Blatt 12 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans
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Dipl.-Inform. Markus Bender ∗
∗1
08.07.2013
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 12
Abgabe bis 15.07.13, 13:00 s.t.
Aufgabe 12.1
Zeigen Sie mit Hilfe des Tableaukalküls für Prädikatenlogik, dass die folgende Formel in
der Signatur Σ = (∅, {p/1, q/1, r/1, s/1}) und mit der Variablen x ∈ X unerfüllbar ist.
∀x(p(x) → (q(x) ∧ r(x))) ∧ ∃x(p(x) ∧ s(x)) ∧ ∀x(¬s(x) ∨ ¬r(x))
Konstruieren Sie ein Tableau mit freien Variablen. Führen Sie vor der Verwendung des
Tableaukalküls keine Äquivalenzumformungen durch.
Aufgabe 12.2
Sei F die folgende prädikatenlogische Formel:
F = ∀x¬(∀y(p(x, y) ∧ q(x)) ∧ ¬(∃x p(x, f (x)) ∧ ∃x q(x)))
in der Signatur Σ = (Ω, Π), wobei Ω = {f /1}, Π = {p/2, q/1} mit Variablen x, y ∈ X.
a) Verwenden Sie den Tableaukalkül mit freien Variablen auf Formel F um zu zeigen,
dass F allgemeingültig ist. Führen Sie vor der Verwendung des Tableaukalküls keine
Äquivalenzumformungen durch.
b) Erklären Sie kurz (anhand des erhaltenen Tableaus) warum F allgemeingültig ist.
Hinweis: Die folgenden Aufgaben sind als Bonusaufgaben konzipiert, d.h. Sie haben die
Möglichkeit zusätzliche Punkte für die Zulassung zu erhalten, können aber auch volle Punktzahl für das Blatt erreichen, ohne die folgenden Aufgaben zu bearbeiten.
Aufgabe 12.3
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {f /2, g/1, a/0, b/0} und Π = {p/3, ≈/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X.
Markieren Sie durch Ankreuzen, welcher der folgenden Ausdrücke über Σ und X zu welchem der genannten Konzepten gehört. Dabei steht NNF für die Negationsnormalform und
PNF für die Pränexnormalform.
Hinweis: Es können mehre Spalten zutreffen, d.h. es ist erlaubt mehr als nur 1 Kreuz pro
Zeile zu setzen.
Ausdruck
Nichts Term Atom Literal Klausel Formel NNF PNF
¬p(x, g(a), f (y, g(a)))
f (x, x) ≈ x
p(f (x, a), x, a) ∨ p(a, b, x)
p(¬g(x), g(y), y)
¬p(f (x, y))
¬p(f (x, y), y, x) ∨ p(x, x, y)
p(a, b) ∧ p(x, y) ∧ y
∃y(¬p(f (y, y), x, y))
∀x∀y(f (p(x, y, x), x) ≈ g(x))
¬∀x∀y(f (y, x) ≈ g(x))
p(f (x, y), x, z) ∨ ∀z p(x, x, y)
Aufgabe 12.4
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {f /2, g/2} und Π = {≈/2}. Sei X eine Menge
von Variablen und x, y, z ∈ X.
Sei A die folgende Σ-Struktur:
A = (R, {fA : R × R → R, gA : R × R → R}, {≈A })
wobei
R die Menge aller reellen Zahlen ist;
für alle n1 , n2 ∈ R, fA (n1 , n2 ) = n1 ∗ n2 ∈ R
für alle n1 , n2 ∈ R, gA (n1 , n2 ) = n1 − n2 ∈ R
für alle n1 , n2 ∈ R, n1 ≈A n2 gdw. n1 = n2
Sei β : X → R mit β(x) = 2.3, β(y) = 1.0, β(z) = 19.3.
Evaluieren Sie:
I) A(β)(g(f (x, y), f (z, y))).
II) A(β)(∃x(f (x, x) ≈ 2)).
III) A(β)(∀x∀y(g(x, y) ≈ g(y, x))).
Geben Sie dabei sinnvolle Zwischenschritte an.
(Multiplikation reeller Zahlen)
(Substraktion reeller Zahlen)
(Gleichheit reeller Zahlen)
Aufgabe 12.5
Sei Σ = (Ω, Π), mit Ω = {f /1, h/2}, Π = {p/2, q/2}. Sei X eine Menge von Variablen
und u, w, x, y, z ∈ X.
Sei N die folgende Klauselmenge in dieser Signatur:
(1) : {p(h(x, x), f (x))}
(2) : {¬p(h(y, z), z), ¬q(z, h(f (z), z))}
(3) : {p(h(u, f (u)), f (h(w, w)))}
a) Geben Sie die Allgemeine Form einer Resolutionsinferenz in der Prädikatenlogik an.
b) Ist ein Resolutionsschritt zwischen Klausel (1) und Klausel (2) möglich? Begründen Sie
Ihre Antwort. Sollte das Bilden einer Resolvente möglich sein, geben Sie diese an.
c) Ist ein Resolutionsschritt zwischen Klausel (2) und Klausel(3) möglich? Begründen Sie
Ihre Antwort. Sollte das Bilden einer Resolvente möglich sein, geben Sie diese an.
Bemerkung: Benutzen Sie für die Berechnung der Unifikatoren in b) und c) explizit
den Unifikationsalgorithmus nach Martelli-Montanari. Notieren Sie dabei die einzelnen
Zwischenschritte. Jeder Schritt soll der Anwendung genau einer Regel des Algorithmus’
entsprechen. (Die Namen der verwendeten Regeln müssen nicht angegeben werden.) Achten
Sie darauf, den Algorithmus so lange anzuwenden, bis keine Regel mehr anwendbar ist.
Aufgabe 12.6
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {h/1} und Π = {p/2}. Sei X eine Menge von
Variablen und x, y, z, u ∈ X.
Sei F die folgende prädikatenlogische Formel in der Signatur Σ:
!
∃u ∀x
∃y ¬ p(x, y) ∨ ∀w (p(h(y), u))
→ ∃y (¬p(y, x) ∨ ¬p(x, y))
Geben Sie zur Formel F jeweils die folgenden Formen an:
a) die Negationsnormalform;
die bereinigte Form;
die Pränexnormalform;
b) die Skolemform;
c) die Skolemform mit Matrix in konjunktiver Normalform;
die Klauselnormalform (in Mengennotation).
Aufgabe 12.7
Sei Σ = (Ω, Π), eine Signatur mit Ω = {f /1, b/0, c/0}, Π = {p/2, q/2, r/3} und X
eine Menge von Variablen mit x, y, z ∈ X.
Sei N die folgende Klauselmenge in dieser Signatur:
{
(1) : {p(x, x)}
(2) : {¬q(x, y)}
(3) : {r(c, x, y), r(z, x, b)}
(4) : {¬p(f (x), f (y)), q(f (x), c), ¬r(c, y, x), ¬r(c, z, x)}
}
Beweisen Sie mit Hilfe des prädikatenlogischen Resolutionkalküls, dass die Klauselmenge
N unerfüllbar ist:
a) Wenden Sie den Resolutionskalkül auf die gegebene Klauselmenge an und versuchen Sie
die leere Klausel herzuleiten. Geben Sie für jeden Schritt explizit alle Umbenennungen,
Unifikatoren, Resolventen bzw. Faktoren an.
b) Verwenden Sie das Ergebnis aus Aufgabenteil a) um eine begründete Aussage über die
Unerfüllbarkeit der gegebenen Klauselmenge N zu machen.
Aufgabe 12.8
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0, f /1, h/1}
• Π = {p/1, q/1}
a) Beschreiben Sie das Herbrand-Universum für diese Signatur.
b) Gegeben sei die folgende Struktur:
A = (TΣ , {aA , fA , hA }, {pA , qA }) mit
• aA = a ∈ TΣ
• fA : TΣ → TΣ , fA (t) = f (t) ∈ TΣ
• hA : TΣ → TΣ , hA (t) = h(t) ∈ TΣ
• pA = {a, f (a) , f (f (f (a)))}
• qA = {a, h(h(a))}
Geben, Sie die Menge der Grundatome I an, die diese Interpretation identifiziert.
c) Sei I = {p(a), q(a), q(h(f (a))), p(f (h(f (h(a)))))}. Welche Herbrand-Interpretation
wird von I identifiziert?.
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B 225
B 224
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Bitte beachten Sie die Modalitäten zur Abgabe, die Sie unter http://userp.uni-koblenz.de/~mbender/
ss13logic.html einsehen können.