Mathematik macht Freu(n)de Trigonometrie, I KOMPETENZHEFT

Mathematik macht Freu(n)de
Trigonometrie, I
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I
1. Aufgabenstellungen
Aufgabe 1.1. Erkläre, warum die beiden dargestellten Dreiecke ähnlich zueinander sind und berechne die fehlenden Seitenlängen x und y.
x
β
β
28
14
11
10
α
α
y
Aufgabe 1.2. Um die Breite von schmalen Fugen zu messen, kann ein Messkeil verwendet werden:
10 mm
42 mm
250 mm
Berechne die Breite der abgebildeten Fuge.
Aufgabe 1.3.
sin(α) =
sin(β) =
sin(γ) =
sin(δ) =
cos(α) =
cos(β) =
cos(γ) =
cos(δ) =
tan(α) =
tan(β) =
tan(γ) =
tan(δ) =
γ
δ
z
y
h
α
β
·
w
x
Datum: 20. April 2017.
1
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Aufgabe 1.4. Vom dargestellten Dreieck sind a = 7 cm und b = 4 cm bekannt.
Berechne die Länge von c und hc , die Winkel α und β sowie den Flächeninhalt A.
Aufgabe 1.5. Vom dargestellten Dreieck sind α = 65◦ und hc = 22 m bekannt.
Berechne die Länge von a, b und c, den Winkel β sowie den Flächeninhalt A.
Aufgabe 1.6. Vom dargestellten Dreieck sind die Längen der Seiten x und y bekannt. Gib eine
Formel zur Berechnung des Winkels β an.
β=
Aufgabe 1.7.
Ein Tennisspieler trifft beim Aufschlag den Ball
in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über
der Mitte der Grundlinie. Er visiert den Punkt
B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins
Netz zu gehen, muss der Ball das Netz in einer
Höhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden)
überqueren.
2
3
1.1 Die beiden Dreiecke haben zwei gemeinsame Winkel, daher muss auch der dritte Winkel in beiden Dreiecken übereinstimmen (γ = 180◦ − α − β). Die Seitenlängen betragen x = 5 und y = 22.
1.2 1,68 mm
h
x
w
h
1.3 sin(α) = , sin(β) = , sin(γ) = , sin(δ) =
z
y
y
z
w
x
h
h
cos(α) = , cos(β) = , cos(γ) = , cos(δ) =
z
y
y
z
h
h
x
w
tan(α) = , tan(β) = , tan(γ) = , tan(δ) =
w
x
h
h
1.4 c = 8,062... cm, hc = 3,472... cm, α = 60,25...◦ , β = 29,74...◦ , A = 14 cm2
1.5 a = 52,05...m, b = 24,27... m, c = 57,43... m, β = 25◦ , A = 631,8... m2
x
1.6 β = arccos
y
1.7 Beim Netz hat der Ball eine Höhe von rund 0,80 m. Der Ball landet also im Netz.
1.8 P B = 52,47 m
Berechnen Sie, um wie viel Meter man sich dem Stadtturm entlang der Strecke P F nähern muss,
damit dieser unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist.
Aufgabe 1.8.
Von einer neuen Parkanlage sieht man die Spitze des 51 m hohen Stadtturms
unter dem Höhenwinkel α = 38,2◦ .
Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.
Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann modellhaft mittels einer Gerade beschrieben
werden.
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2. Ähnlichkeit von Dreiecken
=
=
Zwei parallele Geraden werden von einer dritten Gerade geschnitten:
α
Der gleiche Winkel α kommt noch drei Mal in der Skizze vor. Zeichne diese Winkel ein. Derartige
Winkel nennen wir Parallelwinkel oder Z-Winkel.
Erkläre anhand der Skizze, warum die Winkelsumme in jedem Dreieck 180◦ beträgt.
Konstruiere ein Dreieck mit Winkeln α = 40◦ und β = 60◦ .
Begründe, warum die Lösung nicht eindeutig ist.
Ist der dritte Winkel γ in jeder Lösung gleich groß?
Zwei Dreiecke heißen zueinander ähnlich, wenn sie dieselben Winkel haben:
Schreibweise: ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
4
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C0
γ
C
a0
b0
γ
a
b
A
α
β
c
α
B
A
β
0
c0
B0
Zwei verschiedene Dreiecke enthalten beide die Winkel α und β.
Erkläre, warum die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sein müssen.
Beispiel 2.1. Miss die Seitenlängen der beiden oben dargestellten Dreiecke ab.
a=
a0 =
b=
b0 =
c=
c0 =
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Seitenlängen erkennen?
Das ist kein Zufall! Tatsächlich kann man beweisen, dass in ähnlichen Dreiecken die entsprechenden
Seitenlängen im selben Verhältnis zueinander stehen:
b0
c0
a0
= = = k (= 2 im obigen Beispiel)
a
b
c
Ein geometrischer Beweis dafür befindet sich in Abschnitt 5.
Zusammengefasst: In ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel gleich groß, während die
entsprechenden Seitenlängen um den gleichen Faktor k gestreckt (k > 1) oder gestaucht (k < 1)
werden. Sind die entsprechenden Seitenlängen gleich lang (k = 1), nennt man die Dreiecke nicht nur
ähnlich, sondern auch kongruent.
(1)
5
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Beispiel 2.2. Die beiden dargestellten Dreiecke sind ähnlich zueinander:
13
3
·
12
5
b
a
·
Berechne die fehlenden Seitenlängen a und b.
Lösung. Anhand der Winkel finden wir die einander entsprechenden Seiten (markiere sie mit drei
unterschiedlichen Farben):
5↔3
12 ↔ a
13 ↔ b
Wir berechnen die fehlenden Seitenlängen:
a
3
3
=
=⇒ a = 12 · = 7,2
5
12
5
3
b
3
=
=⇒ b = 13 · = 7,8
5
13
5
Beachte beim Aufstellen der Gleichung, dass die im Zähler stehenden Seiten stets aus dem gleichen
Dreieck stammen, und im Nenner stets die dazu entsprechenden Seiten aus dem anderen Dreieck
stehen.
Wir formen die erste Gleichung in (1) folgendermaßen um:
a0
b0
a0
a
=
⇐⇒ a0 · b = b0 · a ⇐⇒ 0 =
a
b
b
b
Beschreibe anhand der Skizze, was die in ähnlichen Dreiecken geltende Gleichung
a0
a
=
0
b
b
a0
b0
a
b
c
aussagt. Gib weitere Beispiele solcher Gleichungen an.
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c0
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3. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
Betrachte die folgenden rechtwinkligen Dreiecke:
·
b0
·
b
a0
a
α
α
c
c0
Erkläre, warum das Verhältnis von je zwei Seitenlängen im kleinen Dreieck gleich groß wie das
Verhältnis der beiden entsprechenden Seitenlängen im großen Dreieck ist, z.B.:
a
a0
= 0,
c
c
b0
b
= 0,
c
c
a0
a
= 0.
b
b
Das Verhältnis zweier Seiten hängt also nur davon ab, wie groß der Winkel α ist, aber nicht davon,
wie groß man das rechtwinklige Dreieck zeichnet. Kennt man den Winkel α, kann man die zugehöa b
a
rigen Seitenverhältnisse , und durch eine Konstruktion näherungsweise, aber auch rechnerisch
c c
b
beliebig genau bestimmen.
Derartige Übersetzungstabellen gab es bereits vor ca. 2000 Jahren1. Heutzutage benötigen wir keine
Tabellenbücher mehr, am Taschenrechner stehen dafür die drei Winkelfunktionen Sinus sin , Cosinus
cos und Tangens tan zur Verfügung. Je nachdem welches Seitenverhältnis man bestimmen möchte,
ist eine andere Winkelfunktion notwendig:
Im rechtwinkligen Dreieck haben die drei Seiten spezielle Bezeichnungen. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Um
auch die Katheten unterscheiden zu können, erhalten diese die Bezeichnungen Gegenkathete und
Ankathete:
·
b
Kathete a liegt gegenüber von α
=⇒ „Gegenkathete von α“
a
α
β
c
Kathete b liegt am Winkel α an
=⇒ „Ankathete von α“
Beachte, dass es im rechtwinkligen Dreieck nicht die Gegenkathete und die Ankathete gibt, sondern
dass die Bezeichnungen vom Winkel abhängen, von dem aus die Seiten betrachtet werden.
1
Sehnentafel des Ptolemäus [3]
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Erkläre, welche Seite im obigen Dreieck die Gegenkathete von β und welche die Ankathete von
β ist.
i) Die Winkelfunktion Sinus übersetzt jeden Winkel in das zugehörige Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:
Gegenkathete von α
Hypotenuse
Sinus
Winkel α
= sin(α)
Sprechweise: „Sinus von α“
ii) Die Winkelfunktion Cosinus übersetzt jeden Winkel in das zugehörige Seitenverhältnis von
Ankathete zu Hypotenuse:
Ankathete von α
Hypotenuse
Cosinus
Winkel α
= cos(α)
Sprechweise: „Cosinus von α“
iii) Die Winkelfunktion Tangens übersetzt jeden Winkel in das zugehörige Seitenverhältnis von
Gegenkathete zu Ankathete:
Gegenkathete von α
Ankathete von α
Tangens
Winkel α
= tan(α)
Sprechweise: „Tangens von α“
Zusammengefasst gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck die folgenden Gleichungen:
·
b
a
α
a
sin(α) = ,
c
b
cos(α) = ,
c
a
tan(α) = .
b
β
c
Beispiel 3.1. Im oben dargestellten rechtwinkligen Dreieck sind der Winkel α = 35◦ sowie die
Seitenlänge a = 4 cm bekannt. Berechne die Länge der beiden anderen Seiten.
Erkläre zunächst, warum diese Angaben ausreichen, um die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks
eindeutig festzulegen. Wie würdest du das Dreieck konstruieren?
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Lösung. Aus Sicht des Winkels α ist a die Gegenkathete. Das Seitenverhältnis der Gegenkathete a
zur Hypotenuse c kann mit Hilfe der Sinusfunktion bestimmt werden:
a
sin(α) =
c
c · sin(α) = a
c=
a
4 cm
=
≈ 6,97 cm
sin(α)
sin(35◦ )
Erkläre, warum jede der folgenden drei Möglichkeiten, um die Seitenlänge b zu berechnen, korrekt
ist:
√
a
b = c 2 − a2 ,
b = c · cos(α),
b=
tan(α)
Erkläre, warum
sin(α)
= tan(α) gilt.
cos(α)
Überprüfe mit dem Taschenrechner folgende Werte der Winkelfunktionen:
√
√
1
1
3
3
◦
◦
◦
sin(30 ) = , sin(60 ) =
, cos(30 ) =
, cos(60◦ ) =
2
2
2
2
Erkläre anhand des nebenstehenden gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 2, warum kein Taschenrechner zur Berechnung der Werte
notwendig gewesen wäre.
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Wir haben gesehen, dass sin(30◦ ) = cos(60◦ ) und sin(60◦ ) = cos(30◦ ) gilt.
Erkläre, anhand des folgenden Dreiecks, warum allgemein sin(α) = cos(90◦ − α) gilt:
·
b
a
Wie groß ist der dritte Winkel?
α
c
1
Erkläre, warum sin(45◦ ) = cos(45◦ ) = √ gilt.
2
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Von einem Kreis mit Radius 1 („Einheitskreis“)
zeichnen wir nur ein Viertel und wählen am
Kreisbogen einen Punkt P .
Ausgehend von P konstruieren wir ein rechtwinkliges Dreieck: Die Hypotenuse ist die Strecke
von P zum Kreismittelpunkt, die Katheten werden senkrecht und waagrecht wie nebenstehend
eingezeichnet.
i) Erkläre, warum die Länge der senkrechten Kathete stets sin(α) beträgt, unabhängig davon
wo am Kreisbogen der Punkt P gewählt wird.
ii) Erkläre, welchen Einfluss die Position von P auf den Winkel α hat.
Wie groß bzw. klein kann der Winkel α sein?
iii) Erkläre, welchen Einfluss die Position von P auf die Länge der senkrechten Kathete – also
sin(α) – hat. Wie lang bzw. kurz kann die senkrechte Kathete sein?
iv) Erkläre, warum sin2 (α) + cos2 (α) = 1 gilt.
sin2 (α) ist die Kurzschreibweise für sin(α) · sin(α)
Wir haben gesehen, dass es für jeden Winkel α zwischen 0◦ und 90◦ genau einen zugehörigen Sinuswert
sin(α) zwischen 0 und 1 gibt. Umgekehrt können wir für jede Zahl zwischen 0 und 1 genau einen
Winkel zwischen 0◦ und 90◦ angeben, dessen Sinuswert die gegebene Zahl ist. Diese umgekehrte
Zuordnungsaufgabe übernimmt die sogenannte inverse Winkelfunktion Arcussinus:
sin(α) =
1
2
Arcussinus
α = arcsin
1
2
Sprechweise: „Arcussinus von 21 “
= 30◦
Die zugehörige Funktion am Taschenrechner ist sin−1 und kann über 2nd sin erreicht werden.
Auch für Cosinus und Tangens existieren analog die Umkehrfunktionen Arcuscosinus und Arcustangens.
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Beispiel 3.2. Im folgenden rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenlängen b = 4 cm und c = 5 cm
bekannt. Berechne die Winkel α und β.
·
b
a
α
β
c
Erkläre zunächst, warum diese Angaben ausreichen, um die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks
eindeutig festzulegen. Wie würdest du das Dreieck konstruieren?
Lösung. Aus Sicht des Winkels α ist b die Ankathete und c die Hypotenuse. Daher gilt
cos(α) =
b
c
b
α = arccos
c
!
≈ 36,87◦
Erkläre, warum die folgenden Möglichkeiten β zu berechnen beide korrekt sind:
◦
β = 90 − α,
b
β = arcsin
c
!
4. Skizzen im Sand
Der Legende nach wurde der griechische Mathematiker Archimedes 212 v. Chr. während der Eroberung von Syrakus im zweiten punischen Krieg getötet: Archimedes war gerade dabei mathematische
Skizzen im Sand zu studieren, als er von einem römischen Soldaten unterbrochen wurde. Angeblich
soll er zum Soldaten genervt gesagt haben:
„Störe meine Kreise nicht!“
Es waren der Legende nach seine letzten Worte. . . [2]
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Im Folgenden sind Formeln und Lehrsätze, die du bestimmt aus der Unterstufe kennst, im Sand
skizziert worden. Kannst du sie wiedererkennen?
b
a
a
a
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
β
α
β
α
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Beispiel 4.1. Der Wind hat die Beschriftungen einiger Skizzen weggeblasen. Beschrifte alle Seiten
und Winkel, und gib gleich langen Seiten bzw. gleichen großen Winkeln den selben Namen.
a
1)
b
a
3)
a
c
2)
c
60◦
b
4)
a
5. Geometrischer Beweis des Strahlensatzes
Theorem 5.1 (Strahlensatz). Werden zwei von einem Punkt C ausgehende Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten, so gilt:
1)
b
c
a
= 0 = 0
0
a
b
c
2)
a
b
=
a0 − a
b0 − b
Erkläre anhand des Strahlensatzes folgende Aussage:
„Bei zwei ähnlichen Dreiecken stehen einander entsprechende Seitenlängen im gleichen Verhältnis
zueinander.“
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Beweis des Strahlensatzes nach Euklid (≈ 300 v. Chr.) [1].
Erkläre, warum die Dreiecke 4ABA0 und 4ABB 0 den gleichen Flächeninhalt besitzen:
Erkläre, warum die Dreiecke 4A0 BC und 4AB 0 C den gleichen Flächeninhalt besitzen:
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i) Erkläre, warum b · hb = a · ha gilt.
ii) Erkläre, warum b0 · hb = a0 · ha gilt.
iii) Folgere, dass
a
b
= 0 gilt.
0
a
b
Um b/b0 = c/c0 zu zeigen, verschieben wir das kleine Dreieck so parallel, dass der Eckpunkt A im
Eckpunkt A0 zu liegen kommt:
Erkläre, warum nun die Gleichung
b
c
= 0 folgt.
0
b
c
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Für den zweiten Teil des Strahlensatzes betrachten wir den Kehrwert der Brüche:
a0 − a
a0
a
b0 b
b0 − b
= −
= − =
a
a |{z}
a
b
b
b
=1
Bildet man den Kehrwert auf beiden Seiten, erhält man den zweiten Teil des Strahlensatzes:
a0
a
b
= 0
−a
b −b
6. Weitere Aufgabenstellungen
Aufgabe 6.1. Eine geradlinige Straße hat eine konstante Steigung von 12%.
1) Berechne den Steigungswinkel ϕ.
2) Welchen Höhenunterschied h überwindet ein Fahrzeug, wenn es
2 km fährt?
3) Welche Strecke a legt es in horizontaler Richtung zurück, wenn
es 750 m fährt? Wie lang dauert die Fahrt bei einer konstanten
Geschwindigkeit von 30 km/h?
Steigung:
h
a
= 12% = 0,12
Aufgabe 6.2.
Pac-Man ist ein Videospiel, das 1980 veröffentlicht wurde. Die Spielfigur
Pac-Man muss Punkte in einem Labyrinth fressen, während sie von Gespenstern verfolgt wird.
– Veranschaulichen Sie cos(α) in der Abbildung.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt von Pac-Man mit Raπ
dius 1 cm und α = rad.
5
17
Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.
http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at
[1] Euclid: Euclid’s Elements. ≈ 300 BC
[2] Pickover: Archimedes to Hawking: laws of science and the great minds. Oxford University Press Inc., 2008
[3] Scriba ; Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer-Verlag Berlin, 2001
Literatur
6.1 1) ϕ ≈ 6,84◦
2) h ≈ 238 m
3) a ≈ 745 m, t = 90 s
4
6.2 A = · π = 2,513... cm2
5
v
v
6.3 26,89...%,
tan(α) = , sin(α) = ,
lneu ≈ 584 mm
w
u
6.4 Neben der Zuordnung (x, 11, 14) ↔ (5, y, 28) mit der Lösung (10, 11, 14) ↔ (5, 22, 28) aus Aufgabe 1.1 ist ohne
vorgegebene Skizze aber auch die Zuordnung (x, 11, 14) ↔ (10, 28, y) mit Lösung (3,92..., 11, 14) ↔ (10, 28, 35,63...)
möglich.
Es gibt keine weitere Lösung: Da die bekannten Seitenlängen nicht im gleichen Verhältnis zueinander stehen, ist eine
Zuordnung x ↔ y nicht möglich. Eine Zuordnung x ↔ 28 führt zu einer Seitenlänge y, die kürzer als 14 sein müsste.
Wegen der Dreiecksungleichung muss y jedoch länger als 18 sein.
Aufgabe 6.4. Von zwei ähnlichen Dreiecken mit Seitenlängen (11, 14, x) bzw. (10, 28, y) sind
die beiden fehlenden Seitenlängen gesucht. Vergleiche die Aufgabenstellung mit Aufgabe 1.1 und
begründe warum es auch eine zweite Lösung gibt.
Aufgabe 6.3.
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