Wie lehre ich sicheres Rechnen?

Wie lehre ich sicheres Rechnen?
Rechenschwierigkeiten vermeiden durch neuartiges
Unterrichtsverfahren:
 integrativ-strukturelle Methode
 Zahlen-Struktur-Körper®
Dr. Günther Heil
Vortrag, gehalten am 18. Mai 2011
Universität Leipzig
Gliederung:
1. Problematisierung – Intention
2. Anforderungen an eine gute
Rechenkompetenz
3. Neurobiologische und psychologische
Aussagen
4. Unterrichtspraktische Umsetzung
Gibt es sicheres Rechnen im Bereich der Grundrechenarten?
Es gibt:
Ja
Rechenwege, Rechenmethoden, Rechenverfahren,
die bei fachrichtiger Ausführung zu einem richtigen
Rechenergebnis führen.
Anforderung an die Unterrichtenden:
Welche Lehr- und Lernmethoden, welche Lehr- und Lernmittel
führen die/den Lernende/n
zu einem umfassenden Verständnis und einem sicheren
Ausführen der erforderlichen
Rechenoperationen?
Die vorgestellte Lehr- und
Lernmethode ist
 mit rechenschwachen Kindern aufgrund derer
geäußerten Lernbedürfnisse entwickelt
worden;
 in der Dyskalkulietherapie seit vielen
Jahren erfolgreich eingesetzt und der
Erfolg ist evaluiert;
 in der Elementarbildung in ihrem frühkindlichen Ansatz mit überwältigendem Ergebnis
evaluiert worden;
 in der Primarbildung (Grundschule) erfolgreich
eingesetzt (Evaluierungsphase).
2. Anforderungen an eine gute Rechenkompetenz
Untersuchung zur Entwicklung von Rechenkompetenzen bei Grundschülern
(Rathgeb-Schnierer 2010)
Zusammenfassung der Anforderungen:
2.1 Stellenwertsystem
2.2 Analogiewissen:
-
Zahlenraumaufbau
Analog-strukturelles Zahlenrechnen
2.3 Zahlzerlegung
2.4 Auswendigwissen:
-
Denksequenzen, z. B. Zehnerübergang
Reihenfolge der Rechenschritte
Einmaleins
2.5 Kopfrechnen – Zahlenrechnen
2.6 Rundungsregel
2.7 Schätzkompetenz
2.1 Stellenwertsystem
Sicheres Verständnis des Stellenwertsystems
notwendig für
• Aufbau des Zahlenraumes
• große Zahlen und Zahlvorstellungen
• Schätzen und Überschlagen
• analog-strukturelles Zahlenrechnen
• Entwicklung effektiver Rechenstrategien
(statt z. B. zählendes Rechnen)
• schriftliches Rechnen
2.1 Stellenwertsystem
Strukturen des dezimalen Stellenwertsystems für Anfangsunterricht:
Ziffern:
0 bis 9
Stellenwertpositionen:
Einer, Zehner,
Hunderter usw.
Einerzahlen:
Zehnerzahlen:
0 bis 9
10 bis 99
2.1 Stellenwertsystem
Einerzahlen
0
1
2
3
4
5
Hälfte
6
7
Hälfte
Rundungsregel
8
9
2.2 Analogiewissen Zahlaufbau
Gleiche Einerreihe in jedem Zehnerraum
3 0
3 1
3 2
3 3
3 4
3 5
3 6
3 7
3 8
3 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 7
2 8
2 9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.1 Stellenwertsystem
„Dezimal“system in Mengendarstellung
Kraft der 5
1. Hälfte
1 2 3 4
5
6
2. Hälfte
7 8 9 10
2.1 Stellenwertsystem
„Ein Zehnerstab … wird umgetauscht in 10
Einerwürfel… Dieser Vorgang ermöglicht es,
Elemente von der nächst kleineren Einheit
wegzunehmen …“
(Scherer/Moser Opitz 2010, 132, Hervorh. Referent)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nächst kleinere Einheit:
„Einer“
„Zehner“stab
Gegenüberstellung
Dezimales Mengensystem: „Einer“
1
0
1
Hälfte
2 3 4
2
Hälfte
3
4
5
5
6
6
Hälfte
7 8 9 10
7
8
9
Hälfte
Dezimales Stellenwertsystem: „Einer“
2.1 Vermittlung Stellenwertsystem vorwiegend über Menge
Irritationen
für
?
Risiken
Verunsicherungen
den
Schüler
!
2.1 Stellenwertsystem
Weg des Erlernens des Rechnens über
Stellenwertsystem ist langfristig
erfolgreich und nachhaltig.
(vgl. Scherer 2010)
Konsequenz zum Vermitteln des Stellenwertsystems:
Lernmittel Menge:
hilfreich, aber Risiken
anderes sicheres Lernmittel (dazu) nötig
2.1 Stellenwertsystem
Lernmittel
zur Vermittlung
der dezimalen Strukturen
des Stellenwertsystems:
Zahlen-Struktur-Körper®
2.1 Stellenwertsystem
Stellenpositionen:
Einer
Zehner
Hunderter
Tausender
Zahlen-Struktur-Körper®
Stellenposition
Zehner ( = Z)
Stellenkörper
Stellenwert
3 Zehner
Stellenwert-Körper
Ziffernwert
30
Welche Zahl ist das?
Wie sind Sie
vorgegangen?
3. Konsequenzen für den Unterricht
Rechnen Sie bitte im Kopf:
92 – 36
• Der Mensch denkt zum Rechnen in mit Ziffern notierten Zahlen,
nicht in Mengen.
• Der Schüler braucht ein Lernmittel, das ihm das
• rechnerische Denken in Zahlen zeigt.
• So versteht er leichter jeden Denkschritt und
• kann ihn lernend nachvollziehen.
3.1 Aussagen zum Mathematikdidaktik: Neurobiologie
• Bei räumlicher Verarbeitung von Zahlen
• zeigen rechenschwache Kinder geringere
 neuronale Netzwerke
 Gehirnaktivität
(v. Aster/Kucian 2005)
3.1 Aussagen zur Mathematikdidaktik:
Neurobiologie
Innerer, mentaler Zahlenstrahl wichtig zur:
•
Zahlvorstellung
Schweiter u.a. (2005),
Göbel (2007)
•
Größeneinschätzung einer Zahl
Lonnemann (2008),
Knops, Andrè u.a. (2009)
3.1 Aussagen zur Mathematikdidaktik : Entwicklungspsychologie
Entwicklungspsychologische Untersuchungen:
(vgl. Resnick 1979, Dehaene 1999, Wember 2003)
Für Zahlverständnis und
zum Zahlenrechnen
ist Lernen über Zahlenstrahl
– kindgemäßer, leichter und verständlicher
– didaktisch viel versprechender als
Lernen mit Mengen.
3.2 Aussagen zum mathematikmethodischen Vorgehen
Konsequenz zum Rechnen :
•
Zahlbegriff, Zahlenraumverständnis
• Grundrechenarten
Mathematische Basis und methodisches
Ziel:
dezimales Stellenwertsystem
Lernbeginn:
ordinaler
Zahlenstrahl
Erweiterung:
Mengen
Kardinaler Zahlbegriff (Mächtigkeit)
Drei Dimensionen des Zahlbegriffs
Struktureller Zahlbegriff
(Struktur des
Stellenwertsystems)
Ordinaler Zahlbegriff (Zahlenreihe)
3.2 Schulisches Lernen: Zahlbegriff
Ordinaler Zahlbegriff






(= Zahlenreihe)
Position der Zahl in Zahlenreihe
Aufbau der Zahlenreihe nach Stellenwertsystem
Zahl Null als Bezugspunkt
größere bzw. kleinere Zahlen (Entfernung von Null)
Nachbarzahlen (Nebenpositionen in Zahlenreihe)
Vorgängerzahl (1 Position näher zur Zahl Null)
Nachfolgerzahl (1 Position weiter zur Zahl Null)
 Relationalzahl
(Zählschritte zeigen Abstand zwischen 2 Zahlen)
4.1 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff
4.1 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff: größer - kleiner
Zahl 0 als entscheidende
Bezugsgröße
größere Zahl:
weiter von Null entfernt
0
1
2
3
kleinere Zahl:
näher bei 0.
4
5
6
7
8
9
3.3 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff
Nachbarzahlen
4.1 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff
Relationalzahl durch Zählschritte:
Zwischen 2 und 5 sind 3 Zählschritte
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Zwischen 5 und 2 sind ebenso 3 Zählschritte
9
3.2 Schulisches Lernen: Zahlbegriff
Kardinaler Zahlbegriff (= Mengen)
 Anzahlen erfassen, bündeln
 größere bzw. kleinere Zahlen (mehr
bzw. weniger Elemente)
 Nachbarzahlen (Unterschied 1
Element)
 Vorgängerzahl (1 Element weniger)
 Nachfolgerzahl (1 Element mehr)
 Relationalzahl (Unterschied zweier
Mengen)
4.1 Kardinaler Zahlbegriff
Mengen und Zahlenreihe
Integrativ-struktureller Ansatz
Die „EinerZu Zahlen nach dem
Häuser“ nach „Zehner-Turm“ gehören
dem „Zehner- seine Mengen.
Turm“ gehören
zu ihm.
5
6
7
8
9
4
Mengengarten
3
2
1
„Land der
Zahlenzwerge“®
0
1
Einer-Haus
Zahlenseil
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3.2 Schulisches Lernen: Zahlbegriff
Struktureller Zahlbegriff
(= Strukturen des
dezimalen Stellenwertsystems)
 Stellenposition(en)
 Ziffer(n) und ihre Wert(e)
4.1 Methodische Umsetzung: Struktureller Zahlbegriff
Problemlösung: Nullen auf Stellenpositionen
zeigen
4.2 Unterrichtliche Umsetzung: Zahlzerlegung
Der Zerlegesack
Zahlentriple:
5–2–3
4.3 Ordinales Rechnen
Minus-Rechnen:
Zählschritte zur Zahl 0
5 – 3
0
1
2
3
4
=2
5
6
7
8
Minus-Rechnen ohne Angst
9
4.3 Ordinales Rechnen
Plus-Rechnen:
Zählschritte weg von der Zahl 0
3 + 4 =7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.3 Rechnen mit Mengen (kardinal)
Plus-Rechnen mit dem Zerlegesack
2
4
2
4
6
= 6
2+4
4.3 Minus-Rechnen mit Mengen (kardinal)
Minusrechnen aus dem Zerlegen
5 – 3
3
=2
2
5
4.3 Aktiv-entdeckendes Rechnen
2
4
6
Überlege dir selbst die 4
Rechnungen!
4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang
Zehnerübergang
Erlernen bei der Zahl 10:
Sicherheit geben durch Rechenverfahren,
mit gleichen Denkschritten
bei Über- wie Unterschreitung
Zehnerübergang
Dreischritt mit Zerlegen
z. B. 12 – 5 =
1. Denkschritt: 12 – 2 = 10
2. Denkschritt: 5 zerlegen in 2 und 3
3. Denkschritt: 10 – 3 = 7
4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang
Übergang über 10
Rechenaufgabe: 13 - 7
Wichtige Vorüberlegungen:
a) Kann 3 – 7 gerechnet werden?
b) Mathematisch-strukturelle
Bedeutung:
Wechsel von einer Einerreihe
in die andere Einerreihe
4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang
(methodische ordinal-strukturelle Veranschaulichung)
– 7 bedeutet:
Auf dem Zahlenstrahl in Zählschritten zur Null.
1. Denkschritt:
13 – 3 = 10
4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang
2. Denkschritt:
7 werden zerlegt in 3 und 4.
4.4 Ordinales Rechnen beim Zehner-Übergang
3. Denkschritt:
10 – 4 = 6.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zehnerübergang
• Vermittlung des Denkablaufs durch Bewegen der ZahlenStruktur-Körper® an Vorlage(feinmotorisches Lernen)
• Feinmotorisches Bewegungsmuster lenkt und schult
Denkmuster
• Sicheres Wissen der Denkschritte
a)
+
b)
0
c)
4.5 Rechnen mit großen Zahlen
1. Mangelndes oder fehlendes Verständnis für das
Stellenwertsystem,
verhindert erfolgreiches Rechnen
mit großen Zahlen.
(Scherer/Moser Opitz 2010)
2. Rechnen lernen über das Stellenwertsystem
ist langfristig
erfolgreicher und nachhaltiger.
(Scherer 2010)
4.5 Strukturelles Rechnen mit Zahlen-Struktur-Körpern®
Es ist bei großen Zahlen nur nötig:
•Minus und Plus von 0 bis 10.
•Zerlegen bei Zahlen 2 bis 9
•Stellenübergang (exemplarisch erlernt
und automatisiert bei 10)
•Dezimale Stellenwertstruktur bei Ziffern
berücksichtigen zum Erhalt des Ziffernwertes.
4.5 Strukturelles Rechnen im Stellenwertsystem
Leichtes Verständnis und erhebliche Sicherheit
• durch strukturell-analoges Rechnen
• im Stellenwertsystem
• erlernt mit Zahlen-Struktur-Körpern®
4.5 Strukturell-analoges Rechnen
Blick auf gleiche Rechenanforderung lenken
3+4
=7
4
3
+
4
53 + 4
=
=
7
3
57
4
5
3
+
4
=
5
73
4.5 Strukturell-analoges Rechnen beim Zehnerübergang
4.5 Zahlenrechnen
Rechnen erlernen mit
Zahlen-Struktur-Körpern®
schult das
Kopfrechnen.
4.5 Rechnen mit großen Zahlen
Rechnen mit großen Zahlen erlernen:
Bewegen der Zahlen-Struktur-Körper®
entlang eines Ablaufdiagramms
zeigt Reihenfolge der Rechenschritte.
4.6 Multiplikation
Grundsätzliches Verständnis des Einmaleins als
Addition.
Dann:
• Sicheres, rasches Wissen der EinmaleinsErgebnisse
• Ableiten, Nachbaraufgaben birgt Fehlerrisiko
für Einmaleins-Ergebnisse
4.6 Multiplikation
• Einprägen des Ergebnisses als Zahlkörperbild.
4.6 Division
erforderlich:
Beherrschung der Multiplikation
vermitteln:
Division ist die Umkehrrechnung der
Multiplikation
Lernmittel:
Zerlegesack
4.6 Division
2
3
2
3
Zahlentriple
6 – 2 – 3
6
23=6
32=6
6
6:2=3
6:3=2
4.7 Schriftliches Rechnen
An Stelldiagrammen erfährt
der/die Lernende bei
schriftlicher Multiplikation und Division
die einzelnen Denkabläufe des Rechnens
durch Bewegen
der Zahlen-Struktur-Körper®.
Schriftliche Multiplikation
4.8 Bruchrechnen
Durch handelnden Einsatz
der Zahlen-Struktur-Körper®
eignet sich der/die Lernende
die Strukturen des Denkens
beim Bruchrechnen an.
4.8 Bruchrechnen
„Gleichnamige“ Nenner
gezeigt als
gleiche Körper und gleiche Farben.
1
3
5
6
2
3
6
4.8 Bruchrechnen: Multiplikation
Durch Bewegen der Zahlen-Struktur-Körper®
sicheres Denken aneignen
6
6
5
5
8
8
4.8 Bruchrechnen: Division
Division ist Multiplikation mit Kehrbruch
2
5
2
6
9
6
9
5
4.9 Schätzrechnen:
plus
3
2
5
5
4
3
0 0
5
0 0
1
4.9 Schätzrechnen: mal
2
4
1
1
4 0
2 0
800
Konsequenz
Zum Aufbau fundierter und sicherer
Kompetenzen bei Grundrechenoperationen:
Vermittlungsweg über Stellenwertsystem
Konsequenz
Lernmittel muss Strukturen des Stellenwertsystems sicher
und eindeutig zeigen
Zahlen-Struktur-Körper®
Danke!