Blatt 12 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
10.07.2015
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 12
Abgabe bis 17.07.2015, 17:00 s.t.
Aufgabe 12.1
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {f /1, g/1, h/2}, und
• Π = {p/1}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und v, w, x, y, z ∈ X.
Gegeben sind die folgenden 3 Unifikationsprobleme über Σ und X:
?
?
?
?
?
?
I) {p(v) = p(w), h(x, f (y)) = v, w = h(f (y), z)}
II) {p(v) = p(w), h(x, f (x)) = v, w = h(f (y), x)}
?
?
?
III) {p(v) = p(w), h(x, x) = v, w = g(y)}
a) Wenden Sie den Martelli-Montanari Algorithmus auf die gegebenen Probleme an. Notieren Sie dabei sämtliche Zwischenschritte und dabei auch den Namen der im Schritt
angewendeten Regel. Jeder Schritt soll genau einer Anwendung genau einer Regel
entsprechen.
Hinweis: Achten Sie darauf, den Algorithmus so lange anzuwenden, bis keine Regeln
mehr anwendbar sind.
b) Verwenden Sie die Ergebnisse aus dem vorherigen Aufgabenteil um eine begründete
Aussage über das (Nicht-)Vorhandensein eines Unifikators zu machen. Gibt es einen
Unifikator für ein Probleme, so geben Sie ihn explizit an.
Aufgabe 12.2
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0, b/0, c/0}, und
• Π = {p/2, q/3}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X.
Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Σ und X:
N ={
(1) : {p(a, x), p(y, b)},
(2) : {¬p(a, y), ¬q(y, c, a)},
(3) : {¬p(x, b), q(b, z, x)},
}
Verwenden Sie den Resolutionskalkül, um zu begründen, dass N unerfüllbar ist. Geben
Sie dabei explizit alle Unifikatoren, Umbenennungen und Faktoren an. Führen Sie keine
Vereinfachungen an der gegebenen Klauselmenge durch.
Aufgabe 12.3
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0, b/0}, und
• Π = {p/3, q/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X.
Gegeben seien die folgenden Formeln über Σ und X:
F = ∀x∀y∀z((¬p(b, z, x)) ∧ (p(a, z, x) ∨ p(x, z, y)) ∧ (¬p(x, z, x) ∨ q(b, x)))
G = ∃x∃y∃z(¬p(y, z, x) ∧ p(x, z, x) ∧ q(y, a))
Verwenden Sie den Resolutionskalkül, um zu begründen, dass F |= G gilt. Geben Sie dabei
explizit alle Unifikatoren, Umbenennungen und Faktoren an. Führen Sie keine Vereinfachungen an den gegebenen Formeln durch.
Aufgabe 12.4
Hinweis: Der Tableaukalkül in der Prädikatenlogik wird in einer der kommenden Vorlesungen eingeführt, sodass Sie vor dem Ende der Abgabefrist informiert sein werden.
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = ∅, und
• Π = {p/1, q/1, r/1, s/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y ∈ X.
Gegeben sei die folgende Formel über Σ und X:
F = ∃x p(x) ∧ r(x)
∧
∀x ¬ ∃y (q(x) ∧ s(x, y)) → ¬r(x)
∧
¬∃x∃y q(x) ∧ s(x, y)
Verwenden Sie den Tableaukalkül mit freien Variablen, um zu begründen, dass F unerfüllbar ist. Führen Sie keine Vereinfachungen an der gegebenen Formel durch.
Aufgabe 12.5
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a}, und
• Π = {p/1, q/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y ∈ X.
Gegeben sei die folgende Formel über Σ und X:
!
!
F = ∀x∀y ¬p(y) → q(x, a)
→
∃x∀y q(y, x) ∨ ∀x p(x)
Verwenden Sie den Tableaukalkül mit freien Variablen, um zu begründen, dass F allgemeingültig ist. Führen Sie keine Vereinfachungen an der gegebenen Formel durch.
Aufgabe 12.6
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a, b, c, f /1, g/1}, und
• Π = {p/1, q/2}.
Zeigen Sie, wie das Herbrand-Universum für die Signatur Σ aufgebaut ist, indem Sie 10
ausgewählte Individuen exemplarisch angeben.
∗1
∗2
B 225
B 224
[email protected]
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www.uni-koblenz.de/~sofronie
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Bitte beachten Sie die Modalitäten zur Abgabe, die Sie unter http://userp.uni-koblenz.de/~mbender/
ss15logic.html einsehen können.
Bei Fragen zu Ihrer Korrektur wenden Sie sich an [email protected].