Algorithmen zur Separierung reeller Nullstellen Uspensky

Algorithmen zur Separierung reeller Nullstellen
U spensky Algorithmus
Sturm Algorithmus
Anwendung:
- Intervallarithmetik
- Algebraische Zahlen
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Definition: Varianz einer Sequenz
Def:
Sei u = [u0 , u1 , .., us ] eine Sequenz reeller Zahlen, und
[u00 , u01 , ..., u0t ] die Teilsequenz aller Werte 6= 0.
Dann ist var[u0 , u1 , .., us ], die Anzahl der Vorzeichenwechsel in u0 , also:
var[u0 , u1 , .., us ] := | {i | u0i u0i+1 < 0} |.
2
Bsp:
var[
1, −2, −4, 5,
6 ] = 2
var[
0, 1, −2, −4, 5,
6 ] = 2
var[
1, 0, 1, −2, −4, 5,
0 ] = 2
var[ −1, 0, 1, −2, −4, 5,
6 ] = 3
3
Descartes’ Rule of Sign :
Die Anzahl der Vorzeichenwechsel der Koeffizienten eines Polynoms A, übersteigt die Anzahl der positiven Nullstellen von
A um eine nicht negative gerade Zahl.
var[a0 , a1 , ..., an ] − |{αi |A(αi ) = 0 ; αi > 0}| = 2k,
k ∈ N0
Weiter gilt :
var[a0 , a1 , ..., an ] = 0
⇒ A besitzt keine positiven Nullstellen
var[a0 , a1 , ..., an ] = 1
⇒ A besitzt genau eine positive Nullstelle
Negative Nullstellen: betrachte A(-x).
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Uspensky Algorithmus :
Eingabe :
Ein primitives quadratfreies Polynom A mit
deg(A) = n > 0.
Ausgabe :
Eine Liste isolierender Intervalle der positiven
reellen Nullstellen von A.
(1)
Bestimme eine rootbound der Form 2k
[Rootbound]
(2)
if (k ≥ 0) then B(x) := A(2k x)
[Transform]
else B(x) := 2−kn A(2k x)
(3)
L0 := Subalgorithmus(B)
[Subalgorithmus]
(4)
foreach (a0i , b0i ) in L0
[Output]
L.add((2k a0i , 2k b0i ))
return L
5
Subalgorithmus :
Eingabe :
Ein primitives quadratfreies Polynom A mit
deg(A) = n > 0.
Ausgabe :
Eine Liste isolierender Intervalle der reellen Nullstellen von A in (0,1).
(1)
A∗ := (x + 1)n A(1/(x + 1))
[Basis]
Bestimme r über Descartes Rule of Sign von A∗
if (r == 0) then return L := ()
if (r == 1) then return L := ((0, 1))
(2)
if (A(1/2) == 0)
[Midpoint]
then L.add((1/2, 1/2)); A := A/(2x − 1)
(3)
A0 := 2n A(x/2);
L0 := Subalgorithmus(A0 )
[Left half]
foreach (a0i , b0i ) in L0
L.add((a0i /2, b0i /2))
(4)
A00 := A0 (x + 1);
L00 := Subalgorithmus(A00 )
[Right half]
00
00
foreach (a00
i , bi ) in L
00
L.add(((a00
i + 1)/2, (bi + 1)/2))
(5)
return L
[Output]
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GCD - Euklidischer Algorithmus
Eingabe :
Polynome A,B ∈ Z[x]
Ausgabe :
GCD(A, B) = Rh
A
=
Q1 B
+ R2
B
=
Q 2 R2
+ R3
R2
=
..
.
Q 3 R3
+ R4
Rh−2
=
Qh−1 Rh−1
+ Rh
Rh−1
=
Q h Rh
Polynomial Remainder Sequence
P RS(A, B) = [A, B, R2 , R3 , . . . , Rh ]
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Beispiel GCD - Algorithmus:
A = x8 + x6 − 3x4 − 3x3 + 8x2 + 2x − 5
B
= 3x6 + 5x4 − 4x2 − 9x + 21
R2
= −15x4 + 3x2 − 9
R3
= 15795x2 + 30375x − 59535
R4
= 1254542875143750x − 1654608338437500
R5
= 12593338795500743100931141992187500∗
(∗ ohne Gewähr)
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Erstellen einer Sturm Sequenz
Bilde GCD(A,A’)
⇒ P RS(A, A0 )
= [A,
[A0 ,
A0 ,
R2 ,
. . . , Rh ]
A1 ,
A2 ,
. . . , Ah ]
⇒ SturmSequence(A) = [σ0 A0 , σ1 A1 , σ2 A2 , . . . , σh Ah ]
= A
Bestimme σi ∈ {−1, +1}, i ∈ {0, ..., h} durch folgende Regel:
1.:
σ0
= +1
2.:
σ1
= +1
3.:
αi σi−1 Ai−1
= Ai Qi + βi σi+1 Ai + 1 | αi βi < 0
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Def:
Sei A = [A0 , A1 , . . . , As ] eine Polynomsequenz und a ∈ R,
dann ist
varA (a) := var(A0 (a), A1 (a), . . . , As (a)).
Sturm Theorem :
Die Anzahl der reellen Nullstellen von A in (a, b] ist
V arA (a, b) := varA (a) − varA (b).
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Sturm Algorithmus :
Eingabe :
Ein primitives quadratfreies Polynom A mit
deg(A)>0.
Ausgabe :
Eine List isolierender Intervalle der reellen Nullstellen von A.
(1)
L := ((−b, b]), wobei b Rootbound von A.
(2)
Erstelle Sturm Sequenz A
(3)
foreach (a, b] in L bisect((a, b])
(4)
foreach (a, b] in L
r = Anzahl der Nullstellen in (a, b] (Sturm Theorem)
if (r == 0) then ignoriere das Interval
if (r == 1) then gib das Interval aus
if (r > 1) then belasse Interval in L
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Laufzeiten:
Bestimmt durch zwei Parameter:
n = deg(A),
Def : f (n) ∈ Lk (n)
⇔
d=
qP
n
2
i=0 ai
f (n)/log k (n) ∈ o(log(n));
Sturm Algorithmus:
Schritt (2): Sturm Sequenzen
O(n4 L(d)2 )
Schritt (3): Aufteilen und Auswerten
O(n7 L(nd)3 )
Der Algorithmus wird aber in der Regel von Schritt(2), also dem
erstellen der PRS dominiert. ( Koeffizientenexplosion )
Uspensky Algorithmus
worst case
: O(n6 L(d)2 )
average case
: O(n4 + n3 L(d))
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