Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundbegriffe:
Experiment: ein Vorgang, den man unter gleichen Voraussatzungen beliebig oft wiederholen kann.
Ergebnis ω : Ausgang eines Experiments
Ergebnismenge Ω : Menge aller möglichen Ergebnisse
Bsp.: Werfen einer Münze: ω 1 = Kopf (K) , ω 2 = Zahl (Z) , Ω = { K , Z }
Bsp.: werfen eines Würfels: ω 1 = 1 , ω 2 = 2 , ... ω 6 = 6 , Ω = { 1,2,3,4,5,6 }
Ereignis A = Teilmenge von Ω
Bsp.: Werfen eines Würfels: A ... Die Augenzahl ist größer als 4 A =
Elementarereignis: Teilmenge von Ω , die nur ein Element enthält
Bsp.: Werfen eines Würfels: A ... Die Augenzahl ist 5 A =
Sicheres Ereignis: A = Ω
Bsp.: Werfen eines Würfels: A ... Die Augenzahl ist
Unmögliches Ereignis: A = { }
Bsp.: Werfen eines Würfels: A ... Die Augenzahl ist
Gegenereignis A’ = Ω \A (Differenzmenge)
Bsp.: Werfen eines Würfels: A ... Die Augenzahl ist kleiner als 3 A =
A’ ... Die Augenzahl ist
Es gilt immer:
A ∪ A’ =
A ∩ A’ =
Bsp.: Münzwurf: Ω = { Kopf , Zahl }
Die beiden Ergebnisse Kopf und Zahl sind
P( Kopf ) =
1
2
= 50% ,
P ( Zahl ) =
1
2
= 50%
P ... „Probability“
Bsp.: Werfen eines Würfels: Ω =
P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) = P( 4 ) = P( 5 ) = P( 6 ) =
Def.: Ein Experiment heißt LAPLACE-Experiment, wenn alle möglichen Ergebnisse
gleichwahrscheinlich sind.
Gibt es n mögliche Ergebnisse ω i, so tritt jedes mit der Wahrscheinlichkeit
d.h. P ( ω i) =
1
n
1
n
Beispiele für LAPLACE-Experimente:
Gegenbeispiel:
Berechnen von Wahrscheinlichkeiten:
Def.: Unter der Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A versteht man eine Zahl
von 0 bis 1, d.h. 0 ≤ P(A) ≤ 1
Bsp.: unmögliches Ereignis: P( { } ) =
sicheres Ereignis: P( Ω ) =
Bsp.: Werfen eines Würfels: A ... Augenzahl ist gerade
A=
Ω =
P(A) =
Def.: LAPLACE’sche Wahrscheinlichkeitsregel:
P(A) =
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Voraussetzung: LAPLACE-Experiment (d.h. alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich)
ein,
Bsp.: Aus 20 Spielkarten wird eine gezogen:
A … man zieht einen König
P(A) =
B … man zieht eine Figur (König, Dame, Bub)
P(B) =
C … man zieht ein rotes As
P(C) =
D … man zieht keine Herzkarte
P(D) =
Bsp.: Wurf eines Würfels
A … Augenzahl ist kleiner als 5
A=
P(A) =
A’ … Augenzahl ist größer oder gleich 5
A’ =
P(A’) =
P(A) + P(A’) = 1
Pfadregeln
Bsp.: 2 Münzen werden geworfen.
ges.: Wahrscheinlichkeit, dass beide Kopf zeigen
Ω ={ (K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z) }
P(K,K) =
Das gleichzeitige Werfen von 2 Münzen ist gleichwertig mit dem zweimaligen
Werfen einer Münze!
Lösungsweg mit einem Baumdiagramm:
K
Z
P(2 x Kopf) =
P(2 x Zahl) =
K
Z
K
Z
P( zuerst K, dann Z) =
P( zuerst Z, dann K) =
Kommt es auf die Reihenfolge der Ergebnisse an (hier: (K,Z) ≠ (Z,K) ), so spricht man von
einer geordneten Stichprobe. Ihre WS ist das Produkt alles WS längs des zugeordneten
Pfades. (1.Pfadregel)
P( 2 verschiedene Ergebnisse) = P(K,Z) + P(Z,K) =
Fasst man (K,Z) und (Z,K) zu einem Ereignis zusammen, d.h. kommt es auf die Reihehfolge
nicht an, so spricht man von einer ungeordneten Stichprobe. Ihre WS ist die Summe der
zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. (2.Pfadregel)
Bsp.:
Eine Münze wird dreimal geworfen:
Es sei: A ... nach zweimal Kopf wird Zahl geworfen
B ... es wird dreimal das gleiche geworfen
C ... Zahl wird öfter als Kopf geworfen
D ... es wird mindestens einmal Kopf geworfen
ges.: P(A), P(B), P(C), P(D)
Bsp.:
Eine Urne enthält 3 rote, 1 blaue und 2 weiße Kugeln. Es wird zweimal gezogen, dabei wird die
gezogene Kugel jeweils in die Urne zurückgelegt („Ziehen mit Zurücklegen“)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
a) 2x die gleiche Farbe gezogen wird
b) mindestens eine rote Kugel gezogen wird
c) 2x blau gezogen wird
d) 2 verschiedene Farben gezogen werden
Bsp.:
Eine Urne enthält 3 rote, 1 blaue und 2 weiße Kugeln. Es wird zweimal gezogen, dabei wird die
gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt („Ziehen ohne Zurücklegen“)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
a) 2x die gleiche Farbe gezogen wird
b) mindestens eine rote Kugel gezogen wird
c) 2x blau gezogen wird
d) 2 verschiedene Farben gezogen werden