Blatt 10 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
30.06.2017
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 10
Abgabe bis 07.07.2017, 17:00 s.t.
Aufgabe 10.1
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0, f /1}, und
• Π = {p/1, q/2, r/3}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X.
Markieren Sie durch Ankreuzen, welche der folgenden Formeln über Σ und X in Negationsnormalform (NNF), bereinigt, in Pränexnormalform (PNF), in Skolemnormalform (SNF)
oder in keiner der genannten Formen sind.
Hinweis: Es können mehre Spalten zutreffen, d.h. es ist erlaubt mehr als nur 1 Kreuz pro
Zeile zu setzen.
Formel
Keine NNF Bereinigt PNF SNF
1 q(a, x) → q(x, a)
2 q(a,x) ∧ q(f (a), f (x))
3 ∃ x ¬q(a, x) ∨ q(x, a)
4 ∀ x q(a, x) ∧ ¬p(f (x))
5
6
7
8
9
10
r(f (a),
y, a) ∧ ∃ y q(y, a)
∃ x ¬ q(a, x) ∨ r(a, x, a)
∀ x q(f (a), x) ∧ ∃ y r(y, a, x)
∃ x q(a, x) ∨ ¬∃ x q(f (x), f (a))
∀ x ∃ y r(x, y, z) → ∃ z q(z, f (z))
∀ x ∃ y ∀ z (q(x, y) ∧ p(z)) → q(z, y)
Aufgabe 10.2
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0, f /1}, und
• Π = {p/1, q/2, r/3}.
Ferner seien X eine Menge von Variablen und u, u0 , w, x, y, z ∈ X.
a) Geben Sie für die folgende Formel über Σ und X eine äquivalente Formel in Negationsnormalform an.
¬∀ x ∃ y
p(y) → ¬q(a, x) ∧ ¬q(x, y)
b) Geben Sie für die folgende Formel über Σ und X eine äquivalente Formel in bereinigter
Form an.
!
↔ q(a, z) ∧ ¬ ∃ w ∃ z r(x, w, z)
∀x ∃y
∃ z ∃x q(a, x) → r(z, w, y)
c) Geben Sie für die folgende Formel über Σ und X eine äquivalente Formel in Pränexnormalform an.
∀ w q(a, w) ∨ ∃ x ∀ y ¬r(a, x, y) ∧ ∃ z ¬r(x, y, z)
d) Bringen Sie die folgende Formel über Σ und X in Skolemnormalform:
∃ u ∀ u0 ∃ w ∃ x ∀ y ∃ z ¬r(f (u0 ), x, y) ∧ r(w, a, z) ∧ r(y, x, u)
e) Geben Sie für die folgende Formel über Σ und X eine äquivalente Formel mit Matrix
in konjunktiver Normalform an.
∀x ∀y
¬q(x, y) ∧ q(y, a) ∨ p(f (y)) ∨ r(x, a, y)
f) Stellen Sie die folgende Formel über Σ und X als Klauselmenge dar.
∀x ∀y ∀z
r(x, y, z) ∧ ¬q(x, a) ∨ q(x, z) ∧ p(f (a)) ∨ p(f (x)) ∨ p(z)
Aufgabe 10.3
Sei Ω = {a/0, b/0. f /1, g/1, h/2} eine Menge von Funktionssymbolen, X eine Menge
von Variablen und v, x, y, z ∈ X.
Gegeben sind die folgenden 10 Unifikationsprobleme über Ω und X:
?
VI) {f (x) = f (y)}
?
VII) {f (x) = g(y)}
I) {a = x}
II) {b = a}
?
III) {x = b}
?
IV) {x = f (x)}
?
V) {y = f (x)}
?
?
?
VIII) {h(x, y) = h(a, b)}
?
?
?
IX) {x = f (z), y = f (a), x = y}
?
?
X) {h(x, f (y)) = z, z = h(f (y), v)}
a) Wenden Sie den Martelli-Montanari Algorithmus auf die gegebenen Probleme an. Notieren Sie dabei sämtliche Zwischenschritte und dabei auch den Namen der im Schritt
angewendeten Regel. Jeder Schritt soll genau einer Anwendung genau einer Regel
entsprechen.
Hinweis: Achten Sie darauf, den Algorithmus so lange anzuwenden, bis keine Regeln
mehr anwendbar sind.
b) Verwenden Sie die Ergebnisse aus dem vorherigen Aufgabenteil um eine begründete
Aussage über das (Nicht-)Vorhandensein eines Unifikators zu machen. Gibt es einen
Unifikator für ein Probleme, so geben Sie ihn explizit an.
∗1
∗2
B 225
B 224
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