strategischer Effekt und Überinvestition

Institut für
Ökonomie und Recht
der globalen Wirtschaft
3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen
Idee:
Idee: Das Spiel setzt sich aus K+1 „Stufen“ zusammen, wobei eine Stufe k aus einem Teilspiel mit simultaner Wahl von Aktionen aik besteht und alle Spieler die Aktionen auf den k‐1
d ll
l d
k
f d k davor liegenden Stufen beobachten können d
l
d
f b b h
k
k
0
1
k‐1
(führt auf „history“ h = (a , a ,…, a )).
[(i) Beginn mit k = 0 wegen vereinfachter Notation bei Analyse mit Diskontierung;
(ii) auch alternierende Aktionen durch einelementige Aktionsmenge „nichts tun“] Beispiele:
Cournot‐Duopol
Duopol (einstufig) (einstufig)
‐ Cournot
‐ Stackelberg‐Duopol (zweistufig, alternierende Aktionen) ‐ strategischer F&E‐Wettbewerb (zweistufig, Stufenspiele simultan)
‐ Markteintrittsspiel von Dixit (Aktionsraum von „history“ abhängig)
‐ Rubinstein‐Verhandlungsspiel (Stufen nicht unbedingt Zeitpunkte)
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Angewandte Spieltheorie
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
Beispiel F&E‐Investition – strategischer Effekt und Überinvestition
Beispiel:
‐ Duopol mit Mengenstrategien, DK
mit Mengenstrategien DK =GK= 2, p(X)
2 p(X) =14–
=14 X
‐ Unternehmen 1 kann in k=0 durch Investition f für Unternehmen 2 beobachtbar seine Kosten auf DK =GK=0 reduzieren
‐ Mengenwettbewerb in k=1
Mengenwettbewerb in k 1
x2
Auswirkung F&E‐Investition:
A: Wegen geringerer DK
A:
Wegen geringerer DK höherer Gewinn für höherer Gewinn für
Unt. 1 bei gleichen Mengen (direkter Effekt)
B: Da die Grenzkosten sinken, besteht
f
für Unt. 1 bei gegebenem x
b
b
2 ein Anreiz zur Ausweitung der eigenen Absatzmenge (Mengenausweitungseffekt)
r1(x2)
C: Da Unt. 1 für jede gegebene Menge von Unt. 2 mehr produziert, wird Unt. 2 seinen (
g
)
Absatz reduzieren (strategischer Effekt) r1´ (x2)
A
B
C
r2(x1)
x1
Überinvestition: bei diskreter Entscheidung erfolgt Investition auch für höheres f
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
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Rubinstein Verhandlungsspiel
Annahmen:
Annahmen: ‐ Zwei Spieler, Aufteilung eines „Kuchens“ der Größe 1: z=(z1, z2) mit z1 +z2 = 1
‐Spieler machen abwechselnd Vorschläge; akzeptiert oder Gegenvorschlag in t+1:
t=0: Sp 1: a10 = (x,1
t=0: Sp. 1: a
= (x 1–x);
x); Sp. 2: a
Sp 2: a211 = ja 
ja  Ergebnis z=(x,1
Ergebnis z=(x 1–x)
x), a
a221 =nein 
=nein  weiter
2 t = 1: Sp. 2: a2 = (y, 1–y) usw. bis ein Spieler das Angebot des anderen akzeptiert ‐ Nutzen abhängig von zi und Verhandlungsdauer: ui = it zi mit 0≤ i ≤1
‐ endlich: K+1=1
endlich: K+1 1 Diktatorspiel, K
Diktatorspiel K +1=
+1 2 Ultimatumspiel; hier:
Ultimatumspiel; hier: (potentiell) unendlich!
(potentiell) unendlich!
Teilspielperfektes Gleichgewicht ohne Endperiode?
‐ muss für jedes in t ≥ 0 beginnende Teilspiel ein Nash‐Gleichgewicht beinhalten
‐ bei unendlichem Horizont ist Spiel in geraden und ungeraden Perioden identisch
b i
dli h
H i
i S i li
d
d
d P i d id i h
Spieler i, der über Annahme des Angebots entscheidet, muss gerade indifferent sein
zwischen Auszahlung in t bei Annahme und Auszahlung in t +1 bei Ablehnung:
1t (1– y) = 1t+1 x
x*=(1– 2)/(1 – 12) in t = 0,2,…
[(1 – 2)/(1 – 12), 
 z* =
t t+1
*
2 (1– x) = 2 y
y = (1 – 1)/(1 – 12) in t =1,3,… (1– 1)2/(1 – 12)] Wegen Diskontierung für Spieler 1 schon in Periode t =0 optimal x
Wegen Diskontierung für Spieler 1 schon in Periode t
optimal x* anzubieten!
Fragen: (i) Auswirkung Reihenfolge und Diskontfaktor? (ii) endlicher Horizont?
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
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Kritik an Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit
Fragen: (i) Ergebniss immer plausibel? (ii) tatsächliches Verhalten wie vorhergesagt?
Fragen: (i) Ergebniss immer plausibel? (ii) tatsächliches Verhalten wie vorhergesagt?
Drei (Bei)Spiele zur Veranschaulichung kritischer Aspekte:
1 s11
2
s12
s21
N sN1
s22
((1,1,..,1)
, , , )
sN2
((½,, ½,..,
, , ½))
((⅟N, ⅟N,,..,, ⅟N)
1
1 a120 2 a22 1 a122 2 a223 1 a124
a211
a110
(1,0)
(0,1)
a112
(3,0)
(1) viele Spieler
(2,2,..,2)
a213
a114
(2,4)
(2) zwei Spieler mehrmals
(2) zwei Spieler mehrmals
(5,5)
1
3
(6,3)
a211
2
a110
(3) mehrere Nash‐Gleichgewichte
Nash
Gleichgewichte
1
a221
a120
a312
a322
1
a112
(0,0,0)
a122
(7,10,7)
a112
(7,10,7)
a122
(0,0,0)
(8,6,8)
(6,0,6)
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1. Einführung: Idee, Beispiele, formale Darstellung
2. Statische Spiele bei vollständiger Information
3. Dynamische Spiele und unvollständige Information
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Dynamische Spiele und unvollständige Information
Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen:
Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit
Wi d h lt S i l
Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
dk
ti
V h lt
Spiele mit unvollständige Information:
Spiele
mit unvollständige Information:
Bayes‐Nash‐ und sequentielles Gleichgewicht
Literatur zu 3.2:
Holler/Illing, 4.2 (ohne 4.2.7), Dixit/Skeath, 11.1 + 11.2
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
Aufbau von Abschnitt 3.2:
• Konzept „wiederholtes Spiel“
d
dynamisches Spiel mit stationärer Struktur, Aktion in t von Spielverlauf abhängig
i h S i l i
i ä S k
Ak i i
S i l l f bhä i
• Gefangenendilemma als wiederholtes Spiel einstufiges vs. mehrstufig, aber endliches vs. unendlich oft wiederholtes Spiel • Folktheoreme
endlich vs. unendlich oft wiederholtes Spiel, Konzept „individuell rationale Auszahlungen“
• Probleme und Erweiterungen stochastische Spiele, neuverhandlungsstabile Gleichgewichte,
Lösungsansätze für Diskontinuität zwischen beschränkten und unendlichem Zeithorizont
Lösungsansätze für Diskontinuität zwischen beschränkten und unendlichem Zeithorizont
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
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Konzept „wiederholtes Spiel“
• Dynamisches Spiel mit stationärer Struktur, d.h. ut (at ) = u(at )
(Sonderfall der mehrstufigen Spiele mit beobachtbaren Aktionen): G
Gesamtspiel (T
t i l (T ) besteht aus Wiederholungen des Stufenspiels.
b t ht
Wi d h l
d St f
i l
• Handlungen in früheren Perioden wirken sich zwar nicht auf die Aus‐
zahlungen im Stufenspiel aus, die Spieler haben aber die Möglichkeit, Aktionen in t vom bisherigen Spielverlauf abhängig zu machen (z.B. Bestrafung bei Abweichung vom kooperativen Verhalten).
• Ob
Ob andere Lösungen als die Wiederholung der Nash‐Gleichgewichte des andere Lösungen als die Wiederholung der Nash‐Gleichgewichte des
Stufenspiels realisierbar sind, hängt entscheidend vom Zeithorizont ab (endlich vs. unendlich oft wiederholte Spiele).
D
Daneben spielen aber auch die Struktur des Stufenspiels sowie die b
i l
b
h di St kt d St f
i l
i di
Annahmen bezüglich Rationalität und Information eine wichtige Rolle.
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
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Gefangenendilemma als wiederholtes Spiel
Stufenspiel:
Gesamtspiel (T ) :
a21
a22
‐ einheitlicher Diskontfaktor 
‐ Orientierung an „Durchschnittlicher abdiskontierter Auszahlung“ (DAA)
a11
a12
(1, 1)
(2, ‐1)
(‐1, 2)
(0, 0)
Beachte:
‐ Aktionen statt Strategien
‐ Auszahlungen anders normiert
(erleichtert Berechnungen)
(erleichtert Berechnungen)
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© K. Morasch 2011
1
1   T 1
T

t
ui ( a t )
t0
Umskalierung (gleiche Präferenzen), um Aus‐
wirkungen von Änderungen des Diskontfaktors und des Zeithorizonts leichter zu beurteilen
‐ Vergleiche (i) einstufiges Spiel,
(ii) mehrstufiges, aber endliches Spiel
und (iii) unendliche Wiederholung
und (iii) unendliche Wiederholung
Anwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
Endlich vs. unendlich oft wiederholtes Spiel
• Theorem: Falls sC das einzige Nash‐Gleichgewicht eines Stufenspiels (N, S, u),
so ist die ständige Wiederholung von sC das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht des endlich oft wiederholten Spiels (T )
• Folktheorem: In einem unendlich oft wiederholten Spiel (,  ) lässt sich für  1 jede zulässige individuell rationale Auszahlungskombination als teilspielperfektes Gleichgewicht realisieren (auch kooperatives Verhalten)
teilspielperfektes Gleichgewicht realisieren (auch kooperatives Verhalten)
individuell rationale Auszahlungen:
V C = {u(s)|sS,
V {u(s)|sS, ui  uiC für alle
für alle iN}
C
mit ui als Auszahlung, die sich ein
Spieler mindestens sichern kann
(mit Konfliktpunkt C = (u
(mit Konfliktpunkt C
(u1C,…, unC )
und pareto‐optimalem Punkt P )
u2
Paretogrenze
g
P
VC
C
u1
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3.1 Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Aktionen
3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten
3.3 Spiele mit unvollständige Information
Probleme und Erweiterungen
• Stochastische Spiele: Strafpfad ohne Abweichung ‐ wie zurück?
 Rückkehr zu Kooperation nach festgelegter Strafperiode
• B
Bei Vergeltung auch geringere Auszahlung für Bestrafende 
iV
lt
h
i
A
hl
fü B t f d
D h
Drohung unglaubwürdig 
l b ü di
Lösung: neuverhandlungsstabile Gleichgewichte • Diskontinuität zwischen beschränkter und unendlichem Zeithorizont
‐ Stufenspiel mit mehreren Nash‐Gleichgewichten
(F lkth
(Folktheorem für T
fü T  ))
 Beispiel: ‐ Möglichkeit „irrationaler“ Mitspieler
(spielen immer kooperativ)
‐ beschränkte Rationalität
(„befriedigendes Ergebnis“)
© K. Morasch 2011
a21
a22
a23
a11
(1, 1)
(‐1, 2)
(‐2,‐2)
a12
(
(2,‐1)
)
( )
(0, 0)
(
(‐2,‐2)
)
a13
(‐2,‐2)
(‐2,‐2)
(‐2,‐2)
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