∏ ∏ + - Universität des Saarlandes

1
Zur Kondensation auf konvexen Oberflaechen II
II. Teil Angewandte Zahlenlehre
G. Schulz, Universität des Saarlandes
Fakultät 7 für Physik und Mechatronik
Januar 2010 (ergänzt Mai 2010)
Wie im I. Teil dieser Untersuchungen sollen auch im Folgenden die Ergebnisse der exakten Zahlentheorie auf der Menge der natürlichen Zahlen als bekannt vorausgesetzt werden. Diese Ergebnisse wurden im I. Teil mit Hilfe einfacher Operatoren auf experimentellem, das heißt auf mehr
induktivem Wege nachgezeichnet und sollen in diesem II. Teil durch einer Reihe von Anwendungen für die physikalische Theorie weiter aufbereitet werden. Dabei werden geometrisch interpretierbare Strukturen genauso wichtig werden wie funktionale Zusammenhänge, wenngleich
diese auch nur approximativ oder im Sinne von Gruppierungen die im Prinzip diskrete Welt der
natürlichen Zahlen beschreiben können.
I. Die Entwicklung der Parameter aus den Primfaktoren.
Im I. Teil wurde gezeigt, dass durch die Wahl eines bestimmten Wertes für einen Parameter Zahlen mit ganz bestimmten Eigenschaften aus der Menge der natürlichen Zahlen hervorgehoben
werden können. Zum Beispiel können mit Hilfe der Zahlen-Volumendifferenz D(n) die sog.
vollkommenen Zahlen mit D(n) = 0, die fast vollkommenen Zahlen (Binärzahlen) mit D(n) = 1
und die Ausnahmezahlen mit D(n) = – 12 aus der Gesamtheit der natürlichen Zahlen ausgesucht
und mit Hilfe einfacher Formeln berechnet werden. Wenn pυ die υ-te Primzahl aus der natürlichen Folge der Primzahlen von   1 bis   N   bezeichnet, dann gilt:
D(n)  0 
nv  2 p 1  (2 p  1) , sofern (2 p  1) selbst eine Primzahl ist, (II, 1)
D(n)  1  n fv  2
D(n)  12 
(II, 2)
n A  2  3  p , sofern  (n)  8 ist,
(II, 3)
worin die Primfaktoren pυ aus den entsprechenden darstellenden Primprodukten der Zahlen n zu
entnehmen sind. Die Eindeutigkeit der Zuordnungen konnte in manchen Fällen aber nur unter
weiteren Bedingungen, das heißt, durch Angabe weiterer Parameter erzielt werden.
Die elementaren Größen Ganzzahlteiler τ(n) und Eulerfunktion φ(n) als Funktionen von n werden durch die Größen der Primprodukte bereits vollständig beschrieben:
i
n   pi
i
(II, 4)
1
i
 (n)   ( i  1)
(II,5)
1
i
i
 1
 1
 (n)   p  1  ( p  1)  n   (1  1/ p )
(II, 6)
Wenn diese als Parameter zur Beschreibung zahlentheoretischer Zusammenhänge herangezogen
werden sollen, dann müssen also in erster Linie die Primfaktoren und die Primzahlen schlechthin
bestimmt werden – z. B. mit dem in I genannten extrem schnellen Teilerteiler – damit die Formeln sinnvoll benutzt und zugehörigen Operatoren kontrolliert werden können. Sehen wir diese
Aufgabe nach dem I. Teil dieser Arbeit als erledigt an, dann sollte es auch möglich sein, von den
Zahlen in einem Zahlenraum auf das Verhalten der Zahlen in einem anderen Zahlenraum zu
schließen oder – weitergehend – die Zahlen aus einem Zahlenraum in einen anderen zu trans© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
2
formieren. Es sollten also, wenn nicht stetige, so doch monotone oder wenigstens tendenziell
monotone Zahlenfolgen mit ihren Parameter aus den Primprodukten konstruiert und auf diese
Weise für physikalischen Anwendungen, i.e. für theoretische Vorhersagen nutzbar gemacht werden.
Achtung! – Wenn im Folgenden von Linien oder Kurven die Rede ist, dann aus schließlich in dem Sinne, dass bestimmte Zahlenfolgen oder Zahlengruppen auf solchen Linien
oder Kurven zu liegen scheinen oder entsprechend gruppiert werden können. In diesem
Sinne und ausschließlich in diesem Sinne sind dann auch Formeln und stetige Funktionen
zur Beschreibung diskreten Zahlen- und Punktfolgen geeignet.
II. Die Häufigkeit der Primfaktoren
Wegen der Eigenschaft der Primprodukte, Zahlenfolgen, die einem bestimmten Parameter gehorchen, berechenbar zu machen, sollte zunächst deren allgemeine Eigenschaften untersucht und
zum Beispiel die Frage beantwortet werden, wie groß die Anzahl Z(I) und mithin die Häufigkeit
H(I) = Z(I)/ΣZ(I) der i Primfaktoren in den Produkten П von i = 1 bis I ist. In Abb. 1 a ist H(I)
für die ungeraden, in b für die geraden Zahlen auf der Menge der natürlichen Zahlen n = 1 bis N
= 100000 und zum Vergleich in Abb. 2 a u. b entsprechend über der Menge der natürlichen Zahlen von n = 1Mio+1 bis N = 1Mio+100000 dargestellt.
0,35
0,35
U, 1 - 100000
0,20
H(i)
0,25
0,25
H(I)
b
0,30
a
0,30
G, 2 - 100000
0,20
0,15
0,15
0,10
0,10
0,05
0,05
0,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
i
I
Abb. II 1 a, Häufigkeit H der Anzahl I der Primfaktoren, die eine ungerade Zahl U, und II 1 b, die eine gerade Zahl
G darstellen im Bereich von 1 bis 100000.
0,35
0,35
a
0,30
0,25
U, Mio+1 - Mio+100000
H(i)
H(i)
0,20
b
0,30
0,25
0,15
0,20
G, Mio+2 - Mio+100000
0,15
0,10
0,10
0,05
0,05
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
i
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
i
Abb. II 2 a, Häufigkeit H der Anzahl I der Primfaktoren, die eine ungerade Zahl U, und II 1 b, die eine gerade Zahl
G darstellen im Bereich von 1 Mio+1 bis 1 Mio+100000. (Abszisse willkürlich begrenzt auf 1 – 16)
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
3
Beide Abbildungen, Abb. 1 a und in Abb. 1 b, zeigen dass der Löwenanteil der Primprodukte zur
Darstellung sowohl aller ungeraden wie auch aller geraden natürlichen Zahlen (in einem endlichen Zahlenbereich) durch eine geringe Zahl von Primfaktoren gebildet wird. Die nur kleine
Absenkung der Häufigkeiten in den Abb. 2 a und b bei großen Zahlen ist auf die wenigen großen
Zahlen zurückzuführen, die aus einer langen Reihe von kleinen Primzahlen gebildet werden (die
wegen ihrer geringen Zahl u n d der (willkürlichen) Begrenzung der Abszisse in den Abbildungen hier allerdings nicht darstellbar sind)
In den Abb. 3 und 4 ist die Häufigkeit der Primfaktoren unter der Bedingung dargestellt, dass die
Primfaktoren untereinander alle verschieden sind, wenn also in Gleichung (II, 6) alle αi = 1 sind.
Unter dieser restriktiven Bedingung erhält man – natürlich mit einer erheblich geringeren Totalzahl von Primfaktoren – sehr ähnliche Verteilungen, insbesondere auch einen nur sehr geringen
Unterschied zwischen den Häufigkeiten im Bereich der Zahlen von 1 bis 100000 und von Mio+1
bis 1Mio+100000.
0,35
0,35
0,25
U, 1-100000
0,25
0,20
Total 40527
0,20
H(i)
0,30
0,30
H(i)
b
a
0,15
G, 2-100000
Total 20267
0,15
0,10
0,10
0,05
0,05
0,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
i
i
Abb. II 3 a, Häufigkeit H der Anzahl ii untereinander verschiedener Primfaktoren, die eine ungerade Zahl U, und II
3 b, die eine gerade Zahl G darstellen im Bereich von 1 bis 100000.
0,35
0,35
a
H(i)
0,25
b
0,30
H(i)
0,30
G, Mio+2- Mio+100000
0,25
0,20
U, Mio+1- Mio+100000
0,20
0,15
Total 40531
0,15
0,10
0,10
0,05
0,05
Total 20270
0,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
i
Abb. II 4 a, Häufigkeit H der Anzahl ii der Primfaktoren, die eine ungerade Zahl U, und II 4 b, die eine gerade Zahl
G darstellen im Bereich von 1 Mio+1 bis 1 Mio+100000. (Abszisse willkürlich begrenzt auf 1 – 16
II. Das "Pauli-Prinzip" der relativen Eulerzahlen.
Zahlen, deren Primfaktoren alle verschieden sind, im Primprodukt also nur einfach vorkommen,
αi = 1, sollen im Folgenden zur besseren Unterscheidung reguläre Zahlen heißen, Zahlen, deren
Primfaktoren mit Potenzen  i  2 besitzen, heißen dementsprechend irregulär.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
4
Außerdem soll der Begriff der adjungierten Zahlen für die Zahlen benutzt werden, die funktional
oder über einen Parameter erkennbar zusammengehören. Zum Beispiel gilt: Zu jeder regulären
ungeraden Zahl gibt es mindestens eine reguläre geraden Zahl mit gleicher Eulerfunktion. Und
also: Jede reguläre ungerade Zahlen ist mindestens einer reguläre geraden Zahl adjungiert. Zum
Beweis sei darauf verwiesen, dass aus der Eulerfunktion einer ungeraden Zahl die Eulerfunktion
einer geraden Zahl wird durch Multiplikation mit
p2  (1  1/ p2 )  2 * (1  1/ 2)  1
(II, 7)
Die Adjungiertheit der regulären Zahlen legt eine Darstellung nahe, die von Vornherein die Wertebereiche der ungeraden und geraden Zahlen voneinander trennt. Diese Eigenschaft besitzt die
in I definierte "relative Eulerzahl  (n)   (n) / n ". In Abb. II 5a ist  (n) für die regulären ungeraden Zahlen und in Abb. 5b für die regulären geraden Zahlen über n = 1 bis N = 10000 dargestellt. Die  (n) der ungeraden Zahlen füllen den Wertebereich von 0 bis 1, die geraden Zahlen
ausschließlich den Wertebereich von 0 bis 0.5.
1,0
0,50
1_n = 1_p
0,9
13_n
11_n
7_n
0,8
5_n
(n)
(n)
2_n = 2_p
0,45
2_13_n
2_11_n
2_7_n
0,40
2_5_n
0,35
0,7
2_3_n
3_n
0,30
0,6
3_5_n
0,5
2_3_5_n
0,25
2_3_5_7_n
3_5_7_n
0,4
0
2000
4000
n
6000
8000
10000
0,20
0
2000
4000
6000
8000
10000
n
Abb. II 5 a, Relative Eulerfunktion ρ(n) ungerader regulärer Zahlen, II 5 b, Relative Eulerfunktion ρ(n) gerader
regulärer Zahlen
Man erkennt den charakteristischen Verlauf der Funktionen
f (n)  A  (1  1/ n) mit n  pk 
(II, 8)
worin k > κ und κ den größte Index der in A in Form von (1-1/pκ) enthaltenen Primfaktoren bezeichnet. Diese in A enthaltenen Primfaktoren sind für einige charakteristische Fälle als Parameter in den Abbn. II 5 eingetragen, die zugehörigen Funktionswerte farblich gekennzeichnet.
Besonders deutlich treten die Funktionen mit A = 1, A = 1/2 und mit A = 1/3 hervor. Letztere
Konstante entspricht dem Parameter D(n) = - 12 und beschreibt alle Zahlen, die zu A = 2/3 adjungiert sind.
Man sollte festhalten, dass die Zahlenfolgen, die hier als Kurven mit sättigungsartigem Verlauf
erscheinen, sich an manchen Stellen nur scheinbar durchdringen und überschneiden, in Strenge
aber keine zwei Werte der Zahlenpaare (ρ(n), n) in allen Parametern übereinstimmen, die Paare
regulärer Zahlen bezüglich ihrer Parameter also das "Pauli-Prinzip" befolgen. Darüber hinaus
gehende Gruppierungen können jedoch zu Ordnungsparametern werden.
III. Die relative Eulerfunktion und hyperbolische Strukturen
Die Abb.II 6 a und b zeigen, dass der Wertebereich von ρ(n) für die ungeraden Zahlen sich im
Wesentlichen auf das Gebiet von 0.4 bis 1.0 und für die geraden Zahlen von 0 bis 0.5 erstreckt
Die auffälligen horizontalen Strukturen in den Abbn. 6 a und b vom Typ II,8 sind jedoch nur
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
5
0,5
1,0
0,8
(n)
(n)
0,4
0,6
0,3
0,4
0,0
0,2
0,4
6
n/10
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0
0,2
0,4
0,6
6
n/10
regulär, ungerade
0,8
1,0
1,2
regulär, gerade
Abb .II6 a und b: Funktionswerte von ρ(n) im Bereich der regulären ungeraden Zahlen und in Abb. 6 b für die geraden Zahlen im Bereich von 1 bis 1.2 Mio.
als Häufungen um  (n) ~ A anzusehen und reichen in Wahrheit wegen  (n)  A  (1  1/ n) aber
nur approximativ an  (n) ~ const heran.
 = 100800, 241920
1,0
0,8
(n) 0,6
0,4
0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
n/10
6
0,8
1,0
1,2
Abb. II 7 Zusammenfassung der relativen Eulerzahlen ρ(n) im Bereich der ungeraden und geraden regulären Zahlen
mit zwei exakt berechneten Hyperbelabschnitten zu φ(n)= const als Parameter
In Abb. II 7 sind weitere auffällige Strukturen in Form von Hyperbelabschnitten sowohl im Bereich der ungeraden wie fortlaufend auch im Bereich der geraden Zahlen zu erkennen. Diese
Strukturen können exakt bestimmt werden und zwar folgt aus
 (nh ) 
 ( n)
const
und der Definition  (n) 
, dass const   (nh ) ist
n
nh
(II,9)
In Abb.II 7 sind zum Vergleich die zu φh = 100800 und zu φh = 241920 berechneten Werte der
Hyperbelabschnitte eingetragen. Die Hyperbeln entspringen mit ihrem größtmöglichen Wert
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
6
ρ(na) aus der Primzahl pa, die um 1 größer als φ(na) ist, und enden in dem kleinstmöglichen Wert
von ρ(ne), der mit einer ganzen Zahl F in
I 1
I 1
i 1
i 1
 (ne )   (na )  F   ( p  1) oder  (ne ) /  ( p  1)  F
(II,10)
gerade noch verträglich ist. Darin bezeichnen pυ die (kleinen) Primzahlen in ihrer natürlichen
Reihenfolge υ= 1, 2, 3 … (I-1) und in F = (pI - 1) die Primzahl pI , so dass gilt
I 1
ne  p   p
(II,11)
i 1
Damit sind die Hyperbelabschnitte und die Anzahl der reduzierten Eulerwerte gerader und ungerader regulärer Zahlen, die auf diesen Hyperbelabschnitten liegen, exakt bestimmt. Exakt in dem
Sinne, dass der Faktor F nicht approximativ irgendeine Zahl, sondern genau eine ganze Zahl ist.
Es folgt:
Die regulären und adjungierten Zahlen, deren relative Eulerfunktionen auf einer Hyperbel liegen, bilden abgeschlossene Mengen.
Oder anders ausgedrückt, die Eulerzahlen erzeugen Cluster aus endlich vielen regulären, adjungierten Zahlen. Diese Cluster sind durch mehr oder weniger große Abstände ("gaps") voneinander getrennt und es bleibt die Frage zu beantworten, durch welche Operationen die Cluster über
diese gaps hinweg ineinander überführt werden können.
100
Z() > 20
ntot = 10
6
80
60
40
20
0
5000
10000
15000

20000
25000
30000
Abb. II 8 Anzahl Z(φ) > 20 der Eulerzahlen in der Menge der regulären adjungierten Zahlen im Bereich von
1 bis 1 Mio.
Wenn es, wie aus Abb. II 8 abgelesen werden kann, Eulerzahlen gibt, die sehr häufig auftreten,
dann müssen notwendigerweise sehr viele andere dafür mit der Häufigkeit Z = 0 belegt sein.
Denn nur wenn jede Eulerzahl genau einer regulären Zahl zugeordnet werden könnte, wäre mindestens Z(φ)=1 mit φ = φ(n) für alle n.
Mit einem einfachen (und sehr schnellen) Umkehr-Operator
N ( )  n
(II,12)
können die Hyperbelabschnitte  (n)   (n) / n gewonnen werden. Sie sind für alle Eulerzahlen
φ, die in der Menge der regulären adjungierten Zahlen von 1 bis 3 Mio häufiger als 200-mal vorkommen, in Abb. II 9 dargestellt:
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
7
1,0
0,9
Z() > 200
0,8
0,7
(n) 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
n/10
2,0
2,4
2,8
6
Abb. II 9 Darstellung der Hyperbelabschnitte, aus Gründen der Übersichtlichkeit auf die mit einer Häufigkeit
Z(φ) > 200 beschränkt
Wir betrachten in Tab II, I Zahlen mit der willkürlich herausgegriffenen Eulerzahl φ = 1800:
Tab. II, I
n
V
D
τ
φ
ρ
i
pi
1801
1891
1919
1963
1991
2387
3171
1
93
121
165
193
685
1693
1800
1798
1798
1798
1798
1702
1478
2
4
4
4
4
8
8
1800
1800
1800
1800
1800
1800
1800
0.999444753
0.951877314
0.937988536
0.916963831
0.904068307
0.754084625
0.567644276
1
2
2
2
2
3
3
1801
31
19
13
11
7
3
61
101
151
181
11
7
na = pa = φa + 1
31
151
3602
3782
3838
3926
3982
4774
6342
1804
2170
2282
2458
2570
4442
8250
1798
1612
1556
1468
1412
332
-1908
4
8
8
8
8
16
16
1800
1800
1800
1800
1800
1800
1800
0.499722376
0.475938657
0.468994268
0.458481915
0.452034154
0.377042313
0.283822138
2
3
3
3
3
4
4
2
2
2
2
2
2
2
1801
31
19
13
11
7
3
61
101
151
181
11
7
pI = F + 1 = 151
31
151
pI = F + 1 = 151
Die ersten und letzten Zeilen in den Blöcken der ungeraden und der geraden Zahlen entsprechen
den Angaben in (II, 11) und (II, 12) und kommentieren sich selbst. Die vierfach teilbaren ungei
raden regulären Zahlen, τ = 4 ≡ 2 , gehorchen der Beziehung
2
2
1
1
 p   h   p  1 ,
(II, 13)
2
Damit werden im Bereich der regulären Zahlen erstmals Werte von Goldbach-Dubletts
 p ,
1
2
das heißt, Summen von Primzahlen mit den zugehörigen Produkten
 p
derselben Primzahlen
1
in Verbindung gebracht und es erhebt sich die Frage, ob ähnlich einfache Zusammenhänge auch
für Zahlen mit höheren Teilern τ = 2i , also mit i > 2 oder dann so zu nennenden GoldbachMultipetts existieren. Diese Frage soll im folgenden Abschnitt untersucht werden.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
8
Bereits in Abb. II 8 ist die Häufigkeit der Eulerfunktion φ(n) der ungeraden Zahlen
nu  1...N  1.Mio dargestellt, die wegen der Adjungiertheit gleich der Häufigkeit der Eulerzahlen der geraden Zahlen ng  2...2  N  2.Mio ist (über einem doppelt so großen Intervall verteilt). Das heißt: Im Bereich der regulären Zahlen ist die Dichte der Zahlen der ungeraden regulären Zahlen Z(nu) über einem Teilintervall der Länge Δ doppelt so groß wie die Dichte der geraden regulären Zahlen. Dieser Sachverhalt sollte auch in den Abb. II 10 a und II 10 b zum Ausdruck kommen. Darin sind die Häufigkeiten als lokale Mittelwerte der regulären Zahlen, die einem bestimmten Parameter gehorchen, über der Mitte der Intervalle Δ schwarz
H (nu , g )  Z (nu , g ) /  
1


nu , g  
j
u , g ,
  10000
(II,14)
nu , g
und die globalen Mittelwerte jeweils über der Hälfte der Intervalle von 1 bzw. 2 bis nu bzw. ng
rot eingetragen
n
M (nu , g )  Z (nu , g ) / nu , g
1 u ,g

  ju , g ,
nu , g 1, 2
(II,15)
0,20
0,10
0,18
0,16
(nu)
0,12
M(nu)
0,10
0,08
=4
0,14
(ng)
=8
M(ng)
= 8
= 16
0,06
0,04
0,08
0,06
= 16
= 32
0,02
0,04
0,02
0,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
0
10000
2000
4000
6000
8000
10000
ng/1000
nu/1000
Abb. II 10a Darstellung der Häufigkeiten H der regulären ungeraden Zahlen und II 10b der regulären geraden Zahlen und deren globale Mittelwerte M zu den entsprechenden Parameterwerten von τg(n) = 2∙τu(n) .
Für die spätere Auswertung sei daran erinnert, dass die Zahlen-Volumendifferenz
D(n) = n – V(n) der Ausnahmezahlen, also D(n) = – 12, der einzige Parameter ist, der ein Verhalten wie die Teilerzahlen τ(n) erzeugt, wie hier in Abb. II 10 c für den Bereich von 1 bis 10
Mio nochmals dargestellt.
0,03
D(ng) = - 12
 = 10000
o  = 30 - n
(nu)
0,02
M(nu)
0,01
0,00
0
200
400
600
800
1000
ng/10000
Abb. II 10c Lokale Häufigkeit H und globaler Mittelwert M der Ausnahmezahlen von 1 – 10 Mio.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
9
IV. Goldbach-Multipletts und ihre spektrale Darstellung.
Unter einem Goldbach-Dublett verstehen man ein Tupel (pυ , pκ) von verschiedenen Primzahlen
pυ und pκ und unter dem Wert eines Goldbach-Dubletts die Summe der beiden Primzahlen und
entsprechend unter einem Goldbach-Multiplett ein n-Tupel (pυ , pκ , ….) von n verschiedenen
Primzahlen mit der zugehörigen Summe als Wert des Multipletts. Häufig spricht man auch von
Goldbachpaaren oder Dubletts, wenn nur deren Summen gemeint sind. Aber schon die Beziehung (II, 13) zeigt, dass Goldmanpaare sowohl als Summen wie als Produkte und dazu in ein
und derselben Gleichung eine Rolle spielen können. Man sollte also aus logischen und aus praktischen Gründen die beiden Begriffe auseinander halten.
Christian Goldbach hat bekanntlich die Vermutung geäußert, dass jede gerade Zahl (größer 2)
durch mindestens eine Summe zweier Primzahlen gebildet werden kann. Der "GoldbachOperator" würde demnach lauten:
2
G( p1 , p2 )   p  ng
(II, 16)
1
Aber so wie verschiedene Zahlen die gleiche Eulerzahl haben können, so kann auch jede gerade
Zahl aus eine Vielzahl von Primsummen gewonnen werden, im regulären Bereich also sogar aus
voneinander verschiedenen Primzahlen! In Abb. II 11a ist die Anzahl
300
a
Z(ng)
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0
0
2000
4000
6000
8000
b
Z(ng)
300
tot pp -- g 126630
tot pp -- g 126630
D=-12 (=8) 8994
(D~n/2)  =4 11525
0
10000
2000
4000
ng
ng
300
250
Z(ng)
6000
8000
10000
c
pnpm -- gr 753378
pn(pn+2) -- gr 126
200
150
100
50
0
0
2000
4000
ng
6000
8000
10000
Abb. II 11a Anzahl Z der Goldbach-Paare, die eine gerade Zahl realisieren; II 11b durch die Parameter D und τ
charakterisierte Zweige der Goldbach-Dubletts; II 11c Dubletts, die reguläre Zwillingen enthalten, rot dargestellt.
Z(ng) der geraden Zahlen dargestellt, die aus der Summe von verschiedenen Primzahlen gebildet
werden können und es sind deutlich Strukturen zu erkennen, die wie in Abb. II 11b rot und blau
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
10
eingetragen, bestimmten Parametern oder Kombinationen von Parametern zugeordnet werden
können. Die Ausnahmezahlen mit D(n) = - 12 (siehe Teil I) liefern einen besonders kompakten
Zweig in der Häufigkeit der Goldbachpaare und die Goldbachpaare, deren Wert über die zugehörige Eulerzahl mit ihrem Primprodukt verknüpft sind, spielen dabei eine besondere Rolle:
Unter einem Prim-Zwilling versteht man zwei Primzahlen (pn,pm) die – getrennt durch nur eine
gerade Zahl – unmittelbar aufeinander folgen, für die also gilt
pm  pn  2
(II,17)
Für Prim-Zwillinge als (reguläre) Goldbachpaare gilt die Beziehung
pn  pm  2  pn  pm  1  0
(II,18)
Mit diesem Kriterium können die Zwillinge aus der Folge der Primzahlen ausgesucht und die
Werte der zugehörigen Goldbachpaare pn + pm bestimmt werden. Alle diese Summen (bis auf die
erste 3 + 5 = 8) sind mindestens durch zwölf teilbar: Die Summen ungerader Zahlen sind gerade
und also durch 2 teilbar. Das führt wegen (II,17) auf die gerade Zahl zwischen den Primzahlen,
die nochmals durch 2 teilbar ist. Die Teilungen durch 2 brechen ab bei der ersten Primzahl größer 2, also 3. Folglich sind alle geraden Zahlen, die aus der Summe von Zwillingen entstehen
durch 12 teilbar. Und dieser Sachverhalt kann nun umgekehrt zur (extrem schnellen) Vorausberechnung von Zwillingen benutzt werden.
Die Anweisung lautet: Man nehme alle durch zwölf teilbaren Zahlen
j  n  12, n  1....N  
(II,19)
und prüfen mit dem im I. Teil beschriebenen (extrem schnellen) Ganzzahlteiler, ob die Zahlen j/2
+ 1 und j/2 – 1 Primzahlen sind. Gegebenen Falls bilden j/2 +1 und j/2 – 1 einen Zwilling, im
anderen Falle nicht. Die Zwillinge von Primzahlen brauchen also nicht mühsam aus der Menge
der Primprodukte, z.B. aus N = 10000 ausgesucht zu werden, sondern können durch die gezielte
Abfrage bei j = n∙12 gefunden werden mit dem Ergebnis Nz /N = ∑nz /N = 205/10000. Das heißt,
nicht alle Vielfache von 12 sind Zwillinge, z. B. j = 48 nicht, denn es ist zwar j/2 - 1 = 23 = p9,
aber j/2 + 1 = 25 ≠ prim, wie es bei vielen anderen Vielfachen von Zwölf der Fall ist.
Tabelle II,1 (Zahlenbeispiel für die Berechnung von Prim-Zwillingen)
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…..
37906
37907
37908
37909
37910
37911
37912
37913
37914
37915
usw.
j
n = j*12
n/2
1
2
3
5
7
10
12
17
18
23
12
24
36
60
84
120
144
204
216
276
6
12
18
30
42
60
72
102
108
138
999812
999862
999868
999877
999885
999927
999938
999955
999985
999987
11997744
11998344
11998416
11998524
11998620
11999124
11999256
11999460
11999820
11999844
τn τm
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
5998872
5999172
5999208
5999262
5999310
5999562
5999628
5999730
5999910
5999922
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
pn
pm
5
11
17
29
41
59
71
101
107
137
7
13
19
31
43
61
73
103
109
139
5998871
5999171
5999207
5999261
5999309
5999561
5999627
5999729
5999909
5999921
5998873
5999173
5999209
5999263
5999311
5999563
5999629
5999731
5999911
5999923
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
11
In Tabelle II,1 sind die so gewonnenen Zwillinge in den Zahlenbereichen n = 12…276 u n d
= 11997744…11999844 dargestellt.
n
In Abb. II 12 ist die Anzahl Z(ng) der Goldbach-Summen eingetragen, die einen Zwilling enthalten. Man erkennt große Lücken in der Verteilung der Paare, aber in diesem beschränkten Zahlenbereich noch keine besondere Gesetzmäßigkeit für das Auftreten solcher Paare. Man erkennt
lediglich, dass der Zuwachs an Goldbachpaaren, die Zwillinge enthalten, mit wachsender Größe
keinesfalls zunimmt, was bekanntlich zu den berühmten Spekulationen über die endliche Zahl
von Goldbach-Zwillingen geführt hat. Für die Anwendungen dürften allerdings nur die relative
Zahl von Zwillingen von Bedeutung sein.
Z(ng)
250
200
150
100
50
0
0
2000
4000
6000
8000
ng
Abb. II,12 Anzahl der Golgbach-Summen, die einen Zwilling enthalten.
Das Verfahren, Zwillingsprimzahlen zu berechen statt durch Probieren herauszufinden, ist um
den Faktor 3 schneller als die schrittweise Überprüfung aller Zahlen auf diese Eigenschaft. Außerdem eröffnet das Verfahren den Blick auf Symmetrien in Struktur und Verteilung der Primzahlen.
Die Darstellungen Abb. II 11a, b und c können nach höheren Werten beliebig fortgesetzt werden
und zeigen (graphisch nicht mehr oder nur noch in schmalen Ausschnitten darstellbar) bis zu
einer Gesamtzahl von beispielsweise 10 Mio, dass es in diesem (endlichen) Bereich keine gerade
Zahl gibt, die nicht durch Goldbach-Dubletts regulärer Zahlen dargestellt werden könnte.
In derselben Weise können aus den Dubletts die Tripletts und aus diesen die Quartetts entwickelt
und der Einfuß der Parameter auf diese Entwicklungen verfolgt werden. Der Zerfall der Häufigkeiten in zwei Zweige, der im Fall der Dubletts nur andeutungsweise zu erkennen ist, tritt bei
den Tripletts und Quartetts dann ganz deutlich hervor und verschwindet, wie aus den gedehnten
Darstellungen in der Abb. aa und bb hervorgeht, auch unter den angegebenen einschränkenden
Bedingungen nicht.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
12
a
Z(nu)/1000
40
30
30
20
20
10
10
0
0
0
2000
aa
Z(nu)/1000
40
tot ngp -- u 11454505
D=-12 (=8) 941042
(D~n/2)  =4 570305
4000
6000
8000
9000
10000
9200
9400
nu
9600
9800
10000
nu
Abb. II 12 a Anzahl der Goldbach-Tripletts (pν + pμ + pλ) in toto schwarz und unter den angegeben Bedingungen rot
und blau eingetragen. Abb. II 12 aa n-Achse gedehnt von nu = 9000 bis nu = 10000.
6
Z(ng)/1Mio
5
tot nup -- u 610362106
D=-12 (=8) 57030005
(D~n/2)  =4 69983183
b
6
Z(ng)/1Mio
bb
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
2000
4000
6000
ng
8000
10000
9000
9200
9400
9600
9800
10000
ng
Abb. II 12 b Anzahl der Goldbach-Quartetts (pν + pμ + pλ + pκ) in toto schwarz und unter den angegeben Bedingungen rot und blau eingetragen. Abb. II 12 bb n-Achse gedehnt im Bereich von ng = 9000 bis ng =10000.
Fordert man, dass die aus einer Summe von Primzahlen entstehenden Zahlen und die daraus entstehenden Tripletts und Quartets ebenfalls regulär sind, so erhält man die folgenden Darstellungen in Abb. 13.
300
Z(ng)
250
pp -- gr 47638
pp -- gir 79000
a
28
Z(nu)/1000
24
pp --gr -- ur 3506135
pp -- gir --uir 1095061
20
200
b
18
Z(ng)/100000
16
pp --gr -- ur -- gr 112125354
pp -- gir -- uir -- gir 33330907
14
c
12
16
10
150
100
12
8
8
6
50
4
0
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
4
2
0
0
2000
ng
4000
6000
nu
8000
10000
-2
0
2000
4000
ng6000
8000
10000
Abb. II 13 Anzahl der Goldbach-Multipletts, wenn auch die entstehenden Zahlen regulär sein sollen. Sonst wie
Abb. 12 a bis c.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
13
V. Transformation der Cluster in die zugehörigen Spektralformen.
Für die physikalische Anwendung der zahlentheoretischen Ergebnisse wird es darauf ankommen,
wenn schon keine analytische, so doch wenigstens eine numerisch praktikable Darstellung für
den Übergang von einem Cluster zum anderen zu finden, zum Beispiel von einem kleineren zum
nächst möglichen größeren, um damit das Anwachsen der Cluster zu beschreiben. Dabei muss
die Tatsache berücksichtigt werden, dass ein Anwachsen physikalisch nur möglich ist, wenn
dabei die Änderung der "Freien Enthalpie", hier als Funktion der Teilchenzahl, ein Minimum
einnimmt, das heißt aber, dass jeweils nur ein Multiplett oder nur eine kleine Zahl von Multipletts in einem Cluster gleichzeitig ihre Größe ändern kann. Um diese Bedingung realisieren
zu können, müssen die Cluster in die Multipletts und umgekehrt diese mitsamt ihren Häufigkeiten in die Zahlen auf einem Hyperbelabschnitt überführt werden können.
Diese "Spektraltransformation" wurde im Falle der Goldbach-Dubletts bereits mit Hilfe der Eulerfunktion in Gleichung (II, 13) erzielt, die hier lautet:
2
2
1
1
n   p  h   p  1
(II, 13 rep)
Die Verallgemeinerung dieser Beziehung auf höhere Multipletts gelingt mit Hilfe einer erweiterten Eulerfunktion "Φ(n)":
(nI )   (nI )  R(nI )
(II, 20)
worin R(n) eine Ergänzung der Eulerfunktion darstellt, die – wie die Eulerfunktion selbst – aus
der Teilerfremdheit der Zwischenprodukte entwickelt werden kann, so dass für alle GoldbachMultipletts ( p1, p2 ,...... pI ) gilt:
I
I
1
1
nI   pi   ( I ) (nI )   pi  ( I  1)
(II, 21)
In dieser Form kann die Spektraltransformation für alle Multipletts durchgeführt und auf die
Größe einer bestimmten Eulerfunktion φ(nI) als Parameter festgelegt werden, so dass schließlich
ein einzelner Hyperbelabschnitt und damit ein ganz bestimmter Cluster ausgewählt werden kann.
700
1,8
R(p1,p2,p3)/1000
1,6
a
600
1,4
500
1,2
400
1,0


p)i/106
b
0,8
300
0,6
200
0,4
100
0,2
0
0,0
-100
-0,2
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
nu,g/1 Mio
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
nu,g/1 Mio
Abb. II 14 a Ergänzung zur Eulerfunktion für die ungerade Zahlen schwarz und die gerade Zahlen rot markiert in
Goldebach-Tripletts und in Abb. II 14 b ihre perfekte Ergänzung zu den zugehörigen Primprodukten
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
14
Um das hochkomplexe Zusammenspiel von R(nI) mit φ(nI) zu erläutern, ist als Beispiel R(nI) für
die Tripletts mit I = 3, in Abb. II 14 a dargestellt. Trotz der großen Streuung der Werte von R(nI)
fügen sich die Zahlen aus dieser Darstellung mit φ(nI) und den Summen
I
p
i
zu nI im gesam-
1
ten Bereich der Zahlen von n = 1 bis n = 3Mio. zu einer Geraden für die ungeraden und einer
Geraden (mit halber Steigung) für die geraden Zahlen zusammen, Abb. II 14 b. Das heißt, die
Eulerzahlen streuen von Cluster zu Cluster genau in dem Maße wie auch ihre Ergänzungen. Und
genau dieser Sachverhalt wird für die Abzählmethoden der statistischen Thermodynamik noch
von besonderer Bedeutung sein.
VI. Symmetrien der Goldbach-Multipletts
Betrachten wir noch einmal genauer das Schema, wonach Goldbach-Dubletts aus PrimZwillingen entstehen:
n*  pn  pm  n  ( pn  pm )  j 
 j  1  pm 
n
j

 1,2,3... N

2
 j  1  pn  (2  3)
(II,22)
Das heißt, die Sternzahl n* mit den Primfaktoren pn, pm leitet sich aus der Goldbachsumme (pn +
pm) ab und beschreibt einen Zwilling, wenn n* und n dem Kriterium (II, 18) genügen. Die Goldbachsumme ist gerade, also durch 2 teilbar und führt auf eine Zahl zwischen zwei ungeraden
Zahlen, die als Mittelwert dieser Zahlen – hier der Zwillingszahlen – wiederum durch 2 geteilt
werden kann. Diese Zweiteilung bricht ab mit der kleinsten ungeraden Zahl, hier der Primzahl pν
= 3, die mit 2·2·3 = 12 sämtliche n* und insbesondere sämtliche n als Vielfache von 12 zu berechnen gestattet. Sind j ± 1 Primzahlen, sind damit sämtliche Zwillinge ermittelt.
Dieses symmetrische Schema kann (algorithmisch) auch auf Goldbachpaare ausgedehnt werden,
die aus Pseudo-Zwillingen hervorgehen, indem beliebige (ungerade) Abstände 1 ≤ di = 3, 5, .. =
2·i +1 der pm und pn zu den Mittelwerten j zugelassen werden:
n*  pn  pm  n  ( pn  pm )  j 
 j  di  pm 
n
j

   1,2,3... N  di
2
2
 j  di  pn 
(II,23)
Einsetzen der höheren Primzahlen pν aus der natürlichen Folge der Primzahlen anstelle der di
führt allerdings zu Werten von n, die wegen der Regularität der Goldbachpaare bereits in der
Serie mit di = pν enthalten sind, so dass j ± di dann keine Primzahlen liefern.
30
n
pm+pn
pm+pn
n
200
25
20
j+di
j-di
150
j-di
15
j+di
100
10
50
5
0
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
di
-15
-10
-5
0
5
10
15
di
Abb. II 15 Grafische Darstellung der Goldbach-Paare, die aus Prim-Zwillingen und Pseudo-Prim-Zwillingen hervorgehen, a mit di = 1 … 6 und j = 1 … 10, b mit j = 1 … 100.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
15
Die Beziehungen (II,22) und (II,23) beschreiben also, wie auch aus den grafischen Darstellungen
der Ergebnis abgelesen werden kann, hoch symmetrische Zusammenhänge, die bis zu beliebig
großen Werten von di und j ausgeweitet werden können und auf diese Weise die gesamte Welt
der natürlichen Zahlen zu beherrschen scheinen.
Die Entstehung von Goldbach-Tripletts aus Drillingen und bei verallgemeinertem di aus Pseudodrillingen wird beschrieben durch:
n*  pn  pm  pl 
 j  di  j  ng 
n
n  ( pn  pm  pl )  j  pl  
  j   p ,   1,2,3.. N  
3
 j  di  j  ng 
(II,24)
mit einem sehr interessanten Zusammenhang zwischen n* und j bzw. pm und pn , der auch bei der
Kodierung und Dekodierung (!) mit Hilfe von Primzahlen eine wichtige Rolle spielen dürfte.
Die tabellarische Darstellung Tab. II 3 lässt erkennen, dass nur jene di zu einer größeren Anzahl
von Drilling führen, die durch 6 teilbar sind, während alle anderen höchstens einen oder keinen
Drilling liefern. Für diese ausgezeichneten Drillinge gilt also:
pm  pn  6  di mit di  2,4,6...2  N   wenn j > di
(II,25)
Das heißt, in diesen Häufungen von Drillingen sind die Abstände der äußeren Primzahlen durch
12 teilbar
Tab. II.3 Grundmuster der Goldbach-Drillinge und Goldbach-Pseudo-Drillinge mit l = 3 bis ~100:
l -1
pl
3∙pl
τ1 τ 2
di = 2 zu Drillingen
2
5
15
22
3
7
di = 4 zu Drillingen
3
7
21
22
3
11
di = 6 zu Drillingen
5
6
8
11
18
23
26
33
36
51
53
78
86
11
13
17
23
37
47
53
67
73
103
107
157
173
5
7
11
17
31
41
47
61
67
97
101
151
167
17
19
23
29
43
53
59
73
79
109
113
163
179
33 2 2
39 2 2
51 2 2
69 2 2
111 2 2
141 2 2
159 2 2
201 2 2
219 2 2
309 2 2
321 2 2
471 2 2
519 2 2
pn
pm
di = 8 zu Drillingen
5
11
33
22
3
19
di = 10 zu Drillingen
6
13
39
22
3
23
di = 12 zu Drillingen
8
9
14
15
20
29
35
50
69
75
89
17
19
29
31
41
59
71
101
139
151
179
51
57
87
93
123
177
213
303
417
453
537
22
5
22
7
2 2 17
2 2 19
2 2 29
2 2 47
2 2 59
2 2 89
2 2 127
2 2 139
2 2 167
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
29
31
41
43
53
71
83
113
151
163
191
16
Die analogen Symmetrien sind in Abb. II 16 dargestellt und führen auch hier zu kristallähnlichen
Figuren. Die große Ähnlichkeit von Abb. II 16 mit II 15 sollte aber nicht über die typischen Unterschiede hinwegtäuschen.
60
n
n
pm+pn+pl
a
50
40
30
pm+pn+pl
b
300
200
j-di
j-di
j+di
j+di
100
20
10
0
0
-6
-4
-2
0
2
4
-50 -40 -30 -20 -10
6
di
0
10
20
30
40
50
di
Abb. II 16 Grafische Darstellung der Goldbach-Tripletts, die aus Prim-Drillingen und Pseudo-Prim-Zwillingen
hervorgehen, a mit di = 1 … 6 und j = 1 … 10, b mit di = 1 … 40 und j = 1 … 100.
Zusammenfassend sind die Symmetrien in Abb. II 17 dargestellt: Die Anzahl Z ( pm  pn  pl )
der Goldbach-Drillinge und – wie oben definiert – Goldbach-Pseudodrillinge ist nur für die
durch 6 teilbaren di  j  (2  3)  j  6 merklich größer als 1 und über dem ganzen Zahlenbereich
von 1 bis N nahezu konstant (wenn durch die Zählung von i = 1+di bis i = N+di für eine stets
gleich große Anzahl möglicher Zählwerte gesorgt wird) mit Ausnahme, dass di selbst eine reguläre Zahl ist: Dann springt die Häufigkeit auf eine charakteristische höhere Anzahl und bildet
sich eine neue Serie von Anzahlen heraus. So bei
di  j  (2  3), j  (2  3  5), j  (2  3  7), und z.B. besonders deutlich bei j  (2  3  5  7)
Z(pm+pn) , Z(pm+pn+pl)
4000
i =1+di bis N+di, N=10
5
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
di
Abb. II 17 Durch Eulerzahlen indizierte Anzahlen von Goldbach-Zwillingen und Drillingen und Pseudozwillingen
und -drillingen bei stets gleichbleibender Gesamtzahl von möglichen Zählwerten.
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
17
Wenn man beachtet, dass durch die regulären Zahlen eindeutig definierte Eulerzahlen und durch
diese eindeutig zu beschreibende Cluster entstehen, so ist es gerechtfertigt, hier als Index für die
Serien der Häufigkeiten die Eulerzahlen zu verwenden. Das heißt, die Z( ) bilden auch bei
N   abgeschlossene Zahlenmengen.
Die Häufigkeiten der Goldbach-Zwillinge und Pseudozwillinge zeigen eine ähnliche, jedoch
wesentlich dichtere Struktur als die der Drillinge. Hier sind nach di = 1 nur alle di = 1 + 2i besetzt, jedoch auch hier mit deutlich größerer Häufigkeit, wenn di gleich einer regulären Zahl ist.
Auch die Serien der Goldbach-Zwillinge und Goldbach-Pseudozwillinge können also durch Eulerzahlen indiziert werden und erzeugen auf diese Weise wohlgeordnete Symmetrien über dem
gesamten Bereich der regulären Zahlen.
In Abb. 20 a ist die Häufigkeit H(Di) sämtlicher Primzahl-Abstände Di  ( p 1  p ) von
Di  1 bis 80 und in 20 b mit gedehnter Ordinate von Di  80 bis 160 für alle Zahlen aus dem
Bereich   1...N  20 Mio dargestellt.
H(Di) = Z(Di)/Z(Di)
0,0005
H(Di) = Z(Di)/Z(Di)
0,14
a
0,0004
0,12
b
M = 20 000 000
0,10
M = 20 000 000
0,0003
Dimax = 182
0,08
0,06
0,0002
0,04
0,0001
0,02
0,00
0,0000
0
20
40
Di = (p - p -1)
60
80
80
100
120
Di = (p - p -1)
140
160
Abb. II 18 Häufigkeit der Primzahl-Abstände als Funktion der Abstände im Bereich von 1 bis 20 Mio: a in natürlichem Maßstab, b mit gedehnter Ordinate. Die Häufigkeiten der durch 6 teilbaren Abstände sind rot markiert.
Aus der normalen wie aus der gedehnten Darstellung geht deutlich hervor, dass mit beliebigem k
die Abstände Di  ( p 1  p )  k  (3  2)  k  6 , also die durch 6 teilbaren Abstände, signifikant
häufiger auftreten als zum Beispiel die Abstände Di  k  2 , Di  k  4 oder Di  k  8 . In den
vorangegangenen Abschnitten wurde gezeigt, dass diese Betonung auf den Symmetrien der
Primzahlen im gesamten (bisher bekannten) Zahlenbereich beruht.
Eine Überhöhung der Häufigkeiten tritt bei Di  k  (2  3  5)  k  30 und jedem weiteren Abstand
ein, der durch das Vielfache einer regulären Zahl, also auch durch Di  k  (2  3  5  7)  k  210
und allgemein durch Di  k  (reguläreZahl ) beschrieben wird. Darin spiegeln sich ebenfalls die
Symmetrien wieder, die auch bereits in Abb. 17 beobachtet werden konnten.
Der maximale Abstand der Primzahlen für die Zahlen von   1...N  10 Mio beträgt
Dimax  154 und für   1...N  20 Mio Dimax  182 . Es ist zwar bewiesen, dass mit wachsendem N   auch sehr große Abstände auftreten können, aber offenbar mit verschwindender
Häufigkeit, das heißt, mit H ( Dimax )  0 .
© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre
18
H(k*6)/H(6)
1,0
y = A1*exp(-(x-x0)/t1)
0,8
Chi^2/DoF
0,6
x0 6 ±0
A1 1.00702 ±0.00554
t1 14.60113
±0.15718
= 0.00004
0,4
0,2
0,0
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
Di = k*6
Abb. II 19 Approximation des asymptotischen Verlaufs der Häufigkeiten H(k6) durch einen Exponentialfaktor
In den eng begrenzten Bereichen N = 1 bis10 Mio oder N = 1 bis 20 Mio gehen die Häufigkeiten
der Primzahlabstände asymptotisch gegen Null und können, wie in Abb. II 19 als Beispiel für die
Di  ( p 1  p )  k  6 mit den angegebenen Parameter näherungsweise durch einen Exponentialfaktor beschrieben werden, wenn die Ausnahmen, also zum Beispiel die Überhöhungen an den
Vielfachen der höheren regulären Zahlen als "bad points" von der Approximation ausgeschlossen werden.
In Abb. II 20 sind die Häufigkeiten H(Di) semilogarithmisch dargestellt. Daraus geht hervor,
dass nicht nur die durch 6 teilbaren Abstände, sondern auch alle anderen einen asymptotischen
Verlauf gegen Null anzeigen.
0
log(H(Di))
-2
-4
M = 20 000 000
-6
-8
-10
-12
-14
-16
0
40
i
80
120
Di
Abb. II 20 Semilogarithmische Darstellung der Häufigkeiten der Primzahl-Abstände (ohne Di = 130 bis
Dimax = 180) Di = k6 rot markiert.
Damit sind die Symmetrien der von uns so genannten Goldbach-Multipletts als eine tiefgreifende Eigenschaft des gesamten Zahlenraumes erkannt, die von   1 bis N   reichen dürfte.
Der 1. Teil dieser Arbeit ist unter http//:www.uni-saarland.de/fak7/schulz/Artikel zu finden.
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© G. Schulz, 2010, Angewandte Zahlenlehre