenscliaften des Integrals
wollen unsere Darstellung der bestimmten
SS(a:).
Integi^ale,
welche
der Theorie der Gammafunktion auftreten, mit einer kurzen
in
Untersuchung über eine Integralgattung einleiten, welche in verschiedeneu Problemen eine wichtige Rolle spielt und die Mehrzahl
der in der Theorie der Gammafunktion auftretenden Funktionen als
Spezialfälle enthält.
Zu dem Ende
setzen wir:
r=
(1)
wo
t
nun
positiv ist,
q>(t)
und wo logf
e^>«8',
als
reell
anzusehen
ist;
weiter
eine solche Funktion der positiven Veränderlichen
t,
sei
daß
das bestimmte geradlinige Integral:
^a(^)-ßm-^^t
(2)
a
mit der Definition (1)
wenn
heit,
fiir
jeden endlichen
Wert von
x\ konvergiert,
Größe bedeutet, welche von beliebiger Kleinaber doch angebbar ist; endlich soll es möglich sein, eine solche
<?
eine positive
positive Zahl d zu bestimmen,
daß das supplementäre Integral:
R„(x)=^f<p(t)f-^dt
(3)
der Bedingung:
i
iB„ix)\
(4)
Genüge
leistet, je
angenommen
>4
nachdem ^JT/i^O
wird, und
£
ist,
vorausgesetzt daß
6^6
eine vorgegebene positive Größe von be-
liebiger Kleinheit bedeutet.
8*
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
Il6
Unter diesen Voraussetzungen wollen wir nunmehr den folgenden
Satz beweisen:
Das
bestimmte geradlinige Integral:
1
^{^)-f<p(t)t^--'dt
(5)
ist
in
jedem endlichen PunJde der durch die
Ungleichung
9R(ä')
bestimmten Halbebene gleichmäßig konvergent, und die Funldion
ist in
dem
Man
eine in
x
analytische Funktion.
hat nämlich wegen (2) und (3):
^(x)
(6)
nun weiter x
es sei
^
so bestimmten Bereiche
>
33 (r/)
eine
=
in
«,(^)
^
+
B,(x)-
abgebildete Zahl, während g eine
wegen (2)
Ist umgekehrt x
und (4) auch das Integral ^(x
y) konvergent.
eine außer dem Bereiche ^ abgebildete Zahl während SR (?/) ^
endliche Zahl
bedeutet, so
daß 'Si(y)'^0
dann
ist,
ist
-\-
,
wird,
vorausgesetzt
während Bg{x
y) keinen Sinn hat, und somit
unseres Satzes bewiesen.
Was
die
+
konvergiert das Integral '^„{x
so
-\-
y)
sicher,
der erste Teil
ist
analytische Natur von ^(x) betrifft, so hat
man
fol-
gende drei Bedingungen zu untersuchen:
Die Eindeutigkeit von ^(x)
1)
in
diese Eigenschaft ist eine
^;
unmittelbare Folge der beiden Definitionen (1) und (5).
2) Die Stetigkeit von SS(rr) in ^; bezeichnen x und x
^
zwei in
abgebildete Zahlen, so
ist
für
^
>
(j
wegen
-\-
h
(1):
^^+''-1=^-^(1 -^h\ogt-K),
wo
K
endlich bleibt, wie klein auch
der Grenze 1 zustrebt,
^a(^
(7)
+
^0
wenn
-
angenommen
verschwindet; daher
|/i|
^o(^)
\h\
=
^*
•fKcp{t)t'^--' logt
wird,
und
ist:
dt',
11
weiter
ist
nach (4) möglich, 8 so klein zu wählen, daß:
es
\BXx-^h)\<E-\h\, \BXx)\<^-\h\
(8)
wird,
wo
£
eine vorgegebene
heit bedeutet, falls
Es
ist
nur 6
^
positive
Größe von beliebiger Klein-
ö angenommen wird.
demnach möglich,
'^Ji\
so klein zu wählen, daß:
\ß(xi-h)-^{x)\
beliebig klein
von
SS(a;)
angenommen werden
im Bereiche
^
darf,
nachgewiesen.
und somit
ist
die Stetigkeit
:
Über die Integralgattung »(x).
Kapitel IX.
117
§ 45.
Die Derivierte W^{x)'^ aus (7) und (8) folgt unmittelbar, daß
3)
der Grenzwert:
/«(-^
ita
endlich
X
-\- li
+ *) - g(^'-) _ s«)(^)
und bestimmt imd unabhängig von
^
beide im Bereiche
liegen;
man
li
wird, falls nur
findet aus (7)
und
x und
(8):
1
=/(p(0 log
SS^'^(a;)
(9)
man
Setzt
in (5):
c-^=t,
(10)
man
so erhält
^ff{z)e-''dz,
S?(a-)
es
ist
f{z), falls
(1), (2)
= f{z),
für SS(ic) das folgende geradlinige Integral:
(11)
und
^{e-^)
i" hU.
t
dann zu beachten, daß die Derivierten von (p{t) und
solche Fimktionen existieren, durch die Formeln § 27,
verbunden sein
müssen; aus (11)
findet
man
die
beiden
weiteren Integi-aldarstellungen:
y {^{x + iy) + mx - iy)) =-Je-''f{z) cos {zy)dz,
(12)
ü
^ («(^ +
(13)
wo
«»
-
also die zwei Zahlen
Es leuchtet
Integralgattung
- iy)) ==Je-''f{z) sin (^y)rf;?,
S?(a;
x
+
iy beide
im Bereiche
^
liegen müssen.
daß die eben hergeleiteten Eigenschaften der
ein,
SS(ic)
auch noch in den
folgenden beiden FäUen
richtig bleiben:
1) Ist
die
Bedingung
für
(4)
9?(j^)
man
^
oj
befriedigt,
i
^(^)
(14)
2)
Das
= «i(^ + (o)=f(pit)ir-i'-'dt
Integral (2)
ist
zwar divergent, das folgende:
1
f{ipit)f-'-f{0)dt
ist
aber konvergent, während f{t) der Bedingung:
!
a
<£
ffiß)dt
,
Genüge
leistet, falls
ö
<
I
6;
so
setzt
:
]
Bestimmte Integrale
Zweiter Teil.
18
das Integral:
1
U{x) ==f{(p{f)t^-
(15)
1
- f(jt))cU
hat dann dieselben Eigenschaften wie
Wir erwähnen noch den
SS(ic).
folgenden Spezialfall eines allgemeinen
Satzes von Lercli^):
Die
gleichung 9i
stellen
>
(a;)
Icann
35 (rr)
in
durch
der
bestimmten Halhebene nicht unendlich
welche eine arithmetische Beihe bilden,
besitzen,
Die Integralgattimg
verschwindet.
identisch
(p(t)
Funldion
analytische
'^(cc)
die
viele
UnNidl-
außer wenn
erlaubt somit
keine Nulldarstellung.
Wir können
indessen
sondern müssen
wiedergeben,
den
hier
Beweis
Satzes
dieses
nicht
Abhandlungen von Lerch
auf die
selbst hinweisen.
Integraldarstellungen von ^{x) ±'i8^(x)
§46.
Wir
nunmehr zwei
betrachten
Integrale
und
dei-
Sß(^)
•
$1\(ä;).
obenerwähnten
Gattung, nämlich:
(1)
_
^{x)=f(p(t)t'^-'dt,
1
^,(x)=ft(t)t--hlt-
(2)
ü
aus ihnen ergibt sich unmittelbar das neue Integral derselben Gattung:
1
^(x)±
(3)
Um
auch das Produkt
in (2) z:t statt
wo
eine
t
^,{x) -f{cp{t)
t
Sß (x)
±
SS^ (x)
t{t))r- hlt.
zu untersuchen, setzen wir
und erhalten so
positive
und bestimmte Größe bezeichnen muß;
setzen
wir aber ferner:
$8 {x)
(5)
so
darf das
1)
1903.
t
Rozpravy
in
I
=f(p (i)
(4)
t^-hlt+^ f(p (t) t^'-^dt,
mit demjenigen
Nr. 33, 1892 (böhmisch).
im
ersten
Integrale rechter
Acta Mathematica, Bd.
27, p. 347;
:
Über die Integralgattung
Kapitel IX.
Haud
in (5)
angenommen werden; somit
identisch
119
§ 46.
33 (x).
ergibt
sich
die
Formel:
«0
U
Anwendung
aus der unter
wenn
der Formel § 45, (4),
£
gegen Null
konvergiert
einem bekannten Satze zufolge^) kann man aber, wenn die
Fimktionen (f{t) und i^(^) abteiluugsweise stetig sind, das so erhaltene Doppelintegral auch folgendermaßen darstellen:
folgt;
«(rr)
.
S, (X) ^^Jz-- '{ft (I)
^dt) dz.
2
Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen:
Das Produkt zweier Integrale ^(x) und ^^(x)
die
FiinUionen
(p{t)
und ^(0 abteilungsweise
wenn
immer als
läßt sich,
stetig
sind,
Integral derselben Gattung:
1
^(x)-fß,{x)=fx(t)t'-'dt
(6)
darstellen,
wo
der
Kürze luüber:
,(0=/^.*(-^)rf.
(7)
t
worden
gesetzt
ist.
Die Funktion xit^
setzt
man
aber in (7) z
muß
=
offenbar in
t:u, so
cp
und
i'
symmetrisch sein;
folgt:
t
woraus die Symmetrie deutlich hervorgeht.
Unsere Integralgattiing 3${x) bildet also für die Addition, Subtraktion und Multiplikation eine in sieh geschlossene Gruppe.
Stolz, Grundzüge
Leipzig 1899, Teubner.
1)
der Differential-
und Integralrechnung, Bd. LQ;
120
BeBtimmte Integrale.
Zweiter Teil.
Will
aus
man
indem
(7),
45,(11) anwenden, so findet man
die Darstellung §
e~* statt
t
und c~'
statt z eingeführt
h{t)==^ff{d)g{X-z)dz,
(8)
wo
werden:
-fc
t
der Kürze halber:
m=
(9)
gesetzt
worden
§ 47.
Für
<p{e-'),
=
g(t)
t(e-%
h{t)
=
i{e-^)
ist.
Die Fundamentaloperationen der Analysis.
die durch das Integral:
1
^(x)=f<p(t)f'-'(U
(1)
im Bereiche
Sß definierte
analytische Funktion ^(x) haben wir schon
in § 45, (9) die Formel:
1
^^'\x)=f(p(t) log t-r-'dt
(2)
entwickelt;
somit bildet unsere Integralgattung
Differentiation
ist
eine in
sich
35 (a;)
auch für die
geschlossene Funktionengruppe.
Dies
aber im allgemeinen für die Integration nicht mehr der Fall,
denn wir können
leicht
Sind a und x
man
zivei
den folgenden Satz beweisen:
im Bereiche
^
abgebildete
Zahlen, so haim
einen solchen Integrationsweg einschlagen, daß:
(3)
S^(--)<^--P''K^-'^'
a
ist.
Betrachtet
man nämlich a
als eine feste
Konstante, so führt (2)
unmittelbar von (3) nach (1) zurück.
Wünscht man in (3) «
zu setzen, so lautet die notwendige
=
und hinreiishende Bedingung
dafür:
tf
"
(4)
s
f-/^,dt^O,
log
lim
^
+
t
'd
und man
findet in diesem Falle:
X
(5)
1
/«(^)^^=/^fT^^^^'
eine Formel, die auch
im Bereiche
^
anwendbar
ist.
Kapitel IX.
Über
die Integralgattung «(x).
man noch die Funktion
so muß die Funktion (p{x)
Will
grieren,
l
^
^
leisten;
und mau
i
findet in diesem Falle:
J^(x)dx~J^^-e-UU+K,
(7)
wo
inte-
J
«J=+o.
Genüge
nach x unbestimmt
35 (.r)
der Bedingung:
C^dt^O
log«
lim
(6)
—6—
121
§ 47.
K die
Um
willkürliche Integrationskonstante bezeichnet.
für die Integralformel (5) ein Beispiel zu geben, benutzen
wir die Identität:
1
L=Ct—^dt,
und
9fl(a;)>0
finden:
1
(8)
Formel kann
diese
dazu
das
dienen,
unbestimmte
Integral
von
wo 9)(1) = qp(l — 0) einen
Wert hat; man findet nämlich
3S(a;) in demjenigen Falle darzustellen,
endlichen und nicht
oszillierenden
dann zunächst:
1
CO J^{x)dx=K-\-cp{\)\o^x^J^^^^^f-'dt,
gi(.r)>0;
u
denn eine Differentiation nach o: führt unmittelbar von (9) auf
(I) zurück; aus (S) und (9) aber findet man ohne Mühe den Satz:
Ist
so ist
9(1)
= gj(l — 0)
eine endliche
umi
nicht oszillierende Größe,
im Bereiche ^:
ß(^)dX -
(10)
Will
man
die
nutzen, so findet
K +jW;±^ äl.
Darstellung § 45, (11)
man gemäß
(2)
und
des
Integrals
(3):
00
(II)
^^'\x)
(12)
J^ix) dx
= -ffit)te-^^dt,
=J
'~-^^^- mdt,
^{x)
be-
:
122
Bestimmte Integrale,
Zweiter Teil.
aus (4) und (5) aber:
^
CO
f^(x) dx
(13)
wo man
==
/'^-=|— mdt,
•
also:
D-\-E
ß*^
Hm
(14)
dt
=Q
voraussetzen muß, während (7) unter der Bedingung:
lim
(15)
e
f'^(x)dx
(16)
endlich findet
man
^ix)dx
wo man
also voraussetzen
oszillierende
§ 48.
Es
'^
[-0
Formel:
die analoge
liefert-,
fdt^O
f^
= 4-0, J
(5
Größe
= K-
f^^-e-'-dt
aus (10) die weitere Darstellung:
= ^ ^fMllzJA^Kldt,
muß, daß
Oj eine endliche
/"(-f
und nicht
ist.
Die Fundamentaloperationen der Differenzenrechnung.
ist
sehr bemerkenswert, daß uns die Fundamentaloperatiouen
der Dififerenzenrechnung,
d. h.
die Operationen:
= f(x + 1) - fix)
zi~^f(x) = g(x), wenn
zif(x)
zJg(x)
= f{x)
ist,
auf das Integral '^(x) angewendet, zu ähnlichen Resultaten führen
wie die Fundamentaloperationen der Analysis, Avas für analytische
Funktionen im allgemeinen nicht der Fall
Erstens findet
man ohne Mühe
die
ist.
Formel:
1
(1)
^^(x)=f(p(t)(t- i)r-'dt,
im ganzen Konvergenzbereiche
leicht die umgekehrte Formel
die
^
anwendbar
ist,
1
(2)
^-'^{x)=j\{t)-^^^dt^J{x),
und aus
ihr
Über die Integralgattung
Kapitel IX.
WO
J{x) der Periodizitätsbedingimg J{x
Wenn
Formel
die
Bedingung § 47,
(2) einfacher
+
1)
= J{x)
angenommen werden
sonst aber ganz willkürlich
erfüllt
(6)
123
§ 48.
35 (x).
Genüge
leistet,
darf.
ist,
so
läßt
sich
die
folgendermaßen darstellen:
1
J-'S&{x)
(3)
was offenbar dasselbe
oder,
von
die Definition
Jix)
ist:
s
denn
+
= -^^{x + s) + J(x)',
J- '^{x)
(4)
t^-'dt
=Jy3-^
=
ergibt unmittelbar die Identität:
33 (o;)
aus der wegen (3):
*
somit
folgt-,
ist es
=
möglich, eine positive ganze Zahl JV so zu be-
stimmen, daß der absolute Wert des Integrals rechter Hand in (5)
kleiner als f wird, wo e eine vorgegebene positive Größe von beKleinheit
liebiger
damit
ist
bedeutet,
wenn nur
n^N
vorausgesetzt wird;
aber die Formel (4) bewiesen.
die Formeln (3) und (4) einen Siun haben, nennen wir
Wenn
Funktion '^(x) siunmierhar.
die
Aus
der Identität:
1
m(x)>0
l^ff-^cH,
findet
man vermöge
der Definition §
5, (2)
von W(x), daß:
1
(6)
sein
^i^)=ßT-~t'
muß; somit
ist
W{x)
dt
als der
+
Jix),
m{x)>0
Logarithmus der Differenzenrech-
nung anzusehen.
In dem Falle, wo (p{l) = qp(l — 0)
Größe ist, findet man ohne Mühe:
eine endliche, nicht oszillierende
1
(7)
J-'^{j)
=
cp{l)Wix)
-^J^^^if^-^dt+Jix);
124
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
denn die Operation
führt
z/
zurück; aus (6) und (7) findet
j-'^{x)
(8)
von (7) auf die Definition von S8(ä')
man dann die einfachere DarsteUung:
=f^hz^MZl at + J{x),
welche derjenigen im § 47, (10) ganz ähnlich
ist.
Benutzt man die Integraldarstellung § 45, (11) für S8{x), so
ergeben sich aus (1) und (2) die entsprechenden Formeln:
CO
=
z]SS{x)
(9)
-ff\t)(l
- e-')e-^^dt,
CO
J-'SS{X) =^ff(t)
(10)
"^^
dt
+ J{x)
;
aus (3) folgt unter der Bedingung § 47, (15):
zl-m{x)
(11)
=
f~^—
*J
und
Formel
die
Da
das
Funktion
- fm£l,zm£^ at + j[.).
—
t/
von
^
licher
in
für
e
Binomialkoeffizientenentwicklung für
Integral
ist,
J(x\
folgendermaßen schreiben:
1
§ 49.
+
e-^^dt
1
(7) läßt sich
Z/-.SBW
(12)
e
so
eine
diese
'^(x)
kann
es
im Bereiche
offenbar in der
Taylorsche
^
'^(x).
in
x analytische
Umgebung
jedes Punktes
eine
Reihe entwickelt werden;
Funktionen gattung
sind
indessen
viel
natür-
Entwicklungen
nach Binomialkoeffizienten, die wir folgendermaßen herleiten können.
Wir betrachten die etwas allgemeinere Funktion § 45, (15):
1
\X{x)=f{q^{tW-^-fXt))dt,
(1)
wo
9f?(a;)
>
mialformel,
(2)
G3
falls
1
-
(1
[ 1
muß; n\m führt aber die Binoangenommen Avird, auf die Entwicklung:
vorausgesetzt werden
^ >
^
- t)-f-
1
=^ (-
1)^
f7
')
(1
-
0-',
Über
Kapitel IX.
wo
die Integralgattung «(x).
125
§ 49.
der Kürze halber:
(3)
j
i
worden
gesetzt
=
=
l,
«
V
1.2.3.-.S
/
ist.
Die unendliche Reihe rechter Hand in (2)
valle
l^/>0
nach
vorausgesetzt wird.\)
aber im Inter-
ist
nur
gliedweise integrierbar, falls
t
Ist
nun
>
weiter 9i(^)
l^^^O
(p(t)P in demselben Intervalle
(o,
so
ist die
integrierbar,
9i(a;)
>
Funktion
und
ein
be-
kannter Satz^) ergibt dann unmittelbar die Entwicklung:
U(a:+y)=^«Xy).(^7i),
(4)
wo
der Kürze halber:
1
(5)
«o(y)
-f{.^4.P-
mdt = U(y + 1)
und allgemeiner
«nU)
(6)
worden
gesetzt
Es
sei
= (- i):A'(o^''(i - 0"^^ = ^"ucy +
ist.
>
9?(i/)
1)
Damit ist der folgende Satz bewiesen:
Binomialist die Enhcicldimg nach
cOj dann
koeffisienten:
Vi{x)
(7)
in
=^^^n(y +
1)
.
(^
-^-
1)
jedem endlichen Punkte der durch die Ungleichung
9i(a:
— y)>0
bestimmten Halbd}ene konvergetit.
Falls
CO
^
ist,
man
so darf
in (7) y
so erhaltene Binomialkoeffizientenreihe
von X mit positiver
Was
untersucht worden
=
annehmen, und
für jeden endlichen
die
Wert
Komponente konvergent.
Reihe
betrifft,
welche schon von Stirling')
ist:
W(x)J^a,.[--^),
(8)
wo
reeller
die allgemeine
ist
die Koeffizienten a, sämtlich
der Grenzwert § 21, (2) ohne
1)
von x unabhängig
Mühe
sind, so ergibt
die beiden folgenden Sätze:
U. Dini, Grundlagen für eine Theorie der Funktionen einer veränder-
lichen reellen Größe, p. 523: Leipzig 1892, Teubner.
Dini,
Methodus
2) U.
loc. cit., p. 528.
3)
difiFerentialis.
London
1730.
Zweiter Teil.
126
Der Bereich
Ä.
der endliche
der
Bestimmte
Konvergenz der Reihe W(x)
ahsoluten
einer Halhebene,
Teil
Integrale.
ist
welche rechts von einer gewissen
geraden, auf der Achse der reellen Zahlen senkrecht stehenden Linie liegt
Wenn
B.
die
W{x)
Glieder der Beihe
für einen gewissen end-
Wert a von x sämtlich endlich sind, so ist diese Beihe sicher
unbedingt konvergent für jeden endlichen Wert von x, welcher der
1 Genüge leistet.
Bedingung 9i(a; — a)
lichen
>
Um
die
die
Fundamentaloperationen
der Differenzenrechnung
auf
Reihe (8) anzuwenden, gehen wir von der elementaren Identität:
(:)-f7') + («=;)
(«)
aus und finden so unmittelbar die Formel:
-^^(^)=2^«..rf 7')'
(10)
im ganzen Konvergenzbereiche von W{oc) anwendbar ist.
Ebenso leicht findet man die entsprechende umgekehrte Formel:
welche
^-'W(x)=^a,{^;^~';^^J{x),
(11)
.s==U
die ebenfalls
J{x)
im obengenannten Bereiche anwendbar ist, und
J{x + 1) = J{x) Genüge
Periodizitätsbedingung
der
sonst aber ganz willkürlich
angenommen werden
in der
leistet,
darf.
Die Fundamentaloperationen der Analysis führen auf
viel
kom-
pliziertere Resultate.
Da
selben
das Produkt zweier Integrale SS(^) wieder ein Integral der-
Gattung wird, so leuchtet
entsprechenden
daß das Produkt der zwei
ein,
wieder
Binomialkoeffizientenreihen
in
eine
solche
Reihe entwickelt werden kann.^)
Für
die Koeffizienten a^ der
Reihe (8) wollen wir jetzt den
fol-
genden Satz beweisen:
Konvergiert die Beihe (8) für
9i (^)
^
1,
so ist allgemein
a„=z/»ir(l).
(12)
Setzt
man
in (8) nacheinander
a?
=
1, 2, 3, 4,
•
•
•,
so führt die
vollständige Induktion in der Tat unmittelbar zu (12).
Wir haben
1)
Man
endlich zu bemerken, daß die Reihen von der
vergleiche meine
demia dei Lincei vom
4.
Abhandlung
Dez. 1904,
in Rendiconti
della
Form
Reale Acca-
:
:
Kapitel IX.
tber die Integralgattung $(x).
man
(8) NuUenticicklungen gestatten;
127
§ 50.
hat bekanntlich vermöge der
Binomialformel
«=»
= il-ir-'=^(-l)f-'), m(x)>l;
(13)
über
im
Nullentwicklungen
diese
Pincherle^)
hat
allgemeinen
einen interessanten Satz bewiesen.
Pincherle^) hat mir auch
Bedingung
mitgeteilt, welcher
eine Reihe
von der Form
Bedingung
zeigt,
das
die
die
eine
notwendige und hinreichende
Funktion genügen muß,
(8) entwickelt
um
werden zu können.
in
Diese
vorhergehenden Integralgattungen ^{x)
und Vi{x) nur SpeziaifäUe solcher Funktionen darstellen.
Partialbruchentwicklung für
§ 50.
Über
die Reihenentwicklungen
von
S!?(j)
5ß(x).
wollen wir noch den
folgenden spezielleren Satz beweisen:
Es
im Luiern des Kreises
sei (p(t)
^=
1
regulär
uml
die zu-
geJiörige Potenzreihe
(p(t)
(1)
gliediceise
von
f
=
= «0 + «1^ + «2^' + «3^ +
= \ integrierhar dann
bis
•
t
•
•
,
Imt
man
die Ent-
tvicklung:
SB(x)
(2)
= °^ +
J- + -^-^+^3 +
...,
welche in der ganzen unendlichen x-Ebene außer den einfachen Polen
konvergiert.
Die obengenannten Bediyigungen sind
sotcohl hinreichend
als notwendig.
Den Voraussetzungen
>b
konvergent; setzt
wo X weder
so hat man
man
zufolge
ist
die Reihe:
=Y+Y+Y+T+
daher
gleich Null noch
eine negative ganze
darf,
offenbar:
g-g.=(^-i)-2' (.+iK;+.)
(3)
Zahl sein
>
*=0
1)
demia
Man
vergleiche seine
Abhandlung
dei Lincei für 1902, p. 420
2) In
ff.
einem Briefe vom U. April 1904.
in
Rendiconti della R«ale Acca-
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
128
und
uns nur noch übrig, die Konvergenz der Reihe (3)
bleibt
es
nachzuweisen.
Setzen wir zu diesem Zwecke x
=
a
-\-
wo a und ß
iß,
reell
sind, so finden wir:
^
1
x-^
die
Zahlen
s
g 4{cc-\-
iß
s
sf 4-
a^ sind daher,
ß^
(cc
-\-
sy
+ f^
^
.
^'
für hinlänglich große
^
s,
*' ^'
sämtlich positiv
und wachsen beständig mit s, während die Zahlen ß^ sämtlich dasselbe Zeichen haben, und es ist für hinlänglich große s:
\ßs+i\<\ßA'.
man noch:
setzt
Ö^*
wo
und
a'g
a'J
konvergent
liche
wieder
ist,
so
=
reell sind,
zeigt ein
Ö^^
+ ^'<;
und beachtet man, daß
Lemma von AbeP),
Reihe
die
daß die
S
unend-
Reihe rechter Hand in (3) in vier andere zerlegt werden kann,
Die Reihe S^ ist daher gleichfalls kon-
die sämtlich konvergieren.
Somit
vergent.
ist
unser Satz eine unmittelbare Folge der Gesetz-
mäßigkeit einer gliedweisen Integration der unendlichen Reihe ^):
,i(z=<x
4
§ 51.
Anwendungen auf
=
die Funktion
3S(a?)
=—
•
Als Beispiel der vorhergehenden Theorie wollen wir das einfachste Integral der Gattung ^(x), nämlich:
untersuchen.
Zunächst ergibt eine Anwendung von § 47, (3) die von Euler^)
herrührende Formel:
ü
wo man sowohl 9R(a;) > als 9ft(«/) >
findet man dann ohne Mühe die beiden
voraussetzen
muß; aus
(2)
weiteren Formeln:
U. Dini, Grundlagen, pp. 135, 523.
Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, Bd.
1) 2)
3)
1775.
19, pp. 70, 79; (1774)
Institutiones calculi integralis, Bd. IV, p. 264; 1794.
Über die integralgattung
Kapitel IX.
129
§ 51.
8S(t).
welche uns späterhin sehr nützlich sein werden.
Setzt
mau
in [2)
y
=
1,
a-
= re**,
wo
r positiv
ist,
wahrend
der reelle Winkel 6 der Bediuomng:
-Y<0<+~
genügen muß, so erhält man die Formeln:
/K.\
/V— e"""" *®
1
log r
(5)
COS (frsinö)
^
^
=J
,^
dt,
u
«sin
(t
sin
^^J.—
(6)
es ist bemerkenswert, daß
ganz unabhängig
einsieht,
wenn man
Die Formel
die
während
ist,
fr
=z
6)^^.
Funktion linker Hand in (5) Ton B
aus (0) wegfällt, was man leicht
;•
einfülirt.
2) liefert für
x
=
1
e*®
-|-
und y
=
1,
wo
6 der-
selben Bedingung wie vorher genügt, noch die weiteren Formeln:
log(2 cos y)
(7)
= / ^~^
e-'
«»^
f
•
cos
(^
sin Ö)rfö,
ar
y =J ^-^'
(8)
Wir kehren nunmehr
und finden gemäß
(10)
•
c- '«>««. sin
(^ sin
ö)dö.
zu den Formeln § 45, (12), (13) zurück
(1), daß:
-^,=Je-"- sin lity)dt
Xielson, Theorie der Canuuafaoktion.
9
sein
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
130
muß, vorausgesetzt daß 9^(x
Integration nach y von
bis
+ «^) >
angenommen wird;
die
y ergibt dann:
00
(U)
avctg(f)=J'?^M..-"<?^
iiog(i+i;)^/'--^^<'?)..-",«,
(12)
wo man wiederum
nehmen muß.
9^(ic
+ iy) >
Integriert
und
noch
in (12)
man dagegen nach
bis X, so ergeben sich die beiden ähnlichen
9fi(a;)
>
an-
und zwar von
x,
Formeln:
00
I log (i + f) -ß~-p-
(13)
arc tg
(14)
wo y
als reell
anzusehen
(j)
ist,
=J
-~/
<^^' ify)^^i>
sin {ty)
während überdies
d t,
9fl(a;)
>
angenommen
werden muß.
*
Setzt
man
speziell in (12)
^\og
(15)
während
2
und (13) x
= y,
^ß^fUt=ß-^-
die Addition der beiden
so folgt'
cos
t
dt,
Formeln (11) und (14) folgende
rühmte Integraldarstellung von Euler
be-
liefert:
00
^.sgny^f^ät;
(16)
Funktionen in den Formeln (11) bis
(14) sind sämtlich so zu bestimmen, daß sie mit y verschwinden-,
in (16) ist sgn (signum) die Bezeichnung von Kronecker für das
denn
die unendlich vieldeutigen
Vorzeichen der reellen Zahl
y.
Eine Anwendung der allgemeinen Formel § 49,
für y =
die spezielle Entwicklung:
(7) ergibt endlich
welche für jeden endlichen Wert von x mit positiven reellen
ponenten konvergiert.
Kom-
:
Kapitel X.
Das
erste Eulersche Integral.
131
§ 52.
Kapitel X.
Das erste Eulersche Integral.
§ 52.
Bestimmung des
Integrals
(
—
•
|
Nach Legendre wollen wir das folgende von Euler^)
her-
rührende bestimmte Integral:
1
(^f)=ff-'{l~if^)^-'dt,
(1)
wo
^{x),
und 9?(a) sämtlich
'3i(y)
positiv sein müssen, als das erste
Eulersche Integral bezeichnen.
Um
1^
<
1
den Wert von {—\ zu bestimmen, gehen wir von der für
anwendbaren Entwicklung:
^-\i -t^y
(2)
=
V {-
1/( «
#=0
ans;
Hand
"in
[
^«'+^-1
/
t=0
von
bis
t=l
der
dann das Resultat
2) liefert
J(-i).(f;'j.-^.i.f(i-|,^,^+i,i);
(3)
nun
\
eine formale gliedweise Integration
unendlichen Reihe rechter
I
ist
aber die
Reihe rechter Hand
angegebenen Bedingunoren im Intervalle
grierbar,
und
die
Reihen
(3)
sind
in
unter
(2)
< <
^
wegen §
1
den vorher
crliedweise
22, (2)
inte-
konvergent.
Ein bekannter Satz ergibt daher die Formel^):
welche schon von Euler^j gefunden worden
1)
Comment. Acad.
Taurinensia, Bd.
Bd. 16, p.
3, p.
91— 139;
ist.
36—57; (1730—31)1738. Miscellanea
1766. Novi Comment. Acad. Petrop.,
Nova Acta
p. 115—154; (1774) 1775.
Petrop., Bd. 5, p.
156— 177; (1762— 65)
(1771) 1772.
Bd. 19,
Academiae Petropolitanae, Bd. ö, p. 86— 129; 1787j 1789. Bd. 8, pp. 3— 14,
15—31, 32—68; (1790) 1794. Institutiones calculi integraUs, Bd. I, p. 213 247,
Bd. IV, p. 78—354.
2) U. Dini, Grundlagen, p. 523.
3) Nova Acta Academiae Petropolitanae, Bd. 5, p. 114; (1787) 1789.
—
9*
—
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
l32
Eine Anwendung von § 22, 10
nun
liefert
für
(
)
unmittelbar
den folgenden endlichen Ausdruck durch Gammafunktionen
oder,
was offenbar dasselbe
so daß
sich das Integral
(
ist:
—
auf eine Betafunktion reduziert.
j
Die Formel (5) war auch, wenigstens in spezielleren Fällen,
Euler^) bekannt; allgemeiner ist sie von Legend re^) angegeben,
während sie vollständig zuerst von Poissons)^ später von Jacobi^)
hergeleitet
worden
ist.
Eine Anwendung der gewöhnlichen Produktdarstellung für r{x)
gibt für
(
—
]
vermöge
Entwicklung:
(5) die
S=^ CO
w
xy
\y/
l1
s
=
{x
-\-
{y -^ as)'
as)
l
man ebenfalls Euler^) verdankt.
Wir wollen hier noch eine direkte Anwendung
welche
mitteilen.
Setzen wir in dieser Formel
t
= e~\
{fl=Je-^{l-e-'^y
(8)
der Formel (1)
so erhalten wir:
dz;
aus der Identität:
Bin (ty)
=
^.
folgt daher unmittelbar die andere:
/e-*^ (sin tyydt
(9)
Novi
1)
2)
p.
- e-^^ydt,
{2i)-' i e-^''-v'''^'{l
Commentarii Academiae Petropolitanae
Institutiones calc.
1772.
=
^
Memoires de
int.,
,
Bd. 16,
p.
l'Institut 1809, p. 416.
Exercices de calcul integral, Bd.
279; 1811.
4)
Journal de l'Ecole Polyteciinique, cahier 19,
Journal für Mathematik, Bd. 11, p. 307.
5)
Miscellanea Taurinensia, Bd.
3)
109; (1771)
Bd. IV, p. 93.
3, p.
p. 404.
156; (1762—1765) 1766.
I,
Das
Kapitel X.
wo man
also
vermöge
(5):
erste Eulersche Integral.
—
>
133
§ 53.
>
und 'iR(x
ijzi)
auuehmen muß. Eiue
^(yi)
Yergleichung der Formeln (1) und (9) ergibt dann unmittelbar
"^
j e-''sm{tyrdt==
(10)
Lobatschewsky*)
eine Formel, die von
§ 53.
herrührt.
Integraldarstellungen für die Betafunktion.
Die Formel § 52, (5) zeigt deutlich, daß die Allgemeinheit der
Funktion
(
—
I
nicht
durch
die
Annahme
a
=
1
beschränkt
Annahmen über
Nichtsdestoweniger haben verschiedene
a in der älteren Literatur über die Betafunktion
sammlungen
Wir
geliefert;
wollen
Funktion
(
man
—
)
vergleiche
z.
auf diese nur
indessen
verzichten
und setzen
die
Werte von
ganze
B. die Arbeiten
wird.
Formel-
von Euler.-)
scheinbare Allgemeinheit der
einfach:
1
W
T$^rl^~'^^~*^~'^*'
Ans
dieser
?R(x)>0, g?(y)>0.
Formel kann man mehrere andere
herleiten,
welche
uns in den Anwendungen häufig nützlich sein werden; wir wollen
hier die wichtigsten dieser
1) Setzt
wegen
man im
Umformungen der Formel
folgenden Integrale
(1) die ähnliche
t
= Y^,
(1)
so
mitteilen.
erhält
man
Formel:
1
(2)
Jt'-\l-ty-'dt^\-^^^, ^{x)>0,^{y)>0;
indem man
i
=
sin
cp
einführt, ergibt sich daraus:
y
2) Transformiert
tution
^
= tg-qr,
m;m
so erhält
das folgende Integral durch
man wegen
1)
Memoires de Kasan 1835,
2)
Man
vergleiche
integraUs, Bd. IV.
die Substi-
(3) die Formel:
p. 211.
die Zitate
,
p.
131
,
namentlich Institutiones
calculi
134
Zweiter Teil.
und daraus, indem man
t
Bestimmte Integrale.
= ^^
einführt, die weitere Formel:
CO
3iW>0,
I^^.'^'-^-W^,'
(5)
3) Eine andere
Formel
indem mau
entsteht,
1
00
3i(../)>0.
in (4):
GO
1
einführt
und
Transformation
dann
t
=
das
1
:
letzte
Integral
rechter
2 umformt; dadurch findet
Hand
durch die
man:
1
Die Formeln (4) und (6) rühren schon von Euler
her; aus
i)
man unter Zuhilfenahme von § (6), (5) die von Legendre^)
bemerkte speziellere Formel:
(6) findet
1
Setzt
man
endlich in (6)
—z
= j^_r^,
1
t
so findet
man
mit Binet^),
daß:
1
(8)
r{x-\-y)
sein
muß;
natürlich
muß man auch
hier
^{x)>0,
^(y)
>
an-
nehmen.
Nach
wollen
diesen
Umformungen
wir nunmehr einige
des
ersten
interessante
Eulersehen
Spezialfälle
Integrals
desselben be-
trachten.
1)
Novi Comment. Acad. Petrop., Bd.
G,
p.
118; 1761.
Institiones calculi
integralis, Bd. IV, pp. 353, 354.
2)
3)
Exercices de calcul integral, Bd II, p. 159; 1817.
Journal de l'Ecole Poljtechnique, cahier 27, p. 133; 1839.
:
man
1) Setzt
in (1)
y
=
eine positive ganze Zahl be-
wo n
n,
135
§ 53.
erste Eulersche Integral.
Das
Kapitel X.
deutet, so wird:
1
^^>'
+
x(x
1)
•
•
•
(a;
+n-
J
1)
daraus ergibt sich für die in §
Intesraldarstelluncr
^
°
3, (7)
'
definierte
^
^
Fuuktion
die
f^„(jr)
1
= n'-Jt-\i - ty-'dt-,
'^„{x)
(10)
^
^
somit ergibt die Transformation
t
=
nz
die schöne Formel:
n
g.w-/«'-'(i-ir''". 9*w>0'
(11)
welche von Gauß^) bemerkt worden
ist.
Formel § 4, (6) für das Produkt r{x)r{l—x)
ergibt endlich vermöge (1), (4) und (6) die spezielleren Formeln:
2) Die Eulersche
i
-')-'<"'
(12)
srb=/«'-^i
(13)
^
'
-^-ff^t^i>
Bin itx
^
1 -\-
o<9J(.0<i,
0<gi(a;)<l,
t
1
welche sämtlich von Enler') herrühren.
Die Substitution y
Zahl bedeutet,
liefert
= ti-{-l—x,won
vermöge
und
(1)
eine ganze, nicht negative
(4)
die
noch allgemeineren
Formeln:
1
(16)
(16)
^
>'
/p-Vl - ty-'dt =
r_il:l_rfi
!
J
r>
(14.«)« +
Comment.
Ausgabe,
2)
t^
.(--•),
= fc:iiJ'.(^-i\
sinrrx
»
< 9S(x) < « +
1,
0<9t(x)<n-fl,
/
V
Gotting., Bd. 2, p. 32; 1812.
Werke, Bd. UI,
p. 151.
Deutsche
p. 39.
Miscellanea Berolinensia, Bd.
PetropoUtanae 1777
II, p.
36; 1780.
7,
pp. 99, 151, 155; 1743.
Ebenda 17841, pp.
tntiones calculi integralis, Bd. IV, p. 123.
Acta Academiae
23, 35, 102: 1784.
Insti-
-
Zweiter Teil.
136
Bestimmte Integrale.
Endlich integrieren wir in (14) nach x von
halten dann ohne
Mühe
log tg
(17)
Anwendung
Zahlenwerte ri
x und
er-
0<SRW<1.
des
—
bis
Formel von Euler^):
f -J"^- C;,
Als eine weitere
wir die
weitere
Die Zahlenwerte r(|-) und r(-|)
§ 54.
wollen
die
---
)
ersten
und r\~\
•
Eulerschen
,
wo p und
Integrals
q ganze
Zahlen bedeuten^ welche so zu wählen sind, daß die Nenner in den
Argumenten größer
2 werden,
als
auf volle
elliptische
Integrale
reduzieren.
Zu diesem Zwecke gehen wir mit Gauß^) von dem folgenden
Spezialfall des ersten
Eulerschen
J(«,/3)=
(1)
oder auch wegen §
Integrals
(— j
/-^.-.r7^=
aus:
^^^
6, (5):
2«
(2)
Die
Annahme a
^
J(«, ^)
_
=
=4
1,
ß
ergibt
dann
erstens:
-(^.^)-^#^^
'\
.
zweitens
ist
aber:
-(iMI) =
.
(4)
^ ^
T^— = ->^
Sin
4
und somit sind
die
beiden Zahlen werte J^(x) ^^^^
-^(t) ^^^ ^^^
1) Novi Commentarii Aeademiae Petropolitanae, Bd. 19,
Acta Acad. Petrop. 1777 II, p. 46; 1780. Institutiones ciilculi
p. 86; (1774) 1775.
integralis,
Bd. IV,
p. 123.
2)
Comment.
gabe, p. 38.
Gotting., Bd.
2, p. 31.
Werke, Bd.
III, p.
150.
Deutsche Aus-
Kapitel X.
Das
erste Eulersche Integral.
volle elliptische Integral «7(1, 4) reduziert; dies Resultat
Euler') bekannt.
Wir bemerken, daß
137
§ 54.
war schon
das Integral e7(l, 4) mit der
Rektifikation der Lemniskate in sehr naher Verbindung steht.
Nachdem
r(—j und i^(x) bestimmt worden
die Zahlen werte
=
=
sind, setzen wir in (2)
a
(5)
«^(1,8)= ^ ^^^^
ß
1,
S- daraus folgt:
J5
2
und somit zeigen
die Formeln:
=2^>^^(l)^
(6)
^(1)^(1)
(7)
r (1)^(1) =
(8)
^(1)^(1)
T^-
= T^>
8
daß die
vier
Integrale J(l, 4)
und J{1,
a =
1,
ist
/3
3 und finden somit:
aber:
^(3)^(3)-
(10)
=
^''^'^'^
J{l,S)
nun
die
werden können.
8) reduziert
Weiter setzen wir in (2)
(9)
und r(~^ auf
Zahlenwerte r(^], r(|-), r(|-)
J.-y^'
3
und somit erhalten wir wegen
(9):
J(l,3)--M_,
(")
2
3
so
;
2
daß r'fy) und -Tiy) auf das Integral J{1, 3) reduziert werden
1)
Miscellanea Taurinensia, Bd.
3,
1762—1763.
p.
172—174; 1765.
:
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
138
können; aus den Formeln:
^(l)f(i)-2^-V«- f(y).
(12)
r(|)r(|)
(13)
= -'V = 2.
sm —
6
reduziert
J(l,
man dann auch r{
und
-)
i^j-^)
auf dasselbe Integral
3).
Endlich setzen wir in
(2)
=
a
ß
1,
=
12 und erhalten somit:
2
- -\
J(l, 12)
(14)
rl^
26.
unter Zuhilfenahme der drei Formeln
^hV)r(-:i)-~
(15)
'"=12
(16)
^(TV)r^(i^-)
(")
i^(l^)rl
12/
\
können wir
r(—
)
auf die beiden Integrale
Hinblick
auf
die
die
/
.
5ä
Zahlenwerte ri-.-), ^("t^/j ^\
also die vier
Legendre^) hat
im
12
= 2«-V^-r(|),
t7(l, 3)
Integrale
^^^^^
)
und J(l, 12) reduzieren.
^(1, 3), J{^, ^)
vorhergehenden
elliptische Integrale reduziert;
io
"^d
Anwendungen
^7(1,
auf
12)
volle
später hat Glaisher^) die oben her-
geleiteten Resultate wiedergefunden.
Über die Reduktion von J(l, 3) auf elliptische Integrale durch
Änderung des Integrationsweges kann man die Arbeit von Bigler"')
oder das Büchlein von Graf*) vergleichen.
1)
p.
Traite des
381—388; Paris
fonctions ellii3tiques et des integrales Euleriennes, Bd.
II,
1826.
27—47;
2)
Messenger
3)
Journal für Mathematik, Bd. 102,
4)
Einleitung in die Theorie der öammafunktion,
(2),
Bd. 24,
p.
18',i4.
p.
237—254;
1887.
p.
20
— 28;
Bern
18'J4.
Das
Kapitel X.
erste Exilersche Integral.
Die Entwicklungskoeffizienten b^ und
§ 55.
Anwendung
Als letzte
des ersten
139
§ 55.
des
/3„
§
17.
Eulerschen Integrals woUen
wir hier noch die in § 17 eingeführten Entwieklungskoeffizieuten
und /3 d. h. die Koeffizienten der beiden Potenzreihen:
b
,
Y ^(^'
(1)
a;
(2)
als
1)
•
.
5(|,
=
+ \^ + h^' + M' +
^0
Das
Euler sehe
erste
I^i
= ^0 + ßi^ + ßi^' + ßz^' + •••.
-[)
bestimmte Integrale und unendliche Reihen
möge
•••,
<1
I^!<
2
darstellen.
Integral ergibt nämlich unmittelbar ver-
(1):
jn^-t^-^'dt=^b,-x',
(3)
s
WO man
also
a*
j
i
<1
=
muß; aus
voraussetzen
(3) findet
man
aber
die Integraldarstellung:
rt
T
1
»!&,
(4)
=f^^
dt
=J(log
sin g>ydg>;
'
somit
liefert die
unt«r
Anwendung
Potenzreihe:
der bekannten Integralformel:
1
ff-'i}ogiydt
(5)
wo
/•
ganze
eine
= ^^^,
9i(^)>0,
und nicht negative Zahl bedeutet, für
b^
den
Ausdruck:
/R\
(6)
(
(-
1
.ni
lrfe„
=
'-^
1
1
+2
s
Da nun
1
,
offenbar
=
3-5 •••(2s—
2.4^6.^.2.
/
1)
•
1
X' +
i
(27+1)
•
\
in
(2)
/3q
=
2
sein
muß,
so
folgt
Formel:
/(_i__iW-.rf,.i-.ß(i,±)_l
\2
2/
X
2
j
v|/i-
1»
;
'
aus der
,
140
Bestimmte Integrale,
Zweiter Teil.
die Aveitere Identität:
-i)r--ag=- >'p,
i-.r
2
-,
+
^f(yh-'~'y'-''"-2>''
=
(7)
1
,,^—-
(
s
und aus
Q
Methode wie vorher:
ihr durch dieselbe
(«-lM = 2/(^b-0
n-1
(logt)
dt
=
(8)
-
Ctg
'2
=
,1
(9)
>.
;
-^
Die Formeln § 17,
{log sin (py-hJ(p
a>
^V
r_n"-MF« =9
^
i.3 -t6-- .(2g-l )
2.4.6.-- 2s
(7), (8)
/J^\n
\2s/
ermöglichen uns
also, die
bestimmten
und (8) und die numerischen Reihen in (6) und
Wir er(9) als ganze Polynome der Summen 6^ darzustellen.
wähnen z. B. die Formeln von Euler^):
Integrale in
(4)
2
„
•
log 2
=—
I
log sin (pdcp
=
(10)
= +
^
1
man
welche
aus (4) für
1+2"
(u)
1.3.5.
2
•
4
..
6
n
^V
=
(2s—
l-3-5---(2s-l)
2
1 findet,
1)
•
•
•
4-
(2s)
6- ••(2s)
und
1
Y
'
die ähnliche Formel:
U+iT - -^ + f (!"« 2)%
welche
von Besgue^) bemerkt worden
(6) für
n
=
/
V2S-J-1/
ist;
sie
geht oflFenbar aus
2 hervor.
§ 56.
Allgemeine Integraldarstellung für B(x,
y).
W
einen geschlossenen Integrationsweg,
Wir bezeichnen mit
welcher, vom Punkte — 1 ausgehend und sich unter der Achse der
reellen
1)
2)
Zahlen hinziehend, den Ursprung rechtläufig umgeht
und
Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, Bd. 14, p. 167; (1769) 1770.
Journal de Mathcmatiques (2), Bd. 5, p. 367—368; 1860.
:
.
Das
Kapitel X.
erste Eulersche Integral.
141
§ 56.
danach oberhalb der Achse der reellen Zahlen wieder zu dem An-
—
fangspunkt
1
zurückkehrt, ohne jemals sich selbst zu schneiden.
Auf Grund
dieser
Bestimmung ron TF wollen wir nunmehr
das folgende Integral:
ü=ft-'(i
w
(1)
+ ty-^dt
Es ist daun erstens offenbar, daß die Konvergenz von
Bedingung 9?(j/i>0 erfordert: zweitens leuchtet ein, daß U
untersuchen.
U
die
x ganze transzendente Funktion
eine in
darstellen
muß, welche
in
den Punkten
= 0, -
r
1,
- 2, - 3, - 4,
.
.
Werte von x hat
rende Funktion keine Singularität in dem von
Nullstellen hat; denn für diese
zu integrie-
die
W
umschlossenen
Bereiche.
Nach
9J (x)
<
1,
gehen darf; damit reduziert sich
und von
wo
u
denken
diesen Auseinandersetzungen
so daß der Integrationsweg durch den
bis
eine
—
1.
Von
positive
^
reelle
=—
W auf
1
uns
wir
Punkt
t
=
von
die Strecken
ausgehend, setzen wir
Größe bedeutet, und
vorläufig
hindurch-
t
—
1
=
u
erhalten
bis
e~**,
•
so
die
Formel:
1
1
ü= e^" -/^"'(l — ty~^(it - e""' •/'"'(! — i^'^dt,
(2)
wo
also
findet
man
beiden Integrale geradlinig zu nehmen sind;
aber vermöge § 53,
U= 2i sin stx
(3)
sein
die
muß; daraus
(1),
B{1 -x,y)
folgt durch
aus (2)
daß:
= 2i sin stx ^[Zx+^]
Anwendung
der Formel für
Diese Darstellung der Betafunktion
dem Büchlein von Graf^) entnommen.
Setzt man speziell in (4) x = n -f
ist
1
,
r{x)r(l
— x):
beinahe wortgetreu aus
wo n
eine
ganze, nicht
man wieder x statt y ein, so ergibt
den allgemeinen Binomialkoeffizient die Integraldarstellung:
negative Zahl bedeutet, und führt
sich für
1)
Einleitung in die Theorie der Crammafunktion , p. 29
— 30;
Bern 1894.
Zweiter Teil.
142
Bestimmte
Integrale.
Die Formel (3) repräsentiert also die eigentliche Erweiterung
des ersten
Eulerschen
Integrals;
dieser
in
Formel
die Variabi-
ist
von X eine völlig unbeschränkte^ während y noch der Bedingung 9R(t/)
unterworfen sein muß.
Wie Bigler^) gezeigt
lität
>
hat,
es
ist
U
möglich, unser Integral
so
zu verallgemeinern,
daß
auch diese Beschränkung wegfällt.
Wir
bemei'ken noch, daß Saalschutz^) das erste
Integral durch die
das zweite
Euler sehe
Methode von Cauchy^), welche wir in § 58 auf
Integral anzuwenden haben, erweitert hat.
Euler sehe
Kapitel
XL
Das zweite Eulersclie Integral.
§ 57.
Wir haben
in
Integraldarstellungen für r{x).
§ 53, (11)
die
Funktion ^„(^)
als
bestimmtes
Integral folgendermaßen dargestellt:
n
%„{x)
(1)
-ß-'{i - iy~\u,
mix)
> 0.
In dieser Formel läßt Gauß^) die endliche positive ganze Zahl
n über jede Grenze hinauswachsen; die Funktion '^„(x) geht dann
sicher in r(x) über, und wenn man den Grenzübergang rechter
Hand
als legitim
ansehen darf, so findet
man
die
berühmte Formel:
00
m{x)>0.
r{x)=J'e-'-t'-'dt,
(2)
u
Die oben
angedeutete Schlußweise
wir haben daher einem ganz anderen
indessen
nicht
zu folgen,
um
ist
Weg
streng;
die heu-
Formel (2) in aller Strenge zu beweisen.
Zu diesem Zwecke bemerken wir zuerst, daß das Integral:
ristisch hergeleitete
00
H{x)^fe-'-r-'dt,
(3)
m(x)>0
2)
Journal für Mathematik, Bd. 102, p. 237—254; 1887.
Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 33, p. 362—371; 1888.
3)
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 28,
4)
Comment. Gotting., Bd.
1)
Ausgabe,
p. 40.
2, p.
32; 1812.
p. 204—205; 1841.
Werke, Bd. lil, p. 151. Deutsche
Das zweite Eulersche
Kapitel XI.
für jeden
darstellen
Wert von x
endlichen
muß:
eine
SS(a;)
man
143
§ 57.
x analytische Funktion
man
B.{x)
^fe-'f-^dt +fe-'f-hn,
nämlich:
X
1
v>
so hat
in
setzt
1
(4)
Integral.
für das letzte Integral in (4), welches ja der Gattung
angehört, mittels § 50, (2) die Partialbruchentwicklung:
»
WO P(x)
=
die in § 9, (1) eingeführte
Inbetreff
des
letzten
in § 45 angewandte Methode, daß
Funktion darstellen muß.
Um
nun den
vollen
Funktion bedeutet.
rechter
Integrals
Hand
es eine in
in
zeigt
die
Zusammenhang zwischen H{x) und r(x)
klarzulegen, setzen wir vorläufig x als
iK>S''(iv
und
reell
benutzen einige bekannte Eigeusehaften der Funktion
wir mit b eine
(4)
x ganze transzendente
e^.
voraus und
Bezeichnen
positive Größe, so ist offenbar:
e*>l +
&
nnd somit aach:
(6)
ist
«-'<TTfr;
nun
c ein positiver
echter Bruch, so hat
man
weiter vermöge
der gewöhnlichen Potenzreihe:
e-^>l-c.
(7)
Es
seien
nun a und
Zahl, die größer als a
ist,
r positive Größen, p aber eine ganze
dann hat man offenbar wegen (6) und (1):
>e
'
,
e
P
>l-
""
r
daraus folgt:
(i+fr>-">o-7r'
and somit ergeben sich aus (3) die beiden Ungleichungen:
ji'-'{i-±ydi<n{x)<ff-'{i+^y%it,
(8)
wo
r positiv
ist,
hat
man
ist;
denn da
offenbar:
die zu integrierende
Funktion auch positiv
144
Zweiter Teil.
Bestimmte Integrale.
P
OD
je- t^-^(U<j e~'t^-^dt.
man nnn
Setzt
Hand
aber linker
in (8)
P
daraus folgt wegen § 53, (10), weil
deutet
t=p2,
so wird:
1
eine positive ganze Zahl be-
2^
:
Für das
letzte Integral in (8) ergibt die
r
Transformation:
z
ohne Mühe die Identität:
A-^-i(l-l-yj 'dt^r^-j z^-^-\i -zf-^dz;
daraus folgt,
indem man r
~ x=p
setzt,
wo p
dieselbe
positive
ganze Zahl wie in (9) bedeutet, wegen § 53, (10):
/'f-'(i +
Somit haben wir
-i)-'äi
die beiden
= (-'-±i)-S,w,
Ungleichungen bewiesen:
Läßt man aber nun in (10) die willkürliche positive ganze Zahl
l)
über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht, da x ja eine posi-
tive endliche
Größe bedeutet,
die Identität
R{x)
welche
9i(Ä;)
in
<
beiden
jedem
endlichen
=
r(x),
Punkte
der
durch
die
Ungleichung
bestimmten Halbebene richtig sein muß, weil sich
Punktionen
H(x)
und r(x)
Formel (2)
in
diesem
Bereiche
die
regulär
Damit ist die
in aller Strenge bewiesen.
Der oben gegebene Beweis rührt im wesentlichen von Schlömilch^) her; Pringsheim^) hat einen anderen strengen Beweis der
Formel (2) gegeben.
verhalten.
1)
2)
Kompendium
der höheren Analysis, Bd. II, p. 245—247; 1879.
Mathematische Annalen, Bd. 31, p. 459; 1888.
Das zweite Eulersche
Kapitel XI.
man
Setzt
in
(2)
/
= — log z,
so
erhält
14n
§ 57
Integral.
man
eine
weitere
Integraldarstellung von Tix):
1
von Eni er*) herrührt.
Wir woUen noch den speziellen Fall von
die
a;
9l(x)>0,
r(a;)=J(logi-)'"V
(11)
= 1 :|)
formation
wenn p
ist,
t=
(2)
betrachten,
wo
eine positive ganze Zahl bedeutet; die Trans-
z^ ei^bt dann ohne Mühe:
r(i
(12)
daraus folgt für
/)
=
+ i)
=/«-"<?«;
2 die berühmte Formel:
Je-*^dt=^Y^,
(13)
u
Laplace*) so sinnreich bewiesen hat;
Euler^l bekannt.
die
man
Setzt
in
(2)
t
= e\
so
ergibt
sie
sich
war indessen schon
folgende
Integral-
darstellung:
r{x)
(14)
= / e-''
e"dz,
—X
Gauß*) als die beste Definition der Gammafunktion bePringsheim^) bemerkt indessen, daß er nur eine einzige
Arbeit, die von Lionville^) herrührt, gefunden habe, die von der
Definition (14^ ausgeht: ich kann nur eine kleine Xote von Cauchy^
hinzufügen, wo die Definition (^14' ebenfalls eine RoUe spielt.
Es ist noch zu erwähnen, daß Bachmann*) aus (12) noch
welche
zeichnet.
andere Integralformeln hergeleitet hat. indem er unter
Cauchy
des Integralsatzes von
1)
Man
loc. cit. p.
vergleiche
B. die
z.
458, daß er die
früher als bei
Form
Anwendung
längs der Peripherie eines unendKch
Zitate, p. 131, Nr. 3.
(i;
Poisson im Journal de
Pringsheini bemerkt,
des zweiten Eulerachen Integrals nicht
l'Ecole Polytechnique, cahier 19, p. 477
finden konnte; auch ich habe sie nicht früher entdecken können.
2)
Memoires de FAcademie Royale des Sciences; 1778.
3)
Man
4)
Werke, Bd.
vergleiche
m,
5) loc. cit. p. 456.
7)
8)
z.
B. Institationes calculi integraUs, Bd. IV, p. 87.
p. 230.
6}
Deutsche Ausgabe,
p. 82.
Journal de Mathematiques, Bd. 17, p. 448; 1862.
Comptes rendus, Bd. 19, p. 68; 1844.
Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 424—432; 1879.
Kiel Ben, Theorie
der Gaiiun»fiuiktioiL
10
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
146
großen Kreissektors
welcher sein Zentrum in dem Ursprung
integriert,
hat und ganz im ersten oder vierten Quadranten liegt; wir überlassen
es
dem
Leser,
die
was kerne Schwierigkeiten
Bachmann
Formeln von
herzuleiten,
darbietet.
Verallgemeinerung der Integraldarstellung für r(x).
§ 58.
Die Eulersche Integraldarstellung von r(x) hat den Übelstand,
nur für
die
'Sl(x) '^
einen Sinn zu haben; es
obengenannte Integralformel so
<
9fi(a;)
anwendbar wird.
indessen sehr leicht,
ist
ändern,
daß
sie
auch für
Zu dem Ende wollen wir den folgenden
Cauchy^) beweisen:
Satz von
Ist
zu
n
eine endliche^
nicht
negative ganze Zahl, so
ist
unter der
Voraussetzung:
-n-l<m{x)<-n
(1)
allgemein:
r(x)^f{e-'-<p,{t))t^-hlt,
(2)
wo
der
Kürze halber:
S=: n
y.(0=2
(3)
gesetzt
worden
„
ist.
Wir gehen von den
offenbaren Identitäten:
^.^n{t)
(4)
= -9>n-l{t),
s—
.^'_^jo =
(5)
(— lyf
cti
/
^-.n
+l+s
*-'-^(;^f^+^-<'
=o
»
aus und setzen weiter:
H(n,x)=J{e-^-cp^{£))t^-Ht,
(6)
ein Integral,
das
ja
wegen (1)
w > 0:
sicher
konvergiert;
eine
partielle
Integration gibt dann für
00
(7)
Hin, x)=\^, ie-^-
1)
^'„(O)]
Exercices de Mathematiques,
+ ^ •/(.-II«
^„_,(0)^^-'r7f
annee, p. 92; 1827.
Das zweite Eulersche
Kapitel XI.
und
n
speziell für
Integral.
147
§§ 58. 59.
= 0:
OD
ff(0,x)=[^(«-'-l)]+iJe-'.M<.
(8)
Nuu
(8)
ist
offenbar, daß das erste Glied rechter
= <x> ist dies
t=0 führt die
verschwinden muß; für
und
(1)
zum
Ziele; also ergeben sich aus (7)
(3),
und
in (7)
und
eine unmittelbare Folge
t
und für
von
Hand
Formel
(b) unmittelbar
(8) die beiden einfacheren
Formeln:
(9)
H(n,x)
= ^R(n-l,x +
(10)
Hio,x)
= ^-r{x-\-i) =
l\
r(xy,
dami allgemeiner:
eine Wiederholung der Operation (9) ergibt
daraus folgt wegen (10):
^
Damit
x(x
^
-\-
1)
{x
-\-
n
—
"^
1)
^
unser Satz bewiesen.
ist
§ 59.
Es
'
Die Integraldarstellung von "Weierstraß.
auch für die Gammafunktion eine ähnliche
möglich,
ist
Integraldarstellung zu finden wie diejenige, welche wir in § 56 für
die
Betafimktion entwickelt haben.
hier mit
W einen
Zu dem Ende bezeichnen wir
vom Punkte
welcher
—
cx)
aus-
geht, sich unter der Achse der negativen Zahlen hinziehend,
den
Ursprung
Integi-atiousweo-,
umgeht und dann oberhalb der Achse der
rechtläufig
negativen Zahlen
zum Anfangspunkte
—
oc zurückkehrt, ohne sich
selbst zu schneiden.
Unter diesen Voraussetzungen wollen wir nunmehr das bestimmte
Integral:
U=J^t-'dt
(1)
w
untersuchen.
Erstens
ist
es offenbar,
daß
V
x ganze tranx = 0,
denn für diese Werte
eine in
szendente Funktion darstellen muß, welche in den Punkten
— 1, — 2, — 3, — 4,
von X hat
•
•
•
Xullstellen besitzt;
die zu inteariereude
grationswege
W begrenzten
Funktion im Innern des
vom
Bereiches keine Singularitäten.
10*
Inte-
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
148
Um
U
den Wert von
3?(rr)<l;
zu bestimmen, denken wir uns vorläufig
darf dann durch den Punkt
der Integrationsweg
hindurchgehen, und das Integral
Summe
IJ läßt sich
zweier geradlinigen Integrale darstellen.
ursprünglich
t
=
deutet, so erhält
e~"'
u,
wo u
man
die
Formel:
^=0
in diesem Falle als die
Setzt
man nämlich
sehr große positive Zahl be-
eine
00
ü=
(2)
J
e"""^
e-H-'^dt
—
6-''=''
J e-H-^dt,
'
aus der wegen § 57, (2):
ü^2imn:tx-r{l-x)
(3)
folgt; somit ergibt die
Formel für r{x)r{l
— x)
die allgemein gül-
tige Integraldarstellung:
-^^^^^
r(x)
2m
(4)
^ '
.
JfeH-^dt,
'
welche nach Schläfli^) zuerst von Weierstraß gefunden worden
ist;
und
Formel
dieselbe
findet
später auch von
ist
Pochhammer*)
funktion mit
gangspunkt
§ 60.
Wir
dem
sich
der Dissertation von
in
Heine ^)
HankeP)
hergeleitet worden.
hat die Fundamente einer Theorie der
und ähnlichen Darstellungen
Integral (4)
Gammaals
Aus-
geliefert.
Der Zusammenhang zwischen r(x) und B {x,
wollen
ganz
hier
Lejeune-Dirichlet
für die
kurz
Beweise
die
y).
von Jacob i und
Eulersche Formel:
mitteilen.
Jacobi^)
setzt,
indem x und y
(2)
als positiv vorausgesetzt
X
CO
GC
werden:
X
r{x)r{y) =^ß-'-''e-*dt J'uy-'e-"du =J'J'e-^'+''^f-^uy-hitdu',
n
die Transformationen:
t -\-
(3)
u
=
1)
Mathematische Annalen, Bd.
2)
Dissertation,
p.
23;
u
a,
3, p.
=
aß
148; 1871.
Leipzig 1863.
Zeitschrift
für
Physik, Bd. 9; 1864.
3)
Journal für Mathematik, Bd. 89, p. 21; 1880.
4)
Mathematische Annalen, Bd.
6)
Journal für Mathematik, Bd. 11,
35, p.
495—526;
p. 307.
1890.
Mathematik und
Das zweite Euleische
XL
Kapitel
Integral.
§ 60.
149
ergebeu dann:
lt^a{l-ß),
U< = (1 - ß)(Jcc,
^^
und somit erhält man aus
(2) die
u{l-ß)=^tß,
(1
-
ß^dii
=
ccdß,
weitere Formet):
- ß^'^dß,
ryx)r{y) =^Je-a'^y-hla fß'-'ii
aus der sich unmittelbar die Formel (1) ergibt.
Lejeune-Dirichlet*) geht von der Formel § 53,(4):
«(^'W-JirT<i^'"
(5)
aus,
wo
ebenso wie vorher x und
tj
angenommen werden.
dann, wenn man tk statt i
als positiv
Die Integralformel § 57, (2) ergibt
wo A: eine positive Konstante bedeutet, folgende DarsteUung:
einführt,
jV''^-'d<=^;
(6)
somit erhält
aus (5) das Doppelintegral:
man
B{=c,y)
Hier
ist
die
- -j,^+^
•/*--'<« -./V"^'»"
«'"'-'<'"•
Vertauschung der Integrationsfolge erlaubt 3); also
B{x,y)
-
r^ ./V"«—
rf»
ist:
fe-",'-'dt
oder auch wegen (6):
Formel (1) zurück.
Einfachheit
In den vorhergehenden Beweisen haben wir der
man aber,
bedenkt
halber x und y als positiv imd reell vorausgesetzt;
Fimktion rechter
daß das erste Euler sehe Integral B[^x\ y) sowie die
analytische Funktionen sind, so bleibt die Formel (1)
Hand in
Damit kommen wir auf
die
(1)
richtig.
für willkürliche VVerte dieser beiden Veränderlichen
p.
Differential- und Integralrechnung, Bd. IE,
1) Stolz, Grundzüge der
89—90.
Man vergleiche auch Stolz, loc. cit. p. 179.
2) Werke, Bd. I, p. 398.
3) Stolz, loc. cit. p.
184
ff.
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
150
Kapitel XII.
Durch Gammafuiiktionen ausdrückbare Integrale.
00
§ 61.
Wir kennen
und
enthalten
Das Integral
f ß-'H^'-'^dt
bisher nicht viele Integrale, welche
dennoch
durch
Gammafunktionen
Funktionen
bekannte
ausgedrückt
werden können; umgekehrt kennen wir eine beträchtliche Anzahl
bestimmter Integrale, welche durch Gammafunktionen in geschlossener
Form ausdrückbar
sind.
Wir wollen
hier eine möglichst vollständige
Übersicht über solche bestimmte Integrale geben, die nur elementare
Funktionen^) enthalten.
Als erstes Beispiel betrachten wir das Integral:
J=fe-"-'t^-hU,
(1)
wo
'^(x)
und im allgemeinen auch
müssen; den
wo
Speziallfall,
y
angenommen werden
'lR(y) positiv
positiv
haben wir schon im
ist,
vorigen Paragraphen behandelt.
Um
den Wert von
J
zu bestimmen, bezeichnen wir mit
li
r zwei positive Zahlen, welche sehr groß bzw. sehr klein sind,
finden dann durch die Substitution ty
R
= y-^ J e^'z'-'^dz;
ry
r
weiter
wir mit dem
konstruieren
den Radien I{.-\y\ und
**
•
1
Kreise bilden wir in
kleinsten in a
und
die Identität:
Ry
Je-^^t^-^dt
(2)
=z
und
und
Ä
und
^
B
|
Ursprung
zwei Kreise
die
Zahlen
-R
als
auf
;
•
|
& die Zahlen r-\y\
und
^
j
ry
Zentrum und mit
dem größten
und
JR y,
dieser
auf
dem
ab.
1) Über bestimmte Integrale, welche durch Gammafunktionen ausdrückbar
und Zylinderfunktionen bzw. den Integrallogarithmus enthalten, vergleiche
man mein Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, Kapitel XII,
XIII; Leipzig, Teubner 1904, bzw. Schlörailch, Beiträge, p. 72 ff.; Jena 1843.
sind
Ich
hoffe
bald
bei
einer
anderen Gelegenheit zu zeigen, daß diese beiden
Integralgattungen als Spezialfälle einer allgemeineren aufgefaßt werden können.
Appell hat
funden,
in
den Comptes rendus Bd.
86, p.
funktionen ausdrückbar
rend. Bd. 89, p.
90-92;
ist;
man
1879.
— 876,
1878 ein Integral ge-
enthält
und durch Gamma-
871
welches hypergeometrische Fuuktionen
vergleiche auch 0.
Callandreau
in
Compt.
:
Durch Gammafonktionen ausdrückbare
Kapitel Xu.
Nach
diesen Erörterungen betrachten wir
Integrale.
§ 61.
nunmehr das
151
Integral:
a.ABb
Cauchy
Der Fundamentalsatz von
Wert XuU,
gibt dann unmittelbar für J^ den
d. h.:
ry
R\y\
AB
r\y'
im
und finden
Sy
ba
in (3) setzen wir
Hand
zweiten Integral rechter
demnach:
so:
Ol
/=
(4)
i(^
•
1
2/
1)^/^"
""'''*'" '"'^^®'
AB
indem wir der Kürze halber:
y
= 'i2/|Ö
gesetzt haben; es sei
nun
-f<ö< +
weiter:
X
wo a und
/3
|-
= +
tt
iß,
beide reell sind, dann ergibt sich aus (4):
O)
AB
und daraus:
l-c-'""
re-'^-if7^'^(i2-ly|)«e-«'^l
7
j
somit wird für a
>
'7t
und
j
w
|
<y
]im fe-'z'-^ds
«=* AB
(5)
Das
letzte Integral rechter
ähnlicher Weise behandeln, so
lim
(6)
findet,
=0.
Hand in
daß man:
Je-'^-^rf^
läßt
offenbar in
sich
=0,
woraus sich wegen (2) und (3) die gesuchte Formel:
fe-^yt^-hU^r^-Tix),
(7)
ergibt, die
1)
(3)
'9i(a;)>0,
von Euler ^) herrührt.
Institutiones calculi integralis, Bd. lY, p. 341; 1794
9J(y)>0
152
Zweiter
Bestimmte Integrale.
Teil.
CO
§ 62.
Die Integrale
""^^
JC sm
{tb}
'
t'-'^dt
'
Aus der allgemeinen Eulerschen Integralformel
man mehrere
man nämlich
andere herleiten; setzt
§ 61, (7)
in
diese
kann
Formel
der Reihe nach:
= a^lh,
=+
y
*-
daß
SO
mit
03
b
y
= a—
Va^
+
&^
verschwindet,
03
so
> 0,
a
ib,
=
arctg
h^O,
-
,
entstehen durch Addition und
Subtraktion die beiden Formeln:
(1)
fe- ^- cos {tb)t^-hU =
.
-^^"^^
•
^;^ ^"'^^
,
^
CO
fe-^-sm(tb)t^-^dt=
(2)
ZMl«^!^^
welche ebenfalls von Euler ^) herrühren.
Die Formeln (1) und (2)
hergeleitet worden- wir
von vielen Autoren aufs neue
erwähnen z. B. Legendre^), Poisson^),
compagni^j.
sind
später
Wir
wollen nun den spezielleren Fall a
dem Ende
untersuchen; zu
Cauchy^) und Bon-
= 0,
d. h. co
=±
'^
näher
setzen wir in § 61, (4):
n
n
Y"
Y
/ = / + /.
(3)
TT
wo
eine kleine positive
£
Integral rechter
Mit
Hand
derselben Bezeichnung x
graphen findet
man
hier ohne
./•
1)
loc.
Größe bedeutet, so daß wir nur das
cit.
letzte
in (3) zu untersuchen haben.
^
=
a
-\-
iß wie im vorigen Para-
Mühe:
f e-^\y\^''^'=^-߮d&
Bd. IV, p. 342, 1794.
Exercices de calcul integral, Bd. I, p. 368; 1811.
3) Journal de l'Ecole Polytecliuique, cahier lü, p. 219; 1813.
4) Exercices de Mathematiques
I" anuee,
1826.
Journal
p. 62;
l'Ecole Folytechnique, cahier 28, p. 159; 1841.
2)
,
5)
Journal für Mathematik, Bd.
25,
p 81; 1813.
de
Kapitel IL
was offenbar dasselbe
oder,
153
Durch Gammafanktionen ausdrückbare Integrale. § 62
ist:
/
Nun
ist
zufolge:
aber einer bekannten elementaren Formel
>
> sin
man
denkt
sich also
R
und
R.s>
wo
wird,
Je
2
'
so bestimmt, daß gleichzeitig:
£
Rs'<Jc
Bf,
(log
Größe bedeutet, so
eine positive endliche
offenbar
ist
auch:
2
<
/
wo
Je'
wieder eine positive endliche Größe bedeutet.
Nach
des
diesen
vorher-
Erörterungen folgert man mittels der Ungleicbimgen
Voraussetzung
gehenden Paragraphen, daß auch hier unter der
0<a<l:
sein
=0
fe-'r-^dt
AB
lim
R=x
sich aus
muß, und somit ergeben
(1)
und
(2) die beiden
neuen
Formeln:
IfX
r{x) cos
Tcos
(4)
=
{th)
f Ht
(tb)
f-^dt =
OD
r^x) sin
fsin
(5)
wo man
also &
die beiden
Setzt
>
Formeln
man x
/
< 3{0rl<
und
(4), (5)
= ^,
cos
Vt
voraussetzen muß:
ohne Mühe auch
so erhält
'W dt
1
—
^
man
i* 8m(fft)
4
die speziellen
^^
y*
welche von Euler ^) herrühren.
1) Institutiones caiculi integralis,
für &
Bd. IV.
«
^ t/ 26^
K
<
man kann
darstellen.
Formeln:
154
Zweiter Teil.
§ 63.
Bestimmte Integrale.
Das Integral von Laplace.
Aus den Formeln § 62, (4), (5) wollen wir noch einige interessante Folgerungen herleiten.
Wir finden zunächst unmittelbar:
daraus können hinwiederum die beiden neuen Formelpaare:
00
.X
(1)
}
00
v.-i^^
= _iM^!Ü
(2)
hergeleitet werden,
wo
überall:
(±*)"'=e~
zu setzen
2
ist.
Aus den Formelgruppen
(1)
und
(2)
findet
man demnach
die
beiden einfacheren Integraldarstellungen:
-r '^
(3)
—
(4)
—
I
00
e-^''(;ity-'dt=^0,
oc
die also beide für reelle
Form
um
jraj
00
+
sind;
2 r(x) sin
/ ^''(iff-1- dt
und
und für
positive b
die beiden Integrale (3)
und
zu bringen, setzt man:
t
=—
al
-[-
1
>
9ft
(x)
(4) in eine etwas
z,
>
richtig
bequemere
:
Kapitel Xu.
wo
Durch Gammafonktioneii ausdrückbare
hinwiederum
z
als
reeü,
anzusehen
Größe bedeutet; dann erhält man
j ^-x« +
(5)
Ol
Integrale.
155
§ 63.
a aber eine endliche
Formeln:
ist,
oflfenbar die beiden
izy- 'dz
^^-°^n^)»i»«^
=
,
— 00
ai
+ 0C
r
(6)
+
e-*^'(«
izy-'^dz
= 0,
ai— a^
in
welchen wir noch den Integrationsweg zu ändern haben.
Zu diesem ZAvecke bezeichnen wir mit
J2 eine sehr
große posi-
während wir:
tive Zahl,
ai ^= a -^ iß
wo
setzen,
des
cc
und ß
A den Perimeter
+ 12 + iß- unter
weiter bezeichne
sind;
reell
+R
mit den Eckpunkten
Recht^?ckes
und
Cauchy:
diesen Voraussetzungen ergibt der Integralsatz von
=
/ e±*"(a
+ iey-'dz = 0,
A
woraus:
-R +
+R +
i.-i
+R
R
i,'i
-R -R+i,i R + i,i
folgt;
läßt
man nun
hinauswachsen,
Integral
liefert
so
aber
-R
positive Zahl
die
R
Hand in (7); setzt man in (5)
Euler sehe Formel für F(:t')F(l —
linker
die
über jede Grenze
verschwinden offenbar das erste und das
1
—x
x)
statt
die
letzte
x,
so
gesuchten
Integraldarstelliingen
+ 00
^ ^
J
—
dt
=
ne
(a-\-ii
oo
+ 00
{a-\-it)'
und
'di(x)
(9)
^ ^
wo man
6 als positiv
'~''*\
r
J
dt=o,
>
voraussetzen muß.
Eigentlich sind ja die beiden Formeln nur unter der Voraus-
setzung
Formeln
l>9^(.r)>0
für
3?
(a*)
>
bewiesen:
da aber die beiden Seiten dieser
analytische
Funktionen
in
./;
darstellen
müssen, so sind imsere Formeln auch in diesem allgemeineren Falle
richtig.
;
Zweiter Teil.
156
Die
Formel
sucliungen
Bestimmte Integrale.
rührt von Laplace^) her; spätere UnterFormeln (8) und (9) sind von Poisson^),
Cauchy^), Liouville^), Lobatschewsky ^) und
(8)
über
die
Legendre^),
Kummer'^) geliefert worden; der oben gegebene Beweis ist von
Cayley^) angedeutet worden.
Wir haben noch die beiden Formeln (8) und (9) etwas umzuformen und setzen zu dem Ende:
a-f
it
=
{a^
-\-
r^'''^'^
i^f
daraus folgen die weiteren Formeln:
(10)
^— ^^=
j
+
-iibt + xa.r(iig~~\
<»
^— -^^=0;
^
nun
ist
ändern, was erreicht wird,
durch diese Änderung findet
{t^
T.
j
(13)
wenn man
man
COS (fei-a;arctg
(fei
/
(12)
und (11) das Zeichen von
es offenbar erlaubt, in (10)
CO
,
r(^)
sin (fei
einfach
—
t
statt
t
[)
einführt;
^,-ab^.-r
dt
==
r{x)
+ a*)2^2
— X arctg
^
|
^-^ dt = 0,
1)
Theorie analytique des probabilites,
2)
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier
3)
Exercices de calcul integral, Bd.
4)
Journal de FEcole Polytechnique, cahier 28, p.
Journal für Mathematik, Bd. 13, p. 231; 1835.
I,
p.
p.
471; Paris 1814.
11),
p. 481;
1823.
354; 1811.
17t);
1841.
6)
Mt'moires de Kasan, 1835,
7)
Journal für Mathematik, Bd. 17, p. 235; 1837.
Journal de Mathematiques, Bd. 12, p. 231—240; 1847.
8)
zu
aber aus (10):
während (11) zwei ähnliche Nulldarstellungen liefert.
Nach diesen Änderungen setzen wir nunmehr in (12) und
^ = a tg
und führen a statt a6 ein, dann ergibt sich:
5)
i
p. 211.
(13)
;
Durch Gammafunktionen ausdrückbare
Kapitel Xn.
(14)
(cos
(^^)
es
ey-^
— x&)d® =
cos (a tg
r(8m0)^-*sm(otg0-a:0)rf@
aber offenbar,
ist
man
daß
Integrale.
in
(14)
157
§ 64.
y^
= O;
9l(ar)
>
annehmen muß,
1
während (15) noch für ?R('j:) >
Verminderung des Konvergenzbereiches für das Integral (14) ist
darin zu suchen, daß (12) durch eine Kombinatron zweier Formeln
einen Sinn hat: die Ursache der
von der Form (14) entsteht.
Die beiden Formeln (14) und (15) sind von Lobatschewsky*)
und Kummer -j gefunden worden.
Das Integral von Cauchy.
§ 64.
Mit Lejeune-Dirichlet^)
wendung der Formeln § 63,
wir von § 61, (l)'.
s
aus imd finden
(8), (9)
g-(a + .u)<.
—X
9i(a;
+ y) >
Hand
so
Integral linker
wir
der
jede
unter der
die
ist
Form
^^
.
(»
+ •»)'(» i'xf
IX
1) loc. cit.
184
An-
rix)
Hand
wenn
Denken wir uns noch 9iU')>0
zwei
U
-\-
zu
iV,
offenbar konvergiert,
integrierenden
U
wo
und
1'
Funktionen
beide
reell
Vertauschung der Integrationsfolge rechter Hand
/•'
rw J
—
p.
interessante
und wir finden demnach:
erlaubt,
3)
^-Vf =
vorausgesetzt wird.
1
schreiben
sind,
eine
—»
muß, wo das
rechter
wir
machen; zu dem Ende gehen
daß:
so,
sein
und
wollen
T-^
_ /V'"*-d( {
J
\J
—
>
(.l>±i«f
30
au\
I
/
2) loc. cit.
Torlesungen über bestimmte Integrale, herausgegeben von 6. Arendt,
— 188.
Braunschweig 1904.
Leipzig, B. G. Teubner, 1871.
G. F.
Meyer, Bestimmte
Integrale, p. 205;
o
Bestimmte Integrale,
Zweiter Teil.
158
daraus folgt wegen § 63, (9):
~
f
(2)
=
0,
— GC
während §
Anwendung von
unter
63, (8)
(1)
die
entsprechende
Formel:
^'^
J
{a
und
die
+ iuf{b-iuf
—X
liefert,
9(1 (a;)
>
+ hf^y-^
{a
^n^)^'^)
'
gewöhnliche Schlußweise zeigt, daß die Bedingung
wegfallen
darf,
daß
so
Formeln
die
^
unter der einzigen Bedingung '^{x
y)'>
1
(2)
und
(3)
beide
denn
richtig bleiben;
unter dieser Voraussetzung sind die Funktionen beider Seiten der
wähnten Gleichungen
er-
x analytisch.
Die allgemeinen Formeln (2) und
in
(3) rühren von Cauchy^)
Hankel-) bewiesen worden.
Aus den beiden Formeln (2) und (3) kann man mehrere andere
her; später sind sie auch von
herleiten; setzt
man nämlich
a
so erhält
SO
daß
man
die
-}-
iu
b
=
=
\
a
a und:
-\-
iu
e'®,
\
aus (3) die Gleichung:
Annahme a
Bezeichnungen
== 1
die weitere
,
u
= ig &
nach einer Änderung der
Formel:
jt
T
(»)/cos (,®)(cos
liefert,
welche
ey-^äe^
^^
^^L^_,
von Cauchy^) herrührt und
sr(,)
verschiedentlich
>
ge-
ändert werden kann.
1)
Memoires sur
les
Zitat von G. F.
2)
Dissertation,
entre des limites
imagi-
auch: Annales de Gergonne, Bd. 17,
p. lOi).
integrales definies prises
Man vergleiche
Meyer, loc. cit. p.
naires; Paris 1825.
p. 37;
205.
Leipzig 1863.
Zeitschrift
für
Mathematik und
rhysik, Bd. 9; 18Ü4.
3)
Memoires sur
les
naires, p. 40; Paris 1825.
integrales definies prises entre
des limites imagi-
^
Kapitel Xu.
Man
Durch Gammafunktionen ausdrückbare
Integrale.
§ 64.
159
hat nämlich:
+ -^
f(eoa &y-^
(6)
cos
(t/
=
0) rf
2 / (cos
&)"
^
cos {y S)d&
und:
=
&)'- ^ sin {y&)d&
Acos
(7)
;
~Y
multipliziert
sin
—
man nun
Formeln
die
(6)
und
—=
-\-
f
(9)
bzw.
(sin
<py-Uosiycp)dcp=
^^_^^
cos^-
(siny)-^sin(yyyy
J
^|:pir-^,_y^,
man, wenn man
und dann
multipliziert
—
p(x) cos
-j
ähnlicher Weise findet
bzw.
—
gesetzt hat:
(p
«
in
mit cos
so ergibt die Addition der beiden so erhaltenen Gleichungen,
,
nachdem man
(8)
(7)
(6)
und
(7)
mit sin
;
«y
—
subtrahiert, die ähnliche Formel:
= --_^^
^^^_^
^^^_^
^
;
muß man 9i(a:) > annehmen.
man weiter (9) mit / und addiert man die so erGleichung zu (8), so ergibt sich, wenn man iy statt y setzt,
auch in
(8)
und
(9)
Multipliziert
haltene
die weitere Formel:
(10)
f(sm(pY-^e-^'Pd(p
2
=
'^^f^^,
,
.-p-,
üt(a:)>0,
welche in ganz anderer Weise von Forsyth^) hergeleitet worden
Wir kehren nun zu Formel
(a
-|-
»m)
=
a
I
bedenken
bleiben,
wir,
wenn
daß
—
/
+
iu
die
statt
•
j
/
h
e*'®,
beiden
so
-\- iii
=
\'h
\- in
\
e"'®»;
erhaltenen Formeln ungeändert
gesetzt wird, so erhalten wir die beiden
folgenden Gleichungen:
1)
ist.
(3) zurück und setzen dort:
Quarterly Journal, Bd. 27, p. 221; 1895.
y
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
160
/co9{x@ -\-y&i) du
,.
(a^-\-u^)'\h^-\-u^^
— y@^)du
cos(a;0
f
^
—
n
(a^fef +
iL
r{x -\r{x)r{y)
y-i
1)
'
daraus folgt durch Addition und Subtraktion:
CO
f
(U)
{a^
Sonach ergibt
(a;
1)
—
1)
_
«
r(x
-\-
0) sin (i/&^)du
_
«
r(a:
-|- t/
/
/sin
y—
du
cos {x 9) cos {y0^)
+ uY {b^ + u^f
die
Annahme
& == 0,
d. h.
(9j
=
-
-
die spezielleren
Formeln:
/cos
(13)
(^0)(cos ©)-^(cotg
&)yd&=-^~j "^r'^^yK
n
(14)
I
sin
(rK
@) (cos
&y -
-
wo man
-^
rix) r{y)
^
^
1)
'
^^^
in (13):
+ y)>l
und
9i(2/)<l,
9i(^+y)>l
und
'^{y)<2
^{x
in
.AM
2 sin
ü
T{x-\-y—
Ä
(cotg @)y d &
(14):
annehmen muß.
Die
Annahme y
=\
liefert
wegen (14)
die speziellere
Formel:
7t
J
(15)
sin(a.@Hco^0r-^
C^@
= f,
9^(0^)
von Liouville^) gefunden worden ist, während
gemeinen Formeln (13) und (14) von Cauchy^) herrühren.
welche
1)
2)
Journal für Mathematik, ßd.
Memoires sur
naires; Paris 1825.
les
integrales
13, p,
die
>0,
all-
231; 1835.
definies
prises
entre des limites imagi-
Kapitel XII.
Durch Gammafunktionen ausdrücklare
Integrale.
161
§ 65.
und (14) x = n -{- 1, wo n eine ganze,
nicht negative Zahl bedeutet, und führen 1 — x statt y ein; dann
Wir
setzen ferner in
13)
1
ergeben sich die beiden spezielleren Integraldarstellungen:
(16)
r(co8 (py- 1 cos (n
J
+ l)ip{(ioiq>y--d<p = -^=^ ^ 7 ^)
2 sin ^ ^
'
'^
**
IT
ncosrpy-^smin + lMcot<py-^d<p
(17)
=^=^- (''-'),
J
WO man
'
^
2
also 91 (x)
und (17)
-—
2 cos
>
man
findet
bzw.
'Si{x)
>—
annehmen muß. Aus (16)
1
endlich die weitere Formel:
tTtX
J(cos9,)»-V>+^)ncot^)^-'r/g,
(18)
= <^^^
wo man also 9?(Är) >
annehmen muß.
Wir bemerken noch, daß Schlömilch^)
(13) und (14) durch
die Substitution
Methode von Kummer.
§ 65.
Kummer -j
^
=
tg
die
'
-(--i),
beiden Formeln
transformiert hat.
95
Die hypergeonietrische Reihe.
hat eine Methode angegeben,
durch welche
gewisse bestimmte Integrale in Reihen entwickeln kann.
=
f{x)
(1)
eine Potenzreihe mit
außerdem
\
+
a^x-h a^x-
a^a^ H
dem Konvergenzradius
1
m
+
m
"^
>
1,
und konvergiert
"^
ain
'
ttn
o"»
> 0,
9i(c)
>
und endliche Zahl bedeutet,
und x\ < p:
J f{tx){i -ty-'i^-' dt =^ a^x-
j t=+'-\i
Daraus folgt vermocre des ersten Eulerschen
1)
1846.
p
eine gewisse reelle
für 9i(&)
man
nämlich:
die Reihe:
'
wo
(1^
Ist
Analytische Studien
Grunert Archiv, Bd.
I.
6,
p. 15; 1849.
p.
-
so
ist
sicher
ty-'dt
Int^ffrales:
Journal für Math.,
Bd
200: 1845.
2) Journal für Mathematik, Bd. 17, p. 214; 1837.
Nielsen, Theorie der Gamnutfonktion.
11
33, p. 353;
:
//('-)(!
(3)
und
für
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
162
Formel
diese
X
= Q,
-«y'-'''-'^«=^^<-f^±|>•-^
''=0
bleibt,
dem
Satz von
^w
vorausgesetzt, daß 91 (&)
dem Grenzwerte
Abel
zufolge,
nocb richtig
wird, wie dies deutlicb aus
§ 21, (2) her vorgebt.
Als eine wichtige
Anwendung
der Formel (3) führen wir den
folgenden Spezialfall:
(4)
F{a,
an,
wo im
ß, r, x)
= 5^p{f_~)-/'^«-^(l - 0^
—
^(1
- t^y^'ät
allgemeinen:
^(a)>0, 9^(j/-a)>0, |ä;|<1
vorausgesetzt werden muß.
=
Für X
mit
dem
Kummer^)
eben
wird das Integral rechter Hand in
1
ersten Eulerschen identisch; auf diesem
Wege
hat
(4)
durch (4) die Gaußsche Formel für F(a, ß, y, 1) hergeleitet.
Aus (4) gewinnt man nach einer einfachen Rechnung den Spezialfall
lt\l-i)
j
'
(1-tx^)
'
=
dt
•
S^
(5)
welchen
Boncompagni^) bemerkt
— 2 < 9i (g) <
1
hat;
man muß
hier |a;,<l
und
annehmen. In ähnlicher Weise findet man die ana-
loge Formel:
(6)
M
}_J JS
2 /
Sx^Yn
wo man
rührt von
1)
2)
<1
|rr|
und
Ramus^)
r
\_
1
+
(g
(i
— Z)x + «' _ — (g — 8)^+ x^
— xy-''^
{l-\-xf-^
1
— 1 < 9^(g) < 4
annehmen muß. Diese Formel
her.
Journal für Mathematik, Bd. 15,
Ebenda Bd. 25, p. 74.
p.
138 ff.
3) Oversigter der Kopenhagener Akademie 1844,
Kopenhagener Akademie (4) Bd. 12, p. 151; 1846.
p. 51;
Afhandlinger der
1
:
Durch Gammafanktionen ausdrückbare Integrale.
Kapitel XII.
§ 66.
163
Eine weitere Anwendung von (4) bietet die Formel:
A"-»(i-f)y-^
n\
r(x)r(i,)
1
fR(y)>0 annehmen muß,
in dem Falle
aber auszuschließen ist
wo man
9{(a;)>0,
;
^{x
+ y) <
>^>—
1
ist
zuerst
Formel von Boncompagni^) und
Form von Winckler^)
Wir transformieren
= cos* 9
0<^^—
überdies
ist
Ton Legendre^) gefunden worden;
wird dennoch allgemein Abel*) zugeschrieben.
selbe
t
Annahme
1.
Die Formel (4)
sie
die
und erhalten
Später
ist
die-
unnötig verwickelter
in
hergeleitet worden.
ferner die
Formel (7) durch
die Substitution
so
8
ncosq>)^'-\8mq>)^'-^
(8)
J
(^
1
^
+y
-f cos»g;)'
^^(1
r{x)r(if)
+ ^f
^
+ y)'
r(x
= wa, z = mß einführen, folgt daraus:
z + cos-qp = mcc — sin^gj = wa(cos-^ + sin^gj) — sin'g),
+ cos^gj = ma 003*93 + mß sin*qp,
+
indem wir ^
1
s
Ac08qp)'"-^sinqp)*y-^
(aCOS*q:
^8111*9^ + ^
(9)
J
Die
letzte
r(a:)r^)
+
Formel verdankt man Schlömilch.^)
man auch die allgemeine Formel
Natürlich kann
Transformation
t
= cos"
g?
ändern;
in
dieser
(3)
Form
durch die
sie
ist
von
Schlömilch^) und Lobatschewsky^ angewendet worden.
§ 66.
Transformation von Schlömilch.
Schlömilch^) hat
formation
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
gefunden,
eine ebenso einfache wie allgemeine Trans-
welche nicht selten
für
die
Reduktion be-
Exercices sur le calcul integral, Bd. ü, p. 110—112; 1817.
Journal für Mathematik, Bd. 2, p. 24; 1827; Werke Bd. I,
Ebenda Bd. 25, p. 24.
Ebenda Bd. 45, p. 102.
Kompendium, Bd. 11, p. 276; 1879.
Ebenda p. 284.
Memoires de Kasan; 1835, 1836.
8) Analytische Studien,
Bd.
I,
p. 83; 1848.
11*
p. 253.
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
164
stimmter Integrale von Nutzen sein kann.
eine Funktion,
Es bedeute nämlich
f{x)
welche nur der Bedingung genügt, daß das gerad-
linige Integral:
'^-/K("-t)>^.
(1)
wo
a und
c positive
Konstanten sind, einen Sinn hat; sonst kann
fix) ganz willkürlich angenommen werden.
Aus der
offenbaren Identität:
4ac+(c^-|)=(.^ +
fließt die
|)'
weitere
Y4:ac-{-(cz
— -^y
somit ergibt sich aus (1):
cz
1
—
+
dz.
y Aac -^(cz—^\
Die Transformation:
a
cz
=
.
,
a
c-\--^
t,
dt
= dz
-r
ergibt in dieser Fassung:
''-^
^^^
2c'J
—
Setzt
man
'^'
1
^V
+
l/4ac-f-7*y
'
dt
-oo
aber nun in (3):
+x
I-M
—
und führt man
in
das
—
cc
00
erste Integral rechter
Hand
—
so ergibt sich schließlich die einfache Formel:
f/
f(f)dt.
(4)
Als Beispiel wollen wir den Wert des Integrals:
X
1
2
(5)
J
(a -\-ht
7^'
9iW>-4
t
statt
t
ein,
Durch Gammafimktionen ausdrückbare
Kapitel XII.
Integrale.
§ 67.
—
c sämtlich positiv
bestimmen, wobei «, c und a -{- b
dem Ende setzen wir der Kürze halber:
Ä
(6)
= +/^,
und finden so nach
g
sind.
165
Zu
= +ya-\-b-c
einer einfachen
Rechnung:
V [5»<+/i-(i-o+c<(i-or"*"'
Durch
die Transformation:
'-l+y"
erhält
man dann nach
1+y*' dy
(1
+
!/*)*
einigen Reduktionen:
^
jr_2. r
j
^[(^IZ-DVc + r^ + Ä)'/-*"'
und daraus
mittels (4):
<
J
^
Nach
(<»
+ c + (^
diesen Erörterungen liefert die neue Transformation:
t==2-ycJr{9 + hy
Anwendung von §
unter
11
'
53, (5) die gesuchte
1
+ T..
>/:rr(x
,^'-T^,
Formel
+ i-)
1
wo
f
und </ aus (6) zu bestimmen sind.
Liouville^) hat die Formel (8) hergeleitet, ohne Rücksicht auf
frühere Arbeiten zu nehmen: man vergleiche die Gegenbemerkungen
/<
von Cayley*) und Schlömilch.^)
§ 67.
Mehrfaclie Integrale von Dirichlet
und
Liouville.
Als ein ziemlich allgemeines Beispiel für die Reduktion mehrfacher
Integrale auf
Gammafunktionen wollen wir folgenden Satz
beweisen:
Es
W
bedeute f{z) eine solche Funktion,
daß das
n-fache Integral:
Wn=fff---f{h^U+'--+Qk'^-%'^-'--i:"-'^^käh'--dt^
1)
Journal de Mathematiques
2) 3)
Ebenda
(2;,
3) Zeitschrift tur
(2),
Bd.
1, p.
47—55; 1857.
Math, und Physik, Bd.
Bd.
421— 424:
1856.
2, p.
2, p.
67—68;
1857.
:
166
Zweiter Teil.
einen Sinn hat,
und
reell
wenn
die Integrationsveränderlichen t^,t^,--;t^ sämtlich
und außerdem der Bedingung:
nicht negativ sind
^ + + +
(2)
wo h
leisten,
+
•
•
^„
^
/*
eine feste positive Konstante
Exponenten x^,x^,-
dann
•
^3
^2
^1
Genüge
die
Bestimmte Integrale.
•
,x^ sämtlich
bedeutet,
tvährend
einen positiven reellen Teil haben,
allgemein:
ist
Wir
=2
betrachten zuerst den Fall w
h
''
—
ti
W, ==ftl^-'dtjf{t,
(4)
+
Dieselbe Substitution wie in § 60,
== UV,
ergibt dann mit derselben
t.^
1^2
d. h.:
= m(1 — v)
Begründung wie vorher ohne Mühe:
A
(5)
g^-"rf^.
ü
.
t^
und setzen demnach
1
= 1 m^^ + -^-Y(m)(^m -A;*!- 1(1 - vy^-'dv
und somit dem
ersten Eulerschen Integral zufolge:
h
^^''i^/^t- Jm'^-'^'^-'du.
(6)
Es
wo
sei
nun
die
Formel
(2) für
W^_-^ richtig, also:
wir:
i)<t,^t^i-'--^t^^h-t,
annehmen und:
^n-l=jJJ---f{t,^-t,
setzen; aus der Definition
+ '--t:)t%^-Hl^-^: — tln-^dt,dt,-.-dt^
von
W„
folgt
dann unmittelbar, daß:
h
'.=^ftr'w^-^dt.
:
Durch Gammafunktionen außdrückbare
Kapitel XII.
sein
§ 67.
167
Daraus folgt wegen (7):
muß.
A
h
—
ti
K- W^=jf,^-'dt,jf{t^
(8)
wo
Integrale.
+ M)M^+-+*"-^(f«,
der Kürze halber:
+
^i^_
gesetzt
worden
geführt
(6)
hxj
r{x„)
Dieselbe Methode nun, welche uns von (4) auf
ist.
hat,
+
Xj
r{Xi
r{x,)r(x,)
führt
auch von (8) auf
uns
(3),
und damit
ist
unser Satz bewiesen.
man
Setzt
speziell {(2)
=
1
und
h
gration in (2) ausgeführt werden, und
(9)fff--h'^-'ti^-'-'t:"-'dt,dt,2"
=
1, so
kann
man bekommt
fH
""
=
die letzte Intedie
Formel:
r(x,)r(x„)--- r(x„)
r>X,-\-X,-\--.-\-X„-{-l)'
welche von Lejeune-Dirichlet^) herrührt, während die allgemeinere
von Liouville^) angegeben worden ist.
Formeln (3) und (9) können sehr leicht verallgemeinert werden, indem man statt (2) die noch allgemeinere Be-
Formel
(3) später
Die
beiden
dingung:
aufstellt;
dann
findet
man durch
(t.\m,
die Substitutionen:
m
,
CiL
a.
m
daß:
£ «1 -f
muß.
sein
WL
u, -h
Daraus folgt wegen
•••-{-«„
(3)
^1
für das entsprechende Integral
der Ausdruck
^' =
(11)
"1 "2
/x^
3
\wii
»ij
tn.
1
tW*
^
^\
m„J
+^-i
Comptes rendus, Bd. 8. p. 156—160; 1839. Journal de Mathematiques,
164—168; 1839. Berichte der Berliner Akademie 1839, p. 18—25.
Abhandlungen der Berliner Akademie 1839, p. 61—79. Werke Bd. I, p. 375—410.
2) Journal de Mathematiques, Bd. 4, p. 155—160; 1839.
1)
Bd.
4, p.
:
168
Zweiter
und
speziell für f{z)
(12)
Tr;
Setzt
=
fit)
(13)
man
Tf"^
1
=
- ty,
(1
=
Bestimmte Integrale.
Teil.
speziell
in
(11)
= a^ =
a^
a^
r(i
=
+
CO)
r{^-)
V^i/
r(^)
Vw a /
+
•
•
Dies Beispiel rührt von Catalan^) her.
Von der Formel (12) ausgehend, hat
die
•
= a^=
•
\
und
•
+
ri^"-\
\w»/
•
^
_
_
Lejeune-Dirichlet^)
Kubatur des EUipsoides:
und des durch
die allgemeine Fläche:
•
.
(£)•+ (!)•+ (!)"=
(15)
begrenzten Körpers durchgeführt; für n
auf
=
so wird offenbar:
^(^j
=4
1
reduziert sich diese
Kubatur
oder auf die Rektifikation der Lenmiskate.
Kapitel XIII.
Die Funktionen
§ 68.
Als
W{x) und log7(:r).
Integrale von Legendre für ß{x)
und W{x)
+
C.
Anwendung
des in § 50 bewiesenen Satzes über Partialbruchzerlegung eines Integrals '^(x) wollen wir die Funktion:
ßu\
^^
''
=A
X
L_
_|_
_i
L_
x^z'^ "
1
a;-fl~'~.r-f2
'
als ein solches Integral darstellen.
Die Formeln § 50, (1), (2) liefern
unmittelbar für die entsprechende Funktion ^){t) den Ausdruck:
9'(0
1)
2)
= l-^+^^-^^ +
Journal de Mathematiques, Bd.
Werke Bd. I, p. 400.
---
6, p.
= i^^,
81—84;
|^i<l;
1841.
Die Funktionen
Kapitel XIII.
Vx) und
log r^x).
§ 68.
169
daraus folgt die gewünschte Darstellung:
X
1
m{x)
=ff^t dt -f^£^.dt,
(1)
ß{x)
die
man Legendre\)
> 0,
verdankt.
Die Binomialkoeffizientenreihe für ß[x) läßt sich nun auch ohne
Mühe
werden indessen nicht sehr elegant.
herleiten; ihre Koeffizienten
Anwendung
Als eine weitere
möge
§
Formel
Integraldarstellung für
die
b, (14)
der
tc
können wir
(1)
sin
:
:tjc
in
ver-
§ 53, (14)
unmittelbar niederschreiben.
Aus
man
(1) findet
ferner durch partielle Integration:
1
und
man
daraus, indem
dere ebenfalls von
t
von
log
(3)
:r
-
=I
log
=
^(|, 4)
man
dt,
^{x)
> 0.
man Legendre^). Aus
(3)
nach einer einfachen Rechnung, daß:
%i/f=/(i-7iT);7
(4)
sein
5, (17):
J"7~"~-1
diese Integraldarstellung verdankt
=2
9'W>-i-
der zweiten Formel (1) aus und inte-
findet
x
einführt, folgende an-
+/(rTÖ--''^'
Auch
für
x
statt
dann wird vermöge §
bis X,
1
1
—r—
1
Wir gehen nunmehr von
grieren
X
Legendre^) herrührende Formel:
^ K^)
(2)
=z^ und
muß.
Erinnert
man
sich der aus § 51, (2) für
a;
= 2,
y
=
1
Darstellung:
log2=
^'~''
f'~'
1)
Exercices sur le calcal integral, Bd.
2)
Ebenda Bd.
Ebenda Bd.
3)
11,
p. 166.
II,
p. 157.
dt,
II, p.
157: Pariß 1817.
erhaltenen
:
170
Zweiter Teil.
SO fließen aus (3)
und
(4)
Bestimmte Integrale.
nach einigen Reduktionen noch folgende
Formeln:
log
(5)
i?(f,i)^/ ----;;-;;+--"
.,
<«(.)>o.
i„gT/2^=/(l-e-'-^)0.
(6)
Wir gehen nun
zu der mit ß(x) nahe verwandten Funktion:
«
Dieselbe
Über.
=
Methode wie vorher
ohne Mühe
liefert
die
ent-
sprechende Integral darstellung:
1
man
welche
ebenfalls
Legendre^) verdankt.
noch verschiedene andere Formeln
Aus
(7)
kann man
So findet man mittels
herleiten.
§ 5, (7) die Integraldarstellung von Euler^):
1
*~j^^dt, 0<^(a;)<l
und daraus durch Integration von
—
bis x:
1
log sin :tx
(9)
=/- (^t'^lTg'^^^^
0<^(x)<l.
Als eine Verallgemeinerung von (7) kann
man
folgende andere
Formel
1
W(x)
(10)
ansehn;
sie
genommen
Bd.
ist
- ^(x + y) = / —^-z^— dt
brauchbar,
falls
9fl(a;)
und ^(x
}-
y)"^
an-
wird.
1)
Exercices sur le calcul integral, Bd.
2)
Miscellanea Berolinensia,
5,
>
17811, pp. 32, 36; 1784.
II, p.
45; Paris 1817.
Bd. 7, p. 107; 1743.
Acta Acad.
Petrop.
1
Die Funktionen W{x) und log r(x).
Kapitel XIH.
(7)
Es bedeute weiter n eine
statt X der Reihe nach:
und
einfuhrt
,2
man
in
«—
,
n Gleichungen
die so erhaltenen
(U) „C+'^^w{.
ganze Zahl; indem
positive
,1
171
§ 68.
addiert, folgt:
SRu)>0
+ ^)=f[^^--^yt,
und daraus unter nochmaliger Anwendung von
von Seh aar*)
(7) die
herrührende Formel:
(12)
2^ -^ (x +
setzt
man femer
(13)
c+
-i-)
- « Vinx)
in (11)
f;^v (x +
*
t
=J
= ^,
-1)
—
(•»^^
-
-^)
dt,
^(x)>0',
so ergibt sieh die Formel:
=/(^^^ - '~;)d^,
fUM >
0,
Q
welche von Arndt-
und Schlömilch') angegeben worden ist.
Der Zusammenhang zwischen den Formeln (12) und (13) und dem
Multiplikatioustheoreme für W(x) liegt auf der Hand; wir wollen
indessen
>
näher
nicht
wir in § 76 dasselbe
darauf eingehen, weil
Multiplikationstheorem zu verallgemeinern haben.
Eine Anwendung der allgemeinen Formel § 49, (4) ergibt endlich
für
W(x)
(14)
+C
folgende Binomialkoeffizientenreihe:
9i(^)>o,
^(^)+<^='^f;^-(:+})>
=
*
welche
man Stern*)
Setzt
echten
man
§ 7
und
endlich in (1)
irreduziblen
Sätze des
verdankt.
Bruch
auf eine
reduziert; dies ist für
(7)
=—
j;
bezeichnet,
so
ist
elementare Aufgabe
^\—)
C
-f
wo
,
—
die
einen positiven
Herleitung
der
der Integralrechnung
von Lebesgue^) bemerkt worden.
1)
Memoires Couronnes de Bruxelles Bd.
2)
Gnmert
22, p.
15—16; 1846
(1848).
Archiv, Bd. 10. p. 253: 1847.
3) Analrtische Stadien, Bd.
I.
p.
36: 1847.
4)
Zur Theorie der Eulerschen Integrale,
5)
Journal de Mathematiques
(2)
Bd.
p. 39.
1, p.
Göttinger Studien 1847.
377—378; 1856.
172
Es
leuchtet ein, daß
und B (x,
Integraldarstellungen,
die
vorhergehenden Kapiteln entwickelt
drei
Menge
Integrale.
Die Deri vierten von r(x)
§ 69.
den
Bestimmte
Zweiter Teil.
ähnlicher Formeln liefern,
haben,
wenn wir sie nach
Wir wollen hier
änderlichen X oder y differentiieren.
Formeln entwickeln.
Gehen wir von dem ersten
y).
welche wir in
eine
große
einer der Ver-
einzelne dieser
Eulersclien Integrale:
1
nach x wegen §
aus, so ergibt die Differentiation
5, (10):
1
r§^)
(2)
( '-^(^)
daraus folgt unter
-
'^(^
+ ^)) =f^~ ni -
Anwendung von
^-
1
(1
_ ty-
—— —
J
*
-
dt
'
§ 68, (10) die Formel:
1
1
0^- log t dt-
=^'
-j
1
dt
=
/
r- 1(1
- ty-' logtdt,
welche von Euler^) herrührt und recht häufig in der Literatur über
r(x) aus der ersten Hälfte des vorigen Jahrhunderts vorkommt; wir
erwähnen
z.
B. Arbeiten von
Legendre^) und Cauchy.^)
setzen wir in (2) x = 1 und führen hinwiederum
dann ergibt eine einfache Transformation des so erhaltenen
Integrals die von Abel*) herrührende Formel
Weiter
statt
y
an-
ein,
1
J^-Uog(l-0^^ = --^+^f +
(4)
nun
^
^(x)>0',
aber ebenfalls für fR(ic)>0:
ist
1
-^-ß^-'- logt dt;
1)
Bd. IV,
2)
Acta Acad. Petrop. 1777II,
p.
3)
4)
1780.
Memoires de Tlnstitut de France 1809,
Traite, Bd.
1811.
p. 15;
Tnstitutiones calculi integralis,
166; 1794.
II, p.
p. 457.
Exercices, Bd.
390; 1826.
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 28,
Werke Bd. II, p. 8.
p.
193; 1841.
I,
p.
259;
:
Kapitel
Xm.
Die Funktionen W{x) und log Fx).
173
§ 69.
somit ergibt sich ans (4) die andere Integraldarstellung:
1
_£i^=JiM:-llog(l-l)rff, ^{X)>0.
(5)
Schlömilch^) und Lindman") haben in ähnlicher Weise die
(4) bzw. (5) nach x differentiiert und dann x = \ bzw.
Formeln § 53,
x
=
^r gesetzt:
dies
Verfahren
liefert
offenbar Relationen, welche
mit (4) und (5) zusammenfallen.
Betreffs
(7)
d. h.
des zweiten Eiderschen Integrals
gehen wir von § 61,
von der Formel:
OB
aus, aus der die weitere
Je-y'f-'
(6)
Formel:
log
tdt=
u
^
iW{x)
- log y),
von Cauchy^) herrührt. Weiter setzen wir in (6) // = 1 und
statt X] die Differenzengleichung für W(x) ergibt dann die
folgt, die
X
-{-
1
folgende Integraldarstellung:
r(x)
(7)
welche
für
man
=y=
X
=
ebenfalls
1,
fe-'(t-x)if-'logtdt,
Cauchj^)
und indem man
Aus
verdankt.
t
= — log z
9fl(a:)>0,
(6) findet
man
einführt, folgende
ferner
Formel
für die Eulersche Konstante
C^J\og(\og^)dz,
(8)
welche von Malmsten^) bemerkt worden
Eine weitere Integraldarstellung für
.
ac
r{x) sin
/
Bmitb)t'-^dt
1)
=
p.
76—85;
aus § 62, (5):
—
nx
--^ =
"
Beiträge
ist.
C kann
"^
2&*r(l
— X)
-,
9J(^)>-1
cos -g-
1843.
Gruuert Archiv, Bd. 16, p. 94—103; 1851.
3) 4) Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 28, p. 14": 1841.
5) Journal für Mathematik, Bd. 38, p. 1—39; 1849.
2)
:
Zweiter Teil.
174
Bestimmte Integrale.
hergeleitet werden; eine Differentiation nach
man
darnach
ic
=
x ergibt nämlich, wenn
setzt:
_|(c+iog6)=y?^^'""^lo^tät.
(9)
Arndt ^)
Diese Formel rührt von
her.
Endlich gehen wir von § 64, (14)
1
sin (xw) (cos wy-^(coicF cpyd(p
=
—
^^7" ^,
^
,
2
aus
die
5
eine Differentiation nach y liefert dann, wenn man ^
von Lindman^) herrührende Formel:
=
1
setzt
7t
(10)
'(gr(,)
welche für
9ft (a;)
+ c)-/<"2MeC^)logtg,,rf^,
>
anwendbar
ist.
Integraldarstellungen erster Gattung für
§ 70.
Um
mittels der
Funktion W(x)
fi(x)
und
v{x).
Formeln des § 68 einen Integralausdruck: für die
und dadurch auch für log r(x) zu erhalten,
selbst
haben wir vor allem
die Eulersche
Konstante
bestimmtes Integral
als
darzustellen; wir ziehen es indessen vor, eine viel allgemeinere Auf-
gabe
zu lösen,
indem
wir
Integraldarstellungen
für
die
beiden
Funktionen:
= log x — ^F(x),
—
{i(x) = log r(x) —
v{x)
(ic
YJ
log
a;
4-
a;
— log |/2;nr
herleiten wollen.
Eine erste Gattung solcher Darstellungen
(9)
und §
liefern
die
in § 33,
34, (6) gegebenen Reihenentwicklungen:
.(-)=;f(--^,-iog(i+,-^)),
=
(1)
4
^(^)JJ[(^ + , +
(2)
1)
2)
±)log(l
Grunert Archiv, Bd. 11, p. 70; 1848.
HandHnger der Stockholmer Akademie^ 1850,
+ -i_)^l],
11.
Die Funktionen W{x) und log r{x).
Kapitel Xni.
175
% 70.
indem wir das allgemeine Glied dieser Reihen als bestimmtes Integral
darstellen und dann die Summen dieser Ausdrücke bilden.
Gehen wir erstens von den in § 51, (1), (2) gegebenen Formeln
für
—
und log (l-\
)
aus:
<»
log(l
+
^-"^^
=f'-^
I)
9^(^)
> 0.
u
so folgt daraus unmittelbar die Integraldarstellung:
cc
Nun
hat die in (3) vorkommende zu integrierende Fimktion oflFenbar
eine einfache
ist
NuUsteUe
in
^
= 0;
die
Funktion linker Hand in (3)
daher summierbar, und die allgemeine Formel § 48, (4)
liefert
unmittelbar das gewünschte Resultat:
"W "/(tIH - T + l) «-"''',
(4)
welches
man Binet^)
verdankt.
Aus den Definitionen
seiQ
für ^(x)
^«(a:)
(5)
Da nun vermöge
9JW>0,
und v{x)
folgt aber die Identität:
= ^-v(^).
(4):
muß, so ergibt eiae Integration nach x:
X
(6)
p(*) + ir=j(-^L__i + ^)f:^',
denn
die
unbestimmte
Integration
nach x
zu integrierende Funktion eine NullsteUe
1)
in
SR(:.)>0;
ist
^
=
erlaubt,
hat.
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 27, p. 243; 1839.
weil
die
um mm
-
:
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
176
K
den Wert von
zu bestimmen, setzen
wir zuerst
in
(6)
x
=
1,
woraus
CO
l-loeV2^ +
(7)
folgt,
während
i-
die
Annahme
- i log 2 +
Daraus
ergibt.
dt_
K=f{-^^-\ + y)j T
folgt,
Ji:
rr
=—
1 + i)
=/(^-,^-
indem man 2t
statt
t
.
H-±
d_t
t
einführt:
l_log2 + 2Ji:-/(-^-4- +
(8)
Weise:
in ähnlicher
l)iJ.
Die Subtraktion von (7) und (8) ergibt indessen vermöge § 68,(4)
0.
Damit haben wir folgende
nach einer einfachen Rechnung
K=
andere Formel von Binet^):
(X
K^)=/(^t-T + y)^'^^^^
(9)
^(^)>0
•
gefunden.
Andere Integraldarstellungen für ^(x) und v(x) können folgender-
maßen
hergeleitet werden.
Aus
der Identität:
folgt unmittelbar die andere:
1
und daraus durch
Differentiation
nach x
:
1
2a?(a;-f-l)'
1)
Journal de
l'ißcole
Polytechnique, cahier 27, p. 240; 1839.
Kapitel XIII.
endlich
eine
ergibt
Die Funktionen
W^x und
Integration
partielle
log r(x;.
177
§ 70.
wegen (10) und (11)
die
ähnlichen Darstellungen:
1
T fm-'" -
(12)
+ -i)
("
'"«
i'
+ ^)-''
U
1
/*/
(13)
^
^
e/
Setzt
(*
+7
**3
f7^=
a:)'
mau noch
- - logfl
+ -) - 2x(x-fl)
^-tVtx»V
a;
in
a;/
'
den vier letzten Formeln
statt
x der Reihe
nach:
X
und nimmt
die
Summe
-\-
1,
X
-\-
-{-
3,
•
"
erhalteneu Gleichungen, so ergeben
so
aller
X
2,
der Funktionen
sich offenbar Integraldarstellungen
{i{x)
und v(x)]
aus den Formeln:
1
findet
man
erstens
1
wegen (12) und
(13):
1
(14)
iiix)
={
fit
-
t')
W^'\t
+
x) dt,
1
(15)
^-
vix)
^ i-
.f(t
-
t^)
Wi^Kt
Formel (14) rührt von Hermite^) her;
man aus (10) und (11):
die
(16)
/.(^)
+ X) dt-,
in ähnlicher
Weise
findet
=
«=0t/
(17)
„(^).^^gy_^_ii_,rf(.
Die beiden letzten Formeln können indessen in sehr el^anter
1) American Journal, Bd. 17, p. 7; 1895.
Nielaen, Thaoris der G»minafanktion.
12
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
178
Weise umgestaltet werden; aus der gewöhnlichen logarithmischen
Reihe findet
man nämlich
<ö<
für
2ji::
- log(l - e-'ö) =='5^-lM_ZLi!!?j£^^
woraus durch Trennung der reellen und der imaginären Komponenten:
4
folgt; setzt
man
=
1
daher allgemein:
^(,)Jj:ii5^
(18)
n
und bezeichnet
die
[x]
^x
=
l
ganze
größte
dann
Zahl,
welche für
rr
>
die
Ungleichung
[x]
(19)
A(x)
= ^-x +
somit findet
man
aus (10) und (11) die beiden weiteren Integral-
befriedigt,
ist:
A{x+l)^A(x);
[xl
darstellungen:
K^) -f/fi'J*'
(20)
00
,(,)_^_J^.rf,;
(21)
nach Stiltjes^) rührt die Formel (20) von Bourguet her; dies
ist aber nicht
zutreffend, weil sie schon früher von Gilbert^)
publiziert
Es
worden
ist.
leuchtet ein, daß
die
beiden Formeln
(20)
und (21)
für
x keinen Sinn haben, sonst aber für einen willkürlichen Wert von x anwendbar sind.
Wir wollen von der Formel § 39, (9) hier noch eine Annicht positive
reelle,
wendung
folgt
zeigen; aus:
nämlich unmittelbar wegen § 68,
1)
Journal de Mathematiques,
2)
Recherches sur
le
(4)
Bd.
5, p.
developpement de
de Belgiques, Bd. 41; 1875.
(1):
432; 1889.
la fonction T,
p. 12.
Academie
Die Funktionen W{x) und log r(x).
Kapitel XHI.
179
§ 71.
1
vix)
(22)
=/(r4V,
{t''
+
^'
+
^^
+ f''' +
•
•
)dt,
9l(rr)
> 0;
null ist aber:
{1 -\-t)t
1
t
+i'
1.1,1,1,
somit findet
(23)
v{x)
=
man
'^
_i.
aus (22):
-J^tif' + ^' + ^' + ^^^' +
und daraus durch Integration von
•
0^^
9t(^)>0
x und unter Anwendung
bis
1
•
der Identitäten:
i^^'K^)
^-
==
v{x),
.a(l)
=
1
- log y^
die weitere Darstellung:
somit ergibt die
Annahme x
=-
—
wegen §
34, (13):
daraus ergibt sieh endlich durch Addition der beiden letzten Glei-
chungen
(25)
die gesuchte
Kx) =
Formel:
logl/l+/^^,(-. + ^%'^ + ^' + ...),
man Catalan^) verdankt.
Aus (23) findet man weiter
welche
für
a;
=
1
die (24) ähnliche Inte-
gralformel für die Eidersche Konstant«:
1
C=l
(26)
-J~if + ^ +
^^
+
<^«
+ ••),
n
welche ebenfalls von Catalan-) gefunden worden
1)
Journal de Mathematiques,
(3)
Bd.
1, p.
ist.
226; 1875.
2) loc. cit. p. 215.
12*
180
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
§ 71.
Integraldarstellungen zweiter Gattung für ^(x)
Die Integraldarstellungen § 70,
v(x).
(4), (9):
=/(^^i - f +
vix)
(1)
und
'"'^^^^
^^^)
>^
00
K^) ==/(eAi
(2)
- I + y) -r dt,
^(x)>0
und § 68,(1):
00
^(x)>0
ß{x)=f^^dt,
(3)
lassen
sich
auf andere Formen
welche
bringen,
in
der Tat sehr
interessant sind.
Zu dem Ende
ncot7CX
(4)
welche
als eine
setzen wir in der bekannten Entwicklung:
= 7ti-——f^^———. =
—\-2x-^-i
unmittelbare Folgerung von §
5, (2), (7)
.,
anzusehen
_ _L.
ist:
'
wir erhalten somit nach einer einfachen Rechnung die weitere Formel
von Euler^):
«=00
2tLe*—
1
t
^
^
2J
i«-f-4s*7r«
«=1
und daraus wegen
(1):
(5)
^(^)
WO
der Kürze halber:
=
<^l
+
+
^2
<^3
+
^4+---,
00
V
gesetzt
worden
Nun
-f-
4:W*Jt^
ist.
ergibt die Substitution
t
==
2n7iz ohne weiteres:
daraus aber folgt wegen (5) für ^(x) die Integraldarstellung:
1)
Introductio in Analysin infinitorum § 183.
Die Funktionen W{x) und log r{x).
Kapitel XID.
^(^)^_±.Ji2£(L^^rf,,
(6)
p(^)
(7)
während
wegen
9,(^)>o
partielle Integration die ähnliche
und daraus durch
181
% 71.
Formel:
= 2«.J^5^i^rf<,
9J(^)>0,
die Identität:
(6) für v{x) die entsprechende Darstellung:
liefert.
Aus
man
der
zu
analogen Entwicklung für
(4)
:c
:
cos
xx
findet
weiter:
_o^ *V
1
und daraus wegen
(3)
(-i)'(2g
i)
noch folgende Integraldarstellung:
Y'^(-+I)=j \^.^+.-«»
(9)
+
•^'
9'W>*'-
entwickelten Formeln (6), (8), (9) haben also
0; unter derselben Yoraussetzimg
sämtlich einen Sinn für 9i(.r)
Die drei eben
>
findet
/im
man
mittels der Transformation tx
f logCi-e-'^-)
^
/^
= z:
/"^^(^)
.
,
^
»
(11)
k^)-^+2/^^^^^^-^-;l_,^
(12)
^-/»(x+l)-/
^,..^'^,,.
denn diese Formeln sind für positke,
beide Seiten
wenn nur
dieser
9?(x)
>
Identitäten
sind
,
-^i
reelle
x
vorausgesetzt wird.
und
sicher richtig,
analytische Funktionen
Die Formel (12)
in
ist
rr,
von
—
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
182
Legendre'),
Binet^) und
von Poisson'),
(11)
die erste
die letzte Formel (10) von
Formel (10) von Schaar*) gefunden worden.
Wir wollen noch den Wert
" arctg
f(x) =
/W
2
•
«
(
s„,
—e^'"-\-l
/
J
der beiden anderen Integrale
I
'g(x)^ ==
dz,
^^
'
2
•
on/^
-.-^
I
J
n
,
(/_|_a;2)(e2«^4.i)'
bestimmen; eine einfache Rechnung ergibt:
(.(x)
- fix) = 4
<^)
- arctg
i'A
^,J^[
J
+
d,
=2
-j
- K2^) = 2
'
(t'-^ix'){e''''-l)
die gesuchten
Werte:
/^^
dt
=
-I
H^)-2H2.)-2-/ y^^,;^;„,^,)
(14)
U\
--.-.^ dt,
tdt
4
^-^f
J
-o~2x
man
Daraus erhält
K-)
arctg
- 9{^) =2^ + 4 f^^:^^j^v^^
=
(13)
%
-/Hl-Ö
,,,
.
Die Formeln (10) bis (14), welche also sämtlich für fR(a;)
sind, bieten eine interessante Eigentümlichkeit dar.
anwendbar
>
In
der Tat konvergieren die entsprechenden Integrale sämtlich offenbar
auch für
9f?
(x)
< 0,
während
Petersen^) hat
er
sie für 'Si(x)
=
diese Verhältnisse für
sinnlos werden.
(11)
gezeigt hat, daß das betreffende Integral für
dene
'^(x)^0
verschie-
darstellt; durch Anwendung seiner allgemeinen
Eul er sehen SummenformeP) findet Petersen näm-
Funktionen
Darstellung der
lich,
aufgeklärt, indem
daß allgemein:
1)
Exercices sur
2)
Memoires de
3)
4)
Journal de TEcole Polytechnique, cahier 27, p. 243; 1839.
Memoires Couronnes de Bruxelles, Bd. 22, p. 6; 1846.
5)
Vorlesungen über Funktionentheorie,
6) loc.
cit.
le calcul integral; 5, 50.
l'Institut
p. 164.
de France; 1811,
p.
p. 221.
232; Kopenhagen 1898.
Die Funktionen V{x) und log r{x).
Kapitel XIH.
183
§ 72.
\
sein
muß, und
es leuchtet ein,
man
daß
die übrigen
obengenannten
Weise behandeln kann.
Integrale in ähnlicher
Das Ergebnis von Petersen
ist
der Tat sehr interessant,
in
weil die betrefiFenden Integrale in den zwei Halbebenen verschiedene
Funktionen darstellen, welche beide für sich in der ganzen a:-Ebene
analytisch fortgesetzt werden können.
§ 72.
Nachdem wir
v(x)
= log a;
gefunden haben,
Die Funktion W(x).
die Int«graldarstellung § 70, (4) für v(x):
W(x)
ist es
= f(-T^
T + ^) ^"''^^
sehr leicht, die Funktion
W(x)
'iR(x)>0
selbst als be-
stimmtes Integral auszudrücken; es bleibt uns nämlich nur übrig,
die
Funktion log x mittels § 51,
(2) zu eliminieren;
da nun:
''~'~'~''
\ogx=
ist,
so ergibt sich
9i(x)>0
dt,
I
ohne weiteres die gewünschte Integralformel:
^(a>)=f(^-j^)dt,
(1)
von Gauß*)
Eule r sehe Konstante
welche
herrührt;
für
x
=
1
folgt
m{x)>0,
aus
(1)
für
die
der Ausdruck:
C^j\-^-i^)ät,
(2)
welchen
Aus
man Euler^)
(1) findet
verdankt.
man, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet,
ohne Mühe, daß:
1) Conunent. Gotting. Bd.
Ausgabe, p. 49.
2, p.
41; 1812.
Werke, Bd.
2) Novi Commentarii Acad. Petrop. Bd. 14,
Acad. Petrop. 1781 I, p. 73; 1784.
p.
III, p.
159.
Deutsche
155; (1769) 1770.
Acta
Zweiter Teil.
184
»=o
sein
./
muß; daraus
Bestimmte Integrale.
i_e
\
indem man
folgt,
t
=—
/
«
n log
von
z einführt, die
Arndt ^) gefundene Formel:
«
=
Der Zusammenhang zwischen (3) und der Gauß sehen Multiplikationsformel für W{x) liegt auf der Hand.
Eine andere Integraldarstellung für W{x) kann aus der Identität:
00
=
r^^\x)
(4)
hergeleitet werden.
r{x)
W{x)
=
fe-'if-'' log tdt,
Zu dem Ende führen wir
aus § 51, (2) gebildeten Integralausdruck
CO
r{x)
(5)
•
W{x)
=
fe-H^--'dt
[
C
nun
ist
W(x)
/ -~ le-'
und
dürfen wir
es wird:
00
fe-'t^--'dt -
fe-(^ + ')'t''-'dt
•
'
00
fe-H^-'dt=^r(x),
also folgt aus (6) die
darstellung
+
fe-^^ + ')H^--'dt={l
z)-^- r(x),
von Lejeune-Dirichlet^) gefundene Integral-
:
y>'(^)=J(e--(l
(7)
2)
so
positiv,
aber:
OO
1)
den
t
sich:
dz
CO
00
r{x)
>
00
die Integrationsfolge in (5) vertauschen^),
(6)
in (4) statt log
dann ergibt
ein,
denken wir uns nun für einen Augenblick x
=
9l(^)
Grunert Archiv, Bd.
Stolz,
+ 0-^)Y,
10, p. 253; 1847.
Grundzüge der
Differential-
und Integralrechnung, Bd.
III,
p. 183.
3)
p. 275.
Journal für Mathematik, Bd. 15,
p.
258—263;
1836.
Werke, Bd.
I,
Die Funktionen T{x) und log r(x).
Kapitel XIII.
185
g 73.
>
anwendbar ist; denn in diesem Falle
welche offenbar für ^(x)
sind die Funktionen der beiden Seiten in (7) in x analytische Funktionen, die, wie wir gesehen haben, für positive
Aus
der
man
(7) findet
Eul er sehen
erstens für
x=
1
x identisch
sind.
folgende Integraldarstellung
Konstante:
«=/(tT,— ')f.
(8)
zweitens die Formel:
^(,) _,,(,)= j(_L___±_)'L',
(9)
>
welche für ^{x)
in (9)
welche
i
= —f
und
9l(y)
anwendbar
ist;
setzt
man noch
so ergibt sich die Formel:
Legendre*)
von
>
Transformation
1
-\-
z
=
1
wahrend
herrührt,
Formel (9) angegeben hat.
Dirichlet') hat dann
Integraldarstellimg
die
umgestaltet;
t
:
Schlömilch^
man
(7)
die
durch die
nach einer
ein-
Integraldarstellungen
für
findet
fachen Rechnung die Formel:
1
Wix)
(11)
=
Die Funktion log r(x).
§ 73.
Nachdem
wir
W(x) gefunden haben,
für
log r^x)
zeigen,
daß
zu
es
vorhergehenden
die
ist
finden:
erlaubt
es
denn
ist,
sehr leicht,
gewöhnlichen
die
unter
entsprechende Formeln
dem
Überlegungen*)
Integralzeichen nach x zu
integrieren.
1)
Exercices
sxtr le
calcul integial, Bd.
11,
2;
Beiträge,
p. 78;
1843, Studien
35; 1848.
I,
p.
p. 107; Paris 1817.
Grunert Archiv, Bd.
9,
p. 8; 1847.
3)
4)
Journal für Mathematik, Bd. 15, p. 258—263; 1836; Werke, Bd.
Stolz, Grundzüge, Bd. m, p. 18.
I,
p. 275.
186
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
Gehen wir erstens von § 12, (7) aus, so ergibt die Integration
bis X unmittelbar die von Feaux^) herrührende Formel:
von
1
00
+ r"-(i + r''
logr(x)^f[(x-l)e-^+^^^
log(l
(1)
+
Aus
§ 12, (9)
von
X
7j
y statt
log
(2)
eingeführt hat:
nx) - log ^f ±|)
man
weiter hat
^(x)>0.
kann man eine ähnliche Darstellung herleiten. Die
bis x ergibt in der Tat, nachdem man zuerst
1
Integration
-{-
dt
*)
= f(-i- - 1) (l^ty^-il + t)--
^4-^
ät-
t)
offenbar:
CO
log (1
(3)
+ 2/)=/-^ +
'^
-
log(l
+
+
(!
<)•
-y-2
dt.
f)
denn eine Differentiation nach y führt auf eine offenbare Identität
zurück, und die beiden Seiten verschwinden für ^ = 0; aus (2) und
(3) findet
man
aber offenbar:
n2/
+ i)(y +
i)
CO
-/(
(4)
x-1
(l
+ <)~^-(l-f-'^)
dt
log(l+<)
+
00
+
(1
^)
<
Läßt
man nun
^-(1+*)"
log
+
(1
—
+ «)*J
{iJrt)y
in (4) Sa{y) über jede Grenze hinauswachsen, so
folgt
wegen
(5)
.ogr(.)^/(^|,+
welche
X
(l
des Grenzwertes § 38, (4) die Formel:
man Feaux^)
(-+')---aH-r'
dt
) log(l+«)
verdankt; aus (4) findet
man demnach
'
mittels
(5) die weitere Integraldarstelluag:
(6)
^+^^
\oa(
in (5)
muß man ^{x)
>)
=
> 0,
f\^^ +
in (6)
m{x
(1
+r'-(i+o"
dt
t\og{i-\-t)
(i-j-tr
+ y)>0,
^(y)
>-
nehmen.
1)
De
functione quae littera
2) loc. cit.
F
obsignatur
etc.
Münster 1844.
1
an-
Kapitel
Xm.
Die Fanktionen W^^x) und log r(x).
Wir gehen nunmehr von §
log r{x)
(7)
^J{{x -
man Plana^)
welche
aus und finden durch die-
72, (1)
für log r(x) unmittelbar folgende Integraldarstellimg:
Methode
selbe
+ -^^^^f^^-) T'
l)e-'
verdankt; sie
ist
man
in (7)
t
= — log z,
^(^)
Malmsten')
zugeschrieben.
so wird:
logr(:.)=/(i^^-(x-l))i^^,
(8)
> ^>
später von Binet*) wieder-
gefunden, wird aber dennoch recht häufig
Setzt
187
§ 73.
9J(^)>0,
daraus ergibt sich ohne weiteres vermöge der allgemeinen Formel
§ 49,
die
(-4)
log r{x
-J-
welche Hermite*) für
Binominalkoeffizieutenreihe,
y) entwickelt hat.
aus den beiden Formeln (7) und (8) eine
Erstens finden wir
anderer Integraldarstellungen herleiten.
Wir woUen nunmehr
Reihe
mit Malmsten^) aus (7) die elegante Formel:)
^
—
(i_e-*)
«(1
e *)
wo
gleichzeitig
also
?R(a;)>0, ^{x
r(x-|-2y)r(x-2y)
r{x)r{x)
±2y)>0
angenommen wer-
den muß.
In ähnlicher Weise findet
man
aus (8) die analoge Formel:
1
log
(10)
welche
findet
^("^+^'
schon Euler^)
man
+
=- r
^)
(1-^^0(1
und Legendre'^) bekannt war.
= log
^
i_e
+J
1)
Memoires de Turin, 1818.
2)
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 27,
3) Journal für
7)
Mathematik, Bd.
Annali di Matematica,
5) Journal für
6) Isova
dt
«-')
Aus
ferner:
log B{x, y)
4)
-
(ß]
5.
1900.
35, p. 76: 1847.
Acta Acad. Petrop. Bd. iE; 1777.
Exercices snr le calcul integral, Bd.
11, p.
T^^
261; 1839.
35, p. 74; 1847.
Bd.
Mathematik, Bd.
p.
"
108; 1817.
(10)
188
Zweiter Teil.
und daraus wegen §
Bestimmte Integrale.
von Binet^) bemerkte Formel:
51, (3) die
iogB(.„)=/(Lr4(-|)^il^,,,
(11)
>
WO man
>
also ^(x)
annehmen muß.
0, 'iR{y)
Weiter setzen wir in (10) x^ + x^ statt x^-, die Subtraktion
der beiden so erhaltenen Gleichungen gibt dann die Formel von
Legendre^):
+ 1) rix, + ^, + ^3 + 1)
lo^ ^(^x
(12)
/' ^-' (i
...
- z^^) (i - ^0
,
„
u
von Stern^), wie
Sie ist
Setzen
wir
in
folgt, beträchtlich
x^
(10)
statt
Gleichung von (12) ab, so ergibt
°
r(x,
+
1)
rix,
+
1)
verallgemeinert worden.
und ziehen
x^^
die
so
erhaltene
sich:
r(x,
+
r(x,
1)
-\-
x,
-\-
x,
-\-
1)
1
(13)
«f^
(1-0 log«
fahren wir nun in ähnlicher Weise mit dieser Formel
die vollständige Induktion
Aus den
verschiedenen Größen x^,
x^,
-
lichen
Kombinationen ohne Wiederholungen;
V die
Summe
bination
fort,
so ergibt
den Satz von Stern:
•
-,
es
man
alle
mög-
bedeuten weiter u
und
x^ bildet
derjenigen Größen, welche in einer tvillkürlichen
mit einer geraden
kommen ; dann
ist
bzw.
ungeraden Anzahl Elementen
Komvor-
allgemein:
1
(i4)/ (' - ^'^SLi' ~ '"^ <^i -^iogr(.+i)-^iogr(,.+i),
vorausgesetzt,
daß
alle
^{u)> — \, ^{v)> —
u und v der Bedingung
\
genügen.
Setzt
man noch
in (14) x^
+ ^„+i
traktion dieser beiden Gleichungen den
1
/
(15)
f, (l
_ fr) (i _
^^3)
statt x^, so
Wert
bestimmt die Sub-
des folgenden Integrals:
...(i_fn^\) ^^
^^-
il-t)\ogt
2)
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 27, p. 184; 1839.
Exercices sur le calcul integral, Bd. II, p. 108; Paris 1817.
3)
Zur Theorie der Eulerschen Integrale,
1)
p.
13; Göttinger Studien 1847.
Kapitel
Ans
Xm.
Die Funktionen ^\x) und log r(x).
Stern ^)
(14) leitet
formel ab, indem er x^
dann nacheinander
von Euler*) herrührende Integral-
eine
= x^ =
•
•
•
= x„ =
wo
die beiden Fälle,
1 einführt
;
betrachtet
i
ist,
die Formel:
J(t-iy.Jl^^^i-iy[^)log(n-s +
(16)
man
n gerade oder ungerade
Rechnung
so gibt eine ziemlich einfache
189
§ 74.
l),
=
welche indes auch unmittelbar aus § 51, (2) mittels § 48, (1) her-
werden kann.
geleitet
Einige
§ 74.
Anwendungen
der Funktion v(x).
Die Funktion:
s= *
v(,x)
(1)
- log . - -PW -2'
»
findet
eine
&(.)
=^+
(^ -
log (l
Anwendung
nicht uninteressante
wickelten Partialbrüche:
(2)
=
^^
+
+
+ ^))
auf die in § 50 ent-
---
oder auch:
1
OD
@(x) = f(p{t)f-''dt ==
(3)
I
(f(e-')e-'^ilt,
m(x)
> 0,
worin:
q>{t)
(4)
gesetzt
Es
worden
ist
= % + a^t + oj^s _^ «3^ -H
•
.
•
ist.
in der
Tat leicht einzusehen, daß die beiden folgenden
Reihen:
(5)
«
=
überall da konvergieren müssen,
ist
2'"'"(^ + *^
2'«--'°s(7Tf)'
<
wo
=
dies
mit (2) der Fall
nämlich:
1) loc. cit. p. 15.
2) Institutiones calculi integralis,
Bd. IV,
p. 271;
1794.
ist:
erstens
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
190
woraus
Konvergenz der ersten Reihe
die
zweitens
ist
aber wegen § 70, (4):
a,
(7)
Da nun
deutlich hervorgeht;
(5)
•
v(x
+
= f(-T^
s)
die aus (4) für
gliedweise integrabel
(e~ ') erhaltene
cp
ist,
+
l
l) e-'^
Reihe von
-
a^e-'*dt.
t
=
bis
=
t
oo
so zeigt ein bekannter Satz^), daß auch die
Reihe (5) konvergiert, wo dies mit (2) der Fall ist; denn die
Konvergenz der erwähnten Reihe hängt ja nur von den entfernteren
Gliedern ab, und bei hinlänglich großem s ist die Formel (7) für
jeden endlichen Wert von x anwendbar.
letzte
Was
dagegen die aus
(7) erhaltene
«=00
0^,
^
(8)
«
«,
•
vix
+
s)
=j (-,-^- -
e
+ l) 'p(e-')e-*^cU
=
im allgemeinen nur für 9ft(a;)>0 anwendbar,
betrifft,
so
während
die entsprechende Integraldarstellung:
sie
ist
j@(^)^^=2«,log(f|f)
(9)
1
4
Überall da richtig bleibt,
Nach
diesen
wo
=
die
aus,
wo J(x
-f 1) == Jix)
Integral linker
^-'
^s
wird, woraus
=
Hand
'^(^
wegen
^-i@(a;)
(10)
wo
sein
Sinn
hat.
Identität:
muß; wir können daher das endliche
so bestimmen, daß:
+ ^) - i^g (^ +
1)
^ log (ttt) - ''(^ + ^)
(9) die allgemein gültige
Formel:
=
+ s) + J"(a;)
/ (3{x)dx
-^a^
j
v(x
=
J(x) der Feriodizitätsbedingung J{x
sonst aber ganz willkürlich
angenommen werden
der folgende Satz bewiesen:
1)
(2) einen
n^ + s)-\-j(x),
1
folgt,
Entwicklung
Bemerkungen gehen wir von der
^-'-^-^ =
'
Formel:
ü. Dini, Grundlagen, p. 528.
-{-
1)
=
darf;
J(x) genügt,
damit
ist
aber
Kapitel XIIL
r
Die Funktionen W{_x) und log
x).
§
ist es
Falls die PartialbrucheniukMung (2) konvergiert,
191
74.
möglichj
das endliche Integral von %(x) so zu bestimmen, daß:
*= OD
*
-
f&(x)dx
(11)
wird,
und
®(x); die
diese
V
«*
•
"(^
+ *)
Entwicklung hat einen Sinn außer in den Polen von
aus (11) und (8) fließende Formel:
iceitere
f®(x)dx
(12)
=
J-'Q5ix)
- J-m{x)
=J{j^ ~ T
"^
"P^''^''^^*
1
ist
im allgemeinen nur für fSi(x)>0 anwendbar.
Als erstes Beispiel setzen wir:
&(x)==ß{x),
9P(0
= i^;
die Differenzengleichmig § 5, (16)*.
^ß{x)=^^-2ß{x)
ergibt dairn unmittelbar:
^- 'ß(x)
(13)
und daraus
flog
Um
statt
folgt
.T
wegen
- log B
=I
W(x)
- I ßix) + J(x),
(12):
(f, I)
-1
Wix)
+ I ß(x) + J(^) -
den Wert von J(x) zu bestimmen, setzen wir in (14) .r -f- 1
x: die Addition der beiden so erhaltenen Gleichungen ergibt
dann unter Anwendung bekannter Formeln:
J(a;)
= -log]/f,
Somit finden wir für die Funktion:
(15)
Hix)
= log v^ - log ß (f
,
i)
- 1 n^)
die Reihenentwicklung:
(16)
H(x)
=^ (-
1)'
{v{x
+ S) - ^^y)
Bestimmte Integrale,
Zweiter Teil.
192
und den Integralausdruck:
Aus
(17) ergibt
m(x)>0.
dt,
die nocli einfachere Integraldarstellung:
sieli
^{x)>-l.
H{x-\-l)-^ß{x-\-l)=^J{-~~-j)j^dt,
(18)
folgt
Als zweites Beispiel betrachten wir die Funktion W(x)] aus (1)
ohne weiteres, daß:
y^(^)=^iogx-{v(x)-^)-^
(19)
sein
^
~j\^ - i + i)
H(cc)
(17)
muß.
Setzen wir daher der Kürze halber:
*(^)
(20)
-2
,v
("(*
+ s) --^i^)
=
oder als bestimmtes Integral:
(21)
g>(,,)=J(_^_|
+ i-)_i^rf(,
SR(^)>0,
so ergibt sich aus (19) folgende Identität:
J--'W(x)
(22)
die
= log r(x) -\-0(x)-Y
'-P'(^)
+ Ji^)-
Eliminiert
man
aber aus (22) log r(x) und W(x), indem
Funktionen
(i(x)
und v{x) mittels
(23)
fi(x)
(1)
= log r(x) -{x-Y)logxi-x- log ]/2^
einführt, so erhält
man
die zu (23) analoge Darstellung:
=
X(x)
+
(24)
wo
z/- 1
W(x)
(^
-
1) log
a;
- +
ic
log ]/2^
+
J(oc)
,
der Kürze halber:
X{x)
(25)
gesetzt
(26)
man
und der Formel:
worden
X(x)
-
ist.
=
fiix)
+ I rix) +
^(x)
Daraus folgt für X(x) die Integraldarstellung:
^ +f[{-^, + l)'- (t +
v)'j
'- "'"'
^ (^) > 0-
Xm.
Kapitel
Die Funktionen
Die Funktion X(x)
^'x und
daher,
spielt
log r{x).
19B
§ 75.
wie aus (23) und (24) deut-
RoUe
hervorgeht, für die Auswertung von zJ~'^W(x) dieselbe
lich
wie
für:
}t,{x)
X
log r{x)
= fwixjdx.
1
Diese Analogie der beiden Funktionen
deutlicher
Wir
u(x)
und X(x)
noch
tritt
unseren späteren Untersuchungen §§ 114, 118 hervor.
bemerken noch, daß die IntegraldarsteUungen (21) und
in
(26) unmittelbar folgende andere:
2^(a:)-Ä-(a:)+^=J[^-| + |]%— rf^ ^ix)>-2
(27)
liefeiTL
Produkte und Quadrate von ß(x) und W{x)
§ 75.
Die
in
50
§
entwickelte
Partialbruchentwicklung
+
C.
gestattet
uns in einfacher Weise, die in § 20 betrachteten Produkte zweier
der Funktionen ß{x) und W(x) -f C als bestimmte Integrale darzustellen.
Erstens gehen wir von der Formelgruppe § 20,
{W(x)
+ q{W(l -x) +
ßix){n^)
aus,
wo
gesetzt
+
c)
C)
= - ßi^K^)
=
''^
-
m-
-h ß(x) log 2
+
1(1
1
(1), (3), (4):
- X),
m) - I s(^)
der Kürze halber:
worden
ist;
für ^(x) zu finden.
kommt
es
also darauf an, eine Integraldarstellung
Zu dem Ende gehen wir von
9(0-|-* + l| + y)-«'+(| + Y + |)
•*«
der Potenzreihe:
+
••,
aus und finden so ohne weiteres:
^^^
Nielsen, Theorie
1
der
l
— t^2 1—t^
Gam m afnnktion.
1
—
t
13
'<!
194
Zweiter Teil.
Daraus folgt wegen § 50,
Bestimmte Integrale.
(2):
1
sw,-r
(1)
Nun
ist
(''"'-')^y('-')
sRw>o.
dt,
aber nach § 68, (7):
=
wm{x)
(2)
-J *^^^f'
^{x)>0
dt,
und somit auch:
1
'log^
^==^(i)(l)==_J-l^^.-^j^,
(3)
woraus ohne weiteres
(yix^)
(4)
die Integraldarstellungen:
+ 6y==Ji^^:^'l^'^H^^
^[^x)>o,
1
dt
folgen,
wo man
Die
also 2
>
9fi(a;)
>
voraussetzen muß.
oben erwähnten Funktionen ß{x)(W{x)
dritte der
-\-
nun auch ohne Mühe als Integral dargestellt werden;
haltene Ausdruck wird indessen nicht ganz einfach.
Die andere Formelgruppe § 20,
C) kann
der
(5), (7):
{ß{x)y=WW{x)-2ri{x),
ß(x)ß{l
wo
-
x)
= y^ix) +
r;(l
- x),
der Kürze halber:
S= OD
s
gesetzt
9(0
worden
=l
ist,
= log 2 +
führt auf die Potenzreihe:
(log
2-\~).t+
(log 2
-I+
[)
zurück, aus der:
l
folgt.
Somit ergeben sich
—
t
die Integraldarstellungen:
.f^-.
er-
Die Funktionen ^(x) und log r{x).
Kapitel XHI.
,(x)-/
(6)
(8)
'°^^-y+-^-<-Mf,
^^-ät.
ß(.)ß{l-^)-f^^-'---'^^\tf^"^
19o
§ 75.
S(x)>0,
1>9JW>0,
(7) auch als eine unmittelbare Folge der allgemeinen
Formel § 46, (6) für das Produkt zweier Integrale der Gattung
^(x) angesehen werden kann.
EndHch haben wir noch die Formel § 20, (8):
von welchen
ß{x){Wa
-x)-^q = - ^^)(l - x) log 2 - ^,{x) + U^ - x)
zu untersuchen,
wo
«
der Kurze halber:
=1
3=3:
»
gesetzt
worden
=
1
ist.
Dieselbe Methode wie vorher liefert hier die Integraldarstellungen:
1
i, (X)
(9)
=1*^^-2- -f-'dt,
9!(a.)
> 0,
1
^(^)
(10)
= -/^^^^-^-^d^,
9l(^)>0,
/'°«^+'°«<'+")';";-'°«"-'>-'"'
(11)
^(x)(y(i-x)+c)-
wo man
in (11) 2
> 9l(a:) >
voraussetzen muß.
13<
d<,
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
196
Kapitel XIY.
Anwendungen.
Verallgemeinerung der Gaußschen Multiplikationsformel.
§ 76.
Als
§ 73,
Reihen für log r(x) und ¥(x).
Anwendung
weitere
eine
der
von Plana
Integralformel
(7):
00
log r(x)
(1)
wir
wollen
nunmehr
r(x) entwickelten
dem Ende
eine
-^^-) y
1)6-+
=J*((^-
Verallgemeinerung
von
Multiplikationsformel
setzen wir in (1)
px +'^
statt x,
ganze Zahlen bedeuten; die Substitution
t
der
Gauß
^(x)
,
in
\ogr{px + ^^) -J[e-'^' [px-\-\-
für
Zu
positive
ergibt dann:
— npzx — psz
(2)
6
§
herleiten.
wo p und n
= nz
>
„—nz'
-^"-^
f +
)
dz
z
Daraus folgt ohne Mühe:
2
log
r[px
+ ^') =y
e-^{npx
-n^ li'^.^ll) ^
(3)
e
npzx
1
- e-P'
1
—
dz
z
e'
man
aber nun in (3) die Zahlen n und p, so wird
nach einer Subtraktion der beiden so erhaltenen Gleichungen:
Vertauscht
r=p— 1
s=n—X
,
_2' log r{px
+f
)
-_2'i»g ^("^ +y)
=
(4)
= {nt,,^ + ^^l^-t)
.f£^^!=JL!l
M - J{n) + J(p),
^
wo
der Kürze halber für
9f?(a;)
> 0:
cc
= f\^^^^ - -^-^,- +
(5)
J{x)
gesetzt
worden
ist.
l
(^-e— - e-o'
dt
T
Reihen für logr{x) und W{x).
Anwendungen.
Kapitel XIV.
% 76.
197
Die Integralfonnel § 51, (2) ei^bt unmittelbar:
/i:ü=i:ü.,=,„,(^),
(6)
so daß uns nur übrig bleibt,
den Wert des Integrals J(x) zu be-
stimmen.
Zu diesem Zwecke bemerken wir zuerst, daß J(x) eine in x
vorausgesetzt
sein muß, falls nur 9t (.ü*) >
wird: wir denken uns daher für einen Augenblick x reell und positiy.
Eine Differentiation nach x ergibt, wenn man in das so erhaltene
Integral t = zx einsetzt, daß J'-^^x) von x ganz unabhängig ist.
Da nun offenbar:
analytische Funktion
sein
muß, so
findet
mau:
J(x)
(7)
wo
K
= ix-1)K,
noch unbekannte Konstante bedeutet.
zu bestimmen,
nun den Wert von
2 und erhalten somit wegen (7):
eine
K
Um
x
=
setzen
wir in (5)
es ist aber:
1-«-*'
Demnach
l-fe-'^l-e-'
folgt:
'
Somit ei^bt sich wegen § 68,
(6):
^=_log}/2^
Wir haben damit
die Formel:
oc
(8)
/[l^ - T^ + Y (»e-"-e-0]^'=(l-^)log]/2i
bewiesen,
wo
sich aus (4)
9?(a:)
und
2
*=0
>
vorausgesetzt
werden muß.
Also
(6) die Formel:
log ri'px
+f )
- {npx + ^^-p^)
J
log
r(«x+ ^) =
r=0
log (^)
+ (« - p) log V2i,
ergibt
198
Zweiter Teil.
Bestimmte Integrale,
aus der ohne weiteres die andere:
/7^(^-+f)
(9)
r
hergeleitet
=p — 1
ii)
=
man Schobloch^) verdankt, ist eine
Gau ß sehen Multiplikationsformel für r(a;);
zu erhalten, hat man in der Tat in (9) nur
welche
(9),
Verallgemeinerung der
um
—p
n
werden kann.
Die Formel
p
npx +
diesen Spezialfall
zu setzen.
1
Kummer
Reihe von
§ 77.
Die Integralformel von Plana § 73,
=J{{x -
log r(p:)
(1)
gestattet
noch eine von
uns
1)6-'+
für
log r{x)
setzen wir in (1) 1
—x
statt x.
log r(x) -f log r(l
dann ohne weiteres
ergibt
log r{x)
(7):
-~-J^) y
Kummer
Reihenentwicklung
für log r(x).
9f(x)
,
>
herrührende merkwürdige
herzuleiten.
Zu diesem Zwecke
Die Identität:
— x) = log % — log sin nx
die Integraldarstellung:
— log
71
-f
log sin 7CX
=
(2)
-K^^^^^^--Yi>
wo man
9ft(a;)
Formeln
(1)
<1
und
voraussetzen muß.
(2) ergibt sich aber
2 log r(x)
(3)
^
Aus
der Addition der beiden
ohne Mühe:
— log % + log sin tcx =
,~^,
(l-2^)e-
dt
t
WO
<
1)
9fl(ic)
<1
vorauszusetzen
ist.
Über Beta- und Gammafunktionen,
p. 11;
Halle 1884.
'
;
XR
Kapitel
trigonometrisclie
von der
-l-
«*'^)
^
=
nunmehiErstens
einige
199
ele-
gehen wir
die
für
(—
— < <+
:r
l)'(co8 (s
-f-
1) qp
4-
sin (8
+
1)
y)
=
«
aus,
wollen wir
Reihen entwickeln.
77.
Identität:
log (1
(4)
Reihen für log r{x) und W{x). §
Anwendungen.
diesen Vorbereitungen
Nach
mentare
.
9;
brauchbar
:r
ist.
Daraus ergibt sich
durch beiderseitige Trennung des Reellen und des Imaginären die
Entwicklung:
=
*
Es bedeute zweitens a
komplexe Größe, dann
eine
in
daher
(6)
(p
eine endliche
und bestimmte reeUe oder
ist:
und ungerade Funktion:
ganze transzendente
im Intervalle — :T<9;<-f-Ä in eine Reihe von der
a^ sin 3
+
e"*— e~"f = a^ sin + a, sin 2q)
-\-
qc
sie
kann
Form:
cp
entwickelt werden, in der sich die Koeffizienten a„ folgendermaßen
bestimmen
lassen:
+«
/
(7)
(c"''
— e-'"P) sin (n(p)d(p = ä
a„
aus der Identität:
2i8ija.(p
= e'>— e-'v
folgt aber die andere:
2i8mn(p (e^v—
e-«*)
und daraus wegen
(7):
= e(«+"«')9-|- e-{a+"0«p_ ^('^-"Ov— ^-(«-''Ov
Somit ergibt sieh ohne weiteres die trigonometrische Reihe:
ff(\
*
e°y_e-"y
^'^
«
welche also im Intervalle
=o
— <
.t
(-l/(s+l)8in(g + l)y
9:
<
4-
:r
brauchbar
ist.
?
200
Bestimmte Integrale,
Zweiter Teil.
Nach
diesen Erörterungen setzen wir
*^^2^'
=
9»
(1
-
nunmehr
und
in (5)
(8):
2a;)jc,
dann ergeben sich ohne weiteres die beiden Entwicklungen:
e^"
/qs,
—e
'
^''
'
i-2x-4.^
(10)
«
Führt
darf
^
=
die
man nun
so
(9)
unendliche Reihe
oü integriert werden, weil
- log {-£^) = 4 .^ a,
2 log rix)
in (3) ein, so
von
=
bis
ist.
Wir
^
Form:
s
wo
und (10)
gliedweise
unbedingt konvergent
sie
erhalten so eine Entwicklung von der
(11)
,
voraussetzen muß.
a:
Entwicklungen
die
erhaltene
""f;-'
=1
< <1
welchen man demnach
in
'^, 2sn-sin(2s7tx)
.
.
sin
{2^nx),
=l
der Kürze halber:
CO
/^
^
„s
gesetzt
'^-'''-^
worden
""
ist,
2n%'j
^nn
fi
und daraus
e~* \ dt
für a„ den weiteren Ausdruck:
\t^^4.n^%^
1 -{- 1)
t
,^
2n7C 'J
[l
+
t
^
)t'
Aus § 72, (8) folgt aber, daß der Wert des letzten Integrals
Hand in (13) die Eulersche Konstante C ist. Somit haben
rechter
wir nur noch das Integral:
t»
zu bestimmen; es
«^
'{a^ -i-t^)t
aber:
ist
^ _
~T
1
1
t
o^+i*^ '
t(i -f
woraus ohne weiteres:
J=
—
•
log a
t)
_
~
1
t
1
r+T
Kapitel XIV.
Anwendiingen.
Somit
werden kann.
gefolgert
Reihen für log r(x) und W(x). §
ist
201
77.
allgemein:
^n=-2^{G + ^og(2z) +
\ogn).
Daraus folgt wegen (11) die Entwicklung:
»
=1
weiche mit Zuhilfenahme von (10) noch Tereinfacht werden kann,
so daß sich endlich die gesuchte Formel:
log r{x)
= (y —
a;)
(C + log 2)
+ (1 — x) log n — - log sin
7t
x
+
(15)
Kummer^)
Sie rührt von
ei^bt.
richtig; der
oben gegebene Beweis
Die Formel (15)
ist
her und
ist
also
ist
für
0<a:<l
von Schlömilch^).
Weise von Gilbert'),
und Landsberg") bewiesen
später in anderer
Sehläfli*), Schlömilch^j, Hardy^)
worden.
Kummer^") hat mit Zuhilfenahme von
G au ß sehen
Multiplikationsformel
für
(15) einen Beweis der
r{x)
geliefert.
weis läßt die Gaußsche Fonnel für r(x), wie
eine einfache Folgerung der ähnlichen
vorgehen und
Setzt
Formel §
Dieser Be-
leicht sieht, als
6, (4) für sin
x
her-
daher sehr interessant.
ist
man
man
in (15)
^
= -t,
so ergibt sich
wegen § 54,(3)
die
numerische Identität:
(16)log(j^^_l(C-51og2)+log., + 2.ffc«l+i>.
1)
Journal für Mathematik, Bd. 35,
2)
Kompendium
3)
Recherches sur
p.
1—4;
1847.
der höheren Analysis, Bd. U, p. 259—260; 1879.
le
de'veloppement de la fonction F, p. 31.
Memoires
de Bruxelles, Bd. 41; 1875.
4) Über die zwei Heineschen Kugelfunktionen (Anhang); Bern 1881.
5) Zeitschrift für
Mathematik und Physik, Bd.
Bd. 31, p. 31—33; 1901.
6)
Messenger,
7)
Memoires Couronnes de
8) loc.
cit.
(2)
Belg., Bd. 55: 1897.
7,
p.
262—264:
1862.
Zweiter Teil.
202
§ 78.
Da
sie
Reihe von Lerch für ^{x)
Funktion W{x)
die
im Intervalle
Bestimmte Integrale.
0^^^
=
x
in
sin nx.
einen einfachen Pol hat,
ist
nicht integrierbar; somit kann sie auch
1
nicht wie ihr Integral log r(x) in eine trigonometrische Reihe ent-
Dagegen
wickelt werden.
besitzt die
Funktion W(x)
•
sin tix offen-
bar diese Eigenschaft.
Die Koeffizienten der trigonometrischen Reihe für W(x)
sin
;ra;
können ohne Mühe mittels der Formel § 11, (14) bestimmt werden.
Zu diesem Zwecke müssen wir aber vor aUem die Funktion log sin Ttx
näher untersuchen, was
man nämlich
in
mittels
§ 77, (4)
—
dieser
Formel 27cx
sm
= — log 2 — >
tc
geschehen kann.
statt
cp
Setzt
so ergibt sich die
Entwicklung:
log
(1)
Ttx
< <
^^
a;
,
1.
Daraus fließen ohne Mühe die Integralformeln:
1
log sin Ttx
/
(2)
•
sin
(2n7tx)dx == 0,
sin
(2n
1
log sin Ttx
/
-f
Vjnxdx
2 log 2
=
(2w-f 1)«
'
1
/
(3)
1
log sin Ttx
•
cos (2nTtx)dx
1
f
log sin TTX
cos
(2n
+
l)Ttxdx
= 0,
l
wo n
eine
positiv sind.
solche ganze Zahl bedeutet, daß sowohl
Speziell findet
man
2n
als
2n
-\-
1
aus (1) die in § 55, (10) bewiesene
Formel von Euler:
1
(4)
/
log sin Ttxdx
= — log 2.
Mit Zuhilfenahme dieser Formeln ergeben sich dann ohne weiteres aus § 77, (14) die ähnlichen:
,
Reihen für log r(x) und V{x). %
Anwendungen.
Kapitel XIV.
flog r(x)
sin
(2n^x)dx
= -^-^^^^^
78.
208
,
u
(5)
1
+
= -^^,
l)nxdx
rix)
•
sin
(2n
log r(a:)
•
coB
(2mcx)dx
flog
1
1
(6)
=—
1
/
sind
liier
zusehen.
cos (2n
log r{x)
2« und 2n
man den
findet
Speziell
Ton Raabe § 34,
l)3cxrfa:
ebenfalls
1
-\-
+
=
;
positive ganze Zahlen an-
als
folgenden SpeziaH'aU der Formel
(1 '7):
1
0)
log r(x)dx
I
Weiter
= log ]/2».
elementaren Identitäten:
liefern die
sin
nxx
=
—
l)xx
— cos (« +
sin «a; cos
nax
= ^ (sin (« +
l^^a;
— sin (n — l)3ra;)
sin
zx
- (^os («
l)3ta;),
durch partielle Integration das Formelpaar:
1
1
—
•
W{x) sin XX
I
•
sin nnxdx
= (n— 1)
•
log F(a;^ sin (n
1
•
— l)Äicda; —
1
— (n +
—
1)
•
l)3ra;rfa;,
1
1
I
+
log F(a;) sin (n
I
9*"(a;)sin
nx
cos
mcxdx={n— 1)
•
/
log F(a;) cos (n
•
— l)xxdx —
1
— (« + 1)
wo
><
findet
•
ganz und größer
man:
/
log F(a;)
als
1
•
cos (n
+
V)%xdXj
angenommen werden muß.
Speziell
:
204
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
1
1
W(x) sin nxdx = —
/
tc
j log r(x)
1
1
*P"(a;)(sin
/
=—n
-nx^dx
log r{x)
1
1
/
Aus
nxdx,
cos
sin (ß7cx)dx,
1
W(x)
sin Tix cos
man
(5) findet
nxdx
=— n
\
log r{x)
cos (27tx)dx.
daher für positive ganze n:
1
*F(a;) sin 7t X
f
(8)
•
sin
(2n7tx)dx
•
sin
(2n
= 0,
1
/
und aus
W{x)
sin
(6) für positive
Tra;
ganze
+
l)7txdx
größer
n, die
=
als
-_
1
log
--^-.
sind:
1
fw{x)
(9)
Weiter findet man
sin
7t
X
•
cos
nnxdx
= 0.
speziell:
1
/
(10)
W{x)
sin
W(x)
(sin
W(x)
sin jtx
itxdx
= 0,
1
j
(11)
Ttxfdx
=-
l
1
(12)
/
cos Ttxdx
=
(C
+
—
-r-
log
(2:r)),
•
*o
Aus
diesen Integralformeln ergibt sich aber ohne weiteres die
trigonometrische Reihenentwicklung
W{x)
sin Ttx
(13)
»=j
+ J
cos Ttx
-\-
{C
-{-
log
{27t)) sin jr^
=
Anwendungen.
Kapitel XrV.
Reihen für log r(x) und V(x). §
man Lerch^) verdankt; der oben gegebene Beweis
Hermite^) angedeutet worden.
welche
§ 79.
205
79.
ist
von
Die Stirlingsche Reihe für log r{x).
Um
li(x)
eine noch wichtigere Entwicklung für jede der Funktionen
und v(x) zu erhalten, gehen wir von den Formeln § 70,
(20), (21):
cW-JiT^''''
(1)
aus, in denen:
'^
.^.N
*
ist.
Wir
sin (2s«t)
=i
indem n
setzen allgemein,
positive ganze
eine
Zahl be-
deutet:
sin (2sTtt)
(3)
^>.-.(')-2'(..,) n-i
«,.(0
(4)
y
-^ °°""'">
4=1
woraus
speziell folgt:
^(0
Aus den
= 2^,(0-
Definitionen (3) und (4) folgert
man nun
unmittel-
bar durch partielle Integration, daß:
t
fA.-dt)dt =
(5)
-^ -
M,^{t),
t
j^I,nif)dt
(6)
1)
Comptes rendus, Bd.
(böhmisch): 1894.
= Ar.Ui)
119, p.
725—728:
Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd.
8,
p.
BuU. de l'Acad. Fran9oi8 Joseph, Bd.
1,
p. 5
2)
Rozpravy, Bd.
1894.
Bulletin de l'Acad. Fran9ois Joseph Bd.
189
— 192;
— 6;
1,
p. 1
1897.
1895.
3,
— 4;
Nr. 28
1895.
:
206
sein
Zweiter Teil.
muß, wobei
ZU setzen
ist;
in (5) für
nun
ist
p
Bestimmte Integrale.
> 2:
aber wegen § 18, (5):
Bp
«2p
WO Bp
die p^" BernoulUsche Zahl bedeutet.
Somit läßt
sich (5)
auch
folgendermaßen darstellen
t
u
Nach
diesen Erörterungen
wenden wir auf
holentlich die partielle Integration an.
Da
geführten Integrationen sämtlich an der Grenze
und
so fließen aus (6)
(7),
wenn wir
und
(1)
(2) wieder-
die Resultate der so aust
=
oo verschwinden,
die partielle Integration
2w-mal
anwenden, die Formeln:
.v
eine
nochmalige
=ü
partielle
Integration
liefert
dann
ähnlichen
die
Formeln:
^ ^t-^4
s
=n—
1
Es leuchtet
ein, daß die Formeln (9) und (11) aus (8) bzw.
durch
Differentiation
nach x erhalten werden können, und daß
(10)
alle
vier
Formeln für willkürliche Werte von x,
oder negativ reell sind, richtig bleiben.
Wir
setzen
nunmehr:
die
nicht Null
^
Anwendungen.
Kapitel XIV.
wo
Reihen für logr{x) nnd W{x).
Wert von q sehr groß
vorkommenden Restintegrale:
der absolute
und
(9)
iJ.(x)
ist,
207
§ 79.
und wollen
die in (8)
= (2«-l)!/l^^',
^« = (^»)/^f^
Zu dem Ende bemerken
näher untersuchen.
nicht negative
t
sein
+
Q cos e
wir,
daß für
reelle
und
t:
-
muß, denn
i
sm
Q
6
^^
(t -\-
qY -
4:Qt sin^
| > (^ + gf cos-
>4^p.
es ist ja offenbar (f -f p)-
-^
Somit ergibt sich
die für die folgende
Untersuchung fundamentale Ungleichung:
(12)
\t+Q€'r>{t^Q)C0B^-
Aus (10) und (11) finden wir nun vermöge der Definitionen
von R^{x) und R„(x) weiter, daß:
(13)
B.(.)
=
(14)
A:(x)
- (2« + 2)!
sein
Da nun
muß.
+
(2„
l)!/M?.±!|)-=^^i.±Ü5 ät,
^J^'.+»'0)-^^..+»(
j,
{t-{-xy
für reelle
f
immer:
^..+.(0)-J4»+2(0>o
so
ist,
fließen aus (13)
und (14) wegen (12) folgende andere Un-
gleichungen:
K
^C08-j
)
(•2n
i^-w:<
(16)
Setzt
findet
man nun
man:
RU) =
in
(8)
—
5yy
+
2)!
oV.;.
/
und
(9)
_B
x
-"»
=
(„)
q und «
<
-j-
1
statt
—
2itJ
«, so
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
208
Daraus folgen wegen (15) und (16) die beiden Majorant werte:
(17)
'
^
!
^»
W
i
<
-
(2«
+
l)(2n
+
7""-0T2«+
7 ;McoSyj
2"
>
2)p^" +
ö\2« + 3
Aus
(8)
und
|
=
oc
li«^
ist.
dann ohne
(9) folgt
f*^-^;
^^
^
'
vix\
2a;
(2s
+
weiteres, daß:
l)(2s
-I- 2)
'y(-2/^.+
-^ 2s + 2
a;2*
i
=
+i
1
la;|2''+i
^2* +
2
=
Somit haben wir entsprechend der von Poincare^) eingeführten
Definition einer asymptotischen Reihe folgenden Satz bewiesen:
Setzt
— n <C
man x=\x\e'^j wo
<.
-\- ji
anzunehmen
ist,
so
gelten die beiden asymptotischen Entwicklungen:
-^y^'+'
^(x)'^y-A
^^
(19)
-^(2s4-l)(2s +
v(x)
(20)
- -/- +
y
(-
^
,
2)
^)'-^-+^
^2* + i'
^
Die Reihe (19) ist die sogenannte Stirlingsche Reihe ^), welche
eine ganze Literatur hervorgerufen hat; wir erwähnen z. B. Arbeiten
von Binet^), Lipschitz*), Malmsten^), Schaar*'), Limbourg''),
Sonin^), Landsberg^) und Mellin^*^).
1)
2)
Acta Mathematica, Bd.
Methodus difFerentialis,
Reihe für log [a{a
<
3)
-\- 1)
{a -^
8, p.
297; 1886.
p. 135; 1730.
n
—
1)],
Stirling gibt die asymptotisclie
für sehr große n.
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 27; 1839.
4)
Journal für Mathematik, Bd. 56,
5)
Ebenda, Bd.
35, p.
55—82;
p.
11—26;
1859.
1847.
Memoires Couronnes de Bruxelles, Bd. 22; 1846.
Memoires de Belgiques; 1873.
Annales de FEcole Nor8) Comptes rendus, Bd. 108, p. 725—727; 1889.
male, (3) Bd. 6, p. 257—262; 1889.
9) Memoires Couronnes de Bruxelles, Bd. 55; 1897.
10) Acta Mathematica, Bd. 25, p. 171; 1902.
6)
7)
Die Funktionen Pa(x) und Qa{x).
Kapitel XV.
Der oben gegebene Beweis
ist
209
schon von Gilbert^) angegeben
worden. Der Nachweis der vollen Allgemeingültigkeit der Reihe (19)
rührt indessen von Stiltjes-) her: fi-üher hat man nur die An-
wendbarkeit dieser Formel für
Reihen (19) und (20)
die
in
—^ < ö<
-f
y
gekannt.
Wir haben
§ 117 noch von einem andern Gesichts-
punkte aus zu untersuchen.
Funktionen
Hinsichtlich der
und v(x)
ii(x)
selbst
bemerken
und
wir, daß die Formeln
(2) durch partielle Integration die
setzen und
Gleichungen (13) imd (14) liefern, wenn wir dort «
(1
1
=
Iio(^)
einfuhren.
Wir
= KA
=
-Ro'(^)
»'(.^)
- 2^
finden somit den Satz von Stiltjes^):
Unter denselben
Voraussetzioigen
wie vorher
ist
für hinlänglich
große q:
C^l)
1-2
p cos --r-
'^'')--^!<
29«'"'
(22)
12e*co8»-
Aus den Ungleichungen (21), (22) folgt aber unmittelbar die
(3) und der Satz in § 37.
BQnsichtlich der Anwendungen der Stirlingschen Reihe bemerken
daß Degen*) log («I) von n = 1 bis n = 100 auf 18 Dezimal-
Formel § 36,
wir,
stellen berechnet hat.
Kapitel XV.
Die Funktionen Pa{x) und
§ 80.
Integraldarstellungen.
Qa{x).
Genre von
Q^i^)-
Bei unserer Bestimmung des zweiten Eulerschen Integrals haben
wir schon in § 57, (4) die Funktion P(x) als bestimmtes Integral
dargestellt: allgremeiner finden wir in ähnlicher Weise die Formel:
1)
2)
Memorres de Belgiques, Bd. 41; 1875.
Journal de Mathematiques, (4) Bd. 5,
p.
436; 1889.
3) loc. cit. p. 433.
4)
Tabularum ad faciliorem et breviorem probabüitatis computationem
Kopenhagen 1824.
utilinm enneas.
Ki eisen, Theorie
der GsmmafujiJrtioa.
14
210
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
a
Führt man nämlich
darf
man
offenbar
statt
dem
die
Potenzreihe ein, so
somit findet
integrieren;
man
un-
9, (1) wieder.
die Integraldarstellung (1) für
ergibt sich unmittelbar aus
> 0.
gewöhnliche
die
e~'
gliedweise
mittelbar die Reihenentwicklung §
Nachdem
^(x)
=fe-H-- 'dt,
P«(a;)
(1)
P^i^) gefunden worden,
zweiten Eulerschen Integrale für
komplementäre Funktion:
=
Q^ix)
r(x)
-
P^{x)
die ähnliche Darstellung:
CO
Q^{x)=fe-H^-'dt,
(2),
a
wo
a
eine
von Null
Integrationsweg
darf dieser
ihn
ganz
Weg
immer
'^{t)
>
willkürlich
und
^
=
überaus
für
der
angenommen werden kann; nur
den Punkt
nicht
hindurchgehen,
Größe bedeutet, während
verschiedene
umschlingen oder durch
große
Werte von
|^|
muß
angenommen werden.
Die Integraldarstellung (2) kann sehr leicht umgestaltet werden.
Setzt man nämlich in dieser Formel t
az -\- a, so erhält man
=
ohne weiteres:
je-^'il
(3)
wo
der
+ zy-'^ds = e«a-*ö„(a;),
Integrationsweg mit der Achse der positiven
sammenfällt und
>
9fi(a)
sind
Funktionen,
die
falls
beiden
^^(a)
>
werden muß; denn die
und positive a einleuchtend,
Formeln in a analytische
vorausgesetzt
Richtigkeit der Formel (3)
ferner
Zahlen zu-
ist
für reelle
Seiten
dieser
angenommen
wird.
Mellin^) hat eine andere Integralformel angegeben;
Darstellung herzuleiten, setzen wir in (2)
die
\
—x
statt
Formel § 61,(7):
00
?^rp/''"^"'^^'
9?(:^)>0
an; dann wird offenbar:
1)
Lindhagen,
Dissertation p. 33; Stockholm 1887.
um
diese
x und wenden
Kapitel
XV.
Die Funktionen
r{x)Q^{l-x)
und
l»a(a:)
^a(x).
§81.
211
= j e-* dt j e-'^z'-'dz,
a
Denken wir uns
positiv,
Somit ergibt sich
so darf die Integrationsfolge vertauscht werden^).
die
und x
hier für einen Augenblick a
Formel:
OD
e^rix)Q„{l-x)^f'^^^^^dz,
(4)
Für
findet
m(x)>0.
9l(a)>0,
die Koeffizienten der beständig konvergierenden Potenzreihe:
man
mittels (2) den allgemeinen Ausdruck:
QM^hf^'^^'^s^y^^
(6)
a
oder auch durch partielle Integration:
a
Aus
diesen
Ausdrücken der Koeffizienten q„{a) ersieht man,
daß die Untersuchungen von
Hadamard*) über
der Nullstellen der Hiemannsdien Funktion
die absoluten
£(itO
Werte
beinahe wortgetreu
auf unsere Funktion ^^(a:) übertragen werden können.
Es
gilt
also
der Satz:
Die in x ganze
§ 81.
Was
Über
Funktion Q^i^)
transzetidetite
die Gleichung Q^i^)
die Xullstellen
von Q^
(
./
i
=
betrifft,
ist
vom Genre
für positive
wo
a
als positiv
1.
a.
anzusehen
so ergibt die Integraldarstellung § 80, (2), für reelle x, Qa{^)^^'i
daraus folgt der Satz:
ist,
Für
positive
a kann die Funktion Qa{x) keine
reelle
Nidlstdle
besitzen.
Lindhagen^) hat außerdem bewiesen, daß
= 1) keine XullsteUe a haben kann, für
(für a
der Beweis von
1)
Lindhagen
die
die
Funktion Q{x)
^(gj)
^1
Stolz, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, Bd. IH,
2) Journal de
Mathematiques.
3) Dissertation, p. 36:
ist;
ergibt den noch allgemeineren Satz:
(4)
Bd.
9. p. 210flf.;
1893.
Stockholm 1887.
14*
p. 18.
212
Für
positive
a lann die Funktion
Um
Genüge
co
be-
leistet.
diesen Satz zu beweisen, setzen wir in der Integraldefinition
§ 80, (2)
= ae^
t
und erhalten folgende andere Formel:
a-'^Q^ix)=
(1)
nun
sei
Qa(x) Jmne Nullstelle
^ (co) ^ a
Ungleichung
sitzen, welche der
es
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
= a-{-iß,
(o
Nullstelle für
wo
dann
Q^ipc),
i e-'^'^e'^dz'^
und ß reell
wegen (1):
a
ist
sind,
eine
komplexe
00
= 0,
/ e-««-'e^« cos(/3^)r/^
(2)
CO
y
(3)
Hier kann
zß
=
t
man
e-«^'e-'«sin(/3^)c?^
offenbar ß als positiv annehmen; die Substitution
dann wegen
ergibt
daß:
(3),
ta
t
o-ae
je-"'
(4)
muß.
sein
n
=
oo
(27i+l)7r
t_
ta
(2n
was offenbar dasselbe
(2«
^
Die
sii]
=
+ 2)7r ^
tji
=
e-"'^ e^ sinzds^ 1 e-'^'^e^
I
„^3,
(5)
^^^
'
e
Daraus folgt ohne weiteres:
r-
2
oder,
= 0.
+ l)7r
ist:
ta
J
+
t
ie-'^'^z^-e-'''^^
I
Gleichung
(5)
ist
aber
7t
(t
e
+ n )a
offenbar
= 0.
)sin^^^
^
wenn
unmöglich,
die
Funktion:
f{t)
für positive
ist,
denn
t
mit
t
= e-^-«'e^«
zugleich abnimmt,
f\t) ist ja eine
in
t
d. h.
wenn
f'''\t)
immer
kontinuierliche Funktion.
negativ
Nun
findet
man ohne Mühe:
fm{t)
= e-<''^e*''{a — ae*);
daraus geht deutlich hervor, daß f^^\t) für jedes positive
sein
muß, wenn nur a<i a angenommen wird.
Satz bewiesen.
Damit
)
-7
'r
t
ist
negativ
unser
Die Funktionen Pa{x) und Qa{x).
Kapitel XV.
§
Es
Die Beihenentwieklung von Hennite.
'>^2.
dem
bisher nicht gelungen, außer
ist
213
§ 82.
Integrale des vorigen
Paragraphen für die ganze transzendente Funktion Q^i^) eine wirklich
einfache Darstellung zu finden; indessen hat Hermite^") für unsere
Funktion eine bemerkenswerte Entwicklung
gendermaßen gefunden worden ist.
man:
Setzt
a
WO n
eine
wegen §
fol-
+ «+l
wird offenbar
nicht negative Zahl bedeutet, so
ganze,
welche
geliefert,
80, (2):
Qai^)
(1)
Um das Teilintegral
=
<?0
+
^1
+
Q^ umzuformen,
+
Ö.
<?3
+
man
setzt
•
a
•
••
-\-
n
-\-
z
=
t-^
daraus
folgt:
<?,
(2)
= (« + ny-^6-(«-^") .Je- (l + ^^"'dz.
Weiter macht man hinsichtlich a die beiden Voraussetzungen,
daß für
alle in
kommenden
Betracht
jo-fn|>l,
(3)
n:
a«(a4-w)>0
sein soll; somit ergibt die Brnomialformel
«„-^« +
(4)
wo
P{jc)
= Piipc)
Führt
wegen
(2):
«)'-'--"'•l^^('7')•
*=o
zu setzen
man demnach
die
ist.
Ausdrücke
(4) in (1) ein, so ergibt sich
eine Doppelreihe, deren einzelne Horizontal-
und Yertikalreihen unter
den Voraussetzungen (ß) wie Potenzreihen konvergieren, so daß es
erlaubt ist, die Glieder unserer Doppelreihe nach den Binomialkoeffizienten (*
~ ^)
zu ordnen; setzt
man
daher der Kürze halber:
r= X
B,{x)
(5)
SO entsteht die
e-(-+-)(a.
+ ry-\
Formel von Hermite:
Qai^)
(6)
=^
P(» +
=^
=
1)
^a (^
- «)
•
("^
7
«
1)
Journal für Mathematik, Bd. 90, p. 332—338; 1881.
')>
:
214
!
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
welche also unter den Bedingungen (3) für jeden endlichen Wert
von X richtig
Die
Formeln
a
=
bleibt.
P(w
man
Zahlenkoeffizienten
10 ausdrücken;
in §
-|-
sich
der
mittels
nämlich aus § 10, (4) für
1:
^
^
lassen
1)
findet
^
^
00
^=
e
''
'
=
(n
-)- s -|- 1)
s
was dasselbe
oder,
ist:
P(«+l) = «!(l-[.2'i).
(8)
s
Wünscht man noch
und daraus wegen
Funktion Q(x)
die
man
auszudrücken, so hat
Q{x)
=
F^{x)
§ 83.
(also Q^^ix) für
=
a
1)
die Identität:
(6):
?i
(9)
=
-
Pix)
=
00
•
^^P(n + l)R^(x - n)
•
(^^
i).
Die Reihenentwicklung von Meilin.
Mellin^) hat durch
Methode von Hermite
eine leichte
§ 82, (9) weggeschafft,
und zwar
Änderung der oben angewandten
P^{x) — P{x) rechter Hand in
die Diff'erenz
mittels
anderen
einer
mation des Teilintegrals Q^ in § 82, (2).
Mellin setzt nämlich in Q^ a-\-n-\-l— z
somit ohne Mühe:
=
t
Transfor-
und
findet
1
Qn
(1)
=
{ci
+
n
+
l)-ie-(«-i-^ + i)
Bedingungen §
so daß die
\a
nur von w
liefert
=
dann
1
1)
_
-^-^^-^-^""'"dz,
82, (3)
n\>l,
an notwendig
9ft(a
sind.
die § 82, (6) ähnliche
Q^{x)
(2)
+
.Je^{i
+ w)>0
Dieselbe Methode
=^ (- iy^{s + l)R^^A^-s)
Acta Mathematica, Bd.
2, p.
wie vorher
Formel:
231—232;
1883.
•
("
7
^),
Die Funktionen Pa(x) und Qa{x).
Kapitel XV.
wo
215
§ 83.
der Kürze halber:
1
^{x)
(3)
worden
gesetzt
=p
•
m{x)>0
t'- ' dt,
ist.
Die so definierte Funktion ^(x) ist zu P(x) analog;
in der Tat aus (3) die Partialbrachentwicklung:
man
findet
^(^)=^i^._i_,
(4)
4
während eine
=
partielle Integration die Differenzengleichung:
= e-x- ^(x)
^(x-\-l)
(5)
liefert,
Mühe
aus der ohne
die Fakultätenreihenentwicklung:
?w-^-^
x(x+ir--'(x+^
»=0
(6)
hergeleitet
werden kann; diese Entwicklung (6) ist offenbar in der
von ^(x). konvergent.
ganzen a:-Ebene, außer in den Polen
man weiter für den in (2) vorkommenden
gemeinen Koeffizienten ^(« + 1) die Ausdrücke:
Aus
(6) findet
i
^(n
(8)
+
l)
man
=
= w! ,.^,±r^_(_l).
X) (» —
-
Setzt
all-
endlich
in
i
«)!
=
(2)
a
=
1
,
"^
was
-'
ja
erlaubt
ist,
und
außerdem der Kürze halber:
Rix)
= B,ix) J^e-'-\s + 2y-\
«=o
so gelangt
(9)
man
zu der Formel von Mellin:
Ö(^)
-^{- iy^(5 + l)B{x -
s) .(-
7
1),
bequemer ist als die von Hermite, weil sie nicht den
Parameter a enthält, und weil darin die Funktion P^{x) nicht vordie viel
kommt.
216
Zweiter Teil.
Bestimmte Integrale.
Kettenbruch. von Legendre.
§ 84.
Schon Legendre hat gezeigt, daß es möglich ist, die Funktion
Q^(x) in einen Kettenbruch von einfacher Form zu entwickeln. Umdiese Darstellung herzuleiten, gehen wir von dem bestimmten Integrale:
00
(1)
aus, das als eine
Verallgemeinerung des in § 80, (4) vorkommenden
angesehen werden kann. In der Tat ist:
= e-r{x)Q^{l-x).
m-^^-\a)
(2)
Eine
«C/^ +
(3)
nun wegen
partielle Integration ergibt
= {v^l) U^'^(a) +
^'^C«)
indem man zuerst v
-\-
1
statt
v
Q
(1) die
Formel:
U' + ''^'-\a),
Daraus folgt nach eiaer
setzt.
ein-
fachen Umformung:
V
U^'^ia)
1
—
a
(4)
-\-
C^" + ''?(a)
weiter ergibt die offenbare Identität:
gemäß
(1) die folgende Rekursionsformel:
aus (4) folgt dann:
v^\
(?7';+i'^(a)_
V^^ia)
(5)
a
—
i7''
woraus
+ 2,c-i(^)
die formale
Entwicklung des Kettenbruches deutlich hervorgeht.
In unserem durch (2) definierten speziellen Falle ist nun:
_
C7^- 1'- \a)
daraus folgt wegen §
U'
r{x) Q7il
— X)
Qa{l-
9, (5):
\a)
"
^
Qa(l-X)^
'->
X)
7
:
Die Funktionen Pa'x) und Qa{x).
Kapitel XV.
man demnach
setzt
=—
in (5) 9
und
1
1
—x
§84.
21
statt x, so erhält
man
Form von Legendre^) gegebene Ketten-
folgende in etwas anderer
bruchentwicklung
<2«(^)
=
(6)
1+
—X
3
1+.
und
die für posiiive a
reelle
x
sicher konvergiert.
Es
leuchtet ein,
daß auch das in § 80, 3) vorkommende Integral als ein Spezialfall
von (1) angesehen werden kann: dadurch findet man die Formel (6)
i
wieder.
Der Kettenbruch
(6) bricht
von selbst
ab,
wenn
./.
eine positive
ganze Zahl bedeutet, was ja mit der Formel § 10, (7) in Einklang
steht.
Endlieh bemerken wir noch, daß der Kettenbruch (5) offenbar
angegebenen ähnlich ist; es ist indessen be-
dem von Gauß^)
merkenswert, daß
werden kann, die
+
1
i^^t
und dann gliedweise
einfuhrt
asymptotische Reihe entwickelt
indem man in
erhält,
+ ty=
(1
eine
U^'^ix) in
man
+
g)^^
integriert.
(1) die
+ ß)^^ +
Dadurch
Entwicklung:
.
u|<
-
.,
findet
man
1
in
der Tat:
wo
die
Reihe rechter Hand mit der divergierenden hypergeometri-
schen Reihe:
-^
(7)
brn^
zusammenfällt: wendet
die
F[- Q,v^l,
man
l;
- fj
aber auf die illegitime Entwicklung (7)
so ergibt sich eben die
Formeln von Gauß nur formell an,
Kettenbruchentwicklung
1)
i^5).
Traite des fonctions elliptiques et des integrales Euleriennes, Bd. U,
p. 509; Paris 1826.
2^
Comment.
Deutsche Ausgabe,
Gotting..
p.
20 ff.
Bd. 2,
p. 13
ff.;
1812.
Werke, Bd.
IIT,
p.
134 ff.
^
218
Zweiter Teil.
Kettenbrüclie von Sehlömilch.
§ 85.
Aus §
Bestimmte Integrale.
und
Tannery.
J.
80, (1), (2) folgen für die Funktionen:
f{a)
= e-a-P^{x),
gi,a)
= e-a-^ Q^{x)
g(a)
= e'^a-''
unmittelbar die Darstellungen:
f(a)
= e''a-'' I e-'if-'^dt,
1
e-'f-^dt
a
und daraus durch
Differentiation nach a:
(1)
af('){a)
(2)
agm(a)
oder,
was offenbar dasselbe
=
+ (x - a)g{a) = i-(x-
a)f(a)
^
a
differentiiert
man
1
ist:
+"
^
1,
f(a)
— X — a ^—
aber die beiden Formeln (1) und (2) noch w-mal,
so ergeben sich die allgemeineren Rekursionsformeln:
n
/("V)
f^"-'Ha)~'X
(5)
^
^
somit erhält
man
^
7 — a 4-^ a 7(«
—+
4- n
,
Anwendung von
unter
(3)
^)(a)'
,
und
den Ketten-
(5)
bruch von Sehlömilch^):
Pai.^)
(7)
X
—
a
-„
-\
X
-\-l
— a-\
x-\-2
der für positive a und
1) Zeitschrift
reelle
für Math,
x
— a-\
3
X
-\-
^
—
a
a
-\-
sicher konvergiert.
und Physik, Bd
16, p.
261—262;
1871.
Die ümkehrprobleme von Mellin.
Kapitel XVI.
219
§ 86.
In ähnlicher Weise folgt für die komplementäre Funktion aus
(4)
und (6)
die entsprechende Entwicklung:
Qa{^)-
a
1
(8)
a
3
—2—X
noch, daß
Tannery^)
J.
a
•
4
—3—X
a
Wir bemerken
a
2
a— 1 —X
a
a
•
—4 —X
für Q{cc)
-j-.
andere
die
Entwicklung:
e.Q(x)
=
'
2
—X
1
(9)
—
i
X
•
2
—
6
gefanden
hat,
die
indessen sowohl
seiner
für
sicher
reelle
die Herleitung
-
(1
—
x
•
o;)
—
(2
3
a;)
(3
•
—
konrergiert.
ebenfalls
sind,
T anner y
beschränken, auf die Arbeit von
Da
wie der Beweis
des Kettenbruches
Konvergenz nicht gerade einfach
a:)
a;
müssen wir uns darauf
selbst hinzuweisen.
Kapitel XVI.
Die Umkehrprobleme von Mellin.
Das
§ 86.
erste Umkelirprobleni.
Mellin hat neuerdings zwei merkwürdige
Reziprozitätsgesetze
gefunden, die nach einer gründlicheren Vertiefung sicher die Zahl
der
durch
Gammafunktionen
ausdrückbaren
Integrale beträchtlich
vermehren werden.
Mellin
betrachtet
als
Verallgemeinerung der Gammafunktion
eine Funktion F(z), welche folgender
Bedingung genügt:
In der Ebene der komplexen Veränderlichen 2
em
zur imaginären Achse paralleler Streifen so
daß sich F[iz) in der
Umgebung
und auf der Begrenzung des
jeder endlichen
Streifens
\Fiz)
(1)
1)
Comptes rendus, Bd.
94, p.
p-«^i«'i
u 4-
i
c
kann
Stelle
im Imiem
regulär verhält und für hin-
reichend große, demselben Bereiche angehörende
=
^
bestimmt werden,
Werte auf
die
fiu,v)
1698—1701, Bd.
95, p. 75; 1882.
Form:
220
Zweiter Teil.
Bestimmte Integrale.
werden kann, wo d eine positive Konstante bedeutet,
während fiu, v) eine positive Funktion der reellen Veränderlichen
u und V bezeichnet, so daß es möglich ist, eine beliebig kleine
gebracht
positive Zahl s zu bestimmen, für welche:
e->i./'(u,^)
(2)
wie groß auch
stets endlich bleibt,
angenommen werden mag.
\v\
Die Formel von Pincherle § 38, (5) zeigt dann deutlich, daß
riß) ein Spezialfall der allgemeinen Funktion F{/) sein muß.
Wir
betrachten nun das Integral:
a-\-i!x>
0{x)^^^^-..fF{z)x-^dz,
(3)
a
—
/ oc
dem obengenannten
und setzen:
für das der Integrationsweg eine unbegrenzte, in
Streifen a
^u<^ß
gelegene gerade Linie
X ='x\-
ist
e'^;
daß unser Integral Q{x) in dem
wir haben danach zu beweisen,
durch die Ungleichungen:
-ö + 2E<d^-^d-2E
(4)
delinierten Bereiche gleichmäßig konvergiert,
Umgebungen der Stellen ^=0 und a; = oo
Zu diesem Zwecke setzen wir z = a -\^- i
folgt dann:
I
daraus aber wegen
z(log
X~ ^\
= \x\~
(2)
und
a;
I
"'
•
I
6—
eventuell kleine
iv^
aus der Definition:
+ i e)
^^^'^
(4):
^\F{z)x-'\£\x\-''e-'-'''\'f{a,v),
(5)
wo
(1),
_^ g-
wenn
ausgeschlossen werden.
also f{a, v)
von x unabhängig
ist.
In der unendlichen Reihe:
a-\-(n-\-l)i
mx) = y^ -^~.-jF{z)x-UU
(6)
sind
«
(7)
absoluten
die
größer
=
-[-00
^
Beträge der
Glieder
einzelnen
demnach nicht
die entsprechenden Glieder der anderen Reihe:
als
-\-^
n-f-1
l e-^'\'''f\a,v)äv = \x\-''
|a;|-«-
n
das Integral rechter
Hand
e-''^^
'
—
•
e-'^^\f(a,v)dv^
00
in (7) hat aber einen
endlichen und be-
Die ümkehrprobleme von Meilin.
Kapitel XVI.
stimmten Wert, und somit
vergent,
wenn
ist die
221
§ 86.
Reihe (6) in x gleichmäßig kon-
eventuell die Stellen x
=
und
a*
=
oc ausgeschlossen
werden.
Da nun
die Stellen
a;
die Glieder der unendlichen
Reihe rechter Hand in
=
ausgenommen,
und
=
j:
gene Funktionen sind, so
wenn
zufolge,
eventuell
:>c
^(x)
ist
Bedingimg
die
(6),
x mono-
einem bekamiten Satze
selbst
(4) erfüllt
in
ist,
x analytische
eine in
Fimktion.
Wendet man
weiter
den
ß
^«^
durch die
Wert von
«,
an,
für
so
den
dieselbe Funktion von x darstellen muß.
Bedeutet
Begrenzung eines Rechteckes, das vollständig in dem
<i ß bestimmten Streifen liegt, so
Ungleichungen a
ist,
/3
R
nämlich
Cauchy
von
Integralsatz
leuchtet ein, daß das Integral (3) für jeden
die
^u
verschwinden die Integrale längs der unendlich fernen, zur Achse
Da
der reellen Zahlen parallelen Seiten.
angenommen werden kann, wenn nur
so ergibt die
Formel
(7)
Hm
(8)
Aus
(8) folgert
cc
also
a in
^a ^ ß
(7) willkürlich
angenommen
wird,
den Grenzwert:
a<l<ß.
2-*-0(j!-)Uo,
man nun
weiter,
daß das bestimmte Integral:
X
J = J0{x)jr-hJx
(9)
u
einen Sinn hat,
Um
wenn
den Wert von
^
J
=»—
/r
und a
<i n <C
ß angenommen wird.
zu berechnen, setzt man:
a
1
J = I O ^x) .r -
^
dx
1 0{x)x'-'' dx,
-\-
1
und daraus
J=^..
folgt
wegen
(3):
Cx=-hlxfF{t)x-'dt-\-^.-fx'-'dxjF{t)x-'dt.
— I3C
1
a — ix
,<
Aus
daß
es
der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe (6) schließt man,
erlaubt
tauschen, und
ist,
man
die
obigen zweimaligen
Integrationen
findet so:
i-\-ix
27tijt
—z
a-f-Zoc
2nt
J —
t
z
'
zu
ver-
222
Zweiter Teil.
daraus
ergibt
R
wenn
sich,
Bestimmte Integrale.
Begrenzung des obenerwähnten
die
Rechteckes bedeutet:
m JR
2
denn
die beiden Inte'grale längs der unendlich fernen Seiten
von
II
verschwinden wie zuvor; damit haben wir aber das erste Rezipro-
von Mellin^) bewiesen:
zitätsgesetz
Für
Genüge
jede Funldion F(z),
leistet, gilt
die
F{z)
(10)
ivelche
der
obenerwähnten Bedingung
TJmliehrformel:
= ^.-
fx'-^dx- fF(t)x-Ult
— «00
a
oder in zwei Gleichungen geschrieben:
a-{-i<x>
0{x)
(11)
=
^
Mellin
hat
F(z)
•JF{t)x-'dt,
§ 87.
Funktion ^(x)
ap
ein
Das
=
f^(x)x'-^dx.
z^weite Umkelirprobleni.
ähnliches
Reziprozitätsgesetz
aufgestellt, falls diese
auch
für
die
Funktion folgender Bedingung
genügt:
^(x)
ist
eine
im Bereiche:
-d<0< + d,
(1)
eventuell mit
Ausnahme
der
x=\x\e%
Werte x
=
und x
=
oo, sich überall
regulär verhaltende Funktion, welche die Ungleichung:
,0{x)\<K-\x'^''
(2)
^
welche a -^ a
ß vorausgesetzt wird, wobei a und ß
eine
zwei reelle Größen bedeuten, von denen a <C ß ist, während
befriedigt, für
endliche positive Konstante
unabhängig
Setzt
ist,
K
sowohl von x
die
als
auch von a
sein soll.
man demnach
co
=p
iq,
-\-
wo p und
q reell
sind,
so
verhält sich die Funktion:
—+
a
0(e"")e
(3)
fi
.
—>—Cllt
^
jedem endlichen Punkte des durch die Ungleichungen
definierten Parallelstreifens regulär; außerdem ist wegen
in
2
0{e''")e
(4)
1)
Acta Mathematica, Bd.
<Ke
25, p. 159; 1902.
—d-^p^Ö
(2)
immer:
'
XVL
Kapitel
Nach
Die Umkehrpiobleme von Mellin.
diesen Erörterungen setzen wir:
(_,(^-')'_,|.^.
(5)
und betrachten nunmehr das bestimmte
= Y'J ^W)^
F(e)
(6)
a
WO
223
§ 87.
— d < a < -r
reellen
Winkel 6
wird, d- k,
—
t
Weiter bestimmen wir den
ist.
daß:
so,
(5), für
z
=
u
iv:
-\-
a<u< ß.
(7)
muß
Unter diesen Voraussetzungen
dem
eine in
sein, die
oder,
'"" ^®»
*
X
d Torauszusetzen
w^en
Integral:
(4)
außerdem
muß, wo
die
ist,
Funktion in s
Bedingung:
ist:
<K^-^^
F(e)
(8)
Nach
wie einleuchtend
Parallelstreifen sich regulär rerhaltende
wegen
was dasselbe
erfüllen
-F(^^\
s
,
= u + iv
stets endlich bleibt
K^^
(4) findet
'
man
aber durch
Anwendung
der Formel § So, (10)
das weitere Resultat:
^.
1
1^-^ dt
a
aus
dem
—1
0(e"^)e
-
'''d<o^O(&^e
*
'',
lac
sich durch die Substitutionen:
die einfachere Formel:
a-|-»aB
0{x)=^^.-JF{z)x-^d,
(9)
a
ergibt.
Setzt
man
— I»
aber in (6) c''"=5, so erhalt
man
für F\^z)
folgende Darstellung:
F{z) ==j0(t)t'-'dt.
(10)
Damit
1)
ist
auch das zweite Reziprozitat^esetz von Mellin^) bewiesen:
Acta Mathematica, Bd.
25, p. 160; 1902.
:
224
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
Für jede FunUion
0(x), die der obengenannten Bedingung Genüge
Unikehrformel:
die
leistet, gilt
«
00
= ^..Jx-uU-J^{t)t^-^dt.
0{x)
(11)
+ ''»
a
—
ictj
Umkehrung der
§ 88.
Wie schon Meli in
Eulerselien Integrale.
gezeigt hat, liefern die Eulerschen Integrale
schöne Beispiele für sein erstes Umkehrproblem.
Grehen wir
zunächst von der Formel § bo, (4) aus, so finden
die IntegraldarsteUung
B{z,y — z)
wir für
00
''
(1)
nun
-/Ä''-'
^^'tw"
0<3i(.)<9)(,);
aber der Formel § 38, (5) zufolge für z
ist
r{z)r{y ~b)\
I
= e-^l"!
.
=u^
iv:
f{u, v);
daraus folgt wegen § 86, (11) die Formel von Mellin^):
a-\-icK
a
WO 0<a<3fi(^),
X
=
—
/ 00
— :;r<ö<-)-Jr
\x\e''^
gesetzt wird.
Für y
=\
findet
man
--j
(3)
angenommen werden muß, indem
aus (2) die spezielle Formel:
—=
~
-.
/ -.
.
dz,
a — /cc
<a<
WO
1
und
— <ö<+
jr
jr
Aus dem zweiten Eiderschen
anzunehmen
ist.
Integrale:
OD
r{z)
findet
man
=
i
e-^x'-^dx,
in ähnlicher
Weise
0<9^(^)< +
(X)
Formel von Mellin^):
eine weitere
a-\-i<x
e--=^^.-Jr{z)x-^dz,
a — «00
(4)
WO man
1)
<a<+
cx)
und
—~<6<^-~
Acta Mathematica, Bd. 25, p. 161; 1902.
Acta Soc. Fennicae, Bd. 21, Nr.
2) loc. cit.
Nr. 10, p. 39
;
1899.
1,
annehmen muß.
p. 76; 1896.
Ebenda Bd.
24,
:
Kapitel XYI.
Es
ist
Die Umkehrprobleme Ton Meilin.
225
§ 89.
jedoch zu bemerken, daß Pincherle^) schon 1888 sehr
Verallgemeüierungen der Formeln (2) und (4) untersucht hat, so daß vielleicht gar die Integrale von Pincherle zu
weitgehende
Mellins Untersuchung den Anstoß gegeben haben.
Al.s
weitere
eine
Anwendung
et^rix) <2,(1
- X) -
f'~^'^~'
da nun, wenn x nur nicht negativ
Um
so hat
ist,
man
dt,
reell ist,
P^{x)
(3):
9l(y)<
m(x)
0,
> 0;
immer:
=
offenbar:
X
Somit
Umkehr-
des ersten Mellitischen
problemes betrachten wir das Integral § 80,
liefert
=»
j
r(i
— X)
I
das erste Ümkehrjiroblem ohne weiteres folgende
Int^graldarstellung
a-|-i
ac
-j+i- = ^- J n^)ft(i - ^)--'<i*,
(5)
a
<a<
wo
-j-
§ 89.
oo und
— (X
—a<ö<
-(- :r
angenommen werden muß.
Über Binomialkoeffizientenentwicklungen.
Nach den einfachen
Beispielen des vorhergehenden Paragraphen
wollen wir jetzt einen ziemlich allgemeinen Satz über die
des ersten MeUinschen Umkehrproblemes und zwar unter
Anwendung
Anwendung
der Binomialkoeffizientenreihen herleiten.
Zu diesem Zwecke gehen wir von
der Reihe § 49, (8), (12):
W{x)=^^'W{\)-{^-^), ^{x)>0
(1)
aus.
indem wir voraussetzen, daß
Bedingung:
lim
(2)
die
^
Funktion ^V{x) zugleich der
^
wenn h eine endliche, von n unabhängige Konstante bedeutet.
Unter diesen Voraussetzungen müssen, wie leicht einzusehen ist, die
genügt,
beiden Potenzreihen:
1)
Itendiconti della Reale
Xielsen, Theorie
Aceademia dei Lincei; 1888.
der Gammafanktion.
15
-
226
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
=^(-
^y^' W(l)
x%
(3)
f(x)
(4)
g{x)=^^{-\yW{s-^l)^x^
=ü
s
1 sicher konvergieren; für g{x) ist dies
für |ä;|<
Folge von
(2),
während §
eine unmittelbare
21, (5) die Richtigkeit unserer
Behauptung
für f{x) darlegt.
man nun
Schreibt
=
f{x)
'W{\)x
+
-
WiV)
^2
-
Tr(l)
rr^'
TF(1)
aber die Reihe f{x) folgendermaßen:
(^)
-
(J)
Tr(2);r
+
Tf (2) x"
+
Q TF(3)
x^
ir(2)
+
(2)
TF(3)
a;=^
a:=^
+
-
Q TF(4)
x^
+
>
so erhält
man
eine Doppelreihe, deren Horizontalreihen sicher un-
bedingt konvergieren,
falls
nur
man den
Vertikalreihen hat
|a;|
<1
r
aus
dem
sich, falls
|a:|
<
1
angenommen
angenommen
ergibt; diese Reihe konvergiert
<|1
— x\
angenommen
wenn
sicher unbedingt,
Setzt
ist,
so
man
ist
die
wird,
9ft(ic)
die
wird:
demnach
d. h.
<—
also voraus, daß
obengenannte
Somit ergibt sich
Für
=
—
(1
|a:|
wird.
allgemeinen Ausdruck:
a^)
ebenfalls
unbedingt, wenn
die Vertikalreihe m^ konvergiert
angenommen
sowohl
a;
|
j
<1
Doppelreihe
wird.
als
auch
unbedingt
^ ix) <
-
konvergent.
die fundamentale Formel:
aus der umgekehrt:
gefolgert werden kann.
schon von Euler ^)
1)
Die hier angewendete Transformation rübrt
her.
Institutiones calculi differentialis, p. 282; 1755.
:
Kapitel XVI.
Aus
und
(5)
(6)
Die Cmkehrprobleme von Meilin.
nun weiter folgender
folgt
227
§ 89.
Spezialfall
eines
allgemeinen Satzes Ton Lindelöf^):
Wenn
Genüge
licJien
die FijnJäicm
W{x)
den beiden Bedingungen (1) und (2)
so sind die Funktionen f{x) und g{x) in jedem end-
leistet,
Funkte der durch die Ungleichung
definierten
In
'Siix)
<y
hzw. 9?(a;)
>—y
Halbebene analytisch.
dem
speziellen Falle,
darstellen läßt,
wenn
wo
sicH
W{x)
Integral 3S(a;)
als ein
also:
1
W{x)=f(p{t)t'--'dt
(7)
ist,
findet
man ohne Mühe
folgende Darstellungen:
m =/r^fe<«> ^W =/i^.
(8)
'«.
Funktionen f{x) und g(x) in der ganzen jr-Ebene
analytisch sein müssen, vielleicht mit Ausnahme der Strecken der
so daß die beiden
— 1 ist.
Achse der reellen Zahlen, für welche a; > 1 bzw. ä'
Gehen wir nach diesen Vorbemerkungen von der Formel §53, (15):
<
1
aus, so finden wir
die
gliedweise
durch Zuhilfenahme eines bekannten Satzes über
Integration
unendlichen
einer
Reihe ^J
unmittelbar
folgende Integraldarstellung
1
^
wo
^
f(x) die Potenzreihe (3) bedeutet.
Geht
so erhält
man
man
in
ähnlicher Weise von der Formel § 64, (18) aus,
die zu
(^9)
analoge Formel:
rt
1)
Acta Societatis Fennicae, Bd. 2-t, Nr.
Dini, Grundlagen, p. 523; 1892.
7; 1898.
2) U.
15*
:
.
Zweiter Teil.
228
Bestimmte Integrale.
während der Integralausdruck §
w
(11)
liefert,
wo
^
x) --
W den
§ 90.
.j7-(i
in §
-
56, (5) die weitere Darstellung:
|)(i
+
ty-'dt,
^{x)
>
56 definierten Integration s weg bedeutet.
Anwendungen des
Wir haben nunmehr
ersten Umkehrproblems.
die Integraldarstellung § 89, (9) so
umzu-
und oo werden, und setzen zu diesem
formen, daß die Grenzen
Zwecke
^~~
+^'
1
dann ergeben sich offenbar folgende Integraldarstellungen:
fi^
^^^^-^
1
7t
sin
W{x)=^
^
nx
'^
(1)
~~-^ W{x)
•
ß
I
1 -f-
-z^-^dz,
•S'
= r - qi^V- 'dz,
< 9? ix) >
•
man dagegen in § 89, (10) t = ig(p, so entsteht ein
von derselben Form wie (1), aber mit den Grenzen ^ = 0, t=
Setzt
so daß
häufig
Integral
+ oo
•
/,
durch eine Änderung des Integrationsweges
dieses Integral
werden kann.
in (1) übergeführt
1
Indessen
bequem, das Integral §
Anwendungen
ist es für die
in
89, (10)
ursprünglichen
seiner
Gestalt zu verwenden.
Wir denken uns nunmehr, daß W{z)
dingung § 86,
(1):
(2)
\W{u
genügt; alsdann
+
iv)
= e-^
1
für z
=u
-\-
iv
der Be-
<m<1
''\-f^{u, v),
auch:
ist
e-''\''\-f^X^,i),
0<n<\
e-(n+^^\''\-fJu,v\
/3V
y?
0<M<1,
sin Ttz
\
und somit wegen
\''1^^\
(3)
\ j
ein
I
SO daß
(2):
die
TT
>
^r
-^
-.
;
j
Funktion linker Hand in (3) eine Funktion F{z) von
Mellin ist.
Wendet man demnach
ergibt sich folgender Satz:
die
Umkehrformel § 86, (10) an,
so
Die Umkehrprobleme von Mellin.
Kapitel XVI.
Es
und §
W{x)
sei
eine Funktion, welche die Bediiigungen § 89, (1), (2)
dann hat man für
90, (2) befriedigt,
und g{x)
tionen f{x)
'4y^
X
(4)
--=
-X
=
^
^ (-)
\x/
0<a<l
und
muß, indem x =
allgemeinen
im allgemeinen
sind
Funk-
''-'''>
T-^^
Binnz
^
a—
r2i
•
I
ausgesetzt werden
entsprechenden
die
die Integraldarstdluiigen:
1 -\-
WO im
229
§ 91.
beiden
die
—
'
oc
(:T
+
Stellen
x
+
())<ö<-|-(;r
norden
\x\e'^ gesetzt
=
und x
=
d) vor-
Jedoch
ist.
oo
auszu-
schließen.
Wir werden
später
im
dritten Teile ganze
Fuuktionenklassen
kennenlernen, für welche die Formel (4) zulässig
ist; sie ist es
für alle die Fakultätenreihen, welche für
>
9i(j:')
nämlicli
konvergieren.
Endlich setzen wir in den beiden Integralen rechter Hand in (1):
U
und transformieren das
Substitution
Setzt
V,
(5)
so ist
=—
^
man
{X)
1
letzte der so erhaltenen Integrale
durch die
dann gewinnt mau den neuen Satz:
;
der Kürze halber:
=fg(t)t'-^dt,
r,{x)
=/
^^
•
t^-^dt,
immer:
^^•Wix) = r,i\-x)-}-V,ix).
(6)
§ 91.
Für
Anwendung auf
ein
die
Punktionen
Beispiel zu der
erstes
in
—
und
log (1
i
und finden nach § 89,
^(•^0 -=
^
•
=^=
ft'-'dt,
'Si(x)>0
(4), (5):
log (1
+ x),
f^x)
x).
den vorhergehenden Para-
graphen entwickelten Theorie benutzen wir den Ausdruck:
W{x)
-|-
= _ -1
.
log (1
-
.r);
—
:
Bestimmte Integrale.
Zweiter Teil.
230
Anwendung von
daraus folgt unter
+ -~)
log (l
(1)
--=
§ 90, (4):
f~~~ dz,
^
—
a'
<a<
WO man
—
und
1
<ö<
:t
-
«
cc
voraussetzen muß.
-|- jr
Die Anwendung der Integralformel § 89, (10) ergibt hier:
X
sin
daraus
J
nx
{ig<fY~Ul^>,
cos*
ergeben
0<m(rr)<l;
qp
vermöge der Substitution tg qp
sich
=^
die
zwei
weiteren Darstellungen
(2)
x
sin
00
^=
——
(3)
x
wo
log
Q
müssen.
IS
cos
4-
-2-j
Nach
<
/ arccot^-0^-if?^,
9?(a:)
<
1,
«y
„
2
für ^
=
und
cx)
arc cot ^ für ^
Erörterungen findet
diesen
man
=y
verschwinden
aus § 90, (4) un-
mittelbar:
a-\-i<x,
(4)
—
H(l+i*)-^;7
%J
a
(5)
arccot^
=
Wendet man
—
s~
4?'^^.
sm
0<«<2
--,
it
~^^, 0<a<l,
f-^^d,,
—nz
1. /
--.\i
1
«y
wo man außerdem
+
z
^
^;
cos
< ö < +—
voraussetzen muß.
endlich die Formel § 90, (6) an, so gelangt
man
nach einer einfachen Rechnung zu folgender Integraldarstellung:
(6)
£<?^i^=/log(l +!).<»«, 9iW>0,
welche auch mittels der allgemeinen Multiplikationsformel des § 46
hergeleitet werden kann.
:
Die Umkehrprobleme von Mellin.
Kapitel XVI.
Für
231
§ 92.
ein zweites Beispiel setzen wir:
1
Ausdruck:
für die entsprechende Funktion g(x) ergibt sich so der
wo
der Kürze halber:
Qix)='^{-iyiogsx*-'
(7)
gesetzt
worden
Somit erhält mau aus § 90,
ist.
(4)
die
Integral-
darstellung:
— <ö<+ä
wo man noch
Es
ist
-t
voraussetzen muß.
wohlbekannt^), daß die Funktion q(x) in
x
A'-Ebene nur die zwei singulären Stelleu
=—
l
ganzen
der
und x
= oo
be-
sitzen kann.
§ 92.
Anwendungen auf
ß{x)
und W(x)
-\-
C.
Als weitere Beispiele für unsere allgemeine Formel wollen wir
noch
die beiden
Funktionen:
1
^(^)=/^,^^> ^(^)>Ö
(1)
und:
'PW + c=2'FTT-(s+i)' *(^)>''
(2)
4
heranziehen-
=
vermöge der Int^gralformel § 89, (8)
Aus
(1)
log2
+ log(l-a;)
folgt
unmittelbar
.
KP)
/
1)
,.
=
W
1
_2x
Hadamard, La
serie
..
'
^^^
de Taylor,
~~
log2-log(l-f
p. 63; Paris
1
-X
1901.
X)
'
:
232
Zweiter
während
Bestimmte Integrale.
Teil.
die Definitionen § 89,
(3), (4) für die der
Funktion W(x)
entsprechenden Funktionen die Ausdrücke:
(4)
fix)
liefern.
^
{l~x),
log
Demnach ergeben
+C
ff(x)^-~^^.log(l-^^)
sich mittels § 89, (9) die folgenden
beiden
Integraldarstellungen
1
am
7CX
J
2i
—
1
/j
._^NX^^'
daraus aber folgen wegen § 5 die ähnlichen Darstelluncren
•
1
n\
^^)
/
^
V
k^lTx)
r log —
t
log
~
(1
<^-i
t)
=J -^-YT-A
-^TI^^^^'
0<9i(a;)<l
1
/ßs
7t*
COS TtX
f log(l — — logt
t)
^
Nach
diesen Erörterungen findet
log2-log(i
(9)
+
man
aus (5) und (7):
^)^j^Y^
a
-r-^^^
— /oo
a -f- '
*>
i^M^.= ^. r_^z:_^.
"^'
(10)
^
,
'^
a;-l
^
vorausgesetzt, daß
0<a<l
2i
und
J
sin« jr^
in (9)
- <ö< +
;r
wird; in (10) müssen sonach die beiden Werte
ausgeschlossen werden.
In ähnlicher Weise findet
man
x^O
angenommen
und x = oo
aus (6) und (8) die entsprechenden
Darstellungen:
(11)
jr
_L«glL±^HiJ?^l!7!m_.^-.,
:
Die Umkehrprobleme von Mellin.
Kapitel XTI.
§ 92.
233
a-j- IOC
WO man < « < 1 und — ä < ö < + ^ annehmen muß.
Wir haben hier noch die Formel § 89, (6) anzuwenden,
unsere zu Beispielen erwählten Funktionen zu
Die in § 20, (6) und § 75, (6) betrachtete Funktion:
fahrt.
sultaten
die für
sehr ähnlichen Re-
1
,(x)=/!2^1^^i2i2_+il.«.-.,
(13)
gibt erstens ohne
Mühe:
=
1^
sm nx
(14)
9,(^)>o,
- r,(x) + 1^(1 - X).
"P'^Kx)
Zweitens finden wir die in § 20, (9) und § 75, (9) eingeführte
Funktion
1
lAx)=P^^^-i'-'dt,
(15)
'^{x)>0
wieder und erhalten so die (14) ähnliche Formel:
d^
(lö)
Die
beiden
(^(^>
+
=
^)
Formeln
vix)
- ^^ (^) - ^^
=2' log X2
t
—O
-
1, (s)
-\-
s
»=1
wo
'
|,(,)J_giz:Ö>,
(18^
der Kürze halber:
>L,(0)
A(o)
=
0,
X,(n)=^^
= o,
m-^T
<=i
gesetzt
worden
ist.
<^^
- -^^
und (15) führen unmittelbar zu
i^(a;) und ^^(ar); wir finden in der Tat:
(13)
Partialbruchentwicklungen für
m
'^^'(•^)
234
Zweiter Teil.
Für
Bestimmte
Integrale.
die Tunktioi] ri(x) finden wir ferner aus (13), daß:
1
(19)
sein
(20)
^7j{x)
muß.
^
-J
(log2
- logd + t))t^-^dt = I
•
ß(x
Daraus folgt dann unmittelbar:
,(.)=2'^itl±±)^ _^-(^
.^(,
+ 1)).
+
1)
DRITTER TEIL
THEORIE DER FAKULTATENREIHEN
'
Kapitel XVII.
Fundameiitaleigenschaften der Fakultäteiireilien.
§ 93.
über
Konvergenz einer Fakultätenxeilie.
die
Wir werden nunmehr
die reziproke
Gammafimktion
Ent-
als
wicklungsfunktion anwenden, indem wir Reihen von der Form:
untersuchen wollen, in denen die Koeffizienten a^ sämtlich vou x
Setzen wir der Kürze halber:
unabhänorig sind.
rix)G{x)=^Slix),
(2)
so gelangen wii-
von
(1) aus unmittelbar zu folgender
sla.
ß(^)=2'.
(3)
j
Entwicklung:
=
Diese Reihe ^(x) heißt allgemein eine FakultätenreiJie.
Eine Vergleichung der beiden Reihen (1) und (3) zeigt ohne
Reihen gleichzeitig konvergieren oder divergieren
weiteres, daß diese
müssen, außer vielleicht in den Punkten:
0,
(4)
wo
-
1,
- 2, - 3, - 4,
.
.
.,
die Glieder der Reihe Hix) unendlich groß werden,
R«ihe für solche Werte überhaupt einen Sinn hat.
^{x)
selbst
Wir
kann eventuell
defijiieren
tätenreihe (3)
konvergiert.
daher
in
falls
diese
Die Funktion
den Pimkteu (4) einfache Pole haben.
den Konvergenzbereich der Fakul-
stets
in welchem die Reihe (1)
von
^{x) Jia>in somit einfache
Der Konvergenzbereich
als
denjenigen
Bereich,
Pole dieser Funktion enthalten:
vergiert die Reihe Sl{x)
sicher,
ist
aber
co
wenn nur
Größe von beliebiger Kleinheit übersteigt.
ein solcher Pol, so konj
.r
—
o
j
eine angebbare
238
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Für die Konvergenz der Fakultätenreihe Sl(x) liefert der Grenzwert § 21, (2) unmittelbar zwei Sätze, welche den in § 49 für die
Binomialkoeffizientenreihen hergeleiteten sehr ähnlich sind; nur fällt
hier die Bedingung, daß \x\ endlich sein muß, weg.
L Der
ist
Bereich der absoluten Konvergenz der Fakultätenreihe (3)
die rechts von einer gewissen auf der
die unbegrenzte Hdlbebene,
Achse der
reellen
Zahlen senkrecht stehenden geraden Linie
liegt.
Konvergiert nämlich die Reihe:
=
«
CO
.
sla
2
(6)
j^
=
x{x
-\-
I
1)
(x
-\- s)
*
so wird die andere Reihe:
*= 00
1
(6)
*
=o
wegen § 21, (2) dieselbe Eigenschaft besitzen, falls '^{x^ > '^{x)
angenommen wird; ist umgekehrt die Reihe (5) divergent, so muß
dies offenbar auch mit (6) der Fall sein, wenn SSiix^ <^ '^{x) an-
genommen
wird.
nicht mit den
Natürlich setzen wir dabei voraus, daß x^ bzw. x
Werten
Als eine direkte
(4) zusammenfallen.
Anwendung
des Grenzwertes § 21, (2) hat
man
ferner den zweiten Satz:
Wenn
IL
die Glieder der Reihe (3) für einen gewissen endlichen
Wert a von x sämtlich
endlich sind, so konvergiert die Beihe Sl(x)
sicher unbedingt, falls 9{(ic
Da
der Bereich
unbegrenzte Halbebene
III.
—
a)
>
ist,
ist
diese Darstellung
lich; die Fakidtätenreihen gestatten
sei
-{-
ix
1)
-\- s)
^
^
x{x
-\-
1)
{X
-\- s)
'
Die Multiplikation mit x ergibt dann für \x\ = oo daß
sein muß; multipliziert man hinwiederum mit x-\-l, so
,
«0'
ergibt die
die
^ 00, daß % = a/ sein muß usw. Die Idendann und zwar nur dann möglich, wenn für jeden Wert
Annahme x
tität (7) ist
von n
s\a
x{x
beiden Fakultätenreihen für endliche Werte von x konver-
die
gieren.
«(,=
nur auf eine Weise mög-
somit keine Nullentwicklung.
nämlich:
2
m
wo
von ^(x) eine
so läßt sich der weitere Satz folgern:
Falls eine vorgelegte Funktion in eine Fakultätenreihe ent-
wickelt werden kann,
Es
1 vorausgesetzt wird.
unbedingten Konvergenz
der
Gleichung
a^^
=
a„'
gilt.
Kapitel
XVH
Fundamentaleigenschaften der Fakultätenreihen.
239
Int^graldarstellung von ^(x).
§ 94.
Um
§ 94.
eine wirkliche Theorie der Fakultätenreihe:
"w-2'x(^-^i^)
(1)
zu kömien, haben wir diese Reihe il{x) vor allem als ein
liefern
Integral der Gattung
spezielleres
führen wir die Funktion §
^^^
3, (7)
^(x) darzustellen.
ein und finden:
xix-\-l)---{x-\-n)
(»i
Zu dem Ende
+ lf
Daraus folgt zunächst der wichtige Hilfssatz:
Wenn
I.
Wert von x
FakuMtenreihe Sl{x) überhaupt für einen endUchen
die
konvergiert, so
der Konvergenzradius dieser Totcnz-
ist
reihe:
-
<p(l
(3)
mindestens gleich
- «0 + «1^ + a^t'-]-a^f+Ist
1.
dieser Konvergetizradius
größer als 1,
so
Wert von x,
negativen ganzen Zahl ist, und um-
konvergiert die Fakultätenreihe (1) sidier für jeden ettdlidien
der nicht gleich
NuU
oder einer
gekelirt.
Aus
(3) findet
man
weiter:
^•9<"'(i-o-l("r) «...•'•
1
=
und daraus:
(4)-<^
-m-tr*"-'~'E er) «...''•(1 -')'""'•
•r'"0-
Diese Reihe hat aber offenbar folgende drei Eigenschaften:
^
=
im
^ <1
gleichmäßig konvergent.
Sie ist
2)
Die eirizebien Glieder sind, für Üt(a;
1 in
3)
^
f
f
+
n)
> 0,
von
f
=
bis
integrabel.
Wie
die Integraldarstellung §53,(1) für ß(a;, y) zeigt, so wird
die Reihe, welche
von
Intervalle
1)
=
Reihe Ä(x)
bis
^
man
=
selbst;
Sl{x) der Fall
ist.
1
aus (4) durch formale gliedweise Integration
nichts anders als das Restglied der
erhält,
sie
ist
daher sicher konvei^ent, wenn dies mit
240
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Ein bekannter Satz^)
bis
t
=
gliedweise
1
^=
daß die Reihe (4) von
zeigt dann,
werden
integriert
darf.
Damit
folgender
ist
wichtige Satz bewiesen:
IL
Falls die Fakultätenreihe Sl{x) Iwnvergiert,
nicht negative Zahl
man
hat
n
so bestimmt wird,
daß
9fl(a;
und
+
w)
die ganze,
>
so
ist,
allgemein:
1
1
sla
(-If
(5)
x(x-\~
und
speziell
x{x
{x-\-n
1)
für n
(x
-\- 1}
-\- s)
^ 0:
1
Sl(x)'-=^J(p{t)-t^- dt.
(6)
Funktion
Betreffs der
kann man nun ohne Mühe folgenden
(p(t)
Satz beweisen:
Falls die FakultätenreiJte Si(x) konvergiert,
III.
N
Zahl
^^
\rix-{-n-\-l)
in
dem ganzen
< <
Intervalle
ist
^
1
^
richtig
bleibt,
wenn
gegebene positive Größe von beliebiger Kleinheit bedeutet,
angenommen wird.
Aus (5) hat man
möglich,
es
zu bestimmen, daß die Ungleichung:
eine solche positive ganze
in der Tat für
s
eine vor-
und
n^ N
n'> N:
t
I
(f^''\t)f +
''-^dt
r{x-{-n)
<
1^3'
1
> > 0,
^
daraus folgt nach einer partiellen Integration:
r{x
Damit
ist
+ w -ffl)
r{x-\-n-\-l)
J
r(a;
+w+
l)
unser Satz bewiesen.
Wir wollen
in diesem
Zusammenhang noch
einen spezielleren
Satz herleiten, den wir folgendermaßen aussprechen können:
IV.
lichen
Wenn
die Fakultätenreihe Sl(x) für einen willkürlichen end-
Wert von x
so ist die
Funktion
konvergiert,
cp(t)
ausgenommen x
auch im Bereiche von
t
= 0, — 1, —2,
= analytisch,
die Potenzreihe:
cp(t)^b,-^b,t
(8)
1)
U. Dini, Grundlagen, p. 523.
+
b,f+b,t'-^---
•
•
-,
und
Kapitel
XVn. Pundamentaleigenschaften der
Das Umgekehrte
\t\<Cl konvergent
sicher für
ist
Fakiütätenreihen.
ist
241
§ 95.
aber nidd
richtig.
Bedeutet nämlich n eine ganze, nicht negative Zahl, so hat die
^u)
Funktion
im Punkte x
=—
n einen einfachen Pol mit
dem
Residuum:
».-(-!)"
(9)
wegen
es ist aber
Damit
ist
Hand
Set')«...;
(3):
unser Satz bewiesen, denn die numerische Reihe rechter
in (9)
den Sätzen
ja
ist
und
1
11
des § 93 zufolge sicher
konvergent
Herleitung eines Hilfssatzes.
§ 95.
Durch die Formeln § 94, {ß), (7) haben wir eine notwendige
Bedingung angegeben, der eine Funktion genügen muß, um in eine
Fakultätenreihe entwickelt werden zu können. Wir wollen nunmehr
beweisen,
daß diese Bedingung auch eine hinreichende
dem Ende zunächst noch
aber zu
Wir
eine
definieren
müssen
ist,
einen HiLfssatz herleiten.
Funktion
die
q}{t)j
folgenden
drei
Be-
dingungen genügt:
1)
(f
(t)
ist
im Bereiche der
Stelle
^
=
1
analytisch,
und
die
entsprechende Potenzreüie:
-{-•••
= a^+ a^t + a,i^-{= 1 sicher konvergent.
im Innern des Kreises
=
kann für q)it) singulär sein;
2) Die Stelle
q>{l
(1)
ist
-t)
a^tr'
|
<
-
j
^
Falle müssen aber Ableitungen willkürlicher
^= +
t
=
existieren.
Ist (p'^^it; die erste dieser
unendlich groß wird, so
-\-
Zahl
kj
—
oo
<X<+
^^7 so zu
wird, je
I
j
für
möglich sein, eine
reelle
=
{<^
nachdem '^{x)^X vorausgesetzt wird.
3) Die Funktion cp{l
=
es
q>(t)
Ableitungen, die für
bestimmen, daß:
lim |^+'-g)(p)(Oi
(2)
<
muß
in diesem
Ordnung von
—
t]
kann auf der Peripherie des Kreises
^ = 1 besitzen; es muß dann
1 andere singulare Stellen außer
möglich sein, eine reeUe
Zahl
/',
—
ex:;
< A' < -f
^^
?
stimmen, daß:
Nielsen, Theorie der Gaminafunktion.
16
so
zu be-
242
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
wird, je nachdem 'iR(x)^X' vorausgesetzt wird,
wo
s
N eine
von beliebiger Kleinheit
eine vorgegebene positive Größe
Die zwei Zahlen X und
Funktion
n^N
wenn
ist,
hinlänglich große, positive, ganze Zahl bedeutet, während
nennen wir
X'
die kritischen
ist.
Zahlen der
(piß).
Unter der Annahme dieser Voraussetzungen für
cp{t)
beweisen
ist,
während
wir nunmehr folgenden Hilfssatz:
sei t eine reelle Zahl, so daß
<
angenommen wird, dann ist es möglich,
so zu bestimmen, daß für n'>
immer:
Es
I.
9ft(a;)
>A
Zahl
N
<
1
eine positive ganze
N
(1-
wird,
i(
%vo
s
tf+''(p^''\i —
eine vorgegebene positive
t)
Größe von
Kleinheit
beliebiger
bedeutet.
Wir denken uns
(2)
p
=
X^O
0,
-
(1
0^9.(1
und erhalten
vorläufig
anzunehmen
-
(p{-{-
= g(t),
9.(1
Wir
—
beschreiben jetzt mit
einen Kreis
t
C,
Potenzreihe (f) im Punkte
dann
g{t) für
C, auch
Satze von
in
^
=
(1
-
0-^^(0
=
t
als
Mittelpunkt und mit
der also den Konvergenzkreis
^
=1—
berühren muß.
> A in jedem Punkte der
= 1 — 0, einen endlichen Wert
9ft(a;)
Cauchy^)
dem Ra-
C
für die
Offenbar
muß
Peripherie des Kreises
besitzen.
Nach einem
erhalten wir sonach den Majorantwert:
^^\9''Kt)\<M,
(ö)
wo
-
so nach w-maliger Differentiation nach x:
s
dius 1
unendlich groß, so daß in
0)
weiter setzen wir:
ist;
M
eine
gewisse endliche Größe nicht übersteigt,
willkürliche positive, ganze Zahl bedeutet.
Nun
ist
aber nach § 21, (4):
\
1)
s)\
E. Picard, Traite d'Analyse, Bd.
|g»|
II,
p.
5
111; Paris 1893.
j)
aber eine
Kapitel XVll.
wegen
(5)
und
Fundamentaleigenschaften der Faktdtätenreihen.
(6) folgt darans^
\(l-ty+"<p^''){l-t)\<nl
wo
eine
A'
^
l)
r(x
;
=
a
-\-
iß setzt:
^+'-2'i-(^r*
Größe bedeutet, und demnach weiter
positive endliche
r(ar+n +
wenn man x
243
§ 95.
+ 1)
femer hat man bekanntlich:
daraus folgt wegen § 21, (2) und
von beliebiger Kleinheit bedeutet:
wo
>
Die
Damit
ist
< <
aber unser Satz für
^
1
bewiesen.
Stelle
^
=1—
erfordert eine spezielle Untersuchung, weil
C
entsprechende Kreis
der
eine positive Größe
hinwiederum eine endliche positive Größe bedeutet, wie groß
Aj
auch n angenommen wird.
und A
wenn d
(7),
dann unendlich klein wird. Wir
= richtig ist, denn er
kennen zunächst, daß unser Satz für «
dann eine direkte Folge der Voraussetzung
n
an, unser Satz sei auch für
richtig,
und
(2).
Nehmen
erist
wir nun
setzen wir der
Kürze
halber:
(l_f)^+V)(l-t)
so
ist
sicher:
Hm
(9)
t
die Differentiation
x+
nach
9^,(0
1=0;
= l-0
t
ergibt aber:
n+1 = -
Einem bekannten
^
+„+ 1
Satze ^) zufolge
lim i<JP»+i(0i
<=i-o
Damit
A
>
,.
ist
•9',W-9'»+i(<)ist
daher auch:
= O.
unser Satz für das ganze Intervall
< <1
^
vollständig bewiesen.
1)
U. Dini, Grundlagen, p. 104.
16*
und für
244
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
dem
In
wo
Falle,
X negativ
so bestimmen, daß
kann man
ist,
— i5<JA< — J9 +
Zahl p
gehende Schluß weise bleibt dann anwendbar,
in
qp(^)
1
eine positive ganze
und
ist,
falls
man
die vorhercf^^if)
statt
einführt.
^(i^)
Wir heben noch
zwei speziellere Fälle hervor, die gleichfalls
durch die vorhergehende Schluß weise bewiesen werden können:
if
t=\
Ist
II.
die einzige singulare Stelle von (p{t)
des Kreises
pherie
=
^
|
|
=
1,
so
auf der Peri-
Ungleichung (4) auch für
die
bleibt
richtig.
der Potenzreihe (1) größer als
Ist der Konvergenzradius
III.
1,
Ungleichung (4) im ganzen Intervalle
so
^ ^ < 1 richtig,
auch wenn '^(x) negativ angenommen ivird, wenn nur \di{x)\ eine
hleiht die
gewisse endliche Grenze nicht überschreitet.
Bestimmung der Punktionen, die in eine Fakultätenreihe
entwickelt werden können.
§ 96.
Mit Zuhilfenahme der Resultate des § 95
folgenden
ist es leicht,
allgemeinen Satz zu beweisen:
I.
Sl(^x)
Die notwendige und hinreichende Bedingung, der
genügen muß,
können,
um
daß
darin,
besteht
in eine Fahdtätenreihe
^{x)
sich
als
eine
enttvicJcelt
bestimmtes
Funktion
tverden zu
Integral
der
Gattung ^(x), nämlich:
1
Sl(x)== j(p{t)t'^-^dt
(1)
darstellen
muß.
wo
läßt,
Die
so
(p(t)
den Bedingungen des § 95 Genüge leisten
ist dann in der durch die
erhaltene FakuUätenreihe
Ungleichungen M(x)
> A,
'Siix)
> A'
definierten
Halbebene gleichmäßig
konvergent.
Erstens bemerken wir, daß das bestimmte Integral (1) einen
Sinn nur hat, wenn 9fl(rr)>A oder wenn,
guläre Stelle
ist,
setzungen findet
9f{(ic)
>
angenommen
man dann durch
falls
^
=
für q)(t) eine re-
wird; unter diesen Voraus-
wiederholte partielle Integration:
s= n
(2)
wo
(3)
+ -^.W'
ß« -2" -,7,
(x
x{x +l)''''-(x+^)
-f- 1)
•
•
-(- s)
•
der Kürze halber:
B(x) -
,
l^^^^''!^
N
•
f(p^''Kt)t^+"dt
Ftmdamentaleigenschaften der Fakultätenreihen.
Kapitel XYII.
worden
gesetzt
ist,
aber eine willkürliche positive,
ti
245
§ 96.
ganze Zahl
bedeutet.
Nimmt man
>
Ä' an, so ist es möglich,
aber in (3) auch 9?(j)
immer:
so zu bestimmen, daß für w
>^
N
eine positive ganze Zahl
l^.(^)l<^
(4)
Damit
wird.
ist
man
Setzt
unser Satz bewiesen.
in (1)
t
= e~'
und
<p{t)==n-logt),
<pie-')-M,
(5)
so folgt für Sl(x) die weitere Integraldarstellung:
00
Sl{x)= ff{z)e-''dz,
(6)
wo
die überall einen Sinn hat,
Ans
(4) ergibt
sich
dies
mit (1) der Fall
immittelbar der folgende Satz, der ohne
Beweis von Jensen^) angegeben worden
U. Der
ist.
ist:
vollständige Koniergenzhereich
die unbegrenzte Halbebene,
ivelche rechts
einer Fakultätetireihe
ÄcJise der reellen Zafdeti setikredd stehenden geraden Linie gelegen
Eine Anwendung
von § 93,
II
ist
von einer gewissen auf der
ergibt
weiter
den
Satz
ist.
von
Pincherle-):
ni.
Die Fakidtätenreihe ^{x) ist sicher für 9l(a:)>A'+
daß die beiden Iritischen Zahlen l und
bedingt Jconvergent, so
Bedingung A
< A'4-
Da nämlich
zu setzen
ist,
1
1
un-
k'
der
genügen müssen.
allgemein:
so
bleiben
sämtlich endlich, faUs
9t (jt)
Glieder
die
>
/.'
in
il(x)
angenommen
wegen § 95, (3)
Aus § 93, II
wird.
ergibt sich ferner der Satz:
IV. Die Breite des unemllichen Parallelstreifens der x-Ebene, auf
dem
eine Fakultätenreihe
nur bedingt konvergiert, kann niemals die
Einheit übersteigen.
Nach
diesen allgemeinen Erörterungen
woUen wir nunmehr den
Konvergenzbereich unserer Fakultätenreihe näher diskutieren, indem
wir folgende Fälle besonders betrachten.
Y. Der Koniergenzradius der Potenzreihe für (p{l
als 1: der Konvergenzbereich von Sl{x) ist
dann
~
t)
sei
größer
die ganze unbegrenzte
1)
Nyt
2)
Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei; Februar 1902.
Tidsskrift for Mathematik, Bd. 2B, p. G9; 1891.
a
246
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
x-Ebene mit Ausnalime der sehr entfernten Punkte der Achse der negativen Zahlen.
Dieser Satz rührt schon von Pincherle^) her.
Als Beispiele benutzen wir die drei Funktionen:
*=
^
00
S\
1
{x-\-s)
u
«
(7)
^
e
1
=
feH^- 'dt-=€
2
«
VI. Ist /l'^
X,
Für
(x{x
'
1)'
{x
-\- 1)
-\- s)
>
A',
tmd zwar nur
die Funktion:
=
«=
«
(8)
«
B. A
oo,
A'=0;
CO
y
,
<
<
fR(a?)
1
=
.•r(a; -\4
daher für
L
die entsprechende Fakultätenreihe:
(9)
ist
'
angenommen wird.
1
-\-
^
=
a
ist z.
x(x-\-l)- --{x-l-s)
so konvergiert Sl(x) für di{x)
bedingt^ falls l' <C 'Si(x) <C X'
+
=
'dt
Sß(x)
2*
{x
1)
-\- s)
=
nur bedingt, für
1
9fi(^)
>
1
aber un-
bedingt konvergent.
VII.
Ist
k'=l — h, 0</j<l,
aber nur bedingt für X <C
VIII.
zwar für
Für
=X—
S^ix) >
Ist X'
'tR(x) <C
so
1,
ist
so konvergiert Si(x) für 9i(:r)>A,
X
-\-
1
—
k.
Sl{x) stets unbedingt konvergent
und
X.
die Funktion:
1
(10)
man
hat
^
—^==\t-"-t'^-^dt,
X
a
>
z.
^
B. X -^
«
^
—
9^(c^)j
A'=
X
^^
4
ist
daher für '^{x)
1)
> 9f?(a)
9ft(a)
—
I5 die
x{x A^
\)
^{x-a)>0
Reihe:
{x
-\- s^
=1
stets
unbedingt konvergent.
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd.
2, p.
226; 1888.
Kapitel XVII.
Fundamentaleigenschaften der Fakulfötenreihen. §
97.
247
Für:
1
^ = 7^^
(12)
ist
A
= 0,
A'=
—
daraus
1;
•/(l"'g
für
folgt
')'''"''"'
^^'''>>^
positive '^(x)
die
un-
stets
bedingt konvergente Entwicklung:
*= X
i=p
Als drittes Beispiel nekmen wir:
ß(x)
(14)
wo
- <")-«(! - ty-^dt,
=J(1
u
Es
M eine positive ganze Zahl bedeutet.
> ?R(a),
"Siix)
demnach:
ist
9(1- o=(i^<")-'=2'(" )•'"''
j
daraus
folgt,
wenn
nicht
r
''
<^5
=
durch n teilbar
ist,
9^''^(1)
=
und
speziell:
(Somit
ist
hier
;i
i)"V^W = («!>)! C)= 9l(a),
—
r=SR(a)
anzunehmen,
1
so
daß
die Reihe:
^(^)-^
(15)
4
für 9l(ic)
> 91 (a)
stets
Aus
(1) folgt
IX.
Die
xC^
=
'(")
+ i^'^W»^)
unbedingt konvergieren muß.
noch der Satz:
uillkürliche
^{x)
Fakultätenreihe
Icann
immer durch
Zuhilfenahme der allgemeinen Formel § 49, (2) in eine BinomialJcoeffizientenreilie entwickelt
Konjugierte Punktionen.
§ 97.
Wir
Innern
setzen
jetzt
werden.
voraus,
speziell
der beiden Kreise
\t\
=
l
und
daß
j
i
1
(p(t)
im
1 analytisch
ist,
Funktion
die
—
|
=
so daß die Potenzreihen:
= «o^«i^ + «2^*+«3^+-»
ip(t) = &o + hi + ^2^' +
+
9;(l-0
(1)
«>5<'
(2)
sicher für
^
<1
konvergieren.
•
•
:
248
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Weiter setzen wir voraus, daß
k^ und Ag' so zu bestimmen, daß:
g,W(l)
(3)
im
li
«
wird, je
=
r(x
00
nachdem
Dem
Satze
'^(x)
§
lim
loo'
^ A/
VI
96,
_
P
+ w + 1)
möglich
es
bzw.
(")/
-^-^-i:W
r(x-\-n
9ft(;z;)^
fo
i
+ l)\
loc
angenommen
Jlg'
konvergieren
zufolge
zwei reelle Zahlen
sei,
Avird.
dann die beiden
Fakultätenreihen
1
Fix) =jfp{t)t--^?lt^-
(4)
s\a
x{x
+
1;
•
•
•
(x
'
-f- s)
^(-)-/V(i-o^^-^^^-2'.(^i?^ (^ + sT'
(5)
falls
V
^^
9ft(Ä;)>yl/ bzw. '^{cc)'^X^'
angenommen
wird.
Da die Integrale in (4) und (5) für ^{x) >,0 beide einen Sinn
haben müssen, so sind die Funktionen durch BinomialkoeffizientenForm
reihen von folgender
S
=
CO
==^(-iyF,{s +
F{x)
(6)
darstellbar:
4
4'
=
s
die beide für 9^(.x)
>
von
^
=
bis
^
=
l).
("-/),
=
konvergieren.
Bedenken wir endlich, daß
(2)
{''--'),
00
i^,(:r)=^(-l>^F(.+
(7)
1)
=
1
beiden Potenzreihen (1) und
die
gliedweise
integrierbar
sind,
so
ergeben
sich unmittelbar die Partialb ruchentwicklungen:
F{x)
(8)
=2^
«
X
-\-
s
=
«=
00
^.W-2'irlT-
(9)
4
=
Funktionenpaare wie F{cc)
und F^(x) nennen wir
konjugierte
Die in § 96 eingeführten Funktionen ß(x) und a{x),
P(x) und '^{x) sind daher konjugierte Funktionen.
Funktionen.
Kapitel XVni.
Algorithmus der Fundamentaloperationen.
§ 98.
249
XYm.
Kapitel
Algorithmus der Fundamentaloperationen.
Herleitung einiger Hilfsformeln.
§ 98.
Die Addition oder Subtraktion
man
kann
einfach die entsprechenden
oder die qp-Funktionen addiert oder subtrahiert.
Koeffizienten
Um
auch für die Multiplikation zweier solcher Reihen sowie für
aber
die
zweier Fakultätenreihen
man
unmittelbar ausführen, indem
Fundamentaloperationen der Analysis oder der Differenzenrechnimg
Algorithmen zu gewinnen, bedarf
Wir
man noch
weiterer Vorbereitungen.
betrachten zunächst die beiden Funktionen:
(1)
9i(l
(2)
9,(1
-
- < + a{t -f a^r- 4- a^'i^ +
= «o"+ «r<+ a/'^'+ <^+
mit den beiden kritischen Zahlen
und
A^
Aj'
•
•
-,
•
bzw. A, und l/: setzen
wir femer:
9>(i)
(3)
so finden wir
fiir
q>(l
(4)
= <Pi(t)<P,(i),
die Koeffizienten der Potenzreihe:
-t)
= «0+ «1^ + a^f+a^^-j-
unmittelbar den allgemeinen Ausdruck:
wir haben daher nur noch übrig,
und
k' für
Funktion
die
Aus der
9:(/)
Definition (3) folgt erstens, daß allgemein:
A
(6)
sein
muß.
(Pi(t), in
t
Wenn
=
t
= A, + A,
nur eine der Funktionen
A
dem
==
(f-^^{0
und
z.
B.
(Pi{t)
in
(po(f),
eine reguläre Stelle hat, so wird zweitens:
(7)
In
beiden kritischen Zahlen k
die
zu bestimmen.
dritten
=
A,.
FaUe endlich, daß
regulär verhalten,
muß
(p(t)
sich
sowohl
(pi{t)
als
offenbar dieselbe Eigenschaft be-
sitzen.
Was
die
zweite kritische Zahl
A'
betrifft,
(3) oder (5) die Gleichung:
^ ^
«!
^
*
=o
(n
—
sV.
sl
so
erhält
man
aus
;
250
Sind nun
^2
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
^
^2'
und
während
is^>
d^
zwei reelle Zahlen, so daß
dg
d^ —
beiden Differenzen
die
<^i
A^'
> A^'
und
und
d^ —
Ag'
angenommen werden dürfen, so ist offenbar wegen
§ 95,(3) und unter Anwendung der Funktion ^„(^) für alle positiven
ganzen n und w = 0:
klein
beliebig
9l"^(l)
wo
.AT
Z
und
1^^ <L
<^:•(l^+l)^
(n^l)\
Größen bedeuten; somit ergibt sich
positive endliche
aus (8) die Ungleichung:
^("^(i)
(9)
wo
der Kürze
< 31 -^ (n - s +
halber 31
K
-^
•
L
iy>(s
gesetzt
+
ly^,
worden
wir
ist;
haben
daher jeden der drei folgenden Fälle für sich zu untersuchen:
1) Aj^'>
—
A2'>
1,
—
die Definition des
1;
bestimmten Integrals
ergibt dann:
< jf
w!
•
+
(w
lyi+'j.+i
I
t^i
— ty^dt',
daraus folgt wegen § 95, (3) unmittelbar:
A'=V +
(10)
Aj
2)
"1—
ist,
>—
1
,
Ag
<—
1
;
^2'+l.
man
dann,
hat
wenn
n^
=y
oder
vorausgesetzt wird, je nachdem n gerade oder ungerade
2
wegen
(9):
9>('')(l)
(11)
n!
< 31
s=
n
^
{n
-s+
iy^{s
+
l)'^^
+
— rii — l
'+3i'^{s + iy^(n-si-iy^
s
Nun
(12)
ist
aber offenbar:
y'(n-s+
«
=
ly^ (s
+
l)'^^
<
(n
+
l)'^^
•
5' (« +
1)'^
=o
=
00,
da aber die Reihe rechter Hand in (12) immer, selbst für n
eine endliche Summe hat, so ist es möglich, eine endliche positive
Zahl K^ so zu bestimmen, daß:
<^lgM»- ifli ii
imH.
WMiiiiil
i
§ Ä.
der rTmdamsnli ilimi iiBJHWHiP.
TM=
251.
V
itnsA::)
jkaans Jkber folgt:
3) j
*
<_
-
„^ieichxmr
Sand
landen Srann
anwendbar.
11
in
l'J
für dit
m
:s-
^
öieHem Tülle:
^'i-i-,
i-
(14)
^
*•
*2*
ctiotn.:
S(.a:
(15)
bh.
I
Tina _i
V
c
«/
=J Fi./,'rLabien
-
-
•
-
•
-
^
f7/
i
er djp
c
r:-'
'
^^«(f>
^'^«(y)-i^
.
'
^'>-l,
i'^-i-
s^at
äarBiif -folgt,
ffl(^
wenn man
=3 -^p^^-^—p^,
o:
—
-tf
inal
f:
mm:
(1«)
Ä
-
^
Stdlf 7"=
I^'^i-,
Ijf^it;
Tnp.n
;
dif l>eiden krit:
"
-
^aiacbci-:-
§gizt
-
sobsl s
e±niiihrL:
* wrHÜfl
ifftti
-"?
«iäAb
AmiiüdiaK:
.
t- ist
9Sij/^^0,
S(i/_o.
1
252
Dritter Teil.
Multiplikation zweier Fakultätenreihen.
§ 99.
Wir suchen nun
Si{x)
(1)
Theorie der Fakultätenreihen.
^
das Produkt der zwei Fakultätenreihen:
f(p{t)t'-hU
=
Ä
-\- 1)
•
{x
-\- i)
'
V
Sl,{x)=^ ji>{t)f=-hU
die für %{x)'~:>
xix
4=0
Ö
(2)'
V
^^
bzw. S^ix)
>
A^ konvergieren.
Beide Reihen sind sicher für 9i(it)>^
+l
bzw.
9? (;r)
> ^^
-|-
unbedingt konvergent, und ihr Produkt kann somit nach der Regel
von
Cauchy
thode
gebildet werden; allein es leuchtet ein, daß diese
Me-
nur unter großen Schwierigkeiten zu einem übersichtlichen
Resultate führen kann, was namentlich auch für die Beantwortung
der Frage gilt,
ob das Produkt il{x)
wieder in eine Fakul-
Sl^i^x)
tätenreihe entwickelt werden kann.
Die aus § 46,
(6), (7)
stammende Produktformel:
1
ß(^)
(3)
wo
•
Sl,{x)
^J xit)t'-'dt,
der Kürze halber:
m^ff-^^^ä.
(4)
t
gesetzt worden ist, bietet offenbar für eine vollständige Lösung des
Problems auch ihre besonderen Schwierigkeiten dar.
Daher scheint es uns angemessen, einen ganz anderen
zuschlagen, indem wir zuerst das speziellere Produkt:
Weg
ein-
n\h
^
^
x\x
-\- 1)
{x
-\-
^
n)
'
untersuchen wollen.
Wir
schreiben
zu
diesem Zwecke
die
Formel
maßen:
1
(6)
dann läßt sich
Sl(x)^J^-^'''ät',
die Funktion:
0(t)
mittels der allgemeinen
=
cpit)-
^»-1
Formeln des § 98 behandeln.
(1)
folgender-
'
Algorithmus der Fnndamentaloperationen.
Kapitel XVlil.
Ist
nämlich A die erste kritische Zahl von
A
entsprechende Zahl
für 0(f)
=
ö für
q)(t)
Was
die zweite kritische Zahl
—
wenn
>l'>
1,
l;
eine reguläre Stelle, so wird:
J^n +
(8)
i.
A' von q{x)
Zahl von
die zweite kritische
?.'
so hat die
g>{t)j
im allgemeinen offenbar den Wert:
^=Z + w +
(7)
ist speziell f
253
§ 99.
betrifflb,
g)(t)
so
für
ist
bezeichnet:
A'^ X'+n+l
(9)
Annahme Ä'<C—
zu setzen; die
ergibt in ähnlicher Weise:
1
A'^A.
^'>>h
(10)
man
Bedenkt
kommt,
nun, daß im Integrale (6) x
'^
=^
Sl{x)
(11)
*
wo
-\-
n -^
statt
i
x
vor-
so leuchtet ein, daß die Fakultätenreihe:
slÄ
(ar-l-
n
=o
+
l)(a;
-f H
+ 2)
•
•
•
(a;
+ n -f s
-I-
1)
der Kürze halber:
^..-^(" + 0"'-^
(12)
r=
gesetzt
^{x)
worden
>
ist,
sicher konvergiert,
angenommen
wird; dies
muß
falls
sowohl '^(x):^^,,
als
daher auch mit der anderen
Reihe:
n!&
^
x{x
^
-|-
1)
-
-
n!s!6
-^—7
(a;
^ ^
4- n)
,^j
X
x{:
-|-l)(x
A
+ 2). --^a^ + n-h 6^-1-1)
der Fall sein.
Da nun:
1
x{x -f
1)
u
ist,
so hat
man wegen
(3)
und
(4) für die Reihe (13)
ausdruck:
1
wo
der Kürze halber:
*.(,)=j(l_l)'^
(15)
t
gesetzt
worden
ist.
den Integral-
254
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Wir kehren
Formel (lo) zurück und bezeichnen mit l
A'; dann folgt aus (9) und (10)
jetzt zu
Zahlen A und
die größte der beiden
Anwendung des Satzes § 96, III, daß die Fakultätenreihe
Hand in (13) sicher für ^(a;) > ? -f 1 unbedingt konvergiert,
wenn außerdem 9fi(a;) > V angenommen Avird, wo 9i(a;) > V die Konunter
rechter
vergenzgrenze von Sl^{x) bestimmt.
Betrachten wir weiter die Reihe:
Ä
Vnlslb
+
.«(«+
jiLJ
wo
s
+ s-f
1)
positive ganze Zahl anzusehen
eine feste
als
2)- ••(a;-(-w
l)(a;
>'
ist,
so ist klar,
daß diese Reihe unter denselben Voraussetzungen wie (13) unbedingt
konvergieren muß.
Nach
einander
diesen Erörterungen
=
w
und addieren
offenbar
zu
alle
so
0,
2,
1,
•
•
•
dann gelangt man
deren Glieder wegen ihrer
angeordnet
willkürlich
3,
Gleichungen,
erhaltenen
Doppelreihe,
einer
Form
deren
wir nunmehr in (13) nach-
setzen
:
werden dürfen.
beson-
Somit ergibt
sich die Formel:
r=cc
Sl, (x)
^^
Slix)
^
(17)
^
-^
^
-'
y
= ,i^
r
WO
=
der Kürze halber:
B^^y(r-s)\s\b,_,.Ä r —
(18)
worden
gesetzt
>
ißj(ic)
aus, so
für fR {x)
> 0,
^
ist.
Die Formel (17)
'^{x)
X anwendbar;
ist
^
J^-^^
--7-'-T-i\—
r-x—
-{x
x(x-\-{-r -{-!)'>
1)
ist
also
sicher für
man
9f?(^)
> 0, ^{x)>l^l,
umgekehrt von der Reihe
ergibt dieselbe Methode, daß die Formel (17) auch
9? ix) ~>l, 9fi (^) > r + 1 anwendbar sein muß. Damit
geht
aber
folgender Satz bewiesen:
Bas Produkt
und ^i{x), die für
kann mittels der Formeln (12),
ziveier FaJcultätenreihen Sl(x)
l bzw. ^(x) > V konvergieren,
und (18) wieder in eine Fakultätenreihe
'Si{x)^
(17)
sicher für SR{x)
> 0,
'^{x)
>
l,
'^(x)
>V
entwickelt werden,
konvergiert.
die
Kapitel
XVDI.
Algorithmus der Fundamentaloperationen.
Für
Wir
—
•
255
Si{x).
99 entwickelten allgemeinen
ein erstes Beispiel zu der in §
Annahme:
Theorie machen wir die
finden dann mittels § 99, (3), (4):
+ V-^'~'"''
^^"g^^
(/?(^))^^/
(1)
Das Produkt
Anwendungen.
§ 100.
§ 100.
-^-^^^^>
9i(:r)>-l;
daraus folgt ohne weiteres die Fakultätenreihe:
s
die
=r
nur unbedingt konvergieren kann.
Für
ein zweites Beispiel gelte die
£l{x)^ßix),
wo
sich
= a(x),
il,(x)
a{x) die in § 96, (8) definierte Funktion bedeutet.
dann ohne weiteres
(3) ^(»).a(x)../'
und
Annahme:
Es
ergibt
die Integraldarstellung:
'°«'^-"+"'«
^^+f-'°«^-"'°'
<—
rff,
3JW>-1
die Fakultätenreiheuentwicklung:
in der:
zu setzen
aus (5) folgt aber:
ist;
»
=1
und daraus, indem man n^=
n gerade oder ungerade
«
1
**!»,<
'*
=
ii^
——
-
setzt, je
ist:
»=H
= «1
'^
j
oder
=
_
gn-.+
l
+
~;^
'
*
^
=
n,
+l
gfl-X+l
nachdem
1
256
d.
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Weiter ergibt
sich:
Reihe (4) konvergiert immer unhedingt, obgleich die für
die
h.
.
dem
a{x) erhaltene Fakultätenreihe in
Parallelstreifen
< 9i(a;) <
1
nur bedingt konvergiert.
Für
ein drittes Beispiel benutzen wir die
iß(x)
Wir
=
=
^i(x)
Annahme:
a{x)
erhalten zunächst:
{a(x)y
(6)
-/-^^'7^r'°^'
*"''«'
9J(^J
>-
1,
daraus aber die Fakultätenreihe:
(a^^^y.-^^.^^-^^^^^^^,
(7)
SR(^)>0
mit den allgemeinen Koeffizienten:
=n
s
(-1/
c,=;^
(8)
>•
,s-3
=!
«—
«+
Dieselbe Methode wie vorher zeigt, daß die Fakultätenreihe (7)
immer unbedingt konvergieren muß, obgleich die beiden Faktoren in
dem
<
Parallelstreifen
9? (^)
<
nur bedingt konvergieren.
1
Eine noch wichtigere Anwendung gewinnt man, wenn:
genommen
Wir
wird.
erhalten
so
folgenden
Satz,
Stirling^) formell gekannt hat:
Für
die für 'Si{x)
^A
konvergente Fakultätenreihe:
A'=00
ß(^)=y
.^j x{x
(9)
*
-\-
besteht folgende
andere Entwicklung:
(10)
^(x)
=2^
4
1)
Methodus
1)
{x
-\- s)
=
+
+
CTg H
«1
h CT,)
Jx'J^i){x-\-2)---{x-^s)
S!(«o
=
differentialis, p. 9;
London
1730.
den
schon
-
Algorithmus der Fundamentaloperationen.
Kapitel XTTfTT.
die
sicher
getiommen
Man
konvergiert,
tcenn
soicolil
'Si{x)'>
A
als
§ 100.
9i(a-)
findet
z.
B.:
=
9'(^)>0'
„(.)-^(jTi)^+^?^+^iTr)'
1
diese beiden
Produkt
=
Reihen konvergieren ebenfalls immer unbedingt.
Aus den
folgende
an-
tcird.
«
(12)
>
257
speziellen
eigentümliche
SI[j:)
Formeln
und (12)
(4), (7)
Eigenschaft
erhellt deutlich
Fakultätenreihe
der
für
das
Sl^{x):
Die für das Produkt zweier FakuUätenreihen Sl{x) und ^^ix)
neue Fakultätenreihe kann in einem Parallelstrcifcn unbedingt konvergieren, in wddiem keitier oder nur einer der Faktoren
erhaltene
ü(a;)
und ^i{x)
Aus
diese EigenscJiaft besitzt.
der Fakultätenreihe § 96, (9)
ergibt
sich
ohne weiteres
folgende andere:
<^
oder,
(13)
1>
=2
(X
«*« >
-.).(. +~il''-"(x+,-ir '
was offenbar dasselbe
1
ist:
i_(x-l)«(x-l)=2-i^|M_,
*
9j(,)>i.
=
Daraus folgt unter Anwendung von (10):
(14)
l-(^-l)a(x-l)-V?^ '-'+f-j^f ?V~'rn+''^
»
Diese Entwicklung
-
=i
konvergiert
offenbar
füi
3i(a:)
> 0;
somit
haben wir eine neue eigentümliche Eigenschaft der Fakultätenreihen
nachgewiesen, die sich folgendermaßen aussprechen läßt:
Der Konvergenzbereich für das Produkt ^{x) üiQv) kann
•
Paralldstreifen enüuüten, in
wddwm jedenfalls
Fakultäienreihen sicher divergiert.
Nielsen, Theorie der Gammafanktion.
einen
eine der ursprünglichen
17
:
258
:
:
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Da
und
Differentiation
§ 101.
Integration einer Fakultätenreihe.
die Fakultätenreihe:
^{x)=^fcp{t)t^-'dt^^- (x -\-
(1)
{X -{
1)
s)
ihrem ganzen Konvergenzbereiche gleichmäßig konvergiert, so darf
in
man
sowohl gliedweise differentiieren
sie
Wir wollen nunmehr
grieren.
als
auch gliedweise
inte-
die beiden Funktionen:
j£l{x)dx
fl(^\x),
gleichfalls in Fakultätenreihen entwickeln.
Für
Ableitung ß('^(^)
die
Si('\x)
(2)
man
Setzt
gilt
zunächst wegen § 47, (2):
- yV (0 log t-t'-UJt.
daher:
0(0
=
9(0- log
^.
und bezeichnet man mit A und A' die kritischen Zahlen von ^{t),
während die entsprechenden Zahlen von 0{x) l und k' heißen
mögen, so kann man offenbar direkt die Resultate des § 99 anund
wenden; denn die Funktion log t hat die kritischen Zahlen
—
Man
1.
findet also:
A=
(3)
je
nachdem
t
für cpif) eine singulare oder eine reguläre Stelle
-=
Weiter hat
man
A' > —
für
für
A'
<—
ist.
1
^'>0,
(4)
und
Ar^O,
X,
Ä'^k'
1
A'>k'.
-^'k-1,
(5)
Unter Anwendung der Formel § 98,
(5)
findet
man demnach
den Satz:
Die
Ableitung
einer
FaJaiUätenreihc
Sl[x)
läßt
sich
in
eine
Fakultätenreihe
«=00
Sl^\x)
(6)
=
~y
^j
!
=
;!
(
^
_|_
x{x
"l
-|- 1)
_|_
•
•
•
f^$-\
1
\
(rr -|- s)
1
entwickeln, die sicher konvergiert, falls gleichzeitig 9l(ic)>A, '^{x)y>k',
9ft(a;)
>
angenommen
wird.
:
Algorithmus der Ftmdamentaloperationen.
Kapitel XVIII.
Da
Integrale (1) einen endlichen
dem
(p{l) in
Wert
lierenden
darf
so
hat,
man
die
§ 101.
259
und nicht oszil(9) anwenden
Formel § 47,
erhält so folgende andere Integraldarstelliing:
und
1
f^ij^dx
(7)
^
K eine
wo
'o
willkürliche Konstante bedeutet, während:
W
XV)—
gesetzt worden
ist.
Nun
-a,logx^K=l xit)f- hU,
hat
man
qp(i-Q-y(i)
(10)
wo
Nach
liefert,
^^
^,(^)
'logt
_ ^^^^^^^ ^ a,f + a,^+
•,
die weitere Entwicklung:
=-
is^fht)
1-f
aber wegen (1):
(9^
während § 28, (14)
~
logt
1
+
1)^
^o(-
+ ^i(0)<^ + ^.^(1)^ +
•
•
Stirlingsche Polynom bedeutet.
hat die Funktion (9) offenbar die
diesen Erörterungen
beiden kritischen Zahlen a und
X'
—
1,
während
die entsprechenden
Zahlen für die Fimktion ^10) offenbar beide gleich Null sein müssen.
Man hat daher mittels der Resultate des § 98 für x(0 die beiden
kritischen Zahlen:
je
nachdem
i
=
für (p{t) eine singulare oder eine reguläre Stelle
und:
ist,
r=r,
(12)
je
?=0,
1=1,
(11)
nachdem
?,'
<
r=o,
ist.
Eine direkte Anwendung der Formel § 98, (5) ergibt daher
den Satz:
Für das unbestimmte
Integral der Fakultätenreihe il{x) hat
man
die Enttü^icklung
(13)
a, log
X
- fp.ix)dx
-\-
K
-^
,r:x
die sidier konvergiert, falls gleidizeitig '^{x)
angenommen wird, und wo der Kürze
+ l)^-^fx-\-s)
> a,
91 (ic)
>
A',
halber:
s=n
A,= -
(14)
gesetzt
worden
a,^,
+^ Us -
•
««-,
ist.
17*
^
"^{x)
>
260
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
§ 102.
Differenz
Schon
in §
und endliches
Integral einer Fakultätenreike.
48 haben wir in den Formehi
und
(1)
(8) Resul-
tate angegeben, die unmittelbar auf die Fakultätenreihe:
1
il{x) = j(p{t)t'~^dt
j^
(1)
angewendet
werden
x{x
Wir
können.
-\-
1)
finden
•
{x
-\- s)
sonach
die
Integral-
darstellungen:
1
^^{x)
(2)
=
-icp{t){l-t)r-^dt,
1
J-Hlix)
(3)
wo
^J
^^^)~^f~'
J{x) der Periodizitätsbedingung J{x
-f 1)
dt
J{x),
= J(^x)
angenommen werden
sonst aber ganz willkürlich
+
genügen muß,
darf.
Da nun die Fakultätenreihe ^(x -{- 1) sicher
giert, wo dies mit Sl(x) selbst der Fall ist, so
überall konverergibt
sich
un-
mittelbar:
S
(4)
^
''
^
00
y
^
«
und
wo
=
ziU(x) = .^^
die Fakultätenreihe ist
,
4- 7^
-{x(x
(X _,
1)
•
(a;
{X
-\- s)
ist.
(4) folgt weiter:
^- (ß(.;) - ^«-) = -'^ ^f^+'f^^'^Vr^ + ^w
(5)
«
oder,
•
siher überall konvergent oder divergent,
dies mit I2(x) selbst der Fall
Aus
/
•
.
=o
was offenbar dasselbe
=
ist:
«=00
4=0
Die so erhaltene Reihe
gent,
wo
dies
ist
gleichfalls überall
mit ^(x) selbst der Fall
Die Formeln
(4)
und
(6)
konvergent oder diver-
ist.
zeigen deutlich, daß die Fakultäten-
reihen in der Differenzenrechnung für die Fundamentaloperationen
genau dieselbe Rolle spielen wie die Reihen der negativen ganzen
Potenzen für die Fundamentaloperationen der Analysis.
Diese Ana-
'
Algcrithmus der Fundamentaloperationen
Kapitel XVIII.
logie tritt indessen
noch deutlicher hervor, wenn man
261
§ 103.
die Fakultäten-
reihe folgendermaßen sehreibt:
CO
fi^)
=^
*
Dann
x(x+l)---(x
+
s)
=
ergibt sich nämlich:
(s-f 1^^
^f(x)
(8)
- -2' .(x + i)...(x;. +
»
i)
=
und:
^- Y(x)
(9)
-
A, v{^)
+ J(x) - -2" i^+^yTV(J^+ iFT. +^
*
während
=
die Potenzreihe:
^(^)=2'^
(10)
Weise
in ähnlicher
die entsprechenden
Formeln
(S-|-l;.l
9<"(^)--2^-^^r'.
(11)
=
»
'
Jk^)^^ ^^
(12)
log
.r
^
=
•»
^ = -^
A
^
liefert.
Die Funktion '<f (j) = -D^ log r(x) spielt daher in der Differenzenrechnung eine ähnliche RoUe wie log x in der Analvsis.
Aus §
48, (4) findet
man
endlich mittels (9) folgende andere
Formel:
t=(X
2
(13)
»
[fi^
+ «)
= 06
- J±s} =^
(s
+ l)-x(x+l)'- --(x +
s)
'
die schon Stirling^) bekannt war.
§ 103.
Als weitere
Über
lineare Differenzengleichungen.
Anwendimg
der allgemeinen Formeln, die wir in
den vorhergehenden Paragraphen entwickelt haben, wollen wir nun-
mehr
die lineare DiiFerenzengleichung:
«=ii
^as{^)-f{^ + n-s)-9ix)
(1)
1)
Methodus
differentialis, p. 23;
London 1730.
262
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
in Betracht ziehen,
a^{x)
der die Funktion g(x)
in
sämtlich Funktionen
bedeuten,
die
in
und
die Koeffizienten
Fakultätenreihen ent-
Wir suchen
zunächst für die Gleichung (1)
eine partikuläre Lösung, die ebenfalls in eine Fakultätenreihe ent
wickelt werden können.
wickelt werden kann.
Zu diesem Zwecke
setzen wir:
1
g(x)
(2)
^J
=
«
cp{t)t^-'dt
«.
^^
»
x(x
-\- 1)
{x
-\- s)
=
und:
a,(x) ~-^j i,^{t)t^-'dt,
(3)
s
^ 0,
1,
2,
3,
•
•
n;
-,
wir haben dann eine Funktion 0(t) so zu bestimmen, daß das be-
stimmte Integral:
f{x)^f ^{t)t^-^dt
(4)
eine
Lösung von
(1) darstellt.
Unter Anwendung der Formeln § 99,
(3), (4)
findet
man:
1
<^s{^)
wo
fi^
•
+ n-s)
-Jxs(¥'-'df,
der Kürze halber:
1
gesetzt
worden
ist;
es
Funktion 0(t) mittels
kommt
also darauf an,
(1) so zu
die
noch unbekannte
bestimmen, daß identisch:
1
i^F{t,
(5)
z)^{d)dz
=
(p (f)
t
wird, wo:
ni,^')-^,t.{i)^"-'-'
(6)
s
zu setzen
=
ist.
Es leuchtet
ein,
daß die allgemeine Bestimmung von 0(t) aus
Gleichung (5) überaus große Schwierigkeiten darbietet,
ja,
man
darf
Kapitel XYITI.
Algorithmus der Fundamentaloperationen.
§ 103.
263
daß eine solche Bestimmung im allgemeinen nicht
Für unsere Aufgabe kommt es aber noch besonders
darauf an, daß die Funktion '^{t), wenn sie bestimmt worden ist,
den Bedingungen des § 95 Genüge leistet.
Die von uns gestellte Aufgabe ist daher, wenn sie überhaupt
Tvohl
sagen,
möglich
ist.
möglich
ist,
Wir
als eine sehr schwierige
zu bezeichnen.
wollen nunmehr den Spezialfall der Gleichung (1):
<=»
^a,-f(x-i-n-s)^g(x)
(7)
s
betrachten,
g(x)
wo
die Koeffizienten a^ sämtlich konstant sind,
durch die Formel (2)
Falle für die in (4)
(8)
=
bestimmt
ist.
Wir
finden
vorkommende Funktion den Ausdruck:
*W = -|f.
während
in
diesem
264
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
hereich der für f{x) erhaltenen Fakultätenreihe mit demjenigen von g(x)
zusammen.
Im
anderen Falle
muß man außerdem
noch
9ft (a;)
>r—
annehmen, wenn r die größte Ordnung der Niälstellen von F(t)
1
he-
zdchyiet.
Die
der
Koeffizienten
mittels (11)
Fakultätenreihe
für
welche
f{x),
und vermöge der analogen Formeln bestimmen
sich
lassen,
werden allerdings sehr kompliziert.
Wir bemerken
noch, daß das Integral:
1
f{x)^J^^yt^-Ht,
(12)
falls
nur einen Sinn hat, immer eine Lösung von (7) darstellt,
wenn es nicht in eine Fakultätenreihe entwickelt werden kann.
Nach diesen allgemeinen Erörterungen betrachten wir jetzt die
es
selbst
Gleichung erster Ordnung:
f{x+\)^^f{x)^g{x),
(13)
wo o
Wir
eine Konstante bedeutet.
finden für die Funktion ^{t),
welche in (4) eingeht, den Ausdruck:
(14)
^(0=^i^-9>(0;
unter der Bedingung:
"
1
<1,
91(0,)
^1
ergibt sich daher die Fakultätenreihe:
,S'=OC
und
die Integraldarstellung:
1
m=f^^,-^i¥'-'cit;
(16)
dies Integral
genügt aber immer der Gleichung (13),
haupt einen Sinn
In
man
(17)
dem
falls
es über-
hat.
speziellen Falle,
wo
g{x)
=
angenommen
für die Gleichung:
/'(^+i)
=
^-/'(^)
+i
wird, findet
Kapitel XIX.
Multiplikation des Argumentes in Sl{x).
265
§ 104.
die partikuläre Lösung:
s
die
Annahmen w
=—
«
1,
=y
=
führen also wegen § 96,
(7), (9)
auf
ß(x) bzw. a(x) zurück.
Kapitel XIX.
Mnltiplikation des Argumentes in
Transformation eines bestimmten Integrals.
§ 104.
Aus den
i2<'^).
Integral dar Stellungen § 96, (1), (6) einer Fakultäten-
reihe:
1
£l(x)
(1)
=
OD
f<p(t)tf-^dt
=jf{z)e-"dz
u
findet
man, wenn a
eine endliche von Null verschiedene Konstant-e
bedeutet, daß:
1
(2)
sein
00
a (I) =fnt)t^-'dt ==Jf{z)e-'^dz
Um
muß.
wicklung
in
nun
für die Funktion (2) die Möglichkeit der Ent-
eine Fakultätenreihe in
x zu untersuchen, müssen wir
vor allem die Integrale in (2) auf die Form (1) bringen.
Zu diesem Zwecke setzen wir in dem letzten Integral
z
= au
X
ij(-^)
(3)
es ist
nun
1
a
= a.Jqp(6—)e— (i«;
in (2):
= q>(r')
f{z)
zu
(2)
und finden so folgende Integraldarstellung:
Somit bleibt uns noch übrig, das Integral
setzen.
(3)
weiter
umzuformen.
Wir
konstruieren deshalb
um
mit einem sehr großen Radius
positiven Zahlen
R
den üi^sprang
als
Mittelpunkt
einen Kreis, der die Achse der
im Punkte A, den Radius
aber,
der durch den
:
266
Dritter Teil.
Punkt
an, daß
B
im Punkte
hindurchüfeht,
-
Theorie der Fakultätenreihen.
Nehmen wir
schneidet.
ferner
Punktion (p{e~"") im Innern oder auf der Begrenzung
die
OAB
des Kreissektors
keine singulare Stelle hat, so
nach dem
ist
Cauchy:
Satze von
=
(p{e-'"')e-''''du
(4)
0.
AOB
Setzt
man
daher:
a =^ Q
•
d'"',
so ergibt sich aus (4) die weitere Identität:
R
man
nachdem
a
Ol
dem
in
längs
AB
zu
erstreckenden
Kreisbogen-
integrale:
eingeführt hat.
ist,
Da nun
daß die reelle Komponente dieser komplexen
leuchtet ein,
so
offenbar:
Zahl positiv und sehr groß sein muß,
angenommen
Betreffs
möglich
sei,
falls
nur
—
«,
<C
ßJ
< + 17
wird.
der Punktion
(p(t)
setzen wir
nunmehr voraus, daß
es
eine solche reelle Zahl X zu bestimmen, daß:
lim|^•>(;0!={^
^^
(6)
^it)>o
\t\=0
ist,
je
nachdem Ü?(a7)^A angenommen
setzungen kann
man
wird.
Unter diesen Voraus-
offenbar im ganzen Integrationsintervalle:
Hand
setzen; somit verschwindet das Integral rechter
R
man
über jede Grenze hinauswächst, wenn
9ft(a)>0,
(7)
voraussetzt.
Es
ergeben
sich
in (5), sobald
gleichzeitig:
^{x-aX)>0
also
aus
(3)
und
(5)
Integraldarstellungen
1
(8)
ß(~)
=
a
fcp{t")r-^dt
00
---
a
j f\az)e-'^dz.
die
beiden
Multiplikation des Argumentes in
Kapit«! XIX.
muß man
Natürlich
daß die beiden Integrale
Überlegungen
bleiben,
wo
(2) einen
daß
Sinn haben: die gewöhnlichen
Formeln
die
richtig
überall
(8)
vorkommenden Ausdrücke
darin
die
ursprünglich über a und x so verfügen,
in
dann,
zeigen
267
§ 105.
Si.{x).
analytische
Funk-
tionen darstellen.
Unter den Voraussetzungen
lungen, die Funktion
^(— )
(6)
und
ist
(7)
demnach
es
ge-
auf die für eine Entwicklung in eine
mit dem Argumente x noticendige Integralform zu
bringen; hieraus folgt aber noch gar nicht, daß eine solche Entwicklung wirklich auch möglich ist. Wie Avir nun zu zeigen haben,
Fakultätenreihe
ist
dies
im aUgemeinen nicht der
Fall.
Durchführung eines
§ 105.
Spezialfalles.
Nach den vorhergehenden allgemeinen Erörterungen wollen wir
nunmehr den spezielleren Fall untersuchen, in welchem die Funktion
tfif)
entweder
eine
ganze
Funktion
transzendente
oder doch
nur die einzige endliche singulare Stelle
xmd zwar
so,
friedigt
in
f
t
=
bedeutet
besitzt,
daß im letzten Falle die Bedingung § 103, (6) be-
ist.
eine in
Ist (f{t)
t
ganze transzendente Funktion, so
muß man
offenbar in § 104, (2):
^(f)>^
(1)
annehmen;
die
Formeln § 103,
(8
i
bleiben dann richtig, falls überdies:
9?(a)>0
(2)
vorausgesetzt wird.
In diesem Falle hat
nun
Funktion
die
(p{t") in
/
=
eine sin-
gulare Stelle: aus der Identität:
X>^g,(^')
=
a^«-i.^(i)(^«)
kann nun unmittelbar gefolgert werden, daß
befriedigt wird, falls
man noch ax
Faüs
in
9i(^j")
>
die
Bedingung § 103,
9?(^— c) voraussetzt.
eine
in
f
ganze
transzendente
eine Falultätenreihe nacJi
ax
9?(c)>0,
(3)
icird.
Funltion
entivickelt
sidier Tconvergiert, icenn gleichzeitig:
angenommen
(6)
Substituiert
statt Xj so ergibt sich der folgende Satz:
(p(t)
Jcann il{x)
man
<R(aj--fa)>0
bedeutet,
icerden,
die
:
268
Dritter Teil.
Als Beispiele kann
Theorie der Fakultätenreihen.
man
die beiden
Funktionen P(x) und '^(x)
wählen.
Im
zweiten Falle,
wo
=
f
eine singulare Stelle
von
(p(t)
ist,
daß die Bedingung § 103, (6) befriedigt wird, hat offenbar
die Funktion q^if^) füt 9R(c;)
in t =auch eine singulare Stelle
doch
so,
>
muß man
derselben Natur; nur
man wieder ax
Setzt
/l9i(a) statt X selbst einführen.
so erhält
statt x,
man
folgenden anderen
Satz:
Wenn
von
so
(p(t)
läßt
t
ist,
sich
=
die
und zwar
daß
wenn
so,
sie
gleichzeitig
3R(a^)>A3ft(a)
3fi(ß:)>0,
(4)
angenommen
ivird.
Als Beispiel nehmen wir
s
unsere allgemeine Methode
s
Was
Stelle
der Bedingung § 106, (3) genügt,
in eine FaJmltätenrcihc nach ax cniwiclceln, die
Sl(^x)
sicher lionvergiert,
im Endlichen gelegene singulare
einsige
9^(0
= t*
Daraus
folgt:
=ü
liefert
dann
die allgemeinere
Formel:
=
die Koeffizienten
der neuen Fakultätenreihen betrifft, die
kommt es darauf an, die nach
nommenen höheren Ableitungen von (pit") zu berechnen. Für
wir hier untersucht haben, so
Ableitungen besitzen wir zwar aligemeingültige Formeln^),
indessen sehr kompliziert.
Wir bemerken
sie
t
ge-
diese
sind
daher, daß unsere Unter-
suchungen in § 110 für diese Koeffizienten weit einfachere Ausdrücke liefern.
§ 106.
Wir
welchem
als
^
=
wollen
die
Der allgemeine
Tall.
nunmehr den allgemeinen Fall untersuchen, in
(p{t) im Endlichen andere singulare Stellen
Zu diesem Zwecke setzen wir:
Funktion
besitzt.
1
a
(1)
1)
=
Qe''\
z
= rej",
Schlömilch, Kompendium, Bd.
II,
z" == (?c'%
p. 9; 1879.
Multiplikation des Argumentes in fi(x).
Kapitel XIX.
< f < 2-T
wo sowohl
< r < 2n:
als
269
§ 106.
vorauszusetzen
ist;
dann
ist
offenbar:
plogr-i-ir __ ß{Ji6ga-{-iT){oeoatü-\-ioaiata)^
/'0\
Weiter
dem Radius
wir mit
beschreiben
punkte (0,0) bzw. (1,0) zwei Kreise
Funktion
werden kann, so darf die Funktion
Innern des Kreises
Q
besitzen,
Mittel-
die
wenn nun
die
keine singulare SteUe im
g>{2'')
es
d. h.
muß
tur jede
singulare
Bedingung:
SteUe s dieser Funktion die
6^2 cos T
(3)
befi-iedigt sein;
logr
•
daraus folgt wegen (2):
CO» Ol
+ +
(p
2j3;r) sin tu
^2cos
^
e
(4)
wo
vmi
1
C\-^
wirklich in eine Fakultätenreihe nach x entwickelt
(—)
-^
und
Cq
+ '^"^^"';-^^^'"-^"^"
f"
)^
eine willkürliche positive Zahl bedeutet.
|)
Es
nun a
sei
schieden
ist:
von NuU verganze Zahl p so zu
eine komplexe Zahl, so daß sin
alsdann
es
ist
möglich, über die
Hand
verfügen, daß der Ausdruck linker
co
in (4y beliebig klein wird,
während der Ausdruck rechter Hand größer als 1 ist, so daß die
Bedingung (4) nicht erfüllt ist. Damit haben wir den Satz bewiesen:
Falls
so
kann
die Konstante
Wir
ibmer
außer
(p(t)
=
a
jedenfalls
im Endlichen
singulare Stellen
nur
reelle
>
besitzt,
Werte annehmen.
demnach in (4) sin ca = 0, d. h. gj
angenommen werden muß: somit
setzen
9l(a)
t
= 2q7C,
ergibt
weil ja
sich die
einfachere Bedingung:
1
r
(5)
^2cos|^ ^^/
j,
der also für jeden anderen singulären Punkt von
genügt werden
Wenn
außer
t
=
muß
die
Daraus
absoluten
nidit
fließt
q)(t)
außer
=
t
der Satz:
Beträge der singulären
Stellen
von
(p(t)
sämÜidi größer als 1 sind, darf a nur rationale
Werte annelimen.
Ist
Hand
nämlich r
in (5)
<1
und a
stets kleiner als
irrational,
1,
kann, daß der Ausdruck rechter
aber unmöglich.
so bleibt die Größe linker
während man über
Hand giößer
als
1
/>
so verfügen
wird; dies
ist
270
Dritter Teil.
§ 107.
Theorie der Fakultätenreihen.
Über die rationalen Werte des Multiplikators.
Wir
darf,
betrachten jetzt den Fall, in welchem a nur
und wollen den interessanten Satz beweisen:
Darf a nur rational sein, so lann sein Zähler nur
rational sein
die
Werte
1,
2 oder 3 annehmen.
Nimmt man
diesem Falle von dem Winkel rechter
in
in § 106, (5) die eventuellen Multipla
reduzierte
Winkel
Ist
nämlich:
wo
y
deutet,
nicht zwischen den
ein irreduzibler
und
setzt
Bruch
von
Grenzen
Hand
weg, so darf der so
27C
—
| und
^-
-f
liegen.
während q eine ganze Zahl
ist,
be-
man:
a
a
'
'
so folgt daraus:
hp
(2)
wo
und
r
s
—
as
= — r,
ganze Zahlen bedeuten.
Die Diophantische Gleichung (2) gestattet immer, welchen ganzen
Wert man auch r zuerteilen mag, ganze Lösungen in p und s, weil
a und
Es
Zahl
m
prim
h zueinander
sei
demnach
ö^
sind.
^ 4,
dann
ist es
möglich, eine positive ganze
so zu bestimmen, daß:
—
lö)
7t
>V >—
wird; weiter behaupte ich, daß es außerdem möglich
ist,
eine ganze
Zahl r so zu bestimmen, daß gleichzeitig:
,,s^
^
'
wird; die
mit
2rjt
a
a
^
Ungleichungen
{m
-x
-\-
3'
'im
l)n
it
«;>
a
sind nämlich richtig, falls
(4)
nur r so
bestimmt wird, daß:
3m +
(5)
ist,
und
die
<*
> ß*' >
'^^^^
neuen Ungleichungen (5)
—a+
sind,
3
wie
man
leicht einsieht,
^4
immer möglich.
Nachdem r aus (5) bestimmt worden, kann p aus
werden, und der Winkel:
für a
,
V
—
genügt den beiden Ungleichungen
—
a
'im
(4).
(2) gefunden
Multiplikation des Argumentes in Slix).
Kapitel XEX.
Setzt
man
in ähnlicher
—
endlich in (1)
<
-t
r'
<—y
Weise verfahren, und damit
Anwendungen auf
§ 108.
Aus der
voraus, so kann
271
man
unser Satz bewiesen.
ß(x).
schöne Anwendung
Die Funktion ßfx) gestattet eine
gehenden Sätze.
ist
§ 108.
der vorher-
Integraldefinition:
1
ß{^)=J(^,dz, '^{x)>0
(1)
folgt unmittelbar, daß cp{z) in z
=—
eine singulare SteUe hat, so
\
Werte annehmen
darf.
daß der Multiplikator u nur rationale
Dem Satze des § 107 zufolge betrachten wir daher die beiden
= 2,
verschiedenen Fälle a
1)
ß
=
2;
man
a
= 3.
findet hier mittels § 104, (8):
1
(2)
^(f)
Da nun
für die hier
= 2/j^.rf^,
9?(:r)>0.
vorkommende Funktion:
bekanntlich:
(-
1)-9(")(1)
= -^^
so ergibt sich aus
(2),
^
ä
2
ist,
sm
wenn man
zuerst
2x
statt
x
einfuhrt,
die Fakultätenreihenentwicklung:
sin
ß{x)
(3)
=^
4
2a;(2a:
+
i)
.
.
.
(2x
+
die in der ganzen ar-Ebene außer in den Polen
2)
(4)
a = 3:
eine einfache
Rechnung
anwendbar
ist.
ergibt hier mittels § 104, (8):
ß{f)-ßi^)-f^^i-i'-'dt, m{x)>0.
Daraus erhält
Entwicklung:
man durch
ein ähnliches Verfahren
wie vorher die
:
272
Dritter Teil.
Theorie der Fakultätenreihen.
s
^W-/»(3^) + 2-2 3.(a.
(5)
die für
9f?(a;)
Setzt
nur
>
man
bedingt
sm
!
7C
;
6
+
.).:. (3.
+ ^'
konvergiert.
-
in (5)
dem
in
statt x, so konvergiert die Fakultätenreihe
< 9fi(^) <
Parallelstreifen
dung der allgemeinen Formel §
100, (10)
Eine Anwen-
1.
ergibt"
folgende
andere
Entwicklung:
<i
(ß)
,S
(t-)
-
,3
«
die
==co
4 .2-
(.) =^
=
S\
(^+
•
Sin^
+
.)(.
TT
.)..°(.
+7 +
i)
3!« >
.
0,
nur unbedingt konvergieren kann
Kapitel XX.
Methoden von
§ 109.
Erste Methode von Stirling.
Stirling^)
hat
eine
Methode
Stirling.
Asymptotische Reihe für
angegeben,
durch
Sl{x).
welche
die
Fakultätenreihe
formell in eine
wickelt
Reihe von
werden
negativen ganzen Potenzen von x ent-
Um
die Anwendbarkeit dieser formalen
Methode von Stirling zu untersuchen, gehen wir von der elemen-
kann.
taren Identität:
(2)
^
^
—^ = AX _
x-\-y
y
z.
x^
y
^ {-iy-\f~'
^^^
sV'
^
I
'
,
,
I
x^
x^
'
'
(-i)V
1
X"
^+2/
aus; die bekannte Dekompositionsforinel:
^
^
x{x-\-l) ...(rc -f
ergibt
dann wegen
(2),
Methodus
^^ ^~ ^y
wenn man
^
1)
r)
= 0,
in dieser
[sj
London
^+1^
Formel der Reihe nach.
1,2,3,..-, r
difterentialis, p. 13;
'
1730.
=
Methoden von
Kapitel XX.
und dann
setzt
die so
273
§ 109.
Stirling.
erhaltenen Ausdrücke in (3)
einföhrt, die
weitere Identität:
_ '^ y— l)*£*+i
1
...
(4)
+ l)---(x+.r) ~2j
a;(a:
wo
Koeffizienten
die
®;_!_i
die
+*+^
a;'-
j
s
/
^ ^«.rW»
I
eingefOlirten
§ 26, (10), (11)
in
Stirlingschen Zahlen zweiter Art bedeuten, während der Kürze halber:
^..
(5)
worden
gesetzt
Setzt
'
^^ + ^^'^ +
s>
+ -ß-W'
offenbar:
C^) ^n(^)
= x(x-\-l)--- {X + «)
man demnach
transformiei-t
rechter
Hand
{
^« + 1
"^^ (i-|_„-|_i)...(a;-f-n4-«^l))5
mittels
(4;i
jedes
Glied
Summe
der
in (6), so ergibt sich folgende Formel:
Slix)J^^-^R^{x),
(8)
wo
*
aber in (1):
ß(x)
ist
'2<- 'y-Q ^¥^s
=
ist.
man nun
(6)
SO
^
w
der Kürze halber:
*=r^-2
(Q\
\
während man für das Restglied folgenden Ausdruck:
gesetzt
worden
(10)
i?.(a:)=^„(a;)
ist,
+ J,-^„,,(a:)+A,.^.,2(^):+".-+^«-^,»-i(^)
findet.
Wenn
mm
in (8)
BJx)
der Grenze Null zustrebt,
über jede Grenze hinauswachsen läßt, so gelangt
mau
falls
zu
man
n
der von
Stirlincr angegebenen Reihe:
•aW-S^'
(11)
die somit für jeden
Wert von
obengenannte Eigenschaft
Nielsen,
Xlieorie der
./:
anwendbar
ist,
für den B^(x) die
besitzt.
Gammafunktion.
18
r
074
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Wenn
Hand
aber die Reihe rechter
Wert von x
hat
divergiert, so
in (11) für jeden endlichen
dennoch eine andere interessante
sie
Eigenschaft.
Bedeutet n eine bestimmte endliche positive ganze Zahl, so
es
wegen
(5) möglich, eine so
daß für \x\-^
P
positive Zahl
große
ist
anzugeben,
q:
l^^-A,r(^)l<^, r=2,3,4,...,n
(12)
wo
wird,
£
eine vorgegebene positive
Größe von beliebiger Kleinheit
bedeutet.
Was
das
Restglied
eingeklammerte
Summe
JB^{cc)
rechter
so
betrifft,
Hand
konvergiert offenbar die
in (7) für jeden
Wert von
x,
im Konvergenzbereiche der Fakultätenreihe il(x) gelegen ist,
außer für die negativen ganzen Werte, die kleiner als — n sind.
Mit dieser Einschränkung über die Lage des sehr entfernten
Punktes x ist es demnach möglich, die vorher genannte Zahl q so
der
zu bestimmen, daß zugleich:
k"-J5«(^)|<,-^
(13)
wird; daher wird unter diesen Voraussetzungen wegen (10)
.B„{x)\<e;
\x
(14)
also ist nach der Definition
von Poincare^):
£i(,x)~2^~^-,
(15)
,s
wo
Zeichen -^ eine
das
=
l
asymptotische
Gleichheit
bedeutet.
Wir
haben damit folgenden Satz bewiesen:
Falls die Stirlingsche Transformation der Fahdtätenreike Sl(x)
auf
eine divergente Reihe führte liefert sie die asymptotische Reihe (15),
die in
jedem sehr entfernten Punkte des Konvergenzbereiches von Sl(x)
mit Ausnahme der Achse der negativen
Wir
reellen
Zahlen anwendbar
ist.
wollen die Tragweite dieses Satzes noch im einzelnen unter-
suchen und setzen zu diesem Zwecke:
X
Es sind dann folgende
1) Sl{x)
ist
e'^.
drei Fälle möglich:
in der ganzen iC-Ebene konvergent-,
asymptotische Reihe (15),
1)
= \x\
Acta Mathematica Bd.
falls
8, p.
— <ö<
tt
297; 1886.
-|-
dann
gilt die
^ angenommen wird
Kapitel XX.
2)
Methoden von
Der Konvergenzbereich
imaginären Zahlen; dann
Stirling.
von ^l{x)
muß man
enthält
—^^^^
3) Sl{x) ist für 'di(x)=0 divergent; es
275
§ 109.
die
Achse der
Y ^^i'i^^i™^^muß dann — y < ^ < + y
"t"
sein.
Wir kehren nun
(16)
Sl{x)
zu den IntegraldarsteUungen § 96, (1), (6):
=
I
(p{t)t'-'dt
= 1 f(2)e-"'dz
zurück, in denen:
(17)
(-
l)-9>(-)(l)
= Ä^^,
und:
werden möge: aus dieser Definition von f(2) geht deutlich
analytisch
hervor, daß diese Funktion im Bereiche der Stelle z =
Eine Yerbindung der Formeln (9) und § 27, (3), (4) liefert
ist.
gesetzt
dann unmittelbar die Entwicklung:
(18)
^
276
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Die asymptotische Reihe (15) darf
und
differentiiert
m
werden, ohne ihre asymptotische Eigenschaft
verlieren;
integriert
beiden
die
so erhaltenen asymptotischen Reihen:
(22)
ß<.,(^)^^2'^i.
Jsi(x)dx -%,logx-\-Kr^
(23)
sind amvendhar, wenn dies mit (15)
-^
der Fall
selbst
ist,
obgleich die
für die beiden FunMionen (22), (23) erhaltenen Faladtätenreihen im
allgemeinen nicht denselben Konvergenzbereich wie Sl{x) selbst habeji.
Zweite Methode von
§ 110.
Umgekehrt hat Stirling^) auch
man
der
die
eine
Stirling.
Methode angegeben, mittels
Reihe der negativen ganzen Potenzen:
91
Sf
^il
| + ^l+^s+---
ß(^)=
(1)
Um
formell in eine Fakultätenreihe verwandeln kann.
barkeit dieser formcäen Methode zu
Stirlingschen Formel § 30,
\^y
= —
(2)
s
aus,
n
die
Anwend-
gehen wir von der
beurteilen,
(4) oder § 96, (13):
^L^
9i(a,)>0
1
nach welcher die
einzelnen
Reihe
der
Glieder
werden
Fakultätenreihe entwickelt
Wir
können.
(1)
in
eine
erhalten
so
rein
formell folgende Entwicklung:
(^\
si(r~\
^^y.^)
V-^;
Es
sei
- ^^
X
4-
^
^V <^"^-ti_+j^+
+
-
'
^(a; _p- X){x
•
+:?/:"'%
•
-J
2)
•
•
(ic
+
s)
nun:
/•(.)=2%'-^
(4)
und:
(5)
9)(1
-t)
= X4^{G^%^^ +
s
dann ergibt
sich
=
Methodus
•
•
•
+
l
wegen §
27, (3), (4) die Identität:
qD(e-0=/'(4
1)
675t,+
differentialis, p.
9^(0
=A- log 0-
11—12; London
1730.
Cl-^%^y;
XX.
Kapitel
Damit haben wir wegen
Es
Methoden von
(3)
den Satz bewiesen:
von einer Ftinltion fl(x) bekannt, daß
sei
277
§ 110.
Stirling.
tätenreihe entwickelt werden kann;
man
stellt
sie in eine FaJiul-
diese
Funktion durch
die Beihe (1) dar, die entweder konvergent oder asymptotisch ist, so
ergibt die formale Methode von Stirling immer die Fakultätenreihe für
(1) konvergiert oder divergiert.
Sl{x), gleichviel ob
Wenn
die Reihe (1) für
|a;|
>p
ohne Mühe
konvergiert, so läßt sich, wie
in aller Strenge beweisen, daß
Jensen^) gezeigt hat,
die Methode von Stirling eine Fakultätenreihe
für 'Si{x)
>Q
sicher
die
liefert,
konvergiert.
Methode ist unmöglich als independente Methode,
Konvergenz der Reihe (1) eine für die Fakultätenreihe ganz fremde Bedingung, und zweitens liefert diese Methode
kein Mittel zur Bestimmung des wirklichen Konvergenzbereiches der
Allein
diese
denn erstens
die
ist
so erhaltenen Fakultätenreihe.
Andrerseits kann
diese
Stirling sehe Methode
zweite
male Methode sehr vorteilhaft sein,
wenn man
als for-
die Existenz
zuerst
der Fakultätenreihe nachgewiesen und ihren Konvergenzbereich be-
stimmt
hat.
Wir erwähnen
einige Beispiele dieser formalen
Anwendung
der
obengenannten Methode:
1)
Aus § 109,
man vermöge
findet
(22), (23)
(3)
die
Ent-
wicklungen:
(b)
Sl^\x)
= -^
x{x
Ii log.r
-Jfl(x)dx
+ l){x + -l)-..{x^s)
-f
Ä^
= ^5
'
-f
_c»-?^
+ + (7/-^ + --- + C/
a)
y
+ ^^
;
1
'
^*
S
'
'
"•
*3
2
xix-\-l){x-{-2)--.{x-\-s)
»=i
die ja formell nicht komplizierter sind als die Reihe (3) selbst.
2) Dividiert
wendung von
man
(3),
die
Formel
(1)
durch x, so ergibt eine An-
nachdem man wieder mit x
multipliziert hat,
folgende Entwicklung:
or \ Js5
ii{.^)-^
,«>.
[P)
4
=1
(^_f_l)(;,
die auch formell (3) ganz ähnlich
1)
Nyt
+
+ c/-^a,
+ 2)-..(a: +
a"a,H- c}fL-i
•
•
•
s)
ist.
Tidsskritt for Mathematik, Bd. 2 B, p. 70 «F.; 1891.
—
278
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
3)
Aus
man:
(1) findet
Sl{x)
(9)
= ^^^ +
^1^^
^4 +
+
.
.
..
Deranacli ergibt unsere Methode folgende Fakultätenreihe:
^
V
=
ß (x) = ^^
ax + y^i
rio^
^
^
'
s
<
^"^^+"^'"^'
+
<^'^ ^^ ' H
+
(xx{ctx-{- l){ax -\-2)
{ccx
letzte Beispiel zeigt die
als
'
l
die (3) formell ebenfalls ganz ähnlich
Das
Methode
g/~'^8<^'
-\- s)
ist.
Unzulänglichkeit der Stirlingschen
independenter Methode
am
deutlichsten;
denn die
for-
male Anwendung dieser Methode ergibt für jeden endlichen, von
Wert von a
Reihe (10), obgleich wir wissen,
daß eine solche Reihe nur ausnahmsweise existiert.
verschiedenen
§ 111.
stets die
Asymptotisclie Entwicklung für Sl(x-\-y).
Wir kehren nun
zur Integraldarstellung einer Fakultätenreihe:
(X
Sl{x)=j
(1)
zurück.
f{z)e-'''dz
Aus den beiden Entwicklungen:
»=o
folgt
ohne weiteres folgende andere:
e-y'.f{z)^^
(2)
4=0
in welcher der
Kürze halber:
s
=
•«
5i„^,(i/)=2(-i)'(-).3t„_,^,.r
(3)
i
worden ist.
Da nun wegen
=
gesetzt
(1):
CO
'dz
ist,
(4)
so ergibt die erste Stirlingsche
Methode
il(x+y)~^^,
die Potenzreihe:
falls sie
Methoden von
XX.
Kapitel
Stirling.
d. h. falls
wirklich konvergiert,
279
§ 111.
il{x) selbst in eine solche
Reihe entwickelt werden kann.
Wenn
dies nicht der Fall
ist,
gehen wir von der elementaren
Identität:
'y Vi)V
1
,
(
-i)"y"'
aus und erhalten so nach r-maliger Differentiation nach y:
Daraus gewinnt man ohne Mühe folgende andere Identität:
wo
der Kürze halber:
n.i.,y)
(6)
= ^ :2=^^^
^i-'
i=l
fe)
worden ist.
Wenn nun \y\ als endlich vorausgesetzt wird, so erhält man
aus (5) und § 109, (15) vermöge (6) den Satz:
Es sei \y\ eine endliche Größe; dann gut die asymptotische
gesetzt
Entwicklung:
wenn nur
der sehr entfernte
ß
Fakultätenreihe
Eine
gelegen
Anwendung
Punkt (x
-\-
y) im Konvergenzbereiche der
ist.
der Formel § 110, (3)
liefert
dann ohne
weiteres die Fakultätenreihenentwicklung:
(S) SI{X
-\-
y}=
-^ + ^
a:(x+l)(x
+ 2)-.-(x +
s)
»=i
Wir bemerken noch, daß
dienen kami,
den Bereich,
der eben be\viesene Satz häufig dazu
welchem die für ß(j) erhaltene
in
asymptotische Reihe § 109, (15) giltig bleibt, zu erweitern.
Wir gehen nämlich von der Differenzengleichung:
(9)
2*
""'
-^^^
+ " -s)-9(.^)
280
Dritter Teil.
wo
aus,
die
Theorie der Fakultätenreihen.
Koeffizienten a^ sämtlich konstant sind^ die gegebene
Funktion y{x) aber in die asymptotische Reihe:
?w~2'.^'
(10)
s
=
l
entwickelt werden kann,
und so daß (10) für jeden sehr entfernten
Punkt der j;-Ebene anwendbar ist.
Setzen wir nun voraus, daß die für -^{x) erhaltene Fakultätenreihe für
'^{x)^
A
a(x
(11)
konvergiert, so lassen sich die Funktionen:
+
1),
Sl{x
+
2),
•
+
fl{x
•,
•
n)
sämtlich in asymptotische Reihen entwickeln, die für:
^=
Fl e'^
- ~-<ö<-f
2
giltig bleiben.
Es
sei
nun wie gewöhnlich:
ß«-5"5
(12)
,S'
die aus (7) für y
=
=
1
erhaltene asymptotische Reihe; dann
und (10) für jedes ganze, nicht negative
(9)
ist
wegen
r:
SI^=i-(/3,.-2^«,.S(,(n-s)).
(13)
Denken wir uns nun
9^(a;)
>
vi
—
1,
sind die Funktionen
so
(11) sämtlieh nach (7) zu entwickeln, und die Identität (13) zeigt,
daß (12) auch noch in diesem Falle richtig
dann weiter für '^(x)'^
A—
2 der Fall sein
muß
Dasselbe
bleibt.
;
somit ergibt die voll-
ständige Induktion den Satz:
Ist die Fakultätenreihe
^{x) Lösung der Diffcrenzengleichung
immer für
(9),
so hleiht die asymptotische Reihe (12)
x^\x\e'\
richtig,
9ft
oder
(^) <
§ 112.
die
richtig,
Gleichheit
wenn nur dann
Entwioklungen für
Wir haben
in
asymptotische
-f <ö< + f
1
9^ (^)
Sl(ti
+
|
iv),
Größen endlich
bleibt,
so
reicht
die
-|-
Falls
für
ist.
bei reellen u
hier noch die Funktion Sl(ii
der u und v reelle Größen bedeuten.
auch
Ueiht
(12)
endlich
iv)
und
v.
zu untersuchen,
eine
Formel § 111,
dieser beiden
(7)
für
die
^
Kapitel
XX.
Methoden von
Stirling.
281
§ 112.
Fall einer
asymptotisclie Darstellung aus, es bedarf daher nur der
sehr
als
\v\
Untersuchung, in welchem sowohl >(
besonderen
groß
sind.
Zu diesem Zwecke
ziehen wir es vor, eine noch
-
allgemeinere
untersuchen,
Aufgabe zu lösen, indem wir die Funktion
komplexe Zahlen bein der x und y ganz willkürliche reelle oder
Wir haben daher jeden der drei folgenden Fälle für sich
deuten.
-Q(.r
iy)
zu untersuchen.
1)
ist; die
bleibt
ly:
endlich, so daß x die
Formel § 111,
(7) liefert
eigentliche Veränderliche
dann unmittelbar folgende asymp-
totische Entwicklung:
^i^-^iy)-y/4''
(1)
4=1
in ähnlicher Weise:
2) \x\ bleibt endlich: wir erhalten
*=» —
*5f
Kix)
ß(a;+*V)-^*—
(2)
.1=1
Die beiden asymptotischen Entwicklungen (1) und (2) bleiben
-\- iy)
also sicher brauchbar, falls nur der sehr entfernte Punkt {x
liegt.
im Konvergenzbereiche der Fakultätenreihe fl(x)
hier:
3) y X bleibt endlich: wir setzen
:
X
(3)
=
>•
cos
qc,
j/
=
;•
y
sin<jp,
= x tgqp,
a;
+
»y
= re'*,
TT
wo
q)
eine
ausgeschlossen sind,
wegen
(3)
Größe bedeutet, für welche die Werte
endliche
wenn
und § 111,
^^
=
s
zu setzen.
Es
ist
^
dann
(12):
£l{x -f iy)
(4)
ganze Zahl bedeutet.
s eine
s
^,—
l
W^ir erhalten offenbar aus (4)
Entwicklungen, wenn wir
./•
oder
//
statt
wegen
/•
(3)
zwei ähnliche
einführen.
Entwicklung von il(x -f- iy) in Fakultät eureihen betriflPt,
so liefert die Formel (1) vermöge § 111, (8), wenn dort iy statt y
eingeführt wird, sicher eine solche Entwicklung,, während dies für
jedenfalls nur
(2) oder ('4), wie wir in Kapitel XIX gezeigt haben,
Was
die
dann möglich ist, wenn die zu «(.t) gehörige Funktion (fit) entweder in t eine ganze Transzendente ist oder keine andere endliche
sinonüäre Stelle als
t
=
besitzt.
Dritter Teil.
282
Wir
Theorie der Fakultätenreihen.
betrachten zuerst den Fall, in welchem
traaszendente Funktion
q:(f) eine ganze
Die Methode des § 104 ergibt, daß:
ist.
1
a,
(5)
Sl(x
+ ^» =
-~
•
/
f^^) e'^^-e-^ydt
= y-
/
(p{t-')t-='^ -tv-^
dt
^0
sein
muß,
falls
91 (a;
Formel
Die
+
(2)
iy)
>
angenommen
wird.
demnach unmittelbar wegen § 111,
gibt
(8)
Entwicklung:
die gesuchte
(6)
"^^
2/(2/+l)("y
.«=1
die für 9i(^/)
>
+ 2)---(2/ +
konvergiert.
In ähnlicher Weise findet
man
die zu (5) analoge Darstellung:
1
(X
(7)
Sl{x^iy)=e-f'-j {ze-'^')e"^dz^e-f' j
(p{t'~'^)t'-'^dt,
•
in der
man
also:
^(x
9l(e-9'0>O,
annehmen muß.
Somit
^"^
die für 9l(r)
+ iy)>0
wegen § 111,
liefert (4)
'
Si{x-\-ty)=
(8)
'
s)
-\-
'^^^-"f"-C^^, + i + e-^'-'^'f"-C}%-\
Zj
>
r(r
die erhaltenen
+e-'^''-C/-i9l,
+ l)(r+2)...(r +
'
s)
konvergiert.
Der andere mögliche FaU, daß ^(^) nur
singulare Stelle
Entwicklung:
(8) die
^
=
Formeln werden formdl mit
Kapitel
Anwendungen auf
§ 113.
die
einzige
endliche
Weise behandeln;
und (8) identisch.
besitzt, läßt sich in ähnlicher
(6)
XXL
die
(xammafunktion.
Reihe von Schlömilch für
Qa{oc).
Offenbar läßt die allgemeine Theorie der Fakultätenreihen, die
wir in den vorhergehenden Kapiteln entwickelt haben, namentlich
mittels
der
Integraldarstellungen
wendungen auf
des
Kapitel
die Theorie der Gammafunktion
XIII,
zu.
mehrere An-
Anwendungen auf
Kapitel XXI.
Ehe wir
die
Gammafunktion.
283
§ 113.
indessen jenen Funktionentvpus von diesem Gesichts-
punkte aus untersuchen, wollen wir zuerst mit Schlömilch^) das
bestimmte Integral:
=
s{v,x)^r--^
^' ^ J {i + ty Jf—^^^^,
ii-iogzY'
(1)^
^
Es
betrachten.
ist hier:
zu setzen, und diese Funktion
während
analytisch,
man
ist
im Innern des Kreises
1
— z\= 1
auf der Peripherie dieses Kreises nur die
sie
einzige singulare Stelle z
Da
^:r(x)>o
=
1
hat.
die entsprechende kritische Zahl
gleich Xull
/.
ist,
so findet
für *S(i'.x) eine Fakultätenreihenentwicklung von folgender
Form:
S('',-)-2i(^-Ä+V)'
(2)
die für 9l(ir)
>
konvergiert,
AW =
(
und
in der
wegen § 110,
(3):
1,
(3)
*=0
zn setzen
ist.
Schlömilch
Mit
transformieren
durch
wir das Integral (1)
die Substitution:
X
und erhalten nach
einer einfachen
S(v,x)
(4)
Rechnung:
= x*-'e''-
f'-^
du.
X
Wir heben
hervor.
Es
ist
v
=—
einer
ein-
1,
dann nämlich erstens:
li
e"-'
den Integrallogarithmus
bedeutet,
und nach
fachen Transformation zweitens:
.
=
S{l,x)= -e'.üe-',
(5)
wo
besonders die beiden speziellen Fälle v
__
1) Zeitschrift
»^
für Math,
VT
und Physik, Bd.
4, p.
396
:
1859.
284
d.
Theorie der Fakaltätenreihen.
Dritter Teil.
unsere Funktion
h.
mit der Transzendenten von
fällt
Krampf)
zusammen.
Es
Schlömildis,
das Verdienst
ist
berühmten
beiden
diese
Transzendenten zum ersten Male in Fakultätenreihen entwickelt zu
haben.
Schlömilch^) betrachtet ferner diejenigen Integrale, die aus
wenn man ±ix statt x einführt; diese Integrale,
(1) hervorgehen,
die
Schlömilch
beträchtliche
unmittelbar mittels
der
Schwierigkeiten bereiteten,
§ 105
in
können
entwickelten Methode behandelt
werden.
Eine weitere Anwendung der Formel (1) ergibt
sich,
wenn wir
das Integral (1) mit § 80, (3):
OD
e"-a'
Wir
vergleichen.
finden, daß:
—v)
S{v,x)=e^-x^~'-Q^{\
sein
muß; somit gewinnt man aus
für
(2)
folgende Ent-
Qa{x)
wicklung:
''•''-'•«.(-)
(7)
Diese
die
schwer
Darstellung der
einfacher als die von J. Tanuery*^),
indessen
Potenzreihe
mittels (7)
die
für
Funktion
zugänglichen
anscheinend nicht früher beobachtet worden
lungen,
s*w>o.
=lf„(„ + f7|+.)-
Qa{^)
ist
ist,
es
ist
in
Qa,{sc),
zwar
viel
mir nicht ge-
einfacher
Form
darzustellen.
Wir bemerken, daß
niclit in
Reihe
die
Entwicklung
mit den Entwicklungen
lichkeit
eine
wird
in
(7),
die ja
einige
Ähn-
Binomialkoeffizientenreihen hat,
solche Reihe transformiert werden kann; denn diese
mit
der
aus
(7)
mittels
§ 109, (15)
erhaltenen
asymptotischen Reihe in a identisch.
§ 114.
Die Reihen von Binet für
Wir kehren nunmehr
ii(x)
und
v{x).
zu den in § 70, (4) und (9) angegebenen
Integraldarstellungen von Binet:
1)
Analyse des refractions astronomiques
2)
Zeitschrift für Math,
und Physik, Bd.
3)
Comptes rendus, Bd.
94, p. 1701; 1882.
et terrestres,
4, p.
Straßburg 1799.
402; 1859.
.
Anwendungen auf
Kapitel XXI.
-W =/(^i -
;-
(^ - 4
-f
(1)
fi (a;)
(2)
=/
zurück, die ja sämtlicli für
Wenden
an,
wo
+
')
die Gammafunktion.
^-"<"
285
§ 114.
=/(r^, + 4) ''
y)'-^ f^« =J (4 - i^t - li)
9?(a-)
>
'
"''
*-isir
einen Sinn haben.
wir zuerst die Entwicklung:
B^, B^, B^,
Bernoullischen Zahlen bezeichnen, so
die
•
Formeln § 110, (1), (3) unmittelbar die gesuchten Fakiiltätenreihen.
Die Koeffizienten dieser Reihen, die somit die Bernoullischen und Stirlingscheu Zahlen enthalten, weichen formell
Ton denjenigen ab, die wir in §§ 33, 34 angegeben haben.
liefern die
Eine Identifizierung dieser Koeffizientenausdrücke ergibt eine
Reihe von Relationen zwischen den beiden obengenannten Zahlen-
Formeln
später von
klassen; die einfachste unter diesen
die
zuerst
worden
von Schlömilch^),
wohl
ist
die folgende,
Ra dicke*)
gefimden
ist:
<
_
i
»==0
man
übrigens meine erste Abhandlung über die Stir-
vergleiche
lingscheu Zahlen und Polvnome.^i
Auch
die
oben
angedeuteten
Koeffizienten
Fakultäten reihen sind noch ziemlich
mehr
zeigen, daß
mittels der
sich
diese
kompliziert:
Koeffizienten
in
der
Binetschen
wir wollen nun-
sehr einfacher Weise
Stirlingscheu Folvnome ausdrücken lassen.
setzen wir der Kürze halber:
Zu diesem Zwecke
9'8(0
^
1
1
(^)
+2
= -7r—Äw-f-(wi?
log
aog ty
t)
'
t
log
t
1)
Grunert Archiv, Bd.
2
Die Rekuraionsformeln für die Berechnung der Bernoullischen und
Eulerschen Zahlen,
3)
p. 15;
9, p.
334; 1848.
Halle 1880.
Annali di Matematica
(3)
Bd. 9; 1904,
'
286
Theorie der Fakultätenreihen,
Dritter Teil.
die allgemeine Potenzreihenentwicklung § 28,(14):
\t\<l
.1
ergibt
=
dann ohne weiteres:
*=0
«
(1
s
Da nun vermöge
2-^.+i(^—
sein
muß,
=
00
-0 ==^ (2^.-.i(s -
t/'^
+1^.(^-1))^'-
+ iCs)
der Ditferenzengleichuug für
l)-i/', + i(s)4-|-^X5-l)
in § 28, (10):
il^J^x)
= (s + |)-^X5-l)-(5+2)-^. + i(s)
Formel § 96,
so liefert die allgemeine
wegen
(2)
(1)
und
Entwicklungen:
(2) die folgenden
^(^x)—^
=
(7)
-
1)
=
x{x
l){x
-\-
2)
-\-
.
{X
'
-{- s)
s
4
>
die beide für 9t(ic)
(6)
haben
Stelle
^
in der
= 0;
die
+ 2)..-(x + s)'
(^4-l)(a;
=
konvergieren; denn die Funktionen (5) und
ganzen endlichen
entsprechende
#-
Ebene nur
kritische
die einzige singulare
Zahl
ist
offenbar
gleich
Null zu setzen.
Eine Anwendung der allgemeinen Stirlingschen Formel § 100,
(10) führt mittels der Identität § 28,(11):
(a;
+n + 2)
•
t„(x
+
M
+
1)
=1+^
"2' ^^(^ + ^)
=
Ä
Bin et:
zu den zwei weiteren Reihen von
^
S!
[-"ti
v(x)==^ (x
l){x
«
(10)
ebenfalls für
rp^is)
- + 2)rp, ,
(s
,
(.)]
,
=
«
die
.
=
9ft(a;)
>
s![l-(s
-i-
-\-
2)(x
+ l)V,(s)]
-\-
konvergieren.
3)
(x
-\-
s
-\-
1)'
Kapitel XXI.
Für
Anwendungen auf
Gammafunktion.
§ 114.
287
die in § 74, (20) eingeführte Funktion:
3
findet
die
man femer
aus
Formel § 102, (13)
=
und (10) yermöge
(8)
<P(x,
=
=^
die gleichfalls für 9? (x)
Stirling sehen
Entwicklungen:
die beiden
«
(12)
der
s!(l
— (s+2)-i/>.-f.i(s4-l))
^j;^rux-\^2)..-(x-\-s-\-l)'
>
konvergieren.
Betrachten wir endlich die Funktion § 74, (25):
80 fließen aus den vorhergehenden Entwicklungen die beiden anderen:
— —
+
x(x)-2'^
l)...(x +
+
»=0
'^"^
1)! (^,(s
(s
(13)
1)
tps+iis))
(x
*=X(a:)
(14)
(s
+
=2j
1)!
(27^2
~
"^^ ^*^
^^T^)(i--|-2)..-(x
*=0
die ebenfalls wieder für 9?
(a:-)
>
«)
~
t^.
+ i w)
+ s + i)
konvergieren.
Die in § 74 erwähnte Analogie zwischen den beiden Funktionen
^{x) und X(x) tritt durch die eben entwickelten Fakultätenreihen
deutlich
Für
wir werden indessen
zurückkommen.
hervor;
diese Analogie
eine letzte
Anwendung
in
§ 117
der Stirlingschen
noch einmal auf
Polynome wollen
wir noch das aus § 51, (2) hergeleitete Integral:
1
los{l
+ ^)-f'^-t'-^dt,
in Betracht ziehen.
3J(^)>0
Dieselbe Methode wie vorher liefert unmittelbar
die beiden Entwicklungen:
'
,
:
268
Theorie der Fakiütiltenreihen.
Dritter Teil.
+
log (l
(15)
i) =
-^
i
s
welche wiederum für
=
+ l)!i/..(s-l)
+ 1) (^ ^
.
.
.
,)
l
>
9^(a:;)
(s
^(^
konvergieren.
Andere Fakultätenreihen aus der Theorie von F^x).
§ 115.
Von den übrigen
unserer vorhergehenden Darstellung ein-
in
geführten Funktionen können noch mehrere in Fakultätenreihen entwickelt werden.
und
die
Für
die
Wir erwähnen
B.
z.
die
Funktion H(x) in § 74,
Funktionen ^,{x) und ^.(x) in §75, (9), (10); die Koeffizienten der so erhaltenen Reihen sind indessen nicht ganz einfach.
(17)
Funktion § 75,
und §
(6)
92, (13):
1
findet
man dagegen vermöge
der Methode
§ 96
des
die
einfache
Reihe
^(^)
(1)
die mit
^
= >Tx{x
Ausnahme
-{-
der Pole x
(X
1)
=
—
0,
+
— 2, —
-\- s)]
1,
(s
1)
2* +
.
^,
,
•
^
in der
ganzen
;r-Ebene konvergiert.
Binet^) gibt noch folgende einfache Reihe:
y^
r{x )
^
'
an,
1
T^/
\
4+T)j
die
I
für
'3i{x)
i_,
"'
^
>
-Sr7 (1
^
•
3
2
•
•
"
'-^
5
•
-«6
4
konvergiert.
•
(2g
•
•
—
1))^
-»^2s
Indessen
x{x
-\- 1)
ist
die
offenbar nur ein Spezialfall der in § 22, (10) mitgeteilten
{x
Formel
F(a,ß,r,l)-tW^l^-^~%
findet
man
-
«
-
/i)
>
in der Tat:
^,a;+l,
^
2
(4+4))
1)
SR(y
'
'
2
1),
^(^)>0.
^
Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 27, pp. 194
(2)
G au ß sehen.
Aus:
(3)
-\- s)
— 195;
18.39.
Anwendungen auf
Kapitel XXI.
man
Allgemeiner findet
B{x, y)
(4)
.
Gammafunktion.
die
mittels (3):
= ^^|f^-i^(y,
B{x, z)
Hand
die Funktion linker
reihe entwickeln, falls y
^,
+^+
2/
Schlömilch^j
3t(:r)>0:
^, 1),
in (4) läßt sich somit in eine Fakultäten-
-\-
z eine ganze, nicht negative Zahl
Zusammenhange darf wohl
In diesem
289
§ 115.
erwähnt
ist.
werden, daß
Funktion:
die
1
r{x)
e
4+1)
man
könnte also beinahe sagen,
Hand
linker
sind
die
Dasselbe
in
in
(2)
Koeffizienten
für eine
gilt
1/^
die
Quadratwurzel der Funktion
entwickelt
Fakultätenreihen
hat:
Entwicklungen äußerst
dieser
von
andere
Schlömilch-)
indessen
kompliziert.
formell für die
Fimktion:
(-f^y.i.r(.)
2
.
gegebene Entwicklung in eine Fakultätenreihe; dazu kommt noch,
daß es bisher nicht gelungen ist, die Existenz dieser Entwicklung
in aUer Strenge nachzuweisen.
Was
die Integraldarstellung der Fakultätenreihe (2) anlangt, so
Eulersche Integral § 53, [1) unter Anwendung der
Formeln des § 46 die noch allgemeinere Integralformel:
ergibt das erste
B(x,y)-B(x,z)^Jx{t)t'-'dt,
wo
der Kürze halber:
1
,(o=/^i^-(i-ir' du
worden
gesetzt
ist:
durch die Substitution:
H
man
gelangt
aber,
— =
t
(1
wenn man noch
— t)v
1 —
/
statt
f
einführt,
Formel:
1) Zeitschrift
2)
für
Ebenda Bd.
Nielsen, Theorie
Mathematik und Physik, Bd.
4, p.
25, p. 352; 1880.
432; 1859.
der Gammafanktion.
19
zu
der
:
290
Dritter Teil.
Theorie der Fakultätenreihen.
aus der wegen § 65, (4):
Somit ergibt sich schließlich die gesuchte Integraldarstellung:
folgt.
(5)
die
B{x, y)
B{x,
z)
einen Sinn hat,
genommen werden.
findet
man nämlich
= ^[|^^ J(l - ty-Hy^'-^F{y, z,y +
•
falls
gleichzeitig
Aus der
mittels
9f?(«/
+
ä;)
> 0,
Üt(a;)
z,
>
t)df,
an-
Identität:
der Formel § 79, (21) von Stiel tj es,
daß der Grenzwert:
<
endlich
lim (F(y,
= i-o
s,
y
+
+
^,
log
(1
-
t))
ist.
Aus (5) geht deutlich hervor, daß das Integral rechter Hand
dann und nur dann in eine Fakultätenreihe in x entwickelt werden
kann, wenn y -\- z eine positive ganze Zahl ist; dies stimmt mit
unserer früheren Bemerkunff sehr wohl überein.
Asymptotische Reihen für W{x)
§ 116.
—
W{x
+
«/)•
Als erstes Beispiel unserer allgemeinen Methode zur Herleitung
Reihen
asymptotischer
für
Fakultätenreihe
eine
wollen
wir
die
Funktion
»
1
^{x)
(1)
=/-^~y
dt
-f-^-^ dt,
m
(.r)
>
"'
in
T
-^1}
Betracht
T
-^2}
T
^37
ziehen.
.
.
.
Aus
der Definition
der Tangentenkoeffizienten
.
a=<xi
'
fließt
*
=
ohne weiteres folgende andere Entwicklung:
Anwendungen auf
Kap. XXI.
Gammafunktion.
die
291
§ 116.
aus ihr folgt wegen § 109, (15) unmittelbar die asymptotische Reihe:
n
muß
denn die R«ihe rechter Hand in (3)
für
=
n
co, wie aus
i^2j
erhellt, divergieren.
Da
die für ß(x) erhaltene Fakultätenreihe in der
ganzen r-Ebene
und den negativen ganzen Zahlen konvergiert, so ist die
asymptotische Reihe (3j demnach in jedem sehr entfernten Punkte
der a;-Ebene außer in der Achse der negativen reellen Zahlen anaußer in
wendbar.
Aus
man nun
(1) findet
ß{x
(4)
+
I)
weiter:
=/-^^_7
•
e-'^dt,
^(x)
> - |;
—y
konver-
'
diese
Funktion
ist
aber offenbar in eine für
^(x)^
gente Fakultätem-eihe entwickelbar.
Aus der
Definition der
Eul er sehen Zahlen
*^
E^, E^, E^,
.
.:
.
(—1)*^,
(5)
gewinnt
man
i-ug-'
folgende andere Entwicklung:
L
'^
_±
'2«):
Somit erhalten wir wegen § 109, (15)
\2)
'
'
^'
die asymptotische Reihe:
.»-1
3
die
überall
anwendbar
ist,
wo
dies
mit (3) der Fall
ist:
nämlich die Identität:
(7)
imd
(8)
.«(,+ l)
+
^(i._,)
= _iL_
die Differenzengleichung:
^(.+ |) + ^(,+
i)_-^.
19*
man
hat
292
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
Aus
(8) folgt
nach dem letzten Satze des § 111, daß die Reihe
ist, falls nur ^(x)\
(6) auch für ein negatives '^(x) anwendbar
endlich
aus (7) folgt weiter,
ist;
wenn n
eine willkürliche endliche
positive Zahl bedeutet, daß:
j
9{
(x
n
X
lim
= + 00
«)
cos TtX
I
sein
Damit
muß.
unsere Behauptung über die Reihe (6) voll-
ist
ständig bewiesen.
Wir wollen nunmehr
die Funktion:
ß(^-y)
(9)
= f-r^-T
Zu dem Ende gehen
Bernoullischen Zahlen I?^, B^, B^,
untersuchen.
«=
(10)
-^^r-s-
=1-
i
aus;
demnach
(11)
^-
wir
.
.
^(x-y)>0
'^^^i^
von
der
Definition
der
.:
(X
+^
s
•
-
=l
^-iyr^-
•
'"'
'
'
l< 2-
ist:
J^,-
-1+
-
+2 ^=^s
U\<2n.
t",
=l
Somit ergibt die allgemeine Formel § 111,
(3)
die
Aveitere
Ent-
wicklung:
S= 00
1
wo
die
Funktion
<rn(?/)
—
e
^-'
die
Polynome von Bernoulli bedeuten:
'(w
—
^Ay)-y + \,
(13)
2
Aus
(12)
wicklungen
folgen
1)!
^
(2s)!
nun ohne weiteres
die
*
(2w--2s)!
beiden anderen Ent-
:
>
= CO
T-2'''-('2-')-(20', Ul<^,
«=0
Anwendungen auf
Kap. XXI.
Gammafonktion.
die
§ 116.
293
ans denen sich durch Subtraktion:
'
ergibt.
i
=
Somit führt die allgemeine Formel § 111,(7) zu der asym-
ptotischen Entwicklung:
ß{x - y)
(15)
-.
x'
^2j
demnach anwendbar ist, falls x — y derselben Bedingung genügt
wie X in (3).
Wir wenden uns nunmehr zu der Funktion:
die
1
W{x) -
(16)
in der
Für
man
W(x - y)
gleichzeitig
diese Funktion
reihenentwicklung
(17)
OD
=f^^
9l?(a')
> 0,
f-'dt
^(x
voraussetzen muß.
haben wir schon in § 32, (7) die Fakultäten-
»
(16)
— y)^0
e-'-dt,
:
^(^)-y'(^)-27h=
M{x — y)^0
gefuaden, die für
=f{^
Ztt'tXt
konvergiert: somit ergibt sich wegen
und (12) folgende asymptotische Darstellung:
W(x)
(18)
-
W{x
- y) '^2j
die also vorläufig für 9U (a;
Aus § 5
W{x
(19)
findet
man
— y) >
^.
y
einen Sinn hat.
aber die Fundamentalgleichungen:
- W(x -y)-\- X X —1 y'
W{x) - W{x -y)- (m- X) - W{- x + y)}
^l)-W{x-y+
Da nun wegen
9..+i(0)
=
1
1
X
x-\-y
und
(12)
1)
1
W{x)
,
stsimt«
simtx
sinit{x
— y)
(10):
=0,
9',+i(-i/)=(-irv.+i(y)-^
sein
muß,
tische
so ist nach
derselben Methode wie vorher die asympto-
Reihe (18) anwendbar, wenn nur die beiden Zahlen x und
294
{x
Theorie der Fakultätenreihen,
Dritter Teil.
— y)
in
Zahlen gelegen
sind.
Da vermöge
sein
muß,
nach
y, die ja
von der Achse der negativen
großer Entfernung
sehr
(12):
—
folgt aus (18) durch (p
l)-malige Differentiation
nach dem Satze in § 111 erlaubt ist, folgende andere
so
asymptotische Reihe:
1)P +
(-
(20)
1
W^)(x
- y) -^
*
speziell für ^
=
(21)
(Endlich
+ «—
"
(P
l)!9',(2/)
=o
folgt aus ihr:
1)P-
'
W^-\x)
-^ Jg +
bemerken wir noch,
^-i)l'>-.(0)
uns
daß
Anwendung
eine
der
Stirlingschen Methode von (18) auf (17) führen muß;
dadurch ergibt sich folgende Entwicklung nach Bernoullischen Poly-
zweiten
nomen:
yä+^^+3 ^f-"^-
(23)
§ 117.
.
(^„.w
- ^„.(0,),
Die Stirlingschen Reihen für ^{x) und v(x).
Als zv.eites Beispiel betrachten wir die Funktion:
CO
K^)
(1)
Wir
=J{-J^ - T + y)
erhalten ohne
Mühe wegen
-"*" ^^'
^(^)
> ^-
§ 116, (11) folgende asympto-
tische Reihe:
n-l
(-^y^s +
aix)^"9
(2s
jiLl (2s +
(2-)
^^
^^'^^
1)
»
die
sicher für
—
'„
=
<®<+
^
i
.
+2)
anwendbar
_JL_
^2.,
+
ist,
i
>
falls
x =-=\x\
e'®
gesetzt wird.
Nun
wo
die
hat
man
aber wegen § 34, (6):
Funktion rechter Hand in eine Reihe entwickelt werden
kann, die nach negativen ganzen Potenzen von x fortschreitet; somit
—
:
Anwendungen auf
Kap. XXI.
muß auch
ist
die
wegen §
Formel
=
±:
demnach
richtig bleiben.
-^
295
§ 117.
Weiter
37, (10):
(i(x)
wo x
Gammafunktion.
S=±
für
(2)
die
+ ii{- x) = - log (1 - e-2«^0,
X zu setzen
0^0
nachdem
je
ist,
die asymptotische Reihe (2) für
ist
angenommen
—
a
-C
&
<C -r
wird;
an-
ti
wendbar.
Da
nun:
und
ist
die asymptotische
Reihe (2)
werden
differentiiert
so
darf,
ergibt sich ohne weiteres die folgende Entwicklimg:
n
J
die ebenfalls für
— <
<
n-
=l
anwendbar
-|- Jt
ist.
Damit haben wir
einen neuen Beweis für den folgenden Satz gehefert:
Die StirJingschen Reihen (2) und
und
—
7t
<&
<.-\-
3C
Der Ausdruck des Restgliedes für
(3),
so
den wir aus § 109, (20) kennen,
sind für
(3)
=
wenn x
anivendbar,
\x\-
die beiden
ist
seJir
&^
große \x\
gesetzt ivird.
Reihen
(2)
und
indessen sehr kompliziert,
daß diese Herleitung der Stirlingschen Reihe praktisch nicht
so brauchbar ist wie die frühere in § 79 entwickelte.
Aus den Entwicklungen
§ 116, (11), (12) folgt ohne weiteres
die andere:
^'(?^ - 4 + 1) -1 (- 1)'^-'»- (^ - rÄ]
mittels (1)
und § 111,
(7) erhält
man
*•;
aus ihr nach einer einfachen
Rechnung folgende andere asymptotische Reihe:
i,{x^y)^[x~ \)
^2/
unt^r
Anwendung
der
i/
log (l
^i
=1
schon
im vorigen Paragraphen erwähnten
Identität
(- 1)"9»(-
+ f) - ^
—
(4)
«
- f) -
log (l
y)
=
vM - -T^r^
296
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
ergibt sich aus
indem man das Zeichen von y wechselt,
ihr,
die
analoge Entwicklung:
^{x
(5)
-y) + {x- I)
- +
2/
Die Formeln
während x
bleibt,
(4)
2/
log (1
und
(x)
r
für log
f-)
-^2
2/
'
(5) sind beide
log (l
- f) •
~J
anwendbar,
falls
y endlich
Entfernung von der Achse der
liegt.
noch
transformieren
indem wir vermöge der
fi
-
+ f) +
in überaus großer
negativen reellen Zahlen
Wir
log (l
Formeln
beiden
die
(4)
und
(5),
Identität:
= log r(x) — (x
—
die entsprechenden
log
2 j
a;
+ — log y^jr
a?
Wir
Funktionen einführen.
gelangen
so leicht zu folgenden Entwicklungen:
n-l
Y l°g
(^)
r{x)r{x
+
?^^n
"^Zi
i)
»
'
=
n
s
welche
man Sonin^)
Hermite^)
Was
sie
verdankt.
Später sind
=X
sie
von Stieltjes^) und
betrachtet worden.
die
Funktionen werte v(x
+ y)
betrifft,
kann man für
so
aus (4) und (5) durch Differentiation nach x oder y ganz ähn-
liche
Reihen
herleiten.
Weiter bemerken wir, daß sich
die Theorien
des § 112 ohne
anwenden lassen; indessen scheinen die so erhaltenen Formeln für komplexe Werte von
X nicht praktischer zu sein als die Reihen (2) und (3).
Die in § 8 eingeführten Funktionen P(x, y) und ®{x, y) können
weiteres
auf die Funktionen fi(x) und v(x)
auch unmittelbar vermöge
(6)
und
(7) entwickelt
aber auch nicht gerade praktisch brauchbar zu
1)
Annalen der Universität Warschau 1888.
Bd. 116, p. 137; 1895.
2) Journal de Mathdmatiques,
3)
(4)
Bd.
Journal für Mathematik Bd. HG,
5, p.
p.
werden, scheinen
sein.
Journal
440; 1889.
201—205;
1895.
für
Mathematik
:
Kap. XXI.
§ 118.
Durch
Anwendungen auf
die
Gammafunktion.
Analogie zwischen ^~^W(x) und log
eine
letzte
Anwendung
unserer
297
§ 118.
F(a;).
allgemeinen
Theorie
woUen wir schließlich noch die schon in den §§ 74 und 114 erwähnte Analogie zwischen dem endlichen Integrale z/~ ^ W{x) und
dem gewöhnlichen Integrale log r{x) von W(x) vollständig aufzuklären suchen.
Zu diesem Zwecke benutzen wir
Funktion § 74, {26):
die
x(.)-±+f[{~+iy-{T+^)y""t,
(1)
3!w>o.
Die Entwicklung § 116, (10):
»
ergibt
=i
sodann durch Differentiation nach
t
und unter Anwendung
der Identität:
j
+
1
-.
die entsprechende Entwicklung:
*=i
wo
der Kürze halber für «
>
1
(3)
ZU setzen
ist.
Die gewöhnliche Methode
liefert
femer vermöge
und
(2)
brauchbar
ist,
(1)
die asymptotische ßeihe:
X{.)
(4)
die
~ - s^ +2"
sicher für sehr große
'
x
,»+1
<
und
<
'
-f
',
wenn man:
a;
=
•
a;
i
I
C*
setzt.
Um
nun
die
Tragweite der Formel (4) zu untersuchen, führen
wir die Funktion § 74, (20):
298
Theorie der Fakultätenreihen.
Dritter Teil.
(5)
«
ein; es ist
=
dann nämlich wegen §
X{x)
(6)
74^ (25):
+ I v{x) +
=^ ^{x)
^{x).
Eine Anwendung der Formel von Stieltjes § 70,(20):
ergibt
sodann
0(t)
für
ohne
andere
folgende
weiteres
Integral-
darstellung:
0{x)=fA{t)
(7).
die
mit Ausnahme
der
Achse
W(')(t
der
(7)
x)dt,
negativen
Funktion Q(x) in der ganzen a^-Ebene
Die Formel
+
darstellt.
kann aber offenbar nach der
wickelten Methode von Stieltjes
Zahlen die
reellen
behandelt
§ 79
in
werden;
ent-
Formel
die
§ 79, (11) ergibt in der Tat:
<b{x)
(9)
+
Da
nun,
(- iy-f2J,„^,{t)
wenn x
lim L^'^
sein
muß,
nicht negativ reell
•
/
^2n+i(0
so kann, wie (8) in
^{x) und somit auch
werden, die für
?P'(2"
große (x) und
(4)
+
W('- + '\t
+ x)dL
ist:
^)(^
+
x)dt
=
Verbindung mit § 116,(19)
zeigt,
X{x?) in eine asymptotische Reihe entwickelt
— <@<+
tt
jr
gültig bleibt.
wicklung nur auf eine Weise möglich
Bie für X{x)
.
hergeleitete
— <@<+
jr
;r
ist,
Da
eine solche Ent-
so folgt der Satz:
asymptotische Reihe
(4)
ist
für sehr
'brauchbar.
Die Fakultätenreihen des § 114 und die asymptotischen Reihen
(2) zeigen deutlich die vollkommene Analogie der
und § 116,
beiden Funktionen
fi(rr)
mittels der Formeln:
und X{x), und daraus
folgt
unmittelbar
Anwendungen auf
Kap. XXI.
die Gammafnnktion.
§ 118.
299
= ii(x) - (x - \)\og X + X — log]/'2^,
^-^W(x) = X(x) +{x-l)\ogx-x + log V^
log r{x)
die
entsprechende
Analogie
der
Funktionen log r{x) und
beiden
^-'W(x).
Der Kuriosität halber erwähnen wir noch, daß
Poisson §
Formel von
71, (11):
*W
mittels (5)
die
2X-J
(z«
+ :.»)(,*«' _l)
und unter Anwendung der
Identität:
*
=
noch folgende andere lutegraldarsteUung Ton 0{x):
4>(x)-4./g-^-+y,7_7~"^ ''^
(9)
«W>o
liefert.
Das Integral rechter Hand in (9) bietet offenbar dieselbe Eigendar, welche Petersen für das obengenannte Integral
tümlichkeit
von Poisson nachgewiesen
hat.
—
Literaturverzeichnis.*)
Ao Theorie und aualytischc Anwendungen.
Abel, N. H.: 1) Sur quelques integrales definies. Journal für Math. Bd.
Werhe, Bd. I, p. 251— 2G2.
p. 22—30; 1827.
2,
1
2)
Sur l'integrale definie / aj'^-Vl— a;)'~Mlog
dx.
-^ j
Werke, Bd.
II,
7—13.
p.
Adams,
J.
C.
:
Note on the value of Euler's constant likewise on the values
2, 3, ö, 7 and 10 and of the modulus of
of the napierian logarithms of
common
logarithms,
all
carried to 260 p^aces of decimals.
—
London Proceedings, Bd. 28, p. 88 94;
Appell, P.: 1) Evaluation d'une integrale
p. 874—876; 1878.
2)
Sur
quelques
applications
de la
Ro7jal Soc. of
187«.
Comptes rendus Bd. 86,
definie.
fonction r{x) et d'une autre fonction
Comptes rendus Bd. 86, p. 953—956; 1878.
Funktionen F(w) isaer med Hensyn til dens numeriske
transcendante.
Om
Arentz:
luation.
Arndt,
F.:
Eva-
Indhydehesskrift ; Christiania 1850.
Über bestimmte
Integrale.
Grunert Archiv Bd. 6,
p.
431—439;
1845.
2)
Über einen von Gauß gefundenen Ausdruck der Gammafunktion.
250—253; 1847.
Grunert
Archiv, Bd. 10, p.
1
3)
4)
Zwei Entwicklungen des bestimmten Integrals
/
J
(
\
1
X
1
—
)
a?"
dx.
/
Grunert Archiv, Bd. 10; 1847.
die numerische Bestimmung der Konstante des Integrallogarithmus.
Über
Grunert Archiv, Bd.
ßacaloglo,
E.:
11, p.
*)
1848.
Über das bestimmte Integral
nert Archiv Bd. 35, p.
täten
315—328;
70—72;
1
(a
— hx")''x™'
^dx. Grti-
1860.
Nicht angeführt sind hier Arbeiten, welche entweder nur die Fakulnur einführen, ohne doch neue
behandeln, oder die Gammafunktion
Eigenschaften oder Methoden zu geben, wie
Analysis tun.
z.
B. die meisten
Lehrbücher der
301
Literatnrverzeiclmis.
Bachmann.
p.
P.:
Über einige bestimmte
Math. Annalen Bd. 15,
Integrale.
4-24—432; 1879.
Baker, H.
Note on the
F.:
gamma
Messenger
fimction.
Bd. 25,
(2)
1-25—
p.
128; 1895.
Barbieri, G.
A.: Alcune ricerche relative alla fnnzione
dt Mai. (2} Bd. 4, p.
Barnes,
p.
W.
E.
:
64—128;
Bauer,
6.:
J.
:
3)
Periodico
exüeriana.
The theorr of the gamma
Messenger
function.
(2)
Bd. 29,
1899.
einer besonderen Art unendlicher
Journal für Math. Bd. 57, p. 256—272; 1860.
1) Sur Tintegrale Eulerienne de premiere espece.
VEcole Normale
2)
F
1902.
Von den Gammafcmktionen und
Produkte.
Beaupin,
276—278;
(3)
Bd.
9, p.
309—328;
Sur rint^egrale Eulerienne de premiere
Annales de
1892.
Belg. Mein. Couronnes
esj^ece.
Savants etrangers Bd. 58, 18 S.; 1894.
Sur une extension de la formule de Stirling.
et
Bulletin de Belgique 1902,
943—945.
Bellavitis, G. Tavole numeriche de logarithmo integrale ow.
p.
dell'
:
ziale integrale e di altri integrali euleriani.
125—162: 1874.
Berger, A.: 1) Sur quelques applications de
Mem.
esponen-
Veneto.
Istituto
Bd. 18,
p.
la fonction
Akad. APiandl. Upsala 1880.
des nombres.
gamma
Auch separat
ä la theorie
Ber-
bei E.
ling; Upsala 1882.
2)
Xora Acta
Sur quelques applications de la fonction gamma.
Upsiilensia;
1881.
3)
En
generalisation af nägra
formler
i
gammafonktionens
theori.
Öfcer-
—
Akademie; 1881, p. 13 30.
Besgue: Somme d'une serie. Journal des Math. (2) Bd. 5, p. 367— 368; 1860.
Bessel, F. W.: Über die Theorie der Zahlenfakultäten. Königsberger Archiv
Bd. 1; 1812. Abhandlungen, Bd. 11, p. 342—352.
sigter der Stockholmer
Bidone: Memoire
Mem.
sur diverses integrales definies.
de
lurin Bd. 20,
231—245: 1811.
Bierens de Haan, D.:
p.
2)
l^ Table d'integrales definies. 1858; 2. Aufl. 1867.
Expose de la theorie. des proprietes. des formules de transformation et
des methodes d'evaluation des integrales definies. 1862.
3)
Sur quelques integrales
definies.
Arch. Neerlandaises Bd.
8,
p.
135
— 147;
1873.
b
4)
De
rintegrale riogr(a;)rfa;.
Arch. Neerlandaises Bd.
8, p.
148— 152;
1873.
a
5)
Bvdragen
tot
de theorie der bepaaldt«n integrale.
Verslagen en Meded.
12—31: 1873.
Bigler, ü.: Über Gammafunktionen mit beliebigem Parameter. Journal für
Math. Bd. 102, p. 237—254: 1888.
Binet, J. 1) Memoire sur les integrales Euleriennes et sur leur appUcation ä
Bd.
7, p.
:
la
theorie
nombres.
des
suites,
ainsi
qu'ä l'evaluation
Journal de VEcole
Comptes rendus Bd.
9, p.
39—45:
Polytechn.
1839.
des
cahier
27,
fonctions
p.
123
de grands
— 343:
1839.
——
302
2)
Literaturverzeichnis.
Note sur l'expression du logarithme de rintegra,ie Eulerienne r(j()).
9, p. 156—159; 1839.
Note sur la determination de l'integrale Eulerienne binome
Coniptes
rendus Bd.
3)
1
— x)'^-'^dx
xP~'^(l
Ix
dans
oü Fun des argumenta p
le eas
377—381;
rendus, Bd. 16, p.
et q est
un nombre
rationnel. Comptes
1843.
1
ßjörling, C.F.G.: Bevis
för formlen
/
log r{x-\-2))dx== -- log 2jr-j-p logjp
—
Akademie; 1856, p. 181 182.
una nuova trascendente'') in relazione alle funzioni
Memorie Acad. dei Lincei Roma Bd. 292, p. 499—577; 1895.
Öfversigter der Stockholmer
Blaserna,
P.
FeZ.
Sopra
:
Blissard: On certain properties of the gamma
Bd.
280— 296;
9, p.
Boncompagni,
Bd. 25,
Bonnet,
p.
p.
Quarterly
function.
B.: Recherches sur les integrales definies.
74—96;
Journal
1860.
Journal für Math.
1843.
862
— 866;
series des integrales Eulerienues.
Diss.
0.: Sur la formule de Stirling.
Comptes rendus Bd. 50,
p.
1860.
Bourguet,
L.
:
Developpements en
1)
2)
Annales de l'Ecolc Normale (2) Bd. 10, p. 175—233; 1881.
Sur les integrales Euleriennes. Barhoux Bulletin (2) Bd. 5,
3)
Sur la determination des
di Torino Bd. 16, p.
maxima
758—772;
et
minima de
la
— 51;
1881.
fonction Fix).
Atti
p.
43
1881.
—
Acta Mathematica Bd. 1, p. 295 296; 1882.
Acta Mathematica Bd. 1, p. 363 367;
4)
Sur
5)
Sur quelques integrales definies.
les integrales Euleriennes.
—
1882.
6)
Sur
integrales
les
Euleriennes
Acta Mathematica Bd.
2, p.
7)
Sur la fonction Eulerienne.
8)
Sur la fonction Eulerienne.
9)
et
quelques
261—295;
Ada
autres
fonctions
uniformes.
1883.
Mathematica Bd.
2, p.
296— 298;
1883.
—
Comptes rendus Bd. 96, p. 1307 1310; 1883.
Sur la theorie des integrales Euleriennes. Comptes rendus Bd. 96, p. 1487
1490; 1883.
Brunei,
Bd.
2)
G.
1)
:
3, p.
Monographie de
1—184;
la
fonction
gamma.
Mcm.
de
Bordeaux
(3)
1886.
In Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.
Buchwaldt,
p.
76—93;
Cahen,
E.
:
Summation of Rfekker.
F.:
Tidsskrift
Math.
for
(4)
Bd.
2,
1878.
Sur la fonction
^(s)
de Biemann et sur des fonctions analogues.
Annales de l'Ecole Normale
Callendreau, 0.: Sur une integrale
Diss.
(3)
Bd. 11, p. 75—164; 1894.
Comptes rendus Bd. 89, p. 90
definie.
92; 1879.
Catalan,
E.:
Math. Bd.
*)
1)
Note sur une equation aux
508—516; 1838.
diflFerences
finies.
Journal de
3, p.
Die Funktion
ist
nach unseren Bezeichnungen: I)x{x
''l^ix -\-l)).
—
303
Literaturverzeichnis.
2)
Memoire sur
Math. Bd.
3)
la reduction d'une classe d'integrales multiples.
4, p.
Journal de
323—344; 1839,
Note sur Vintegrale
/
_5^!_^. dx.
Journal de Math.
Bd.
5, p.
110—114;
1840.
5)
Theoreme sur la reduction d'une integrale ijaultiple. Journal de Math.
6, p. 81—84; 1841.
Sur une applieation de la formule de binöme aux integrales Euleriennes.
6)
Comptes rendus Bd. 47, p. 545 549 1858.
Sur la constante d'Euler et la fonction de Binet.
4)
Bd.
—
;
Comptes rendus Bd. 77,
198—201; 1872. Journal de Math. (3) Bd. 1, p. 209— 240; 1875.
Rapport sur le Memoire de Mr. Gübert. Butt, de Belgique (2) Bd.
p.
7)
4—16
p.
8)
;
Recherches sur
G*)
la constante
Quelques theoremes sur
Cauchy,
A. L.
:
imaginaires.
1)
;
Euleriennes.
Mem.
de Belgique
Bull,
Mem. de Belgique Bd.
Mem. de Belgique Bd.
infinis
et
(3)
48; 1892,98 8.
49; 1893, 20 S.
Mem.
sur la constante G.*)
1893, 28 S.
Memoires sur
les integrales definies prises entre
des limites
Paris 1825.
—
de Mathematiques. I. U. Paris 1826 1827.
Recherches d'une formule generale qui foumit la valeur de la plupart
2) Exercices
3)
de
1883.
les integrales
Recherches sur quelques produits
de Belgique Bd. 51
Mem.
Euleriennes.
et sur les integrales Euleriennes.
1—51;
Bd. 22, p. 459—460; 1891.
11) Nouvelles notes d"algebre et d'analyse.
12) Integrales Euleriennes ou eUipttques.
13)
integrales
S.
de St. Petersboiirg Bd. 31, p.
10)
aux
Sur quelques formules relatives
Belgique Bd. 42, 1878, 20
9)
36,
1873.
des
integrales
definies
connues
et
celle
d'un
grand nombres d'autres.
Aunales de Gergonne Bd. 17: 1827.
4)
Memoire sur diverses formules
5)
Journal de VEcole Polytechn. cahier 28, p. 147 248; 1841.
Exercices d'Analyse et de Physique mathematique Bd. ü; Paris 1841.
Memoire sur la theorie des integrales definies singulieres appliquees
relatives k la theorie des integrales definies.
—
6)
generalement ä la determination des integrales definies
ä
l'evaluation
p.
7)
des
integrales
Euleriennes.
Comptes
et
en particulier
rendu.s
Bd.
16,
422—433; 1843.
Recherches sur
les integrales Euleriennes.
Comptes rendus Bd.
17, p.
370
377; 1843.
8)
Note sur
les
integrales Euleriennes.
Comptes rendus Bd. 19,
p.
67
— 73;
1844.
9) Sxu-
un nouveau genre de developpements des fonctions qui permettent
d'abreger notablement les calculs astronomiques.
p.
1123—1131;
1844.
.E...«='_J,,J,_'+._
Comptes rendus Bd.
19,
—
304
10)
Literaturverzeichnis.
Sur une formule de M. Anger et d'autres formules analogues.
rendus Bd. 39, p. 129—135; 1854
Cayley, A. 1) Sur quelques formules du calcul integral.
Journal de Math.
:
2)
Bd. 12, p, 231—240; 1847.
Gegenbemerkungen zu Liouville.
3)
The
numerical value
Journal de Math.
r(l -f
i).
Une demonstration de
la
of
Messenger
(2)
(2)
Comptes
Bd.
p.
2,
Bd. 23,
47; 1857.
p.
36—38;
1893.
Cesiiro, E.:
1)
formule de Stirling.
Math. Bd. 6, p. 354—357 1880.
Demonstration ölementaire de la formule de
Nouv. Gorresp.
;
2)
43—46; 1883.
Cisa de Gresy: Memoires
p. 209—396; 1821.
Clariana y Ricart, L.
Bd.
:
Com.
2)
Stirling. Nouvelles
Annales
(3)
2, p.
Bd.
cient.
4, p.
sur les integrales definies.
1)
Relacion entre
209— 211;
les
Mein, de Turin Bd. 26,
duos integrales Eulerianas.
1881.
Applicacibn a la raecänica de la fbnnola de L. Dirichlet.
Progreso mat.
179—185; 1900.
Claussen, Th.: 1) Gegenbemerkungen zu Schlömilch in Grunert Archiv Bd. 13,
p. 334—336; 1849.
Grunert Archiv Bd. 30,
2) Über die Ableitung des Differentials von r(x).
p. 166—170; 1858.
Grelle, A. L. Memoire sur la theorie des puissances, des fonctions angulaires
(2)
Bd.
2, p.
:
et des facultes analytiques.
Journal für Math.
Bd.
7.
pp. 253
— 305,
314
380; 1831.
Dedekind,
R.
1)
:
Über
die
Elemente der Eulerschen Integrale. Diss.
Berlin
1852.
2)
Über
Degen,
ein Eulersches Integral. Journal für Math.
Tabularum ad faciliorem
tionem utilium enneas. Kopenhagen
C.
F.:
et
Bd. 45,
p.
370—374;
1853.
breviorem probabilitatis computa-
1824.
Dienger, F.: Summen von Reihen ausgedrückt durch bestimmte Integrale.
Anwendungen dieser Sätze. Journal für Math. Bd. 46, p. 119—144; 1853.
Dietrich:
Bd. 59,
Über
p.
eine
Reihentransformation
Stirlings.
Journal für Math.
163; 1861.
Eggenb erger,
J.
:
Beiträge zur Darstellung des Bernoullischen Theorems, der
Gammafunktion und des Laplaceschen Integrals. Diss. Berner Naturf.
Ges. 1893, p. 110—182.
Enneper, A.: 1) Über die Funktion n von Gauß mit komplexem Argument.
Diss.
2)
On
Göttingen 1856.
the function r(x) with
imaginary and complexe variable.
Quarterly
393—405; 1857.
Zeitschrift für Math, und Physik
3) Bemerkung über die Gammafunktion.
Bd. 7, p. 189—190; 1862.
4) Über einige bestimmte Integrale. Zeitschrift für Math, und Physik Bd. 18,
p. 407—415; 1873.
Euler, L.: 1) in Correspondance math. et phys. de quelques celebres geometres du 18" siecle, publiee par Fuss. St. Petersbourg 1843.
Commentarii Acad. Petro2) De summatione innumerabilium progressionum.
politanae Bd. 5, p. 91—104; (1730—1731) 1738.
Journal Bd.
1, p.
—
J;
305
Literaturverzeichnis.
De
3)
progressionibus transcendentibus seu
braice dari
quarum
generales alge-
t-ermini
Comment. Acad. Petrop. Bd.
nequeunt.
36
p.
5,
— 57:
("ITSO
1731) 1738.
De sominis serierum reciprocarum.
4)
Acad. Petrop. Bd.
Comiitetit.
7, p.
23
133; (1734—1735) 1740.
5)
De
progressionibus
Bd.
7, p.
De
6)
Comment. Acad. Petrop.
Bd. 11,
formularum rntegralium ad
circa reductionem
De expressione integralium per
p. 115—154; (1756—1757) 1761.
=
./•
1.
— 21;
Aufl.
(2.
factores.
quadra-
circuli
1743.
1787
.
Nävi Comm. Acad. Petrop. Bd.
{1
— x)
«
MisceUanea Taurinei\sia Bd.
3, p.
156
formularum
10) Observationes circa int«gralia
integrationem
3
7, p.
calculi differentialis; 1755
8) Institutiones
9)
ortis.
Jliscellauea Berolinensia Bd.
turam.
Petrop.
('1739) 1750.
Theoremata
7)
Comment. Acad.
obserrationes.
1740.
productis ex infinitis factoribus
3—31;
p.
harmonicis
150—161; (1734—173.5)
I
x^~
6,
rfxpcsitopost
— 177;
1762
1765.
1768—1770 (2. Aufl. 1792—1794).
De summis serierum numeros Bernoulliauos involventium. Xovi Comm. Acad.
11) Institutiones calculi integralis;
12)
Bd. 14,
Petrop.
13) Evolutio
X
=
p.
formulae
ad X
=
1
129—167:
{1769)1
integralis j
1770.
x*~^
{log x) "
dx
integratione
Novi
iovi Comm.
Acad. Petrop. Bd.
Com
extensa.
valore
a
16, p. 91
— 139;
1771.
De
14)
p, 3.-01 _|_^i +
valore formulae integralis
~-^-.-
f
—
(log «)
casu
quo
=
post
1. Xoci Comm. Acad. Petrop. Bd. 19, pp. 3
30—65, 66-102; (1774) 1775.
Speculationes analyticae. Nori Comm. Acad. Petrop. Bd. 20, p. 59
int-egrationem ponitur 2
— 29,
— 79;
15)
(1775^ 1776.
/dx
log
X
TZ
TT
yi-x'Acad. Petrop. 1777
De
17)
X
valore
=
11, p.
formulae
usque ad
.r
=
3—28;
integralis
1
ab
ic
log
x
=
ad x
=
1
extensae.
Acta
1780.
I
J
extensae.
.
1
1^———
— x"
Acta Acad. Petrop. 1777
-
II,
a termino
p.
29
— 47
1780.
Nova methodus
18;
integrancli formulas difiFerentiales rationales sive subsidio
quantitatum imaginarium.
De numero memorabili
19)
occurrente.
20)
in
Acta Acad. Petrop. 1781
1,
p. 3
— 41;
1785.
summatione progressionis harmonicae naturalis
Acta Acad. Petrop. 17811,
p.
45
— 75;
1785.
De memorabüium proprietatibus unciarum, quae in evolutione binomü ad
Acta Acad. Petrop. 1781
pot^statem quamcumque evecti occurrunt.
p. 77—111; 1785.
Nielsen, Theorie der Gammafanktion.
20
—
Literaturverzeichnis.
30(5
21)
Comparatio valorum formulae mtegralis /
usque
1
Nova Acta Acad.
extensae.
a;
Petrop. Bd.
pp.
5,
x=0
86—117,
(1787) 1789.
formulae integralis
22) Evolutio
que ad
=
X
iid
118—129;
a termino
^="
^r,
==
('^"3;
"f"
.
\f.^
Nova Acta Acad.
extensae.
1
/
termino x
<^* ^
)
Petrop. Bd.
4, p. 3
=
— 16;
us-
(1786)
1789.
Petropolitanae Bd.
8, p.
— 14;
3
1794.
memorabilium quae ex
24) Plenior expositio serierum illarum
Nova Acta Acad.
lainomii formantur.
25)
De
a;
=
Nova Acta Acad.
1 extensae.
Opera posthuma Bd.
209—256; 1880.
p.
Petrop. Bd.
vero valore hujus formulae integralis
ad
26) in
Fäaux,
Nova Acta Acad.
considerationes circa series hypergeometricas.
23) Variae
De
B.: 1)
I,
p.
(log
I
—
Petrop. Bd.
408—438;
dx
8, p.
— 68;
1794.
a termino
15
— 31;
Darboux Bulletin
1861.
F obsignatur
functione quae littera
j
unciis potestatum
32
8, p.
a;
=
1794.
(2)
Bd.
4,
sive de integrali Euleri-
ano secundae speciei. Münster 1844.
Programm. Augsburg 1876.
2) Recherches d'analyse.
Forsyth, A. E. 1) On an approximate expression for xl
Brut. Assoc. llep.
:
1883.
2)
Evaluation of two definite integrals.
Quarterly Journal
Bd. 27, p. 216
225; 1895.
Fuß,
N.:
Gemina methodus investigandi valorem produeti
/
dum ambo
r
x'^-'^dx
integralia a
usque ad
111—134; 1781.
a?
=
1
.
extenduntur.
Acc. di
Bd. 6; 1867.
Giorn. di
mal
Bd.
6, p.
nx)
16—23; 1868.
Disquisitiones generales circa seriem infinitam etc.
C. F.:
Na'
Z.
poU Bend.
Bd.
Gotting.
p.
A.: Sul calculo de valore della funzione "\^
de Gasparis,
^
Gauß,
=
termino x
Acta Acad. Petropolitanae 177811,
x^-^dx
ix
1—46;
2, p.
Werke,
1812.
Bd.. l\l.
Comment.
Deutsch von H. Simon;
Berlin 1888.
Genocchi,
A.
:
1)
Sulla formola sommatoria di Eulero, e sulla teoria de re-
Annali di mal.
sidui quadratici.
2)
Demonstration
Bull,
p.
3)
elementaire
de Bruxelles
406 — 436; 1852.
de M. Binet.
Annali di mat. Bd. 5,
logarithmique
392—397; 1853.
150—160; 1854.
64—95;
p.
546—565;
^^(a;).
Bull, de Belgique{2)
la serie de Binet.
Bull, de Belgique (2)
1873.
Räclamation de priorite au sujet de
Bd. 37,
p.
351—352;
Bull, de
1854.
Sur quelques developpements de la fonction log
Bd. S6,
5)
p.
3, p.
formule
Sur quelques particularites des formules d'analyse mathematique.
Bruxelles Bd. 21, p.
4)
Bd. 20,
Bd.
d'une
1874.
307
Literaturverzeichnis.
sur une note relative ä la
6) ficlaircissements
Grimert
fonction log r{x).
Archiv Bd. 61, p. 336—385; 1878.
7) Snr les fonctions de M. Prym et M. Hermite.
Bull, de Belgique (3) Bd. 4;
1882.
8)
Intomo
alla funzione r{x)
Mem.
ed
logaritmo.
dt
taines integrales definies qui en
p.
1—60;
Glaisher,
2)
che ne esprimere
dello Stirling
serie
alla
Xapoli (3) Bd. 6.
Gilbert, Pb.: Recherches sur le developpement de
il
la
F
fonction
et snr cer-
Mem.
de Belgique
Bd.
p.
dependent.
Bd. 41,
1873.
W.
J.
L.:
1)
Tafeln in Messenger
Bep. British Association 1871.
On the calculation of Eulers constant.
'2)
Royal
1,
Soc.
106—111 und
in
London Proceedings
Bd. 19, p. 514—524: 1871.
k'^^3)
On
the histoiy of Eulers constant.
4)
On
the Integrals
/
Messenger
(2)
Bd.
1, p.
25—32;
1872.
OC
OD
sin (x'')dx
and
/ cos {af)dx. Messenger (2) Bd.
1, p.
106—
6
111; 1872.
5)
On
Bep. British
the evaluation in series of certain definite integrales.
Association 1872.
6)
Proof of Stirlings theorem
Bd.
7)
15, p.
On some
1
57—64:
1877.
definite
integrals
-
2
3
•
•
n
= y2njt
expressible
in
Bd. 13, p.
8)
On
t^rmes of the
London Math.
and of gammafunctions.
92—99; 1881.
eUiptic integral
i^
«"e"". Quarterly Journal
certain integrals involving the exponential-integral.
first
Soc.
complete
Proceedings
Quarterly Journal
Bd. 18, p. 370—377; 1882.
9) Expressions for gamma functions in terms of complete elliptic integrals.
Messenger (2) Bd. 24. p. 27—47 1894.
;
Godefroy, M.: 1) Theorie elementaire
Paris 1901.
2) La fonction gamma.
3)
Sur
les
developpements en
gamma.
Graf,
p.
2)
J.
H.:
f^eries
Annales de Marseille Bd.
des series.
entieres de la theorie de la
11. p.
Über bestimmte Integrale.
1)
Paris 1900.
117
— 124;
Bemer
fonction
1901.
Nattirf.
Ges.
Mitt. 1884,
46—72.
Einleitung in die Theorie der Gammafnnktion und der Eulerschen Integrale.
Bern 1895.
Greathead: On
general
differentiation.
Cambridge Math. Journ.
Bd.
1,
11—21, 109—117; 1839.
Grunert, J. A.: 1) Über die höheren Differentiale der Funktion z=x:(x*-\-y*)
und über die Entwicklung einiger bestimmten Integrale; Journal für Math.
Bd. 8. p. 146—157; 1832.
2) Über die neuesten Erfindungen in der Theorie der bestimmten Integrale.
Grunert Archiv Bd. 2, p. 266—323; 1842.
Gudermann, C: Additamentvmi ad functionis Fia) theoriam. Journal für
Math. Bd. 29, p. 209—212; 1845.
pp.
Gylden,
H.: Snr Tintegrale Eulerienne de seconde espece.
Comptes
Bd. 92, pp. 897—901, 941-943; 1881.
30*
rendus
Literaturverzeichnis.
308
Hankel,
H.: Die Eulerschen Integrale bei unbeschränkter Variabilität des
Arguments. Diss. Leipzig 1863. Zeitschrift für Math, und Physik Bd. 9,
p.
1-21;
1864.
A new proof of Kummer's series for log r(a). Messenger (2)
31—33; 1901.
Heine, E.: 1) Über einige bestimmte Integrale. Journal für Math. Bd. 61,
p. 356—366; 1863.
Journal für
2) Einige Anwendungen der Residuenrechnung von Cauchy.
Math. Bd. 90, p. 19—40; 1880.
Hardy,
C. H.:
Bd. 31,
p.
1
dz.
p.
2)
91—110;
Atti
di
Turino Bd. 14,
1879.
Sur l'integrale Eulerienne de seconde espece.
Journal für Math.
332—338; 1881.
Sur une application du theoreme de M. Mittag-Leffler dans
Bd. 90,
p.
3)
fonctions.
4)
Acta
d'une
Extrait
Fennicae Bd.
Soc.
adressee
Lettre
a M. Mittag-LeiFler.
5)
Bd. 92, p. 145—155; 1882.
Cours ä laFaciiltd des Sciences des Paris (lithografies).
6)
Sur une extension de la formule de Stirling.
p.
7)
581—590;
la theorie des
12.
Journal für Math.
(2.
Aufl.) Paris 1883.
Math. Annalen Bd. 41,
1893.
Sur la fonction Eulerienne.
(Extrait d'une Lettre adressee a M. Ed.
Weyr)
Casopis Bd. 23, p. G5; 1894.
Journal für Math. Bd. 105, p. 201 — 208; 1895.
American Journal Bd. 17, p. 6^
8)
Sur la fonction log r{a).
9)
Extrait d'une Lettre adressee ä M. Craig.
10; 1895.
10)
Sur
p.
logarithme
le
111—116;
de
11) Extrait d'une Lettre.
12) Extrait
la
fonction
gamma.
American Journal Bd.
17,
1895.
Süll,
de l'Acad. de Frangois- Joseph 1895, p.
de quelques Lettres adressees ä M. Pincherle.
5—6.
Annali di Mat.
(3)
57—72; 1900.
Hermite und Sonin s. Sonin und Hermite.
Hocevar, F.: Über die unvollständige Gammafunktion. Zeitschrift für Math,
und Physik Bd. 21, p. 449—450; 1876.
Hoesch: Untersuchungen über die /I-Funktion von Gauß und verwandte FunkBd.
5, p.
Diss.
tionen.
Holder,
Göttingen 1879.
Über die Eigenschaft der Gammafunktion keiner algebraischen
Differentialgleichung zu genügen. 3Iath. Annalen Bd. 28, p. 1 13; 1886.
Hoppe, R. Remarques sur la reduction de la fonction gamma, et sur la
0.:
—
:
definition de cette fonction
et des
facultes analytiques par leurs propri-
Journal für Math. Bd. 40, p. 152—159; 1850.
Beweis für einen Satz von dem Eulerschen Integral. Grunert Archiv Bd. 41,
ötes.
2)
p. 65—67; 1863.
Jacobi, C. G. J. Demonstratio formulae
:
1
foi'^-^l
— (o)''-^ dco ^ r{a)
Journal für Math. Bd.
11, p. 307; 1834.
r{b):r{a-\-b).
—
309
Literaturverzeiclmis.
Jeffery, H. M.
On
:
the
derivatives
gamma
of the
Quarterly
fanction.
82—108: 1864.
Jensen, J. L. W. Y. Gammafunktionens Theori i elementser Fremstilling.
Xyt Tidsskrift for Math. Bd. 6, pp. 33—72, 83—85; 1891.
Jörgensen, N. R.: Et Int€graludtryk for l-.Fiji). Xyt Tidsskrift for Math.
Bd. IIB, p. 34—40; 1900.
Kinkelin, H. Die Fundamentalgleichung der Funktion F(x). Berner Xaturf.
Ges. Mitt. 1857, p. 1—11.
Kluyver, J. C: 1) Over de outwikkeling van eene functie in eene faculteitenreeks.
Xieiitc Arch. (2; Bd. 4, p. 74—82; 1899.
Journal Bd.
6, p.
:
-2
:
2)
Snr
Enar,
las aeries
J.
de
—
Comptes rendus Bd. 134. p. 587 588; 1902.
Grunert Archiv Bd. 41, p. 297 452;
factorielles.
—
Die harmonischen Reihen.
:
134—210; 1865.
1864. Bd. 42, p.
Kramp: Analyse des
Kümmel, C. H.: On
Strasburg 1799.
refractions astronomiques et terrestres.
the
gamma
funetion.
Analyst Bd.
4,
pp.
156—157, 182
183; 1877.
Kummer,
E. E.
Bd. 15, p.
2)
De
Über
1)
:
39—83;
Journal für Math.
die hypergeometrische Reihe.
1836.
Journal für Math. Bd.
integralibus definitis et seriebus infinitis.
210—227: 1837.
De integralibus quibusdam
17,
p.
3)
definitis et seriebus infinitis.
Bd. 17, p. 2-.>8— 242; 1837.
4) Beitrag zur Theorie der Funktion r{x).
Journal für Math.
Journal für Math. Bd.
35, p. 1
— 4;
1847.
Landau.
p.
E.:
Zur Theorie der Gammafanktion.
Landsberg,
G.
:
Belgique Bd. 55, 25
de Laplace,
P. S.
:
S.
Journal de Math.
(2)
p.
sur
Bd.
diverses
416—509;
-JI1?_ da.
/
1. p.
l
—
(p
377—378;
sortes
= y \s—
jLj
l
*=i
;
a
—
-f-
1 ,
'
s/
(2. Aufl.).
oü a <ri.
^
1856.
d'integrales
definies.
Paria 1794.
Metn. de VInstitut
1809.
Exercices de calcul integral.
4) Traite
qui
Couronnes de
Mein.
A. M.: 1) Memoires sur les transcendantes elHptiques.
Recherches
Bd. 10,
de Kummer.
1897.
J
3)
celle
Theorie analytique des Probabilites. Paris 1814
Lebesffue, V. A.: Sur rintegrale
Legendre,
gamma
Sur un nouveau developpement de la fonction
contient la serie de Stirling et
2)
Journal für McUh. Bd. 123,
276—283; 1901.
Paris 1811
— 1819.
des fonctions eUiptiques et des integrales Euleriennes.
Paris 1825
1828.
Lejeune-Dirichlet, P. G.: 1) Xote sur les integrales definies.
Math. Bd. 4, p. 94—98; 1829. Werke Bd. I, p. 109—116.
2)
—
integrales Euleriennes. Journal für Math. Bd. 15, p. 258
263;
Werke Bd. I, p. 271—278.
Sur une nouvelle methode pour la determination des integrales multiples.
Comptes rendus Bd. 8, p. 156—160. Journal de Math. Bd. 4, p. 164—168
1839.
Werke Bd. I, p. 375—380.
Sur
les
1836.
3)
Journal für
310
4)
Literaturverzeichnis.
Über eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher
der Berliner Akademie 1839,
p.
5)
61—79.
Werke Bd.
pp.
I,
p.
18
— 25,
Integrale.
Berichte
Äbhandl. der Berliner Akad. 1839,
381—390, 391—410.
Vorlesungen über bestimmte Integrale.
Herausgegeben von G. Arndt.
Braunschweig 1904. Man vergleiche auch G. F. Meyer, Vorlesungen über
bestimmte Integrale. Leipzig 1871.
Lerch, M.
:
1)
Demonstration nouvelle de la propriete fondamentale de FinteBull. Soc. Math, de France Bd. 15,
grale Eulerienne de premiere espece.
p.
173—178; 1887.
Demonstration elementaire de la formule de Raabe.
39—40; 1888.
Über die Fundamentaleigenschaften
Giorn. di mat. Bd. 26,
p.
Eulerschen
der
Frager
Integrale.
Berichte 1889 (böhmisch).
Aus der Integralrechnung.
—112;
Monatshefte für Math.
u.
Physik Bd.
1,
p.
105
1890.
Studien auf
dem
Gebiete der Malmstenschen Reihen und der Invarianten
quadratischer Formen.
Bozpravy Bd.
2,
Nr.
12
4,
S.
1893 (böhmisch).
Sur un point concernant la theorie de la fonction gamma.
Prager Be-
richte 1893, 8 S.
Sur une integrale
definie.
Bd. 31,
Giorn. di mat.
p.
171
— 172;
1893.
Sur la differentiation des series trigonometriques. Comptes rendus Bd. 119,
p.
725—728;
1894.
Weitere Studien auf dem Gebiete der Malmstenschen Reihen. Mit einem
Briefe des Herrn Hermite. Bozpravy Bd. 3, Nr. 28, 63 S. 1874 (böhmisch).
Casopis Bd. 23; 1894 (böhmisch).
10) Über das Integral von Binet.
11) Sur une relation ayant rapport avec la theorie de la fonction gamma.
9)
Bull, de l'Acad.
12)
Fr angois- Joseph
Bd.
Logarithmus der Faktorielle n\
1, p. 1
— 4;
1895.
Casopis Bd. 24, p. 129—132; 1895 (böh-
misch).
13)
Sur la differentiation d'une classe de series trigonometriques.
l'Ecole
Normale
14) Verschiedenes
(3)
351—361;
Gammafunktion.
Bd. 12,
über die
p.
Annales de
1895.
Bozpravy Bd.
5,
Nr. 14,
37 S.;
1896 (böhmisch).
15) Sur la
l'Acad.
16)
transformation
*
Fr atiQois- Joseph
Abelienne
des
series
trigonometriques.
Über eine Formel aus der Theorie der Gammafunktion.
Math. u. Physik Bd. 8, p. 189—192; 1897.
17) Expression nouvelle
BtM. de
1896, 4 S.
de la constante d'Euler.
Monatshefte für
Prager Berichte
Bd..
42; 1897.
18)
Remarque elementaire
p. 129—133; 1897.
19)
Formule pour le calcul rapide d'un certain potentiel. Journal de Math.
Bd. 5, p. 422—433; 1899.
Bemerkungen über einige bestimmte Integrale aus der Theorie der Gammafunktion. Bozpravy Bd. 7, Nr. 37, 5 S. 1899.
Vestnik 1899, 17 S.
Theorie der Gammafunktion.
sur la constante d'Euler.
Teixeira Journal Bd. 13,
(5)
20)
21)
22)
Sur quelques proprietes d'une transcendante uniforme.
Praee mat. fiz. Bd. 10, p. 1—7; 1899.
12 S.
Freiburg
1898,^
—
311
Literaturverzeichnis.
die Gaußschen Gleichungen in der Theorie der GammaPrace mat. fiz. Bd. 10, p. •269—270; 1899.
Eozpravy Bd. 8,
24) Schnell konvergierende Darstellung gewisser Grenzwerte.
23)
Bemerkungen über
funktion.
Nr. 36, 9
1900.
S.
25) Einige Reihenentwicklungen der unvollständigen Grammafunktion.
für Math. Bd. 130, p.
47—65
;
Journal
1905.
Liebrecht, E.: Über einige bestimmte Integrale. Grutiert Archiv Bd. 59,
p. 218—224; 1876.
Limb cur g. H. 1) Theorie de la fonction gamma. Gent 1859.
Mtm. de BruxeUes
2) Sur un point de la theorie de la formule de Stirling.
:
Bd. 30. 21 S.; 1860.
Lindhagen,
Om
gammafunktionens teori. Öfcersigter
27—29.
Stockholm 1887.
Diss.
2) Studier öfrer Gammafunktionen.
Lindman, C. F.: 1) Om nägra definita integraler. Handlingar der Stockholmer
Akademie 1850 13, p. 343—363.
Grunert Archiv Bd. 16, p. 99 103;
2) De integralibus quibusdam definitis.
A.:
1)
nägra formier
i
der Stockholmer Akademie 1883, Nr.
2, p.
—
1851.
3)
De
vero valore constantis quae in logarithmo integrali occurrit.
Grunert
238—240; 1857.
Lindner, J.: Über Tie%rößen mit gebrochenem Index. Hoppe Archiv Bd. 70,
p. 96—105; 1883.
Liouville, J.: 1) Memoire sur l'nsage que Ton pent faire de la formule de
Archiv Bd. 29,
p.
Fourier dans le calcul des differentielles a indicea quelconqnes.
für Math. Bd. 13,
2)
p.
219—232;
Note sur quelques integrales
Journal
1835.
definies.
Journal de Math.
Bd.
4,
225
p.
235; 1839.
3)
Note sur Tevaluation approchee du produit xl Comptes rendus Bd.
105—108. Journal de Math. Bd. 4. p. 317—322; 1839.
39,
p.
4)
5)
Sur lintegrale
Note sur
322.
6)
/c "'«'' dx.
la fonction
gamma
Journal de Math. Bd.
Sur un theoreme
de MaÜi. Bd. 20,
8)
464— 465;
p.
1846.
317
1852.
20. p.
133—134; 1855.
p.
157—160;
de seconde espece. Journal
1855.
+ y) = 2^~^' y«r(2t). Journal de Math.
Bd. 20,
161—163; 1855.
Determination des valeuis d'une classe remarquable d'integrales definies
et demonstration d"une celebre formale de Gauß, concemant la fonction
gamma
Math.
de Legendre.
(2)
Bd.
1, p.
Comptes rendus Bd. 42,
82—88;
1,1
(1
10)
p.
Comptes rendus Bd. 35,
448—453;
relatif ä Tintegrale Eulerienne
Sur l'equation r(t)r(t
p.
9)
de Legendre.
17, p.
Bd. 11,
Valeur d'une integrale definie qui se rattache aux integrales trinomes.
Journal de Math. Bd.
7)
Journal de Math.
rf''"*"37
p.
500
— 508.
Journal de
1856.
— O''
1
2
^^1
dt.
Journal de Math.
(2)
Bd.
1,
—
Literaturverzeichnis.
312
p.
421
— 424;
11)
Gegenbemerkungen von Cayley und Schlömileh im
1856.
nächsten Bande
47
p.
— 55;
1857.
Demonstration nouvelle d'une formule de M. Thomson.
Bd.
(2)
Journal de Math.
445; 1856.
1, p.
1
12) Sur Fintegrale
p.
13)
delinie
/
SL^-^
Z
Journal de Math.
dx.
Bd.
(2)
2,
279; 1857.
Sur une integrale definie multiple.
Journal de Math.
Bd.
(2)
p. 155
4,
160; 1859.
Lipschitz, R. 1) Über die Darstellung gewisser Funktionen durch die Eulersche Summenformel. Journal für Math. Bd. 56, p. 11 26; 1859.
:
—
Y
2)
Sur Fintägrale
p.
387—388;
cosa;)"~* cos(a
/ (2
Darboux Bulletin
^)^<^^-
Bd.
{2)
5,
1881.
Lobatscheffsky, N.
de Longchamps,
In Kasaner Memoiren 1835
.1.:
G.
:
Sur
les
Annales de l'Ecole Normale
Mainardi:
-f-
Bd.
9, p.
Sulla integrazione della formola
zione intere di
una medesima
variabile.
419—427;
seconde
espece.
1880.
F:{Eyip)
Mem.
1836.
de
Euleriennes
integrales
(2)
und
essende F, E,
Bd.
Istituto Veneto
ip
2, p.
fun-
401
425; 1845.
Malmsten,
C. J.: 1)
Sur la formule
Journal für Math. Bd.
35, p. 55
— 82;
1847.
Acta Mathematica Bd.
5, p. 1
46; 1884.
2)
De
p.
integralibus definitis seriebusque infinitis.
1—39;
Mansion,
P.
:
1)
Demonstration elementaire de
Corresp. Math. Bd. 5, pp.
2)
Journal für Math. Bd.
38,
1849.
44—51, 51—53
;
la
formule de Stirling.
Notiv.
1879.
Sur la serie harmonique et la formule de Stirling.
Mathesis Bd.
1, p.
169
172; 1882.
fonction gamma. Annules de la Soc. scient. Bruxelles Bd. 17,
4—8; 1893.
Mascheroni: Adnotationes ad calculum integralem Euleri. 1790.
Matthiessen, L.; 1) Zur Theorie der bestimmten Integrale und der Gamma3)
Sur la
p.
Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 12, p. 302—321; 1867.
Sopra alcune proprietä degl' integrali euleriani di prima e seconda specie.
funktion.
2)
Annali di Mat. (2) Bd. 2, p. 21—27; 1868.
Mellin, H.; 1) Om gammafunktionen. Öfversigter der Stockholmer Akademie
1883, Nr. 5, p. 3—20.
r{x)
P{x). (Aus einem Briefe
2) Über die transzendente Funktion Q{x)
an Herrn G. Mittag-Leffler). Acta Mathematica Bd. 2, p. 231—232; 1883.
=
3)
—
Eine Verallgemeinerung der Gleichung r{x) r(l
Mathematica Bd. 3, p. 102—104; 1883.
—
rr)
=
7t
:
sin
nx.
Acta
—
313
Literaturverzeichnis.
4)
Über gewisse durch
Matheinatica Bd.
5)
Om
3, p.
die Gammafunktioii ausdrückbare Produkte.
3-22— 324; 1883.
slag af oändlige produkter,
ett
gammafunktionen.
hvilka
Actu
kunna bestämmas gennom
Akademie Bd. 26, p. 170
Öfcersigter der Helsingforser
176; 1884.
6)
7)
Zur Theorie der Gammafunktion. Act» Mathematka Bd. 8, p. 37 — 80; 1886.
über einen Zusammenhang zwischen gewissen linearen Differential- und
Differenzengleichungen. Acta Mathematica Bd. 9, p. 137
166; 1887.
Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung. Acta
Mathematica Bd. 15, p. 317—384; 1891.
Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy fiir die Theorien
der Gamma- und hypergeometrischen Funktionen.
Acta Soc. Fenuicae
—
8)
9)
Bd. 21, 115 S.; 1896.
10)
Über hypergeometrische Reihen höherer Ordnung.
Bd. 23, 10
Acta
Soc.
Fennicae
S.; 1897.
Über eine Verallgemeinerung der Biemannschen Funktion J(s). Acta Soe.
Fennicae Bd. 24, 50 S.: 1899.
12) Eine Formel für den Logarithmus transzendenter Funktionen von endlichem Geschlecht. Acta Soc. Fennicae Bd. 24, 49 S.; 1900. Acta Mathe11)
matica Bd. 25, p. 165—184; 1902.
Über den Zusammenhang zwischen den linearen Differential- und DifferenActa Mathematica Bd. 25, p. 139 164; 1902.
Meyer, A.: Expose elementaire de la theorie des integrales definies. Mem.
13;
—
zengleichungen.
de Liege Bd.
Meyer,
•""
2)
1—510; 1852.
Summation reziproker Potenzreihen
7, p.
G. F.:
1)
/ e~" x''~'^dx.
^5ö-/
J
^y-r
r{a)
mittels
Grunert Archiv Bd. 41,
.
p.
der
Formel
220—231;
1867.
Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen
Grenzen.
Leipzig 1871.
Newman: On
when a is negativ. Cambridge and Dublin
57—60; 1848.
Et Dobbeltintegral. Xyt Tidsskrift for Math. Bd. 4 B, p. 81—
r{a) especially
math. Journal Bd.
Nielsen, N.:
1)
3, p.
82; 1893.
2)
Om en Klasse
Funktioner.
3)
En Räkke
besternte Integraler og nogle derved definerede semiperiodiske
Kopenhagen
Diss.
1895.
Xyt
for Eulers Konstant.
Tidsskrift for
Math. Bd. 8 B,
p.
10—
12; 1897.
4)
Theoreme sur
les
n
n
T
T
integrales / (log sin Itf)^ dtp et / tg
u
Oversigter der Kopenhagener
5)
6)
Sur
les series
Akademie 1897,
de factorieUes.
Recherches sur
les series
qp
(log sin qp)^dqp.
u
p.
Comptes rendus,
de factorieUes.
197
— 206.
30. Dez. 1901, 20. Jan. 1902.
Annales de l'Ecole Normale
(3)
Bd. 19, p. 409—453; 1902.
7)
Note sur
la fonction
gamma.
Le Matematiche Bd.
2, p.
249
— 253
1902.
—
—
314
8)
LiteraturverzeieliniB.
Sur la fonction gamma.
Arch. der Math.
u.
Physik
(3)
Bd.
223
6, p.
231; 1903.
y)
Recherches sur
et sur
le
carre de la derivee logarithmique de la fonction
quelques fonctions analogues. Annali di Mat.
(3)
Bd.
gamma
189
9. p.
— 210;
1903.
10)
Note sur quelques series de puissances trouväes dans la theorie de la
gamma. Annali di Mat. (3) Bd. 9, p. 211—218; 1903.
fonction
11)
Evaluation nouvelle des formules de Binet, Gudermann et Raabe concernant la fonction gamma. Annali di Mat. (3) Bd. 9, p. 237 245; 1903.
—
12)
Sur la multiplication de deux series de
13)
Borna Bendiconti,
Sur une integrale
14)
Les series de factorielles et
15)
Bd. 59, p. 355—376; 1904.
Recherches sur une classe de fonctions meromorphes.
16)
17)
Accad. dei Lincei
factorielles.
17. Jan. 1904.
definie.
Math. Annalen Bd. 59,
les Operations
p.
89—102
fondamentales.
;
1904.
Math. Annalen
Afhandlinger der
Kopenhagener Akademie 1904, 46 S.
Elementare Herleitung einiger Formeln aus der Theorie der Gammafunktion.
Monatshefte für Math. u. Physik Bd. 15, p. 315—324; 1904.
Notas sobre la funciön beta. Bevista trimestral de mat. Bd. 4, p. 150 156;
—
1904.
18) Series
asymptotiques obtenues pour une s^rie de
Annales de
factorielles.
Bd. 21, p. 449—458; 1904.
19) Sur la multiplication de deux series de coefficients binomiaux.
dei Lincei Borna Bend., 4. Dez. 1904.
l'Ecole
20)
Normale
(3)
Sur quelques applications integrales des
adressee ä M.
(Extrait d'une Lettre
series
Accad.
de coefficients binomiaux.
S. Pincherle).
Circolo mat.
Palermo
129—139; 1905.
Monatshefte
21) Über die Stirlingschen Polynome und die Gammafunktion.
für Math. u. Physik Bd. 16, p. 135—140; 1905.
Oettinger: 1; Über die richtige Wertbestimmung der Konstante des Integrallogarithmus. Journal für Math. Bd. 60, p. 375—377; 1862.
254; 1864.
2) Über ein bestimmtes Integral. Journal für Math. Bd. 63, p. 252
Ohm: 1) Über das Verhalten der Gammafunktion zu den Produkten äquiJournal für Math. Bd. 36, p. 277—295; 1848.
distanter Faktoren.
2) Über die Behandlung der Lehre der reellen Faktoriellen und Fakultäten
nach einer Methode der Einschließung in Grenzen. Journal für MathBd. 39, p. 23—41; 1850.
Pincherle, S.: 1) Sülle funzioni ipergeometriche generalizzate. Accad. dei
Lincei Borna Bend. (4) Bd. 4, pp. 694—700, 792—799; 1888.
Bend. Bd.
19, p.
—
2)
Una
trasformazione dei
serie.
Circolo mat.
Palermo Bend. Bd.
2, p.
215
226; 1889.
3)
Sopra un problema
p.
1—3;
d'
interpolazione.
4) Sülle serie di fattoriali.
144,
Circolo mat.
Palermo Bend. Bd.
14,
1899.
Accad. dei Lincei Borna Bendiconti 1902, pp. 139
417—426.
5) Sulla
Bviluppabilitä
di
una funzione
Lincei Borna Bend. 1903, p. 336—343.
in
serie
di
fattoriali.
Accad. dei
315
Literaturverzeichnis.
6)
7)
Sugli sviluppi assintotici e le serie sommabili.
Bend. 15. Mai 1904.
Sur las fonctions determinantes.
9—68;
Plana, J.: 1)
Anndles de VEcole Normale
(3)
Bd. 22,
1905.
p.
2)
Accad. dei Lincei Borna
in Turiner Memoiren Bd. 24; 1820.
Recherches analytiques sur les expressions du rapport de la circonfereuce
au diametre trouvees par Wallis et Brouncker. Journal für Math. Bd. 17,
1—34. 163—202: 1837.
L.
Math. Annalen
1) Zur Theorie der Eulerschen Integrale.
Bd. 35, p. 495—526; 1890.
Über ein rielfaches, auf Eulersche Integrale reduzierbares Integral. Journal
für Math. Bd. 107, p. 246—250; 1891.
pp.
Pochhammer,
2)
3)
:
Bemerkung über das
Math. Annalen Bd. 41,
Integral r{a).
p.
157
— 166;
1892.
Poisson,
Memoire sur les integrales definies. Journal de VEcole
215—246; 1813, cahier 18, p. 295—340; 1820,
cahier 19, p. 404—509; 1823.
2) Second memoire sur la distribution de Tflectricite ä la surface des corps
conducteurs.
Mem. de Vln^titut 1811, pp. 1—92, 163—274.
Pringsheim, A.: Zur Theorie der Gammafunktion. Math. Annalen Bd. 31,
1888.
p. 455—481
Prym, F. E. Zur Theorie der Gammafunktion. Journal für Math. Bd. 82,
p. 165—172; 1876.
Raabe. J. 1) Angenäherte Bestimmung der Faktorenfolge «I, wenn n eine
S. D.:
Polytechn.
1)
cahier 16, p.
;
:
:
sehr große ganze Zahl
Bd. 28,
2)
p.
10—18;
Reduktion eines
ji- fachen
für Math. Bd. 28,
3)
Wertung der
Journal für Math. Bd. 25,
ist.
p.
147
— 159;
1843.
1844.
p.
Integralausdruckes auf ein einfaches.
19—27;
Faktorielle ("A.
Journal
1844.
Journal für Math.
Bd. 48,
p.
130—136;
1854.
4) Über einen Hüfssatz zur Ausmittelung der Werte bestimmter Integrale.
Journal für Math. Bd. 48, p. 160—166; 1854.
Rajewsky, J. Über einige bestimmte Integrale. Krakauer Berichte Bd. 20,
(polnisch.)
p. 272—281; 1891.
Ramus, C. Om Ellipsoiders Tüträkning og om de ellipsoidiske Ligevägtsfigurer af flvdende Masser.
Oiersigter der Kopenhagener Akademie 1844,
p. 48—58. Afhandlinger der Kopenh. Aiad. (4) Bd. 12, p. 111—184; (1846).
Realis: Esercizio elementare sugl' integrali euleriani della prima specie.
Giom. dt mat. Bd. 9, p. 345—354; 1871.
:
:
Rogel,
F.:
Rouche,
Theorie der Eulerschen Funktionen.
E.: Sur la formule de Stirling.
Prager Berichte 1896; 45
Comptes rendus Bd. 110,
p.
513
S.
— 515;
1890.
Saalschütz,
Argument.
2)
L.:
1)
Bemerkungen über
Zeitschrift
für Math.
Bd. 33, p. 362—371; 1888.
Über einen Spezialfall der
Zeitschrift für
Math.
u.
die
u.
Gammafunktionen mit negativem
p. 246—250; 1887.
Physik Bd. 32,
hypergeometrischen Reihe dritter Ordnung.
Physik Bd. 36.
p.
278—295;
1891.
—
316
LiteraturverzeichniB.
Sc haar: Memoire sur
les integrales
Euleriennes et sur la convergence d'une
certaine classe de series. Meni. Couronnes Bnixeiles Bd. 22; 1846, 25 S.
Scheefer,
r{z), P{z) und Q(z).
Journal für
230—242; 1884.
Sehe ihn er, W. 1) Über die asymptotischen Werte der Koeffizienten in den
nach der mittleren Anomalie vorgenommenen Entwicklungen. Leipziger
L.:
Math. Bd.
Zur Theorie der Funktionen
97, p.
:
Berichte Bd.
2)
8, p.
40—64
1856.
;
Über periodische Funktionen.
Schenkel,
Leipziger Berichte Bd. 14,
64
p.
— 135;
H.: Kritisch-historische Untersuchung über die Theorie der
1862.
Gamma-
funktion und der Eulerschen Integrale. Diss. Bern 1894.
Schläfli, L.: Über die zwei Heineschen Kugelfunktionen mit beliebigem
Parameter und ihre ausnahmslose Darstellung durch bestimmte Integrale.
(Anhang). Bern 1881.
Schlömilch,
2)
Bd.
3)
4,
Über
p.
167—174;
einige
Grunert Archiv
1844.
Funktionen
welche goniometrische
Integrale,
Grunert Archiv Bd.
4)
Jena 1843.
0.: 1) Beiträge zur Theorie bestimmter Integrale.
Einiges über die Eulerschen Integrale der zweiten Art.
6, p.
involvieren.
200—205; 1845.
Ein Paar allgemeine Eigenschaften der Eulerschen Integrale der zweiten
Grunert Archiv Bd.
Art.
6, p.
213—222;
1845.
5)
Note sur
6)
Journal für Math. Bd. 33, p. 268—280; 1846.
Developpements de quelques integrales definies renfermant des fonctions
trigonometriques. Journal für Math. Bd. 33, p. 353 361; 1846.
7)
Über
la
Variation
des
constantes
d'une integrale definie.
arbitraires
—
Legendres Theorem
Grunert Archiv Bd.
8)
7, p.
von
dem Eulerschen
348—353;
zweiter
Integral
Art.
1846.
Bemerkung zur Theorie des Integrallogarithmus.
5—8; 1847.
Grunert Archiv Bd. 9
p.
9)
10)
11)
Analytische Studien.
Leipzig 1848.
—
Über ein Paar Doppelintegrale. Grunert Archiv Bd. 11, p. 174 180; 1848.
Über eine transzendente Gleichung, welcher keine komplexe Zahl genügt.
Grunert Archiv Bd. 12, p. 293 297; 1848. Gegenbemerkung von Th. Claussen
in Grunert Archiv Bd. 13, p. 334—336; 1849.
Zur Theorie der Gammafunktion. Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 1,
p. 118—119; 1856.
—
12)
1
1
13)
Notiz über die Entwicklung des Integrals
Schrift für
Bd.
14)
2, p.
Math.
47—55;
u.
Physik Bd.
2, p.
fi
/
67—68;
1
I
'(i-t)
7
1857.
x
„
,
1
dt. Zeit-
Journal de Math.
(2)
1857.
Röduction d'une integrale multiple,
Journal de Math.
(2)
Bd.
2, p.
206
218; 1857.
15)
Über eine Eigenschaft gewisser Reihen. Zeitschrift für Math. u. Physik
3, p. 130—133; 1858.
Über Fakultätenreihen. Leipziger Berichte Bd. 11, p. 109—137; 1859. Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 4, p. 390—415; 1859.
Entwicklung einer neuen Reihe für die Gammafunktion. Zeitschrift für
Math. u. Physik Bd. 4, p. 431—434; 1859.
Bd.
16)
17)
—
317
LiterainirveizeichniB.
18)
19)
Über einige Integralformeln. Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 6, p. 205
209; 1861. Bd. 7, p. 202—264; 1862.
Über die Entwicklimg von Funktionen komplexer Variabein in FakultätenLeipziger Berichte Bd.
reihen.
20)
21)
22)
23)
24)
25)
ITj,
p. 58
— 62;
1863.
Über ein Paar durch Gammafunktionen ausdrückbare Integrale. Zeitschrift
für Math. u. Physik Bd. 9, p. 356; 1864.
Über die näherungsweise Berechnung der Permutationszahlen. Zeitschrift
für Math. u. Physik Bd. 10, p. 232—236; 1865.
Über eine Kettenbruchentwicklung für unvollständige Gammafunktionen.
Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 16, p. 261—262; 1871.
Einige Bemerkungen über den reziproken Wert der Gammafunktion. Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 25, p. 103—106: 1880.
Über den verallgemeinerten Taylorschen Satz. Leipziger Berichte Bd. 31,
p. 27—33; 1879; Zeitschrift für Math. u. Physik Bd. 25, p. 48— 53; 1880.
Über den Quotienten zweier Gammafunktionen. Zeitschrift für Math. u.
Physik Bd. 25, p. 351—352; 1880.
26) Kompendium der höheren Änalysis. Bd. 11. Braunschweig, Vieweg & Sohn.
Schmit: Inte'grales definies. Liege Man. Bd. 13, p. 289—327; 1858.
Schobloch, J. A.: Über Beta- und Gammafunktionen. Halle 1884.
Serret,
J.
A. (Alfred):
2)
1)
Note sur
Journal de Math. Bd.
espece.
7, p.
les
Note sur quelques formules de calcul
p.
1—22;
integrales
114—119;
Euleriennes de seconde
1842.
integral.
Journal de Math. Bd.
8,
1843.
3)
Sur quelques formules relatives ä la theorie des integrales Euleriennes.
4'
Journal de Math. Bd. 8, p. 489—494 1843.
Sur Ft-valuation approchee du produit 1 2
;
•
grand nombre
p.
662—666;
Shanks: On
et
sur
la
formule
de
•
3
Stirling.
.t
lorsque
x
est
un
tres-
Comptes rendus Bd. 50,
1860.
the
calculation
of the
numerical value
of Eulers
constant.
Proceedings of the Eoyai Soe. of London Bd. 15, p. 429—431; 1867. Bd. 16,
Bd. 18, p. 49; 1869. Bd. 20, p. 27—34;
pp. 154, 299—300; 1867—1868.
1872.
Sharpe, H.
.J.:
On
the
— 112;
Bd. 13, p. 111
de Sonin, N. J.:
function of a complexe variable.
Messenger
(2)
1883.
Note sur une formule de Gauß. Bull. Soc. Math, de
162—166; 1881.
Bemoullische Polynome und ihre Anwendungen. Warschatier TJniv.-Nachr.
France Bd.
2)
gamma
1888
1)
9, p.
('russisch
.
4)
Die Darstellung des Logarithmus und der Eulerschen Konstante dur<A
bestimmte Integrale. Warschau.er Univ.-Nachr. 1889 (russisch).
Über die kontinuierliche Funktion [x] und ihre Anwendungen. Warschauer
5)
Sur
3)
Univ.-Xachr. 1889 (russisch).
les
ceDe de
termes complementaires de la formule sommatoire d'Euler et de
Stirling.
Comptes rendus Bd. 108, p. 725 727: 1889. Annales de
—
l'Ecole yortuale (S) Bd.
Sonin und Hermite: Sur
Bd. 106,
p.
6, p.
les
133—156; 1896.
257—262; 1889.
polynomes de Bemoulli.
Journal für Math.
—
318
Literaturverzeichnis.
Stadigh,
V.: Ein Satz über Funktionen, die algebraische Diflferentialgleichungen
befriedigen.
Helsingfors 1902.
Diss.
Stekloff, W. A.
Interpolation
:
239—248; 1890 (russisch).
Stern, M. A. 1) Remarques sur
Bd. 21, p. 377—379; 1840.
einiger Produkte.
Charkotv Ges.
Bd.
(2)
1,
p.
:
2)
3)
les integrales Euleriennes.
Journal für Math.
Zur Theorie der Eulerschen Integrale. Göttinger Studien 1847.
Beweis eines Satzes von Legendre. Journal für Math. Bd. 67, p. 114
— 129;
1867.
1
Stieltjes, T.
J.:
Arch. Bd.
2)
1)
2, p.
sur
Normale
Bd.
Nieuw
u)du.
1886.
=
<x>
^ s~
Table des valeurs des sommes
Ännalcs de l'Ecole
semi-convergentes.
series
201—258;
s
3)
-\-
1878.
quelques
3, p.
over de integral / log r{x
"
100—104;
Recherches
(3)
En enander
.
Acta Mathematica
Bd. 10,
p.
299
Bd.
p.
425
«=i
302; 1887.
4)
Sur
däveloppement de log r{a).
le
Journal de Math.
(4)
5,
444; J889.
Stirling,
J.
Methodus
:
differentialis
Sturm, C: Deux th^oremes.
:
1701.
J.:
Teixeira,
Bd.
2)
Sur
Bd. 95,
1730.
Annales de Gergonne Bd.
Sylvester, J. J. Note on certain
p. 319—324; 1861.
Tannery,
14, p. 17
— 23;
Cowipics retirfus Bd. 94, p. 1698
p. 75; 1882.
F. G.: 1) Extrait d'une Lettre ä
M. Rouche.
Nouvelles Annales
Sobre representa^uo da funyäo log Fix) por an integral definido.
deTilly,
somme
(3)
312—317; 1891.
10, p.
mat. Bd.
1824.
Qiiurterly JioMrwaZ Bd. 4,
definite Integrals.
int%rales Euleriennes.
les
de summatione et inter-
sive tractatus
London
polatione serierum infinitarum.
1, p.
A.:
1)
185—187;
Note sur
la formule
qui donne, en serie convergente, la
des logarithmes hyperboliques des x
—
1
premiers nombres entiers.
Bd. 35, p. 30—40; 1873.
2) Sur la gdn^ralisation de la formule de Binet. Bull, de Belgique
Bull, de Belgique
67—70; 1874.
T schebytscheff, P.
Progreso
1891.
(2)
(2)
Bd. 38,
p.
Note sur une classe d'integrales definies multiples.
8, p. 235—238; 1843.
Walton: On Interpolation with reference to developpement and diflferentiation.
:
Journal de Math. Bd.
Quarterly Journal Bd.
Weddle: On
Weierstraß,
the funetion
7,
p. 212;
r{x
+
1).
1866.
Bd.
8, p.
Mathem. Bd.
52— 65;
1, p.
1867.
143—146;
1845.
Über die Theorie der analytischen Fakultäten. Journal
für Math. Bd. 51, p. 1 60; 1856. Abhandlungen aus der Funktionenlehre
Werke Bd. I, p. 153—211.
p. 181—262.
Weyr, E.: 1) Über die Summation gevsrisser unendlicher Reihen. Casopis Bd. 21,
p. 161—180; 1892 (böhmisch).
Auswertung von unendlichen Faktorehfolgen mit Hilfe von F.
2) Über
K.:
—
Ccisopis Bd. 22; 1893 (böhmisch).
319
Literaturrerzeichnis.
6.: Einfache Herleitung der Ganßschen Ausdrücke für r(x). Gninert
Archiv Bd. 30, p. 441; 1858. XouveJles Ännales Bd. 18: 1859.
Zinin, N.: Die Funktion T und die Funktion ß. Warschauer Univ.-Nachr.
Zehfuß,
1884
(russisch).
B.
Blasernaj
Bend.
P.
Hicks, W. M.
Accad. dei Lincei Borna
Sul problema ottico degli anfiteatri.
:
271—283; 1895.
On the 'motion of two crlinders
Bd.
(5)
Physikalische Anwendungen.
:
4, p.
in
a
fluid.
Bep. British.
Assoc. 1878.
Note on the application of the gamma fonction to an electroPhß. Magazine (5) Bd. 46, p. 254—258; 1898.
Kirchhoff, 6.: Über die Verbreitung der Elektrizität auf zwei leitenden
Kugebi. Journal für Math. Bd. 59, p. 89—110; 1861.
Jude, R. H.
:
statical problem.
Terallgemeinernngen and Analogien.
C.
Alexejeffsky, W.
l'i
Über die Funktionen, welche den Gammafunktionen
Charkow Ges. (2) Bd. 1, p. 169—238: 1890 TussiBch).
2) Über eine Klasse von Funktionen, welche der Gammafunktion ähnlich
sind.
Leipziger Berichte Bd. 46, p. 268—275: 1894.
Appell, P.: 1; Sur une classe de fonctions analogues aux fonetions Eul^riennes
etudiees par M. Heine. Comptes rendus Bd. 89, p. 841
844; 1879.
2) Sur une classe de fonctions qui se rattachent aux fonctions de M. Heine.
Comptes rendus Bd. 89, p. 1031—1032; 1879.
Math.
3) Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions Euleriennes.
Annalen Bd. 19, p. 84—102 1881.
Barnes, E. W.: 1) The theory of the G-function. QuarterJy Journal Bd. 31,
p. 264—314; 1899.
:
ähnlich sind.
—
;
2)
The theory of the double gamma
Bd. 31, p.
p.
358— 381;
265—266; 1900. London
Ci'ani, Y.: Sopra una
classe
Giorn. di mat. Bd. 29, p.
Glaisher,
J.
W.
L.
:
1)
On
London Math. Soc. Proceedings
London Proceedings Bd. 66,
Transactions Bd. 196 A, p. 265—387: 1901.
function.
Boyal
1899.
Phil.
di
Soc.
fonzioni
68—86;
of
analoghe
alle
fanzioni
euleriane.
1891.
the function that Stands in the same relation to
Bemoullian numbers that the gammafnnction does to the
factorials.
Bep.
Brit. Assoc. 1872.
2)
On
3)
Products
the product 1»
Bd. 27, p.
Holder,
p.
•
2*
-
3^
-
n".
Messenger
(2)
Bd.
7, p.
and series involving prüne numbers only.
270—337. 1894. Bd. 28, p. 97—174; 1895.
0.: fT)er eine transzendente Funktion.
43—47;
Göttinger Nachrichten 1886,
514—522.
Einkelin,
H.: 1; Untersuchung über die
nF{nx)
Formel
= fix)^f(x-\-^^...-\-f{x +
Grunert Archiv Bd. 22,
p.
189—224; 1854.
1877.
^uarterly Journal
''^^
•
—
320
2)
Literaturverzeichnis.
Über eine mit der Gammafunktion verwandte Funktion und deren An-
wendung auf
die Integralrechnung.
Journal für Math. Bd. 57,
p.
122—
138; 1860.
Mellin, H.
Om
:
beslägtade
en ny klass af transcendenta funktioner, hvilka
med gammafunktionen.
Acta
Soc.
Fcnnicae Bd.
äro
14, p.
nära
353
385; 1885.
Nielsen, N.
:
Om
Pincherle,
S.:
den Prymske Funktion P{x).
73—77, 1900.
visse Generalisationer af
Tidssh-ift for Math. Bd.
IIB,
p.
Sur une generalisation des
fonctions
Euleriennes.
265—268; 1888.
Schlömilch, 0.: Über eine Verwandte der Gammafunktion.
Math. u. Physik Bd. 25, p. 335—342; 1880.
rendus Bd. 106,
Nyt
Comptes
p.
Zeitschrift für
Alphabetisches Register.
Autorennamen
in
plikationsformel
„Funktion" findet
Verbindungen wie z. B. Eulersche Integrale, Gaußsche MultiUnter
werden hier im Register nicht für sich zitiert.
man
die spezielleren Fainktionen aufgezeichnet, welche
im
Buche vorkommen.
Abel, N. H.
Binomialkoeffizient€nrei-
5. 21. 90. 128.
hen füreineFakultäten-
162. 163. 172.
Adams,
J. C.
9.
174.
Degen,
— —
A8ymptotischeReihen208.
konjugierte Funk-
107. 108. 109. 110. 111.
112. 261. 262. 263. 264.
Null 127.
für eine Fakultäten-
1
:
X
265. 279. 280.
—
130.
reihe 274. 276. 279. 280.
ßix) 169.
281.
log r{x
ß{x) 291.292.293.
+
Q^{x) 26.
.tt(x)208.294. 295.
Björling, C. E. G. 89.
v{x) 208.295.296.
Binet, J.
14.
15.
für P^{x) 26.
y) 187.
9r(ic)-|-Cl71.230.
43.
r{x)
3. 10. 11.
86.88.91.134.175.176.
W{x)~W{x—y)
182. 187. 188. 208. 284.
H !x) 93. 95.
v{x\ 93. 95.
286. 288.
P\x, y) 24.
ßachmann, P.
145. 146.
W.
Barnes, E.
163.
89.
Differenzenrechnung
Bourguet, L. 28. 34. 36.
Bemoullische Ftmktionen
41. 42. 101. 178.
292. 293. 294. 295.
Zahlen 46.
Callandreau, 0. 150.
73. 75. 76.
Cantor, M. 59.
292. 294. 295. 297. 325.
Catalan, E. 59. 98. 168. 179.
Cauchy, A. L.
J. 89.
Besgue 140.
Besael, F.
Betafimktion,
s.
B{x,
18. 55. 71.
155. 156. 158. 160.
101.
1.52.
y).
172. 173. 221. 242. 252.
Bigler, U. 138. 142.
Dini,
U.
125.
128.
131.
Diophantische
Gleichun-
gen 270.
Dirichlet, P. G. Lejeune 5.
18.
148. 149. 157. 167.
168. 184. 185.
266.
Cayley, A. 71. 77. 156. 165.
Binomialkoeffizientenrei1-24.
126. 190. 191. 192. 193.
190. 227. 240. 242.
88. 142. 145. 146. 151.
W. 8.40.67.
27.
71. 122. 123. 124. 125.
299.
77. 206. 207. 208. 285.
Bertrand,
9f(x)15.16.20.110.
173. 175.
Bonnet, 0. 92.
Bauer, G. 54.
hen
16.
Ö(x,y)24.
85.
Blasema, P. 17.
Boncompagni, B. 152.162.
—
101. 111.
|3(ar)
191.
X{x) 297.
293. 294.
4.
30. 103. 104. 105. 106.
tionen 248.
184.
C. F. 209.
Differenzengleichungen
reihe 247.
46.
Appell, P. 59. 62. 65. 150.
Arndt, F. 171.
i
125. 126. 127.
225. 226. 227. 228. 229.
Claussen, Th. 81. 102.
Ellipsoide 168.
Grelle, A. L. 18. 67.
Elliptische Integrale 136.
238. 325.
137. 138. 201.
j
Nielsen, Theorie der Gammafunktiou.
21
322
Alphabetisches Register.
Eneström, G.
325.
8.
Enneper, A. 92.
Euler, L.
15.
12. 13. 14.
7. 8.
47. 59. 94.
39.
18.
128. 130. 131. 132. 133.
134. 135. 136. 137. 140.
145. 146. 148. 149. 151.
152. 153. 155. 169. 170.
172. 180. 183. 187. 189.
202. 226. 325.
— sches
Art.
Integral
131.
erster
übrigens
s.
B{x,y).
— —
B.
zweiter
142.
Art.
übrigens r(x).
— sehe
Konstante
21. 22.
((7)
7.
15. 16. 20.
12.
8. 9. 11.
23. 29. 30. 37.
39. 42. 51.
53. 54.
52.
91.
85.
60. 62. 63. 65.
99. 170. 174. 177. 179.
183. 185. 193. 194. 195.
200. 201. 203. 204. 231.
232. 233. 325.
—
—
Summenformel
182.
8.
Zahlen 291.
Fakultäten
66. 67. 68. 70.
79. 80. 82.
8.
übrigens
Fakultätenreihen.
— koeffizienten.
s.
Stir-
lingsche Zahlen.
— reihen
67.
83. 89. 229
—
für
«ß(a;)
77. 78. 81.
ff.
215. 240.
a{x) 246. 257.
(«(«))* 256.
a{x)
ß(x) 255.
Genre von
1
^„(a;) 211.
323
Integraldarstellungen für
Konvergenzbereich einer
a
Gilbert, Ph. 92. 178. 201.
— —
209.
Glaisher,
W.
J.
Fakultätenreihe
Q^x) 210. 211.
r^x) 13.
:
Alphabetisches ßegisteiu
:
— — Binomialkoeffizien-
log sin 3tx 170.
—
L. 9. 89.
log tg
tenreihe 126. 325.
136.
Kramp
92. 138.
Godefiroy,
M.
Goldbach 47. 59.
sehe Reihe 58. 59.
Graf, J. H. 138. 141.
230. 231. 232.
Gram, J. P.
Gudermann,
141.
—
64.
284.
(ß(x)y 195. 255.
Kronecker, L. 130.
ß
Kummer,
134.
133.
X. y.
Bix,y)B{x,z)2W.
C. 88.
J.
211. 231.
Lacroix. S. F.
r(x) H2. 145.146.
173.
201.
j
r(x) 148.
Heine, E. 148. 201.
1
Hermite, Ch. 27. 89. 100.
log r{x) 186. 187.
:
j
101. 177. 187. 205. 213.
I
17.
Hocever
ij(x) 195.
131. 132. 134. 138. 152.
(i(x) 176. 177. 178.
156. 163. 169. 170. 172.
182. 185. 187. 188. 216.
179. 180. 181. 182. 205.
28.
——
Holder, 0. 103 ff.
Hoppe, R. 40.
Hypergeometrische Ftink-
de Laplace, P. S. 145. 156.
Lebesgue 171.
Legendre, A. M. 13. 15. 17.
18. 19. 27. 28. 39. 40. 81.
188. 196. 198.
214. 215. 296.
Hicks
8. 18.
Landau, E. 40. 325. 326.
Landsberg, E. 201. 208.
187. 188.
Hankel, H. 148. 158.
Hardy
E. E. 156. 157.
161. 162. 198. 201.
logB(x,y) 169.170.
Hadamard,
66. 284.
— scheTranszendente 283.
ß(x) 169. 180. 181.
24.
245.
257. 326.
sin ;rx 135. 169.
217.
v{x) 175. 177. 178.
179. 180. 181. 182. 183.
Lemniskate 137. 168.
205.
Lerch, M. 24. 89. 92. 118.
j
205. 326.
tion 56. 57. 62. 131. 150.
|(x) 194.
162. 217. 288. 289. 290.
Ii(a;)195.
Limbourg, H. 208.
t, (x) 195.-
Lindelöf, E. 227.
Integraldarstellungen für
logn: 169.170.179.
Lindhagen, A. 27.
Arctangens 130. 140.
<P(x) 192. 298. 299.
Binomialkoeffizien-
ten 135. 141. 161. 227.
— —
die Eulersche
Kon-
Lindman,
C. F. 173. 174.
W(x)
LiouviUe,
J. 5. 63. 92. 145.
170. 172. 173.
(^^(x)
+
Cj- 194.
Integrallogarithmus
185.
——
X(x) 192.
174. 183. 184. 185. 232.
stante 173. 174. 179. l8o.
Fakoltäten-
eine
30. 210.
211.
29.
156. 160. 165. 167.
Lipschitz, R. 208.
Lobatscheffsky, X.
J.
133.
156. 157. 163.
150. 284. 326.
reihe 240.
— —
den Logarithmus
121. 128. 129. 130. 175.
186. 230. 232. 233.
g„^x; 135.142. 144.
Jacobi, C. G.
J.
132.
Jeffery,
H. M. 41.
Jensen,
J.
L.
W. V.
148.
formel
20. 30.
61. 88. 92. 245. 277.
Jude, H. 17.
^(a;) 215.
— —
——
KettenbruchfiarP^(x)218.
a(x) 246.
.ai,x.»)*
256.
a{x)ß(x) 255.
n
cot
F(a,
XX
170.
§, 7, X) 162.
P^(x) 143. 209.
Qa'<^) 217. 219.
Kirchhoff, G. 17.
Knar,
J. 19.
Konjugierte
247. 248.
Maclaurinsche
40.
Fujiktionen
s.
Malmsten,
Summen-
Eulersche.
C. J. 89. 173.
187. 208.
Mascherom 8. 9.
Maxima für r(x)
101.
MeUin, Hj 30. 63. 65. 84.98.
.
208. 210. 214. 215. 219.
222. 223. 224. 225. 228.
UmkehrproMeUinsche
bleme 222. 224.
21*
324
Alphabetisches Register.
Meyer, G. F. 157. 158.
Meyer, ü. 74.
Reihenentwicklung für die
Minima
Eulersche Konstante
für r(x) 101.
173. 185. 201. 218. 268.
283. 284. 285. 289.
8.
85.
Schobloch,
A. 198.
J.
Müller 67.
^(x) 215. 216.
Multiplikationsformel für
a{x) 246. 257.
Serret, J. A. 92.
P„(a;) 25. 28.41.246.
sgn. 130.
X
sin
18. 201.
ß{x) 19.
Schröder
Q^{x) 4:1.211. 213.
r(Ä;)18. 19.87. 134.
214. 215. 284. 326.
136. 137. 138. 196. 198.
201. 326.
ß{x)
83. 246. 257. 271. 272.
'Z^(a;)17.52.171.184.
Shanks,
W.
Soldner,
J. 8.
9.
de Sonin, N.
37. 38. 81.
8.
74.
J. 18.
'«-j-l
M. A.
Stern,
44.
2
Newman,
F. 12.
9.
2
Nullstellen
für P(x)
34.
Stirling, J. 17. 66. 67. 68.
70.
r{x-\-
r(x) 41.
^a(«) 36. 211. 212.
log r(a;-f- 1)38.201.
@(x,y)
99. 100. 101.
Ohm,
9. 67.
— sehe Formel 92.
— Polynome 72. 73.
23. 86.
Petersen,
75.
174. 286.
67.
J.
J. 5. 8.
182. 183.
§1 (x) 52.
Pincherle, S. 96. 97. 127.
ij(a;)53.
325. 326.
^{x) 192.
J.
W{x)
187. 196. 198.
Pochhammer,
Poincare',
H. 208. 274.
Poisson,
S.
17.
4.
5.
zweiter Art. 68. 69.
41. 42.
Sylvester,
43.
47. 48.
205. 206.
für
44. 45. 46.
49. 50. 51.
ß, y, 1) 62.
52.
290. 291.
Tannery,
12. 13. 19. 98.
Saalschütz, L. 142.
J.
^{x)
171. 182. 208.
Vandermonde
Scheefer, L. 27.
F. 27.
Scheibner,
J.
67. 89. 92. 203.
— sehe Formel88.89.203.
Radicke, A. 285.
W.
Wallis,
43.
sin
%x
204.
66.
J. 14.
Weierstraß,K.
Schläfli, L. 71. 148. 201.
Winckler, A. 163. 326.
\
V.
12.67.148.
Zeipel 71.
Zylinderfunktionen
|
144. 150. 161. 165. 171.
3.
1
41. 42, 69. 71. 78. 102.
5.
Reihe
Schenkel, L. 101.
Schlömilch, 0. 12. 13. 27.
C. 162.
Rausenberger, 0.
219. 284.
für log r{x) 201.
Schaar,
132.
J.
Trigonometrische
211.
B{x,y) 132.
r{x)
J. J. 75.
Tangen tenko effizienten
Riemannsche ^-Funktion
11. 14.
F{a,
Ramus,
88.
37. 38. 39. 40.
8.
Pringsheim, A. 144. 145.
Raabe,
85.
70.71.72.74.76.77.273.
Stolz,0.119. 149. 184. 185.
Reziproke Potenzsummen
132.
Produktdarstellung
Prym,
70. 71. 72. 74.
78. 84.
211.
D.
145. 152. 156. 182. 299.
^n(x)
325.
282. 283. 285. 294. 325.
37. 38. 54.
8.
288,.
74.
285.
247. 276. 277. 278. 279.
y) 23. 86.
204.
L. 148.
69.
76. 77.
P{x,
257.
77.
Reihe 208. 209. 295.
Zahlen erster Art 67.
68.
233.
219. 220. 225. 245. 246.
Plana,
—
—
|(a;) 52.
Picard, E. 242.
76.
286. 287.
v{x) 85.90.91. 101.
174. 178. 286.
299.
83.
272. 273. 276. 277. 278.
[i(x) 87. 88. 90. 91.
Öttinger, L.
82.
286. 288. 294.
nix) 53. 233. 234.
r^^^ix) 101.
78. 81.
92. 125. 208. 256. 261.
ß{x) 101. 102.
:
77.
1) 40.
1
W{x)
•178. 209. 296. 298.
I)
38. 39
35. 36.
,
Stieltjes, T. J. 39. 89. 95.
'x-j-1
logB('
Nicole 325
89. 171. 188.
189.
139.
Nicolai, F. B. G.
208. 296.
Stadigh, V. 111.
326.
150.
Noten.
Seite
Euler hat
6.
culi
C
seinen Annäherungswert für
diff'erentialis
p.
auch in Instiiutiones
cal-
444 publiziert: über seine noch früheren Veröffent-
lichungen dieses Wertes vergleiche
man
Eneström
G.
in
Bibliotheca
Alathematica 1905.
Die Formel
Seite 77.
•6')
muß
<*=l
lauten.
Die Formeln des § 30 sind schon von Xicole in Memoiren de VAcademie de Paris 1727, p. 361 ff. publiziert worden.
Seite 116. In seiner schönen Abhandlung Sur les fanctions determinantes^) hat
1
Pincherle bewiesen, daß das bestinunte
=
X
c konvergiert,
muß, wenn 3t (a*)
^{ccj
88 für
Integral / (p{t)t'~
für jeden endlichen
^
vorausgesetzt wird.
dt, falls
Wert von x konvergieren
Pincherle setzt voraus,
cp{tj im Intervalle
<[ <<C 1 endlich imd kontinuierlich ist. Landau
hat mir brieflich einen einfachen Beweis für diesen Konvergenzsatz mit-
daß
geteilt, in
X
=a
Seite 120.
dem
er
nur voraussetzt, daß das obengenannte Integral für
einen Sinn hat.
Die Formel
(8)
muß
Ht)=ymg{t-z)dz
lauten.
Landau hat mir brieflich einen Beweis dafür mitgeteilt, daß der
Konvergeuzbereich einer Binomialkoeffizientenreihe der endliche Teil einer
Halbebene ist, welche rechts von einer gewissen geraden, auf der
Seite 126.
Achse der reellen Zahlen senkrecht stehenden Linie Hegt. Es sei nun
1' unbedingt
A konvergent und für 91 (a:)
unsere Reihe für 9t(x)
-j- 1.
konvergent; dann ist immer x' <^
>
>
/,
Seite 127.
Pincherle hat
die
reihe
entwickelt
werden
zu
und
notwendige
welcher eine Funktion genügen muß,
können,
um
in
hinreichende
Bedingung,
in eine Binomialkoeffizienten-
obengenannten Arbeit*)
der
publiziert.
1)
Annales de l'Ecole Normale
2) loc. cit. p. 65.
(3)
Bd. 22, p.
9—68
;
1905; vergleiche p. 13 ff.
Noten.
326
Die
bestimmten Integrale, welche als Spezialfälle
den Integrallogarithmus enthalten, sind sehr
kompliziert. Dagegen habe ich in einer Arbeit, welche demnächst in
Monatshefte für Math. u. Physik erscheint, bewiesen, daß die Funktion
v), als Funktion von x betrachtet, in gewissen Tntegralgattungen
^^(1
Seite 150.
allgemeinen
Zylinderfunktionen
oder
—
wie e~^ spielt.
Das verallgemeinerte Gaußsche Multiplikationstheorem ist früher
von A. Winckler in der Abhandlung Neue Theoreme zur Lehre von den
bestimmten Integralen, Wiener Berichte 1856, publiziert worden.
eine ähnliche Rolle
Seite 197.
Seite 213.
Lerch
')
hat neuerdings andere Reihenentwicklungen für die Funktion
Q(^{x) mitgeteilt.
Über Fakultätenreihen vergleiche man auch
Abhandlung von Pincherle.^)
Seite 237.
Seite 245.
die obengenannte schöne
Die Konvergenzbereiche einer Fakultätenreihe hat
Landau, nach
einer brieflichen Mitteilung, auch ganz elementar hergeleitet.
1)
Journal für Mathematik, Bd. 130, p. 47—65; 1905.
2) loc. cit. p. 50.
8
64
V 3
RETURN
Astronomy/Mothematics/Stotistics/Computer Science Library
TO«^
100 Evans Hall
642-3381
LOAN PERIOD
1A DAY<;
S?^
.r
ALL
BOOKS MAY
BE RECALLED AFTER 7
DAYS
^-^
i
DUE AS STAMPED BELOW
%.
14
<J>..
DAYS
^EP
w\afi
A^^
Cec'd
m
1994
7^'
APR
^^
m^
1
UCB
APR
A/M/S
7 1997
N
^"
V
«^
V
.-^
FORM NO. DD
3,
13 m, 6'76
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY
BERKELEY, CA 94720
/
[
r''~
/^ \ y
;g«6&
\