3 Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie

In diesem Kapitel werden wir den Begriff „Wahrscheinlichkeit “und die Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.B. folgende Fragestellungen zu
beantworten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Herstellungsverfahren die Produktivität
erhöht?
Wie hoch ist die Chance, dass eine neue Investition den Profit steigert?
Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?
Wie hoch ist das Verlustsrisiko bei neuen Verkaufsstrategien?
Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Produktionsverfahren defekte Bauteile
erhält?
Ferner werden aus den zusammengefassten Daten von Stichproben in der deskriptiven
Statistik mit Hilfe der Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechung in der induktiven
(schließenden) Statistik allgemeine Schlussfolgerungen für Grundgesamtheiten gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit ist ein Wert, der die Höhe der Chance für das Eintreten eines
Ereignisses repräsentiert. Wahrscheinlichkeiten können Werte zwischen 0 und 1
annehmen.
Ein Ereignis, das nicht eintreten kann (genannt unmögliches Ereignis) hat eine
Wahrscheinlich der Größe 0. Und ein Ereignis, das mit Sicherheit eintritt (genannt sicheres
Ereignis) hat eine Wahrscheinlichkeit 1.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird ein Prozess, bei dem es mehrere Ergebnisse
(Ausgänge) gibt, als ein Zufallsvorgang bezeichnet.
Einige Beispiele für Zufallsvorgänge und ihre Ergebnisse sind das Werfen einer Münze mit
den Ergebnissen „Wappen“ bzw. „Zahl“ oder hergestellte Bauteile einer Serienproduktion mit
den Ergebnissen „defekt“ bzw. “intakt“.
1
Zufallsvorgang, Ereignis und Ergebnismenge
Die Ausgangssituationen eines Zufallsvorgangs (auch bezeichnet als stochastischer
Vorgang) sind mehrere, sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse.
Die einzelnen Ergebnisse heißen Elementarereignisse.
Die Menge aller möglichen Elementarereignisse (Ausgänge) heißt Ergebnismenge und
wird mit Ω bezeichnet.
Eine beibiege Teilmenge von Ω heißt Ereignis. Ereignisse werden mit großen
Buchstaben z.B. A, B , . . . bezeichnet.
Sind die Prozesse eines Zufallsvorgangs bekannt und unter gleichen Bedingungen
wiederholbar, so spricht man von einem Zufallsexperiment.
Welche verschiedenen Ergebnisse oder Ausgänge sind beim Zufallsexperiment „Wurf eines
homogenen Würfels“ möglich?
Ω={1;2;3;4;5;6}
Beschreiben Sie beim Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ durch
Aufzählung der Elementarereignisse (Versuchsausgänge) die Teilmenge für das Ereignis
„A: gerade“. Augenzahl
A={2;4;6}
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Wenn alle möglichen Ausgänge in einem Zufallsexperiment mit der gleichen Chance
eintreten, so ist die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Ereignis E gegeben durch:
P (E ) =
M
N
Dabei sind:
M : Anzahl der für das Ereignis E günstigen Ergebnisse
N : Anzahl aller möglichen Ergebnisse (Anzahl der Elementarereignisse in der
Ergebnismenge Ω )
2
Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten des folgenden Ereignisses an.
A: „Augenzahl gerade“
A={2;4;6}
P (A) =
M
N
=
M = 3;
Ω={1;2;3;4;5;6}
N=6
3
6
Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten des folgenden Ereignisses an.
B: „Augenzahl durch 3 teilbar.“
={1;2;3;4;5;6};
B={3;6}
N=6
M=2
P(B) = M / N = 2 / 6
In vielen Problemstellungen kennt man die Prozesse der Zufallsvorgänge nicht. Somit
können nicht die Anzahl der günstigen Ergebnisse für ein Ereignis sowie die Anzahl aller
möglichen Ergebnisse angeben werden. Daher wird eine weitere Definition für den Begriff
Wahrscheinlichkeit eingeführt.
Empirische Wahrscheinlichkeit
Die Approximation (Näherung) der empirischen Wahrscheinlichkeit basiert auf der
Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit bei Datenerhebungen. So können für
endliche Grundgesamtheiten die relativen Häufigkeiten für Ereignisse als
Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.
Aus längeren Beobachtungen ist bekannt, dass der Anteil von defekten Bauteilen einer
Serienproduktion 2% beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein zufällig aus der Produktion entnommener Bauteil defekt ist?
dass ein zufällig aus der Produktion entnommener Bauteil intakt ist?
Ereignis: D : „Bauteil defekt“
Relative Häufigkeit: f 1 = 0,02
P( D ) = f 1 = 0,02
Ereignis:
Relative Häufigkeit: f 2 = 0,98
P(
: „Bauteil intakt“
) = f 2 = 0,98
3
Stabilisierung der Häufigkeiten bei großem Stichprobenumfang
Bei sehr vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments stabilisiert sich die relative
Häufigkeit für ein Ereignis, so dass diese als Wert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
angesehen werden kann.
hk
lim f k =
= P (E k )
S→∞
S
Dabei sind:
h k : die absolute Häufigkeit für das Auftreten des Ereignisses E k.
S : die Anzahl der Versuche
f k : die relative Häufigkeit für das Auftreten des Ereignisses E k.
Bei einem wiederholten Wurf von S = 1000 Würfe einer homogenen Münze traten für die
beiden verschiedenen Ereignisse „E 1 : Wappen , E 2 : Zahl “ folgende absolute bzw.
relative Häufigkeiten auf.
k
Ereignis: E k
1
2
E 1 : Wappen
E 2 : Zahl
Absolute
Häufigkeit: h k
510
490
Relative
Häufigkeit: f k
0,51
0,49
Wahrscheinlichkeit P (E k) für das
Auftreten eines Ereignisses E k
P(E 1) = ½ = 0,5
P(E 2) = ½ = 0,5
Bei 1000 Würfen liegt unsere Erwartung, dass jedes der beiden Ereignisse je 500-mal
vorkommt, d.h., dass jedes Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit P (E k) = ½ = 0,5 auftritt.
!
Beschreiben Sie beim Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ durch Aufzählung
der Elementarereignisse:
Die Teilmenge für das Ereignis A : gerade Augenzahl
Die Teilmenge für das Ereignis B : Augenzahl durch 3 teilbar
Die Ergebnismenge
Die Teilmenge für das Ereignis A B : Augenzahl gerade und teilbar durch 3
Die Teilmenge für das Ereignis A U B : Augenzahl gerade oder teilbar durch 3
Die Teilmenge für das Ereignis A – B : Augenzahl gerade aber nicht durch 3 teilbar
Die Teilmenge für das Ereignis
(Ac) : Augenzahl nicht gerade
A={2;4;6},
A B={6},
A
B={3;6},
AUB={2;3;4;6},
B
A
A
1
2
= {1;3;5}
B
A
B
={1;2;3;4;5;6},
A–B ={2;4 },
4
6
5
3
B
4
Da Ereignisse Teilmengen von der Ergebnismenge
Mengen verknüpfen.
Venn-Diagramm
A
Bezeichnung
Produkt von
Ereignissen
B
sind, lassen sie sich daher wie
Schreibweise
A
A
B
Bedeutung
Alle Elemente von
die zu A und B
gehören.
,
B
Summe von
Ereignissen
AUB
AUB
A
Alle Elemente von
die zu A oder B
gehören.
,
B
Differenz von
Ereignissen
A–B
A–B
A
Alle Elemente von ,
die zu A aber nicht zu
B gehören.
(A\B)
B
B
Komplement eines
Ereignisses
Alle Elemente von
die nicht zu A
gehören.
A
,
(Ac)
Rechengesetze für Ereignisse
Leere Menge: Ø
A
Analogien und Unterschiede
zu Rechengesetze der Zahlen
a·0 = 0
Ø = Ø
a +0= a
AUØ = A
A
B = B
a·b=b·a
A
Kommutativgesetze
AUB = BUA
A
(B
C)=(A
a +b=b+a
B)
a·(b·c)=(a·b)·c
C
Assoziativgesetze
AU(BUC) =(AUB)UC
A
(BUC)=(A
B ) U (A
a+(b+c)= (a+b)+c
C)
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
Distributivgesetze
AU(B
______
Regeln von
de Morgan
A
__
B = A
______
A
C)=(AUB)
__
B = A
(A U C )
a+(b·c)≠(a+b)·(a+c)
___
B
___
B
5
Zerlegung von
Die Ereignisse E 1 ; E 2 ; . . . . . ; E n
bilden eine Zerlegung von
wenn:
= E1 U E2 U . . . U En
gilt und diese Ereignisse Paarweise disjunkt sind (sich gegenseitig ausschließende
Ereignisse)
Ei
Ej = Ø
für alle i
j
E1
E1
E3
E2
E2
E4
E5
E3
E4
E5
"
Zeigen Sie für das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“, dass folgende drei
Ereignisse eine Zerlegung der Ergebnismenge bilden.
A: gerade Augenzahl
B: Augenzahl ungerade größer als 1
C: Augenzahl gleich 1
={1;2;3;4;5;6}, A={2;4;6}, B={3;5},
AUBUC={1;2;3;4;5;6}
A B=Ø, A C=Ø, B C=Ø,
Also bilden A , B und C eine Zerlegung von .
C={1}
Zeigen Sie, dass für das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ folgende drei
Ereignisse keine Zerlegung der Ergebnismenge bilden.
A: gerade Augenzahl
B: Augenzahl größer als 2
C: Augenzahl gleich 1
={1;2;3;4;5;6}, A={2;4;6}, B={3;4;5;6},
C={1}
AUBUC={1;2;3;4;5;6}
A B = { 4 ; 6 },
A C=Ø, B C=Ø,
Die erste Bedingung ist erfüllt aber nicht die zweite. Also bilden A , B und C keine Zerlegung
von .
6
# $%
Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov
Für die Wahrscheinlichkeit jedes beliebigen Ereignisses E k gilt:
0
P ( E k)
Die gesamte Ergebnismenge
P(
1
hat die Wahrscheinlichkeit 1:
) = 1
Für disjunkte (d.h. sich gegenseitig ausschließende) Ereignisse E 1 ; E 2 ; . . . . .
gilt:
P(E1 U E2 U . . .) = P(E1) + P(E2) + ....
Zwei oder mehr Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn das Eintreten eines von
ihnen das Eintreten der anderen ausschließt.
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten
Für das unmögliche Ereignis Ø gilt:
P(Ø) =0
Für das zu A komplementären Ereignisses
P(
( Ac ) gilt:
) = 1 – P(A)
Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten des folgenden Ereignisses an.
Bc: „Augenzahl nicht durch 3 teilbar“
7
Satz: Additionssatz für beliebige d.h. nicht notwendig sich ausschließenden
Ereignisse
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A
B)
Wenn A und B sich gegenseitig ausschließen, so gilt: P ( A
B
AUB
A
A
AUB
=
B
A
–
+
A
B) = 0
+
A
B
A
B
=
B
B
&
Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass man eine gerade Augenzahl oder eine durch 3 teilbare Augenzahl erhält.
Es sind:
A : „Gerade Augenzahl“
bzw.
B : „Augenzahl durch 3 teilbar.“
Gesucht ist: P(A U B)
P(A) = 3/6
P(B) = 2/6
A
A
B
B
2
A
A
B
2
1
Da A und B sich nicht gegenseitig ausschließen, gilt: P(A
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A
1
B
B) = 1/6 . Somit ist:
B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6
Geben Sie bei einmaligem Wurf eines homogenen Würfels die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass man eine gerade Augenzahl oder eine durch 5 teilbare Augenzahl erhält.
8
'
A sei das Ereignis „Ziehen eines Ass aus einem Satz Spielkarten“. K sei das Ereignis
„Ziehen eines Königs aus einem Satz Spielkarten“ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit
einer einzelnen Ziehung ein Ass oder eine König zu erhalten?
P (A) = 4 / 52
P (K) = 4 / 52
Da Ass und König nicht bei einer einzelnen Karte gezogen werden können, schließen sich
beide Ereignisse A und K aus. Somit ist P ( A
K) = 0.
A
K=Ø
A
A
K=Ø
K=Ø
44/52
44
4
A
4
A
K
4/52
4/52
A
K
K
Also ist die Wahrscheinlich mit einer Ziehung eine Ass oder König zu erhalten.
P(A U K) = P(A) + P(K) – P(A
K ) = 4 / 52 + 4 / 52 – 0 = 8 / 52
'
A sei das Ereignis „Ziehen eines Ass aus einem Satz Spielkarten“. H sei das Ereignis
„Ziehen eines Herzen aus einem Satz Spielkarten“ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit
einer einzelnen Ziehung entweder einen Ass oder ein Herz oder ein Ass-Herz zu erhalten?
P (A) = 4 / 52
P (H) = 13 / 52
Da Ass und Herz bei einer einzelnen Karte gezogen werden können, schließen sich beide
Ereignisse A und H nicht aus. Somit ist die Wahrscheinlichkeit ein Ass-Herz zu erhalten:
P(A
H ) = 1 / 52
A
H
A
A
H
H
36/52
36
3
A
H
A
1
3/52 1/52
12
H
A
12/52
H
Also ist die Wahrscheinlich mit einer einzelnen Ziehung entweder einen Ass oder ein Herz
oder ein Ass-Herz zu erhalten.
P(A U H) = P(A) + P(H) – P(A
H ) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16 / 52
9
(
(
)
)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, falls ein anderes Ereignis bereits
eingetreten ist und wir über diese Information verfügen?
B
A
B
A
B
A
A
*
Falls beim Experiment „Wurf eines homogenen Würfels“ bereits eine gerade Zahl (Ereignis
A) eingetreten ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese auch durch 3
teilbar ist (Ereignis B)?
P (A) = 3 / 6 ;
A
P (A
P (B|A) =
B) = 1 / 6
1/ 6
3/6
=
1
3
B
A
B
A
B
A
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängige Ereignisse
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung,
dass das Ereignis A bereits eingetreten ist, wird gekennzeichnet durch: P ( B | A )
und wird definiert durch:
P ( B A)
P(B | A) =
P(A)
Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, falls:
P(A
B) = P(A) ⋅P(B)
10
+
In einer Lieferung befinden sich 12 Dioden, von denen 4 defekt sind. Es werden 2 Dioden
Ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen
Ergebnisse an?
A
B
P(A
B) = P(A)
B
P(B|A) = 12/132
3/11
A
A
8/11
4/12
B
8/12
B
4/11
P(A
P(B|A) = 32/132
A
P(A
A
B) = P(A)
B) = P(A)
7/11
B
B
P(B|A) = 32/132
A
B
B
P(A
B) = P(A)
P(B|A) = 56/132
Ereignisbaum
Die Ziehung von 2 Dioden kann durch die 2-fache Ziehung einer Diode in einem
Ereignisbaum dargestellt werden. Die Ereignisse A und B sowie ihre jeweiligen disjunkten
(sich gegen gegenseitig ausschließenden) Ereignisse A und B werden wie folgt definiert:
A: Defekte Diode bei der 1. Ziehung,
A : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung,
B: Defekte Diode bei der 2. Ziehung,
B : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung
Da die Ereignisse bei der 2-ten Ziehung abhängig von den Ereignissen in der 1-ten Ziehung
sind, ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten:
P(A
B) = P(A) ⋅P(B|A)
= ( 4 / 12) . ( 3 / 11 )
= 12 / 132
P(A
B ) = P ( A ) ⋅ P ( B | A ) = ( 4 / 12) . ( 8 / 11 ) = 32 / 132
P (A
B ) = P ( A ) ⋅ P ( B | A ) = ( 8 / 12) . ( 4 / 11 ) = 32 / 132
P (A
B ) = P ( A ) ⋅ P ( B | A ) = ( 8 / 12) . ( 7 / 11 ) = 56 / 132
11
+
In einer Lieferung befinden sich 12 Dioden, von denen 4 defekt sind. Es werden 2 Dioden Mit
Zurücklegen gezogen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse
an?
A
B
P(A
B
B) = P(A) P(B) = 16/144
4/12
A
A
8/12
4/12
B
8/12
B
A
4/12
P(A
B) = P(A) P(B) = 32/144
A
P(A
B
B
B) = P(A) P(B) = 32/144
8/12
A
B
B
P(A
B) = P(A) P(B) = 64/144
Ereignisbaum
Die Ziehung von 2 Dioden kann durch die 2-fache Ziehung einer Diode in einem
Ereignisbaum dargestellt werden. Die Ereignisse A und B sowie ihre jeweiligen disjunkten
(sich gegen gegenseitig ausschließenden) Ereignisse A und B werden wie folgt definiert:
A: Defekte Diode bei der 1. Ziehung,
A : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung,
B: Defekte Diode bei der 2. Ziehung,
B : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung
Da die Ereignisse bei der 2-ten Ziehung unabhängig von den Ereignissen in der 1-ten
Ziehung sind, ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten:
P(A
B) = P(A) ⋅P(B)
= ( 4 / 12) . ( 4 / 12 )
= 16 / 144
P(A
B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = ( 4 / 12) . ( 8 / 12 ) = 32 / 144
P (A
B ) = P (A ) ⋅ P ( B )
P (A
B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = ( 8 / 12) . ( 8 / 12 ) =
= ( 8 / 12) . ( 4 / 12 ) = 32 / 144
64 / 144
12
1. Pfadregel
P( A )
P( D )
P( B | A )
B
P( C | A )
C
P( F | D )
F
P( G | D)
G
(A
B)
A
D
P( A
B ) = P( A ) P( B | A )
Satz: Multiplikationssatz für beliebige Ereignisse (Verallgemeinerung der 1. Pfadregel)
Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse A und B mit
P ( A ) > 0 und P ( B ) > 0 ist:
P(A
B) = P(A) ⋅P(B|A)
Es gilt auch:
P(A
B) = P(B) ⋅P(A|B)
Weiterhin kann der Satz verallgemeinert werden, so gilt für drei gleichzeitig
eintretenden Ereignisse A , B und C:
P(A
%
P(A
B
C) = P(A) ⋅P(B|A) ⋅ P(C|(A
B) = P(B
B) )
A)
Satz: Spezieller Multiplikationssatz (Multiplikationsregel)
Sind die Ereignisse A und B unabhängig, so gilt:
P(A
B) = P(A) ⋅P(B)
%
Diese Regel wird häufig zur Definition der Unabhängigkeit von 2 Ereignissen benutzt.
13
!
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei zweimaligem Wurf eines homogenen
Würfels beide Augenzahlen 4 sind?
, Die beiden Ereignisse lauten:
A: „Augenzahlen 4 bei ersten Wurf.“
.
"
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei zweimaligem Wurf eines
homogenen Würfels
beide Augenzahlen 4 sind.
beide Augenzahlen nicht 4 sind.
beim ersten Wurf eine 4 fällt.
beim zweiten Wurf eine 4 fällt.
, Die beiden Ereignisse lauten:
A: „Augenzahlen 4 bei ersten Wurf.“
..
B: „Augenzahlen 4 bei zweiten Wurf.“
B: „Augenzahlen 4 bei zweiten Wurf.“
Ergänzen Sie für dieses Zufallsexperiment den folgenden Wahrscheinlichkeitsbaum
(Ereignissbaum), indem Sie die Ereignisse und die Werte für das Eintreten der
jeweiligen Ereignisse eintragen.
14
+
In einer Warenlieferung sind 12 Dioden, davon sind 4 defekt. Es wird eine Stichprobe vom
Umfang 2 ohne Zurücklegen gezogen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine defekte Diode gezogen wird. Also gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
E 1 : Genau eine defekte Diode in der Stichprobe
B
3/11
A
A
8/11
4/12
B
8/12
B
P(A
B) = P(A) P(B|A) = 32/132
A
4/11
P(A
A
B
B
B) = P(A) P(B|A) = 32/132
7/11
B
Ereignisbaum
A: Defekte Diode bei der 1. Ziehung,
A : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung,
E1 =
P ( E 1) =
=
=
(A
U
(A
+
P (A
B )
P(A
B )
P ( A ) ⋅ P (B | A )
(4 / 12) ⋅ (8 / 11)
2. Pfadregel
P( A )
P( D )
P( (A
+
+
B: Defekte Diode bei der 2. Ziehung,
B : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung
B )
B )
–
0
P (A ) ⋅ P ( B | A ) –
(8 / 12) ⋅ (4 / 11)
P( B | A )
B
P( C | A )
C
0
= 32 / 132 + 32 / 132 = 64 / 132
(A
B)
(D
F )
A
P( F | D )
F
P( G | D)
G
D
B) U (D
F) ) = P( A ) P( B | A ) + P( D ) P( F | D )
15
&
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei zweimaligem Wurf eines homogenen
Würfels die Augenzahlen 4 mindestens 1-mal fällt (D.h. die Augenzahl 4 fällt beim ersten
Wurf oder bei zweitem Wurf oder bei beiden Würfen.)
%
B:
0
| A)
P(B
B:
P(A)
A:
A:
/
P(A
B)
P (A
B )
P (A
B)
P (A
B )
A)
P(
P(B)
P (B )
1
P(A B)
A
P(B
P (A )
P(
A)
B
B
P(A B)
| A)
P(B
B
P(A B)
P(B
| A)
B
| A)
A
P(A B)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Verzweigungen in jeder Stufe des
Baumdiagrams sind gleich 1. Denn in solchen Bäumen stellen zwei verschieden Pfade
immer disjunkte Ereignisse dar. Ebenso gilt:
P(A
B ) + P (A
B ) + P (A
B ) + P (A
B ) = 1
Sind die Ereignisse A und B unabhängig voneinander, so werden im
Wahrscheinlichkeitsbaum die jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten in der 2-ten
Stufe durch ersetzt. ( P ( B | A ) = P ( B ) )
16
1$
Im folgendem wird untersucht wie groß die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist, wenn
alle sich gegenseitig ausschließende Ereignisse des Ergebnisraumes mit bekannten
Wahrscheinlichkeiten auftreten und die Bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben sind.
A1
A1
A2
A2
B
A3
A4
A3
A5
A4
A5
Satz: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (Verallgemeinerung der 2. Pfadregel)
Sei B ein Ereignis und seien A und A eine disjunkte Zerlegung von
A
A
A
, so gilt:
A
B
B = (A
B) U (A
(A
B)
B =
P ( B) =
(A
P(A
B )
B )
B)
(A
U (A
+
P(B) = P(A) ⋅P(B|A) +
B)
B )
P (A
B )
–
0
P (A ) ⋅ P ( B | A ) –
0
Sei B ein Ereignis und seien A 1 ; A 2 ; . . . . . ; A n eine disjunkte Zerlegung von
gilt:
(
) (
P (B ) = P A 1 ⋅P B | A 1
n
=
(
P A
k
) + P ( A 2 )⋅ P (B | A 2 ) +
(
+P A
n
, so
)⋅ P (B | A n )
)⋅ P ( B | A k )
k =1
17
P(B | A)
B
P(A B)
P(B | A)
B
P(A B)
P(B | A)
B
P(A B)
B
P(A B)
A
P(A)
P(A)
A
P(B | A)
P(A)
A
P(B | A)
P(A B)
B
P(A)
A
A
A B
P(A B)
P(B | A)
B
A B
P(B | A)
P(A)
A
P(B | A)
P(B | A)
P(A)
B
B
A B
A B
B
A
A
B = (A
P(B | A)
B
A
B
B) U (A
B)
A B
18
Eine Warenlieferung besteht aus 30 Dioden zweier unterschiedlicher Hersteller. In der
Lieferung befinden sich 10 Dioden vom 1-ten Hersteller (kleine Packung in der Abb.) und 20
vom 2-ten Hersteller. (große Packung in der Abb.). Dabei sind 2 Dioden vom 1-ten
Hersteller defekt und 6 Dioden vom 2-ten Hersteller defekt.
Es wird zufällig eine Diode aus der Lieferung ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Diode defekt ist?
B
P(B
A ) = P ( A )⋅ P ( B | A )
2 10
=
=
A
8 10
13
(1 3) · (2 10)
2 30
B
__
23
B
A
P(B
__
__
A ) = P (A )⋅ P ( B | A )
6 20
=
=
14 20
(2 3) · (6 20)
6 30
B
Folgende Ereignisse werden definiert:
__
A : „große Packung“
A: „kleine Packung“
__
B: „Diode defekt“
B : „Diode intakt“
Die Wahrscheinlichkeiten sind laut Aufgabe:
__
P(A) = 1 3
P(A ) = 2 3
P ( B | A ) = 2 10
P ( B | A ) = 6 20
__
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Diode defekt ist, lautet:
__
P(B) =
P(B
A)
+
P(B
__
P(B) =
=
P(A) ⋅P(B|A)
+
(1 3) · (2 10)
+
A )
– 0
__
P(A ) ⋅P(B| A ) – 0
(2 3) · (6 20)
= 8 30
19
2 0 3$
4
Aus der Definition der Bedingten Wahrscheinlichkeit und dem Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit kann eine neue Formel erstellt werden, mit deren Hilfe man die
Reihenfolge der bedingten Wahrscheinlichkeit umkehren kann.
Satz: Satz von Bayes
Seien A und B zwei Ereignisse mit P ( A ) > 0 und P ( B ) > 0 , und bilden A und A eine
disjunkte Zerlegung von , dann gilt:
P(A | B) =
P (A∩ B)
P (B )
A
P (A∩ B)
=
(
P (A∩ B) + P A ∩ B
)
P ( A )⋅ P (B | A )
=
( ) (
P ( A )⋅P (B | A ) + P A ⋅ P B | A
A
B
)
A B
B
A B
!
Ein Prüfer hat beim zufälligen Entnehmen von Dioden aus der Lieferung des vorigen
Beispiels eine defekte Diode erhalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese vom
1-ten Hersteller stammt?
P( A | B) =
=
P(A
B
)
P (B )
P ( A )⋅ P (B | A )
P (B )
=
1
3
⋅
8
30
2
10
= 0 , 25
20
Drei Maschinen M 1 ; M 2 ; M 3 produzieren den selben Artikel. Die Anteile der 3 Maschinen
an der Gesamtproduktion betragen: 30% , 50% bzw. 20% . Die Ausschlussanteile der
Maschinen (Produktion von unbrauchbaren Artikeln) sind der Reihe nach: 2% , 10% und 4%.
Aus der Gesamtproduktion wird zufällig ein Artikel ausgewählt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass dieser Artikel unbrauchbar ist?
Folgende Ereignisse werden definiert:
D: Artikel unbrauchbar
D : Artikel brauchbar
M 2: Artikel kommt von Maschine 2
M 1: Artikel kommt von Maschine 1
M 3: Artikel kommt von Maschine 3
die Wahrscheinlichkeiten sind laut Aufgabe:
P ( D | M 1 ) = 0,02
P ( D | M 2 ) = 0,1
P ( M 1 ) = 0,3
P ( M 2 ) = 0,5
P ( D | M 3 ) = 0,04
P ( M 3 ) = 0,2
0,02
M
P(M 1
D
M1
1
0,98
0,3
D
M
D
P(M 2
0,5
D)
2
0,9
0,2
0,04
D
M2
0,1
D
0,2
D
P(M
3
0,96
0,02
0,3
0,1
0,5
M
D)
D)
3
M3
0,04
D
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gesamtproduktion ein Artikel unbrauchbar ist:
P(D) =
P(D
M1)
+
P(D
M2)
+
P(D
M3)
– 0
P(D) = P(M1) ⋅P(D|M1) + P(M2) ⋅P(D|M2) + P(M3) ⋅P(D|M3)
=
0,3 . 0,02
+
0,5 . 0,1
+
0,2 . 0,04
=
0,064
52ba
Aus den Artikeln des vorigen Beispiels wird einer zufällig ausgewählt. Er sei unbrauchbar.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Maschine 1 stammt.
P
( M 1 | D)
(
P M
=
1
P (D )
D
)
(
P M
=
1
)⋅ P (D | M 1 )
P (D )
=
0 , 3 ⋅ 0 , 02
0 , 064
= 0 , 09375
21